О промежутках единственности решений многоточечных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Аль-Джоуфи С ал ах Али Салех

промежутках единственности решений многоточечных краевых задач

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4 АПР 2013

ВОРОНЕЖ-2013

005051296

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Владимир Петрович, Воронежский государственный университет, профессор кафедры математического моделирования

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович, Белгородский национальный исследовательский университет, профессор кафедры математического анализа.

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 16 апреля 2013 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038..22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «/£ » марта 2013 г. Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.038.22 Гликлих Ю.Е.

доктор физико-математических наук,

профессор Алиев Рзахан Гюльмагомедович, Дагестанский государственный университет, профессор кафедры математического анализа

Официальные оппоненты:

Общая характеристика работы Актуальность темы. Вопрос о распределении нулей решений однородного линейного дифференциального уравнения соприкасается со многими исследованиями по теории и практике дифференциальных уравнений. В частности, таковыми являются: исследования по дифференциальным и интегральным неравенствам; оценки промежутков единственности решений краевых задач (промежуток применимости теорем о дифференциальных неравенствах), оценки функций Грина различных многоточечных краевых задач; исследования по вопросу колеблемости решений дифференциальных уравнений.

Цель работы. Установление законов распределения нулей нетривиальных решений уравнения(*)при п = 5 в терминах докритических промежутков многоточечных краевых задач Валле-Пуссена, установление законов распределения нулей решений и их первых производных уравнения (*) при п = 5 в терминах докритических промежутков так называемых задач неваллепуссенов-ского типа, описаниие поведения оценки промежутков единственности решений трехточечных краевых задач с фиксированными точками, изучение вопроса об оценках собственных значений краевых задач, построение функции Грина трехточечной краевой задачи для уравнения Цх\ = ¿п> =М, изучение оценки наименьших по абсолютной величине собственных значений краевых задач для линейного однородного уравнения пятого порядка с краевыми условиями.

Научная новизна. Все результаты, полученные нами и включенные в диссертацию^вляются новыми. Ниже перечислены наиболее значимые из них.

1. Вырождение нетривиальных решений т-точечных задач в нетривиальные решения ^-точечных задач (3<т<5,2<к<А, к<т).

2. Соотношения между докритическими промежутками многоточечных краевых задач Валле-Пуссена.

3. Рассмотрены так называемые сопряженные докритические промежутки и установлены соотношения между ними .

4. Распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков задач неваллепуссеновского типа.

5. Построение функции Грина трехточечных краевых задач и оценки

промежутков единственности решений этих задач.

6. Описание исследований краевых задач с фиксированными точками.

Метод исследования.Наши исследования проведены методом предельного перехода, который существенно отличается от метода, при помощи которого Алиев Р.Г. проводил аналогичные исследования для уравнения четвертого порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Работа в основном носит теоретический харакгер.Однако полученные результаты могут быть использованы при решении конкретных практических задач.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на Международной конференции«Мухтаровские чтения»,«Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Дагестанский государственный технический университет»,Махачкала,2012;У-Всероссийской научно практической конференции «Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов Российских вузов»,Томск, 25-27апреля 2012 г.; ^-Международной научно-практической конференции «Модернизация системы непрерывного образования», Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, 29 июня—1 июля 2012 г.

Публикации по диссертации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 - И]. Работы [2], [3], [6], [7] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобразования РФ. Из совместных работ [1], [2], [4], [5], [10], [И] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 73 наименова-ний.Общий объем диссертации 135 страниц.

Краткое содержание диссертации

Классическая теорема Штурма разрешает вопрос распределения нулей решений уравнения второго порядка х' + g0(t)x + g1 (t)x = 0.

Минусинским Я. для уравнения Xм + g(t)x = 0, где функция g(t) непрерывна и положительна, получен аналог теоремы Штурма:

Если решения u(t) и v(t) уравнения /n) + g(t)x=0 удовлетворяют условиям н(а) = и\а)=... = и(п~2) (а) = 0, и(п_1)(а) = 1,

v(r) = v'(?0 = - = v(n~2) (у) = 0, v("_1) (у) = 1, то их нули чередуются

Ковдратьев А.К., рассматривая то же самое уравнение Xм + g(t)x = 0 для значений п-3 и п-4 при знак постоянном коэффициенте git).

Рамки исследования проблемы распределения нулей решений значительно расширяются, если связать этот вопрос с исследованием промежутка однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для данного уравнения общего вида

*(л) + g„_, (О*«""« +... + *„ (О* = 0 (*)

с непрерывными коэффициентами.

Азбелев КВ. и Цалюк З.Б. при и = 3, Алиев Р.Г. при л = 4 в терминах до-критических промежутков краевых задач дают сравнительно полную картину распределения нулей решений уравнения (*).

В нашей диссертации, где исследован вопрос распределения нулей решений уравнения (*) при п = 5, не только обобщаются результаты Алиева РГ., но в основном получены новые результаты.

Первая глава нашей диссертации посвящена распределению нулей нетривиальных решений линейного однородного уравнения пятого порядка в терминах до-критических промежутков краевых задач Валле-Пуссена.

-8Л')хъ-g3(t)x"-g2( t)x"-gl(t)x-g0(t)x=0, (1)

x(ti) = x(ti)=..-x^p'-l\ti) = 0, (2)

где i = 1,2,..., m; m = 2, 3,4,5; px + ... +pm = 5; a <tt < ... < tm < +

т - число точек, в которых заданы краевые условия; р1 - число краевых условий в точке П. Например, при т = 3, рх = 3, р2 = 1, Ръ = 1 имеем трехточечную «(3, 1,1)-задачу» ((0.0.1), (0.0.6)); при т = 5 имеем пятиточечную «(1,1,1,1,1) - задачу».

Промежуток [а, /3)', в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1) имеет не более четырех нулей с учетом их кратностей, называется промежутком неосцилляции этого уравнения. Максимальный из промежутков неосцилляции с общими началами в а обозначим [а, г(а)).

Известно, что для любой точки а, являющейся левым (правым) концом промежутка неосцилляции [се, $ ((/4 а]) можно ввести понятие сопряженной справа (слева) точки а, (а) как зиргетит (¡гфтит) тех Р (р), при которых [сг,а), ((«,£*]) является промежутком неосцилляции {а < р < а, а<ц<а). В отличие от промежутка неосцилляции [а,г{а)) назовем промежуток (а,а] сопряженным промежутком неосцилляции и обозначим этот промежуток (г(а),а].

Промежуток [ОС, 77), в котором при любых гь Гг, Н, г4, Це [а, ф данная краевая задача имеет единственное решение, назовем докритическим промежутком этой задачи.

Каждая многоточечная краевая задача Вале - Пуссена определяется числом т- точек задания краевых условий и числом р1 - краевых условий в точках и (1 = 1,2,3,4,5; 2< т <5, Рх + ... +Р* = 5). Поэтому в каждом конкретном случае будем говорить о «(ри р2, ■ ■ ■. Рт) - задаче».

Максимальный из докритических промежутков «(риРг, —,Рт) ~ задаче» с общим началом а обозначим [а,гй(а)), а сопряженный докри-

тический промежуток(гр1/,я (а),а].Например, [« г41(аО) ((г41(а),«]) - максимальный из докритических промежутков (сопряженных докритических промежутков) двухточечной краевой «(4, 1) - задачи» с общим началом а,

где в точке Ь заданы четыре условия (значение функции и значения трех последовательных производных, начиная с первой), в точке н задано одно ус-

ловие значение функции. Аналогично обозначаются максимальные докрити-ческие промежутки остальных краевых задач: [о;г12ц(о)) максимальный док-ритический промежуток четырехточечной «(1,2,1,1,) - задачи», и т.д.

Отметим, что используемый нами метод доказательства основных теорем существенно отличается от метода, при помощи которого установлены законы распределения нулей решений в диссертации Алиева РТ. Суть нашего метода заключается в том, что мы сначала доказываем вырождение нетривиальных решений к-точечных задач в нетривиальные решения двух или трехточечных задач (к=3,4,5). А затем устанавливаем предельные соотношения между длинами докритических промежутков краевых задач.

Наши результаты по распределению нулей решений в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена:

Теорема 1.3.1. Справедливы следующие утверждения:

1. В промежутке [а, г221(а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль (¡, не может иметь справа и более нулей, т.е. г221 (а) < г41 (а).

2. В промежутке [а, г311(а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль и, не может иметь справа ь более нулей, т.е. гзп (а) < г41 (а).

Теорема 1.3.2. Справедливы следующие утверждения:

1. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке (г122(а),а] четырехкратный нуль г, не может иметь слева г более нулей, т.е. г14(а) < гш(в).

2. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке (г121 ¡(а),«] четырехкратный нуль г, не может иметь слева г более нулей, «.е. Г14(а)<Г12п(а).

Теорема 1.4.1. Справедливы следующее утверждение:

1. Если r23(a) <г32(а), то в промежутке [а, г2и(аО) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двукратный нуль гь не может иметь справа от fi нуля выше второй кратности, т.е. /212(0) < г23(ûi).

Теорема 1.4.2. Справедливы следующие утверждения:

Если ri2ii(û) < гг21(0). "»о >"1211(0) ^ г3ц(о).

Если r12U(a) > г212(а), то гШ1(а) > г122(а).

Во второй главе мы исследуем законы распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков так называемых задач неваллепуссеновского типа:

Ls[x] = 0, (3)

x(ti) = xXti) = ...= x{p'-1\ti) = Atm) = 0, (4)

где i = 1, 2.....m-1; m = 2,3, 4, 5; р, + ... + pm-i + 1=5;

а < ti < ... < tm < +

x(h) = *(f,) = *'(*,) =... = (0 = 0, (5)

где i = 7,2, ...,m-l; m = 2,3, 4, 5; i+p; + ... + Pm-i = 5;

a<tj<... <fm< + «ï

m - число точек, в которых заданы краевые условия; pf - число краевых условий в точке f,. Например, при m = 3, pi = 3,р2 = 1, Ръ = 1 имеем трехточечную «(3,1,10 - задачу» при краевых условиях (4); при m = 5 имеем пятиточечные задачи: «(1, 1,1, 1, 1') - задачу» (в последней точке задано

значение первой производной решения).

Впервые вопрос о распределении нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков краевых задач для уравнения третьего порядка рассматривался Алиевым Р.Г. Возможности применения метода исследования, при помощи которого получены результаты Алиева Р.Г. весьма ограничены.

Мы в своих исследованиях, частично использовали метод работ Алиева Р.Г., а в основном метод предельного перехода , которые в совокупности

дают возможность получить сравнительно полную картину распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков краевых задач для уравнения пятого порядка.

Нами установлены следующие соотношения между длинами докритических промежутков задач неваллепуссеновского типа:

Теорема 2.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть р{а) = пип[г2з(а),г1'з1(ог)]. Тогда Г[<4 (а) £/?(«), т.е. в промежутке [а,р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке fb не может иметь справа h четырехкратного нуля.

2. Пустьа) = min[ r31 (а), г„,.(а)]. Тогда гА1.{а) > р(а), т.е. в промежутке [а,р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t\ нуля производной.

3. r311<(a)>/?(a) = min[r41'(a), г32(а)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее трехкратный нуль ti и простой нуль h > th не может иметь справа t2 нуля производной.

Теорема 2.2.2. Справедливы следующие утверждения:

1. r41'(af)Sr13i'(flr), т.е. в промежутке [а,гт-(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль h, не может иметь справа fi нуля производной.

2. r4V(a) > ГШ(СИ), т.е. в промежутке [а, г,и.(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль /ь не может иметь справа ii нуля производной.

Теорема 2.2.3. Справедливы следующие утверждения:

1. Если ruw

2. Если rim(а) < гш(а), то гШг(«) < гт-{а).

Таким образом, в нашей диссертации мы частично обобщаем результаты Алиева Р.Г. по распределению нулей нетривиальных решений однородного уравнения в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена, полученные

им для уравнения четвертого порядка, на уравнения пятого порядка. А в основном нами получены новые результаты (теоремы: 1.3.1,1.3.2, 1.4.1,1.4.2).. Длязадачне-валлепуссеновукого типа нами доказаны теоремы (2.2.1,2.2.2,2.2.3).

Третья глава нашей диссертации посвящена оценкам промежутков единственности решений трехтбчечных краевых задач с фиксированными точками. Здесь также рассматривается вопрос об оценках собственных значений краевых задач.

В параграфе 3.2 построена функция Грина трехточечной краевой задачи для уравнения Цх] = xfn) =fi}). В параграфе 3.3 получены оценки промежутков единственности решений задачи

L[x\ = xv -g(t)x = 0, (6)

x(0) = х'(0) = ... = ^''""(О) = 0,

х(£) = х'(£) =... = *<ft"I>(i) = 0. *(й) = *'(>") = - = *(fH>№ = О, (7)

О < £ < A, pi + рг +Рз = 5, функция g(t) - непрерывна на отрезке [О, А].

Положим шах \g(t)\ — M, £ = Sh, 0<J<1.

0£l<h

Теорема 3.3.1.Промежуток[0, А)является докритическим задачи(б), (7), если

„ЛЫЖ»®. чю-22* (8)

o<i<i[V М V М J Wi(S) = \Pl + p2 + (p1 + p3)S+(-1У <p(5)Y [(-1)'(Pi + Рг) +

+ (-l)w (Рг + S)S + [5 + p3 - (Pi + p3)5 + (-1)M <p(S)f3, (9)

Ц2 °4<*<h =+ P2+(Pl + Pi)S]2-Шрх• (10)

Используя эту теорему, получены оценки промежутков единственности решений задач («2,2,1)-задача», «2,1,2)-задача», (3.1,1)-задача») с фиксированной промежуточной точкой (О, А).

Оценкам промежутков единственности решений краевых задач посвящено много исследований. Нас интересует вопрос об оценках докритиче-

ских промежутков краевых задач с фиксированными точками. В краевых условиях (7) фиксирована первая слева точка t = 0. Кроме этого, введя обозначение ¿j = Sh, 0 < 5 < 1, мы фактически фиксируем и промежуточную точку £ Важность оценок вида (8) на наш взгляд заключается в том, что, придавая ö из промежутка (0, д) различные значения (при этом промежуточная точка £ перемещается в промежутке (0, h)), мы можем получить оценки промежутков однозначной разрешимости краевых задач при любом фиксированном значении ¿¡е (О, Л).Сказанное иллюстрируем, рассматривая конкретные трехточечные краевые задачи с фиксированными точками.

Предварительно рассмотрим некоторые свойства функций Fi(<5) и F2{8). Из формул (9) находим

lim yfy(8) = 0, lim уг{8) = 25PiPi(.p2 + ръУ1+р>\ i-»0+ i-»l-

lim 1/г($) = 2s(pt + P2)Pl*Pi РзР1 > Um Vi(5) = 0

5-t 0+ i-*l- .

и,значит, lim pi(S) = ^> iim = - 5153

$14 ' ¿4 1- Р1р'(Р2 + Рг)"'*"1

Шп р2(3) =-5111-, Пш ^ (£) = -+-.

(Р1 + р2)р Рз

Если функция /¡(г) имеет в некоторой точке t = ^ конечный предел (односторонний предел), то будем считать, что эта функция в точке ¡а определена и непрерывна. Поэтому можем себе позволить записывать

лсо-_^-. гя(0)в-— (П)

Пусть Л такое значение

0<£<1

, 5!5 5!5

F(S0) = min

(12)

,р/1(Р2 + Рз)Рг + Р5'(Р1 + Р2)"1 + Р1РзРз При р\ = 2, рг = 2,^з=1, т.е. для «(2,2,1)-задачи» из равенства (12) получим

F(<5o) = min|^^, -p^j = min{3472; 1465}=1465, (13) 11

т.е. ^(¿ь) = ^2(0) = 1465. Значит, 4 = 0. Поэтому достаточное условие (8) однозначной разрешимости «(2,2,1)-задачи» для уравнения примет вид

Ь<{[Ш=Ш. (14)

V м V м

Аналогично для «(2,2,1) -задачи» при различных промежуточных значениях де (0; 1) можно получить соответствующие оценки вида (14).

Например, если 8 = 0,3, то ^(0,3) = 395585, ^(0,3) = 3843. Отсюда и из (8) получим достаточное условие однозначной разрешимости «(2,2,1) -задачи» с фиксированной промежуточной точки £ = 0,3/г, т.е. с краевыми условиями х(0) = х'(0) = х(0,ЗЬ) = х'ф,Ък) = х{к) = 0:

У ' W<9 F2(<9 / У' \F,<3> F¿S)/

л с Л 1 • 1 • t 1 С

0 «я 1 г 0 <51 1 X

Рис. 1 Рис. 2

На рисунке 1 изображены эскизы графиков функций Fi(<5) и F2(<5) при условии Fi(l) >F2(0). В частности, для рассматриваемой нами «(2,2,1) -задачи» точки А и С имеют координаты: А(0; F2(0)), C(l; Fi(l)), где

f FJS), о ¿SUS.,

F2(0)=1465, F,(l)=3472. Обозначим =

где <5¡ - абсцисса точки 5 пересечения графиков функций F¡(S) и F2(<5). Как следует из рисунка 1 (и 2), графиком функции F(S) является кривая ABC.

Для задачи (6), (7) обозначим: [0, rPiPjP3 (0)) - докритический промежуток при фиксированном значении, равном нулю, первой слева точки задания краевых условий (7) и при любом £е (0, h); [0, гР]РгРз (0; ¿fi))- докритический промежуток для фиксированных значений £ = ¿h е (0, h). Очевидно, что промежуток [0, rpiPiPi (0; ô^)) является максимальным из докритических

промежутков для фиксированных значений (0, К).

Из определений промежутков [0, гр1РгРг (0)), [0,

[О, гр р р (0; ¿i/0) вытекает следующая цепочка неравенств:

Из неравенств (14), (15) будем иметь соответственно неравенства

Для того чтобы вычислить значение 8 - ^, нужно решить уравнение Fx(8) = F2(S), 0 < S <1. Если pi = р3 (например, для «(2,1,2) - задачи» в случае п = 5) нетрудно показать, что i = 0,5. При этом будем иметь:

Fi(0,5) = F2(0,5) = 13466 и, значит, промежуток [0, г212(0; 0,5h)) является максимальным из докритических промежутков «(2,1,2) - задачи» с фиксированной промежуточной точкой ¿;= She (0, h),

Î13466 fÏ3466

r212(0;0,5A)<A<?—— , т.е. при h<,

М V М

«(2,1,2)-задача» для уравнения (3.3.1) с краевыми условиями х(0) = х'(0) = 0, х(0,5й) = 0, х(Ю = х\К) = 0

однозначно разрешима.

Решение уравнения 5) = ^(<5), 0 < 5 <1 для краевых «(рир2,рз) - задач» представляет трудоемкую работу в случае, когда р\ * ръ- Привлекая компьютерную технологию, можно построить соответствующие графики функций /*\(<5), ^2(<5) и вычислить приближенное значение Например, для

13

«(2,2,1) - задачи» при помощи программы «МсЛксасЬ с точностью до 0,001 находим значение « 0,618. Значит, промежуток [0, г212(0; 0.618А)) является максимальным из докритических промежутков «(2,2,1) - задачи» с фиксированной промежуточной точкой £ = Л е (0, Л).

В параграфе 3.4 получены оценки наименьших по абсолютной величине собственных значений краевых задач для уравнения Цх] = ху -р(1)х = 0 с краевыми условиями (7) при р\ = 3, рг= 1, Ръ = 1;

рх -2, р2 = 2, ръ = 1;р1 = 2,р2 = \,рг = 2.

Теорема 3.4.1.Справедливы следующие оценки:

4!£3А3 (А -¿)_

Ц (3,1,1) 1>тах

¡Г5 (£ - Ш - Г) I #3 (А - /)3 —А3 (£ - О3 II Р{1) IЛ

о

4!А3(А-£)

4!|3А2(А-£)2

IЛ1 (2,2,1) I > тах

4!Л2(Л -

л

и

где ^ (гА) И А2 - О2 Л) + - - 0?2 : > •

1Л1 (2,1,2) 1> тах

4!£ 2Л3 (А - £)2

К (А

4!А3 (Л - £)2

H2(r,í,h) =1 (й - t)g¿t,v4,h) - 4 h(h - £)g2(t,t;<*,h) I.

Публикации автора по теме диссертации

[1]. С. А. Аль-Джоуфи. О знаке функции Грина краевой задачи для дифференциального уравнения пятого порядка / А.Х. Катхим., С. А. Аль-Джоуфи. //Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (материалы V Международной научной конференции, посвященной 80-летию ДГУ, 26-29 сентября 2011г.). Махачкала,2011, С. 156-162.

[2]. С. А. Аль-Джоуфи. Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 5-го порядка / . С. А. Аль-Джоуфи., А.Х. Катхим //Вестник ДГУ. вып. 1,2012,, С. 79-86.

[3]. С. А. Аль-Джоуфи. О нетривиальных решениях многоточечной однородной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. // Вестник ДГУ. Вып. 1,2012, С. 87-92.

[4]. С. А. Аль-Джоуфи. О соотношениях между промежутками единственности решений краевых задач для уравнения пятого порядка / С. А. Аль-Джоуфи., А.Х. Катхим //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, ДГТУ, С. 19-23.

[5]. С. А. Аль-Джоуфи. Законы распределения нулей решений краевой задачи Валле Пуссена для линейного дифференциального уравнения пятого порядка / Аль-Джоуфи С.А., Джасим М.Д., Катхим А.Х //Современные методы краевых задач (материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - ХХШ»). Воронеж, 2012, С. 6-9.

[6]. С. А. Аль-Джоуфи. О вырождении нетривиальных решений многоточечных краевых задач в нетривиальные решения двухточечных задач в случае линейного дифференциального уравнения пятого порядка. // Вестник ДГУ. Вып. 6, 2012, С.119-126.

[7]. С. А. Аль-Джоуфи. Предельные соотношения между докритиче-скими промежутками многоточечных краевых задач для линейного дифференциального уравнения пятого порядка// Вестник ДГУ.Вып.6,2012,С.61-66.

[8]. С. А. Аль-Джоуфи. О нулях решений линейного дифференциального уравнения пятого* порядка. //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, С. 23-26.

[9]. С. А. Аль-Джоуфи. О распределении нулей решений и их первых производных линейного дифференциального уравнения пятого порядка. //V Всероссийская научно-практическая конференция. «Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов Российских вузов», 25-27 апреля 2012 г. Сб. докладов .Т. 1, Томск, 2012, С. 316-318.

[10]. С. А. Аль-Джоуфи. Функции Грина трехточечной краевой задачи / С. А. Аль-Джоуфи., К.Г. Керимов. // Модернизация системы непрерывного образования. IV Международная научно-практическая конференция . Махачкала, 2012, С. 278-283.

[11]. С. А. Аль-Джоуфи. О свойствах одной нелинейной системы / А.Х. Катхим., С. А. Аль-Джоуфи., М.Д. Джасим. А.Р. Эфендиев //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, ДГТУ, С. 100-104.

Работы [2], [3], [6], [7] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобразования РФ.

Подписано в печать 07.03.2013 г. Формат 60 X 84/16 . Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,93 Тираж 100 экз. Заказ №712

Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АЛЬ-ДЖОУФИ САЛАХ АЛИ САЛЕХ

04201356138

О промежутках единственности решений многоточечных

краевых задач

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация На соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор Р.Г.Алиев

МАХАЧКАЛА - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ......................................................................3

ГЛАВА I. Законы распределения нулей решений уравнения L[x\ = 0 в терминах докритических промежутков краевых задач

Валле-Пуссена.................................................................... 17

§ 1.1. О нетривиальных решениях краевых задач................... 17

§ 1.2. Вспомогательные леммы...........................................24

§ 1.3. Теоремы о соотношениях между докритическими

промежутками краевых задач................................................ 36

§ 1.4. Теоремы об условных соотношениях между

докритическими промежутками.............................................. 61

ГЛАВА И. Законы распределения нулей решений и их

производных уравнения L[x] = 0............................................. 85

§ 2.1. Предварительные леммы.......................................... 88

§ 2.2. Теоремы о соотношениях между докритическими

промежутками краевых задач неваллепуссеновского типа............ 90

ГЛАВА III. Оценки промежутков единственности решений

краевых задач...............................................................108

§ 3.1. Связь между краевыми задачами и интегральными

уравнениями......................................................................108

§ 3.2. Функция Грина трехточечной краевой задачи............... 111

§ 3.3. Однозначная разрешимость краевых задач с

фиксированными точками.....................................................118

§ 3.4. Оценки собственных значений трехточечных

краевых задач................................................................... 125

Литература................................................................. 129

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена законам распределения нулей решений линейного однородного дифференциального уравнения пятого порядка в терминах докритиче-ских промежутков многоточечных краевых задач Валле-Пуссена и задач невалле-пуссеновскош типа.

Краевые задачи

¿5[х]=х Xlv-g3(t)xm-g2(t)x''-gl(t)x' (0.0.1)

= х\Ц = х"(?]) = х""(?|) = х(^ ) = 0? а<ь<г2, (0.0.2)

= Х&2 = Х'(/2) = ХЧГ2) = ^2) = 0, я < < ¿2, (0.0.3)

= хк(?1) = х(?2) = х'«2) = 0, (0.0.4)

х{ц = Х(?2 ) = Х'^2 ) = х"(?2 ) = 0, а<и < г2, (0.0.5)

= Х% = х"^) = х(*2) = х(*3) = 0 , а<Ь<12<и, (0.0.6)

= х(/2 = х(?з) = х'(?з) = х"(Г3 ) = 0, а<и<Ь<Ь, (0.0.7)

х(?1 = х'(г2) = х"(г2) = *0з) = 0> (0.0.8)

х{Ц = Х\Ч = х(/2) = х'(*2) = *('з) = 0> а<и<Ь<Н (0.0.9)

х{Ц = х\Ц = х(^2) = х(?з) = х'(?з) = 0, а<и<12<и, (0.0.10)

= Х(?2 = х'((2 ) = хЦъ ) = х\Ц ) = 0, а<и<г2<и, (0.0.11)

х{Ц = х'(Ц = х(г2) = х(г3) = х(?4) = 0, а<1}<Ь<Ц<и, (0.0.12)

х{Ц = х(*2 = х'(?2) = х(г3) = х(?4) = 0, а<11<Ь<13<и, (0.0.13)

= х(/2 = х(?з ) = х'(^з ) = х(/4 ) = 0, (0.0.14)

= Х(?2 = х(/3 ) = х(Г4 ) = х'(?4 ) = о, а<и<12<и<и, (0.0.15)

= Х^2 = х(?з ) = х(Г4 ) = х(?5 ) = 0, а<Ь<Ь<г3<и<Ъ (0.0.16)

где в краевых условиях заданы значения функции и последовательных её производных, называются краевыми задачами Балле - Пуссена в отличие от краевых задач для уравнения (0.0.1) с краевыми условиями

хЦх) = х'(!х) = х\^) = хт(ц) = х'Ц2) = 0, а<Ь<Ь (0.0.17)

= хУ2) = х"«2) = хж(Г2) = 0, а<и < г2, (0.0.18)

— ) =ЛЧ)-- = х(*2) = --0, (0.0.19)

= х(/2) = --х'(Ь)-- = *'(*2) = = х'(/3) = 0, (0.0.20)

= *С2) = х'«2) = х\Ь) = *('з) = 0, а<и<Ь<Ц, (0.0.21)

~-х%) = =0, а<и<12<13, (0.0.22)

= *('2) = --Х'(!2) = = *'('з) = = 0, а<Ц<Ь<Ь, (0.0.23)

= *(*2> = х'Ы = *('з) = = *'Сз) = = 0, а<Ц<Ъ<1* (0.0.24)

= х((2) = 0, (0.0.25)

= *С2) = =х'(;2) = = х(^) = х'(/4) = = 0, Я (0.0.26)

= х(*2) = = х(г3) = Х%) = х'(и) = =0, а<11<г2<Ц<и (0.0.27)

= хЦ2) = *('з) = = х(и) = х'(и) = = 0, (0.0.28)

= Х(!2) = х(^) = = Х%) = = 0, а<и<Ь<Ц< и, (0.0.29)

= х(*2) = Х%) = х(Ь)-~ = х(*4) = = 0, (0.0.30)

= х(*2) = = *('з) = х(и) = х'(15) = 0, а<Ь<Ь<Ь<и< Ц, (0.0.31)

= *('2) = ) = х(*5) = 0, ¿5,(0.0.32)

где в одной из крайних точек (слева или справа) задано только значение первой производной функции. Такие краевые задачи условно называются задачами неваллепуссеновского типа. Коэффициенты gcit), g¡(f), g2(t)) g£t), g4(t) считаем непрерывными в промежутке [а, +оо).

Вопрос о законах распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения соприкасается со многими исследованиями по теории и практике дифференциальных уравнений. В частности, таковыми являются: Исследования по дифференциальным и интегральным неравенствам,которые в свою очередь приводят к теоремам об оценках решений дифференциальных уравнений, позволяющим строить эффективные методы приближенного решения дифференциальных уравнений и краевых задач;Оценки промежутков единственности решений краевых задач (промежуток применимости теорем о дифференциальных неравенствах),

оценки функций Грина различных многоточечных краевых задач; Исследования по вопросу колеблемости решений дифференциальных уравнений.

Теоремы, аналогичные классической теореме Штурма 1 о разделении нулей решений уравнения второго порядка, для некоторых уравнений высших порядков начали появляться сравнительно недавно.

Минусинским Я. [60] для уравнения х(п) + = 0, где функция непрерывна и положительна, получен следующий аналог теоремы Штурма:

Если решения м(/) и у(/) уравнения х(п) + £(ф: = 0 удовлетворяют условиям и(а) = и'{а) = ... = и{"-2\а) = 0, и{"-Х)(а) = \, и(/3) = 0,

у(;к) = уХг) = ...= ^-2)(г) = 05 v("-1)(r) = 1, ос <у<Р, то решение у(У) не имеет нулей в (у, /3\.

Кондратьев А.К. [22], рассматривая то же самое уравнение х(п) + = 0 для значений п = 3 и п - 4 при знакопостоянном коэффициенте g(t) доказал следующие теоремы о чередовании нулей решений:

1) если и = 3, то между двумя последовательными нулями одного решения лежит не более двух нулей другого;

2) если п = 4 и g{t) > 0, то между двумя последовательными нулями одного решения лежит не более четырех нулей другого, причем четыре нуля лежать могут;

3) если п = 4 и < 0, то между двумя последовательными нулями одного решения лежат не более трех нулей другого.

Ахундов А.М. и Тораев А.Т. [12] нашли обобщение результата Кондратьева А.К. для уравнениях" + gx (?)х' + g] = 0, где g|(t) < 0, g^t) знакопостоянна.

Левин А.Ю [28] показал, что теорема Кондратьева А.К. справедлива и для уравнений вида хт + gl (/)х" + (0х' = 0 и + ОКО*')' = 0.

Таким образом, можно было придти к выводу о том, что возможность более глобального исследования проблемы распределения нулей решений дифференци-

1 Если (2 — последовательные нули решения х\(() уравнения второго порядка с непре-

рывными коэффициентами х" + gQ(¿)х' + g| (?)х — 0, то всякое другое линейно независимое решение Х2(1) имеет ровно один нуль между Ц и

альных уравнений ограничена рамками классического метода, в котором объектом исследования однозначно являлось только дифференциальное уравнение.

В 60 —х годах прошлого столетия законы распределения нулей решений начали изучать в одном пакете с вопросом исследования промежутка применимости теорем о дифференциальных неравенствах, рассматривая не одно дифференциальное уравнение, а многоточечные краевые задачи для данного уравнения. Оказалось, что рамки исследования проблемы распределения нулей решений значительно расширяются, если связать этот вопрос с исследованием промежутка однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для данного уравнения.

После публикации работы [3], где для линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка общего вида при п = 3 в терминах докри-тических промежутков краевых задач установлены законы распределения нулей решений, появилось большое число работ [6—10,18,64], в которых с той или иной степенью полноты исследовалась проблема распределения нулей решений уравнений п-то порядка при п > 4 не только с непрерывными, но и с суммируемыми коэффициентами.

Из теоремы Валле-Пуссена [39] следует, что для каждой фиксированной точки ае[а, +оо) существует ненулевой промежуток [а, /?),в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1) имеет не более четырех нулей с учетом их кратностей.Такой промежуток называется промежутком неосцилляции этого уравнения. Максимальный из промежутков неосцилляции с общими началами в а обозначим [а, г (а)).

Замечание 0.0.1. Известно [27], что для любой точки а, являющейся левым (правым) концом промежутка неосцилляции [а, /3) {{/л, а]) можно ввести понятие сопряженной справа (слева) точки а, (а) как зиргетит (Ьфтит) тех (3 (/и), при которых [а, а), ((а,ос]) является промежутком неосцилляции. Очевидно, что а< /3< а, а< /л < а. В отличие от промежутка неосцилляции [а, г (а))

назовем промежуток (а, а\ сопряженным промежутком неосцилляции и обозначим этот промежуток (г(а),а].

Промежуток [а, г}), в котором при любых Ь, к, Не[а, ф данная краевая задача имеет единственное решение, назовем докритическим промежутком этой задачи.

Каждая многоточечная краевая задача Вале - Пуссена (неваллепуссе-новского типа) определяется числом т— точек задания краевых условий и числом р{ (<7,-) - краевых условий в точках ^ (7 = 1, 2, 3, 4, 5; 2<т<5,р] + ... + рт = 5). Поэтому в каждом конкретном случае будем говорить о «(р/, р2, ..., рт) - задаче» («(р;, р2, рт-ь Г) - задаче» или «(1 \р2> рт) - задаче)»). Штрих над единицей указывает на задание значения первой производной функции в данных (крайних) точках.

Максимальный из докритических промежутков «(р/, р2, ..., рт) - задаче» с общим началом а обозначим [а, г (<^)), а сопряженный докрити-

г 1 • • * г т

ческий промежуток (г Рт(а),а]. Например, задача (0.0.1), (0.0.2) есть

двухточечная краевая задача, где в точке ^ заданы четыре условия (значение функции и значения трех последовательных производных, начиная с первой), в точке ¿2 задано одно условие - значение функции. Имеем «(4, 1) - задачу». Значит,[а, г^\{а)) {{г^\{ос),а\) — максимальный из докритических промежутков (сопряженных докритических промежутков) «(4, 1) - задачи» с общим началом а. Аналогично обозначаются максимальные докритические промежутки остальных краевых задач:[о; г32(«)) - максимальный докритический промежуток двухточечной задачи (0.0.1), (0.0.4) или «(3,2) - задачи»; [а, Г\2\](а)) - максимальный докритический промежуток четырехточечной задачи (0.0.1), (0.0.13) или «(1,2,1,1,) - задачи», и т.д.

Расшифруем определения максимальных докритических промежутков некоторых краевых задач.

В промежутке [а, гп21(а))любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее пару последовательных простых нулей (и < ?2) и дву-

кратный нуль > не может иметь справа от более нулей.

В промежутке (/212(^)5^] любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее простой нуль ¿2 и двукратный нуль ¿3 < ¿з), не может иметь слева ^ кратных нулей.

Аналогично определяются докритические промежутки «(р;, р2, ..., рт-1, Г) - задачи» и «(Г, р2, ..., /?т) - задачи» соответственно:

Например,

Промежутком [а, г22у((х)) называется такой промежуток, в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двух последовательных двукратных нулей (¿1 < Ь), не может иметь справа от нуля производной.

В промежутке [а, Гух2\(аУ)любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее нуля производной t\, простого нуля ¿2 и двукратного нуля /3 (¿1 < ¿2 < Н), не может иметь справа от более нулей.

Алиев Р.Г. в работах [6-10] в терминологии докритического промежутка дает сравнительно полную картину распределения нулей решений однородного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка Ьь[х\ = 0.

Ниже приводим некоторые результаты Алиева Р.Г.

Теорема 1.2. В промежутке [а, г2\\{а)) нетривиальное решение уравнения Х4[х] = 0, имеющее трехкратный нуль t\, не может иметь справа от ^ более нулей, т.е. г2\\(а)<гзх(а).

Теорема 1.3. Пусть До) = тт[г]3(а), г2ц(а)]. Тогда г22(0:) > fX.cc), т.е. в промежутке [а, Д«)) нетривиальное решение уравнения ¿4[х] = 0 не может иметь двух кратных нулей.

Теорема 1.4. Пусть Да) = тт[гЪ\{а), г22(<2)]. Тогда г2\\(а) > р(а), т.е. в промежутке [а, р(а)) нетривиальное решение уравнения ЬА[х] = 0 с кратным нулем £ может иметь справа от £ не более одного нуля.

Первая глава нашей диссертации посвящена распределению нулей нетривиальных решений линейного однородного уравнения пятого порядка в терминах до-критических промежутков краевых задач Валле-Пуссена. Отметим, что используемый нами метод доказательства основных теорем существенно отличается от метода, при помощи которого установлены законы распределения нулей решений в диссертации Алиева Р.Г. Суть нашего метода заключается в том, что мы сначала доказываем вырождение нетривиальных решений ¿-точечных задач в нетривиальные решения двух или трехточечных задач (к = 3, 4, 5). А затем устанавливаем предельные соотношения между длинами докритических промежутков краевых задач.

Наши основные результаты по распределению нулей решений в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена:

Теорема 1.3.1. Справедливы следующие утверждения:

1. В промежутке [а, г12\ (яг)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа ¿1 более нулей, Т.е. 7*221 («) ^ '41 («)•

2. В промежутке [а, г31, (а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа более нулей, т.е. гъи (а) < г41 (а).

3. В промежутке [с1, 7*13] (#)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа Г) более нулей, т.е. гт{а)<г4Х{а).

4. В промежутке \ос, г2111(а))любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа t\ более нулей, т.е. г2П\(а) < г4](а).

Теорема 1.3.2. Справедливы следующие утверждения:

1. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке {гХ22{ос),а\ четырехкратный нуль г, не может иметь слева г более нулей, т.е. Ги{а) < Г\22{сс_).

2. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке О1211 (#),#] четырехкратный нуль г, не может иметь слева т более нулей, т.е. ги(а) < гШ\(а).

Теорема 1.4.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Если г2Ъ{а) <г32(а), то в промежутке [а, Г2п{ос)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двукратный нуль t\, не может иметь справа от ^ нуля выше второй кратности, т.е. г2x2(0) < г2з(а).

2. Если г32 (а) < г21 {а), то в промежутке [а, г2\2(а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее трехкратный нуль не может иметь справа от t^ кратного нуля, т.е. г2\2(&) < гЪ2(а).

Теорема 1.4.2. Справедливы следующие утверждения:

Если гт\{а)<Г22\{а),то г12и(а)<гзи(а).

Если гцш(а) < Г2\и(а), то гхпи(а) <гХ2\\(а).

Если гпп(а) > г212(а), то гш х (а) > гХ22{а).

Если ги21(а)>г]22(а), то ги21(а)>гш(а).

Во второй главе мы исследуем законы распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков так называемых задач неваллепуссеновского типа. При этом получены следующие результаты: Теорема 2.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть р(а) = тт[г2ъ{а),гуъх(ау\. Тогда гУЛ{рс)> р(а), т.е. в промежутке \сс,р(аУ) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке ¿1, не может иметь справа ¿1 четырехкратного нуля.

2. Пустьр(а) = min[r32(а),г^31,(а)]. Тогда r4Y(a) > р(а), т.е. в промежутке [iа,р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t\ нуля производной.

3. r3iv{a)> p{a) = mm[rAV{a), г32(а)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее трехкратный нуль t\ и простой нуль t2 > t\, не может иметь справа t2 нуля производной.

4. rYn(a)> р{а) = тт[гхч{а), г23(ог)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке t\ и простой нуль t2 > t\, не может иметь справа /2 нуля выше второй кратности.

5. Пусть p{a) = mm[r22V{a),r2U{a))JIoTj\dL в [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее двукратный нуль t\ и два простых t2 и /3 справа от t\, не может иметь справа от /3 нуля производной, т.е. г2!,,,(а) > mm[r22r (а),г2П(а)].

6. Пусть р(а) = min[rli22(ar), г212(г*)).Тогда в [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее имеющее нуль производной в точке t\ и два простых t2 и i3 справа от /ь не может иметь справа от i3 кратного нуля, т.е rru2(a) > р{а) = тт[гп2(а),г2п(а)].

7. rU2V{a)>p{a) = mm[rl2iv{a), r22V{a)\, т.е. в промежутке [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее последовательные нули t\, t2 и двукратный нуль i3 (t\ < t2< i3), не может иметь справа от f3 нуля производной.

Теорема 2.2.2. Справедливы следующие утверждения:

1. r4y(a)>rl3y(a), т.е. в промежутке [<х,г13,-(«)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t] нуля производной.

2. г41,(ос) > гзп,(ос), т.е. в промежутке [а,гзи,(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа ^ нуля производной.

3. г41, (ос) > г22Х (ос), т.е. в промежутке [сх,г22Х(ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа ^ нуля производной.

4. г4Г(сс) > г2ПГ(ос), т.е. в промежутке [ос,г2ПУ(ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не мо-

ят.лг^ - - - » . лгтмппл I" 1Г1Л ГГЛЛ11ППЛТТ1ГЛ»1

/Л.С1 имею сираоа I] прш иритоидпип.

5. г4х,(ос) > г1211,(ос), т.е. в промежутке [ос,г|211,(а)) любое нетривиал-ное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа нуля производной.

6. г4У(сс) > гП21, (ос), т.е. в промежутке [ос, г1121, (ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа t^ нуля производной.

Теорема 2.2.3. Справедливы следующие утверждения:

1. Если г12]\'(ос)<г2211(ос), то г^и^сс) <гЪХу{а).

2. Если П121'(а)<г212(а), то гП2Г(а) <г22Г{а).

3. Если г2Ш'(а)<г31Г(а), то г2П\(а)< г22У{ а).

Таким образом, в нашей диссертации мы частично обобщаем результаты Алиева Р.Г. по распределению нулей нетривиальных решений однородного уравнения в терминах докритически�