Применение топологических методов к задачам продолжения аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

/" J - /"> О / / 'У <, у

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.5, 515.1

Немировский Стефан Юрьевич

ПРИМЕНЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К ЗАДАЧАМ ПРОДОЛЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ профессор, д.ф.-м.н. В. К. Белошапка

Москва 1998

Содержание

Введение 2

1 Области голоморфности и псевдовыпуклость 7

2 Инварианты Зайберга - Виттена и гипотеза Тома 18

3 Оболочки голоморфности вещественных поверхностей 34 Литература 44

Введение

Одним из основных вопросов теории функций на комплексных многообразиях является нахождение геометрических и топологических условий, при выполнении которых на многообразии существуют или не существуют непостоянные голоморфные функции. Простейший пример доставляет условие компактности: по принципу максимума все голоморфные функции на компактном многообразии постоянны.

В начале 90-х годов А. Г. Витушкиным в связи с проблемой обращения полиномиальных отображений в С2 была сформулирована следующая задача.

Гипотеза (А) Если вложенная двумерная сфера в СР2 гомологична проективной прямой, то любая голоморфная в окрестности этой сферы функция постоянна.

В условиях этой гипотезы индекс пересечения вложенной сферы с проективными прямыми равен 1. Таким образом, рассматриваемая сфера пересекает бесконечность при любом выборе проективных координат. Иначе говоря, окрестность такой сферы нельзя поместить ни в какую аффинную часть СР2.

Если взять в качестве сферы саму проективную прямую то утверждение гипотезы становится очевидным. Действительно, голоморфная в окрестности Ь функция постоянна на Ь и на любой близкой прямой. Но все эти прямые пересекаются друг с другом, следовательно, эта функция постоянна на некотором открытом множестве, а значит, вообще постоянна.

На самом деле, это обоснование гипотезы Витушкина несколько обманчиво. Предложенное рассуждение проходит для любой (подвижной) комплексной кривой Ь С X с положительным индексом самопересечения на комплексной поверхности. Но в работе автора [7] были построены вещественные поверхности с большим количеством голоморфных функций в окрестности, являющиеся тем не менее деформациями таких комплексных кривых на рациональных поверхностях (см. п. 3.1 диссертации).

Первый важный шаг в направлении доказательства гипотезы (А) был сделан в 1994 г. Ивашковичем и Шевчишиным [19]. Предложенный ими подход опирался на теорию псевдоголоморфных кривых М. Громова. В упрощенным виде его можно описать следующим образом.

Предположим, что 5 С СР2 — симплектическая сфера, т. е. ограничение формы Фубини-Штуди а;_р5|5 > 0. Это условие выполнено, например, для С1-малых вещественных шевелений проективной прямой. Рассмотрим окрестность II Э 5. Можно показать, что существует непрерывное семейство почти комплексных структур Ь 6 [0,1] на многообразии СР2 со следующими свойствами:

1) — это стандартная интегрируемая структура;

2) сфера 5 является Л-голоморфной кривой;

3) все структуры подчинены форме т. е. сь>лг$(£, > 0, \/£ ф 0;

4) {Jt ф «70} С С и для любого t > 0.

Идея состоит в построении непрерывного семейства /¿-голоморфных сфер St■ Ясно, что тогда ¿о — это просто проективная прямая. Кроме того, "вылезающие" из II части кривых St дадут семейство голоморфных (в обычном смысле в силу условия 4)) пленок, вдоль которого можно будет продолжать голоморфные функции. Тем самым, любая голоморфная функция на II аналитически продолжается в окрестность проективной прямой, откуда следует утверждение гипотезы Витушкина для симплек-тических сфер.

В построении нужного семейства основную роль играет условие 3), позволяющее применять теорему компактности Громова, и топологическое условие с^СР2) • [5] > 0, позволяющее продолжать семейство St при малых изменениях параметра I.

Метод Ивашковича и Шевчишина на самом деле позволяет доказать существование рациональной кривой в оболочке голоморфности (или мероморфности) любой симплектической сферы б' на кэлеровой поверхности X при условии, что значение первого класса Черна С\{Х) • [5] > 0.

В работе автора [7] было показано, что возникающее топологическое условие Ci(X) • [С] > 0 действительно необходимо для постоянства всех голоморфных функций в окрестностях вещественных деформаций комплексной кривой С на комплексной поверхности X. А именно, если это условие не выполняется, то существуют изотопные С вложенные вещественные поверхности, имеющие штейновы окрестности, что очевидным образом гарантирует существование непостоянных голоморфных функций (см. теорему 3.1 и следующее за ней обсуждение).

A.B. Домрин предложил рассмотреть частный случай гипотезы Ви-тушкина, когда вложенная сфера получается из проективной прямой шевелением в конечной части пространства С2. В таком виде гипотеза (А) следовала бы из обобщенного варианта классической леммы Хартогса.

Гипотеза (В) Пусть f : А —> С — непрерывная функция в замкнутом единичном круге А, не превосходящая по модулю единицы. Рассмотрим в С2 с координатами z,w множество

Df = {(zj(z)) | \z\ < 1} U {(z,w) | \z\ = 1, \w\ < 1},

то. е. объединение графика f и "боковых по z" стенок единичного би-диска.

Тогда любая голоморфная в окрестности Df функция голоморфно продолжается в окрестность всего бидиска.

Стандартная фигура Хартогса получается из множества если / = 0 (или, чуть более общим образом, если / € Ö(A)).

Е. М. Чирка в работе [9] доказал гипотезу (В) с помощью метода Ивашковича - Шевчишина. Оказалось, что построение нужного семейства псевдоголоморфных кривых сводится в этой ситуации к решению нелинейного <9-уравнения в С. Фактически, в этой работе Чиркой было доказано более общее утверждение об оболочках голоморфности графиков отображений / : СР1 —> У сферы Римана в некомпактные римановы поверхности.

Содержание диссертации составляет полученное автором в [8] полное доказательство гипотезы Витушкина (теорема 3.3), а также основанное

на предложенном в [8] новом методе дальнейшее развитие результатов Чирки (теорема 3.5) и теоремы Ивашковича - Шевчишина об оболочках голоморфности вещественных поверхностей в СР1 х СР1 (теорема 3.4). Эти результаты изложены в третьей главе диссертации

Использованный автором в [8] подход основан на теории уравнений и инвариантов Зайберга - Виттена (см. главу 2). В частности, мы используем результаты этой теории, полученные Кронхаймером - Мрувкой [20] и Морганом - Сабо - Таубсом [25], доказавшими известную гипотезу Р. Тома. А именно, ими было установлено, что минимум рода вещественной поверхности, реализующей данный класс гомологий в комплексной алгебраической поверхности, достигается на неособых алгебраических кривых. Идея о существовании связи между этими результатами и гипотезой (А) принадлежит А. Г. Витушкину.

Указанные выше результаты диссертации получены одним и тем же методом. Проиллюстрируем его, отметив основные моменты доказательства гипотезы (А).

Рассмотрим вложенную ориентированную вещественную поверхность 5 С СР2 рода д и степени (1 > 0. Степенью мы называем индекс пересечения 5 с проективной прямой.

Предположим, что в окрестности v э 5 имеется непостоянная голоморфная функция. Рассмотрим оболочку голоморфности и Э 11 этой окрестности. Согласно результатам Р. Фуджиты и А. Такеучи (теорема 1.2) многообразие V является многообразием Штейна, и потому допускает собственное голоморфное вложение в С*

В окрестности поверхности 5 многообразие С/ С См можно по теореме Стаута - Лемперта (теорема 1.5) аппроксимировать алгебраическим многообразием. Таким образом получается вложение окрестности и Э 5 в аффинную часть проективной поверхности У.

Важное наблюдение состоит в том, что у нас имеется дополнительное топологическое условие на У. А именно, число Ь+(У) положительных квадратов в форме пересечения на Н2(У,И) строго больше 1. Действительно, два класса — класс [5] и класс [Н] пересечения с бесконечностью — ортогональны и имеют положительные индексы самопересечения.

В этой ситуации при доказательстве гипотезы Тома (см. [25]) было получено неравенство

52 + |с1(У)-[5]|<шаХ{0,25-2}. (*)

Подробнее об этом см. теорему 2.12 диссертации.

В нашем случае S2 = сР и ci(Y) • [S] = Ci(U) • [5] = 3d, и потому

9> ^(d2 + 3d + 2).

Таким образом, поверхность S не может быть сферой, что и доказывает гипотезу (А).

В действительности, мы получили оценку на род вложенной поверхности в СР2, в окрестности которой могут быть непостоянные голоморфные функции. Эта оценка является точной в том смысле, что если она выполнена, то существует С°-малое шевеление S с непостоянными голоморфными функциями в окрестности.

Центральным моментом нашего рассуждения является доказательство варианта гипотезы Тома, т. е. неравенства (*), для вложенных вещественных поверхностей в штейновых (или строго псевдовыпуклых) областях на комплексных поверхностях (теорема 3.2). Впервые утверждение такого типа получил, по-видимому, Элиашберг (см. обзор [1]). Однако в его работах использовалась совершенно другая техника и рассматривались только вещественные поверхности, содержащиеся в строго псевдовыпуклых границах.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. К. Белошапке за постоянное внимание к работе и академику РАН А. Г. Витушкину за постановку задачи и многочисленные ценные советы. Автор также признателен к.ф.-м.н. A.B. Домрину, д.ф.-м.н. С.М. Ивашковичу, к.ф.-м.н. Н.Г. Кружилину, проф. А. Г. Сергееву, д.ф.-м.н. Е.М. Чирке и к.ф.-м.н. В. В. Шевчишину за полезные обсуждения затрагиваемых в диссертации тем.

1 Области голоморфности и псевдовыпуклость

1.1. Оболочки голоморфности. Хорошо известно, что при аналитическом продолжении голоморфных функций естественным образом возникают неоднолистные области. Для данного семейства функций (например, для функций, голоморфных в заданной области) естественно рассматривать максимальную область, на которую аналитически продолжаются все эти функции. Одно из ключевых наблюдений многомерного комплексного анализа состоит в том, что такие области голоморфности обладают некоторыми свойствами выпуклости. Мы рассмотрим эти понятия для голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии.

Пусть X — комплексное многообразие размерности п. (Неразветв-ленной) областью над X называется комплексное многообразие £7 вместе с локально биголоморфным отображением (проекцией) р : II —>- X. Область над X называется однолистной, если проекция р инъективна, т. е. и С X.

Область над X называется псев до выпуклой (или локально псевдовыпуклой), если для любой точки х 6 X найдется такая координатная окрестность V Э ж, что р : р~г(У) —> V — псевдовыпуклая область над Сп. Это означает, что выполнено одно из следующих эквивалентных условий (см. [2, теорема 1Х.Б.4]):

1) р~1{У) — многообразие Штейна;

2) риманова область р : р~г(У) —У V С Сп является областью голоморфности;

Тот факт, что из условия (1) следует (2), очевиден по определению многообразий Штейна. Обратное утверждение (2)=^(1) было доказано Ока при п = 2, а Норге и Бреммерманом — при п > 2.

Говорят, что область (и\,рх) содержит область (£/2,^2), если существует такое отображение ] : С/2 —У что Р1 0 3 — Р2- Отметим, что в общем случае ] не обязательно инъективно, но это заведомо так, если область Ц~2 однолистна.

Оболочкой голоморфности области (II,р) называется максимальная содержащая ее область (II, р), на которую продолжаются все голоморфные в и функции. Нетрудно показать, что оболочка голоморфности существует у любой области (см., например, [5, §5 главы 1]). Согласно предыдущему абзацу, однолистная область лежит в своей оболочке голоморфности и в обычном, теоретико-множественном смысле.

Из определения оболочки голоморфности легко следует, что оболочка голоморфности любой области псевдовыпукла.

Аналогичным образом можно определить оболочки мероморфности областей над комплексными многообразиями [19].

1.2. Проблема Леви. Проблема Леви для данного комплексного многообразия X состоит в нахождении условий, при которых псевдовыпуклая область над X является многообразием Штейна (или его модификацией). При определении псевдовыпуклости мы использовали классическое решение проблемы Леви для X — Сп: любая псевдовыпуклая область над Сп штейнова. Точно такое же утверждение справедливо, если X — произвольное многообразие Штейна.

В середине 60-х годов Р. Фуджита получила решение проблемы Леви для произведений комплексных проективных пространств.

Теорема 1.1 ([14, с. 513]) Псевдовыпуклая область над прямым произведением проективных пространств СРП1 х • • • х СРПк либо является многообразием Штейна, либо содержит аналитическое подмножество вида {а!} х • • • х СРп> х • • • х {а*.}.

В частном случае, когда число сомножителей равно единице, получается решение проблемы Леви для СРп. Этот результат был также получен А. Такеучи.

Теорема 1.2 ([13, 28]) Псев до выпуклая область над проективным пространством СРП либо является многообразием Штейна, либо совпадает с С Рп.

Мы воспользуемся теоремой Фуджиты для решения проблемы Леви еще в одной ситуации.

Теорема 1.3 ([8]) Пусть Z — многообразие Штейна, тогда оболочка голоморфности U любой области U С СР1 х Z либо является многообразием Штейна, либо имеет вид СР1 х nz{U), где irg — проекция на второй сомножитель.

Доказательство. Заметим сначала, что если U содержит компактное аналитическое подмножество положительной размерности, то обязательно имеет указанный в теореме вид. Действительно, в силу штейновости Z такое (связное) подмножество в оболочке должно проектироваться на некоторый слой СР1 х {а}. Далее, в силу односвязности СР1 эта проекция взаимно однозначна. Таким образом, любая функция / Е 0(U) продолжается (как аналитическая функция) до голоморфной функции в окрестности СР1 х {а}. По теореме единственности отсюда следует, что / постоянна вдоль слоев -кОчевидно, любая такая функция продолжается в СР1 х ivz(U), т. е. эта область и есть оболочка голоморфности U.

Идея оставшейся части доказательства взята из работы [23]. Предположим, что U не содержит нетривиальных компактных аналитических подмножеств. Рассмотрим вложение Z С Сп и голоморфную ретракцию £ : В —» Z штейновой окрестности В Э Z на Z. Пусть (И^, 7г) — прообраз области (Ü,p) при отображении Id х т. е. многообразие

W = {(x,t,y) Е Ü х СР1 х В | р(х) = (¿,£(У))}

с естественной проекцией 7г : W ->• СР1 х В С СР1 х Сп С СР1 х СРП. В силу псевдовыпуклости {U,p) и штейновости В область (W, 7г) над СР1 х СРп псевдовыпукла. Кроме того, по построению W содержит U в качестве подмногообразия и не содержит компактных аналитических

подмножеств положительной размерности. По теореме Фуджиты 1.1 многообразие У/ штейново, значит, подмногообразие II также штейново, что и требовалось доказать. Я^р

1.3. Строго псевдовыпуклые области. Для однолистных областей с достаточно регулярной границей имеется важное усиление понятия псевдовыпуклости.

Напомним, что дважды гладкая вещественнозначная функция р на комплексном многообразии называется строго плюрисубгармонической, если положительна ее форма Леей Ь(ц>) =

Определение 1.4 Пусть X — комплексное многообразие, II с X — относительно компактная область в X с непустой гладкой границей. Область и строго псевдовыпукла в смысле Леей, если для любой точки х € ди существуют окрестность V Э х и строго плюрисубгармони-ческая в V функция 1р, для которой II П V = {у £ V | </э(у) < 0}.

На самом деле, мы определили гладкие строго псевдовыпуклые области. Условия на функцию (р и границу области II можно существенно ослабить.

Классическим примером строго псевдовыпуклой области в Сп является шар, а примером не строго псевдовыпуклой — полидиск.

Оказывается, что проблема Леви для строго псевдовыпуклых областей существенно проще, чем для просто псевдовыпуклых. Дело в том, что строго псевдовыпуклые области получаются из многообразий Штейна с помощью естественных геометрических конструкций.

С одной стороны, любое штейново многообразие допускает исчерпание строго псевдовыпуклыми областями — можно взять множества уровня для исчерпывающей строго плюрисубгармонической функции. С другой стороны, по теореме Грауэрта [2, теорема IX.С.4] произвольная строго псевдовыпуклая область является модификацией пространства Штейна. То есть для строго псевдовыпуклой области II существует штейново пространство II* (быть может, особое) и собственное голоморфное отображение 7г : II —>■£/*, для которых

1) отображение колец голоморфных функций 0(11*) 0(11) является изоморфизмом,

2) существует такое конечное множество {^1,..., хм} С II*, что ограничение 7Г : и\ 7г_1{ж1,..., хм} —>■ II* \ {жх,..., хм} — биголоморф-ное отображение.

Пространство и* называют редукцией Реммерта области V.

Аффинная часть неособого проективного многообразия, очевидно, является многообразием Штейна. Обобщением этого замечания является следующий геометрический спо�