Инвариантные метрики и биголоморфная эквивалентность областей в C n тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

лкаде'ш наук ссср сибирской отделение

Институт матшатики

На йравех рукописи

ТИ1ШЖВ Джура баи ларггхшиЧ

удк 517.55

ДОВАРЙЛН1НШ5 ЫКТРЖИ И БИГОЛОМОР^НАЯ' ЬКЬИйАМТГНОСТЬ ОБЛАСТЕЙ Б €"■

01.01.01 - математический анализ

А в т о р е ф е р а т

диссертации на сои'скап"<з ученой степени • «сайцидата фйзжо'нчзтематиче'окях: наук

Новосибирск - 1991

Работа вдполнега на кафедре теории фущаде Новори-бирского государственного университету имени Децилокого комсомола

Научный руководитель: доктор Физкко-кзтештических - наук, профессор, С,Л.Круткаль

ОфИЦЯЭТОЩв ОПЦОДвНТЫ: доктор фД£ИКОЧ%",53М£1ТИЧ<ЗОКИХ

наук, профессор Д.}].Скакав;

доктор фи зико-мэтедаатичеежих наук, ведувдй научный сотрудник вд со ан ссср л.п,Кодаюв

Ведущая организация; Башкирский госудг:'р,ствещщй

университет

Защита диссертации состоится " " ____5991 г.

в часов на заседании специализированного с.оведз

К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО 1$ СССР (630090, Новосибирок-ЭО, Университетский пр,,

О диссертацией можно ознакомятся в тута ыатеи&ткки СО АН СССР

Автореферат разослан " " __ __ г.

Учеши секретарь

специализированного совета / ^

кандидат физико-математических / //

наук, доцент ¿А^Л В.В .Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В комплексном анализе и его приложениях большое значение имеет выделение классов биголоморф-ко эквивалентных областей. Хороню известно, что на комплексной плоскости любые две односвязные области одинакового конформного типа конформно отображаются друг ка друга (классическая теорема Римана). В многомерном же случае ситуация совершенно иная. Уже две простейшие области - шар и полукруг - не отображаются биголоморфно друг на друга. Поэтому очень важно иметь запас областей, которые друг другу эквивалентны.

Начало геометрической теории функций многих комплексных переменных можно отнести к тому времени, когда К.Каратеодорн (1928 г.) и С.Бергман (1929 г.) определили для областей в <£;" метрики, инвариантные относительно биголоморфных преобразова--шй областей. Новый импульс развития теория получила в шестидесятых годах, когда О.'Кобаяси предложил удачное видоизмэне-1ие метрики Каратеоцори. Псе эти метрики обобщают но большие размерности гиперболическую метрику Пуанкаре плоскости Лобо-швского. В рамках возникшего из работ С.Кобаяси, а также г.Ройдена, и бурно развивающегося гиперболического комплекс-юго анализа заняли свое естественное место теория нормальных ¡емейств голоморфных отображений, теория голоморфного и меро-гарфного продолжения отображений. Инвариантные метрики нэшли !0>:ные применения в теории групп аЕтсморШзмов комллексных шогообоазий (С.Кобаяси, Р.Нзрасимхан, З.Кауп), теории проот-)8нств Тей/квляера (СЛ.Крушкаль, У.Ройдеи, К.Эрл, И.Кра) : других областях. Обнаружились глубокие связи гиперболиче-кого комплексного анализа с комплексной диф^еренвдалъной 'еометриеи, особенно в изучении комплвкеннх геодезических Э.иезантини, Х.ву, Л-Лш'шзрт, М.Пувзуки, Е.Полецкий, Ю.Хуру-оь).

3

Ка основе изучения граничного поведения голоморфных отображений получен целый ряд результатов (С.И.Пинчук, Э.Бедфорд, Б.Вонг, З.Росей и др.) о голоморфной эквивалентности или, наоборот, не эквивалентно. ти, а также о структуре голоморфных автоморфизмов некоторых классов рб.щртей в С .

Цель работы. Диссертационная работа посвян^ца оцисанию ограниченных областей биголоморфко эквивалентах друг другу с помощью инвариантных метрик д исследованию вопроса о про-долгенш гояоглорфных отображений ыаров в метрщ» ^Оздси объемляюшях областей, до отображений самвд обдаряй.

Методика исследования. Работа осцодааад да щшдощении методов геометрической теория функции многих х-ОЩЩЩЩХ переменных. Использованы также методы теорда даш^^сдой дифференциальной геометрии. ■

Научная новизна. Основные результаты дирсертадаи являются новыми.

1. £ане характеризация шара с помощью инвариаэдгдах метрик.

2. Получены достаточные условия биголоио^дей* эквивалентности ограниченных областей своим индикатрцрам.,

3. Изучен вопрос- о продолжении голоморфных, отображений шаров в метрики Кобаяси объемляющих областей,; др, оудбдэже-нлй самих областей.

Практическое и теоретическое значение. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут, быу^ использована в исследованиях по комплексному'анализу и, цомпл^кской дифференциальной геометрии.

Апробация работы. Результаты работы дркладьшались на школе-семинаре "Кокшюксшй анализ и математическая физика" (Дивкогорск, 198?), Всесоюзной конференции "Актуэдыше вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1989). Ссветско-италь-янском симпозиуме (Самарканд, Т990), на научно-исследовательских со:.ан£р8х института математигга СО ДН СССР по, комплекс-

ному анализу и топологии,руководимым профессором С.Л.Крушка-лек, семинаре по анализу и геометрии,руководимым академиком Я.Г.Решетником,^а^тякже н;, семинарах математических факультетов Ташкентского госуниверситета, руководимым чл.-хор. АН 1'зССР А.Сэдуллаевым, Башкирского гссуниверситета, руковсци-®1м проф. С.й.Пинчуком, Красноярского гооуниверсчтета, руководимом проф. А.П.Южакончм.

Публикация. Основные результата диссертации опубликованы в работах ¡1 - 3| .

Объем 'работы. Диссертация изложена на 62 страницах, зостоит из введения, трех глав и списка литературы из 54 шименований.

ОБЗОР ОТЕКАНИИ ГАБОТа

Бо вреденик обосновывается актуальность теш и приведэ-ш формулировки основных результатов диссертации.

Первая глава носит вспомогательный, характер, ¡здесь приедены основные определения, некоторые известные результаты > строго псевдоЕНпуклых областях и об ипвериантных метрик, [еобходимые е дальнейшем.

Во второй главе дана характеризация шара через пкиа-шантние метрики, дсказаь* следующие основные теоремы.

Теорема 2.2, Пусть Х>с. С" - строго псевдовыпунлая »бласть с Е«цгсгвонно~аналмтической и одноовязной грающей, ¡елл ее метрика Кобаяси К 33 эрмитова в окрестности пекото-юй граничной точки Т) , то £> биголоморфно эквивалентна

ару. • '

Теотема 2.3. Пусть Э ^ Сп - строго псевдовшхуклая бласть с оцносвязной с гладкой,границей. Если ее метри-а Кобаяся К£> эргяггова в окрестности д Х> , то 25 биголо-' орфко эквивалентна 'иару. ..

Теорема '<; 4. Пусть 3? с (С'" - строго псездовнпуклая об-асть с односвянио/1 границей. Если ее метрика Кобаясм /Гт-. рмитова и С00 - гладкая з окрестности ©2) > 'тс Х> биголо-орфно окЕИвалонткз шару. ■ •-.■*

Эти результаты усиливают для областей в Сп известную теорему Стентона , согласно которой связное полное гиперболическое многообразие, у которого метрика Кобаяои является эрштовой и имеет класс С03 и хотя бы в одной точке совпадает с метрикой Каратзодори, бигодоморфно эквивалентно шару.

Как показывают приведенные выше теоремы, в теореме Стентона (в случае областей в £," ) можно опустить условия совпадения метрик Кобаяси и Каратеодори, а в случае областей с с 00 - гладкой границей кроме того, отбросить условие гладкости метрик Кобаяси, и чаконед, в случае областей с вещественно-аналитической границей достаточно потребовать эрмитовость метрики Кобаяси лишь в окрестности некоторой граничной точки. Заметим, что для строго'псевдовыпуклых областей из гладкости границ, как показывают результаты Л.Дем-перта и Ю.Хурумова , вообще говоря, не витекает свойство гладкости метрики Кобаяси. Мы приводим примеры, показывающие, что условия эрмитовости метрики Кобаяси и односвязности ^D в теоремах являются существенными.

В § I третьей главы исследуются, индикатрисы ограниченных областей. Обозначим через

_Т.С (Jbtp) ^ [ir6 Сп : C-D(pl ir)< i}

Stanton С.Ы. Л characterization of the ball by its

intrinsic metrics// f'.ath. Ann,-1983.-V.264,e2~p.2?1-

2)"275* ' - -

Lempert L. Intrinsic metrics// Proc. Symp. Pure

Math.-1984.-V..-p.174-150. '

^ Хурумов Ю.В. Гладкость собственных голоморфных отображений и инвариантных метрик строго псевдовыпуклых областей // Школа-семинар "Актуальные вопросы комплексного анализа": Тез.доклацоЕ. - Ташкент, 1989. - С. 133.

индикатрису метрики Каратеодори Cj^ . Справедлива следующая теорема о биголоморфной эквивалентности ограниченной области своей индикатрисе.

'Георема 3.2. Пусть J) с <£" - ограниченная область и для некоторой точки р & D существует голоморфное отображение Г: Iе (Т),р) Т> . Если при этом F lo) - р . d F0 .( Iе í £>, р),1 = 2е (Ъ, р) , то отображение F бигояо-морфно.-

Следующая теорема йвляется в некотором смысле обратной к теореме 3.2.

Теорема 3.3. Пусть j) <z С" - ограниченная выпуклая область ti для некоторой точки pe X) существует голоморфное отображение f : Т> —> Тс ( D, р) . Если при этом и ci?e i Xcí"D,p)) - ХС(Т>, р) ' . то

отобрахеёйпй' Г биголоморфно.

Ш с$Йх теорем, в частности, получается описание областей,- у йб^орых индикатрисы являются классическими областями.

Следствие. 3.5. Если в условиях 3.2 и 3.3, ивдикатриса Jc С 2э, р) есть одна из классических областей % (с точностью до биголоморфизма), то область Х> биголоморф-но эквивалентна 3L .

Бо втором параграфе третьей главы изучается вопрос о голоморфном продолжении отображений шаров в метрики Кобая-си объвшшющих областей,' до отображений самих областей. В случае строго выпуклых областей равных размерностей этот вопрос рассматривался в работе Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.6. Пусть Х> ^ <С" - строго псевдовыпуклая область с вещественно-аналитической и односвязной границей, г с с £' - строго викумая область с вещественно-аналитзческой границей, я щччь 7>gip> с Ъ я G-

^ Eland J,, Duchanp 'Л., Kalka M. Ca the automorphism group of btrlotHj" convex domains in Q" "// Contemporary Eüth.-19S6.-V.4-9.-p.19-30.

пары одинакового радиуса £ относительно расстояний Коба-яси б этих областях. Тогда, если точка р достаточно близка к границе 03) • 1° всякое биголоморфное отображе-

ется до биголоморфного отображения / ; ц н> б-

Для собственных голоморфных отображений в пространстве большей размерности справедлива следующая теорема.

Теорема 3.8. Пусть Х> с С£ - строго

выпуклые области с вещественно-аналитическими границами и пусть Ъ^кр) и &г1Ц-) - шары относительно расстояний Кобаяси соответственно в Х> и (г • Тогда всякое собственное голоморфное отображение Х>ъ(р) С-^(^) такой, что /ср!= о, и отображение сУ/^ ; х* СТ>,р)->2'(е4) также является собственным, продолжается до собственного голоморфного вложения / .• Х> ~> & и это продолжение будет вещественно аналитическим в 25 •

В заключение'автор выражает глубокую благодарность профессору С.Л.Крупкалю за научное руководство и всестороннюю поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Тишабаев Дж.К. Инвариантные метрики и индикатрисы ограниченных областей в С" // Сиб. мат.журн. - 1339. - Т. 30, К 1. - С. 216-216.

2. Тишабаев Дж.К. Характеризация шара с помощью метрики Кобаяси // Школе-семинэр "Актуальные вопросы комплексно-.го анализа:- Тезисы докладов. - Ташкент. 1989. - С. 117.

3. Тишабаев Дж.К. Об областях, бкголоморЬно эквивалентных шару // Сиб. мат .куря. - 1351. - Т.32, ^ ?.. - С. ['¿3-126.

Соискатель

Подписано к печати 19.04.91

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 0,7 и.л.; 0,7 уч.-изд.л.

Заказ 116 Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте математики С0_АН СССР 630090, Новосибирск, 90, Университетский пр., 4.