Спектр компактных операторов взвешенной композиции в некоторых пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.0 НЕКОТОРЫХ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРАХ В

РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

§ I Компактные операторы взвешенной подстановки в равномерных пространствах

§ 2 Компактные комбинации.операторов.взвешенной подстановки.

I. Непустота и компактность - единственные свойства подмножества комплексной плоскости (L , наличие которых эквивалентно существованию ограниченного оператора банахова пространства с данным спектром. Дополнительными свойствами обладают спектры операторов, более тесно связанных с дополнительными структурами пространства. Классический пример - вещественность спектра эрмитова оператора гильбертова пространства, совпадение нормы и спектрального радиуса в этом случае. Сравнительно новый пример дает теорема Камовица и Шейнберга [3*2 , согласно которой спектр непериодического автоморфизма Т • * А полупростой коммутативной банаховой алгебры А содержит единичную окружность (по поводу разнообразных доказательств и обобщений этой теоремы см., в частности, статью Е.А.Горина [8]). Кроме того, спектр Т в этом случае - связное подмножество плоскости £ .

Если реализовать полупростую коммутативную банахову алгебру А в виде алгебры непрерывных функций на компакте Q. ее максимальных идеалов, то каждому эндоморфизму (в частности, каждому автоморфизму) Т• А—> А будет отвечать такое непрерывное отображение (гомеоморфизм) ip: Q—> Q , что для всех ^еА и х е Q , т.е. Т реализуется в виде оператора подстановки (композиции). Этим объясняется тот факт, что теорема Камовица и Шейнберга стимулировала изучение спектральных свойств операторов подстановки и более общих операторов вида ^ i—> Zt (f°lf) , действующих в функциональных алгебрах и подпространствах Е с= CCQ) . Конечно, специальные высказывания о спектре оператора подстановки возможны лишь при наличии дополнительной информации (о динамике подстановки, пространстве Е , структуре Q ), поскольку в таком виде, даже в предположении замкнутости Е в C(Q.) , реализуется, как это вытекает из теоремы о слабой компактности шара сопряженного пространства, каждый оператор банахова пространства с нормой не больше I.

В работах Леви [19] , [20) и Джонсона [31] среди прочего были найдены простые доказательства теоремы Камовица и Шейнберга. Кроме того, вскоре выяснилось (см. |42] , [7] ), что спектр автоморфизма полупростой коммутативной банаховой алгебры, вообще говоря, не обладает специальной симметрией. Следующий пример, который мы кратко опишем, принадлежит Е.А.Горину. Пусть KJ -такой компакт в (Г , который содержится в кольце $121 * Ч и содержит кольцо -J-^IZI ^ 2 . Предположим дополнительно, что JrvL К плотно в К • Рассмотрим пространство с- С(К) функций из С(К) » аналитических на hi К . Относительно поточечных линейных операций и Slip - нормы А образует банахово пространство. Очевидно, что спектр оператора —> zfcz) в А совпадает с К • Вместе с тем, относительно умножения

Wz> = *2r/ fmpw-fпространство А образует, как можно показать, полупростую коммутативную банахову алгебру (без единицы), пространство максимальных идеалов которой "совпадает" с группой Ж целых чисел (гельфандовское представление сопоставляет £ последовательность лорановских коэффициентов), а введенный оператор становится автоморфизмом этой алгебры. Тем не менее, в ряде естественных ситуаций, связанных с алгебрами гладких функций, в структуре спектра автоморфизмов и взвешенных автоморфизмов была обнаружена круговая симметрия. Кроме того, в этих случаях был проведен довольно детальный анализ тонкой структуры спектра. К этому кругу вопросов относятся некоторые работы Камовица [32] , [351 , [34] , [35] , [36] , ряд работ А.К.Китовера [12] , Ш , [14] , А.Б.Антоневича [I], [2], А.Б.Антоневича и А.В .Лебедева [3] , А.Б.Антоневича и Сериня Алиу Ло [4] , А.В.Лебедева [16] , [17] , [18] и другие, связанные с исследованием интегро-функциональных уравнений, фредгольмовым спектром, теорией индекса и т.д.

Другое направление, возникшее в связи с теоремой Камовица-Шейнберга, - изучение спектров эндоморфизмов и взвешенных эндоморфизмов. Любопытно, что спектры эндоморфизмов алгебры С(СОД]) были описаны Монтадором [38] только в 1974 году, результат которого в конце 70-х годов был распространен на общее С (GO в работах Сериня Алиу Ло [22] и В.Г.Курбатова [15] . Оказалось, что в этом случае спектр - либо диск 1АЫ 1 , либо конечное объединение замкнутых подгрупп окружности 1Я1=4 , возможно, дополненное точкой 0 . В работах А.К.Китовера (см. ,в частности, [13] , [14| ) были полностью описаны спектры взвешенных эндоморфизмов CCQ) и других равномерных алгебр в дополнительном предположении, что подстановка сохраняет границу Шилова (в специальном случае диск-алгебра подобные результаты были раньше получены Камовицем [34] ). Грубо говоря, в такой ситуации при переходе от С(Ш к подалгебре спектр сохраняется (в частности, сохраняются свойства круговой симметрии спектра), тогда как, вообще говоря, он может существенно измениться. Как отмечается в [42] (см. также [291)» спектр эндоморфизма равномерной алгебры в общем случае, "повидимому, не обладает никакими специальными свойствами", кроме очевидного: ДЛ принадлежит спектру при всех натуральных п , если Я - точка границы спектра. Во всяком случае, имея спектры S^, S^ эндоморфизмов равномерных алгебр, можно сконструировать эндоморфизм со спектром или со спектром Sj, = { Я = л±\ ' ,

Со сказанным тесно связано третье направление, возникшее в связи с теоремой Камовица-Шейнберга. Речь идет об изучении спектров эндоморфизмов и близких линейных преобразований классических алгебр и пространств. Стандартным объектом такого сорта является диск-алгебра, т.е. алгебра А всех непрерывных функций в диске 121^ ^ , аналитических при 121 <1 . Первые результаты о спектре эндоморфизмов диск-алгебры принадлежат Камовицу [32] , [ЗЗ] . Нетривиальные примеры спектров, не встречающиеся у Камовица, указаны в [8] . Быть может, не лишне отметить, что даже в этом специальном случае до сих пор нет ответа на самые естественные вопросы: обязательно ли спектр эндоморфизма -полугруппа,совпадает ли спектр эндоморфизма диск-алгебры со спектром соответствующего эндоморфизма алгебры всех ограниченных аналитических функций и т.п. (подробнее см. [291 )•

В аналитической ситуации в отличие от CCQ) нетривиальный эндоморфизм может оказаться компактным оператором. Критерии компактности взвешенного эндоморфизма диск-алгебры дал Камовиц [35] . Он же в наиболее интересных случаях описал спектр такого оператора. Данная диссертация в своей основной части посвящена развитию этого направления и в тексте мы приведем точные формулировки результатов Камовица.

2, Диссертация состоит из двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация предложений стандартная, по главам.

В первой главе даются критерии компактности операторов типа взвешенной подстановки в замкнутых подпространствах пространства CCQ) всех непрерывных функций на (метрическом) компакте Q.

В § I осуществляется элементарный подход к теме, использующий только теорему Арцелла, в § 2 - более специальный, с привлечением метрики сопряженного пространства. Этот способ позволяет нам детально исследовать случаи компактности для сумм операторов взвешенной подстановки (в аналитической ситуации). В § 3 дано приложение к описанию спектра взвешенного эндоморфизма диск-алгебры. Этот пример уточняет один результат, полученный автором совместно с Е.А.Гориным (доклад в ХУЛ Воронежской Зимней математической школе, январь 1983 года). В главе I упомянутые выше результаты Камовица обобщаются в различных направлениях: мы стараемся использовать инвариантные термины, но среди конкретных следствий получаются многомерные варианты теоремы Камовица о компактности (полидиск, шар в £л ) и ее обобщения.

Во второй главе более детально исследуются специальные ситуации, связанные с аналитическими функциями многих переменных. В § 2 главы П, отправляясь от голоморфного отображения ограниченной области Dc Сл в себя, мы даем описание спектра оператора взвешенной подстановки для широкого класса банаховых модулей над многомерной "диск-алгеброй". Методов Камовица в многомерной ситуации недостаточно и нам приходится применять дополнительные соображения и понятия (линеаризация по Пуанкаре, ре-зонансность, теория возмущений). В § 3 главы П рассматривается интегральный оператор, ассоциированный с голоморфным векторным полем. Дается критерий компактности такого оператора, а в предположении компактности дается описание спектра.

3. Назовем теперь основные результаты работы.

Пусть Q - компакт, А - замкнутое подпространство в C(Q) , (j>: Q—* & - непрерывное отображение и CTf)(^c)= т.е. Tf ^ , причем ггеС(&) и оператор Т действует из А в С(&) . Точки х± , %% топологического пространства Y будем называть компактно связанными, если существует такой связный компакт KCY , что Х± , Х^ е f<J . Замкнутое подмножество Е ^ 61 называется множеством пика относительно А , если существует такая последовательность ^е А , что 1 , £(х)=-1 для всех /I и всех х е Е и, кроме того, вне каждой окрестности множества Е последовательность равномерно сходится к нулю. Точкой пика относительно Д называется одноточечное множество пика.

ТЕОРЕМА 1.6 ГЛАВЫ I. Если оператор Т компактен, то для каждой компоненты Y компактной связности множества {х е Q : ZCCX) Ф О ]• и каждого множества Е пика относительно А имеем: либо LfiY) Е , либо if(Y)[)E- р.

Если Q является локально связным компактом, то получается следующий критерий компактности.

ТЕОРЕМА I.I4 ГЛАВЫ I. Пусть Г - множество точек пика относительно А . Предположим, что для каждого компакта

Q\ Г оператор сужения А—>С(К) компактен. В таком случае оператор f тогда и только тогда компактен, когда для каждого связного компакта Y<^ jxe Gt : И(х)Ф О J либо - точка, либо

Теоремы 1.6 и I.I4 в конкретных случаях приводят к простым критериям компактности. К числу таких случаев относятся алгебры аналитических функций в полидиске (теорема I.II главы I), шаре (теорема 1.10 главы I), алгебра функций в цилиндре, аналитических в плоских сечениях (теорема I.I3 главы I).

Отправной точкой исследования в § 2 главы I служит то простое замечание, что оператор Т: А—> С СО.) тогда и только тогда компактен, когда отображение X 1—> Т £ из Q в А непрерывно из Q, в исходной топологии в А* в метрической топологии сопряженного пространства (здесь <Г - мера Дирака,

- Jb* рассматриваемая как функционал над А )• В теореме 2.4 главы I мы даем (довольно сложно формулируемый)критерий компактности пользующий это соображение. Сложность заключается не в доказательстве, а в формулировке результата. При переходе к аналитическим функциям формулировка упрощается, так как "внутри Q, " обе топологии часто совпадают и, кроме того, "помогают" теоремы единственности.

Сохраняя обозначения из теоремы I.I4 главы I, положим и допустим, что исходная топология на G- совпадала ет с метрической Д - топологией (это типично для аналитической ситуации). Пусть Tf = ^ (f3^ + » причем с: (J. , 1,1 .

ТЕОРЕМА 2.5 ГЛАВЫ I. Оператор Т тогда и только тогда оператора вида компактен, когда: б) если Lf>z(& <= Г , то 2Xtioc)^ U^X.) ^ 0 и

U(.0c-)\\S - (Г II-> 0 при Z —> X.

L И w V

В конкретных случаях II £ - S || * удается вычислить явно

X о А или оценить и это приводит к явным критериям компактности.

Пусть В - единичный шар в € ж А=А(В ) - аналог диск-алгебры.

ТЕОРЕМА. 2.7 ГЛАВЫ I. Оператор f Cf0(f^ компактен в А(В^) тогда и только тогда, когда осуществляется одна из следующих возможностей:. а) <£, ^ - соп^ ; б) у = c&nJ:, соя4^6 , ) во всех точках, где Хя(2)фОу в) lj) = con-J: , ц ф сотм.£ , /(£(2)j< 1 во всех точках, где г/^фО-у гт) если , (Lf>,(2)[ — 1 , то ггХё)-0 у г2) если , = 1 , то Uffl+Ufi)^ О и асг) - . о

1-С <£(?), <£<<?)) I* при £—> 2 , где евклидово скалярное произведение в (LЛ и 1<х| - евклидова норма.

Другое приложение теоремы 2.5 главы I дано в § 3 главы I. Мы реализуем диск в виде верхней полуплоскости Jm Z О и рассматриваем подстановку 2 »—> LfCZ) — 2 + Сл)0 -+ gCZ-) , где

4= у Ъп Сы0н- ЕС?)) ^J?0 > О , SC2) аналитична при TmiyO и > О при |Н|—оъ . Показано теорема 3.2 главы I), что спектр оператора j) i—=> составляет спираль £ Д : Я = 2/0°) ш01 ^ О J

Во второй главе рассматриваются вопросы описания спектров операторов, действующих в банаховых пространствах аналитических функций на ограниченных областях Х> С- (Drt.

Обозначим через Uoi(V) алгебру всех голоморфных функций на .D и положим A CD) = с(ъ) f) h.o£(d) . Пусть Х^с: Цо€СТ)) - банахов ACd)- модуль (причем вложение непрерывно; топология на KoC(V) - это топология равномерной сходимости на компактах). Рассматриваются операторы двух типов. Оператор первого типа определяется функцией ^еХ и непрерывным отображением (j>: D —> D , голоморфным в D :

T^)<i?)= ic (folf) W) .

Легко убедиться, что Т компактен в X .

Операторы второго типа определяются так. Пусть £ - голоморфное векторное поле, определенное в некоторой окрестности множества D , причем во всех точках границы поле ^ трансверсально к ?)D и направлено внутрь D (относительно границы делаются некоторые несущественные предположения). Через обозначим решение уравнения \Х/ = f(\X/)c начальным условием = 2 . Решение существует при всех i^O и IfCfa) V для2еР и ЬО , Пусть jL регулярная конечная борелевская комплексная мера на полуоси ^ > О .Мы полагаем у оо

Tf)(H) - j Z6(lf(b))f(fCiz))djxd) , где^А(Б). О

В § I главы П собраны необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты. В § 2 дается доказательство теоремы, дающей описание спектра оператора первого типа. Заметим, что упомянутое отображение Lf>: D —имеет в точности одну неподвижную точку в D и будем считать ее началом координат в ([\ Пусть =• Az * т*е- ^ ~ линейная часть ^ в начале координат. Обозначим через flctf) мультипликативную полугруппу в € , порожденную числом 0 и совокупностью всех нерезонансных собственных чисел отображения Д . (Напомним, что собственное значение оС называется резонансным, если — **' с*^ для некоторых собственных чисел о^ и неотрицательных целых >•••,> с /Ei т- > % ).

- .

ТЕОРЕМ 2.1. ГЛАВЫ П. Спектр оператора Т первого типа совпадаете 36(0) П (if) .

В § 3 главы П изучается спектр оператора Т второго типа (ассоциированного с полем и мерой jJL ). При h. ^ H#£Cd) положим t>/0(2) = k(lf(lz))

Легко проверить, что Ф h е X , если А е X и ^ ^ 0 . v

Обозначим через О вариацию меры jju и предположим, что jll<%ll < ©о . о

ЛЕММА 3.4 ГЛАВЫ П. Оператор Т второго типа тогда и только тогда компактен, когда Jbt({0]) = 0.

ТЕОРЕМА 3.1 ГЛАВЫ П. В предположении компактности спектр оператора второго типа составляют 0 и числах^

Je rtju(-t) ? о где т - точка решетки Ж^ , а = " ' * * ~ набор собственных чисел дифференциала поля ^ в неподвижной точке (которая считается совпадающей с началом координат).

4. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24] , [25] , [26) . Они докладывались на ХУЛ (1983) и ХУШ (1984) Воронежских Зимних Математических Школах, на конференции по методам алгебры и анализа в Тарту (1983), на семинаре по банаховым алгебрам и комплексному анализу в МГУ (руковод.Е.А.Горин и В.Я.Лин) и в Институте математики и механики АН Азерб.ССР.

Автор считает приятным долгом принести глубокую благодарность своему научному руководителю Е.А.Горину за постановку задач, постоянное внимание и поддержку, а также В.Я.Лину за помощь и многочисленные консультации по теме главы П. Автор благодарен также кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, где он был студентом, стажером и аспирантом, а также руководству Института математики и механики АН Азерб.ССР за предоставленную ему возможность повышения квалификации в МГУ. х) Интеграл в следующей ниже формуле для Дт сходится при любом (см. замечание 3.2. I) стр. 76 ).

Г Д А В А I

О НЕКОТОРЫХ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРАХ В РАВНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

В работе Камовица [351 установлен следующий факт. Пусть A (D") - алгебра аналитических внутри и непрерывных в замыкании единичного диска D функций с Sup - нормой. Тогда оператор J?(z) является компактным в A(D) в том и только в том случае, когда либо = ooW , либо во всех точках г , где гс(2)Ф О .

Мы приведем критерии компактности аналогичных по виду операторов, действующих в общих равномерных пространствах. В частности, это позволит распространить теорему Камовица на случай функций нескольких переменных. Кроме того, мы дадим признаки компактности для сумм операторов указанного вида и применим этот результат к описанию спектров операторов суперпозиции за пределами компактных, что позволит существенно дополнить некоторые результаты Камовица на эту тему.

Случай одного оператора проще и сначала мы опищем элементарный подход к этому случаю, основанный почти полностью на теореме Арцелла.

1. АНТОНЕВИЧ А.Б. Операторы со сдвигом, порожденным действием компактной группы Ли. Сиб.мат.ж., 1979, 20, № 3, 467-478.

2. АНТОНЕВИЧ А.Б. О спектре оператора взвешенного сдвига в пространстве VC/f (X). ДАН СССР, 1982, т.264, № 5, 1033-1035.

3. АНТОНЕВИЧ А.Б., ЛЕБЕДЕВ А.В. О спектральных свойствах операторов со сдвигом. Изв.АН СССР, 1983, т.47, № 5, 915-941.

4. АНТОНЕВИЧ А.Б., СЕРИНЬ АЛИУ ЛО. О спектре операторов взвешенного сдвига в пространствах дифференцируемых функций. Функц.анализ и его прилож., 1981, т.15, вып.З, 82.

5. АРНОЛЬД В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

6. ВАЛИРОН Ж. Аналитические функции. М.: Гостехиздат, 1957.

7. ГОРИН Е.А. О спектре эндоморфизмов равномерных алгебр. В кн. Тезисы докл. конф. "Теоретич. и прикл. вопросы матем." Тарту, 1980, I08-110.

8. ГОРИН Е.А. Как выглядит спектр эндоморфизма диск-алгебры? Зал.научн.семин.ЛОМИ, 1983, 126, 55-68.

9. ГОРИН Е.А., ШАХБАЗОВ А.И. Компактные комбинации взвешенных подстановок диск-алгебры. Труды ХУЛ Воронежской Зимней матем.школы, Воронеж, 1983.

10. ГОХБЕРГ И.Ц., КРЕЙН М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. УМН, 1957, 12, вып.2, 43-118.- 101 i

11. KATO Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1965.

12. КИТОВЕР А.К. О спектре автоморфизмов с весом и теореме Ка-мовица-Шайнберга. Функц.анализ и его прилож., 1979, 13,I, 70-71.

13. КИТОВЕР А.К. Спектральные свойства автоморфизмов с весом в равномерных алгебрах. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1979, 92т 288-293.

14. КИТОВЕР А.К. Спектральные свойства гомоморфизмов с весомв алгебрах непрерывных функций и их приложения. Зап.научн. семин. ЛОМИ, 1982, 107, 89-103.

15. КУРБАТОВ В.Г. О спектре оператора суперпозиции. Рукоп.деп. ВИНИТИ, РжМат, 1980, 4Б902.

16. ЛЕБЕДЕВ А.В. Об обратимости элементов в С*- алгебрах, порожденных динамическими системами. УМН, 1979, т.34, J6 4, 199-200.

17. ЛЕБЕДЕВ А.В. О спектре оператора нетранзитивного взвешенного сдвига на окружности. В кн.: "Вопросы функционального анализа", Петрозаводск, 1980, 8-17.

18. ЛЕБЕДЕВ А.В. О спектре операторов, разложимых в прямой интеграл. Изв.АН БССР, сер.физ-мат.наук, 1979, й 5, 57-62.

19. ЛЕВИ Р.Н. Об автоморфизмах банаховых алгебр. Функц.анализ и его прилож., 1972, 6, № I, 16-18.

20. ЛЕВИ Р.Н. Новое доказательство теоремы об автоморфизмах банаховых алгебр. Вестник МГУ, сер.мат., мех., 1972, 16 4, 71-72.

21. ЛЮБИЧ Ю.И. Замечания об устойчивости комплексных динамических систем. Изв.ВУЗов; математика, 1983, № 10, 49-50.

22. СЕРИНЬ АЛИУ ЛО. Спектр композиционного оператора в С(К). Изв.АН БССР, сер.физ-мат.наук, 1979, 6, 44-48.

23. ШАБАТ Б.В. Введение в комплексный анализ. П часть. М.: Наука, 1976.

24. ШАХБАЗОВ А.И. О некоторых компактных операторах в равномерных пространствах непрерывных функций. ДАН Азерб.ССР, 1980, № 12, 6-8.

25. ШАХБАЗОВ А.И. О спектре некоторых компактных операторов. Тезисы докл. конф. "Методы алгебры и анализа", Тарту, 1983,73.75.

26. ШАХБАЗОВ А.И. О спектре компактного оператора взвешенной композиции в некоторых банаховых пространствах голоморфных функций. Рукоп.деп. ВИНИТИ, РжМат, 1984, 2Б 1054. № 5738-83.

27. ЭРВЕ М. Функции многих комплексных переменных. М.: Мир,vuBanack . Lec£1.b /Wii., 1324, 1043 , Z44-.

28. KasnowlL* H. Compact ope/uUot^ 0& ike, Й&ип Pa.cij^ic 1. had/i v 1Э9Э., BO, NS1 , 205 -Л.11 .

29. Kamcw/'dz H. Competed endorno-^pru^f^^. off Bdfiach O&p^^W. 7. Mouth., IS SO, ss{ NZZ , 313 Л%5 .

30. Kamovvdz H-, 5 • The, лреобгос/п (XUs-toiruyipiu'^m*- c£> Ba-nctcJi . J. Focadt ■ А/г., 1969 j 4, NiZ ,X62 24-6 •

31. Morvtadcrt. R.B. Le. -4рес6ге de4- ор>ега£сил4. cU-compoAlUorv лииССоЛ!. Can. 3. М&Уъш, 1974, Z6,5, 1133-1205 .39. blcrwLatesi' Е.А. Сотро4-{.1б(Угь . QxnacC.

32. ShapLzo J.H., Tcxuiot P. D. Сотрссоб> гилс£е.<хгCULCC SoA-mtM oompctUli&rL. opztcckot^ort H*. \-noUo^rwL Uruir. McUk. 7., 1341 >22, 471 -496 .