Структурные и линейно-метрические свойства максимальных F - алгебр голоморфных функций в полуплоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517 547 54/517 547 7

Ефимов Дмитрий Александрович

Структурные и линейно-метрические

СВОЙСТВА МАКСИМАЛЬНЫХ .Р—АЛГЕБР ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ в ПОЛУПЛОСКОСТИ

01 01 01 — математический анализ

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003163038

Москва 2007

003163038

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им М.В.Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Гаврилов Валериан Иванович

Официальные оппоненты.

доктор физико-математических наук, профессор Суетин Павел Кондратьевич, кандидат физико-математических наук доцент Вячеславов Николай Степанович

Ведущая организация Московский педагогический

государственный университет

Защита диссертации состоится 14 ноября 2007 года в 16.15 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 в Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 9 октября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 85 доктор физико-математических наук профессор

Т П Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Исторически первыми из максимальных классов голоморфных функций изучались классы, определенные в круге1 Интерес к пространствам функций, голоморфных в областях с границей бесконечной меры, впервые возник в начале 30-ых годов прошлого века в связи с исследованиями Р Пэли и Н Винера свойств преобразования Фурье. В работах Э Хилле и Я Д Тамаркина 2 были рассмотрены классы Hp(D),p ^ 1, таких голоморфных функций / в полуплоскости D — {z = х + гу | у > 0} , для которых

+00

sup / |/(х + iy)\pdx < +00, р ^ 1, у>0 J

—оо

(аналоги пространств Харди в случае круга), а в основе изучения лежало установленное ими наблюдение о представимости функций из Hp(D),p ^ 1, абсолютно сходящимся интегралом Коши

Немногими годами позже советский математик В И Крылов 3 провел системное исследование более широких, чем HP(D), классов голоморфных функций в полуплоскости (и в частности, введенного им аналога класса Неванлинны в круге) Определенная часть достигнутых в рассматриваемой области результатов, включающая полученные с применением методов функционального анализа, отражена в монографиях 4' 5

Дальнейший интерес к данной тематике возник в самом конце

1 Kiedrich Riesz Über die Randwerte einer analytischen Funktion Math Zeit, 18(1923), 1/2 Heft, 87-95

2E Hille, J D Tamarkm Armais of Mathematics, (2), 34(1933), 606-614, Fund Math , (2), 25(1935), 329-352

3B И Крылов О функциях, регулярных в полуплоскости Математический сборник, 6 48, 1939, N 1, 95-137

4К Гофман Банаховы пространства аналитических функций М , ИЛ, 1963, 312 с

5П Кусис Введение в теорию пространств Нр М , Мир, 1984, 368 с

XX века, когда японские математики Н Мочизуки 6 и Я Иида 7 продолжили исследования В И Крылова Однако изучавшиеся ими множества голоморфных функций, как и классы В И Крылова, не образуют линейных пространств, что осложняет их изучение методами функционального анализа. В это же время JI М Ганжула 8 (ученица В И Гаврилова) рассмотрела новый вид максимальных классов, а именно, пространство M(D) таких голоморфных в полуплоскости D функций /, для которых справедливо отношение

+оо +оо

/ ln(l + Mf{x))dx- / ln(l 4- sup \f(x + гу)\) dx < +oo,

J J y> 0

—oo —oo

и доказала, что класс M{D) образует F—алгебру относительно определенной в нем естественной инвариантной метрики

Диссертант изучает общие классы Mg(D),q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости, для которых

+оо +оо

[ ln9(l + Mf(x))dx= I ln9(l + sup \f(x -+- гу)\) dx < +оо, g > О,

J J у> О

—oo -oo

(1)

отмечая, что каждый Mq(D), q > 0, содержит классы Харди HP(D) для всех 0 < р ^ q Аналоги классов Mq(D) в круге и шаре рассматривались в статье 9

Параллельно в диссертации изучаются классы Ng(D),q > 0, всех

6N Mochizuki Nevanlmna and Smirnov classes on the upper half plane Hokk Math J, 20, 1991, 609-620

7Y bda Nevanhnna-type spaces on the upper half plane Nthonkat Mathematical Journal, 12, No 2, 2001, 113-121

8JIM Ганжула Об одной F-алгебре голоморфных функций в верхней полуплоскости Mathematica Montisntgn, XII, 2000, 33—45

9 В И Гаврилов, А В Субботин F-алгебры голоморфных функций в шаре, содержащие класс Неванлинны Math Montismgn, XII, 2000, 17-31

голоморфных в D функций /, у которых

+оо

sup Г ln9(l + I f(x + ty)|) dx < +00, q > О, (2)

y>0 J

-00

(аналоги классов И И Привалова для круга 10).

В диссертации строится теория относительно этих классов, доказывается, что они обладают хорошими линейно-метрическими свойствами, описывается структура их подпространств и линейных изо-метрий, формулируется и доказывается целый ряд структурных свойств

Цель работы.

Целью работы является изучение пространств Mq(D) и N4(D),q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости D. Перед автором стояли следующие задачи

• исследовать граничные свойства и оценить рост функций из указанных классов;

• найти связи между ранее известными классами и вновь введенными,

• доказать линейные свойства пространств, описать их ограниченные и вполне ограниченные подмножества,

• найти общий вид линейных изометрий пространств Ng(D)

Методы исследования.

Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного, математического анализа и функционального анализа

10И И Привалов Граничные свойства однозначных аналитических функций М Изд-во МГУ, 1941, 206 с

Научная новизна.

Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1. Установлены связи изучаемых классов с известными максимальными классами в полуплоскости в частности, доказано, что Мч{0) и Ич(р) совпадают как множества в случае > 1,

2 Исследовано граничное поведение и получены оценки роста для функций из классов МЯ(В) и А^-О), д > О,

3 Предложено новое факторизационное представление функций из М9(£)),д > 1, с помощью произведения Бляшке, построенного по нулям этих функций,

4 Доказано, что классы М9(1>) и №> 0, образуют Р—алгебры относительно естественных метрик,

5 Доказаны критерии свойств ограниченности и полной ограниченности подмножеств в пространствах МЧ{В),<7 > О,

6 Установлен общий вид линейных изометрий в И9(И), д > О

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер Полученные результаты могут найти применение в теории функций комплексного переменного, функционального анализа, а также, в теории аппроксимаций аналитических функций

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались

• на семинаре кафедры математического анализа в МГУ им М В Ломоносова под руководством проф В И.Гаврилова (неоднократно, 2001-2007 гг),

• на 24-й конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2002 г),

• в Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приближения" (Саратов, 2006 г),

• на научном семинаре природно-математического факультета Университета Черногории (2006 г),

• на конференции "Ломоносовские чтения" в МГУ (2007 г) Публикации.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [1]-[4], список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 32 наименования Общий объем работы - 69 страниц

Во введении изложена краткая история вопроса, показана актуальность темы и сформулированы основные задачи и результаты диссертации

В первой главе приводятся определения основных пространств функций, голоморфных в полуплоскости £) = {г = х + гу \ у > 0}, рассматриваемых в диссертации, а именно

1) пространства Харди НР(Б) голоморфных функций / в полуплоскости £), для которых

2) класс Крылова У1(П) голоморфных в Б функций /, удовле-

Содержание работы

вир \/(х + гу)\р(1х<-{-00, у>0

—оо

творяющих условию

вир / 1п+ \/(х + гу)\ <1х < +оо, у>о 3

—оо

где 1п+ а = тах(1п а, 0), а > 0 и 1п+ 0 = 0,

3) классы > 0, рассмотренные в 7 и определяемые как

множества голоморфных в Б функций /, для которых

4) классы Мч{Б),д > 0, определяемые с помощью (1),

5) классы > 0, определяемые с помощью (2)

В пространствах МЯ(В) и .№*(£>) рассматриваются характеристики ||/||аг» и ||/||лг« как «д-ые степени левых частей в (1) и (2) с ад = шп(1,1/д),д > 0

Во втором параграфе первой главы изучаются структурные свойства классов Мч(0) и Л^-О), д > 0 Сформулируем основные из них

Теорема (аналог теоремы Ф. и М. Риссов). Пусть /6М«(2)),?>0 Тогда,

1) / имеет граничные пределы /+(ж) = 1ип/(х+гу) почти всюду

на К,

2) граничная функция /+ обладает свойством

+00

I (1п+ \/(х + гу) I)9 йX < +оо,

—оо

—оо

3) для Д (.г) = /(г + гЛ), Л > 0, выполняется равенство

+0О

—оо

Теорема (о связи между пространствами).

1) Для каждого > 1 множество МЯ{В) совпадает с множеством

2) и с М«(£>)

0<Р«<7

Отмечается также, что в отличие от классов Харди в круге, пространства МЯ{П) не связаны между собой никакими включениями при различных д > О

Для функций из пространств М9(.0) справедливы оценки роста

Теорема (оценка роста). Для любой функции / £ М9(£)),<7 > 0, справедливо неравенство

1п(1+[/(*)!)< г = х + гуеО,

где постоянная Ед не зависит от / и (Зд = тах(1,1/д)

Аналогичное неравенство верно и для функций из пространств ЛГ"(£>)

Первая глава завершается факторизационной теоремой

Теорема (факторизационная теорема). Пусть д > 1 Тогда любая функция / € М3(Х)) представляется в виде произведения двух функций

/(*) = Ь/СгОВД, где — произведение Бляшке для функции /

, / ч _ тт г - г„ \г„ - г] |г„ + г\ \\ х — — г + г '

по последовательности нулей функции / в И, удовлетворяющей условию

ЕнХ/^' Ъ = х„ + гу„ у„> О,

сходимости Ь/, а функция Р £ М?(£>) и Р(г) ф 0,£ € В И обратно, если функция / представляется в указанном виде, то она принадлежит классу МЧ(В)

Во второй главе диссертации исследуются линейно-метрические свойства изучаемых пространств Утверждается, что характеристики || • ||м« и || • Цдг« образуют квазинормы (в смысле К Иосиды11) в соответствующих классах Как и в любом квазинормированном пространстве, в М9(£)) и (I?) существуют естественные инвариантные метрики, порожденные квазинормами

рм*(/,д) = и-д\\м; /,</еМ«(£>), рт(1,9) = \\1-д\\т,

и в топологиях, определяемых этими метриками, классы представляют собой линейно-топологические пространства

Оказывается, что пространства обладают дополнительными структурами

Теорема. Каждое > 0, образует .Р— алгебру, те

такое Р—пространство, в котором введена алгебраическая операция умножения, превращающая М<1(0) в алгебру, и эта операция умножения непрерывна в метрике рм»

Теорема. Каждое N''(0), д > О, образует Р— алгебру

Во втором параграфе второй главы описываются ограниченные и вполне ограниченные подмножества классов (£)),# > 0 Доказаны следующие критерии

Теорема (критерий ограниченности). Множество Ь С М9(£>),<7 > 0, ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия•

11К И ос ида Функциональный анализ М Мир, 1967, 624 с

(а) существует такое число К > 0, что

+оо

J ln?(l + Mf(x)) dx < К

—оо

для любой / 6 L, то есть множество L ограничено по метрике Pq,

(б) для любого е > 0 существует такое 5 — 5(e) > 0, что

J ln9(l + Mf(x)) dx < е

E

для любой f € L и любого измеримого множества Е С R с лебеговой мерой fiE < 5, то есть первообразные семейства функций ln«(l + Mf(x)) равностепенно абсолютно непрерывны на Ш

Теорема (критерий полной ограниченности). Множество L вполне ограничено в пространстве M9(D),q > 1, тогда и только тогда, когда

(а) L ограничено в M4(D),

(б) множество функций {/+}, / € L, относительно компактно в топологии сходимости по лебеговой мере ц на прямой,

(в) для любого е > 0 существует таков А > 0, что

—А +оо

J 1п9(1 + Mf(x)) dx+ j ln9(l + Mf(x)) dx<e

—со A

для всех f € L

Третья глава диссертации посвящена изучению линейных изометрий классов Nq(D),q > 0 Конус в линейном пространстве определяется как множество, замкнутое относительно умножения на положительные числа Ключевым утверждением в описании общего вида линейных изометрий этих пространств является следующая

Лемма. Пусть д > 0 и положительно-однородное отображение I конуса С С 1п£9(К), где 1п - класс функций /, для

+оо

которых выполняется неравенство f 1п9(1 + |/(ж)|) Ах < +оо, яв-

—оо

ляется 1пЬч (К) -изометричным, то есть

+оо +00

11п'(1 + \/(х)\)ёх= J ыЦ1 + \Щх)\)<ь, /ее.

—оо —оо

Тогда отображение I будет также и Ьр(П)~изометричным, то есть

+оо +оо

I \/{х)\?с1х= I \1/(х)\*><1х, /еС,

—оо —оо

для всех р вида q + l, где I Е и I ^ q + 1

Основным результатом третьей главы является

Теорема. Пусть д > 0 и I - произвольная линейная изометрия пространства Тогда I имеет вид

(//)(*) = с(<р'(г))г'р/{ф)),г Е А / 6 №(0),

где с 6 С, |с| = 1, <р = Ф-1 о -ф о Ф, ф(г) = (г - г)(г + г)-1, ф ~ конформное отображение открытого единичного круга на себя, и <р' - производная </?

Обратно, если I имеет вышеуказанный вид для некоторого отображения <р = Ф-1 то I — линейная изометрия про-

странства ,Л/^(£))

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В И Гаврилову за постоянное внимание, искреннюю заинтересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы, а также всестороннюю поддержку в течение всего диссертационного исследования

Работы автора по теме диссертации

[1] Ефимов ДА Об F—алгебрах голоморфных функций в полуплоскости, определяемых посредством максимальной функции // Доклады РАН, том 416, №6, 2007, с 732-734

[2] Ефимов ДА., Субботин А В Некоторые F-алгебры голоморфных функций в полуплоскости // Mathematica Montismgri, Vol XVI, 2003, с 69-81

(Субботину A.B. принадлежит постановка задачи в данной тематике, Ефимову Д А принадлежат доказательства)

[3] Ефимов Д А , Субботин А В Некоторые F-пространства голоморфных функций в полуплоскости // Труды 24 конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова, Москва, 8-13 апреля 2002(вып 1), изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2002, с 71-73 (РЖМат 04 03-13Б 168)

(Субботину А В принадлежит постановка задачи в данной тематике, Ефимову Д.А принадлежат доказательства)

[4] Ефимов ДА Пространства M4,q > 0, в полуплоскости // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" Саратов, изд "Научная книга", 2006, с 67-68

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 0& /0.07 Формат 60x90 1/16 Уел печ л О, ?$ Тираж /00 экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Сокращения и обозначения.

Введение

Глава I. Структурные свойства максимальных классов

§1. Предварительные сведения и основные понятия

1. Историческая справка.

2. Максимальные функции.

3. Связи между классами.

4. Известные граничные свойства.

5. Метрики в классах голоморфных функций.

6. Теоремы о канонической факторизации.

7. Оценки роста.

§2. Структурные свойства максимальных классов

1. Аналог теоремы Ф. и М. Риссов и другие граничные свойства.

2. Эквивалентные определения классов Mq(D) и Nq(D)

3. Различные вложения.

4. Оценки роста.

5. Представления функций из Mq(D).

Глава II. Метрические свойства классов M<*{D) и Nq(D)

§1. Mq(D) как F-алгебры.

1. Линейные пространства.

2. Квазинорма в классах.

3. F—пространства Mq(D)

4. Mq(D) как F—алгебры.

§2. Ограниченные и вполне ограниченные множества

1. Ограниченные множества в Mq(D).

2. Критерий полной ограниченности в Mq(D).

Глава III. Линейные изометрии пространств

§1. Линейные изометрии максимальных пространств

1. Известные сведения о линейных изометриях пространств голоморфных функций в полуплоскости

2. Оценки для функции (ln(l -\-x)/x)q.

3. Изометрии Nq(D).

Исторически первыми из максимальных классов голоморфных функций изучались классы, определенные в круге [28]. Интерес к пространствам в случае бесконечной меры впервые возник в начале 30-ых годов прошлого века в связи с исследованиями Р.Е.А.Ч.Пэли и Н.Винера свойств преобразования Фурье. В работах Э.Хилле и Я.Д.Тамаркина [22], [23] были рассмотрены классы Hp(D),p ^ 1, таких голоморфных функций / в полуплоскости D = {z = х + iy | у > 0}, для которых

00 sup / \f(x + iy)\pdx < +оо, р > 1,

2/>0 J -00 аналоги классов Харди в случае круга), а в основе изучения лежало установленное ими наблюдение о представимости функций классов Hp(D),p ^ 1, абсолютно сходящимся интегралом Коши. Случай О < р < 1 рассмотрен в статье Т.Кавата [24].

Немногими годами позже советский математик В.И.Крылов [10] провел системное исследование более широких, чем классы HP(D), классов голоморфных функций в полуплоскости (и в частности, введенного им аналога класса Неванлинны в круге). Определенная часть достигнутых в рассматриваемой области результатов, включающая полученные с применением методов функционального анализа, отражена в монографиях [И], [6].

Дальнейший интерес к тематике возник в самом конце XX века, когда японские математики Я.Иида [32] и Н.Мочизуки [27] продолжили исследования В.И.Крылова. Однако изучавшиеся ими классы, как и классы В.И.Крылова, не образуют линейных пространств, что осложняет их изучение методами функционального анализа. В это же время Л.М.Ганжула [4] (ученица В.И.Гаврилова) рассмотрела новый вид максимальных классов, а именно, пространство M1(D) таких голоморфных в полуплоскости D функций /, для которых справедливо

00 +00 ln(l + Mf(x)) dx = / ln(l + sup \f(x + iy)\) dx < +oo,

J J 2/>0

2/>0 00 —00 и доказала, что класс Ml(D) образует F—алгебру относительно определенной в нем естественной инвариантной метрики.

В работе изучаются общие классы Mq(D),q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости, для которых

00 +00 ln9(l + Mf(x))dx = / ln9(l + sup \f(x + iy)\) dx < +oo, # > 0,

J y>0 y> 0

-oo -oo

0.1) отмечая, что каждый Mq(D)1q > 0, содержит классы Харди HP(D) для всех 0 < р ^ q. Аналоги классов Mq(D) в круге и шаре рассматривались в статье [3].

Параллельно в диссертации изучаются классы Ng(D),q > 0, всех голоморфных в D функций /, у которых

00 sup / ln9(l + \f(x + iy)I) dx < +00, q > 0, (0.2) y>0 J

-00 аналоги классов И.И.Привалова для круга [14]).

В диссертации строится теория относительно этих классов, доказывается, что они обладают хорошими линейно-метрическими свойствами, описывается структура их подпространств и линейных изо-метрий, формулируется и доказывается целый ряд структурных свойств.

Целью работы является изучение пространств Mq(D) и Nq(D),q > 0, голоморфных функций / в полуплоскости D. Перед автором стояли следующие задачи:

• исследовать граничные свойства и оценить рост функций из указанных классов;

• найти связи между ранее известными классами и вновь введенными;

• доказать линейные свойства пространств, описать их ограниченные и вполне ограниченные подмножества;

• найти общий вид линейных изометрий пространств Nq(D).

Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного, математического анализа и функционального анализа.

Все основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлены связи изучаемых классов с известными максимальными классами в полуплоскости: в частности, доказано, что Mq(D) и Nq(D) совпадают как множества в случае q > 1;

2. Исследовано граничное поведение и получены оценки роста для функций из классов Mq(D) и Nq(D),q > 0;

3. Предложено новое факторизационное представление функций из Mq(D),q > 1, с помощью произведения Бляшке, построенного по нулям этих функций;

4. Доказано, что классы Mq{D) и Nq(D),q > 0, образуют F—алгебры относительно естественных метрик;

5. Доказаны критерии свойств ограниченности и полной ограниченности подмножеств в пространствах Mq(D),q > 0;

6. Установлен общий вид линейных изометрий в Nq(D),q > 0.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций комплексного переменного, функционального анализа, а также, в теории аппроксимаций аналитических функций. В дальнейшем они могут быть использованы специалистами, работающими в МГУ им. М.В.Ломопосова, Московском педагогическом государственном университете, Университете Черногории и других научных учреждениях страны.

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры математического анализа в МГУ им. М.В.Ломоносова иод руководством проф. В.И.Гаврилова (по мере их получения);

• на 24-й конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (2002 г.);

• в Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приближения" (Саратов, 2006

• на научном семинаре природно-математического факультета Университета Черногории (2006 г.);

• на конференции "Ломоносовские чтения" в МГУ (2007 г.).

В первой главе приводятся определения основных классов функций, голоморфных в полуплоскости D = {z = x-\-iy\y> 0}, рассматриваемых в диссертации, а именно:

1) пространства Харди HP(D) голоморфных функций / в полуплоскости D, для которых

2) класс Крылова (D) голоморфных в D функций /, удовлетворяющих условию

00 sup / \f(x + iy)\pdx < +оо; у>о J

-00

00 sup / ln+ \f(x + iy)\dx < +oo, y>о J

-00 где ln+ a = max(lna, 0), a > 0 и ln+ 0 = 0;

3) классы yiq(D), q > 0, рассмотренные в [32] и определяемые как множества голоморфных в D функций /, для которых 00 sup / (ln+ If(x + iy)\)q dx < +оо; v>о J

-00

4) классы Mq(D),q > 0, определяемые с помощью (0.1);

5) классы Nq(D),q > 0, определяемые с помощью (0.2).

В пространствах Mq{D) и Nq(D) рассматриваются характеристики ||/||м" и ||/||лг« как Qfg-ые степени левых частей в (0.1) и (0.2) с aq = min(l, 1 /q), q > 0.

Во втором параграфе первой главы изучаются структурные свойства классов Mq(D) и Nq(D), q > 0. Сформулируем основные из них.

Теорема (аналог теоремы Ф. и М. Риссов). Пусть f EMq{D),q> 0. Тогда,

1) f имеет граничные пределы f+(x) = lim f(x+iy) почти всюду у-> о на R;

2) граничная функция /+ обладает свойством

00

J \nq(l + \f+{x)\) dx<+ оо; — 00

3) для fh(z) = f(z + ih), h > 0, выполняется равенство 00 lim f \nq(l + M(fh-f){x))dx = 0. h-> 0+ J -oo

Теорема (о связи между пространствами).

1) Для каждого q > 1 множество Mq(D) совпадает с множеством Nq(D).

2) U HP(D) С Mq(D).

0< p^q

Отмечается также, что в отличие от классов Харди в круге, пространства Mq(D) не связаны между собой никакими включениями при различных q > 0.

Для функций из пространств Mq(D) найдены оценки их роста.

Теорема (оценка роста). Для любой функции / £ Mq(D),q > 0, справедливо неравенство

1ч(1 + \f(z)\) 4 MMl, z = x + iy€D, У где постоянная Eq не зависит от f и (3q = max(l, 1 /q).

Аналогичное неравенство верно и для функций из пространств Nq(D).

Первая глава завершается факторизационной теоремой.

Теорема (факторизационная теорема). Пусть q > 1. Тогда любая функция / £ Mq(D) представляется в виде произведения двух функций: f(z) = bf(z)F(z), где bf - произведение Бляшке для функции /; z- zv \zu - i\ \zv + г . - „ zv l zv + % M no последовательности {zu} нулей функции f в D, удовлетворяющей условию

У] 1 , Vl , 2 < +00' Zv = xv + iyu, Уи > 0, ^l + xl + yl сходимости произведения bf, а функция F Е Mq(D) и F(z) ф 0,z G D. И обратно, если функция f представляется в указанном виде, то она принадлежит классу Mq(D).

Во второй главе диссертации исследуются линейно-метрические свойства изучаемых пространств. Утверждается, что характеристики || • ||м« и || • образуют квазинормы (в смысле К.Иосиды [8]) в соответствующих классах. Как и в любом квазинормированном пространстве, в Mq(D) и Nq(D) существуют естественные инвариантные метрики, порожденные квазинормами: рм*и,д) = \\1-д\\м; f,geMq(D),

PN*(f,9) = \\f-9\\N<>, f,geNq(D), и в топологиях, определяемых этими метриками, классы представляют собой линейно-топологические пространства.

Оказывается, что эти пространства обладают дополнительными структурами:

Теорема. Каждое Mq(D),q > 0, образует F—алгебру, т.е. такое F—пространство, в котором введена алгебраическая операция умножения, превращающая Mq(D) в алгебру, и эта операция умножения непрерывна в метрике рмч

Теорема. Каждое Nq(D),q > 0; образует F—алгебру.

Во втором параграфе второй главы описываются ограниченные и вполне ограниченные подмножества классов Mq(D),q > 0. Доказаны следующие критерии.

Теорема (критерий ограниченности). Множество L С Mq(D),q > 0, ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: а) существует такое число К > 0, что

00

J ln9(l + Mf(x))dx<K

-оо для любой f G L, то есть мноэюество L ограничено по метрике Pq; б) для любого г > О существует такое S = 6(e) > О, что

J \nq(l + Mf(x))dx<£ Е для любой / Е L и любого измеримого множества Е С R с лебеговой мерой цЕ < 5, то есть первообразные семейства функций ln9(l + Mf(x)) равностепенно абсолютно непрерывны на Ж.

Теорема (критерий полной ограниченности). Множество L вполне ограничено в пространстве Mq(D),q > 1, тогда и только тогда, когда а) L ограничено в Mq(D); б) множество функций {f+(x)},f € L, относительно компактно в топологии сходимости по лебеговой мере /л на прямой; в) для любого е > 0 существует такое А > 0, что для всех f G L.

Третья глава диссертации посвящена изучению линейных изо-метрий классов Nq(D),q > 0.

Конус в линейном пространстве определяется как множество, замкнутое относительно умножения на положительные числа. Ключевым утверждением в описании общего вида линейных изометрий этих пространств является следующая

Лемма. Пусть q > 1 и положительно-однородное отображение I конуса С С hiLq(R), где lnL9(M) - класс функций f, для

00 которых выполняется неравенство f ln9(l + \ f(x)\)dx < +оо, яв

-А

00

-00 А ляется In Lq(R) -изометричным, то есть 00 +00

I ln*(l + I f(x + »y)|) dx= J lnfl(l + \If(x + iy) I) dx, fGC. 00 —00

Тогда отображение I будет также и LP (Ж)-изометричным, то есть

00 +00

J \f(x + iy)\pdx= J \lf(x + iy)\pdx, fee, — 00 —00 для всех р вида q-\-l, где I 6 и I ^ q + 1.

Основным результатом третьей главы является

Теорема. Пусть q > 0 и I - произвольная линейная изометрия пространства Nq(D). Тогда I имеет вид = c(y'(z)?lpf(4>{z)), zeDJe N«(D), где с Е С, |с| = 1, (р = Ф(^) = (z—i)(z+i)~1, ф - конформное отображение единичного круга U на себя, и ip' - производная (р.

Обратно, если I имеет вышеуказанный вид для некоторого отображения ip = Ф-1 о ф о Ф, то I — линейная изометрия пространства Nq(D).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В.И.Гаврилову за постоянное внимание, искреннюю заинтересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы. Автор благодарен также своему соавтору А.В.Субботину за всестороннюю поддержку и конструктивные замечания в течение всего диссертационного исследования.