О промежутках единственности решений многоточечных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Аль-Джоуфи Салах Али Салех АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Махачкала МЕСТО ЗАЩИТЫ
2013 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «О промежутках единственности решений многоточечных краевых задач»
 
Автореферат диссертации на тему "О промежутках единственности решений многоточечных краевых задач"

На правах рукописи

Аль-Джоуфи С ал ах Али Салех

промежутках единственности решений многоточечных краевых задач

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4 АПР 2013

ВОРОНЕЖ-2013

005051296

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Владимир Петрович, Воронежский государственный университет, профессор кафедры математического моделирования

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович, Белгородский национальный исследовательский университет, профессор кафедры математического анализа.

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 16 апреля 2013 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038..22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «/£ » марта 2013 г. Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.038.22 Гликлих Ю.Е.

доктор физико-математических наук,

профессор Алиев Рзахан Гюльмагомедович, Дагестанский государственный университет, профессор кафедры математического анализа

Официальные оппоненты:

Общая характеристика работы Актуальность темы. Вопрос о распределении нулей решений однородного линейного дифференциального уравнения соприкасается со многими исследованиями по теории и практике дифференциальных уравнений. В частности, таковыми являются: исследования по дифференциальным и интегральным неравенствам; оценки промежутков единственности решений краевых задач (промежуток применимости теорем о дифференциальных неравенствах), оценки функций Грина различных многоточечных краевых задач; исследования по вопросу колеблемости решений дифференциальных уравнений.

Цель работы. Установление законов распределения нулей нетривиальных решений уравнения(*)при п = 5 в терминах докритических промежутков многоточечных краевых задач Валле-Пуссена, установление законов распределения нулей решений и их первых производных уравнения (*) при п = 5 в терминах докритических промежутков так называемых задач неваллепуссенов-ского типа, описаниие поведения оценки промежутков единственности решений трехточечных краевых задач с фиксированными точками, изучение вопроса об оценках собственных значений краевых задач, построение функции Грина трехточечной краевой задачи для уравнения Цх\ = ¿п> =М, изучение оценки наименьших по абсолютной величине собственных значений краевых задач для линейного однородного уравнения пятого порядка с краевыми условиями.

Научная новизна. Все результаты, полученные нами и включенные в диссертацию^вляются новыми. Ниже перечислены наиболее значимые из них.

1. Вырождение нетривиальных решений т-точечных задач в нетривиальные решения ^-точечных задач (3<т<5,2<к<А, к<т).

2. Соотношения между докритическими промежутками многоточечных краевых задач Валле-Пуссена.

3. Рассмотрены так называемые сопряженные докритические промежутки и установлены соотношения между ними .

4. Распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков задач неваллепуссеновского типа.

5. Построение функции Грина трехточечных краевых задач и оценки

промежутков единственности решений этих задач.

6. Описание исследований краевых задач с фиксированными точками.

Метод исследования.Наши исследования проведены методом предельного перехода, который существенно отличается от метода, при помощи которого Алиев Р.Г. проводил аналогичные исследования для уравнения четвертого порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Работа в основном носит теоретический харакгер.Однако полученные результаты могут быть использованы при решении конкретных практических задач.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на Международной конференции«Мухтаровские чтения»,«Актуальные проблемы математики и смежные вопросы», Дагестанский государственный технический университет»,Махачкала,2012;У-Всероссийской научно практической конференции «Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов Российских вузов»,Томск, 25-27апреля 2012 г.; ^-Международной научно-практической конференции «Модернизация системы непрерывного образования», Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, 29 июня—1 июля 2012 г.

Публикации по диссертации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 - И]. Работы [2], [3], [6], [7] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобразования РФ. Из совместных работ [1], [2], [4], [5], [10], [И] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 73 наименова-ний.Общий объем диссертации 135 страниц.

Краткое содержание диссертации

Классическая теорема Штурма разрешает вопрос распределения нулей решений уравнения второго порядка х' + g0(t)x + g1 (t)x = 0.

Минусинским Я. для уравнения Xм + g(t)x = 0, где функция g(t) непрерывна и положительна, получен аналог теоремы Штурма:

Если решения u(t) и v(t) уравнения /n) + g(t)x=0 удовлетворяют условиям н(а) = и\а)=... = и(п~2) (а) = 0, и(п_1)(а) = 1,

v(r) = v'(?0 = - = v(n~2) (у) = 0, v("_1) (у) = 1, то их нули чередуются

Ковдратьев А.К., рассматривая то же самое уравнение Xм + g(t)x = 0 для значений п-3 и п-4 при знак постоянном коэффициенте git).

Рамки исследования проблемы распределения нулей решений значительно расширяются, если связать этот вопрос с исследованием промежутка однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для данного уравнения общего вида

*(л) + g„_, (О*«""« +... + *„ (О* = 0 (*)

с непрерывными коэффициентами.

Азбелев КВ. и Цалюк З.Б. при и = 3, Алиев Р.Г. при л = 4 в терминах до-критических промежутков краевых задач дают сравнительно полную картину распределения нулей решений уравнения (*).

В нашей диссертации, где исследован вопрос распределения нулей решений уравнения (*) при п = 5, не только обобщаются результаты Алиева РГ., но в основном получены новые результаты.

Первая глава нашей диссертации посвящена распределению нулей нетривиальных решений линейного однородного уравнения пятого порядка в терминах до-критических промежутков краевых задач Валле-Пуссена.

-8Л')хъ-g3(t)x"-g2( t)x"-gl(t)x-g0(t)x=0, (1)

x(ti) = x(ti)=..-x^p'-l\ti) = 0, (2)

где i = 1,2,..., m; m = 2, 3,4,5; px + ... +pm = 5; a <tt < ... < tm < +

т - число точек, в которых заданы краевые условия; р1 - число краевых условий в точке П. Например, при т = 3, рх = 3, р2 = 1, Ръ = 1 имеем трехточечную «(3, 1,1)-задачу» ((0.0.1), (0.0.6)); при т = 5 имеем пятиточечную «(1,1,1,1,1) - задачу».

Промежуток [а, /3)', в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1) имеет не более четырех нулей с учетом их кратностей, называется промежутком неосцилляции этого уравнения. Максимальный из промежутков неосцилляции с общими началами в а обозначим [а, г(а)).

Известно, что для любой точки а, являющейся левым (правым) концом промежутка неосцилляции [се, $ ((/4 а]) можно ввести понятие сопряженной справа (слева) точки а, (а) как зиргетит (¡гфтит) тех Р (р), при которых [сг,а), ((«,£*]) является промежутком неосцилляции {а < р < а, а<ц<а). В отличие от промежутка неосцилляции [а,г{а)) назовем промежуток (а,а] сопряженным промежутком неосцилляции и обозначим этот промежуток (г(а),а].

Промежуток [ОС, 77), в котором при любых гь Гг, Н, г4, Це [а, ф данная краевая задача имеет единственное решение, назовем докритическим промежутком этой задачи.

Каждая многоточечная краевая задача Вале - Пуссена определяется числом т- точек задания краевых условий и числом р1 - краевых условий в точках и (1 = 1,2,3,4,5; 2< т <5, Рх + ... +Р* = 5). Поэтому в каждом конкретном случае будем говорить о «(ри р2, ■ ■ ■. Рт) - задаче».

Максимальный из докритических промежутков «(риРг, —,Рт) ~ задаче» с общим началом а обозначим [а,гй(а)), а сопряженный докри-

тический промежуток(гр1/,я (а),а].Например, [« г41(аО) ((г41(а),«]) - максимальный из докритических промежутков (сопряженных докритических промежутков) двухточечной краевой «(4, 1) - задачи» с общим началом а,

где в точке Ь заданы четыре условия (значение функции и значения трех последовательных производных, начиная с первой), в точке н задано одно ус-

ловие значение функции. Аналогично обозначаются максимальные докрити-ческие промежутки остальных краевых задач: [о;г12ц(о)) максимальный док-ритический промежуток четырехточечной «(1,2,1,1,) - задачи», и т.д.

Отметим, что используемый нами метод доказательства основных теорем существенно отличается от метода, при помощи которого установлены законы распределения нулей решений в диссертации Алиева РТ. Суть нашего метода заключается в том, что мы сначала доказываем вырождение нетривиальных решений к-точечных задач в нетривиальные решения двух или трехточечных задач (к=3,4,5). А затем устанавливаем предельные соотношения между длинами докритических промежутков краевых задач.

Наши результаты по распределению нулей решений в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена:

Теорема 1.3.1. Справедливы следующие утверждения:

1. В промежутке [а, г221(а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль (¡, не может иметь справа и более нулей, т.е. г221 (а) < г41 (а).

2. В промежутке [а, г311(а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль и, не может иметь справа ь более нулей, т.е. гзп (а) < г41 (а).

Теорема 1.3.2. Справедливы следующие утверждения:

1. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке (г122(а),а] четырехкратный нуль г, не может иметь слева г более нулей, т.е. г14(а) < гш(в).

2. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке (г121 ¡(а),«] четырехкратный нуль г, не может иметь слева г более нулей, «.е. Г14(а)<Г12п(а).

Теорема 1.4.1. Справедливы следующее утверждение:

1. Если r23(a) <г32(а), то в промежутке [а, г2и(аО) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двукратный нуль гь не может иметь справа от fi нуля выше второй кратности, т.е. /212(0) < г23(ûi).

Теорема 1.4.2. Справедливы следующие утверждения:

Если ri2ii(û) < гг21(0). "»о >"1211(0) ^ г3ц(о).

Если r12U(a) > г212(а), то гШ1(а) > г122(а).

Во второй главе мы исследуем законы распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков так называемых задач неваллепуссеновского типа:

Ls[x] = 0, (3)

x(ti) = xXti) = ...= x{p'-1\ti) = Atm) = 0, (4)

где i = 1, 2.....m-1; m = 2,3, 4, 5; р, + ... + pm-i + 1=5;

а < ti < ... < tm < +

x(h) = *(f,) = *'(*,) =... = (0 = 0, (5)

где i = 7,2, ...,m-l; m = 2,3, 4, 5; i+p; + ... + Pm-i = 5;

a<tj<... <fm< + «ï

m - число точек, в которых заданы краевые условия; pf - число краевых условий в точке f,. Например, при m = 3, pi = 3,р2 = 1, Ръ = 1 имеем трехточечную «(3,1,10 - задачу» при краевых условиях (4); при m = 5 имеем пятиточечные задачи: «(1, 1,1, 1, 1') - задачу» (в последней точке задано

значение первой производной решения).

Впервые вопрос о распределении нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков краевых задач для уравнения третьего порядка рассматривался Алиевым Р.Г. Возможности применения метода исследования, при помощи которого получены результаты Алиева Р.Г. весьма ограничены.

Мы в своих исследованиях, частично использовали метод работ Алиева Р.Г., а в основном метод предельного перехода , которые в совокупности

дают возможность получить сравнительно полную картину распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков краевых задач для уравнения пятого порядка.

Нами установлены следующие соотношения между длинами докритических промежутков задач неваллепуссеновского типа:

Теорема 2.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть р{а) = пип[г2з(а),г1'з1(ог)]. Тогда Г[<4 (а) £/?(«), т.е. в промежутке [а,р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке fb не может иметь справа h четырехкратного нуля.

2. Пустьа) = min[ r31 (а), г„,.(а)]. Тогда гА1.{а) > р(а), т.е. в промежутке [а,р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t\ нуля производной.

3. r311<(a)>/?(a) = min[r41'(a), г32(а)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее трехкратный нуль ti и простой нуль h > th не может иметь справа t2 нуля производной.

Теорема 2.2.2. Справедливы следующие утверждения:

1. r41'(af)Sr13i'(flr), т.е. в промежутке [а,гт-(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль h, не может иметь справа fi нуля производной.

2. r4V(a) > ГШ(СИ), т.е. в промежутке [а, г,и.(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль /ь не может иметь справа ii нуля производной.

Теорема 2.2.3. Справедливы следующие утверждения:

1. Если ruw

2. Если rim(а) < гш(а), то гШг(«) < гт-{а).

Таким образом, в нашей диссертации мы частично обобщаем результаты Алиева Р.Г. по распределению нулей нетривиальных решений однородного уравнения в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена, полученные

им для уравнения четвертого порядка, на уравнения пятого порядка. А в основном нами получены новые результаты (теоремы: 1.3.1,1.3.2, 1.4.1,1.4.2).. Длязадачне-валлепуссеновукого типа нами доказаны теоремы (2.2.1,2.2.2,2.2.3).

Третья глава нашей диссертации посвящена оценкам промежутков единственности решений трехтбчечных краевых задач с фиксированными точками. Здесь также рассматривается вопрос об оценках собственных значений краевых задач.

В параграфе 3.2 построена функция Грина трехточечной краевой задачи для уравнения Цх] = xfn) =fi}). В параграфе 3.3 получены оценки промежутков единственности решений задачи

L[x\ = xv -g(t)x = 0, (6)

x(0) = х'(0) = ... = ^''""(О) = 0,

х(£) = х'(£) =... = *<ft"I>(i) = 0. *(й) = *'(>") = - = *(fH>№ = О, (7)

О < £ < A, pi + рг +Рз = 5, функция g(t) - непрерывна на отрезке [О, А].

Положим шах \g(t)\ — M, £ = Sh, 0<J<1.

0£l<h

Теорема 3.3.1.Промежуток[0, А)является докритическим задачи(б), (7), если

„ЛЫЖ»®. чю-22* (8)

o<i<i[V М V М J Wi(S) = \Pl + p2 + (p1 + p3)S+(-1У <p(5)Y [(-1)'(Pi + Рг) +

+ (-l)w (Рг + S)S + [5 + p3 - (Pi + p3)5 + (-1)M <p(S)f3, (9)

Ц2 °4<*<h =+ P2+(Pl + Pi)S]2-Шрх• (10)

Используя эту теорему, получены оценки промежутков единственности решений задач («2,2,1)-задача», «2,1,2)-задача», (3.1,1)-задача») с фиксированной промежуточной точкой (О, А).

Оценкам промежутков единственности решений краевых задач посвящено много исследований. Нас интересует вопрос об оценках докритиче-

ских промежутков краевых задач с фиксированными точками. В краевых условиях (7) фиксирована первая слева точка t = 0. Кроме этого, введя обозначение ¿j = Sh, 0 < 5 < 1, мы фактически фиксируем и промежуточную точку £ Важность оценок вида (8) на наш взгляд заключается в том, что, придавая ö из промежутка (0, д) различные значения (при этом промежуточная точка £ перемещается в промежутке (0, h)), мы можем получить оценки промежутков однозначной разрешимости краевых задач при любом фиксированном значении ¿¡е (О, Л).Сказанное иллюстрируем, рассматривая конкретные трехточечные краевые задачи с фиксированными точками.

Предварительно рассмотрим некоторые свойства функций Fi(<5) и F2{8). Из формул (9) находим

lim yfy(8) = 0, lim уг{8) = 25PiPi(.p2 + ръУ1+р>\ i-»0+ i-»l-

lim 1/г($) = 2s(pt + P2)Pl*Pi РзР1 > Um Vi(5) = 0

5-t 0+ i-*l- .

и,значит, lim pi(S) = ^> iim = - 5153

$14 ' ¿4 1- Р1р'(Р2 + Рг)"'*"1

Шп р2(3) =-5111-, Пш ^ (£) = -+-.

(Р1 + р2)р Рз

Если функция /¡(г) имеет в некоторой точке t = ^ конечный предел (односторонний предел), то будем считать, что эта функция в точке ¡а определена и непрерывна. Поэтому можем себе позволить записывать

лсо-_^-. гя(0)в-— (П)

Пусть Л такое значение

0<£<1

, 5!5 5!5

F(S0) = min

(12)

,р/1(Р2 + Рз)Рг + Р5'(Р1 + Р2)"1 + Р1РзРз При р\ = 2, рг = 2,^з=1, т.е. для «(2,2,1)-задачи» из равенства (12) получим

F(<5o) = min|^^, -p^j = min{3472; 1465}=1465, (13) 11

т.е. ^(¿ь) = ^2(0) = 1465. Значит, 4 = 0. Поэтому достаточное условие (8) однозначной разрешимости «(2,2,1)-задачи» для уравнения примет вид

Ь<{[Ш=Ш. (14)

V м V м

Аналогично для «(2,2,1) -задачи» при различных промежуточных значениях де (0; 1) можно получить соответствующие оценки вида (14).

Например, если 8 = 0,3, то ^(0,3) = 395585, ^(0,3) = 3843. Отсюда и из (8) получим достаточное условие однозначной разрешимости «(2,2,1) -задачи» с фиксированной промежуточной точки £ = 0,3/г, т.е. с краевыми условиями х(0) = х'(0) = х(0,ЗЬ) = х'ф,Ък) = х{к) = 0:

У ' W<9 F2(<9 / У' \F,<3> F¿S)/

л с Л 1 • 1 • t 1 С

0 «я 1 г 0 <51 1 X

Рис. 1 Рис. 2

На рисунке 1 изображены эскизы графиков функций Fi(<5) и F2(<5) при условии Fi(l) >F2(0). В частности, для рассматриваемой нами «(2,2,1) -задачи» точки А и С имеют координаты: А(0; F2(0)), C(l; Fi(l)), где

f FJS), о ¿SUS.,

F2(0)=1465, F,(l)=3472. Обозначим =

где <5¡ - абсцисса точки 5 пересечения графиков функций F¡(S) и F2(<5). Как следует из рисунка 1 (и 2), графиком функции F(S) является кривая ABC.

Для задачи (6), (7) обозначим: [0, rPiPjP3 (0)) - докритический промежуток при фиксированном значении, равном нулю, первой слева точки задания краевых условий (7) и при любом £е (0, h); [0, гР]РгРз (0; ¿fi))- докритический промежуток для фиксированных значений £ = ¿h е (0, h). Очевидно, что промежуток [0, rpiPiPi (0; ô^)) является максимальным из докритических

промежутков для фиксированных значений (0, К).

Из определений промежутков [0, гр1РгРг (0)), [0,

[О, гр р р (0; ¿i/0) вытекает следующая цепочка неравенств:

Из неравенств (14), (15) будем иметь соответственно неравенства

Для того чтобы вычислить значение 8 - ^, нужно решить уравнение Fx(8) = F2(S), 0 < S <1. Если pi = р3 (например, для «(2,1,2) - задачи» в случае п = 5) нетрудно показать, что i = 0,5. При этом будем иметь:

Fi(0,5) = F2(0,5) = 13466 и, значит, промежуток [0, г212(0; 0,5h)) является максимальным из докритических промежутков «(2,1,2) - задачи» с фиксированной промежуточной точкой ¿;= She (0, h),

Î13466 fÏ3466

r212(0;0,5A)<A<?—— , т.е. при h<,

М V М

«(2,1,2)-задача» для уравнения (3.3.1) с краевыми условиями х(0) = х'(0) = 0, х(0,5й) = 0, х(Ю = х\К) = 0

однозначно разрешима.

Решение уравнения 5) = ^(<5), 0 < 5 <1 для краевых «(рир2,рз) - задач» представляет трудоемкую работу в случае, когда р\ * ръ- Привлекая компьютерную технологию, можно построить соответствующие графики функций /*\(<5), ^2(<5) и вычислить приближенное значение Например, для

13

«(2,2,1) - задачи» при помощи программы «МсЛксасЬ с точностью до 0,001 находим значение « 0,618. Значит, промежуток [0, г212(0; 0.618А)) является максимальным из докритических промежутков «(2,2,1) - задачи» с фиксированной промежуточной точкой £ = Л е (0, Л).

В параграфе 3.4 получены оценки наименьших по абсолютной величине собственных значений краевых задач для уравнения Цх] = ху -р(1)х = 0 с краевыми условиями (7) при р\ = 3, рг= 1, Ръ = 1;

рх -2, р2 = 2, ръ = 1;р1 = 2,р2 = \,рг = 2.

Теорема 3.4.1.Справедливы следующие оценки:

4!£3А3 (А -¿)_

Ц (3,1,1) 1>тах

¡Г5 (£ - Ш - Г) I #3 (А - /)3 —А3 (£ - О3 II Р{1) IЛ

о

4!А3(А-£)

4!|3А2(А-£)2

IЛ1 (2,2,1) I > тах

4!Л2(Л -

л

и

где ^ (гА) И А2 - О2 Л) + - - 0?2 : > •

1Л1 (2,1,2) 1> тах

4!£ 2Л3 (А - £)2

К (А

4!А3 (Л - £)2

H2(r,í,h) =1 (й - t)g¿t,v4,h) - 4 h(h - £)g2(t,t;<*,h) I.

Публикации автора по теме диссертации

[1]. С. А. Аль-Джоуфи. О знаке функции Грина краевой задачи для дифференциального уравнения пятого порядка / А.Х. Катхим., С. А. Аль-Джоуфи. //Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (материалы V Международной научной конференции, посвященной 80-летию ДГУ, 26-29 сентября 2011г.). Махачкала,2011, С. 156-162.

[2]. С. А. Аль-Джоуфи. Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 5-го порядка / . С. А. Аль-Джоуфи., А.Х. Катхим //Вестник ДГУ. вып. 1,2012,, С. 79-86.

[3]. С. А. Аль-Джоуфи. О нетривиальных решениях многоточечной однородной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. // Вестник ДГУ. Вып. 1,2012, С. 87-92.

[4]. С. А. Аль-Джоуфи. О соотношениях между промежутками единственности решений краевых задач для уравнения пятого порядка / С. А. Аль-Джоуфи., А.Х. Катхим //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, ДГТУ, С. 19-23.

[5]. С. А. Аль-Джоуфи. Законы распределения нулей решений краевой задачи Валле Пуссена для линейного дифференциального уравнения пятого порядка / Аль-Джоуфи С.А., Джасим М.Д., Катхим А.Х //Современные методы краевых задач (материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - ХХШ»). Воронеж, 2012, С. 6-9.

[6]. С. А. Аль-Джоуфи. О вырождении нетривиальных решений многоточечных краевых задач в нетривиальные решения двухточечных задач в случае линейного дифференциального уравнения пятого порядка. // Вестник ДГУ. Вып. 6, 2012, С.119-126.

[7]. С. А. Аль-Джоуфи. Предельные соотношения между докритиче-скими промежутками многоточечных краевых задач для линейного дифференциального уравнения пятого порядка// Вестник ДГУ.Вып.6,2012,С.61-66.

[8]. С. А. Аль-Джоуфи. О нулях решений линейного дифференциального уравнения пятого* порядка. //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, С. 23-26.

[9]. С. А. Аль-Джоуфи. О распределении нулей решений и их первых производных линейного дифференциального уравнения пятого порядка. //V Всероссийская научно-практическая конференция. «Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов Российских вузов», 25-27 апреля 2012 г. Сб. докладов .Т. 1, Томск, 2012, С. 316-318.

[10]. С. А. Аль-Джоуфи. Функции Грина трехточечной краевой задачи / С. А. Аль-Джоуфи., К.Г. Керимов. // Модернизация системы непрерывного образования. IV Международная научно-практическая конференция . Махачкала, 2012, С. 278-283.

[11]. С. А. Аль-Джоуфи. О свойствах одной нелинейной системы / А.Х. Катхим., С. А. Аль-Джоуфи., М.Д. Джасим. А.Р. Эфендиев //Актуальные проблемы математики и смежные вопросы (материалы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала, 2012, ДГТУ, С. 100-104.

Работы [2], [3], [6], [7] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобразования РФ.

Подписано в печать 07.03.2013 г. Формат 60 X 84/16 . Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,93 Тираж 100 экз. Заказ №712

Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30

 
Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Аль-Джоуфи Салах Али Салех, Махачкала

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АЛЬ-ДЖОУФИ САЛАХ АЛИ САЛЕХ

04201356138

О промежутках единственности решений многоточечных

краевых задач

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация На соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор Р.Г.Алиев

МАХАЧКАЛА - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ......................................................................3

ГЛАВА I. Законы распределения нулей решений уравнения L[x\ = 0 в терминах докритических промежутков краевых задач

Валле-Пуссена.................................................................... 17

§ 1.1. О нетривиальных решениях краевых задач................... 17

§ 1.2. Вспомогательные леммы...........................................24

§ 1.3. Теоремы о соотношениях между докритическими

промежутками краевых задач................................................ 36

§ 1.4. Теоремы об условных соотношениях между

докритическими промежутками.............................................. 61

ГЛАВА И. Законы распределения нулей решений и их

производных уравнения L[x] = 0............................................. 85

§ 2.1. Предварительные леммы.......................................... 88

§ 2.2. Теоремы о соотношениях между докритическими

промежутками краевых задач неваллепуссеновского типа............ 90

ГЛАВА III. Оценки промежутков единственности решений

краевых задач...............................................................108

§ 3.1. Связь между краевыми задачами и интегральными

уравнениями......................................................................108

§ 3.2. Функция Грина трехточечной краевой задачи............... 111

§ 3.3. Однозначная разрешимость краевых задач с

фиксированными точками.....................................................118

§ 3.4. Оценки собственных значений трехточечных

краевых задач................................................................... 125

Литература................................................................. 129

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена законам распределения нулей решений линейного однородного дифференциального уравнения пятого порядка в терминах докритиче-ских промежутков многоточечных краевых задач Валле-Пуссена и задач невалле-пуссеновскош типа.

Краевые задачи

¿5[х]=х Xlv-g3(t)xm-g2(t)x''-gl(t)x' (0.0.1)

= х\Ц = х"(?]) = х""(?|) = х(^ ) = 0? а<ь<г2, (0.0.2)

= Х&2 = Х'(/2) = ХЧГ2) = ^2) = 0, я < < ¿2, (0.0.3)

= хк(?1) = х(?2) = х'«2) = 0, (0.0.4)

х{ц = Х(?2 ) = Х'^2 ) = х"(?2 ) = 0, а<и < г2, (0.0.5)

= Х% = х"^) = х(*2) = х(*3) = 0 , а<Ь<12<и, (0.0.6)

= х(/2 = х(?з) = х'(?з) = х"(Г3 ) = 0, а<и<Ь<Ь, (0.0.7)

х(?1 = х'(г2) = х"(г2) = *0з) = 0> (0.0.8)

х{Ц = Х\Ч = х(/2) = х'(*2) = *('з) = 0> а<и<Ь<Н (0.0.9)

х{Ц = х\Ц = х(^2) = х(?з) = х'(?з) = 0, а<и<12<и, (0.0.10)

= Х(?2 = х'((2 ) = хЦъ ) = х\Ц ) = 0, а<и<г2<и, (0.0.11)

х{Ц = х'(Ц = х(г2) = х(г3) = х(?4) = 0, а<1}<Ь<Ц<и, (0.0.12)

х{Ц = х(*2 = х'(?2) = х(г3) = х(?4) = 0, а<11<Ь<13<и, (0.0.13)

= х(/2 = х(?з ) = х'(^з ) = х(/4 ) = 0, (0.0.14)

= Х(?2 = х(/3 ) = х(Г4 ) = х'(?4 ) = о, а<и<12<и<и, (0.0.15)

= Х^2 = х(?з ) = х(Г4 ) = х(?5 ) = 0, а<Ь<Ь<г3<и<Ъ (0.0.16)

где в краевых условиях заданы значения функции и последовательных её производных, называются краевыми задачами Балле - Пуссена в отличие от краевых задач для уравнения (0.0.1) с краевыми условиями

хЦх) = х'(!х) = х\^) = хт(ц) = х'Ц2) = 0, а<Ь<Ь (0.0.17)

= хУ2) = х"«2) = хж(Г2) = 0, а<и < г2, (0.0.18)

— ) =ЛЧ)-- = х(*2) = --0, (0.0.19)

= х(/2) = --х'(Ь)-- = *'(*2) = = х'(/3) = 0, (0.0.20)

= *С2) = х'«2) = х\Ь) = *('з) = 0, а<и<Ь<Ц, (0.0.21)

~-х%) = =0, а<и<12<13, (0.0.22)

= *('2) = --Х'(!2) = = *'('з) = = 0, а<Ц<Ь<Ь, (0.0.23)

= *(*2> = х'Ы = *('з) = = *'Сз) = = 0, а<Ц<Ъ<1* (0.0.24)

= х((2) = 0, (0.0.25)

= *С2) = =х'(;2) = = х(^) = х'(/4) = = 0, Я (0.0.26)

= х(*2) = = х(г3) = Х%) = х'(и) = =0, а<11<г2<Ц<и (0.0.27)

= хЦ2) = *('з) = = х(и) = х'(и) = = 0, (0.0.28)

= Х(!2) = х(^) = = Х%) = = 0, а<и<Ь<Ц< и, (0.0.29)

= х(*2) = Х%) = х(Ь)-~ = х(*4) = = 0, (0.0.30)

= х(*2) = = *('з) = х(и) = х'(15) = 0, а<Ь<Ь<Ь<и< Ц, (0.0.31)

= *('2) = ) = х(*5) = 0, ¿5,(0.0.32)

где в одной из крайних точек (слева или справа) задано только значение первой производной функции. Такие краевые задачи условно называются задачами неваллепуссеновского типа. Коэффициенты gcit), g¡(f), g2(t)) g£t), g4(t) считаем непрерывными в промежутке [а, +оо).

Вопрос о законах распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения соприкасается со многими исследованиями по теории и практике дифференциальных уравнений. В частности, таковыми являются: Исследования по дифференциальным и интегральным неравенствам,которые в свою очередь приводят к теоремам об оценках решений дифференциальных уравнений, позволяющим строить эффективные методы приближенного решения дифференциальных уравнений и краевых задач;Оценки промежутков единственности решений краевых задач (промежуток применимости теорем о дифференциальных неравенствах),

оценки функций Грина различных многоточечных краевых задач; Исследования по вопросу колеблемости решений дифференциальных уравнений.

Теоремы, аналогичные классической теореме Штурма 1 о разделении нулей решений уравнения второго порядка, для некоторых уравнений высших порядков начали появляться сравнительно недавно.

Минусинским Я. [60] для уравнения х(п) + = 0, где функция непрерывна и положительна, получен следующий аналог теоремы Штурма:

Если решения м(/) и у(/) уравнения х(п) + £(ф: = 0 удовлетворяют условиям и(а) = и'{а) = ... = и{"-2\а) = 0, и{"-Х)(а) = \, и(/3) = 0,

у(;к) = уХг) = ...= ^-2)(г) = 05 v("-1)(r) = 1, ос <у<Р, то решение у(У) не имеет нулей в (у, /3\.

Кондратьев А.К. [22], рассматривая то же самое уравнение х(п) + = 0 для значений п = 3 и п - 4 при знакопостоянном коэффициенте g(t) доказал следующие теоремы о чередовании нулей решений:

1) если и = 3, то между двумя последовательными нулями одного решения лежит не более двух нулей другого;

2) если п = 4 и g{t) > 0, то между двумя последовательными нулями одного решения лежит не более четырех нулей другого, причем четыре нуля лежать могут;

3) если п = 4 и < 0, то между двумя последовательными нулями одного решения лежат не более трех нулей другого.

Ахундов А.М. и Тораев А.Т. [12] нашли обобщение результата Кондратьева А.К. для уравнениях" + gx (?)х' + g] = 0, где g|(t) < 0, g^t) знакопостоянна.

Левин А.Ю [28] показал, что теорема Кондратьева А.К. справедлива и для уравнений вида хт + gl (/)х" + (0х' = 0 и + ОКО*')' = 0.

Таким образом, можно было придти к выводу о том, что возможность более глобального исследования проблемы распределения нулей решений дифференци-

1 Если (2 — последовательные нули решения х\(() уравнения второго порядка с непре-

рывными коэффициентами х" + gQ(¿)х' + g| (?)х — 0, то всякое другое линейно независимое решение Х2(1) имеет ровно один нуль между Ц и

альных уравнений ограничена рамками классического метода, в котором объектом исследования однозначно являлось только дифференциальное уравнение.

В 60 —х годах прошлого столетия законы распределения нулей решений начали изучать в одном пакете с вопросом исследования промежутка применимости теорем о дифференциальных неравенствах, рассматривая не одно дифференциальное уравнение, а многоточечные краевые задачи для данного уравнения. Оказалось, что рамки исследования проблемы распределения нулей решений значительно расширяются, если связать этот вопрос с исследованием промежутка однозначной разрешимости многоточечных краевых задач для данного уравнения.

После публикации работы [3], где для линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка общего вида при п = 3 в терминах докри-тических промежутков краевых задач установлены законы распределения нулей решений, появилось большое число работ [6—10,18,64], в которых с той или иной степенью полноты исследовалась проблема распределения нулей решений уравнений п-то порядка при п > 4 не только с непрерывными, но и с суммируемыми коэффициентами.

Из теоремы Валле-Пуссена [39] следует, что для каждой фиксированной точки ае[а, +оо) существует ненулевой промежуток [а, /?),в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1) имеет не более четырех нулей с учетом их кратностей.Такой промежуток называется промежутком неосцилляции этого уравнения. Максимальный из промежутков неосцилляции с общими началами в а обозначим [а, г (а)).

Замечание 0.0.1. Известно [27], что для любой точки а, являющейся левым (правым) концом промежутка неосцилляции [а, /3) {{/л, а]) можно ввести понятие сопряженной справа (слева) точки а, (а) как зиргетит (Ьфтит) тех (3 (/и), при которых [а, а), ((а,ос]) является промежутком неосцилляции. Очевидно, что а< /3< а, а< /л < а. В отличие от промежутка неосцилляции [а, г (а))

назовем промежуток (а, а\ сопряженным промежутком неосцилляции и обозначим этот промежуток (г(а),а].

Промежуток [а, г}), в котором при любых Ь, к, Не[а, ф данная краевая задача имеет единственное решение, назовем докритическим промежутком этой задачи.

Каждая многоточечная краевая задача Вале - Пуссена (неваллепуссе-новского типа) определяется числом т— точек задания краевых условий и числом р{ (<7,-) - краевых условий в точках ^ (7 = 1, 2, 3, 4, 5; 2<т<5,р] + ... + рт = 5). Поэтому в каждом конкретном случае будем говорить о «(р/, р2, ..., рт) - задаче» («(р;, р2, рт-ь Г) - задаче» или «(1 \р2> рт) - задаче)»). Штрих над единицей указывает на задание значения первой производной функции в данных (крайних) точках.

Максимальный из докритических промежутков «(р/, р2, ..., рт) - задаче» с общим началом а обозначим [а, г (<^)), а сопряженный докрити-

г 1 • • * г т

ческий промежуток (г Рт(а),а]. Например, задача (0.0.1), (0.0.2) есть

двухточечная краевая задача, где в точке ^ заданы четыре условия (значение функции и значения трех последовательных производных, начиная с первой), в точке ¿2 задано одно условие - значение функции. Имеем «(4, 1) - задачу». Значит,[а, г^\{а)) {{г^\{ос),а\) — максимальный из докритических промежутков (сопряженных докритических промежутков) «(4, 1) - задачи» с общим началом а. Аналогично обозначаются максимальные докритические промежутки остальных краевых задач:[о; г32(«)) - максимальный докритический промежуток двухточечной задачи (0.0.1), (0.0.4) или «(3,2) - задачи»; [а, Г\2\](а)) - максимальный докритический промежуток четырехточечной задачи (0.0.1), (0.0.13) или «(1,2,1,1,) - задачи», и т.д.

Расшифруем определения максимальных докритических промежутков некоторых краевых задач.

В промежутке [а, гп21(а))любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее пару последовательных простых нулей (и < ?2) и дву-

кратный нуль > не может иметь справа от более нулей.

В промежутке (/212(^)5^] любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее простой нуль ¿2 и двукратный нуль ¿3 < ¿з), не может иметь слева ^ кратных нулей.

Аналогично определяются докритические промежутки «(р;, р2, ..., рт-1, Г) - задачи» и «(Г, р2, ..., /?т) - задачи» соответственно:

Например,

Промежутком [а, г22у((х)) называется такой промежуток, в котором любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двух последовательных двукратных нулей (¿1 < Ь), не может иметь справа от нуля производной.

В промежутке [а, Гух2\(аУ)любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее нуля производной t\, простого нуля ¿2 и двукратного нуля /3 (¿1 < ¿2 < Н), не может иметь справа от более нулей.

Алиев Р.Г. в работах [6-10] в терминологии докритического промежутка дает сравнительно полную картину распределения нулей решений однородного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка Ьь[х\ = 0.

Ниже приводим некоторые результаты Алиева Р.Г.

Теорема 1.2. В промежутке [а, г2\\{а)) нетривиальное решение уравнения Х4[х] = 0, имеющее трехкратный нуль t\, не может иметь справа от ^ более нулей, т.е. г2\\(а)<гзх(а).

Теорема 1.3. Пусть До) = тт[г]3(а), г2ц(а)]. Тогда г22(0:) > fX.cc), т.е. в промежутке [а, Д«)) нетривиальное решение уравнения ¿4[х] = 0 не может иметь двух кратных нулей.

Теорема 1.4. Пусть Да) = тт[гЪ\{а), г22(<2)]. Тогда г2\\(а) > р(а), т.е. в промежутке [а, р(а)) нетривиальное решение уравнения ЬА[х] = 0 с кратным нулем £ может иметь справа от £ не более одного нуля.

Первая глава нашей диссертации посвящена распределению нулей нетривиальных решений линейного однородного уравнения пятого порядка в терминах до-критических промежутков краевых задач Валле-Пуссена. Отметим, что используемый нами метод доказательства основных теорем существенно отличается от метода, при помощи которого установлены законы распределения нулей решений в диссертации Алиева Р.Г. Суть нашего метода заключается в том, что мы сначала доказываем вырождение нетривиальных решений ¿-точечных задач в нетривиальные решения двух или трехточечных задач (к = 3, 4, 5). А затем устанавливаем предельные соотношения между длинами докритических промежутков краевых задач.

Наши основные результаты по распределению нулей решений в терминах докритических промежутков задач Валле-Пуссена:

Теорема 1.3.1. Справедливы следующие утверждения:

1. В промежутке [а, г12\ (яг)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа ¿1 более нулей, Т.е. 7*221 («) ^ '41 («)•

2. В промежутке [а, г31, (а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа более нулей, т.е. гъи (а) < г41 (а).

3. В промежутке [с1, 7*13] (#)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа Г) более нулей, т.е. гт{а)<г4Х{а).

4. В промежутке \ос, г2111(а))любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа t\ более нулей, т.е. г2П\(а) < г4](а).

Теорема 1.3.2. Справедливы следующие утверждения:

1. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке {гХ22{ос),а\ четырехкратный нуль г, не может иметь слева г более нулей, т.е. Ги{а) < Г\22{сс_).

2. Любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее в промежутке О1211 (#),#] четырехкратный нуль г, не может иметь слева т более нулей, т.е. ги(а) < гШ\(а).

Теорема 1.4.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Если г2Ъ{а) <г32(а), то в промежутке [а, Г2п{ос)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее двукратный нуль t\, не может иметь справа от ^ нуля выше второй кратности, т.е. г2x2(0) < г2з(а).

2. Если г32 (а) < г21 {а), то в промежутке [а, г2\2(а)) любое нетривиальное решение уравнения (0.0.1), имеющее трехкратный нуль не может иметь справа от t^ кратного нуля, т.е. г2\2(&) < гЪ2(а).

Теорема 1.4.2. Справедливы следующие утверждения:

Если гт\{а)<Г22\{а),то г12и(а)<гзи(а).

Если гцш(а) < Г2\и(а), то гхпи(а) <гХ2\\(а).

Если гпп(а) > г212(а), то гш х (а) > гХ22{а).

Если ги21(а)>г]22(а), то ги21(а)>гш(а).

Во второй главе мы исследуем законы распределения нулей решений и их первых производных в терминах докритических промежутков так называемых задач неваллепуссеновского типа. При этом получены следующие результаты: Теорема 2.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть р(а) = тт[г2ъ{а),гуъх(ау\. Тогда гУЛ{рс)> р(а), т.е. в промежутке \сс,р(аУ) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке ¿1, не может иметь справа ¿1 четырехкратного нуля.

2. Пустьр(а) = min[r32(а),г^31,(а)]. Тогда r4Y(a) > р(а), т.е. в промежутке [iа,р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t\ нуля производной.

3. r3iv{a)> p{a) = mm[rAV{a), г32(а)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее трехкратный нуль t\ и простой нуль t2 > t\, не может иметь справа t2 нуля производной.

4. rYn(a)> р{а) = тт[гхч{а), г23(ог)], т.е. в промежутке [а, р (а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее нуль производной в точке t\ и простой нуль t2 > t\, не может иметь справа /2 нуля выше второй кратности.

5. Пусть p{a) = mm[r22V{a),r2U{a))JIoTj\dL в [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее двукратный нуль t\ и два простых t2 и /3 справа от t\, не может иметь справа от /3 нуля производной, т.е. г2!,,,(а) > mm[r22r (а),г2П(а)].

6. Пусть р(а) = min[rli22(ar), г212(г*)).Тогда в [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее имеющее нуль производной в точке t\ и два простых t2 и i3 справа от /ь не может иметь справа от i3 кратного нуля, т.е rru2(a) > р{а) = тт[гп2(а),г2п(а)].

7. rU2V{a)>p{a) = mm[rl2iv{a), r22V{a)\, т.е. в промежутке [а, р(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее последовательные нули t\, t2 и двукратный нуль i3 (t\ < t2< i3), не может иметь справа от f3 нуля производной.

Теорема 2.2.2. Справедливы следующие утверждения:

1. r4y(a)>rl3y(a), т.е. в промежутке [<х,г13,-(«)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа t] нуля производной.

2. г41,(ос) > гзп,(ос), т.е. в промежутке [а,гзи,(а)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа ^ нуля производной.

3. г41, (ос) > г22Х (ос), т.е. в промежутке [сх,г22Х(ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа ^ нуля производной.

4. г4Г(сс) > г2ПГ(ос), т.е. в промежутке [ос,г2ПУ(ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не мо-

ят.лг^ - - - » . лгтмппл I" 1Г1Л ГГЛЛ11ППЛТТ1ГЛ»1

/Л.С1 имею сираоа I] прш иритоидпип.

5. г4х,(ос) > г1211,(ос), т.е. в промежутке [ос,г|211,(а)) любое нетривиал-ное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль t\, не может иметь справа нуля производной.

6. г4У(сс) > гП21, (ос), т.е. в промежутке [ос, г1121, (ос)) любое нетривиальное решение уравнения (2.0.1), имеющее четырехкратный нуль не может иметь справа t^ нуля производной.

Теорема 2.2.3. Справедливы следующие утверждения:

1. Если г12]\'(ос)<г2211(ос), то г^и^сс) <гЪХу{а).

2. Если П121'(а)<г212(а), то гП2Г(а) <г22Г{а).

3. Если г2Ш'(а)<г31Г(а), то г2П\(а)< г22У{ а).

Таким образом, в нашей диссертации мы частично обобщаем результаты Алиева Р.Г. по распределению нулей нетривиальных решений однородного уравнения в терминах докритически�