Инвариантные и частично-инвариантные решения краевых задач для дифференциальных уравнений с симметриями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГб од

О О I "■'' • 5

с- 1' МбСКОЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ Технический университет

На правах рукописи ИГНАТОВИЧ Николай Викторович

ИНВАРИАНТНЫЕ И ЧАСТИЧКО-ИНВАРИАГ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИММЕТРИЯМИ

01.01.03 - Математическая физиха

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиЛнда-матем^тических паук

ШСКВА - 1995

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского Государственного института электроники и математики.

Научный руководитель: до; гор физико-математических наук,

профессор Е.М.Воробьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, член-корреспондеьт РАН Ю.Н.Павловский

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник А.В.Аксенов

Ведущая организация: Институт математического

моделирования РАН

Защита диссертации состоится декабря 1995 г. в 16 часов на заседании Диссертационного Совета К063.68.05 в Московском Государственном институте элект, эники и матем&тики по адресу: Москва, Большой Трехсвятительский пер., 3,' 12

С диссертации можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К063.68.05 МГИЭМ кандидат физико-математических наук, доцент

-¿ягМ

П.В.Шнурков

ОБЩ \Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования.

Настоящая работа относится к области применения групповых методов для анализа дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к использованию этих методов связан с их универсальностью, позволяющей исследовать с единых позиций совершенно различные дифференциальные уравнения, в первую очередь нелинейпые, а также активно использовать аналитические расчеты при помогая систем компьютерной алгебры. *

Кроме того разработанные в рамках группового анализа методы позволяют получать реальные практические результаты, например, находить решения дифференциальных уравнений в явном виде.

Математически содержательные снмм*-грийные свойства позволяют привлекать для практического анализа, мощные алгебраические и геометрическ"е методы из других разделов математики.

Представляется многообещающим привлечение групповых методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении многих проблем, к анализу краевых задач дифференциальных уравнений.

Цель работы.

Диссертация посвящена вопросам существования в методам построения инвариантных и частично-инвариантных решешгй краевых задач для систем уравнений с симметриями.

Цегью работы является поиск инвариантных и частично- инвариантных решений системы уравнения двумерного ламинарного пограничного слоя, в первую очередь решений стандартной краевой задачи, отличающихся от известных классических решений Блазиуса. Среди частично-инвариантных решений интерес для исследования представляют решения нередуцируемые к инвариантным.

Задачи, решаемые в данной работе, связаны с проблемой развития методов для нахождения инвариантных решений систем дифференциальных уравнений математической физики, в первую очередь нелинейных, с эффективным учетом устовий краевых задач. Затрагиваются также проблемы разработки эффективных методов нахождения частично инвариантных решений систем дифференциальных уравнений. .,

Методы исследования.

В работе был использован метод редукции системы уравнений в частных производных к фактор-системе на подмногообразии с помощью '

3

группы симметрии. При исследовании редуцируемости частично инва- | риактных решений использовалась теорема Овсянникова, содержащая достаточные условия редуцируемости.

Научная новизна.

Подробно исследована система уравнений двухмерного стационарного пограничного слоя и соответствующая краевая задача.

Написана- фактор-система для инвариантных относительно произвольной одномерной подгруппы симметчий решений. Доказана существование и единственность локального инвариантного решения. Указано на существование особеностен инвариантных решений.

Для стандартной краевой задачи уравнения погранслоя найден вид всех инвариантных решений, отличающиеся от ранее известных классических решений Блазиуса.

Доказано что все решения, частично инвариантные с дефектом единила относительно некоторой подалгебры Ли симметий Ь, редуцируются к инвариантным относительно одномерной подалгебры из алгебры -

. В случае ре. :ений с дефектом инвариантости два определены уравнения для орбит нередуцируемых частично инвариантных решений и вид действующих подалгебр. Доказано что орбиты определяются инвариантными решениями уравнения Крокхо.

Найдены в явном виде некоторые частично-инвариантные решения с использования метода многократной редукции к фактор-системе.

Практическая ценность работы.

Исследования уравнений пограничного слоя являются практически важными для многих технических задач гидро- и газодинамики. Найденные в явном виде решении являются средством проверки результатов, полученных вычислительными и другими методами. Методы редукции системы уравнении к фактор-системе позволяет значительно упростить исследования.

Разработанные методы построения инвариантных и частично инвариантных решений возможно применять при исследовании других задач. •

Апробация результатов. Мат "риалы диссертации были опубликованы в четырех статьях и докладывались на международном семинаре "Сов; сменный групповой анали'" в Уфе в 1991 г.

Структура работы.

4

Диссертация состч it шести глав, включая введение и заключение, и библиографии. *

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

D первой главе охарактеризованы причины, делающие актуальным развитие и применение групповых метопов к анализу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Кратко упомянуты основные моменты в развитии групповых методов и некоторые современные направления. Сформулированы осиовпые цели представленной работы и перечислены основные результаты. Приведен список публикаций автора, касающихся предмета данной работы.

Вторая глава содержит осно. лые определения и факты, касающиеся применения групповых методов при исследовании дифференциальных уравнений и используемое в данной работе. Рассмотрено расслоение джетов J" и геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений как многообразий в пространстве джетов, приведены определения контактной структуры па многообразиях и контактных преобразований, формулы продолжения векторных полей с основного раслоения D расслоения старших Джетов.

Приведены некоторые определения н факты, касающиеся теории формальной совместности. ,

Далее приведены основные понятия классических симметрии дифференциальных уравнений и понятия инвариантного относительно группы преогразоваилй решения.

Упоминается проблема подобия решешш относительно преобразований из группы симметрии и задача построения оптимальной системы подалгебр.

Кратко охарактеризован метод универсального инвар :анта Овсянникова для построения инвариантных реыений.

В конце главы изложен метод фактор уравнений, позволяющий эффективно учитывать краевые условия при построении решений.

Далее даются определение частично инвариантного решения И его' дефекта, дифференциально инвариантного решения. Вводится характеристическая матрица. Указывается ее роль в исследовании частично . инвариантных и дифференциально инвариантных решений.

Приведены некоторые примеры использования групповых методов для поиска инвариантных решений, удовлетворяющих краевой задаче.

В третьей главе рассмотрегя система уравнений двумерного ламп-

нарного пограничного слоя, описывающие картину распределения горизонтальной и и вертикальной v составляющей скорости потока, обтекающего поверхность твердого тела:

U— + V— — — — + — ~0 — — и; ' (01)

дх ду ду' дх ду ' ду

Краевая задача ставится в области ограниченной координатными осями X и Y. Ось X соответствует поверхности твердого тела

«|»=о = о, t>|„=0 = f0(xl

Значения на оси Y описывают набегающий поток

u|*=o = и0(у), у > 0; Также ставится условие для скорости на бесконечности limu(i,y)|1,_<Xj = и»,

где ui > 0 - констлнта, uo(y),i>o(x) - проиэволь ыс функции.

Эти уравнения и их решения широко исследовались различными математическими методами, в частности была исследована постановка краевой задачи и доказывалась ее корректность методами функционального анализа при некоторых предположениях на гладкость краевых условий. Алгебра классических чнфинитезимальных симметрии для системы уравнений погранслоя является бесконечномерной с образующими : ■

- Х\ — хдх + иди + wdw, \0.2)

Х-2 = уду - 2иди — vdv — Zuidw, (0.3)

Х3=дх, (0.4)

Х, = J(x)dy + uf'{x)dv, (0.5)

где /(^-произвольная функция;

Для автомодельных решений, инвариантных отногительно подалгебр вида Х\ + аХ известней способ i ведения новых инва^лантных переменных система и сведение системы к обыкновенному дифференциальному уравнению третьего помядка:

v'" + V1 - «f)vv" - (1 - 2»)^ = 0

(0.6)

при этом краевая задача сводит я к краевым условиям

. f(0)=v>'(0) = 0, . KmvKTf)!*— = « ' (0-7)

Существует семейство инвариантных решений краевой задачи с условиями при i = 0« = l,t> = 0 при у = 0 v0(x) = Ci-1'5, где С-const. В случае а = 1/2 редуцированное уравнение является хорошо известным уравнением Блазиуса с классическим автомодельным решением Блазиуса.

Далее была сформулирована проблема построения группового расслоения и представлено групповое расслоение уравнений погранслоя относительно бесконечномерной подалгебры из алгебры симметрии, вы-полненое Овсянниковым. 'Далее похазано групповое расслоение уравнен"» погранслоя относительно всей своей группы симметрий.

Четвертая глава посвящена исследованию инвариантных реш. .шй уравнений пограничного слоя Я проблеме существования инвариантных решений, удовлетворяющих краг-юй задаче.

Ставится задача о редукции исходной сиси.смы к обыкновенному дифференциальному уравнению д я всех инвариантных решений, а не только автомодельных. Кроме этой задачи, наличие произвольных функций в краевых условиях позволяет поставить также проблему: Ras каких краевых условий и0(у), va(x) существуют подалгебры Gi алгебры Ли симметрий такие, что решение задачи пограничного слож хвллста инвариантным или частично-инвариантным относительно подалгебры Gi.

Для произвольной одномерной подалгебры из алгебры симметрии L X = (ax+'ï)dx+(0y+f(x))dy+(a-20)udu+(a(x)-Pv)dvi-{a-Z^)wdw

M)

где а,/), 7 -произвольные константы, возможно подобрать гладкие подмногообразия Г коразмерности единица в пространстве независимых переменных так, чтобы векторное поле X были трансверсально к подмногообразию Г.

Из условий инвариантности решений относительно подалгеоры переменные и производные, входящие в исходную систему, выражаются через параметрические производные на подмногообразии Г. .

После подстановка из исходной системы на подмногобразии Г : х =

х0 при ахо + 7^0 получаете* фахторсистема:

иу = 41

---, -- .4 +»». (0-9)

(од0 + 7)

(о - 20)й - (0у + /(х0))й> 1()

(ах0 + 7)

(0.11)

которая является системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

у

Существует однозначное соответствие между решениями фактор-системы и инвариантными относительно подалгебры симметрий решениями исходной системы.

Устанавливая начальные олачения йо.йо.йо для решения фактор-системы в некоторой точке (хо,уо), мы определяем локально^ решение факторспстемы. Из локального решения фактор-системы при помощС преобразований из подгруппы 0\ восстанавливается локальное инвариантное решение исходной системы. .

Фактор-система может быть преобразована к одному нелинейному уравнению третьего порядка

й,й„„ - (й^)1 + (^)аЧ, + = 0 <012)

По решению фактор-уравнения и находится функция

5 = (одо * 1)йуу + (Ру + /(гоДОц, + (2/3 - о)йа (ою + 7)",

Фактор-уравнение доиускает двумерную подалгебру симметрий с образующими

{ду, уду-2Ш). Вводя замену переменных й -»I, у —» г И вычисляя выражения для производных, фактор-уравнение можно преобразовать в форму допускающей понижение перядка уравнения р — х1 и получить к обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

да«- V + + = о (О.и)

8

Прямая П : ах, +7 = 0 являе.-ся инвариантным подмногообразием для поля Л\ Тогда для инвариантгэго решения значения фукхшгн и, и на прямой»должны быть тоже инвариантными фуккциями, откуда получаются условия

С = сг{у + /(го)//?)- + Сз(у+/ыт2^ с особенностью в точке уа = — /(х0)//?.

В случае о = 0,7 = 0 выбрав в качестве фактормногообразия прямую у ~ уа так, чтобы /%о + /(х) 0. получается простая фактор-

система которая сводится к уравнению

^ + (0л5)

Функция v(z) определяется выражением и ~

Вышгпрнводеняые результаты обойцглюся'а аялв следующей теоремы:

Теорема. Инвариантные решения системы уравнений погранслах локально существуют дяж всех одномерных подалгебр симметрии и удовлетеорзют произе.ольньил начальным услов-м иа, зд, "уо " точке, кроме точек вида: (х,у — —/(х)/[))

Далее анализируется проблема существования решений стандартной краевой задачи, инвариантных относительно одномерных подалгебр.

Рассматривая одномерные подалгеСЬы произвольного вида путем последовательного анализа рачтщчпых здэффициеятов в разложс ящ подалгебры то базису, происходит последовательная отбраковка подалгебр, относительно которых инвариантные решения не удовлетворяют краевой задача.

Например, для ненулевой функции /(х) в некоторой окрестности {/ точки х0 на оси х может быть записало фактор-уравнение. Однако, из исходной системы и краевых условий получается что постпаленая загача Кощи для фактора-уравнения имеет единственное решение вида: й = О, V = «0(10)1 »5 = 0. Следовательно, условие краевой задачи не выполняется для х £11 в необходимо потребовать /(х) = 0.

Результаты разбора краевой задачи формулируются в следующей теореме. .

Теорема. Инвариантные относительно одномерных подалгебр симметрии решения системы погранслоя- удовлетворяют ' гловиям краевой задачи только в случае по 'алгебр:

а) порожденных векторными полями Z ~ 2Х) + Xj + уХ3, и могут быть получены из инвариантных относительно векторного поля Y — 2Xi + Xi решений сдвигами по аргументу х на величину —¡г/2.

б) Хз, в этом случае решение имеет вид: и = u0/voexp(voy) — uio/vo, v = v0

Йз теоремы следует, что единственными нетривиальными инвариантными решениями краевой задачи являются решение Блазиуса и решения, получаемые из решения Блазиуса сдвигами по аргументу. Для таких решений функция va имч ~т в!Щ ио(*) = с(2х+7)1'2. Функция ир<у) вместе с неизвестными граничными значениями функций v(x. у), w(x,y) является решением уравнений

(•)<> — уй)й„ = fw„ -yvt — уйу — 0, fi, = w (0,16)

с условиями й(0) = 0, 0(0) = и0(0), limfi(y) = ui -ф- 0.

В пятой главе проводиться анализ частично инвариантных решений пограничного слоя.

Частично инвариантное относительно подалгебры G решение / с дефектом а называется редуцируемым, если подалгебра G содержит такую подалгебру G\, относительно которо" решение / будет иметь дефект о' < о.

Случаи редукции частично инвариантных решений к инвариантным решениям для широко известных уравнений математической физики очень часты, и это делает настоящие нередуцируемые частично инвариантные решения особенно интересными.

Решения системы погранслоя представляют собой двумерные подмногообразия в пятимерном пространстве переменных Я*(х, у, u, V, и>), отсюда следует, что данная система может допускать частично инвариантные решения с дефектами инвариантности равными шин и два. Соответственно искать частично-инвариантные предлагается относи-телы . двумерных и трехмерных подалгебр симметрии.

Предлагается для исследования задача:

10

Обладает ли система уравнений погранслож частично инвариантными решениями?

Если обладает, то относительно каких подалгебр симметрии, с какими дефектами инвариантности?

Редуцируются ли к инвариантым частично инварианные решения и какой вид имеют нерегулируемые решения?

В случае дефекта инвариантности <7=1 для частично инвариантных решений рассматривается их орбиты относительно двумерных подалгебр. Доказывается следующее вспомогательное утверждение о вгде ррбит.

Предложение.Орбиту частично инвариантного решения уравнений погранслож дефекта единица в пространстве II5 переменных х,у,и,v,w можно задать в виде

у = ф(х,у,и), ш = 1р(х,у,и) (0.17)

После подстановки функции ф(х, у,и) и ¡р(х,у, и), входящих в уравнения орбьга, и их дифференциальных следствий в исходную систему получаем переопределенную систему дифференциальных уравнений,, для функции и(х, у)

и(ф, + <М.) - (Ф - <р*)<р + V» = 0 (0.18Х -,

иг + ф, + (рфи = 0 (0.19),,

"» - V = 0 (0.20) ц

При определенных функциях у>, ф уравнения переопределенной сиг, стемы определяют значения и*, и„ и являются системой для функции ■ и = и(х,у). Для двух последних уравнений переопределенной должно быть выполнено условие равенства смешанных производных ДДи,) —

Приравнивая оба выражения и приводя подобные члены, получаем для переопределенной условие совместности

фп + + + + <Рг-Ч>иФ* — 0 (0.21)

Итак, для функций ф,ц>, входящих в уравнение орб. ты, получена пассивная система длфференциаль [ых уравнений в частных производных.

И

Частные производные ит и и„ частично инвариантного решения вполне определяются из двух последних уравнений системы как функции переменных х,у,и, а из уравнений орбиты в следствии этого определяются и все частные производные функций и и и/.

Следовательно, для частично инвариантных решений дефекта единица выполнены условия теоремы редукции Овсянникова, откуда следует:

Теорема. Частично инвариантного решения системы уравнений пограничного с лож дефекта инвариантности единица редуцируются к инвариантным.

Далее рассматриваются частично инвариантное решение дефекта два. Аналогично случаю дефекта единица формулируется предложении о виде орбит частично инвариантных решений.

Предложение. Орбита частично инвариантного решения дефекта инвариантности два может быть задана с помощш одного из уравнений вида

1 ' и> = ч>{х,у,и^) (0.22)>

ь=*ф(х,у,и,хо) (0.23)

Подставляя выражения для орбиты «о = <р(х, у, и, и) и его дифференциальные следствия в исходную систему, приходим к переопределенной системе уравнений для функций и следующего вида

(а 4- ¥\,)и* = фу + у>и>р — »V, и* + = 0, и„ — (0.24)

При условии и +.Уи ф 0, из переопределенной системы можно выразить «* = {Ч>у + (V- ~ + V») = = ¥>»«'» =

(0.25)

Условием совместности переопределенной системы будет уравнение

^х + ^ + У'Л^^у + Д»«?-^ (0.26)

Отметим что Р и ее. производные, входящие в уравнение совместности не содержат члены с производной и*. Если производная ¡р„ ф 0, то из условия совместности определяется производил а из ^ лтор-системы можно найти все остальные производные функций и в V. Производные функции хо определяются путем дифференцирования уравнение орбиты.

12

В силу теоремы Овсянникова такие решения редуцируются к инвариантным.

Следовательно, нередуцируемые решения имеют орбиты, для которых у>„ = 0, и уравнение совместности должно быть удолетворено выбором функции <р(х, у, и), зависящей от х, у, и.

После подстановки у„ = 0, преобразованное уравнение совместности представляет собой полином первой степени по переменной и. Приравнивая нулю коэффиниэнты этого полинома при V, получаем, что производная 1ру должна быть равна нулю. После подстановки условия (¿>у = О окончательно получаем уравнение орбиты — = 0.

В х-лучач и + (¿>„ = 0 получаю'цаяся переопределенныя система оказывается несовместной.

Для частично-инвариантных решений, чьи орбиты задаются уравнением V = ... соответствующие переопределенный системы или оказываются »'совместными или удовлетворяют условиям теоремы Овсянникова, то есть являются решения редуцируруются.

Теорема. Частично инвариантные решения дефекта инвариантности она имеют орбиты вида и> = у(х,у,и,V) и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

"у = ¥>. и* = УС1!")^« ~ V, = -их (0.27)

где 1р - ^p(xty,u,v) ■ решение системы уравнений

=0, ¥>„ = 0 (0.28)

иуж = (0.29)

Проверка уравнений орбит для нередунируемых решений на совместность с краевыми условиями дает условие <£>(х,0) = 0, откуда следует, что единственным решением уравнения щ = <р(х, и), удовлетворяющим при у = 0 условию и = 0, является и = 0. Таким образом, нерсяуциоуемые частично инвариантные решения не удовлетворяют граничным условиям.

Теорема. Все частично инвариантные решение щ левой задачи для системы «равнений пограничного слоя редуцируются к инвариантным.

• О

Теорема говорит об отсутствии нередуцируемых решениях только для краевой задачи.

Из первых двух уравнений орбиты видно, что орбиты должны иметь вид у — у>(х, и) и определяются решениями уравнения u<pz = <fi2ip4U в трехмерном пространстве х, и, <р.

Алгебра Ли L симметрии исходной системы порождает конечномерную алгебру Ли V инфинитозимальных симметрии уравнения орбиты с образующими

У, = хдх + иди + уду;, К2 = -2иди - Зуду, К3 = дх (0.30)

Поскольку при гомоморфном от 'Сражении алгебры симметрии на алгебру V ядро непусто, то, в принципе, могла быть ситуация, когда инвариантным относительно подалгебры алгебры Ли симметрии подмногообразиям, задающим орбиту частично инвариантного решения, отвечают неинвар! штные решения уравнения орбиты. Однако можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Каждому частично инвариантному, относительно подалгебры алгебры симметрии, решению уравнений погранслох соответствуют решение уравнения орбиты, инвариантное относительно, по крайней мере, одномерной подалгебры алгебры L'. и

Исследуя инвариантные решения уравнения орбиты, относительно одномерной подалгебры Z = aY\ + bY3 + сУз ф Vj, на подмногообразии х — х0, где ахо+с ф 0, может быть выписано фактор-уравнение, которое является обыкновенным второго порядка

vVuu + feiuVu + hup = 0 (0.31)

Поскольку [K^Vj] = 0 и (Уз,Уа] = 0, то есть Vj является нормали-' затором группы симметрии уравнения орбиты, тогда редуцированное фактор-уравнение допускает однопараметрическую группу симметрии с базисным векторным полем % " .

- У, = 2иди + Зуду (0.32)

Это позволяет понизить порядок уравнения фактор-уравнения после замены переменных q = u3/v»J,p = Intp. Фактор-уравнение после подстановки г = ря становиться обыкновенным первого порядка.

Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры симметий Ь\ неподобных с точностью до внутренних автоморфизмов может быт. преставлена в следующем виде

(V, +ЬУ3,У2,Г3,Г2±У3) (0.33)

В качестве примера, исслюстрирующего методику поисков частично-инвариантных решений предлагаются инвариантные относительно поля >з решения уравнения орбиты: ¡р = с,и + с3, где с,,е2 - константы.

Для орбиты такого вида фактор-система имеет решение

}

V = г(х)ех]>(сху) - С2/С|, V = с, +---, и> = Ои/ду,

с,с(") с,

(0.34)

где с = с(х)-произвольная функция, С1,с2-конствнты. Орбита и> = С1И + С2 может быть получена при дейстьии на решение подалгеброй Ь(ХиХ3, Х1 = д), причем решение не редуцируется к инвариантному относительно одномерных подалгебр из

Изучение решений уравнения орбиты, инвариантных относительно симметрии Уг также используется метод фактор-уравнений. В качестве фактор многообразия можно выбрать подмногообразие и — 1 и построить фактор уравнение

•

<?х = 3/4^3

с решением ф = ±(с - 3/2х)-1'2

Подгруппа преобразований с образующей У2 имеет траектории вида (х, и, (¿>) —» (х, и е21, ^ к "), которые превращают ] яцение ф в решение уравнения

^ = (2/3 У'и^с-х)-1'1 (0.35)

Такие орбиты и> = <р{х, и) соответствуют решениям с разделяющимися переменными у = Цх)д(и) и могут быть получены, например, действием подалгебры Хд-х). Найденные в вном виде се-

мейство реи ения не дедуцируются к инвариантным относительно одномерных подичгебр из алгебры симметрии при некоторых условиях. В заключении кратко перечислены основные реэулыаты работы. Список литературы содержит названия раГх которые использовались при написании диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Написана фактор-система для инвариантных относительно произвольной одномерной подгруппы симметрии решении. Доказано локальное существование и единственность инвариантного решения, удовлетворяющего начальным значениям в точке. Указано на существование особенностей инвариантных решений.

2. Для стандартной краевой задачи уравнений погранслоя была исследована проблема существования инвариантных решений краевой задачи, отличных от решения Блазиуса. Был найден вид всех инвариантных решений, удовлетворяющих краевой задаче и показано что, за исключением тривиальных решений, такие решения получаются преобразованиями сдвига из известных классических решений Блазиуса.

3.Для частично-нпвариантных решений уравнений погранслоя была исследозана проблема существования нередуцируемых решений. Для случаев возможных дефектов инвариантности один и два, путем рассмотрения вида траекторий, определяемых преобразованиями симме- ( трии, а также совокупности условий частичной инвариантности л уравнений исходной системы, определены возможные виды орбит для частично-инвариантных решений.

4. Доказана теорема о редукции всех частично-инвариантных решений уравнений погранслоя к инвариантным в случае дефекта инвариантности равного единице.

5. В случае решений с дефектом инвариантности два определены уравнения для орбит нередуцируемых частично-инвариантных решений а найдены соответствующие подалгебры. При исследовании уравнений для орбит, доказывается теорема о соответствии частично-инвариантных решений уравнений погранслоя и инвариантных решений уравнения орбиты.

6.При исследовании инвариантных решений уравнения орбиты были найдены нередуцируемые частично-инвариантные решения. Приведены примеры явного вычисления частично-инвариантных решений с использования метода многократной редукции уравнений к фактор-системе.

Материалы диссертации публиковались в следующих работах:

Воробьев Е.М., Игнатович П.В., Семенова Е.О. Инвариантные и частично инвариантные решения краевых задач // ДАН СССР. -1989. • Т.506, N4- -С.836-^40.

Воробьев Е.М., Игнатович II.В. Групповой анализ краевой задачи для уравнений ламинарного пограничнрго слоя // Математическое моделирование. -1991. -Т.З, N11. -С. 116-123.

Воробьев Е.М., Игнатович И.В. Групповой анализ краевой задачи для уравнений ламинарного пограничнрго слоя // Международный семинар "Современный групповой анализ". Тезисы докладов. Уфа: 1991. -С. 12.

Игнатович И.В. Нередуцируемые к инвариантным, частично-инвариантные решения уравнений стационарного погранслоя. // Математические заметки. -1993. -Т.53, вып.1. -С.140-142.

17

■цпнсано к печати 17.10.95г. Зак.П2 Тир.90 Объём In.л

МГИЭЕЛ. Москва.М.Пионерская ул,.12