Траекторная классификация геодезических потоков лиувиллиевых метрик на двумерных многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

р Г о ОД

о ^г' 7 ^ ""

ч и Ъ На правах рукописи

УДК 515.1

Селиванова Елена Николаевна

Траекторная классификация геодезических потоков -ямуви.ллевых метрик на двумерных многообразиях

01.01.04. - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

к

А*

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — академик РАН А. Т. Фоменко

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор А. М. Степин, кандидат физико-математических наук,

И. А. Володин

Ведущая организация — Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится ЧФМ?ЛЛрЛ- 1995 г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических

наук, профессор В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важное место среди гамиль-тоновых систем занимают геодезические потоки так называемых лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях.

Риманова метрика называется лиувиллевой, если в некоторых координатах она приводится к виду

ds2 = (h(x -f у) — f(x — y))dxdy.

Один из самых ранних результатов о свойствах таких метрик — это замечательная теорема Дини1 о том, что если существует диффеоморфизм конфигурационных многообразий, переводящий геодезические одной метрики в геодезические другой, то обе метрики являются лиувиллевыми.

Рассмотрим линейный элемент в локальных координатах х, у в области U:

ds2 = A (x,y)(dx2 + dy2).

Рассмотрим кокасателыюе расслоение T*U — симплектическое многообразие со стандартной сим-плектической структурой.

Геодезический поток метрики ds2 = A(x,y)(dx2 + dy2) — это гамильтонова система v = sgradH в ко-

1 Dini U. Sopra un problema che si présenta nella theoria générale delle rappresetazioni geografice di una superficie su di un'altra// Ann. di Math. Ser. 2, T. 3, 1869, 269-293.

касательном расслоении T*U с гамильтонианом

н== Pj + Pj А(х,у)'

Общеизвестно, что проекция решения системы v на конфигурационное многообразие — это решения уравнений геодезических данной метрики.

Дарбу2 доказана теорема о том, что метрика является лиувиллевой тогда и только тогда, когда ее геодезический поток обладает дополнительным интегралом, квадратичным по импульсам и независимым с интегралом энергии.

В классической литературе обсуждался и вопрос о том, сколькими способами данный линейный элемент можно привести к лиувиллевому виду.

Развивая результаты, полученные С. Ли и Дарбу, французский математик Раффи3 получил окончательный ответ на этот вопрос. Им доказана теорема о том, что линейный элемент приводится к лиувиллевому виду с помощью пар функций h, f и X, Y тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство:

2(Х - Y)(h" - f") + 3X'(h' - /')-

2Darboux G. Leçons sur la théorie generale des surfaces et les applications géométriques du calcul infenitesimal. Paris, Gautier, Villar, 1891.

3RafFy M. L. Determination des éléments linéaires doublement harmoniques. // J. de Math.,4 ser., 10(1894).

-3¥'{к' + /') + {X" - У")(/г - /) = 0.

Это уравнение Раффи удалось применить к некоторым специальным видам метрик и полунить описание их классов изометрии. Однако это уравнение не дает ответа на вопрос в случае произвольной метрики, в частности, глобально определенной лиувил-левой метрики на торе и сфере.

Таким образом, различные свойства лиувиллевых метрик, главным образом локальные, активно изучались классиками прошлого и нынешнего веков, ими был получен ряд классических по своей красоте результатов.

Новый подход к изучению глобальных свойств лиувиллевых метрик на 2-многообразиях был предложен А. Т. Фоменко.

Рассматривается геодезический поток лиувилле-вой метрики — гладкая динамическая система в ко-касательном расслоении к многообразию. Эта система является интегрируемой гамильтоновой системой (наличие дополнительного квадратичного но импульсам интеграла было отмечено Дарбу в [2]). Таким образом, для геодезичесих потоков лиувиллевых метрик на 2-многообразиях применимы результаты теории классификации ИГС, изучаемой в рабо-

тах А. Т. Фоменко и его учеников. 4 5 0 7

Здесь важно отметить, что В. В. Козловым8 и В. Н. Колокольцовым9 было доказано несуществование аналитического но ипульсам интеграла у геодезического потока римановой метрики на поверхностях рода д > 1.

Определение. Две гладкие динамические системы называются непрерывно или топологически траекторий эквивалентными , если существует гомеоморфизм одного многообразия на другое, который пе-

4Fomenko А. Т. In: The Geometry of Hamiltonian systems. Proceedings of a workshop held June 5-16,1989. Berkeley, N.Y.: Springer Verlag, 1991,р.131-339

5Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности.// УМН, 1990, Т.45, вып.2, с.49-77

6Болсинов А. В., Фоменко А. Т. 'Граекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I// Мат. Сб., 1994, Т. 185, N4, с.27-80

7Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. II// Мат. Сб., 1994, Т.185, N5, с.28-78

8Козлов В. В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем// ДАН СССР. 1979. Т. 249, N6, с.1299-1302

9Колокольцов В. Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом.// Изв. АН СССР, Сер. матем., 1982. Т. 46, N5. С. 994- 1010

реводит траектории первой системы в траектории второй системы с сохранением их естественной ориентации, при этом не требуется, чтобы сохранялось время вдоль траекторий.

А. Т. Фоменко и А. В. Болсиновым была поставлена задача о траекторией классификации геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях. Заметим, что эта задача является в некотором смысле двойственной к выполненной (уже более ста лет назад) геодезической классификации Дини, см. выше.

Основной результат пастояхцей диссертации — это классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе с точностью до непрерывной траекторной эквивалентности. (Далее всюду для краткости будем говорить просто о траекторной эквивалентности).

Как следствия траекторной классификации получены и условия Дини для геодезической эквивалентности рассматриваемых пространств, условия эквивалентности двух лиувиллевых метрик на торе (в смысле существования замены координат, переводящих одну метрику в другую) и критерий замкнутости геодезической лиувиллевой метрики на торе, выпущенной из данной точки тора с заданным начальным углом наклона.

Цель работы. Провести классификацию геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном

торе с точностью до гомеоморфизмов, сохраняющих траектории.

Методы исследования. При доказательстве основных теорем использовались различные методы дифференциальной геометрии и теории интегрируемых гамильтоновых систем.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Проведена топологическая классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе.

2. Найден инвариант, классифицирующий геодезические потоки лиувиллевых метрик на торе с точностью до траекторной эквивалентности.

3. Получены различные следствия траекторной классификации, в частности, о свойствах геодезических рассматриваемых метрик.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезными специалистам, работающим в областях дифференциальной геометрии и гамильтоновой механики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на международном рабочем совещании "Вещественная алгебраическая геометрия, симплектическая геометрия и гамильтоновы системы" (С.-Петербург, 1992), на семинаре в Тюбинген ском Университете (Германия), на научном

семинаре "Современные геометрические методы" кафедры дифференциальной геометрии и приложений, а так же на семинаре кафедры функционального анализа механико-математического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.Диссертация состоит из введения и двух глав, включающих в себя 9 параграфов. В тексте диссертации приведено 14 рисунков, поясняющих или наглядно иллюстрирующих некоторые результаты. Список литературы содержит 42 наименования. Общий объем диссертации — 88 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагается история вопроса о лиувиллевых метриках на двумерных поверхностях, приведены наиболее значительные результаты классиков (Дини, Дарбу, Бианки), относящиеся к этой теме; формулируется задача, поставленная А. Т. Фоменко. о классификации геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях с точностью до гомеоморфизмов, сохраняющих траектории. Здесь же дано описание инвариантов, введенных А. Т. Фоменко и А. В. Болсиновым, классифицирующих ИГС с точностью до траекторией эквива-

лентности, а так же сформулированы основные результаты диссертации.

Рассмотрим T*T2(x,y,pi,p2) — симплектическое многообразие со стандартной симплектической структурой, где (х,у) — локальные координаты на Т2, а (Р11Р2) — импульсы.

Определение. Риманова метрика на торе называется лиувиллевой, если существуют глобальные периодические координаты х и у на торе, в которых метрика имеет вид:

ds2 = (f{x) + h(y))(dx2 + dy2), x e [0,Tr], у € [0,Ty],

где Tx и Ту — периоды решетки, задающей наш тор.

Рассматриваются гладкие функции / и h.

Геодезический поток лиувиллевой метрики на торе — это ИГС в Т*Т2 с гамильтонианом Н и дополнительным интегралом F вида:

Н =

,2

Кх) + Ну) '' р _ ~

/(*) + %) '

В §1 первой главы диссертации устанавливается критерий невырождености (боттовости) интеграла F. Доказана теорема о том, что дополнительный интеграл .Р геодезического потока лиувиллевой метрики на торе является боттовским, если и только

если функции / и /г — тождественные константы или критические точки функций / и /г невырожденны.

Следовательно, в данной задаче боттовские потоки действительно являются потоками общего положения в том смысле, что они всюду плотны в множестве всех геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе. Далее в диссертации рассматриваются лишь невырожденные системы, то есть геодезические потоки метрик с морсовскими функциями / и /г.

В §2 предложен алгоритм построения топологического инварианта, меченой молекулы 1¥*(/, 1>.) рассматриваемых систем. Общий вид молекулы изображен на рис. 2 диссертации. Графы IV(¡г) строятся по графикам /, Д соответственно, по следующему алгоритму, см. рис. 2. Вершины графа /г) — атомы А, Рт, Ук, см. рис. 3.

Основная теорема топологической классификации приведена в §3.

Теорема 1.3. Геодезические потоки лиувиллевых лгетрик на двумерном торе тонко топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их молекулы \¥(/,1г) совпадают.

В реальных физических задачах часто встречаются системы с простейшим видом функций / и К.

Следствие. Класс топкой топологической

эквивалентности геодезического потока метрики

с функциями / и 1г, имеющих один максимум на отрезке-периоде решетки, состоит из потоков метрик с функциями /' и К' также обладающими одним .максимумом на отрезке-периоде решетки. Молекула я) имеет в этом случае вид, изображенный на рис. 4В диссертации предложен способ дискретного кодирования функций метрики так, что эквивалентным кодам отвечают тонко топологически эквивалентные системы. Код метрики (некотоая числовая последовательность) удобен тем, что он легко строится по графикам функций / и Л и позволяет утверждать о топологической эквивалентности систем без построения меченой молекулы (графа).

В главе 2 приведена траекторная классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе — основной результат настоящей диссертации — и установлены некоторые свойства множеств классов эквивалентности потоков.

Для классификации геодезических потоков лиувиллевых метрик на торе с точностью до топологической траекторией эквивалентности потребовалось ввести функции и специальные числовые последовательности на графе /г).

Каждому ребру е графа И/(/, /г), отличному от {а, Ь, с, г/}, см. рис. 2, ставится в соответствие функ-

ция вращения p{F):

MF) J Г Г -Г^—) 1 , ^ /е,

U^) = = К

(и, v, Т) = (Д, /, 7ЛХ), ео/ш е €

(u, V, Т) = (/, h, Ту), если е G W(f).

Обозначим [ре] класс сопряженности функции рс на /е. Обозначим [р] = {[/)е] | е € W(h) или е Е

т/)}-

Рассмотрим седловой атом ,S' молекулы 1У(/, /г). Ему однозначно соответствует последовательность «1, а2,..., а„ локальных минимумов функции и с одинаковым минимальным значением L так, что соединяющий их отрезок L € | u(s) — L >

0}, « = /,л.

Каждой такой последовательности ставим в соответствие упорядоченный набор

Л5 = (Аi : ... : An), Aj = y/uss(a.i).

Обозначим Л полный набор Л5-инвариантов.

Теорема 2.1. {W(f, /г), [р], Л) — инвариант, классифицирующий геодезические потоки лиувиллевых метрик на двумерном торе с точностью до топологической траекторной эквивалентности.

Содержание второй главы диссертации составляет так же изучение свойств множеств классов траекторией эквивалентности систем. Одним из таких свойств явилось существование в любой окрестности произвольной "неплоской" лиувиллевой метрики на торе в С ^топологии целого семейства метрик с траекторно эквивалентными потоками. Это предложение содержится в §2 второй главы диссертации. Утверждения, приведенные в §3 второй главы связаны с функцией вращения, как наиболее важной частью траекторного инварианта, особенно в случае, если функции / и /г имеют не более одного локального максимума на отрезке-периоде решетки, обсуждается условие монотонности функции вращения и приводится пример явного задания семейства метрик с траекторно эквивалентными потоками.

Для линейно-интегрируемых систем удается доказать и теорему реализации для допустимых значений введенного траекторного инварианта.

В последнем параграфе второй главы диссертации обсуждаются некоторые приложения траектор-ной классификации лиувиллевых метрик на 2-многообразиях: доказана единственность лиувиллевого типа метрики на торе; показано, как с помощью результатов из второй главы диссертации можно получить условия теоремы Дини о геодезической эквивалентности; найден критерий замкнутости произвольной геодезической лиувиллевой метрики на торе, выпущенной из некоторой точки тора с заданным на-

чальным углом наклона.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю академику А. Т. Фоменко и д.ф.м.н. А. В. Болсинову за постановку задачи, большое внимание и полезные обсуждения.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е. N. Selivanova Topological Classiíication of Integrable Bott Geodesic Flows on the Two-Dimensional Torus.// AMS, Adv. in Sov. Math., V. 6, 1991, pp 209-228.

2. Селиванова E. H. Классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе с точностью до топологической эквивалентности.// Матем. Сб., 183, N4, 1992, С. 69-86.

3. Селиванова Е. Н. Классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе // Труды семинара по векторному и тензорному анализу, вып. 25, ч. 2, 1993, С. 110-132.

4. Селиванова Е. Н. Траекторные изоморфизмы лиувиллевых систем на двумерном торе. // Матем. Сб., 1995, N10.