Теоремы единости для алгебраичных и алгеброидных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г бльвівфДий даивний УНІВЕРСИТЕТ 1м. Î. ФРАНКА

- !\ QUI

На правах рукопису

П’ЯНА ВІРА ОЛЕКСІЇВНА

ТЕОРЕМИ ЄДИНОСТІ ДЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА АШЕРОЇДНИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01. - катекатичнлЯ аналіз

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізяко-ттеизтачянх наук

Львіз - 1993

Роботу виконано па кафедрі математичного і функціонального аналізу Львівського державного університету ім. І. Франка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, процесор ГОЛЬДЕЕРГ А. А.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

' процесор КОВДРАТЮК А. А.

кандидат фізико-математичних наук,

. доцент ІІОХОНЬКО А. 3.

Ведуча організація: Фізико-технічний інститут низьких ' температур АН України

-Захист відбудеться "<?/" ЖО^ГкІЛ 1993 р. о ¿Q3 год. на засіданні спеціалізованої вчзиої Ради К. 068. 12. ІЗ при Львівському держуніверситеті за адресо»: 2S0000, Львів, вуя. Університетська* І.

й дисертацією иояяа сзнайоиктись в бібліотеці Львівського дерауиівпрснтвту ,

Автореферат розіслано 11 &№№l£- 7S93 р»

Вчений секретар ' .

спеціалізоване! Ради .МИКШЮ Я. В.

' ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В 1925 р. Р. Неванлінна опублікував основні теорем:? нової теорії мероморфних (функцій - теорії розподілу значень, яка згодом дістала назву неванліннівської теорії. Вже через рік в 1926 році Р.- Неванлінна1 опублікував одне з найбільш ефектних застосувань теорії розподілу значень - нову теорему єдиності для мвроморфних функцій Ітут і скрізь далі під мероморфнов функцією т розуміємо функцій, мероморфну в скінченній площині) . Він встановив, цо кероморф-на функція однозначно визначається п’ятьма множинами її З' точок, ¿ í f, тобто, якщо у двох мероморфних функцій множини JL--точок однакові для п'ятьох значень є <С, то ці мероморфні функції тотожньо рівні. Чотирьох значень не росить.

Півстоліття теорема едішості Р. Неванлікнтт засталася майже єдиним результатом в цьому напрямку, хоч епізодичні дослідження в цьому напрямку траплялися- і в цей період. Ще в 1976 році Л. Альфорс^ в езілєйній статті,, присвяченій Р. Неванлікні, писав про теорему единостг Нігсйплінки: "Варто уваги, що досі вона лишилася білья або кзяї їзольоззнкц результатом". Але з того часу ситуація, докорінно зціпилася".--• Теореми єдиності типу теореми Кеванлінни псязірзізться ка більш иироні класи функцій і уточнгзтьея для більш вузьких (Адамс, Страус, Пайзер, Гопалакріпна, Бхуснурматх, Хе Вдзянъ, Гао Пхань та іклі ). В уиозах єдиності з різних теореіях цих авторів ■

і. dA*nirUón,ruL ¿i. £¿aCg¿ (¿пЛха1с^ке.СЫ5Хгс ¿n. сйл, ShcG-'tU qUsl ~jn&wmAyiÁen, $Xtrb&Z¿ont,rill xAÁtZL, math. - í 32 6, — Ц 8. —

S. ЗЄ 7- 5 91,

Jihbfaw, £• Qoa nzaXMnzoJ^Jtht ¿c-ívafá-n, Mo(l ЛАгнмгй'пгии// Unji. аслсЬ. ¿s¿. ¿W Se*. JL¿ ■ ~ ¿ 916,- 2. - :S. ¿~ :

виступають різні множиш. Для них будемо вживати такі позначення. Через £ (Ж, <f-) - J і £ •' <Лj

позначатимемо множину Л-точок функції £ (якщо / е алгебраїчної) функцією, то - -{j é £ :

Якщо будемо враховувати і порядки ^ -точок, то одержимо мультимнотшну JLÙE(Ж,£)' Через E(Jt, К-, ,

Де ^/¿/|оо| позначатимемо множину тих Л -точск, порядки яких ке перевищують А. Зокрема ,•{-) ~

множина простих Jt -точок, а Е(Л,оа,^)~ Е(.Л,{).

Є ще один напрямок в дослідженні теорем єдиності, який також походить вір статті Р. Неванлінни. При збігу певних множин або мультимкокин -точок для двох функцій не можна ствердкувати, що вони тотожньо рівні, але виявляється, що вони пов'язані певними співвідношення^. Цій темі присвячено в останні 20 років біля сотні статей (Гундерсен Г., 0дзава М.,

Ян Чжун Чжунь, Хе Юдзянь, Гао Шіань, Мюс Е., Етейнмец Н. та ІН.J.

Мата роботи. Визначити, скількома мнояинама Є (Л, {■)

( або мудьтимножинами ЛЬ Є (Л, f) ,. або множинами проектах А »точок (Ж, {■)) однозначно визначається функ-

ція , tjo.належить одному з-таких-класів: ірраціональні функції, 2) алгебраїчні функції, 3 )мероморфні функції, 4) алгеброїдні функції, Ь) многочлени, 6) цілі алгебраїчні функ-. ції, 7) цілі функції, 8) цілі алгеброїдні функції.

Показати, що одержані оцінки е точними.'Це досягається побудовою відповідних прикладів.

Наукова новизна і теоретична цінність. Дисертація має ". теоретичний характер. Отримані в ній результати є новими.

Розв'язані названі вище задачі для класів алгебраїчних, цілих алгебраїчних, раціональних функцій та многочленів з врахуванням їхніх'степенів. ,

• : Розв’язані бкі~з вказані задачі для алгеброїдаих та цілих

алгеброїднкх функцій. ,

. Методика досліджень. При доведенні назедених в роботі -..результатів використовується апарат кеванліннівської теорії . розподілу значень кзроморфниу функцій та методи алгебри мно-

.Г0ЧЛ2НІБ. '

- , Апробапія. Про результати- дисертаційної роботи доповідалось fia Львівському міжвузівському семінарі" з теорії ана-

літичнйх функцій ( керівник проф. А. А. Гольдберг ), ка І-иу республіканському семінарі по теорії цілих і субгармонійних функцій і. И застосуваннях ( и, Харків, IS90 p.).

Пурлікані ї. Основні результата дисертації опубліковано в статтях [і - У статтях ¡2 - 3^j , опублікованих у співавторстві з А. А. Гольдбергом, внески козг-ного із співавторів не поета рсзкеяувати. • .

Структура й обсяг. Дисертація складається зі вступу і 8 параграфів, об'єднаних у три глави. Загальний обсяг роботи разом зі списком література { 26 позицій j і змістом -'81 сторінка. ,

ЗМІСТ РОБСТьї ' ^

У вступі-подано короткий історичний огляд тєін робота, загальна її характеристика та виклад основних результатів.

Нехай \P(Z, tv) - незвідний кногочлзн від „і і

IV , -Р- пг >, і , •í°~ п- ^ ’ Рівняння

&(І, м) S /гт(г) и/т + fLm.£(г)ivm'i + /г0(ъ).о, (¿}

flm (ї) ~ О , визначає m.-значну алгебраїчну функцію і*/=

- web) , степеня rv таку, сто \Р(і, О. . Нехай

«-ííí. Корінь рівняння ¿Р(ъ,Л)=0 називається .¿-точ-

kod алгебраїчної функції w/= tvcтакого я порядку, як порядок нуля Якщо Л~ 00, то оо-тоїгкаїл

( або полисами ) -функції vt* wOO називаються корені . рівняння w^áPd, í/w)¡tV:i0~ & ) або, що те s eais-э,

корені рівняння р,п(г)- о .

Якщо /гстСс)п і, то алгебраїчну функцій, що визначається рівнянням (£), називатимемо цілою алгебраїчною функцією.

Якщо т-і, то, очевидно, алгебраїчна функція s раціональною (функцією» а ціла алгебраїчна функція е ї.їногачленоц. •

Нехай УС3:, W‘,m+ ‘ ' ’ + [1^)1*/+/1-o(ê),

■ДЭ [Ь ■ ( ÏJ - ЦІЛІ фуНКЦІЇ, o ¿ j Í ЛП; прКЧОКу Ї.ЯОГСЧЛЄК

.. У с 3:, w) ( як функція від V;' } незвідккя над кільцем ці-

лих функцій. Рівняіїкя Y(. Ъ і у-j) - О визначає т-значну алгеброїдну функцій W- ■•*-'(£'). Означення -точок та полюсів така 7. саиз як для алгебраїчних функцій, axe wi-точки

та полззси розглядаються лише в £. Якщо ¡Ь^Сі)^ і, то ад-гебррїдна функція, що визначається рівнянням •+ (ь, ) - а,

називається ці лон алгеброїдною функцією. При гП-і алгєбро-їдна функція є нероморфною, а ціла алгеброїдна функція є ціло» функцією.

У главі І доведено теореми єдкності для алгебраїчних та цілих алгебраїчних функцій з врахуванням множин та цультимно-етн «А-точок. ■

Будемо позначати гтиис}&,6І*о.\/£{ пгСа. (а, Ь(-а,л 6,&,Ь£ №..

В §1.1 доводяться теореми єданості для т.-значних алгебраїчних функцій. ' .

Теорема 1-ї» Нехай - пг-зкачна алгебраїчна функція степеня , $ = і, 2 , <а/х 4. \а/ь . Нехай

наслідок і.і. пехак ^ і V/, _ дві т -значні алгебраїчні функції степенів відповідно пі і ги , .Нехай

Теорема 1.2. Нехай і у/а - дві рсі -значні

алгебраїчні функції степеня п., %А-11 . . . г «^■г,(П<г1 -

різні комплексні числа з £. Якщо М, є -

, >Ч)= £<«£/, Ч,) , V*; е с , і ¿/і і,.

В §1.1 побудований приклад, що показує точність цієї сцінкп.

Теорема 1.3. Позначимо < рп. е А'')

л с пг, і.) ^ гт + ± , _д ( пг,г)= ¿/п 4 £ ,

JM. т, Ъ) - з m +=£., •

лсга.п.) = bm-n + .[-

Нехай ^4 і Wi. - дві пг-значні алгебраїчні функції

степеня a, ° , ^л(т.,л) ~ різні числа з Ф. Ягпр

Є ) = £ С «Æ,- } ) при 1 4. J-é Л ( ¡ТІ, ґЦ,

ТО Iv^ С 1) з Iv^ ( fr). :

Точність оцінки показана для гп.® І і п.-^Є/V, для довільного ті а = і, г,3 •

В §1.2 доводиться аналогічні, як в §Ї.І, теореіи єдинеє--ті для цілих пг-зкачних алгебраїчних функцій.

Теорема ї.4. Нехай и/р _ ціла лг-значна алгебраїчна функція степеня n.j, -, Wi vVz . *

Нехай v^- , -різні числа з £ і

= Et^'."0. Тоді

/ і з m, -1 + [ç гпгі-)—тирТТС^ ~

Lji.

Наслідок Î.2. Нехай ^ і V/, - дзі цілі лг-зкачяі

. алгебраїчні фукхції степенів відповідно Пл і П-г. Нехай .

Lt ( ^, at, nz). з п 4 g пг- ¿) ~ іфк^

Якщо »Æ; , і î / 4 Lt ( т., /г, п.^) - різні чксла

з С і ЄС-Ду,^)* £( vÆ/? прп і ijl é

< (f*1» 'Ті' ^Of м a «^C*) , n-d = (bz-n.y

Ltc m. n, n,) =. Ц m-L +{z ЛЛА~1-].

Теотега 1.5. Нехай і -дві цілі m-значні

алгебраїчні функції степеня гь, éZrrv -різні

числа з €. Якщо JM Е ^і) = M-EC&j, *Уz,)>

l$f<zm-i , ЄСЛ2пг, ^3= E(Uim.> и/г)»

то >у4сг) = и/ьс

Показано точність цієї оцінки. .

. Теорема Ї.6. Позначимо

Л^т, і) ^ г. т,

-Л^С лп,2) =■ 2 пг,

лАСпг,а) = чт-і +£> С гга-і!//г],ап

Нехай і ■ - дві цілі лг-зиачні алгебраїчні

функції степеня гь, , <*£-^4 т., п.) - різні

числа з €. Якщо Є СЛ-, н>-4 ) = £ (, ил, ) пра

* V

£ уХ^ст, п,), то іл^сг)^ и/2сг).

Точність оцінки показана для довільного яг і а = іД, ДЛЯ ГП-=^. і ДОВІЛЬНОГО Л-.

В главі II виводяться теореми єдиності для алгебраїчних функцій, в яких умови накладаються на іжжинн £(Л, к! (■) •

В §§2Л -2.2 доводяться теореми єдиності для гп - значних алгебраїчних функцій (в §2.2 для ггь = і) . •

•~ ' Теореш 2.1. Нехай ^ - т. -значна алгебраїчна функція степеня п,) , Оїі,я, п/а. Нехай-

є (у - є і ^ є 4/,

( А +

* П^пл)>

до А.■= • V , у випадку, кола к-±- • • • = -

а. І. , пг >/ 2, , П-4 Л Л-г ^ і , ^ П.^ г. ¿} виконується

с^ізт,.

. Наслідок 2.1. Нехай іл^ — /ті —значка алгебраїчна

функція степеня п,, і ,я , с^і.т,±')^г.т.^±}

Ц,ст,г~)=: чт+і , ^(т.зЗгйгаи-щ-члг/з:, і£(лг, ¿/} = &т.-*± , <^ст,а}і їт + [-і/лг /33

• прз Якщо %А[ , 1 & р й <^сггг, а) — різ—

лі>сяа з Г і Е/Л-, ^ = Ел С^-, ^ лри і<

, 14/ і Тоді

<г* ^ _ 2.ла , кпі

Тш ' гпь ~ я*'"ч

£^ЗІ /

ТО щ = ,л/г .

Показано точність цієї оцінки для довільного ГП і

п= г, ч.

У випадку т^і (раціональні функції) доведено наступну теорему.

Теорема 2.2. Нехай 31^ і <4^ - дві раціональні функції с£л^ЛР_= п, ?, і_ . Нехай

0.С1І-3 , <£.<2)= уЛЪ)-?., 9,СП.)=б' при ПЪЧ.

Якщо , . . . , - різні числа з С і

Е6СЛ^- , А> ) -- Є6( ^ Д^) при 14 /4

і^(ГЬ') ^ то ^ •

Точність оцінки показано при <т.~ X, з , а також пря всіх парних »т.. '

В §2.3 наступна теорема для цілих т-значних алгебраїчних функцій е аналогом теореми 2.1.

Теорема 2.3. Нехай !-Ч> - ціла лг-значка алгебраїчна

функція степеня п.у , ^ у'Уа .' Нехай

Є С = £(^, ^ ,

*л^ є £. Тоді

¿1 X* *«м)т£яЦ

де к. = ^-4 V • • • і/ Я. ^ » У випадку, коли = • • • - /го =.

= і. , ҐП >/ & , ;і , /г£ '/Я1=Д)-

виконуеться з т-і..

Наслідок 2.2. Нехай і \л/ - дві цілі т-зкач-

кі алгебраїчні функції степеня гь. Нехай

ггг, го = Б т-г ■* С- 2. (. zru^-i-'> ґ.гь^,

і і & £ к пт., гь) - різні числа з С і

С » иуг-1 ^ 1 &

4 пг, /%}, м

Точність цієї оцінки показано для довільного т і гг = х. §2.4 присвячено теоремам єдиності для ілїогочлєніз. ' Теорема 2.4. Нехай ^ і ¿Р - два іжгочлекп. Якчо , Л^уЛ^ .- три різних числа з <£ і .

е^с-а,., *>ли , /. і, ¿, з,

то >¡0 . ¿0 .

Показано точність цієї оцінки.

Теорема 2.5. Нехай і 3^ - два многочлени,

сбе^ = <з£е£ г £ . .. Якчо ^ 6 С ,

£ ^-а. , всі -точки або прості, або ькеть пар-

ні порядки, ¿=¿,2,, і> = ± , а > і £^( <Л • , Р4):

/**»«■» ' т0 ^ .

Теорема 2.6. Нехай ^ і ^ - два многочлени, е£г$ =

= : л і ^ Якщо ^ >

і '^лС то

Глава III присвячена теоремам единості для алгеброїдних функцій.

В §§ЗЛ - 3.2 доводяться теореія единості для алгеброїд-нях та цілих алгеброїдних функцій з врахуванням мнокин ЕС^Л,А.і5£.).

Теорема ЗЛ. Нехай і - гп -значні алгеброїд-

ні функції уу'' . і Б( Л. Д., и/Л =

а. 4 * і ' *■' '

= Е С ^ , \Л4") , Є д/ і/ {©■=,} , Лу Є <г ,

± і 4 0, ,■ & = ПОСЬХ { 6

Тоді я, Ь . ' , '

У~ '<. іт —к *-£ *

4- х~?г 4 гггг

<*■=:£ <*

Теорема ЗЛ для т-± доведена, в статті Гопалакрішни і Бхуснурматха^.

Наслідок ЗЛ. Нехай і ц/^ - пг-значні алтебро-

£. СормМзАшіАлсі- 'УС- 3. 7 <ШюоьпшатиссЫг %ігг1с^ье,гим Ышушпл ¡ж гп^сснтіОхрЛі^с ІшхлШпб // ОШЛ- ЗсіигсС.- 19*в.-зэ&гг-м

їдні функції, ке Vu *Czm/A.J.

Ято E С üÆ •, К , ил ) - Є С JLj , є Æ, ^ éji fa(n),

то w, = и/ .

ï

При =00 _це відомий результат Ж. Валірона .

При m - і і Æ - оо -це класична теорема Р. Неван-лінни. Пта т,-1 і k. £ AS - теорема була доведена Сюн Цзінлаєм*" і Ян 1-е3. Точність f і ) для всіх A G V

±. !!%JjLfion, ''У. Sit'b La, (іьюі'и-бс d.tt ¿сплшуъъ

(dfrrb^otcUA // <&uZL . Soc. тсьЫь. $k&ncB-1 9 31 . - 5 9 , ~ P. і ? - 3 9.

Z. l/icône^ ffîi'n

oL ' Us ru', о'Ле, ' 'ttlaXÀ-ï- пиле (ôaztLonA mj.'iOnxcrtfihM // ScitnjAO. бігиссо, -і ЗЄЗ. - ¿г, ЛАв. - З3. £43 - Г5Г0. у

3. Ян Лэ. Кратные значения мэроморфннх функщгЛ и их хссг.сбнна-ций // Шусйэ сюэбао, \jtotCL гггаЛЛъ- ІуСгьСс.!L. -±9 64. - і Ч, JA 3 ■ ~ A- «Z S- Ч 3 %

(кит.) ('англ. перевод - JûsiCj ^ ^ ЩиьШрЛь

voJjjyj, о£ nuyxorriotpjbùi ^¿notion*. агъоС cf corn ôina£ù)/z6 LtrLc.bion.'S, // САСгиль

JtloùtA. - dQ£tJ.~ a~, 0.^3 з . - хЯ 460 - V7c;,

û - &U- . Îw fisiOÔlLmt-

показано Уедою . Ягпцо 4. 7 2 П1 то ОС гп) = Чіп * 1 .

Точність цієї оцінки показана Хе Едзянєм та Гао ЕіанєіГ.

' Теорема 3.2. Нехай «Л і м/ - цілі т -значні

алгеброїдні функції, 'V, £ і Є С\Лу , А. , И/А) =

= £ С ^, &,•, Ч) > є &^ і } , л'- € с ,

1 £ / ь ^ ? & = ГП.ООС І ^ і

т-'“ к 'таї - 1 т -1 ■

Наслідок 3.2. Нехай №/^ і И/г - цілі /п-значні

алгеброїдні функції, А Є Л/ и ^ оо j 7 ^д(/п) = ^ пг + л с г ла- о /4^.

Якщо Є ( Л. & , и/. ) с Е С , А. и/, ) ,

(/ 4 *

Л. Є <£ , ’ £ & / £ ^ .(гп) ,

& * ¿і " то \/\/ - ИУ„ . і. *-

£. £¿¿¿¿0- ЗС- игіісііу ІЛссштл /с^с /пг.««?-

гпхуірЖьс. (УС ср.Х'І^іл ¿м. гьсї^с/гіА // Уи>^иС ЛсиЬк. р' І9ГО. - з , ^ 3. 47 і.

2. Ж ^гол., ^0 йкі-сиь. Оп аЦс^ьоСсі Іииьсиапл іхШя^ Ыи, " ьоипл, ігаМил а£ Ькл б&стіе. р.&шїл // УьсаСіи- хАІ&ЬЬ.^.-4 9 86.~ 9,Жї а. - &&56- 2.65Г.

- и -

' Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах: ■

І. П'яна В. 0. Уточнення теореми єдиності для раціональних функцій. В зб. Прикладні питання математики, Львів.-

1991. - Вип. 36. - с. 40 - 41.

алСулшим иж&хтіА {оч,

' ітгеЬіспб И Игьіі-іЛ’ іхгьоі ^аМ^О^того-С і-імаоМсопл. оЛ(£%%(іл,с&і, ¿гь то^А&-

т&ЬісА . - і 9 92• - і і,- Р. І 9 9'- гОЧ.

3. Гольдберг А. А., П’яна В. 0. Деякі теореми єдиності для раціональних, алгебраїчних і алгеброїдних функцій, що враховують тільки прості А-точки . Доп. АН України.-

1992. - №12. - с. 12 - 14.