Граничные задачи в полосе для линейных нагруженных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Щ 1 ? Ч '-]

ХАРЬКОВСКИЙ ГООДАРСТБШНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ГАД8ЦШ Светлана Викторовна

ГРАНИЧИВ ЗАДАЧИ В ЮДОСЕ Д2Я ЗйНКЯНЫХ <■• НАГРЛШЙШ УРАВШИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДИ®

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков - 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа Харьковского государственного университета.

Научны* руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Борок. Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

на заседании специализированного совета К 053.06.02 в Харьковском государственном университете по адресу: 310077, Харьков, пл.Свободы, 4, ауд. 6/48.

С диссертацией можно ознакомиться в центральной научной библиотеке Харьковсного госуниверситета.

Автореферат разослан " ( " •_1992 г.

профессор, заведующий кафедрой математической физики и вычислительно! математики ХГУ В.А.Щербина;

- кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НШПИасу-трансгаз И.Л.Разницин.

Ведущая организация: ФТШТ АН Украины.

Защита состоится " " •_1993 г. в /5" час.

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В реферируемо* диссертации с позиций эб^вй творил дифференциальных уравнений в частных производных юучавтся различные типы задач в полосе MxftTJ ~У7 для имйяшс нагруженных уравнений.

Нагруженн» дифференциальным уравнением мы назовем уравнение, содержащее, народу со значением искомой функции и ее производных в /7 , такие их значения на многообразиях меньшей размерности, а именно: на отрезках X" COnvt , либо на прямых i=C£>twt , либо в точках (JCt - fJr0t /«J .

ikrrepec к нагруженным уравнениям существенно повысился в последнее время в связи с возникновением их во многих прикладных областях. Так, например, многие задачи прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги сводятся к ра&юганш краевым задачам для нагруженных уравнений (см., например, Нахушев A.M. ДУ, 1983, T.I9, * I, с.86-94). А.М.Нахушев я его ученики многие прикладные задачи решают путем различного типа редукции к нагруженным уравнениям (см., например, Нахушев A.M., ДУ, 1982, Т.18, * I, с.72-81). В некоторых ситуациях установлена возможность перехода от обратной задачи к краевой задаче для нагруженного уравнения (Искендеров А.Д. ДУ, 1971, Т.7, » 10, с.I9II-I9I3). В цитированных работах и в ряде других работ устанавливается связь между некоторыми нелокальными задачами и нагруженными уравнениями. Таким образом, прикладной аспект нагруженных уравнений достаточно широк.

Исследовании с позиций общей теории дифференциальных уравнений в частных производных задачи Копи для нагруженных уравнений посвящены работы В.М.Борок и Я.И.Зитомирского (см., нал-

pmiep, Изв.вузов. Математика, 1981, # 9, с. 5-12; там же, V 19, с. 3-9). Начало такому общему подходу, предполагающему изучение уравнений без априорных ограничений на их вид, положила классическая работа И.Г.Петровского (Бюлл. МГУ, Секц.А, 1938, T.I, с.1-72), в которой был получен критерий корректности задачи Коши. К началу 60-х годов задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений в рамках общей теории была изучена достаточно полно (см. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М: Физыатгиз, 1958). С тех же позиций с середины 60-х годов проводится изучение краевой задачи в бесконечном слое. Исследование классов единственности и корректности локальной краевой задачи посвящены работы В.Н.Борок, Я.И.Житомирского, М.А.Перельмана и др. авторов. В 1982 году А.Х.Ыамян установил (ДАН СССР, 1982, Т. 267, V 2, с. 292-296), что для некоторых уравнений в полосе не существует ни одной корректно)) локальной краевой задачи, тогда как они существу»! при привлечении нелокальных краевых условий. Это указывает на важность изучения нелокальных краевых задач; исследованию таких задач посвящены работы В.М.Борок, И. И.Антыпко, И.Л.Раэницина, И.Г.Кудинцевой, А.А.Макарова, Л.В. Фардиголы, А.А.Дезина, С.Г.Крейна и Г.И.Лаптева, Г.Б.Савченко, A.A. Самарского.

Объект исследования. В настоящей работе изучается многоточечная задача для нагруженных эволюционных уравнений 1-го порядка по zf и задача Дирихле для нагруженных эволюционных уравнений 2-го порядка по t в полосе /1 , которые имеют вод соответственно:

- Л» ) и и, *) УМ,

«>)л/ ■

(2) I

\и.(эг,о)'*-ио(сс), и г ос, =

где А/[и,7 - дифференциальный оператор о нагрузками вида: л/

1) Ж/Ю (см. задачу I в

гл.1 и'задачу 1У в гл.П);

/И

2)А/[1/7- = £ ирг^{) (си. задачу П в

гл.1 и задачу У в гл.П);

или

лг

3} Л/(4Г] £ (£Г) иГЛГ^ 4) (СМ. задачу П в

гл.1 и задачу УП в гл.П);

- произвольные полиномы с комплексными коэффициентами (6 £ } "^^о <... <

<3:А,<+о~) 0= ■¿а<^< ... (в задаче (I)),

... * < = * — (В задаче (2)).*>

Через (1о), (2о) будем обозначать соответственно однородные задачи (I), (2) (с нулевыми условиями); О - решением задачи (I) ( (2) ) будем называть нетривиальное решение

задачи (1о) ( (2о) ); всюду в работе будем обозначать: —-

' разница в обозначениях объясняется лишь техническими удобствами.

0С5) г £~ ли^^Жр (?ка), к*ОА/ (глЛ), (гл.П), й^ (гл.1),

(гл.П)-^ .

В работе используются следующие пространства функций: I) банахово пространство

= нор та* 1геслэ1-Н+/х/)\:4.ы*1 пгеЛ/0~Л/и{о}уе$;

2) банахово пространство УУшИ^,^

= Щ> пин ■ / \?*(х)\ ■ 1X1 <+**'}, 0<

3) проективные пределы таких пространств:

Кг.4 /VКъ.е &>о.

Цель работы состоит в изучении вопросов единственности

решения задач (I) к (2) и корректной разрешимости »тих задач

в различных классах функций.

При этом основное внимание уделялось получение условий

корректности исследуемых задач в "коэффициентных" терминах,

т.е. в терминах исходных данных (указанных полиномов и точек

нагрузки).

В работе обращено внимание на гладкость ревения исследуемых задач в зависимости от гладкости начальных функций; в связн о этим исследуется вопрос о наличии "параболического" аффекта сглахиваености ревения, имевцега место, как известно (Ворок В.М. ДАН СССР, 1956, Т.НО, # б, с.900-903) в случае задачи Коп для параболических уравнений (без нагрузок). Исследуется также вопрос о регулярности ревения, т.е.

определяются условия, прр которых единственность реяения задачи в классе ограниченных функций влечет ее корректнуг разреп-мость в пространствах •

Методика исследования. В работе используется методы теории обобщенных функций, общей теории дифференциальных уряяяв-кий, функционального анализа, теории функций комплексного переменного.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. В диссертации получены теоремы единственности и корректности указанных задач (I) и (2) (в "коэффициентных" терминах), а такие рассмотрены некоторые примыкающие к »тону исследование вопросы. Результаты работы является новши. Креме того, она позволяет провести сравнительный анализ указаниях задач, а также указанных задач для уравнений с нагрузками в соответствующих задач для уравнений без нагрузок. Укажем на основные результаты такого анализа.

1. Алгебраические свойства полинома , вообще говоря, не влиявт на корректность задачи I (с нагрузкам* на прямых) в пкале пространств отличие от задача Коаш для соответствующего уравнения без нагрузок, где необходимо выполнение условия А И.Г.Петровского); такое влияние имеет место лишь в особых случаях, когда специальные полиномы, определяемые полиномами , С*) к ¿Д^ ЛГ} тождественно обращаются в нуль.

2. Существенное влияние на корректность задач I и 1У (с нагрузками на прямых) в пространствах функций Ущ,^ , ^^ ^> оказывает арифметическ ая природа чисел .

3. Сравнение классов единственности решения рассматриваемых задач и соответетвуюцих задач для уравнений без нагрузок

показывает, что в случае задач I, 1У новых (максимальных)

классов не возникает, а для задач П, У, УП возникает новый

максимальный класс единственности "^Г/сгг; -Сип- ¿Тех) /ссГ'=0-

4. Ни значения полиномов и Сс'ег)^

при О , ни значения чисел , К=0,л/ , ни арифметическая природа чисел ¿^ » которые присутствуют в уравнении задачи П, но не входят в условие (т.е. для таких К , что ¿4ц. СО ) 9 не оказывай? никакого влияния на единственность и корректность задачи П, которой соответствуют нагрузки на отрезках и в точках (в отличие от задачи I с нагрузками на прямых, где весомую роль играют значения полиномов фк С, К*0,А/> на всей вещественной оси, и существенна арифметическая природа всех чисел , /Г» О,У ).

5. Задача Дирихле 1У (с нагрузками на прямых) регулярна, в отличие от соответствующей задачи без нагрузок, не всегда, а лишь при выполнении определенных условий на числа ,

К .

6. На единственность и корректность задачи У с нагрузками на отрезках (задачи"УП с нагрузками в точках) оказывают влияние значения полиномов (в задаче

УП - ¿КГ6) ) только в точке , и никакой роли не играют значения чисел , <= О,Л/ (а в задаче УП - и арифметическая природа чисел ■1К , в отличие от задачи 1У с нагрузками на прямых).

Результаты диссертации вносят вклад в общую теорию дифференциальных уравнений, а также могут быть использованы при исследовании единственности и корректности конкретных задач для

уравнений с нагрузками и без них.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре по дифференциальным уравнения«Харьковского госуниверситета (руководитель проф.Борок В.У., 19861990 гг.), на республиканской научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" (г.Одесса, 1987 г.), на Воронежской школе "Современные методы в теории краевых задач" (1992 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [б/ . Две из них написаны совместно с научным руководителем проф.В.М.Борок.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 79 названий. Объем работы - 139 машинописных страниц.

СОДЕРЯАНИЕ РАБОТ Ы

Введение содержит обзор научных исследований а) нагруженных уравнений и б) дифференциальных уравнений без нагрузок с позиций общей теории дифференциальных уравнений в частных производных; далее даются постановка задачи, основные аспекты изучаемой проблемы и основные результаты работы.

Глава I посвящена исследованию вопроса единственности и корректности многоточечной задачи для уравнения 1-го порядка (по Ь ) с различными типами нагрузок.

§ I носит вспомогательный характер. Здесь рассмотрена многоточечная задача для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с нагрузками; задаче сопоставляется некоторая функция ¿¿(г) • для которой получена важная для последующих рассмотрений оценка снизу на вещественной оси; доказан ряд неравенств, получены оценки на вещественной оси для

производных функции, аналитической в примыкающей области вида

■) -¡У*/) о,

Все утверждения этого параграфа, за исключении» леммы 1.1, относящейся непосредственно к главе I, неоднократно используются в обеих главах.

В § 2 изучена единственность задачи I (это задача (I) цри ) путем сведения ее к нелокальной многоточечной задаче для системы без нагрузок и использования резуль- . татов работы И.Л.Разницина (ДАН ТО. Сер.мат., 1974, # 3, с. 195-197): по задаче I строится целая функция А^С*) ("определитель'.' задачи, ее вид см. в (1.2.4) ), вводится множество нулей этой функции и число а^ = /Лъз/ ; по ним определяются классы единственности решения задачи I

). Получена теорема 1.8 об экспоненциальном пред- -ставлении решений задачи Х> в случае, если определитель имеет конечный набор изолированных нулей.

§ 3 посвящен изучению корректности задачи I. В п.1 этого параграфа приводится общая схема доказательства теорем корректности, предложенная в цитированной книге И.М. Гельфанда и Г.Б.Шилова и примененная для нагруженных уравнений, например, в вышеуказанной работе В.М.Борок и Я.И.Хитомирского. В пункте 2 введено

Определение 1.3. Будем говорить, что задача I удовлетворяет условию Х£ , если:

1) ,

2) в случае выполнения условия (НУ) (см. опр. 1.1) для функции А^Сб") ■ Фй (при

) имеет место соизмеримость

чисел к= ¿^У:

3) в случае

полином ¿Ра г) обладает свойством

А/ //

4) в случае.

А СMto+ZCLcceri) - n'ej —¿7

полином <Г) обладает свойством ¿А/ /?£ féfcc) > — .

Получена теорема 1.9 корректности на Cû, 7*J. . задачи I в пространствах Ym.tf при условии выполнения условия .

Приведен пример 1.3 (задача Коши для нагруженного уравне-' ния), показывающий, что требование 2) соизмеримости чисел ^ ,

, в условии существенно для корректности

задачи I.в указанных пространствах.

Как следует из примера 1.2, это же условие существенно и для многоточечной задачи для уравнения без нагрузок. В пункте 3, § 3 отдельно рассмотрен случай

/v'

+ z ¿Я ris) s Р.

к=о

В пункте 4 рассмотрен вопрос регулярности задачи I. Определение 1.4. Назовем задачу I регулярной, если для. любых полиномов Q jиз единственности ее ре-

шения в классе ограниченных функций следует ее корректная разрешимость на СО, TJ в шкале пространств ^ (т.е. имеет место результат теоремы 1.9).

Теорема 1.10. Для того, чтобы задача I была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) Л0 CS) • Jy fs) Se С,

2) I '¿S?,

3) ...4- = ч -' - • "V, * aV,

В п.5, § 3 введено

Определение 1.5. Будем говорить, что задача I удовлетворяет условию , если

1) Ау(&) Фо /

2) Рп'ег)!^^ у АР

а также определение параболичности и антипараболичности уравнения задачи I; при этом введены характеристики уравнения (1.2.1) задачи I: ^ - показатель и Р - род уравнения. Теорема 1.13. Пусть выполнены следующие условия:

1) существует область

& (/и, М) такая, что

2) уравнение (1.2.1) задачи I имеет показатель-/! и род ¿> \

3) м) • Лм а'*) Фо,

4) (р„ао=о .

Тогда задача I корректно разрешима на (¿>, Т) в следующих пространствах:

А) в случае /и * {(V, ¡>О —

Аг) из кг.о в ^го t-

• ' ./ i

A ~/Z¿

^ А

а2) из В , ъ-егь^т-),

Б) в случае, когда задача I является невырожденной типа и Оъо (т.Ъ. Utp или ) -

Bj) из в

^ ГOf) если /£=/>-./, где а- < л>

С Ctj- t если ft

в2) из £ в Kífé , ¿Ъ-D.

(отметим, что условия I) и 2) теоремы включают требования ус-

лозия £УС^ \ число определяется, полиномом

Доказаны также теоремы для параболического и антипараболического уравнений в задаче I как частных случаев требования 2) в условии СЖТ (теоремы 1.11 и 1.12). Теоремы 1.11 - 1.13 применимы для соответствующей задачи без нагрузок.

Обратим внимание на то, что приведенная общад теорема I.13 неприменима к случав задачи Коши. В работе получены соответствующие теоремы, гарантирующие корректность задачи Коси в пространствах Аг/ £ , причем в случае задачи Коши с начальным условием при 7" для параболического уравнения и в случае задачи Коши с начальным условием при ^ - О для антипараболического уравнения (теорема 1.14) гладкость решения по X (т.е. число ) по сравнению с гладкостью начальной функции не возрастает. Заметим, что теорема 1.14 не имеет аналога для соответствуя^« задач Кош без' нагрузок.

Теорема 1.9, дающая достаточные^условия корректности задачи I в шкале пространств Р^«,^/» заведомо применима к за- . даче I, удовлетворяющей условию СЖ^ , в частности, к задаче, содержащей параболическое и'ш антипараболическое уравнение. Однако при этой, согласно теореме 1.9, может произойти потеря гладкости решения. На самом же деле,, для задач, удовлетворяющих условию

, происходит (в общем случае) увеличение -гладкости решения при СО, Т) (теорема 1.15, она же применима для соответствующей задачи без нагрузок)4 а в случае, задачи Кипи (при ) для-антипараболического уравнения и за- : дачи Коши (при г? =7* ) для параболического уравнения она не меняется (теоремы 1.16 .и 1.17,не имеют аналога для соответст-. вупцих задач без нагрузок).

В пункте 6, § 3 приведена теорема 1.18 о разрешимости за-

дачи Г в пространствах Vу в случае нарушения единственности решения (это связано с наличием изолированных вещественных нулей ■[ , ... j определителя задачи Aj- ffr) ). В этом случае Vfe/К. и для G Д/ ( rtj ^ найдется К такое, что для любой начальной функции Сзс) вида л. j

л ¿ъ) *

существует решение "Itf-Z, задачи I, принадлежащее (при

Yt eCO,TJ

) пространству и непрерывно завися-

. щее (в соответствующей топологии) от начальной функции t/e (лг). . (Здесь - кратность как нуля определителя ¿т fâ~)>

~ кратность его как нуля некоторой функции > по-

- строенной по полиномам

и точкам

).

Существенность требования того, чтобы начальная функция V0 ex) бьша производной указанного порядка от функции из пространства > показана на примере 1.4.

В § 4 изучена единственность задачи П (это задача (I) при Я[1/"} 4- SC<sJ ), Объединение двух разных типов

нагрузок обусловлено единообразием исследования. При изучении этого вопроса введена вспомогательная задача без нагрузок Ш (это задача (I) при /\/[= О ), которую удобно рассматривать как частный случай задачи I, и получено утверждение 1.3, позволяющее (при выполнении определенных условий) переходить от решения задачи Ш к решению исследуемой задачи, и наоборот. Такой метод исследования нагруженного уравнения удобен, когда уравнение содержит нагрузки по пространственной переменной -С, что не позволяет непосредственно произвести преобразование

Фурье, как в задаче I (см. общую схему в п.1, § 3).

В результате исследований появляется "новый" по сравнению с задачами без нагрузок

Теорема 1.20. Пусть I) , 2) ■

А/ _ .

4- £ (О), 3(О))Ф0. Тогда класс ,

/ссГ*= О , является ЖЗц . При этом

1X1-*^-

существует О -ранение задачи П, являющееся полиномом 1-ой степени относительно -X (здесь %- это множество нулей определителя А /р

К) задачи Ш; общий вид функции &{<4 о1, €)

см. в (1.1.3)).

• Заметим, что в случае задачи Ноши теорема 1.20 не имеет места.

С другой стороны, при выполнении условий:

I) Жщ /И и 2) $(Лго\ РгоУ+ИАго), о -

ч—о

и ЖСАЗг, совпадают, а задачи Коши (при £—0 или при £ = Т ) для уравнения

и соответствующего ненагруженного уравнения всегда имеют одинаковые .

5 5 посвящен вопросу корректности задачи П. Теоремы 1.24 и 1.25 обеспечивают корректность задачи П в пространствах Уу«,^ и -С соответственно в случае совпадения Х£¡РЗ л и УСбФЗц! . В частности, задача Коши (при £ = О или при — ~Т ) для уравнения с нагрузками только по ¿С (А/Ги1— £ Си7 ) корректна в классах корректности соответствующей задачи Коши для уравнения без нагрузок, содержащих

ограниченные функции.

В противном случае имеет место ^

Теорема 1.27. Цусть I) 8($Го\¿Го))

2) задача Ш удовлетворяет требованиям 2) - 4) условия ,

но 3{о} , причем 3=0 - корень кратности Л-определителя . задачи Ш. Тогда для У ¿г

и для Уп^ 6 Л/а , {> найдется число Ид, € Л/, такое, что для любой начальной функции М,, СХ) вида:

= ^ ГЪ>Г>

существует единственное решение гсгх^) задачи П, принадлежащее (при К ^ € £0,Т] ) пространству Уп^у^ и непрерывно -зависящее (в соответствующей топологии) от 1/0С-х) . Вцделе-ние условий

в указанных теоремах корректности закономерно, т.к. в противном случае, как следует из теоремы 1.21, уже в классах ограниченных функций нарушается единственность решения задачи П.

Глава завершается § б, содержащим ряд примеров, иллюстрирующих результаты этой главы.

Глава П посвящена изучению вопроса единственности и корректности задачи Дирихле для уравнений 2-го порядка по "6 с различными типами нагрузок.

Соответствующая задача Дирихле без нагрузок исследована, например, (как частный случай другой, более общей, задачи) в работах В.М.Борок.

$ I'носит вспомогательный характер и содержит лемму о разрешимости некоторой двухточечной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с нагрузками.

В $ 2 изучена единственность задачи 1У (это задача (2) с

) путеа сведения ее, как и задачи I, к нелокальной многоточечной задаче для системы без нагрузок. По задаче 1У строится целая функция А/? (?) ("определитель" задачи, ее вид см. в (2.2.3) ), вводится множество нулей этой функции и число Л/к- <"1^ /%пл/ ; по ним определяются **** '

В $ 3 проводится исследование корректной разрешимости задачи 1У в различных классах функций (по общей схеме, изложенной в п.1 $ 3, гл.1).

В п.1 5 3 введено

Определение 2.1. Будем говорить, что задача 1У удовлетворяет условию , если

I) _

£) в случае

Яе. (при 6е ИЛИ

, имеет место соизмеримость чисел ¿к> ~ ~ ... ЩеА/ , у^Ж^З) в случае Яе. Т?7с(Г)-> » (при или 6"-=>-«*«*) выполняется условие: если , то Фе/ср) + О/ПР) (Под </л понимаем непрерывную ветвь многозначной функции, для которой "-/-С ).

Доказана теорема 2.3 о корректной разрешимости на ¿¿}7У задачи 1У в пространствах вида при выполнении условия

Ж/р •

Пример 2.I подтверждает существенность требования 2) соизмеримости чисел в условии для

корректности задачи 1У в пространствах ¿/гг,^

Как следует из работы В.М.Борок (Изв. АН СССР. Сер. мат., 1971, т.35, № 4, с. 922-939), задача Дирихле для ненагружен-ного уравнения всегда регулярна.Следующая теорема показывает, что для задачи 1У это не так, и дает критерий ее регулярности.

Теорема 2.4. Для того, чтобы задача 1У была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) ... ■ : l„4i = пь:... -т^

2) в случае M>JL : Ф T-ij. В п.2, § 3 вводится

Определение 2.2. Будем говорить, что задача 1У удовлетворяет условию СЖ^ , если

1) 6-еje,

2) существуют постоянные ¿¿>0 , С, А>0 такие,

410 /kißuer) ^ £ + С, ' сеЛ.

При этом введены характеристики уравнения (2.2.1) задачи 1У: показатель Л- и род Р .

Теорема 2.5. Пусть выполнены следующие условия:

1) существует область &(fUtM.)t /1/$. О t О , такая, что

/1 G-ffu.M.) = d>;

2) уравнение (2.2.1) задачи 1У имеет показатель и род ¡> ;

3) jPfts) + £S & С .

к—г '

Тогда задача 1У корректно разрешима на в простран-

ствах, указанных в теореме I.I3 (гл.1) с заменой всвду I - на 1У, ^ - на а— . (Отметим, что условия I) и 2) теоремы включают требование С ).

Приведенная теорема, как и теорема 2.3, применима к соответствующей задаче Дирихле без нагрузок (в работе это задача У1)

и полностью согласуется с соответствующими известными результатами.

Как и в случае задачи I (гл.1), доказаны теоремы:

случае нарушения единственности решения (теорема 2.7).

В 5 4 исследована единственность решения задачи У (это задача (2) с ). Вопрос единственности ре-

шения этой задачи решен методом разложения решения ££ лг; ¿) задачи Уо в равномерно сходящийся ряд 9урье, в результате чего приходим к исследовании обыкновенного дифференциального урав- ' нения с нагрузками. Получены . Как и в случае зада-

чи П (гл.1, ! 6), в результате исследований появился "новый" по сравнению с соответствующей задачей без нагрузок У1 класс единственности.решения » где /эс/~*'= О

(сы. теорему 2.13).

В то же время справедлива' Теорема 2.16.

совпадают в одном

из трех случаев:

1) о корректной разрешимости задачи 1У на (О, Т) в пространствах вида при выполнении условия С Жц, с эффектом сглаживаемости решения (теорема 2.6);

2) о разрешимости задачи 1У в пространствах вида 1/т ¡у в

В § 5 исследуется корректность задачи У. Для этого обращаемся к соответствующей "усеченной" задаче У1, которую можно рассматривать как частный случай задачи 1У (при Q, CS) = 0) К=~1).

Теоремы 2.17 и 2.18 дают условия корректной разрешимости задачи У в пространствах вида и g соответ-

ственно в случае совпадения и ; в против-

ном случае имеет место теорема 2.19.

В § 6 изучается единственность и корректность задачи УП (это задача (2) при А/СV7 - ). При помощи вспомога-

тельной задачи У1 определяются , а также устанавли-

ваются теоремы корректности.

§ 7, содержащий примеры, завершает главу П.

Автор благодарит своего научного руководителя проф.В.М. Борок за постоянное внимание к работе, ценные советы и замечания.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Борок В.М., Евдокимова C.B. Корректная разрешимость задачи Коши для линейных уравнений с нагрузками по временной координате. - Тезисы респ. научн. конференции "Дифференц. и интегр. уравнения и их приложения", 1987, 22-24 сент., Одесса, I часть, С.29-30.

2. Борок В.Ы., Евдокимова C.B. Регулярные граничные задачи в полосе. - Теория функций, функц. анализ и их прилож., 1989, вып.51, с.31-37.

3. Гадецкая C.B. Корректные многоточечные задачи в полосе для дифференциальных уравнений с нагрузками. - Изв.вузов. Мате-

ыатюса, 1989, № 3, с. 79-82.

4. Гадецкая C.B. Задача Дирихле для линейного дифференциального уравнения с нагрузками. - Тезисы докладов школы "Современные методы в теории краевых задач", Воронеж, 1992 г., 4-8 мая, с.31.

5. Гадецкая C.B. Параболический эффект в задаче Коши для уравнения с нагрузками. - Вести. Харьк. ун-та, 1992, № 361: Прикладная математика и механика, с.71-79.