Новые соотношения для неванлинновских характеристик мероморфных и алгеброидных функций и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛЬВТВСЬКИП Д ЕРЖЛВНИП УШВЕРСИТЕТ ¡м. 1ВАНЛ ФРАНКА

О 8 ЛВГ »94

На правах рукопису

мохонько

Л НАТО Л П! ЗАХАРОВИЧ

НОВ1 СП1ВВЩНОШЕН ня ДЛЯ НЕВАНЛ1НН1ВСЬКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕРОМОРФНПХ ТЛ АЛ ГЕБРОТДНИХ ФУНКЦ1Й ТА IX ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.01. — математичний анал!'з

Автореферат

дисертацм на здобуття вченого ступеня доктора ф1зико-математичних наук

ЛЬШВ — 1091

Роботу нишнано на кафедр! вищо1 математики Державного университету "ЯЕвХвська пол1техн1ка"

0фИХШк1 опонеити: доктор ф1зико-штематичшк наук .професор Гр1шн А. ф.;

Ведуча орган1зал1я: Ф1зико-^гехн1чтй Злститут шзьких температур НАН Укра1ни

на зас1даш1 спеЩал1зовано1 вчено1 Ради Д 04.04.01 щи Льв1вському державному ун1верситег1 за адресов: 290000,1ьв1ь, вул. УнХверситетсгаа, I.

3 дисертао1сю можна ознайомитись в <31<5л1отец1 ЛьвХвского державного уыГверситету

Автореферат роз1слано /$ // и /7 /-¡^ 1994 р. Вченай секретар

доктор ф1зико-матемагичних наук,професор Громак Б. I.;

доктор ф1зико-матекетичних наук,професор Кондраты: А. А.

Актуалш1мь reí.ui.

В ыагематичиому аналТэ! ии1>часг1ш корнету «я-ьсл mojomopUbí-Ш1 функцЬм, (ЯлшХстг. дййлТдхень в анал1тичн!и теорП дифе-реиц1алыпк рТшлнь (д. р.) ирисшпона цШм I tsepowopjmn.î розв"язкш. В сучает1й загалънТн теорП шалШгчншс ФуикцТп центршшкз t,ilcue вжкас icopln розпод'Глу значень (.'о^юшруних ФушцГй. Ляп опмсу afocraimi сире.днього числа tí - точок паро-mplHol ФушшН I û круз1 [г : |2l<Z} 1з гфосдашиям I P. lie-вшмТнна (1925) дав означения характеристик A/U J), IИ ft, }),

í('¿,f) 1 в Tupnluax mix характеристик вдалося внразпти miiî-ышигоТшГ влаотивост1 иеролгар}дах I цГлих функцТЗ, надаги ïu

ТОЧ1ШЙ KlJIÍKlCIfflfl ümIct.

Числсп/íI podoTii нрисьченГ засгосувшшш дГеГ ïeoplï, попри-клад, «о атШтичпоТ теорП д. р. Ii анал1ти1шТй теорП д. р. одн1ем з осноших задач е пастутта: за виглндом р.Хвняияя одер-кати вислоилгоаяня про зрооташш розв"язку, про мохлип!сть аналТтцчиого (.иарог.орТиото) уродовжшш розв"язку на ас» пдо-щшу. Гезудматл nebr«uilimtBC£Koi ïeoplï застосовуыгьсд до д. р., почшапш з 30-х рокТв в potíorax ЙосТда (Д933), íí'It-ïlxn (1950), БшПрзна (1Г<54), А. Л, Гольдберга ( ÏSfîO) та Ini¡¡. Вменения шли« спТпоТдиашень в нованлШЦвсысН ïeopli дае мохшв1сть одер-душ-ш нов! факти в йнал1тичиТй теорП д. р. Ile лагаше Г в дснТй робот!. Б спою 4öpiy задач! шал1т!гшс>1 теорП д.р. стшулшалн дос,л1ддашш в невсил1|ш1всш1й теорП.

Шодо теорП хогшодГлу аначень в дисортацП розв"лзуотъся дпТ ofiHOWiI задач I: встеловлоеться взаемоой"язок м!;к не.ваид!»-лЧпсншш характерно'!'икош ме^и-оруних фунгсШИ та ïx уя&голъ-ac'itf,, a temos зн&Йдаща oufma Л)г«Г!1-ТмТшо1 ш:<1дпо1 ФункпГХ, не¡ч>шр.)И<) í к гутоь1п о,1л1СтХ. Ни"лзок mIv: mii.'ii по.вдгло в тту, )í;o ni onlnnt va Ix коиУ!нап[я доаполно кп;чпта гоыстшюетТ

клао1в мероыорфних функц1й, як! зедовольняють деяк1 сп1вв1дно- ' шення (диференЩаяьн! або функн! опалы¡I р1внязшя).

Користутись безпосередаьо озиаченняш нсванл1нн1вських характеристик, точно обрахувати 1х для конкретних фушшИ класться т1лы<и в дек1лы<ох прости прикладах. Налчаст1ше доводиться досигь наближепо оцТнгаати 1х зростшшя. Тому батано визна-чити взаемоэв"язок м1зк характеристиками ptsraix мероморЗпих фуикцШ. ЗгЗдио з псршою основною теоремою -Иеванл1тш У(-г ( ) ^Т('М) + 0(0 ^ a=C0'Wt. Давно стояла задача про залежнГсть м1ж характеристиками Til, ¡) , ДО $(г) , ?Л с - MQpowopIiia фушцЫ, ^(нду)-рац1шалнт фушсдГя в1д W I woporopbia в1д Z . Випадок, коли R.(?.,W) - ратЯояалъна дулкцГя в1д г I W ¿ розглянув S. Вал1рон (I93IJ. В1доыо, наск1льки ефективним виявилось знайдс-ис Ím сп1вв1диошв!шя в аиал1т1пш1й íeoplí д. р. ври доведенI теорекн МашдквТста (Г933). Метод ВалГрона Ictotho використо-вував рацТшальнГсть R('t,W) яд функнй в1 д ДОо-л згЛнних, I ш не дозволяе одержали iroTplcíjiI -нахл результат» в б1льш загаль-ному випадку. Перша основна теорема теорП розиод1лу значенъ троЦалшо пошрюеться на випадок, коли- заы1сть стало1 CL <3е-реться Функц1я 0.(2) 3 малпм эростшням иор1шяно з f , тоб~ то тока, гдо T('Z.Ct)= o(T.(z,f)) , г —«?. Для друто1 основ-но1 теореш аналог 1чнс узагальнення одержали Чкуан Ц1тай (1964) (для ц1лих iTpnralü), Остуд (Т9В5), ШтеГишец (ДСВб). Згадону вице теорему ВшЯрона иогша розглддати яд далоке узагальнення nepwol осноюпо! теорем;, Як 1з внутр1иньо1 логики тсор11, так I п огляну на 1'о:ш1в1 застосуваиня давно постала задача пош-рити теорему ВалХрона на випадок,коли косуТиТенти рацГональ-но[ (ГудкиГI в1д .f не стал! Т не шогочлени , a ueporop'tnl '¡угкШЛ.

Для эастосуваль дГнною буяа б I точна оиХнка невадлйшХвсь-

ких характеристик супервозицН рацЮнадшо! ФункиП R (W.....

4iiW(,) зыЬших W(i . , та мероморЬих ЛутшВ vV,=-|/<О

.. , а такой широких клас1» метдаор1нга.кривих.

0крем1 зрушешш буж: для многочлена вТд одл!сХ змГшо! оцТнку зварху одержит Рубсл 3 ХеллершгеКн (Î964).

Систематична вивчення зв"язк1в гл!ж характеристика!!! в склвд-Н1Й фушшН та пошрешя знайдишх спТввХдаошень на ОТлш строк! класи фрцэдш ( алгоброТда! цдокцП, шхокар^иГ к?шТ» ifonaufll мершор1«Т в пешгах областях) скдадаот ь змТсу по|.г-»1 глшзи робота.

1нтсгршм слтебраЗчинх д. р.,«поза ду^е pf,;o.a'.t.u i-uaimci-ut, е шогоэначнмш футпОяти Виьпетш взшсллосаьй шогоиньчиж хх)зв"яак1в д, р. природао почта-га з k -зтштцс «ЙппсцЫ Сшг. ф.) , особлшиш точками яких е критична Та-чтао особлива точка, I, шшшо, опз1.жша t-шаша kîправее ра!чних точек I полк*Яв. ПГд внлшом потреб пишаиодо! теорЛ'Т Л. р. Пенлево довТв узагалшешя ïeopem Мкара на au. ф. дом Сольберг (Т030), ВалГрои (1931), Ульр1х(Г.аТ) иобу^/валл для шх' ФункцТй теорТю рознодТлу зпетснь,- аналог 1чн у невашл'н-hlbcbklfl. Були довсдсн1 перша i друга осношГ теореш НошашЗи-ии', лека про догарл-îwWjiy похТдну, снХввХдноишня дсфйк-Яв, ЗрозумЬю, ГДО И ЙШИЛЙОЬ ТЬКОЖ ОСОбЛИВОСТ! I в1дм1н.чост1. По ии-шеотаблому вштристашш методТв теорП розиодГлу инапень до вивчення р1зшвг клас1в ал. ф. перешодяала вТдсутнГоть зеично1 для нерошрцлше ФункЩй <.( t fi власт«ЕОйт1 новшдПшЬоьких характеристик (вс1 символ! ОН) , оН), OiT(ïj)) розгедца-

ються при 2 -- о > )

Tit, Л4.Э) i Т(г,Ct) + Т(г, P) 0(i) (0

UI iieplBHOCTl лишались .иедоведешши для ал. ф. п1встол1ття. Трудайсть полягала в тому, що якщо нав1ть зяайтя прпйнятне оз-начишя, наприклад, суш двох ал, ф. o(.(Z), j3(2) (мояливо, з р1зною к1льк1стго bItok) ; то наперед (anplopl) не мозша сказати, ск1лыш bItok буде мати ал. ф. ci + j3 . А в означени1 неванлГн-iiIbcikoI характеристики ал. ф. ш к!льк1сть враховуеться. В за-галшому виводку тим б1лыке не мозша було засовами неванл1нн1в-chcoI теорП п1детупитися до вивчення, наприклад, диферешйаль-ного многочлена ' ...» I(П>) в1д ал. ф. |(2) з ал. к.

, роб обшнутн трудной^, доводилось обмежуватись, в деяк1й MlpI, шгучиими консгрукцГямн', кож |(z).- ал. ф., а коеф1Шенти CL(2)- одаозначн! функцН (Йос1да (1934), Кнщ! (1956), Гакштатер I Лвйне {1980} t^.IhuiI), Ц1 проблема розгля-нуто в § 2 гл.' I дисертанП.

Задача про розпод'Хл значень меромор£ио1 функцН по напрям-ках, вивчення асимптотики неск1нченнозначно1 функиН в окол1 трансцевдентно1 особливо! точки та 1нш1 88дач1 приводить до оцГнки логарифм1чно1 иох1дао1 1/1 функцН f , мероморф-но! в кутов1й област1 <£> = [я ; & ^ Clig 2 Hfi} . Б1дома особлива роль леми про логарифм1чну пох1дну в доведенн другоТ. основно-! теореми Нсванл1нни та II велике самостШне значешш в анал1тпчн1й теорП д. р. В 1925 р. Неванл1нна висловив врипу-щешя, що лема справедлива I для функцШ, мероморфшх в £0 . В I9W р. А. А. Голвдберг вобудував приклад, який показуе по-шлков1сть г1потези Неван'лЪши. 3 цього прикладу випливас, що для мероморфиих функцТй | (z) i Z е §b не мояна одеркати оШи-ку I I » була б р1вногл.Грною в1даосно C17.CJ Л .

Асимптотику логаркфмТчно! похТдно! в точках криво!,-де досяга-

еться максимум модуля )Яж>1 фугашй, две метод В1ма-

на - Вол1рона. Ц1 результата стаыгь незастосовниш, ямцо фувк-ц1я \ визначена не в С „аз сЯлъш складнШ област1 (кут, п1всмуга). ДШсно, метод ВГмана - Вайрона сшграсться на шжлп BlCTb представления фугашП в {г .' ¡ Z U R } зсЯотюл радом Тейлора, а тому неэастосовний до функцШ, мероморцпгх b'¡J_ , а тим tí Iльш, в ttyroBltt облает!. В як1Й ifrçMt юсе и тыш mowIu оц1пити модуль логарифлГчпоГ иох1дно1? Не шггашя доел 1до;услоя в § I гл.' II.

ВаадшХоть розхчшутих; задач теорП ро:тод1лу оначинь тЦд-тверджустьея tum, up в1драау п1сля ногюи ix дове/юнь я"яыш1С1 численн1 эастосувошя не т'Гяьки автора, але й Тлю J!ш1нú (Ï97?/, Ц. П. Петренка (1970), С. Банка^Ь??1), Гтиить.тера(!9Ш), ííímln-меца(19П2), 0. К. бременка (19П2), Ят<а(ШТ>К Хе !шшт (19т) Ян Чнуш.куня (.1992), Кататдлки {1993), Ю'ниунеиа ( Í993), та 1ни.

Ще Кош1 показав, цо при досить гироких припугаешш вТдаосно характеру д. р., йогчэ Тнтегради е шал7тачн1 функдИ. Тому . I нтегралп таких р1виянь шжна вшзчати звичаиниш мотодали тео-pll ijyinmlii комплексно! smThhoÏ. Всю шалХткчну Teopln д. р. не мокна ъклшити и теор!ю фушшП, тому що в тсорТ.1 шуякц1й не розглядастьоя гпп'шшя про 1снупсш« I знаходиашя р<ззв"яз-Klii. А от частицу, яку, моэга вклшити н теор!ю функцИ, Bplq I " Буке (.Т875) шшачшм так. " В шапки, кода моша нроТнтех'рува-ти д. р., надатагчаино р!дк!сн! I- повшш! розглядатися як ишят-ки; але молла розгдодати д. р. як означешгя функцТй I внвчати власгавостТ фушсПП! за взглядом р!вишь ". ЦТсю частиною теорх1 игалТтнчнлх Фуип<ц5й Тнтонсюзно заШ.ташсь у jrpyrli; полови»! Ï9 ст. I в першJй половин! 20 ст. Шкар, Бугру, Пенлове, JI. Фукс,

Пуанкаре, Нейман, .....Для прикладу нагадаемо.що ваялив! для

теорН функц! ¡i олТтчгчи! фуикиП Всйер.шраеса I wymculi Боссе-ля с !.'qonnf.j:jii«'j[ розв-дакпга пошшх алгеораВтшс д. р. йнову

- о -

spie Хнтерес до цього налрямку, коли буж розроблен1 нов1 адап-товак1 метода В1м§яа - Байрона, Невашйнни. Воет дозволили oxommi £>1льш широк! класи iiyinciilii наприклад, многозначн1 функ-Щ1 з однозначним модулем (Стрел1ц ) i або нов1 класи р1внянь. В остшш1 25 рок1в ними задачами Хнтенсивно займались А. А. Голвдберг, Ш. I. Стрел1ц, В.П. Петренко, 0. В. бременко, ... ; велика КЬакГсть публЬсаВШ з"явилась в СИЛ (Банк (1977), Х1л-ле (1976), Рубел (1966), Ян Чжунчжунь (1992),...), в ®>Н (ИяеЙн-мец (1988)Франк (1971), Фолышш: (1.985) ,...), в ЯпонИ (ЙосХ-да (1977), Года (1972], Янайхара (1982), Токано (19ВЗ;,...), в Ф1шшндП (1лпо Лсйне (1993) , Катаямяк! (1993.), ...), в Кита! (Хе Ютан (I98S), Иао Х1шн1 (1988),. ...)...' ' Окреслимо коло актуальных задач, як1 роэглвдаються в дисер-

тац11. Метод Б1мана - Байрона (1915 - 1923) дас можлив1сть

Д

одержат 1нфохшц1ю про Щл1 розв"яэки д. р; Наприклад, якщо I - цГлий розв"язок д, р.

Р - многочлен по вс1х зм1ншх, або розв"язок д. р. вищого порядку, що'задоволыие деяк1 умови, то для максимуму модуля

mj)

виконуеться р1вн!сть

С, f - константи, що визначаоться за виглядом р1вняння. Як вже зазнавалось, метод В1мана - Байрона використовуе кгали-в!сть представ леших функцЦ ^ в {Z : IZ|<RJ у вигляд! зб!ж-

I. Валирон К. Аналитические функции. М.: Физматгиз ,1957.-235 с.

НОГО ряду Тейлора. Ш. I. C'cpeJiIu 19(5 модоф1нувавши метод В1-мана -Вал1рона, показав, що якгдо меротрфний розв"язок | д. р. (2) мае " мало " шшк1в, гобто, якщо дефект a(co,.f)>p ,то текож виконуеться (3). Метод В Плана - ВалТрона I його модиуТха-цП описують поводження розв"язку на кхдаТй, де досягаетьоя. максимум модуля. Поводження розв"язку в Тншх точках плсщиш С заливалось невХдомим. В звгалшоиу винадку нХ метода и с-мозна застосувати до розв"язк1в, ыероморршх в С , а том бГлъ-ше до розв"язк1в, визначеиих в б1льи склсдаи областях, наприклад, в пТвплощин1, в п1всмуз1 еОо в кутовХй облает!. ДослГя-жеиню саке тайих розв"язк!в присвячена глава II.

Глобалш1 характеристики ТМ), ínMíz.f), A/fz,{) в термХиах яких сфориулюван! результата, одержан! методом BÍ--мана - ВалТрона I Иевашйшш (дшз., наприклад, фоумулу (3)) ,не враховутоть зростышя розв"язк!в в plsmix налрямках. Онисумта поводження мероморфюго розв"язку на довГльному промен! arto в дов!льн1й кутовХй област1, т заловнюсмо ню прогалшу.

йос!д1 11933) налвкить доведения теореми МалшшГста - верше застосування неванл!нн1всшо1 reopll до теорП д. р. В цШ теорем1. ствердгсусться, що якио р1вияшл

f'-=№,í) ■ w i

де k(Z,W) - радГоналыт ЯуикцГя вТд 2 I W , мае трокешп-дентний мерошр|шй розв"язок, то (4) е рЬншня РГккаг! (тобто R - многочлен стапеля вГдоосно VV) . Выявилось (гл.ХИ § 1), що висновки теорема эалшаюгься в сил! I тодД, коли в (4)' коеф1ц1енти I розв"язок ~ тршецендетн! фуикпЛ, вааяяво ляпе те, той Ш№дк1сть зростшнш розв"язку пертацудала шда1сгь зросташш 1соеф!1>1снт1в,

Користуотись методики теорП фушсцЩ, А. А. Голадберг (Í95S,)

всгановот, шо 0удь-який мертшрфний розв"язок д. р. (2)(l д. р. кергого порядку 61лип загалшого вигдяяу) мае скЮТенний порядок зростяиш. С. Т-ешс (19те) дов1в, що в загвльному випадку н&эХть для рХвняиь першого порядку э трансцендентнши коеф1ц1-ентеш, без застосувшшя 1нфорглаи11 про саг.тий розв"язок, жод-itoi оцХнки зростанпя ыеромор^юго розв"язку датя но мояна: для дов1лыю1 фузпшН г>0 , 1снуе мероморфиа функ-^

Щя К (2.) , ле € , гака, ио T(z,k)¿ 0( Ф(г)) I ÍI-'

розв"язок д. р. -О , де CL(г) - мероморфна Фунх-

ц1я порядку ^ < I . В гл. III розглядасться питания про те, як опГнити мероморфшй розв"пзок алгебраХчного д, р. Р(н ,„,

з меромор!шми коефШентэш через косфШенти р1вняннл, враховуючя к1льк1сгь нуПв I полюс1в самого розв"язку Як встановив Пуанкаре 1, 1сную$|, мероморфн1 функц11 -f,

,,,, ио задоволшягаь теорему множення: лкщо ГЛ.6 С ( ГП >

>1 , то виконуеться fj (W2) = Rj fftfc))>

HgC'; i,..., fL , де Rj (W, , ...W^)- Деяк1 раШоналнг1

функпН tío W 1(,„ ( Wn . Ж, Вал1рон * знайшов порядок I тип ме-роморфного розв"язку рГвнязшя .f (rnz) -fl (z(?-)) i Iii-лого розв"язку фушц1оналыю-диференц1агагаго р1вняння

$ (mí)¡ml>.i , ßfc.w)

- рац1ональ-

на фуикцТя но Z I W . БеЯкер, Гросс (1968), Голвдигейн (1978) вквчали властивосг1 ыороморфних розв"язк1в р1вняння ■ffálz))-- f(P(2)) Д рГвияння ?(C{,(z))=<j{i)f(Pfe)) , де

Р(2), - многочлена. Природиою е задача (гл.1У

дисертацп)

njo 1снуваиня I 8сиштотичл1 властивост1 й1лих

»

I. йалТрон Ж. Аналитические йункщш. !.). :Физматгиз ,1957.-235 с.

- TI -

розв"язк1в еиотеми Д. р.

m, &еС , lfhl>i , Pf(?.,Wit... ,W„> - июточлши по

W(.....\Уп I Щл1 функни no У. , a Ï3j;a:s задача про ьсш-

птотику мерошрфшх «tío алгеброТдашх розв"язк1в рТ вншня Ф (2, Щ (I )), Hf'ir-d) 0 . Де Ф(Е.П.гг) - «югочлгн но Ц "D' I мероморфна функцТя по 2. ; Ц{1) ( p(¿)~ ыюгочлон-..

Наукова новизна. Показано, що теорема Вал1роиа про невгшлТд-itlBCH'.y хачхастеристшсу кошюзццП рап1опалию1 I меромо1л}да1 фуикиХХ лад нолем раЩоналших функцТй вГрна I для шрокого клаоу Т - онераторРв над довТлишд полем. Доведено, up характеристика ¡ ал. ф. е Т - оператором; зокрека, для lux. о.

об te)', р(н)

вшонуоться ¡¡epIiiHOCTl (I!. Одержал I точи! оцТяки звс1)ху I зИиэу неванлГннТвстких характеристик шроких клаЛв меромор}иих I ангеброТдних ФуикцГй Т «epoMojuJuiix кр/лвнх. Доведен! асимптотичн1 оц1нки зростення bItok ал, ф. Ц1 оцТики роз-ширили шхливос'Я застосування теорГТ ршподТлу значень ыеро-MopÍHiix функцИ I дозволил« nepeíiTii в1д тиючешш однозкггпшх розв"язк1в д. р, з полйюмТалшиш косфГц'Генти до спсшыыч-

ного вивчення д. р. з тралсцендентниш коофШиташ, розв"яз-i

ки яких тть аягебра1чн1 осодлш! точки крлтичн! оеоОлив! точки, нолвси) î Iûïcîik) особлшу точку, йокрема, одержан! результате про розподТл злечень I. доведен! оцТнкн орлсганля меро-мор&шх розв"язкТь алгейраЬшого д. р. Pí:-í,f» f, •■• f^j --

= 0 з мершорТшазд коефШентамц. HI результат« ниретшаытьея э oalincaiai, дшими A.A. Голвдйсрт/, для д, р, 2-го порядку (I97H) I нГстять I уточпшгь результата Шига«»То?о (1913) , Баша (1.970), Ян ЧжунчлуинаЭТ';?) , Стре^'Гиа (\1Ш), Bïwïxa

та Ыю,

Для мерошрфнс£ в кутовй ойластГ функаП одержана

оцГнка .|f{2)/?(H)| .

Показано, що довГлъний мерошрфний б кутов1Й oÓJiacrl {?

osigz izl^ajposB^soK д.р. P(zjt¥')=0 вба P(Z.,&t¿, f- f')-0 , a o P - многочлен по bcIx зм1нних,мае ск1№»еншй порядок зростання,

Вбхйй

pjz,i f'h о, &

де Рп _ Pri i - алгебра1чн1фувкц11 по 2 , причому F^ - многочлен стсиеш И по змЬмюс f, I , а - многочлен сто-

пеня П." 1 во зм1нншс . Для меромор|иих в кутовШ

облает! розв"язк1в р!вняння ¡6) одеркан1 асиштотичн! оц1шш на довТлыюгду промен1 ado в дов1лън1Й kjtobIíí п1дооласт1. В то му частковому випадку, коли розв"язок голоморфгай в С з дах оц1нок слГдують в!дом1 тло(Залш1 оцГнки, одержан! методом В1ма-на - ВалЕрона. Асимптотика для М1н1муму модуля мероморфного розв"язку е новою I для голэморТяих розв"язк1в. Аналог1чн1 оц1нки одерхан1 для мероморфшис в п!всмуз1 { § = X + Ly,; ; X ^ CJ., О $ У J розв"язкТв р1вняння

ZZ (wiV'(Cyto(í))54«ee40

• е С , dks , k¿¡eR, - Описано поводжеи-

ня розв"язку рГвняння (6) в okojü трансцендентно! особлива! точки, де розв"язок мае неск1нченну множину bItok.

Доведена теорема Icir/вапш ! дана оШнка зростання и1жх розв"язк1в систсми д. р.С5).

Доведен! асимптотичн! од!нки мероморгиИх I алгебро1днюс роз-

в"яэк!в функционального I дифереша'алыю-фунюЯоналыкям р!в-

нянь р(г, I (фг)), Р(Я)))=0, р(2, Г^н))) - о , ¿¿С > - шогочлепн, Рб^Л'.^ - шогочлел

по Ц I и I мвромор^на (алгеброШт) ФункиХп по I ..

Вастооувашш. Робота мае теоретичний характер. ОдержалI ре~ зулътати можутъ бути вшориотал! 1" в-ке застасову№.ся при дос-лТдженн1 задач георХХ розиодГлу значень I в шал1тнчн1в тсорП диференцХалишх 1 фуш{ц1оналших р1вштъ. Так одПгка логириф-нХчио! яохГдноТ 71 кутопТК облает! коке бути корисно» пу« ьш>~ ченн! рознодХлу значень моромоуфно1 функцП по шшрвдкап Т. для огшеу асшлптотичних властнвостей ыеромор|них розв"язк1в алгеб-

раХчних д. р. по променян 1 в кутових областях. Теоропи про не

«

вшл1ннТвсши характеристики ал. ф. дозволяют ь вивчати власги-вост'1 класХв функции як! задо^олшпоть деякI" си[вь1днош<;тш, наприклад, ди>1ерешйалш1 Т фунюЦоналыП рТшялпя.

ВмГ.ст тоботи. У глав! Г вивчпклься спТв»1диошшя харг.к-теулстиками дояних клао!ь ал.ф. та мерошрУлих кривих. Нозначи-мо 1(2.)*= Мл , як;до | - меро!.Ю]фна фуш»Г.я в Й) - {Ъ '.121^ к' ] . -Г со. Нагадает, ¡до -¡эпичною алгобкЛднои ФункЩом пазивасться розв"язок (-1 - (((.?) рЛышшя

. Якщо в (?) , то р1шпиня (?) визначас ыоро-

мор!иу Ч'ункн"|У1. Особлившл! ТОЧКШ1 ал. ф. с критична 1етотно особ липа точка та, тздгоо, ньск1ичеша к1лы<Тстъ, крнтичних алгебраТ'ишх точок та пол.осХв.

Иехай М - дсяко ночи. Через .А цозншш.-о к лас .ЬдошМ

ЛСОМ). о^-гс/е , ■ . ¡¡оха; Т(?.4),4сМ'

ащжир 1 : М — А , тшш^.цо'

1. Т(г,*1-Ю£Т(Ы)'+Т(г1'р) + 0(1). z. T(z.d-p)gТМ) + ТМ) + оШ, з. Tfc.cft ^sTMJ + OiO, 4 Т(г,~) =Т(г,са + 0(1). '

Так! оператора будемо називати Т - операторами, Мероморфн! в облает! SD ФункпИ утворююгь поле. Якщо |fe)e MR ( то серед

•иршслад1в Т - оператор!в мозша назвати неваил1нн1всысу характеристику Tfc, I) (1925] , характеристику Д1нпсаса (1961) ,С1м1д-зу - Альфорса ''TitJ) (1929), характеристику В. П. Квбайли

(1973). Т - оператором с характеристика Хельстрьома для функ-Шй, мероморфних в дов1лън1й област1 (1940), а також неванл1н-ц!вська характеристика (1925)та характеристика Иудз1

для функц!й мероморфних на л1впло1щш1 (1950). Для Т - операто-р1в виконуеться

Теорема 1.1Л. Нехай

г _ = amf+ •■■ + CL<f+a0 ~ CM*)' IJ't ...+4J + 6о '

^Л-Л^сиЛ^, d-maxim t) при_

Ч0му ^tn^' ^t^^ взаемно прост1 як тотачлена в1д ■f над полем 1 I . Тод1

♦ 0( ггт^аи^дт^д

В § 1.2 дасться означения арифлетичних операцХй над миого-значнши ал.ф. В теореМТ 1.2.1. доведено, що неванл1нн1вська характеристика Fi?,!) ал. ф. f е Т - оператором. Зи1дсп сл1дуе, що для ал. ф. справедлива теорема 1.1.1. Теорема 1.2.2. Пехай

г - /V г/' /р

Qfergijii "Л /rfrvt -Л ,

о о

де ^(Н), 2е X) _ ajtrecSpoJwfT_ij - шачц! функцП.

Н = (/.А.....V, ГЧ*„Л.....агр) ; .H.rez;';

^о.'а ~ скТичсш! Шданожшш Позначико

d: - maxi max h mcix if } гГт.Т

1 1 HtHa J ' ГйГо 1 ' ,U

Tb.FlzZ.' dT(W+'0(0, <*>

J-o 4

причому В (8) можлива р1вн1сть, ^

Теорема Т.2.3. НехаЙ Ffc) = (2d f + ... + aj +Cl0 де

j=o Ci J ' J

причому в (9) ыоилива р1вн1сть.

.В § 1.3 одержан! вице результата узагальнюються на характеристики MepoMopiiOK крмвих та дасться опШка зроствгаю окро-«лес bItok ал. ф.'

Розглянемо ал. ф. й(л) , яка шзннчастъся р!внянлям (?), причому коефГиТенти

P,(z)»2:®lau.(2)fjf Osiik .

1 j=O g • Сю)

a(j (г) , f (H),; MR \ С'Ь max зе. , ozisk . Доведена Теотома 1.3.2. Якщо £ - ашчна ал. ф. Ll(i) впзначена Р1в-

- Iß -

няшшм (7), (10), пркчому наШлышй сп1лышй д1лышк коефШен-' Tin Pt {як шогочлен1в в1д |) дор1вяю€ одишйП, то

{TM) + O&Ti'i.aJ).

В останн1й теорем1 одержат усереднена оШлша сукутшост1 k bItok ал. ф. Мохна оцЬяяи зростання окре?люс bItok. Для цього упорядкуемо значекь ал. ф. LI (2) за спадашям модуля llljl^ ... . Тод1 (теорема 1.3.7) TftJ^l)0

= rfTfef) +• 0(2 , де визначаеться з

вкгляду рГвнялня (7), (£0). Аналог1чн1 оцГнки мають м1сце I для 1нших bItok.

В гл. II одержана ойнка логарифм1чно1 пох1дно1 меротр1яо1 в облаем zz lzl<R ] фуикт4

3 rxlel оцГнни слХдуе,(теорема 2.1.fj), що ягацо | мае скЬгчен-ний порядок Р , ОС = 0 , p~ÜL ,то (£>0)

< КТг|гр+г+Mn'tcuigz), нё Е,

Е - множила крут1в з1 ск1нчеюгаю сумою рад1ус1в. В § 2.2 доводиться теорема про обкежен1сть порядку зростання мероморфного розв"язку алгсбра!чного и.р. Нехай дано д. р. .f" , rn-j

ae.

Q.-^fiA^l Офт,

внал1тичн1 функцИ в облает! Я) = {z:(i<OJlCjli?ß, iZi^JnpmoMy при Izl'*00 мае м1сце

ßjn^) ~ 'IiyHKirti MepoMopJ«! в crJineKHlü шки-кн! попа доя-

коп множило!) Гзольовшотх тоток.

Теорема 2.2Л. Незвй геромор^иа в облаетI функйГя У>/(Ю е розв"язком д. р. (II). Тод1 для деякого Р<+со (яке внзнвпа-

частвся з вигляду р1вняння) виконуеться Якщо - голоморфна в ю функгШт, то при

, 0<&<(р-а)Л виконуеться

¿п^(г)|<Л|2| , Д=К<5 , К= сопьЬ. В § 2.3 - 2.4 вивчаоться розв"язкид. р.^

та

с+^п (ККя *

причому коефЩенги в л1внх сторонах (12),(13) твк1, пр ¿§±к л/Р.

.....и

Через Е позначимо мноямну круг1в 1з ск1нчетюю сумою рад1у-с1в.

Теорема 2.4.2. Ягацо ^(г), "¿е2) = (2 с((Ж^Ъ^р, | Ъ 1^0.) ~ ДОйлншй мероморТпий розв"язок д. р. (12), або ме-роморГний розв"язок оконченного порядку$ д. р. (13), то

а) Гснуюгь Ц^О кутГв (2 : ^ < СШд Ъ < }. . иа яких

¿-■I *

б) 1снують ¿^>0 промен 1в ( 2. 1 Сшд £ = ^ } , на яких

inI, еёд , теьА<°° ■

в) на доповшш1 до вдх кут!в I иромен1в I аовн1 шокшш Е

¡4(zelif)l<z"hi , г>гМ, t>ot

Числа )}tJl\ l/t, Cu , ^ визночаюгься з вигладу д. р, (12) ado (.13).

В теорем! 2.4.2 родиться пршуцення, що ыеромор1«ий розв"я-зок д. р. (13) мае порядок ¿{<ьо , Для розв,'язк1в д. р.(12)ыя вшога заАьа, тому що за теоремою 2.2.1 иероыарЗн! розв"яэки д. р. (12) мают ь ск!кчешшй по1>ядок. Для мероморфних розв"язк1» . д. р.(13)це твердаешш не доведено, однак в1домо що будь-який ц1лий 10зв"язок д. р.(13)мае ск1нчекннй порядок. Теорему-2.4.2 ноша застосовуватн до р1внянь Пенлеве. Наприклад, р1в-

няння Пенлеве Н та /f"=i>f3f2f +Cf маоть

пасть т!лыси ыероморфн1 трансцендентн! розв"язк1 I B6I В01Ш сличенного порядку 2. 111 РТ^шшя вигдяду. (13), для них ыгконуотьсл уыови теореми 2.4.2. 3 доведения теореш сл!дуе, що для трансценденгних Пенлеве справедлива ацГнка

||(z)|<lH|Vf£ ( не(С\Е.

Ля ж оцГнка справедлива для функШ! Вейерштрасса <(P(i)l

2: £ С » яка с MepoMopjmiM розв"язком д.p. (-f ')Z~ l\ f -^f-fi* , &l=CO/Ut) (рХвняння виду (12)). § 2.5 Тозглянеыо д, p.

I. Валирон ¡¿. Аналитические фуншш. M.:<iii3Hal,mi3,19:5 7.-235 с, г, Boubioux R Su'l pLOfritdtb dei .fohdtoub

intlcn.ii>// Ada. та$.-т*1!-2э.-с,9?-го'1!

ÎiïfïiCbj^^lW^O, M

j-0

C^e С ; dkj , hkj e Щ Bcl коерШенти д. р.(14) - emuil-

отчнт функпН в £> = ¡¿S ОЛдЕ « р, |фа]. дад меромэр-

фшх розв"язк!в цього р1вняння теж виконупться тверджекня, аналог 1чн1 властивостям в) , б), в) теореш 2.4,2. Одавк в одному випядку вналог1я торрг/етъся, а само, мае м1сце

Теореш 2.5.2. НехпД |(z), 2 6 <S) - мероморфний розв"яэок (14). Якщо хоча <5 для одного променя {z ! CI/l^ Z~f0f

справедлива р1вн1сть

Zei>,T>0f то VHefzio/SÎ>R j виконусться

(15)

Прислал. Фути1я 2) _ розв"язок д. p.

, для не1 виконусться (15). В теорем1 2.5.3 твердження подМн1 теоремам 2.4.2 та 2.5.2 доведен1 для мероморфнях в п!всмуз1 [G, - X + : X^Ct, О у ^ Ж } розв"язк1в р1вняння

Роэв"язки д. р. (13), (14) мокуть (лати критотнГ Ictotho особлив! точки та логариум!чл1 осо(5ливост1, наприклад, Фуксц1я

W = \kn (ç/c) с-с ond - розв"язок р1вняння

В § 2.6 взшчення таких особливостей зводать-ся до вивчення голоморфных розв"язк1в д. -р. взгляду (13) ,(14) в област1 ¡Z! cL^CUZÇE^p

В глав! III ропгллдавться застосувашя неванлЗлшТвсысо! те-

opli та доведших в глав! I оцТнок до шал1тично! теорП д. р. Позначимо oÛ = {í : IZ | 2 }

Теорема ЗЛЛ. Нехай V -эначна ал. ф. f(í)¡ 2 t Ю - V>3~ в"яэок д. p. m fi-i

о' aJ"4J

де CiLj (I), геЮ - ал. ф. Якщо дли noix Cï,y виконуеться

Т(г,С11;)--о(ТЫ)) , ' (16)

то в д. р. (15) 171 - 2 У , t¿2 V-Z , (для однозначши меро-иорфних роэь"язк1в V- 4 Л ми одеркуемо рГвняння Пккат1 ).

Якщо в (15) коефШеити CL ~ ранГоналш! ФункнП, то умо-ва (Т6) означав, що | - трансцендштиа функцТя. Тому з теорема ЗЛЛ сл1дуе класична

Теорема Малшкв1ста (1913). Якщо f - трансцендентний меро-морфний розвиязок д. p.(í5) з рац1ональииш коефЩенгадш.то (Ï5) - д. р. Р1ккат1.

л ,,

Позначный через с)(а |) - дефект тршеценденгно! функцП s точц! Q . Настунна теорема характернее розибдГл значень

алгеброХдамх розв"язк1 в д.р. f <f(t) = | К t < ¿ J

1 = 0

(17)

'Ям , ' do)

J-IJJ,.....j>>

- мульт Индекс, CAj-(¿)- ал. фи *

иI::J01 j,t -к Теорема 3.1.2. Hoxaii ал. Ц, ¿fií). 2 £ - ^„"шок д. ь (Ï?), такий, ¡цо для bcïx-Oj ыксжусп.ся Tu.ít ).

_ = о(Т№),ЯИ,о S(lj)>0,

7 випвдку, коли bcI aT(H) - многачленй, - трзнсцен-

дентна мероморфна ФункцГя сличенного поряяку, пя теорема дова дена 1ниим методом Ш. I Стрел2цем (1963) . Роэгляиемо д. p. (I?), (10). Нехсй

Ш = + xL= ma.x(llJII : lThk-c}i

(QsiUfc) , Gk = max {1171/: UK ,as$0}

ge = max f max .4- gp se }

Теорема ЗЛ.З. Нехай M^ - розв"яэок д. р.(1?) тский, що ЦШ^О . Тод1 теМ<°°>

ae[MM)+A^f

Якщо, ЦШ^О, /1^(2) # 0 ,тоя1

rn^.fxZmap.oimf)). т Ifbk

ОвХнка (20) враховус к1лнс1сть нул1в I полюс1в самого розввяз-ку . Як вже в1дзначалось, в загалыгоцу випадку нав1ть для рГвнянь первого порядку э, трансцендентниш коефГцГентош без використання ГнформацП про са'.тий мероиорфний розв"язок людв j оЩнки розв"язк1в дати не можна. У випадку. коли в(17)во1 кое-фШенги Q j/2) - многочлени С. Баше (1970) одертлв б1лыл слабну, н!ж (20) .оцГнку, rata залежала в!д N(~l, 4 Mil, f)

) Умова A (i)$0 S одаХею з вншг, ъиконання «сих

дозволяв методом ВХмана - Вад1рона одерхати асишмотичну оцГн-ку к1зш разв"язк!в д. p.(i?) з иол1ном1алшиш коеф! ц'Гснташ CLj(z) . Заувшшмо, що для диференЩелшого многочлене

' Za./tfV зоввди /\кШ0. Теорема ЗД.4. Hexaii | £ Мое - розв"язок д. р.

PuJJtl ...JJ^Qk.f). ' (*>

де Р, Q - рацХональн1 фушщХТ в1д f, lY, > ■ •, ^ з мероморф-нш.ш коефШснтеш, причому кожен одночлен з Р мае виглнд

а одоочлшш з ч мають виг ляд

Назначш»

q, - rnca | IIJII: a^ 0}, p = max {|j|; .ax^0) ; dpdegfl . якщо ¡^(¡<d , *o ,

TW)=Ol±T(z&TU^TfrA)). ' (22)

Оц1кки ,подХ<Ш (22), одержан! в »еоремах 3.1,8, 3.1.9, •3,2.1, '3.2.3, .1.2.4, 4Д.Х та 1ни. Яку 1иформац1ю лесе така оцХнка? Як вже зазначалось, швидаХсть зростшшя розв"зку д. р. моле значка перевшцуъати ишидкГсть зростшшя його коефХцХент1ь наприклад, ФункцТя - розв"язок д. р. з постХйниш ко-

ифХцХентеш |'= , в для д.р. з гршюшидвитними коефТнХси-твми в аагалыюму вшхадку в оцГнцТ розв"язку треба враховувати. 1нформац1ю про сашй розв"язок. НерелХченГ шще теореми ввдТля-iWb класи рХвндаь, шаедкХств зростшшя ыерошрфиих хозв"нзк1в яких обмежена швидкХстю зростшшя коеф1цХснт1в. 3 (?;?,), наприклад, слХдуе: ящо коеф1хО"еити д.р.(21)- рапГоналшХ фушщ13\то | будь-який шроиорфшй розв"язок (21)- раиТоналвна функцЬг.як-

що КоефШснтя (21)- транс№вдента1 функцИ порядку р ,т0 1 мероморЗЕнГ розв"язкя (21) мають порядок sj р

Теорема 3.1.Иехвй , Н.е£) = {Z \г ! >Л } - го-

ломорфтой розв"язок (17), (18). Припустило, до в(17)зустрТлпеться т1лькя один додан гас з власт!тв1стю I J | = k. f II ]Ц " (5^ (див.(19)) . Тод1

tnMM) = 0(7tn7M(z.a)),

(23)

де И (l,Ct)= шах М(1,0-j/G.j^ ) t максимум бореться по

вс1х можливих частках.

Теорема 3.1.9. Якщо | (z] ( 2SЮ- голэмор^гай розв"язок

"д.р. Ж аajz),26$) -ивро.

морфн1 функцИ, то виконусться (23).' . Розглянемо д. р.

фГ2,"fI') = г'Kpj*№ МЩЫХ

J Uo J

Позначпш на плоиопт! систему i? точок (j, c£j ), O^J^k.', побудуемо для точок Q ламану Ньютона (л. Н.). Нехай c(,f ,„ ... ос, - кутов1 коефТцЕснта ланок л. Н.,

rL>dz> ...>ott .

Нехай ot=o6( якщо ci^S'O , 1накш oi=mtn{oi - ,^>0].

Теорема 3.2,1. Нехай € С - мероморфний розв"язок

д.р. (24) яке моке бути зв1дним з мероггор^иими коеф1ц1ентами Q.j . Якщо d>Z , то

тад = 0(5: Т(га )), гёд тем«*

(25)

Якщо I - Шшл розь"язок (24). о(>1 .то теж вшсонусться (25).

В формулившш! теореш 3.2.1 яЦпдаслено той факт, що многочлен мохе бути зв1дашм як многочлен в1д |, f над полем мероморфних ФункцШ. Це пояснюсться мм, що 1снуе класич-йа теорема Малшкв1ста (1920) (коректне доведения II вперше бу-ло дано 0. Е. бреыенком (Î932)), яка стверджуе: якщо | - транс-цендентцнй мероморфний рэзв"язок д. р. (24) з рац1оналшиш Koed фШентвми, незвТдний над полем рая1оналышх функц1й, то ch(j Pj < zj (К j £ & Д ue р1ъняння не ше рухомих осой-

лдвих точок. Р1вняння а з нерухомими оообливиш точками добре вивчен1 1. Б наш!й теореШ коеф1ц!енти Q-ij не зобов"язан1 бути рацГоналышщ фуквдТяш, .аде нав1ть I в тому винадку, коли вони рац1оналы(1 функцИ, теорема 3.2Л зберГгас свою ц1нн1ст£ сше тону, що не шшагао nepeEljKii неэв1даост1 многочлена ("а дам tîscoI нерев1рки в кагег.етичнИ л1тератур1, в з&галыюму випадку , немае ефекгивних критерПв). Розгляиеыо приклад.

Цехай дано д. р. КоефЩент

Pi = f8' 1 ) ^eCJ ^ = S > 2'3 = 2 ' j , 3 теореш !1алхи;в1ста

сл1дуе: ado це р£вняшяг звГдне, ado воно не мае трансцендент-нюс розв"язк1в. Застосуемо до нашего р1вняшя Теорему 3.2Л. В цьому plBimml BOI CL;(2) = CDtlbt , Эе=0,Э£-3 дв =

. ij i о > 1 . z

=0, Ж3=8 , olt=3 , ил= -f- oi >Z, 3(25)сл1дуе, що

д.р. не пае HI трансдендентних, ni рац1она-шшх розв"язк1в, в!да1нних в1д констант.

В теорем! 3.2.3 розглядаеться подШий результат для алгеб-

■I. Голубев В.В. Лекщш но аналитической теории дифференвдаль- ' них уравнений, М.-Л.: тага, 1950.- 4 3 6 с.

ро1дш1х розв"язкТв д.р. (24) з алгебро1дннмп коеф1ц!енташ.

Якщо в ломан1й Ньютона р1виямш (24) вс1 I алгебро1днпй

розв"яэок % д. р. (24) не мае полгос1в, то

= 0(2 Ьл И(г.а0 /а0]) + 1пг) ] гё^ д4 - де-

яка мнолпиа ск1нченио1 логар1фл1чно1 м1рп.

В гл. ТУ вютаються властивост1 клайв мерсмор1них та ал.ф., як1 задовольняють функц!оналш1 та диферешПалыго функШональ-н1 рГвншшя. Для слстеми

|! (тг + б.) - Р. (2 ..., , '

J J •» и

т., б,.б£ ; !т.1>с, п ;

J ^ ^ J

шогочлени в1д \А/ , ,1А/„ з кое&Ментами С?;/?) - ц1лнш

, 1 I п ^

»

фуншЛяш, доводиться теорема про Тснування и1 лях розв"язк1в , ^ Н , Для таких розв"зк!в доведена оцГнка

п

£ Еп т, f.)■< г*(Т к ИСг Д.) * б, г) ^сопъЬ

Якщо система складаеться з одного рГвняшш (П = 1)

/(тг^)^^^)), с1едР(2Л = эе,М=б->1. (2е)

| - цГлий розв"язок (2й), такийицо о(Т(г,Л)ч то

, по™ а?>{, а при

99 = 1 | мае порядок ^=0 . йсщо в (26) 6 = 0, , а вс1 коеф1ц1енти 0.-(£) - шогочлени, не твердження збГгаеться з результатом Е. В ал Трон а

В теорем! 4.1.2 одержан! осимптотичл! оц!ики ц!лих розв"яз-

I. Валирон Ж. Аналитические фугаспйи.-М.: ГИТТЛ.1957.- 235 с.

кХв Р!вшшня 0(г,Ш2))= 1^.^(2))), 0(еМ

_ рац1оналхл1 фушсцП но М 3 неродар1т1Ш коеф1-Шенташ ! q(¿)l Р(г)-Многочлена.

В § 4.2 вивчаегься асимптота иероморТних розв"лзк!в р1в-

Ф(2,Ц,\Л/) - многочлен вТд ^.И/ 3 коетЬШенташ

, с., еС

Теорема 4.2Л . Пехай ,('С Мсо ~ розв"язок р1вшшня(2?) ,та-киК, що ,

Т(г,а-.) = о(ТМ)) чёл теьй<<*>. , ,

J ' <2В)

якщо п-* 1 Ыдг/1ап>{ ,то

*пТМ)~ ЬэеМпг/епп.

Якщо с£={1 1 ,то I- мае нульоый, порядок.

Якщо П = 1 , 1п2е/Ы&>о . то

" гиТ^.л-^паеепг/епб*.

Коли в рТвняшИ (2?) £п ЭС/1п\\<1 айо ГЫ

эе / Еп б* <0

, то не !с'нуе ыероморТиих розв"язк1в р1в-ияння(27>, для яких шшокусться (28).

Теорема 4.2.Г мХстить результат Койкера, 1~росса (1968), Гольдштейна (1У78), одержал! для мероморГннх розъ"пзк!в р!в-няння ^(г)) = д(г)р(р(г)); _ с](г)( р(г)- шоючло-

ни, g(2) - рацГональна функц1я. 3 tílcl теореми випливас також твердаення Ж.Вал1рона 1957 для мероморфних розя"язк1в р1вияння

JfíazbRíMíz)), ае<С, ici|>i , R(z,W) - pam0-

иалгна функцГя в1д 2- i W .

АпробапТя. Результат» дисертацП доповГдалнсь на У, У1.УШ

яонференц1ях "Комплексний анал1з I диферено1алы11 р1вняння"

Черноголовка 1981, 1983, 1987 , на республХканськИ конферен-

Ш1 з теорП ц1лих I субгармон1йних функцГй Харк1в, 1990 ,

на сем1нарах з теорП функц1й у ХаркХвсншму, В1лыгюськону,

Льв1вському, Московскому ун1верситетах.

ПублГкацН. OchobhI результата дисертанИ опубл1ковано в

статтях I - 10 . Одна робота опублХкована у сп1вавторств1 а

А. А. Голвдбэргом I одна - у сп1вавторств1 з В. Д. Мохоншо.

I ? 3

Деяк1 наш1 результата викладен1 в книгах Ihibix автор1в , , та штуються в оглядах 5.

Структура fl обсяг. Диоертац1я складасгься з1 вступу I чоти-рьох глав.Загальний обсяг днсертанП с.Б1бл1ограф1я- назв.

1. Петренко В .П.Рост мероморфнюс функций.-)(8рьков:Вища школа, 1978.- 136 с.

2. Не Уи.гал, Xiao Xiumi. Abjdwid. funcÜonb and indinan.^ diffvienUal e^uaíiofU.- Beijin?,: 1988,-303c. (Chínete)

3. .Lame J. NevanEirina thtozy and complex diffei£ntiat e^uatCom , 6ea£m. -De Giuyte-i, /993. '

4, Гэлвдберг А.А.Меромор1нне функнии//В кн.Итоги науки и техники .Математический анализ ,т .10 .ВИНИТИ .Москва, 1973.,

5. Голвдберг А.А. .Левин Б.Я. .Островский И.В.Целке и меромор^ше-функции//В кн.Итоги науки и техники .Современные проблемы математики, т. 85 .ВИНИТИ .Москва ,1991.

ОсновыI результата дисертацН опублйсовано в наступних роботах:

1. Мохонько А.З. О неванлинновских характеристиках некоторых мвроиорЗных фугадай // Теория функций, фушшюналшый анализ и Их приложения. Харьков.- 1971.-14.- С. 83 - 87.

2. Мохоны;о А.З., Мохонько В.Д. Оценки неванлинновских характеристик некоторых классов мероморфных функций и их приложения к дафференвдалышм уравнениям // Сиб. мат. исурн.- 1974.15, W 6.- С. 1305 - 1322.

3. Голадберг A.A., Мохонько А.З. О скорости роста решений алгебраических дифференциальных уравнений в угловых областях// Дифференц. уравнения.-1975.- т.II, № 6.- С. 1568 - 1574.

4. Мохонько А.З. Поле алгеброидных функций и оценки их нвванлинновских характеристик // Сиб. мат. журн.-1981.-т.22,№ 3.-С. 214 - 218.

Б. Махонько А.З. Оценки неванлинновских характерютик алгебрю-вдних функций и их приложения к дшМерентелшш урашени-ям // Сиб. мат. жури.- 1082.- т.23, К I.- С. 103 - 113.

6, Мохонько А.З. О существовании и свойствах целых решений одного класса дифференциалышх уравнений // Дифференц. уравнения.- 1983,- т. 19, ii II,- С. 1871 - 1879.

7, Мохонько А.З. О скорости роста меромор^них в угловой области решений дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1988.- т. 24,& 9.- С. 1528 - 1536.

8, Мохонько А.З. Оценки модуля логарифмической производной Функции, меромор}лой в угловой области и ее применение// Укр. маг. журн,- 1989,- г. 41, Н 6,- С. 839 - 843 .

9, Мохонько А.З. О росте мероморфных решений алгебраических Дифференциальных уравн'ишй в угловых областях// Оиб.мат.журн. - 1990.- т.31, № 2, с.123 - 130.

а