Краевые задачи для общих дифференциальных уравнений с частичными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

ЛвкИкШ^ЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТБТ IM. IB. ФРАНКА

На правая рухопису

ВО ВИК 1ГОР ОМЕЛЯНОВИЧ

КРАЙОВ1 ЗАДАЧ1 ДЛЯ ЗАГАЛЬНКХ ЛИФЕРЕНЩАЛЬНИ^ РЮНЯНЬ 3 ЧАСТИННИМИ ПОХ1ДНИМИ

01.01.02.- диферешпальш р1вшпгая

АВТОРЕФЕРАТ дисертадм на эдобуття наукового ступеня кандидата ф ia шсо- натсыатичпих says

ЛЬВШ -1994

Дусерт&цш е рукописом.

Робота викопана на кафедр! днферсншалытх ршшть Лыивсь-Шо дер,-явного утверситсту ¡и. 1а. Франка

Мацхосий «ер»оиик - доктор фЬлко-иатсиацпщих пьук,

ирофосор ПТАШ1ШК В.Й. Офщ№н% етоиенти: доктор фЬико-патсматпчннх наук,

професор Р0МАИКО Б.К. (МосковсыаШ ф1змко-техиг-шый

шепнут),

докюр фЬш<о-матсматнчш17. наук КАЛЕШОК 11,1. (дсржавпмй университет " Львшська полггеятка"), Протдна оргатэациг - 1нстигут математики Нзцюпаяыю! АН УкреГак, ы.Кнпз.

Зкжист ¿¡¿фудатьсп '4$?\..9М,:...1984 р. о 1.1?.. год. иг», за-с{д£шш снста&ягзоаашГ ячспоГ Ради Л 04.0101 по присуджошгю паукового ступенл доктора ф3эш10-мите»гатичшх пауте у Льглоа-хоиу державному ушверситвт! ш. 1п.Франк& (290002, ц.Л|»а1а, вуя.Ушвсрси-тетська, 1).

3 дисер гацшо моаша ознайоинтисл в кауковИ\ {лблютец! Лыйв-ського держушвсрситету.

Автореферат розкглгшо "У"..5?..?..*....1094р.

Вчшшй сенротар

спешалЬованоГ Ради

Мшштюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальшсть теми. 3 точки зору коректно» постановки гра-ничпих задач вайб'1льш глибоко вивчец] диферепц!альт рЬвяввя з частшппаш вох1дними класичних тишв та безпосередц! ïx уза-гаяьвевня. Для дов!лытх р!внявь з частщшими пох1дтщи, а та-кож векласичпих задач, у цьому налряыку отрииаш ыетп вагош результат!!. Одним з пебагатьох загальвих результатов у Teopiï граалчпих задач для диферецадальвих р1ваянь з частшдаши по-х1дапши « теорема Хермандера, яка стверджуе, що для дов1льного лЫйаого диференшального оператора э частишаши пох|дними 31 сталиш! коефщ!еитами в обмежешЛ облает! ienye деяка коректва крайова задача. Одпак ця теорема ¡снування ве дае к1ямга вказ!-вок шодо ефектшзпого опису таких уиов для иаперед зад алого оператора. Тому залгал&еться актуальнки виаченвя конкретпих вк-цадкш tcopetci'uol иостаиовкн крайових задач для г1пербол1ЧНиж i загальвих (безтапшк) диферешаалышх р1вшш>.

Грашгоп) задач} для деяких загалыпис диференгоальних i ди-ферепшальпо-операторяия р)вшшь вивчались в роботах Ю.М.Ве-резанського, D.M. Ворок, ВЛ. Горбачук, М.Л. Горбачука, О.О. Де-зща, А.Х. Машша, В.К.Роыапка, М.Й. Юрчука та. in. Вагато до-сл!джевь присвячепо також внвчешпо неклаейчвих грашгших задач для окремих диферепгоальиих оператор1в з частшпишн шшд-пиш. Ile, зокрема, npani Ж. Адаыара, B.I. Арнольда, Ю.М. Берез аясыюго, В.П. Вурського, H.H. Вахагш, Г.В. Вфабяна, А. Губера, М.Л. Лавтяпа, В.М. Маслегшиково!, I.B. МельникопоГ, П.П. Мосолова, С.Г. Овсешша, С. Л. Соболева, I.B. федака, М.В. Фок1на, в яких вивчаються крайов! задач! з дашши на Bcitl граням облает)' для неелгатичних р1вшюь; А.В.Бщадзе, В.М. Ворок, 1.Л. Вшеядя, О.О. Дезша, М.1.Мат1§чука, А.М.Нахупгева, В.К. Pouamca, O.A. Самарського, М.й. Юртука, B.I. Чесаята, œd присвячен! Еквчеато гравячшга задач з аелокалькиит умов аил для дкфергащалышх р]'вшть з частгагаюш вопдншш та дифервег-

гральио-операторних р^вяянь.

У бЗльтосп 3Í вкаэаних роб!т вид)леи! регулярн! випадки розглядуваних задач. Однак задач] з данный ва всШ гравии! облаетi, а також задач! з велокальтши умовами для загальних (в тому числ! Нвербол1чних) диферевгйальних оператор)в з частгашими пох!дшши с, взагал], иекоректшши, а шггашя иро Тх розв'язн1сть в багатьох випадках пов'язане з проблемою и ал их звамеаяикЗв. Типовим прикладом тут с задача Шpixne для рЬвяввя колшзань струни, ва нскоректн]сть яко! в 1921 р. вказав Ж. Адамар.

Перш воэитивв} результата в розв'язаш^ проблем» малих зваиеввинв на основ! "метричного" пЗдходу отриыали в 1939 р. Л.Боржив i Р. Лаффш ври доандженш задач] üipixflc для рЬпян-вя коливань струви в прямокутнику, а в 1942р. - К.Л.31гель для задач1 вро спйюсть особливо! точки типу цевтр.

Проблема ыалих знаыеншпав розглядалась також в роботах ВЛ. Арвольда, Ю.М. Березancbítoго, В.П. Бурського, H.H. BaxaniT, Р. Денчева, Ф. Джона та in. при вивчеяш задачз Hipíxae для п-пербол!чшп р5вшшь другого порядку, в працях В.СЛльюва, П.П.Мосолова, В.МЛ1ол1щук, Б.Й. Пташника, Б.О. Салиги, В.В. ф1голя, ПЛ. ¡Щабалюка при дося!дженш крайових задач для гзпербол)чвих Гзагальнга: ршнянь i систем високого ворядку.

Лава дйсерташя присвячена внвчеввю задач з датши ва всЗй границ! обласп та велокальвих крайових задач для гшер-бол1чвих i безтиввих л1юйних диферешдалышх рЗваяпь (головшш чином, з постШвими коефщквтами). Значае uicne в шй займа® метричпий авал]з оцшок зшгзу малих знамешгимв, частила з яках мае складау вел5впйну хонструкцт. Результати дисертадн в вев-Н1Й uipi доповвюють i розвизають результат!! роб]т эгадаяшс вище автор!в.

Меха роСоти. Досл|джевня кореитпосэт та побудова роз-в'язюв крайових задач для гшерботчних i безтипвих липйних да-ферешвалышх ршиянь (задачз з дашши ва вс5й граккгр обласп,

задач! з нелокальгоши умовами). Доведения метрнчних теорем про оштш эвдзу малих знацснпкюв, з яках вхгалив&е 1снуваяия класичиих розв'язк!в задач для майже век (в|дпосцо шри Лебега) коеф1гвент1в рЬшянь, коефМехггЬ граничит умов i параыегрш область

Методика досл1дш8ННЯ. В дисертацШиМ робот! викорис-товуються методи загальпо? теорп диферекшальпнх piumun. з час-типпиыи лояднтш, функционального анализу, теорп рядЗв Фур'е i иотрнчио) Teopii чисел,

Наукова новизна. Встановлет теоремц ¡спуъапяя i едино eri розв'язшв розгяядуваних задач в р^зиих фуккоопальпих просторах, ям форнулюються в терминах люфавтовия властшюстей чисел. Ловедеш wexpirnii теорени про оцшкп иалпх знаметдпав, э тотх вкпливае шжояанвя достатшх уиоа 1спуваиля кладаппга роэз'язкш задач для майже neix (в1Дпоспо uipii Лебега) веятор!а, складешк з коефвдегтв picmnrb 1 краИовия уыов та параметра областей. По булев ani явга формули для розз'язкзв розгявдува-шк задач у пиглдц! ря;ин за системами ортогояалыкгк фугкспШ.

Teoperimim i лршмзгояа znnminicTh. Результата робота е иситт впескои в Teopiro rpamrarnix задач для дифоретвалышх pi впяль з частшяпши ггзх{ягтггмп. Побудоваш форнули для роз-п'язюп задач мойсуть Сути внкоркстэл! для влвченпя коакреттн задач врактяки.

Апробоц1я работа. Результат робота допсвщались йа. Льв1вському шськоиу ceuinapi з Teopii днферепц1альвих рштшь (1G92р., 1994р.); МЬкяар одних конференциях "Heaimitai граянчзщ задали" (и.Довецьк, 1991р., 1093 р.); па МЬкнароднШ конферевдЙ "Акгуальт проблеыи фуйдамектальп-их паук" (и.Москва, 1001р.); ВсеукрашсъкШ кояфергйщГ "Honi шдходн до розв'язапня дифо-решх1алыпя ртшшь" (и.ЯрогоСнч, 1004р.); чнташкп, крнсвячс-ких nnu'mi акадешка Я,С. Шдетрщача в 1ГШММ HAH Ущ>ишп (uJJbßiB, 1834 р.).

ПуЗдкацй. Qcuqcni результата дас€щт£д>1 оаублшоаако в роботах [1-8].

Структура. xja, cfi<utv. 5>айятк. Дисертацш складаеться si всхупу, 7 параграф)», о^'едналия у 3 роздали та списку лггерату-рн, ко включае 67 наЛиенуванъ. Загалигай об сиг роботи 130

CTOpiuOií.

КОРОТКИЙ 3MICT РОБОТИ

Наведемо дсша Есюачошш, що викопнстовуютьсн в дисер-

•xarJÜ Л - "i"; V - "аоо"; С'п» - ---г, А™ ;

т! (г» - т)! (п - т)1

- шюкаша точок Rp э цьишя neni^'eisirvaui координатами; {у € У : Р(у)} - шдиношша елемеят!в У, що володпот!. вла-

c-niElcTio Р(у)\ x = (xi.....i,) £ Rf, = (t, xj,..., яр) tli'1"1"1;

k = (¿i,...,Ар) а = (л|,... ,бр) £ а - (ao.ai,... ,«я) € Z^4"1; {к,a) а + ••• + Vj>» 1*1 = М + ••• + fell |«| = ¿o + \s\ = = ¿o + aj + * • • + sf; ÍK - р-вишрнмй тор € RF : 0 ^ xr < 2jt,

г = l,...,pj¡ Dp = [0;Г) x ft'; Нд{№) (q € 2+) - пдьбертоаий простер 2~~перЬдшч1ШХ за ,..., xp комдлексвозаачиих функций v(x) = £ vkaxp(i{k,x)) з нормою |КЕ)!11,1(п,} = (2Tr)fx

X S (1 + l*<f I'M'; HciP") (« € Z+, n e Z+) - ляьбертовий |1¡>0

простер фунгапй i*(t,s) таких, mo для кожиого i £ ¡0;T] фушаня Qru{t г)

—€ Я,-г(П") (r = 0,l,...,n) i ноперервыа на ( с норш Я9_(.(П''); (Яр) (<5 > 0) - npocxip 2гг-иер1одичпш£ за хи...,хр коьшлексиозначшис фувкцШ /(а) з нормою ЦК^ОИв^п?) ~

- Г !/*|exp(¿||¿|j); С'»((0;Г1,и](Пя))-npocTip фуямвй ,(1,а) да

S*"g(t х)

таких, що для кожного i е [0;Т| функцш —^ 6

(г = 0,1,..., го) iueiiepepananot в норм! 2f](Q,,)¡ Г-npocTip три-

1Л

гокоиетричяих ииогочлешв Р(а) - £ Ciexp(ifca:)> а € [0; 2jt

k=-m

(m « 0,1,...) з кошшексшши коеф1цкнтаии, Г' - npocrip вс'н

яшйяял пеперервши футщюиал!в пзд Г, якнй сглвпадае з простором формальшп тригонометргпппга рялв, аналопчш позва-чепня збер1гаЕНо i в багатовишркому шшадку.

У вступ! зроблепиЙ короткий огляд л)тсратурм по тем! да-

лен} аозппчешхя, фупквдопальш простора та деяк! в\доиосг\ теоретико-числового характеру^ 'Що шгкористовуготьсл в длсертадЗГ.

Ilepnrail роад!л 'ИрИсЫЫёШчА ¿осАшжетгго крайовях задач з дашшя на псШ грашпа облает! для rineрбол)чних i безтиппих диферепвдальяих piciifflu. з! сталш.ш 1иеф!вдштамн. Шоб глнбнга розкрити природу задач, окремо апал1зуються внпадки ода!ei i бага'ГьоХ tfpocToptfßWc змЬспйХ, вщцлеш класи pianwub i грашгч-fficc уиов, для ягатх клаенчна коректшеть задач! йе нов'язапа з проблемою мал их зпамеаяимв. На приклада pimucroi другого порядку показано, як отримаш результати перепосяться па Л!£ойн} опоратори, эбуреш пелшйним ттегро-диферешвальтш окерато-ром.

' В §1 розглядаються рЬшпшя другого порядку. В облает} D1 досл)дзкуеться задача

сертавдТ, сформульоваш освопш результат роботи, а такогк пазе-

Чг -gi +7V 0.

(3)

Розв'шок задач! (1)-(3) шукасться у вигляд} ряду

«(*,*)= ]Г itb(f)exj>(ikx).

Нехай 14 = afi% + 6/х + с = 0.

Р) + ri* (P/»ri G R), j = 1,2 - корен! р1вшшня Для единосп розв'язку задач! (1)-(3) в просто-

- о -

о

р1 необидно 1 достатвьо, щоб вккоиувались умов» (тео-

рема 1.1)

%

Ф 0| &€2\{0}, (4)

да ид(<) = схр (»'*/!><)» коли риф та иц^) = V'1 ехр(1*^*), воли /11 = ¿12 С/ = 1,2). На оспов) теореми 1.1 в стазов леш ефек-тивва умовн единост! розв'язку задач! (1)-(3) в тсрмшах чисел Т, Р}> г>> Ч) 0' = 1|2) (теореми 1.2-1.8).

Теорема 1.9. Нехвй ¡спують М > О та а б 2 так], що виковуються пер!вност!

Нехай пгз < 0, а 6 //,+»+„ДП1) {) = 1,2), де а} = 1,

коли й-/ Ф 0> та а/ = 0, юли = 0. Тод) в простор!

!снуе розв'язок задач! (1)—(3), який веверервно заложить в1д функшй ¥>Дг) 0' =1,2).

Теорема 1.Ю. Иехай виковуються нер!ввост! (5) 5 вехой Иг, > 0. Якщо щ(х) € ^(П1) > 62Т, 6а = пиа^г^.Ы}), то !спус розв'язок задач! (1)-(3), який пепереряно залезкнть в!д фувкщй <р;(х) у = 1,2).

Якщо (¿ц = Цъ) V (п ф га) V (г! = г3 Л Р1 ф -рз Л ^ ф ^Л А)<а 4 4 |»ч| Ф 0), то оиднки (б) виковуються для вс!я Т > 0 (теореми 1.11, 1.12). Яюцо ж (р> Ф Ра) Л (Г1 = гз) Л (Р) = V = й V 4 92 = Т1 = 0), то пер1виос'п (5) свравджуються для цайже вс!х (в!дгхосво мЗри Лебега) чисел у/Т ("теореми 1,13,1-14).

Отрям&н! при досладженвз задач! (1)-(3) результата переноситься на вивадки, коли р1вшшня (1) е пеодаор!две з правою частного /(¡,х), а також, коли оператор Ь збуревий нел!яЗйниы

¡нтегро-диферешяальниы оператором:

3«г

L[u] = /(«,*) + ,» j K(t,x,y)F(ttyMt,v))àv (t* € R), (в)

о

ад = 0 0 = 1,2; <&-?!+Г 0), (7)

дв L, /> - оиератори задач! (1)-(3); û(t,y) = ^u,

^^^. Яюцо при /1 = 0 ¡снуе едншгй розв'язок задач! (б),

(7) (лип. теорему 1.15), то збурепа задача зводиться до ешивалентного до jieï штсгро-длференп!алыюго ртанянпя, розв'язшсть якого для досить малих доводиться за допоиогою пршшшвв нерухомоТ точки КаччюполлЬВанаха i Шаудера (теореми 1.16 i 1.17).

Лал1 в § 1 розглядаеться задача типу Д]р1хле для беэтшотого диференщальиого оператора з багатьма пезалежшшп зм!юпага

Y,A'QtS*i,x)o~->=0 Ui€C> **.....(s)

и(0,г) = ¥>1(г), и(Т,я) = ^(e). (9)

Встаповлел! уиовн едивоеп та ¡снувапяя рози'язку задач!

(8), (9) в просторах С3([0;Г], В'(П')) i Я,а(Яр) (теореин 1.18-1.20), а такоие проведеяо метршпшй адал!з одшок зшиу иалил зпамевнимв, ям внпикаютъ при побудов! розв'язку задач! (теорема 1.21).

В §3 в облает! D = {((,а) : i € (0,Т), s € R"} для р1вняшгя

(|L_a>A+i*)\(<,*) = /(«,*), Д = +...+|L, (ш)

де a, h - додатш числа, розглядаюп.ся дв> Kpaâosi задач! э уио-вами

я»« . л«

= 0, (11)

I _ и1(=о" Qt

~ ttl«=T ~ а*

и*Т

I - ÉÎH

I -

= 0 (12)

i=T

1=0

в iuiaci функщй, майже першднчних за просторовими зшншши. Позвачимо C$j,r\D) (г > д) - баваховий проспр функщй u[t,x), g раз неверервно диференшйовних no (, а також г раз неперервно дифереНцШоввкх ко i в S I майже перюдичннх |в ceHci Бора во piBHouipno в)двосно 16 [0;Г], з нормою

I

Розв'язок задач (10), (11) i (10), (12) шукаеться в npocropi Cg'4* (D)

у витляд! ряду u(t,x) = и*(!)ехр(0и,ж) в прапущенш, що

1М>о

/(<,«) 6 Сд'т\о), де m - доситъ ведшее натуральне число, fib = (Wkj6 M (fc6 Ж»), M С R" - спектр фушаш /(i.x). Задач! (10), (11) та (10), (12), aid е близью за постановкою, ма-ють суттево рЬну природу. Явлю для першо? з них icnye едшшй розв'язок для дов1Льних додатшг а, Ъ i Т (теоремм 2.1, 2.2), то для друго! задач! розв'язшеть мае uicae не для bcïx набор!в параметров а, 6 i Т i с вестШкою щодо дих параметров.

Теорема ^Л. Дая единост! роза'язку задач! (10), (12) в KJiaci фуякц!й з 1з задашш спектром M необхщао i достатньо,

вдоб для bcïx ць G M вкковувались умови

гтуо'Ия*!!1 + 6* Ф тпк, Vm 6 N.

„ Прилустимо, що для Dcix BeKropiB /д € M виконуються eapbaocTi Ci||k||' < ||/н|| < са||Ь|Г, cj > 0, Ci > 0, <r > 0.

TttWSMft Якшо /(t,s) e c4°'a)(Z>), де о > 3 + 2n/cr, то

для майже acis (вцщоспо uipu Лебега) значень Т > 0 i довмьшх ф1ксо8«шнх а > 0 i Ь > 0 задача (10), (12) иае еданий розв'язок в дам! функщА b нхкй неверервно залсяшть вш f(t,z).

dl»-1

В § 3 в облает! Üp Лосл1джусться задача dnu(t,x)

1*1=

fji = l,...,m,

<=o

= Ут+л'О8) I Л = •••»n-m» I

1 < m < n — 1.

(Í4)

Як i в §1, в игл яд облает! DT накладае уиооя 2я-верюдичност! за xi,...,х, ва функп» u(t,x) та ¥>,(г) (д= 1,...,п).

Позвач1Мо: 7f(fc) = »*P||A»(Ä), де A, (k) (g = 1,...,/) - корен! р!вшшыл

крата егь яких для опрощения викладок вважаеться во залежного ащ к i ^opiflHTOc вшкшдпо тч (mi -}-■•• + rri( = n); Д(А) s

зД,(*)|Ш|- fg=m(m"1)4'(r,"m)(""rn"1) - Е "/И"1)^ -V 2 2 /

визпачпик система Л1шЛних р^ввлпь

f=l r, = l

= 4>hM (я = i.•••,"»).

t £ EiHUWf^'^-^x

,=1 r,=l i=0

xC?,r,(fc)exp[7,(Ä;)r] = O'a = l.-'- *").

де у*,-,* - коефшенти ©yp'e фуйкцн <pj(x) (j = l,...,Si). ^

Теорема 3.1. Для еДййвсИ розв'язку задач! (13), (14) в про-с Topi С([0-,Г], Г) необх!Дно ! достатньо, щоб виконувались уио-ви

Д,(*)*0 (fc€Z"\{(0)}). . (16)

При Еиконашп умов (15) задача (13), (14) завждн мае ро-зв'язок в простор! С"(|0;31, Г) (СЯ([0;7'Ь Г')), якшо €

€ Г {Г') (7 = 1,...,п) вишовщно (теорема 3.2). Л ля прошж-нпх простор1в розв'язвзсть задач! пов'язаяа з проблемою ыалш: знаменитая. Не обмежую чи загальност! будемо вважатн, що У*€2»-\{(0)} 1тА,(Д;)<1л1А/+1(Д;) (;' = 1,...- 1); позиачимо А„,,+...+„,,_1+;(Ь) = А,(А) (5=1,...,/; > = 1,...,т,).

Теорема 3.3. Нехай !снують М > 0 1 X! е % там, що вкконуються перЬносп

/ _ ч (16)

(V* С г" (|*|>*,); &(*)==-£]тА,(*)).

1-г

Яшцо <р>г(х) е ВЦП?)

(}! = 1,...,»Т»; 5, > РьТ, /?1 = тах{о, зир (- 1т Аж_ге+1(Л))} ), V. 1 *е2П{(«Л Ч

Из = 1,...,п-т; ¿3>0аГ, & = тах{о, вир (1тА»_т(*))} }, \ 1 н:2"\{(о)] Ч

то 1спуе розз'язок задач! (13), (14), який яалежитъ простору С"([0;Т1, В}(ПР)) (6 < ииа{6г-ртТ}) 1 неперервпо залежитъ

Е1дфувкшй <Р)(х) 0 = 1,...,п).

Для проведения метричного анал!зу яер1вносп (16) доведено наступив тверджеяпя.

Лема 3.1. Для майже вах (в!дносво м]ри Лебега в простор! К) значеаь Г>0 ! для довшьних фасованна многочлешв Р;(£)

0=1,...,т) надполем С нер!вшсть

^РД.НЛЦ^ехрС.'ЦкЦауГ)

> (е > 0) а. €

де п = тах ^(*[|&||Г)л - к!льк!сть нногочлен!в степепя п, викоиуеться для вглх (кр!м сюнчепного числа) зпачеиь к 6 2*.

Показало, эдо длл ртпяпь з одшего просторовою эшяпою (теорема 3.7), а також для детва клас!в р!вшть (13) з багатьиа простороптт зшншшл (приклад 3.2) псршпост! (16) внко пугаться длл майже пах Т > 0 1 для дов!лышх ф!ксоваЕня кпефщ!епт!в А, (|-| = п).

В эагалыгому випадку при р > 1 нер!впост! (10) пикону-ються для майже пах (в!дпосно м!ри Лебега в простор! И*"1) век-

тор1в у = ((/1,...,!/,„), (у^+г = ЛеЛя_г,о.....о,г,о,...,о; / = 0,...,р-1,

у

г = 1,...,п) ) для майже вс1к (в1дпоспо м!ри Лебега в простор}

Т% тш 1

51) чисел Т > 0 при Х\ + де а = С™, и =—---Н«,

Л

V = ^ тп = гша{т, п - г»} (теорема 3.8). Ягацо опе-

ыг

ратор I. - гшерболп-гаий за 1.Г. Петрозсыаш, то шгашя мехса показания ноже бутн уточнена (теорема 3.9). При встапоплегаа цпя фактш ыпсористана схема доведения леи:? 3.1.

В другому роздЬи шгачаютьсл крайоэ! задач! э дашши па вай грашпп облает! для диферетзальтгс р!впяпь з часпшшаш пох1днимн з) зм1швми коефвдептшш.

В § 4 в облает! £> = [0; Г] х П, де П - область в Н' з досить гладкою границею Ш, розглядаеться задача

Л«= £ А.^!)^''^,*) =/(<,*), (17)

«о + »1=я '

' }1 — 1,...,т, \ 32 = 1,...,2«-т,| (18) 1 < т < 2п - 1, / ^«1^ = 0 (г = 0,... ,п — 1), (19)

де А.о,, е С (а0+31 = п), Ап0 1 0; Ъ = £ (^С«)^)-«»^)"

¡,¡=1 4

самоспряжений диферешоалышй оператор ел!птичного типу, при-

«=т

чешу аифеС'-Ч"), «(х) е С3»-3^) (On) i а(х) ^ 0 всюди

в П; L°« = u, L'uüLÍL'-1«) (j = 1,2.....n).

Blaoiío, то прп эрабленкх вшцо щшпутеянлх в1дносноко-ефодегтв оператора L i облас-п О задача

LX + AA' = 0, Х\т = О

мае новпу ертовормоваяу систему в л ас них фуякщй

{к EN) в Lj(íi), a Bci в ласт значешзя Л i (к € М) е додатшмл

числами.

оо

Позпачзшо через В"(О) npocTip фушщШ v(x) = £ ^иХk(x)

Ь=1

з нормою |]ф)||в?(п) = £Ыехр(5А?); Ст([0;Г], flf(íí)) -

к— 1

opocrip фушауй g(t,x) таюгх, що для коисного t € [0;Т] фунвдя — 11 е Bf(ii) (г = 0,l,...,m) i неперервна по ( в норм]

Нехай А(к) - впзначник системи яшНЬшх алгебраТчних рш-

пяш>

Е Е [<&.(*> + ("^'"^(ф. - 1)!х

= 0 (J1 = !,■••

¿ Е Е V^r] + {-^-"С-^к)* '

,=1 г,=1 j=0

(j, = l,...,2n-m),

в яхай ±рч (д = 1...../) - коревд р}внняня £_= 0

»0+»1 = »

кратностей тпя в1ДПов5дно (mi + —Ип/ = n); Aj(fc) = (»VT»)^ к

кА(Н a=m(m-1)+ (2ПГ т)(2" - m - 1} - ¿ - 1).

I ¡=\

Теореца 4.1. Для едшгост! розв'язку задач! (17)-(19) в простор! С7,*((0;!Г1, Л*(П)) пеобх!дно i достатньо, щоб вшсояувалксь уиови Aj{Ab)¿0 (к= 1,2,...).

t

Позаачимо 6\ = тах {|1т/<;|}Т, ffa = £ т,-|1шр,|Г; ji=i ,...,< j=i

Gm* = = (дЛ,..., gu) € Z+': \g\ = 2n- m, gr < mr, fftí_r-i ^ mr t

(r = 1,...,/)}, VÍff) = X)(ffr(n»r ~ ^ + Л/-г-|(тг - saí-r-i)).

r=l

Теорема 4.2. Нехай ¡снують константи A/j > 0 i щ € R там, що виконуються пер!вност1

¡A^AkJl^A/jív/Akr^expítfjVA;) (V*€N, k>k,), (20)

i пехай ац(х) 6 C1*"»^) (i, j = 1.....J»), a(s) € C»-a(ft), /(í.a) €

€ C([0;Tj, В^(П)) (ff, > 5,)- "Года icnye розв'язок задача (17)--(19), який иалежить простору C^flOjT), Bj^ft)) (¿4 < 6» - S\) i пеперервво залезть вщ фушас! J(t,z).

Теорема 4.3. Нехай вгадапуються nepinnocTi (20) i пехай tf, = 0. Явдо аф) € C'-^fl) (i,j = l,...,p), o(z) G C,'-,(ft), f(t,x) € C(0'Jff)(D) i задовояьняють умови I//|ш = 0 (а = 0,...,а-1), до 2ff>max{n, лпахДуз(з)-f тах^(тг —

+ шах^{тг} + 2p+ - l|, то icnye розв'язок задача (17)—(19) з простору С3"(Л), який неперервпо заледаггь вщ функцй /(í,s).

При дослщженн! ножлкзоеп виконапня ощнок (20) показано, що в залежное« В1д Im щ (j = 1,... ,£) вопи мозкуть эдШсшов&-тися для bcíx Г > 0 (теорема 4.4) або для м&йже acix (в1дпос1ш Mipsi Лебега) зпа^епь Г>0 (теорема4.5).

В § 5 в обласп Пг розглядаеться задача з уиоваии (14) для

píbillihlui

Üfs -¿A.rW¿--Mí)|«(í,«)=0, (21)

г=11 »=1 * J

де А„(<) I Ьг(<) (а = г = 1,...,п)-дгйсш фушапТаргумен-

та t, г - 1 раз неперервво диферешцйовш в прошжку 0 ^ I $ Т. Основва увага зосереджена на вивадку, коли

А„(0 = А,(<) + а„, Ы<) = /?(*) +А- («.г, Л 6 К). (22)

Позначимо; А,(«;) = ас^Д/гДО]||" , Де (г=1,...,п)

- фундаментальна система розв'язюв рЬняннк

д

т, Я1'1

г=1 «=1

$2-1 I

С?1=1.....т), -¡-¡—г] 0'а=1 ,...,п-ш).

<=о а{ 1(=Т

Для единост! розв'язку задач! (21), (14) в простор! необидно 1 достатньо, щоб р!вшпгая

Д(*) = 0 (23)

не ыало ветркв)альпих розв'язюв в шлих числах 1ц,...,кр (теорема 6.1), а для ¡спуваняя розв'язку з простору Н£(Ор) виыа-г&сться, шоб Л1В& частина р!вшшня (23) погано адроксимувалася нулей (теореии 5.2, б.З). При тому доведен] метричш тверджен-вя про ошвки знизу величины |Д(Ь)| (теореми 5.4, 5.5), з яких вивлывае класична розв'язвкть задач! (21), (14), (22) для майже ВС1Х Т > 0 1 довшыпп значень а,г (у винадку, шли вй числа р!зш) 1 для майже вс1х Т > 0 та для ыайже вих вектор!в, пеошш чином складених э а,т (у вивадку, якщо деяи з чисел рг сшвпадають).

ТретШ роздал присвячений вивченню задач з нелокальными уиоваыи для диферевдЗаяышж р!вшшь э ча шшими похипишг з! стадный коефЩентш».

_В $ в » обя&ст! Вг для рЬшшвя--

|«|<3 1 "