Инвариантные метрики и битоломорфная эквивалентность областей в Cn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛКЛдЕ'/ИЯ ИЛУК СССР СИБИРСКОЙ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТ7 Т ГЛЛТРТДАТИКИ

На Правах рукописи

ТШАРЛЕй Джурвбай КаримОЕИЧ

УДК 517.55

ШЙАИЛН'ПШ ;,;ътгихл Й КТОЛШОРШАЯ ЬХШЬАЛ^НТНОСГЬ ОГзЛАСТКЛ Б €

Oí.OI.OI - ;.еттемат1П9ский анализ

Автореферат

диссертации на coi'cKanrie ученой степени • кандидата ф^отко'-йатематичоских: itóyn

Нороси'бирск - 1991

Работа выполнена па кафедре теории функций Новосибирского государственного университета пг.:эци Лонрнскоуо комсомола

Научный руководитель: доктор физэдю-мчтематических

наук, гфофессор С,Л.Круикаль

Офшщзльвде оппонент-' доктор фазикочвдевдтачесжих

нэук, профессор А-ПЛОжакав^

доктор физико-?,1аг<еттич§С¥кх наук s ьапунши" нагний ййтруд-ник ИМ СО Ail СССР А,продолов

Ведущая организация; Башкирский государственник

университет

Защита диссертации состоится " "___ JS9I г.

г. часов на засецлнпд специализированного с.о?.ета

К 002.23.02 по присудцению ученой степенг кандидата фцзпко-;лата7ичесввх наук в Институте математики СО АН СССР (630090, Новосибирск-90, Университетский цр,, 4Л

С диссертацией можно ознакомится г библиотек Ицоти-тута математики СО Ail СССР

Автореферат разослан " "___________ 1;991 г.

Ученый секретарь л

специализированного сорэта / /-)

кандидат физико-математических / t / наук, доцент / д у/Ь^лЛ В.Б.Иванов

' ¡А

онцля характеристика работы

Актуальность темы. В комплексном анализе и ого прило-кениях большое значение имеет выделение классов биголоморф-[Ю .эквивалентных областей. Хорошо известно, что на комплеко-йой"плоскости любые две односвязнью области одинакового конформного типа конформно отображаются пруг на друга (классическая теорема Ригана). 6 многомерном же случае ситуация совершенно иная. Уже две простейшие области - шар и полукруг - не отображаются биголокорйно друг на друга. Поэто-.ту очень ваяно иметь запас областей, которые друг другу эквивалентны.

Начало геометрической теории функций многих комплек-.-ннх твремзшшх можно отнести к времени, когда К.Кэратеодорп !19йЗ г.) и С.Бергман (1929 г.) определили для областей в (Г," зетрики, инг.зрпантные относительно ¿«голоморфных преобразсна-шй областей. Новый импульс развития теория' получила в шесги-юсятнх годах, когда О.Кобаяси предложил удачное в.идоизмене-ше метрики Каратеоцори. Псе эти метрики обоб^а^т на вольта > )Язгл9рностп гиперболическую метрику Пуанкаре плоскости Лобо-¡евского. 13 рагжах возникшего из работ С.Кобаяси, а также '.Ройдона, и бурно развивающегося гиперболического коиялекс-'ого анализа заняли свое естественное место теория нормальных емеНств гиломоррннх отображений, теория голоморфного и меро-[ор'гног'о продолжения отображений. Иншрнантнме глотрики нашли а-кные применения в теории групп автоморфизмов комплексных ногообэазиИ (С.Кооаяси, Р.Нарзсиииан, З.Кауп), теории прост-анств Тей/ммллера (С.Л.Круькаль, 7.Ройдон, К.Эрл, Й.Кра) других областях; Обнаружились глубокие сглзи гиперболиче-кого комплексного анализа о комплексной дифференциальной еомэтрией, особенно в изучении комплексных геодезических З.^еза!ггип/, лиЗу, ЛУГа^орт, М.Пудзуки, Е.Нолецкий, Ю.Хуру-ов).

:з

Ra основе изучения граничного поведения голоморфных отображений получен целый ряд результатов (С.И.Пинчук, Э.Бедфорд, Е.Вонг, Е.Рооей и др.) о голоморфной эквивалентности у.ли, наоборот, не эквивалентно, ти, а также о. структуре голоморфных автоморфизмов некоторых классов областей з С" ■

Цель работы. Диссертационная работа поелуща^а описанию ограниченных областей биголоморфко эквивалентных друг другу с помощью инвариантных метрик и исследованию вовро.са о про-долгонип голоморфных отображений шаров в ?рбадси

объемляющпх областей, до отображений самвд областей.

Методика и осле дова ния. Работа оснрвауа да тшен.ещш методов геометрической теории функции многих кошл^ксних переменных. Испояъзованн также методы теории, йомдл^сдой дифференциальной геометрии. •

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми,

1. Дана характеразадал шара с иоглощыо инвариантных метрик .

2. Получены' достаточные условия бяголомо^р% эгавива-лентности ограниченных областей своим индикатррдаг.ь

3. Изучен вопрос о продолжении голоморфных отображений шаров в метрики Кобажш объемляющих областей^ до,отображений самих областей.

Практическое и теоретическое значение. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут, быуь использованы в иссяедовезяях по комплексному'анализу тл1вдлпл^ксной дьффарвнциальяой геометрии.

Апрооашг р?ботч, Результат!: работы докладывались на шкоде-свшнарв "Комплексный анализ и математическая, физика" (Дивногорвк, 1987), Всваоя.июй конференции "Актуадыше вопроси комплексного анализа" (Ташкент, IS39). Советско-итальянском симпозиуме (Самарканд, IWO), па научно-исследователь скпх семинарах института натомат'.'ки СО АН СССР- по, комплеко-

юму анализу и топологии,руководили ¡л профессором С.Л.Крушка-ret.'., семинаре по анализу и геометрии,руководимым акашяжом ).Г.Решетником, а также ни семинарах математических факультете в Ташкентского госуниверситета, руководимым чл.-'сор. /Щ 'зССР А.Садуллаовпм, Башкирского гссуниверситота, руководимым проф. С.й.Пинчуком, Красноярского госуниверситета, руководимом проф. А.П.¡Опаковым.

Публикация. Основные рвзультэтк диссертации опубликована в работах ¡I - з] .

Объем работы. Диссертация изложена па G2 страницах, юстоит из введения, трех глав и списка литературы из 54 «именований.

ОБЗОР ООДЙК-ЖКН РАБОТЫ

Бо введении обосновывается актуальность теш и приведе-ш формулировки осноеных результатов диссертации.

• Первая глава носит вспомогательный"характер. Здесь при-зедены основное определения, некоторые известнее результаты ) строго псевцоЕЫпуклих областях и об инвариантных иэтрше, 1ео<5ходимые в дальнейшем.

Во второй главе дана характеризация шара через иива-эиантнив метрики. Дсказаьи следующие основные теорегльи -

Теорема 2, Пусть Х>с. С" - строго псевдовыпуклая збласть с вещественно-аналитической и одноовязной граштей, £сли ее метрика Кобаяси Кп эрмитова в окрестности некоторой граничной точки Х> • то £> биголоыорфно яквкваяектнэ "ару.

Теорема 2.3. Пусть 1> с. (Сп - строго псевдовыпуклая Область с сд.юсвязпой Сгладкой границей. Если ее метрика Кобаяси К £) эрмитова г, окрестности , то J) биголо-' .горфно эквивалентна шару.

Те opería 4. Пусть ~Э с <£'* - строго псевдовыпуклая область с одьосвязптл границей. Если se метрика Кобаяси К-г_. эрмитова и Сы - гладкая з окрестности Э2) , то J) биголо-лорфно эквивалентна шару.

Эти результаты усиливают для областей в С" известную теорому Стентона ^, согласно которой связное полное гиперболическое многообразие, у которого метрика Кобаяси является эрмитовой и имеет класс С 00 и хотя бы в одной точке совпадает с метрикой Каратеодори, биголоморфпо эквивалентно шару.

Как показывают приведенные выше теоремы, в теореме Стентона (в случае областей в С" ) можно опустить условия совпадения метрик Кобаяси и Каратеодори, а в случае областей с с 03 - гладкой границей кроме того, отбросить условие гладкости метрик Кобаяси, и наконец, в случае областей с вещественно-аналитической границей достаточно потребовать эрмктовостъ метрики Кобаяси лишь в окрестности некоторой граничной точки. Зшвтим, что для строго' псевцовыпушшх областей из гладкости границ, как показывают результаты Л.Лем-перта и Ю.Хурумова вообще говоря, не вытекает свойство гладкости метрики Кобаяси. Мы приводим примеры, показывающие, что условия зрмитовости метрики Кобаяси и односвязности <дЪ в теоремах являются существенными.

В § I третьей главы исследуются индикатрисы ограниченных областей. Обозначим через

'(Ъ,р) = { ir е Сп : CD (р, ir)< 1} •

Stanton. O.K. к characterization of the ball "by its

intrinsic metrics// Math. Aon.-1983.-V.2?1-

Lempert jl. Tntrinaic metrics// Proc. Symp. Para

Mat h. -1 cj 64. ~V. ■. - p. 174-150. '

1)

ХурумоЕ Юл]. Гладкость собственных голоморфных отображений и инвариантных метрик строго псзвдсвипуюшх областей // Школа-семинар "Актуальные вопросы комплексного анализа": Тез.докладов. - Ташкент, 1989. - С. 133.

индикатрису метрики Каратеодори Cjy . Справедлива следующая теорема о биголоиорфной эквивалентности ограниченной области своей индикатрнсе.

Теорема 3,2. Пусть £> а Сп - ограниченная область и для некоторое! точки р е D существует голоморфное отобра-;кенпе Г Iе (Т>, р) D . Если при этом F to) - р . dr0 ( Iе (t>, р)) = JcCD,p) , то отображение F биголо-морфно.-

Следующая теорема Является в некотором сшслв обратной к теореме 3.2.

Теорема 3.3. Пусть J) £.п - ограниченная выпуклая область И для некоторой точки р& Х> существует голоморфное отображение F : Х> —> Xе CD, р) . Если при этом Flfij-^o и cLfe ( Хс<Г>,р)) - Iе С Ъ, р) , то очобрт&Шь F бигологлорфно.

64 Йх теорем, в частности, получается описание областей,- у кб'/opux индикатрисы являются классическими областями .

Следствие'. 3.5. Если в условиях 3.2 и 3.3, индикатриса тс ( 2>, р) есть одна из классических областей % {с точностью до биголоморфизма), то область JD биголоморф-но эквивалентна Ж, .

Во втором параграфе третьей глэеы изучается вопрос о голоморфном продолжении отображений шаров в метрики Кобая-си объемляющих областей,' до отображений самих областей..В случае строго выпуклых областей равных размерностей этот вопрос рассматривался в работо . .

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.6. Пусть X) с- С" - строго псеЕЦовыпук-лая область с вещественно-аналитической и односвязной границей, а д. с с" - строго внпгеслая область с вещественно-аналитической границей ii пу сть HJp-i с Т> л б-

а ^

11 Bland J., РисЬадо Т., Xalka М. On the automorphism

group of strictly cenvox domains in Q " '// Contem-

p orary s;ath. -1 Sb6. -V. . -P. 1У-30.

пары одинакового радиуса Ъ относительно расстояний Коба-яси в этих областях. Тогда, если точка р достаточно близка к грзнице . 10 всякое биголоморфное отображе-

ется цо биголомор!)ного отображения / £> —:> о-

Для собственных голоморфных отображений в пространстве большей размерности справедлива следующая теорема.

Теорема 3.8. Пусть с С % и £ с - строго

выпуклые области с Еещественно-аналитическимя границами и пусть к - шары относительно расстояний

Кобэяси соответственно в Х> и (г • Тогда всякое собственное голоморфное отображение /: Х>ъ(р) —> такое, что о, и отображение Ы{р ; Т* также является собственным, продолжается до собственного голоморфного вложения / Х> & и это продолжение будет вещественно аналитическим в т) .

В заключение автор выражает глубокую благодарность Профессору С.Л.Крушкалю за научное руководство и всестороннюю поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих- работах.

1. Тишабаев Дж.К. Инвариантные метрики и индикатрисы ограниченных областей в С" // Сиб. мат.журн. - 1939. - Т. 30, ]( I. - С. 216-216.

2. Тиаабаев Дж.К. Харэктеризация шара с помощью ма-три- ■ ки Кобаяси // Школа-семинар "Актуальные вопросы комплексного анализа;- Тезисы докладов. - Ташкент, 1989. - 0. 11?.

3. Тишабаев Дк.К. Об областях, бигогомор-Тлю эквивалентных шару // Сиб. мат.журн. - 1Э91. - Т.32, ^ ?.. - С. 193-196.