Качественное исследование обратимых механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Л О МОНОСОВА

Механико-математический факультет

Р Г 5 01

' 1 и "1' на правах рукописи

¡. УДК 531.36;521.135

Тхай Валентин Николаевич

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТИМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.02.01 - теоретическая кзхашка

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

V

Москва - 1995

Работа выполнена на кафеле прикладной математики Московской государственной акгдгмии приборостроения и информатики

Официаж-шв отонэнтк: Доктор <£язу.?.о-~ия?*х&тческак наук профессор

Доктор физико-матеыатичесхсйз: наук профессор

Доктор физкко-ыате^атическнх наук профессор

Ведущей предприятие: Институт проблем мехашш: РЛ11

Защита диссертации состоится "¿Г" 1995г.

в час,на заседании диссертационного Совета по механике Д 053,05.01 в МГУ по адресу:119839,Москва,Воробьева горы,МГУ, кзханнко-матэматЕческий факультет,ауд.15-10.

С диссертацией мошо ознакомиться в ЗиелйЗтеке механико-натематачаского факультета МРУ(Главное здание,14 этак)

Автореферат разослан " сли/ъЯсРрО, 1995г.

В.Б.Белецкий

В.К.РубаковскЕй

А.Г.Сокольский

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01 в МГУ доктор физико-магеиатичзскаг наук

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена качественному ирследовагаго обратимых механических систем, включая разработку резонансной теории об устойчивости в окрестности положения равновесия и симметричного тора, теорию продолжения симметричного периодического движения по параметру в неизолированных по Пуанкаре случаях, а также исследование ряда конкретных классических задач механики.

Актуальность темы. В диссертационной работе механические системы рассматриваются как простейший класс линейно обратимых систем. Это позволяет более ясно похить известные факты и получить новые результаты в раде классических задач механики, а таете в прикладных задачах.

Четыре обстоятельства делают такое рассмотрение обоснованным. Во-первкх, параллельное существование голоноыной и неголономной механики. Во-вторых, использование квазикоординат в механике. В-третьих, созданиесБкркгоф, Мозер, Бршо, Бибиков, Арнольд, Деваки, Сев-рюк к др. з обратимой КАМ-теории, параллельной КАМ-теории гамиль-тонсвой. Я самое главное, з-четвертых, обратимостью, заложенной в ньютоновой механике.

Обратимая КАМ-тесрия предполагает нерэзонансность, причем основную роль играет резонансн низших порядков. Многочисленные ис-следованияс Марке ев, Куницын, Сокольский, Хазин, Шноль и др. 5 привели к созданию резонансной теории об устойчивости для га'мильтоно-вых систем и систем общего вида. Эти результаты, однако, не позволяют получить достаточно полные выводы для обратимых систем.

Свойство обратимости выделяет важный класс решешй - симметричные периодические движения,которые в типичном случае образуют семейство(Девани);в задаче о продолжении таких двиаений шеей неизолированный по Пуанкаре случай.Согласно теории Ляпунова-Пуанкаре в этом случае необходимо привлекать к анализу слагаемые , зависящие от параметра.При этом в конкретных задачах возникают серьезные(иногда - непреодолимые) трудности технического характера.Поэтому важное теоретическое и особенно прикладное значение"имеет вопрос:для каких периодических движений и в ка-

ком классе возмущений реиение задачи о продолжении определяется только свойствами поровдаицвй системы.В механике класс систем выделяется свойством линейкой обратимости.

Получение новых результатов в классических задачах прэдстав-ляется актуальным.

Цель работы состоит в разработке качественной теории 'обратимых механических систем и исследование на ее оснозз ряда класси ческих задач механики.

Методы исследования. В теоретической части используются методы теоретической механики, качественной теории дифференциальных, уравнений» теории устойчивости, а та юге аппарат нормализующих про образований. При изучении симметричных периодических движений применяется теорема Хейнбокла-Страбла и ее обобщения» данные автором. Исследование конкретных механических задач проведено с по нощью обратимой КЛМ-теории к методов, разработанных в дассертаци Научная новизна. В диссертации впервые установлен принципиаль ный факт линейной обратимостк основных моделей классической и небесной механики и проведено систематическое качественное иссл дование обратимых механических систем.Разработана резонансная т ория об устойчивости в окрестности положения равновесия и симме ричного .тора и в основной - качественная теория системы пэрЕого нелинейного приближения,Поставлена и решена задача о продолжена по параметру симметричных периодических движений на основа гнал за только порождающей системы,Определены основные положения "об ратной механики".

Получены новые результаты в ряда классических задач механики Достоверность результатов обеспечивается применением стропи математических методов и согласованием выводов с известными в предельных и частных случаях.

Теоретическая и практическая ценность- Рассмотрение механичес ких систем как простейший класс линейно обратимых систем позволяет использовать обратимую КАМ-теорию для исследования как го-лоноыных, так и неголономных систем независимо от того, используются ли координаты или квазикоординаты. Тем самым становится понятной структура окрестности равновесия и симметричного тора. Теоретические результаты по исследованию резонансных обрати-

ыых систем могут быть эффективно использованы в теории нелинейных колебаний.

Результаты по исследовании сишэтричных периодических движений будут применены для построения и классификации всех таких движений аналитическими и численными методами в ряде классических задаче тяжелое твердое тело с неподвижной точкой, однородный эллипсоид на шероховатой плоскости, задача Хилла, ограниченная задача трех тел и др. з , а также для доказательства существования периодических орбит в различных вариантах задачи шагах сп>зз тел.

Результаты по исследованию задачи трех тол и N-планетной задачи laoгих тел можно использовать в прикладной небесной механике и космогонии.

Все основные результаты могут быть включены в соответствующие руководства по теоретической механике, теории устойчивости движения, теории нелинейных колебаний я небесной механики.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались на И, Коллоквиуме по качественной теории дифференциальных уравнений, Сегед, ювзз, VII Чехословацкой конференции по дифференциальны* уравнение и их прилояекиям«"Прага, юзэз, Республиканской конференции по динамике твердого тела и устойчивости движения«Донецк, 1эдоз, VII Всесоюзном сьезде по теоретической и прикладной иеханикесМосква, 19913; VI Четаевсксй конференции по аналитической механике, устойчивости двинения и управления движением« Казань, 1Э923, П и Ш международном семинаре по устойчивости и колебаниям нелинейных систем«Москва, iqq2; Самара, 19943, л конференции по нелинейным колебаниям механических системсНижний Новгород, iаэзз, I Великолукском симпозиуме по прикладной небесной механике«Великие Луки, 19943, XIX Научных чтениях по космонавтике«Москва, иэээз, а также на семинарах в МГУ им. М. В. Ломоносова: - по аналитической механике и теории устойчивости«руководитель - академик В. В. Румянцев; 1ээ1, i ээг, 1993,19943 -, . - по механике относительного движения« руководители - проф. В. В. Белецкий, проф. Ю. Ф. Голубев, доц. С- И. Трушин, доц. Л. Е. Якимова;

108?,1993, 19943.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, восьми глав текста, заключения и списка литература-Первые четыре главы составляют теоретическую часть, в остальных главах исследуются конкретные задачи. Работа изложена на гаг страницах, содердат зз рисунков, сгысок литературы

из 230 наименований-

j

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной теш,дается предыстория рассматриваема: вопросов и кратко описавазтся содержание диссертации.

В главе i рассматривается вопрос об обратимости основных моделей, используемых в голономной и неголономной механике. Приво-дятсяс§1.1з две формы уравнений движения механической системы, стесненной идеальными стационарными связ яшг. уравнения Anns ля и уравнения в квазикоординатах, включая уравкзник Воронца. Показано, что в случае, когда обобщенные силы являются четными функвдяыи скоростей и вреыенисзависимость от координат - произзольнэяэ, . приведенные уравнения относятся к простейшему классу линейно обратимых вида

u'=U<u• v"-V<u»v> ; ueRZ.veRn (ten) си UcU'-V^-UtU'V3 - VCU'~VJ=VCU'V3 с конечно, с учетом возможности явной зависимости от враиенш.Зта система называется ¡¿-обратимой, и для нее вводятся понятия: аэ положения paBHOBeciiKcu=const, бэ стационарного двихешш ^ц'- , y=const?iQ), вэсимметричного решения*: цаце P'V~VC Р' Vе t*5 =СР» г9 симметричного периодического движешшс ц=цс р, у=ус р; ус 25= O'tj^ta3 Множество М=< U'VsV=0> является неподвижным для соответствующего линейного преобразования: с ц, <р ц, -уз •

В последующих §§1.2-1.4 рассматриваются конкретные модели ыэ-ханики. Похазанос §1. гз, что уравнения Зйлера-Пуассова движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой являются ¡¿-обратимой системой и в общем случае иыезот одно неподвижное множество. В случае, когда одна из проекций центра масс на связанные оси' равна-ну-

лю, система имеет еще одно неподвижное множество, содержащее перманентное вращение вокруг вертикали.В этой случае можно построить все симметричные периодические'движения, к которым относятся, в частности, регулярные прецессии ГриолисогЧонэ. Структура окрестности симметричного периодического движения, таким образом, ясна из локальной обратимой КАМ-теории.

В §1.з рассмотрены уравнения движения тяжелого твердого тела но абсолютно пероховатой плоскости. Имеем у-обратимую систему с одним кеподвкжшш мнояеством. Показано, что в зависимости от поверхности тела возможны и другие неподвижные множества, и это позволяет отнести качение тела вдоль прлмойс если такое движение существуете к симметричным периодическим движениям. Тем самым структура окрестности такого движения становится ясной из анализа линеаризованной в его окрестности системы.

Уравнения Рауса-Ляпунова неограниченной задачи трех тел даны в §1.4. Эти уравнения такде образуют {¿--обратимую систему, причем на цилиндре, и имеют два неподвижных множества. Прямолинейные эйлеровы решения относятся к положениям равновесия, а треугольные лагрангевы решения - к стационарным движениям.

В §1.з рассматривается локальная окрестность положения равновесия и симметричного периодического движения ^-обратимой системы. Приведены основные свойства«:невозможность асимптотической устойчивости, ляпуновские семейства симметричных периодических движений, полномерные и неполномерные торы,"усатые" торы, формальная устойчивостью, характеризующие структуру окрестности. Подробно исследуются многообразия положений равновесия уравнений движения неголономной системы в форме Воронца. Показано, что в окрестности симметричного решения М-обратимой системы возникает неавтономная Ц-обратимая система с тем же самым неподвижным множеством«: лемма

1.1Э.

Стационарные движения ¡¿-обратимых систем изучены в §1. е. Показано, что эти движения всегда образуют два инвариантных многообразия 5+> симметричных относительно неподвижного множества- Окрестности и устроены идентично друг другу с точностью до направления движения по траекториям. Отсюда следует, что в голоноиной консервативной механической системе свойство устойчивости не за-

висит от знака линейной форма скоростей в функции Раусаслинейной форш импульсов в.функции Гамильтона, теорема 1.45.В неголономкой системе дассипативные силы в окрестности 3+с 5_ 5 сопровождаются ускоряющими силами в окрестности Б _с 5 •В частности, свойство устойчивости неустойчивости:» стационарного движения зависит от знака утловой скорости на этом движении. Показано, что теорема Ляпуно-ва-Малкина устанавливает этот факт в случаях, когда вопрос решается линейной системой.

Асимптотическая устойчивость возможна и на границе области устойчивости в линейном приближении стационарного движения Ц-обратаыой систеыыс §1.7?, когда характеристическое уравнение системы имеет пару чисто ынишх корней при прочих существенных корнях с отрицательными действительными частями. Доказательство проведено построением функции, удовлетворяющей теореме В. & Румянцева об асимптотической устойчивости по части переменных.

Результаты, полученные в главе 1, представляются принципиальна важными. Они позволяют использовать обратимую КАМ-теорив для исследования как голономнах, так и неголономных систем независимо от того, используются ли координаты ели квазикоординаты.

Во второй главе изучается окрестность положения равновесия ^-обратимой системы. Хотя основное внимание уделено свойству устойчивости, из приведенного анализа становится ясным качественное поведение траекторий системы первого нелинейного приближения.

Задача линейной нормализации решена в §г. 1. В каждом из случаев: аэ среди корней А,/ ?4<о э характеристического уравнения нет равных между собой, б> среда есть только одна пара разных, в>х^=°, все остальные Л.^<0> построено линейное преобразование к нормальной форме.

Нелинейная задача в случае резонансов третьего и четвертого порядков исследуется в §2. г. Показано, что резонанс третьего порядка почти всегда приводит к неустойчивости- Б случае разонаксов четвертого порядка в невырожденных случаях получены необходимые и достаточные условия устойчивости в первом нелинейном приближении; свойство неустойчивости является грубынс§г. зз. Построенный набор первых интегралов модельной системы позволяет свести ка-"'

чественный анализ этой системы при резонансе четвертого порядка к исследованию гамильтсковой системы на плоскости.Примечательно, что исходная система не допускает в общем случае инвариантной меры, однако фазовое пространство расслаивается на трехмерные многообразия, состоящие из двумерных многообразий гамиль-тояоеых систем. Качественней анализ модельной системы выполнен для резонанса 1: з, показано, как такой анализ проводится и для оставшихся резснаясов.

Резонанс 1: д исследуется з §2. з. Модельная система сведена к системе третьего порядка, причем в качестве одной переменной выбрана функция, которая является функцией Четаева в случаях неустойчивости, независимо от простоты элементарных делителей. В случае жордановой клетки приведены необходимые я достаточные условия устойчивости модельной система, выполнен ее качественный анализ.

В §2. в исследуется случай ю с яордановой клеткой. Этот случай является типичным для границы области устойчивости в линейном приближении- В каждой из двух возможных ситуаций установлено, что граница является "опасной".

Пример, иллюстрирущий теоретические результаты главы, приведен в 7. Исследуется устойчивость плоской механической системы, состоящей из двух стеряней, соединенных друг с другом и неподвижным основанием идеальными шарнирами и спиральными пружинами. На свободный конец второго стержня действует постоянная следящая сила.Задача исследуется в нелинейной постановке. Показано, что в области устойчивости линейной системы имеются два резонанса 1:1 я из, которые приводят к неустойчивости.При отсутствии этих резонансов имеется узкая область устойчивости по Ляпунову. •

В главе 3 проведен качественный анализ И-обратимой системы в окрестности симметричного периодического движения .Исследуется резонансная задача.

В 1 обсуждается теорема Хейнбокла-Страбла, показано, что эта теорема дает необходимые и достаточные условия существования симметричного периодического движения и позволяет строить все тзкиа движения. Дан ряд обобщенийслаыны -3.i-3.-jd указанной

теоремы, наиболее ванным из которых;представляется обобщение на случай тора.

В §з.г исследуется линейная периодическая обратимая система, полученная из о 5 при переходе в окрестность симметричного периодического движения-Леша з.4 о приводимости позволяет вывести существование |1-п| простых нулевых характеристических показателей и |1-п| линейных первых интегралов с периодическими коэффициентами, а также - необходимые условия устойчивости с , где - остальные характеристические показатели. При гг-о отсюда получим устойчивость линейной периодической системы с матрицей, состоящей из нечетных функций времени-Лемма з.з устанавливает структуру фундаментальной матрицы решений. Отсвда следует с лемма з. 65, что для определения характеристических показателей достаточно построить лип<г, п> решений. Это очень существенно для приложений.

Резонансы в периодической системе с о,иной степенью свобода рассмотрены в §з. з. Предварительно показано, что задача при многочастотном резонансе сводится к рассмотренной в главе 2. При одночастотном резонансе система или неустойчива, или ииеет место устойчивость в любом конечном псрядг.ес теоремы з. 1-з. зз. Аналогичные результаты получены в §з. 4 для одночастотных резонан-сов в многомерной системес теоремы з. 4, з. 55. Отметим, что при анализе этих сложных случаев по существу используются результаты

§3. 1.

В §з.з исследуются периодические системы, близкие к автономным. Для линейной кзазизвтоксшюй системы получено простое и исчерпывающее решение проблемы характеристических показателей, пригодное и для случая условно-периодической системы. Именно, если при малом параметре £=о автономная система имеет чисто мнимые корни г^с з=1, •. -, п$Ъ характеристического уравнения, то в случае отсутствия параметрического резонанса 4с=N£2 характеристические показатели - чисто мнимые и определяются как корни характеристического уравнения нормализованной системы. Значит, в первом по £ приближении характеристические показатели находятся как корни характеристического уравнения усредненной системы-

Далее показано, что параметрический резонанс г\ =рКр=2з+1, в^ почти всегда приводит к неустойчивости,а резонанс А.,=р1 с рф приводит к неустойчивости в половине случаев. В случае резонанса А-^А^Р* 1Шеем 'лш неустойчивости половина случаев), или характеристические показатели А*>.А,2 ~ чисто мнимые, и в нелинейной системе реализуется резонанс

В е рассмотрена нелинейная квазиавтономная система. Показано, что, если резонируют только собственные частоты, то выводы такие же, как и в автономной систеиес при е«оз. Если же в резонансе участвует частота вынувдэщей силы, то резонанс третьего порядка при 5?ю приводит к неустойчивости, а при резонансе четвертого порядка имеет место устойчивость в конечном порядке. Основное содержание §з. е составляет исследование нелинейной системы при резонансе А*+А^=р£.Здесь в невырожденном случае получены необходимые к достаточные условия устойчивости модельной системы и доказана грубость свойстза неустойчивости.

Все результата распространены на условно-периодические системы, близкие к автонетлзыы.

В следующем §з.7 изучаются системы, близкие к резонансным. Выясняется вспрсс, что происходит при £,*о с решениями, приводившими к рззонанснсй неустойчивости-Задача рассматривается на примере двух характерных случаев - резонансов третьего и четвертого порядков. Оказывается, при е=о происходит бифуркация равновесия и рождаются центр и седлосрезонанс третьего порядка) или седло, центр и седлос резонанс четвертого порядка.).

Результатом исследований, приведенных в главе г и з, является создание резонансной теории об устойчивости в окрестности положения равновесия и симметричного тора. Как и в гаыильтоновой системе в невырожденных случаях система первого нелинейного приближения устойчива при выполнении некоторых условий типа неравенств, в противном случае имеет место неустойчивость по Ляпунову- При этом неустойчивость, обнаруженная в модельной системе, является грубым свойством относительно возмущений общего вида.

3 главе 4 ставится и решается задача о продолжении по параметру симметричного периодического движения. Сначала с§4.13 рассматривается случай 27!>-периодической системы вида с 1 >, зависящей

от малого параметра Пусть ис ^ И°> У°>13, VеМ- и°> " ~ решение этой системы с начальными условиями и°> Если ус о, д, го=0> то при |1=о существует симметричное г%- -периодическое движение. Обозначим

г=гапк|[^сСО, и0, 0- Ю-^Зи-П!

Показаностеорема 4.1),что при г=п и ¡.х=о имеется семейство от с 1-го-параметров сишлетркчных периодических движений, и это семейство является порождающим, т. е. каждое его движение продолжается по -параметру ц.

Таким образом,, решение вопроса о продолжении, в том числа и в неизолированных по Пуанкаре случаях, решается только порождающей системой.

Вычисление ранга г на основе уравнений в вариациях, составленных для порождающей системы, проведено в §4.гстеоремы 4.2-4.35. При этом по существу используются результаты §з. г. в аналитическом случае симметричное периодическое движение строится в виде * рядов по малому параметру ¡ас §4. зэ.

Автономная система рассмотрена в §4.4. Для этой системы условие г=п гарантирует существование при не только гтс-периоди-ческих движений, но и движений с периодами, близкими к гж. теорема 4.6).Если же г=п-1,но

о „ „ .. „ .0

г1=гзпк||(?У2СО, 1Д , 0, , ^СО, ц , 0»

=п

то гарантируется существование при р^о только движений с периодами, близкими к 2их теорема 4. >зз. Далее в 14.4 предложен подход к исследованию задачи о продолжении, основанный на введении нового времени, и выделена глобальная область продолжимости при

П=1 -

В остальных параграфах главы 4 рассмотрена задача о продолжении локальных периодических движений. Исследован как нерезонансный случайс§4. ю, так и все резонансные случаис§§4.6-4.вз, исключая только резонанс 1:1. Показано, что а>колебанья с резонансной частотой происходят1 вне некоторой окрестности нуля, а амплитуда субгармонических колебаний может быть сколь угодно мала,бэ все периодические движения системы, первого нелинейного приближения при резонансах четвертого порядка сохраняется и в .„ полной системе.

При решении вопроса о продолжении используются интегралы порождающей системы.

Основной результат главы 4 заключается в решении задачи о продолжения симметричных периодических движений в неизолированном по Пуанкаре случае на основе анализа только порождающей системы.

В главе з исследуется движение тяжелого твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости. Предполагается,что связанная сис-теиа координат направлена по главным центральным осям инерции.

В общем случае исходная система шестого порядка сводится к периодической системе з-го порядкас§з.1э. Исключительными множествами, на которых такое сведение невозможно, являются положения равновесия и перманентные вращения вокруг вертикали. Указано, что в окрестности устойчивого положения равновесия существуют два семейства ляпуковских периодических движений, а бифуркация Хопфа, установленная А. В. Карапетяном при Шо=(0*> имеет место и при ио=-0)* - утлоЕая скорость в перманентном вращению.

Полученная система третьего порядка используетсяс§з. гз для исследования устойчивости качений твердого тела вдоль прямой. При этом тело предполагается динамически несимметричным эллипсоидом вращения с центром масс, расположенном в геометрическом центре эллипсоида, и главными центральными осяш инерции, направленными по осям эллипсоида. Показано, что для эллипсоида, близкого к динамически симметричному, исзет возникнуть параметрический резонанс, который приводит к неустойчивости. Такая ситуация всегда реализуется для шара Чаплыгина, близкого к однородному. Для доказательства неустойчивости при параметрическом резонансе ' используются.результаты §з. 5.

В случае произвольного динамически несимметричного эллипсоида вращения в пространстве параметров системы построены области устойчивости в первом приближении и выделены резонансные кривые. Вычисление характеристических показателей данной Ц-обратиыой систеш третьего порядка проведено пострсениенссогласно лемме з. ео только одного частного решения.

В оставшихся параграфах главы исследуется окрестность перманентных вращений вокруг вертикали' в случае однородного-эллипсо-

N

ада. Вводятся безразмерные переменные, время ,и параметры, и с использованием интегралов энергии и геометрического получены уравнения возмущенного движения четвертого порлдкас зз. Построены два семейства ляпуновских периодических движений в окрестности устойчивых в линейном приближении вращенийс §5.43.На этих семействах точка контакта описывает на поверхности тала замкнутую кривую, близкую к эллипсу. Наконец., в §5.5 показано, что вращение динамически симметричного эллипсоида вращения неустойчиво, если в этом движении ось симметрии не совпадает с вертикалью-

В главе е теоретические результаты главы 4 применяются для решения вопроса о существовании симметричных периодических орбит в раыках ограниченной задачи трех тел. Рассмотрены две задачи: аздвижение пассивно гравитирующей точки р в окрестности основного тела J в рамках круговой задачи. 6~> эллиптическая плоская задача. В первой задаче все полученные результаты справедливы и в частном случае - задаче Хилла.

В §6.1 показано, что уравнения движения задачи образуют {¿-обратимую, систему и имеют три неподвижных множества.

В задаче о движении р в окрестности ^Т расстояние' г между р и J предполагается многим меньше единица - расстояния между основными телами 5 и .]. Тогда г ^ где т - малый параметр. В резуль тате изменения масштаба и введения новой независимой переменной полученная система с точностью до членов порядка тг включительно совпадает с уравнениями Хилла и отличается от последней точным описание« задачис §6. гэ. Далее введен ляпуновский параметр Тогда порождающая система, полученная при я=о, имеет частное круговое решение с угловой скоростью о), причем при фиксированном радиусе среднее движение по прямой орбитес оут>о з меньше, чем по попятной орбитес оутсо з.Кроме того,максимальный радиус орбиты

равен У2|о/т2 , где ¡а - относительная масса тела на этой орбите 0)=-т.

Показано, что при

иг+ггго-тг/г Ф м2^2 сме[[э круговые орбиты являются порождающими, т- е. продолжаются на случай Л^о. При этом существуют как орбиты с периодом гих так и орбиты с близкими к гт1х|ш| периодами-При о=1 отсюда получим условия

продолжаемости ляпуиовского семейства и в задаче Хилла.

Далее установлено, что в задаче о движении р в окрестности J существуют симметричные периодические орбиты,близкие к аз синодическим эллиптическим орбит໧6. зз, бзсидерическим эллиптическим орбитамс §е. 43. В случае задачи Хилла в каждой из систем координат существуют по два семейства симметричных, близких к эллиптическим, орбит.

В §б.з рассмотрен вопрос о существовании симметричных периодических орбит в эллиптической задаче при малых дао. Показано, что для эксцентриситетов е<ёспредела Лапласаз такие движения существуют, и они близки к сидерическим эллиптическим орбитам-

Основной результат главы а заключается в доказательстве существования симметричных периодических орбит в задаче о движении точки р в окрестности тела J в строгой постановке, а такяе периодических орбит второго рода в эллиптической задаче. Однако эти случаи являются лишь примерами того, как нужно строить симметричные периодические орбиты в других вариантах задание движение р в окрестности J в рамках эллиптической задачи, различные варианты пространственной задачиз, используя результаты главы 4. Отметим, что принципиально можно построить все симметричные периодические орбиты в ограниченной задаче трех тел.

В глава 7 исследуется общаяснеограниченна® задача трех тел в плоском варианте. Предполагается, что сила взаимного притяжения точек пропорциональна произвольной степени п взаимного'расстояния между этими точками.

Выбраныс§7.13 новые переменные задачи: г - квадратный корень из ¡Головины полярного момента инерции, деленный на массу всей системы, 1р - угол между двумя сторонами треугольника, образованного тепами, у - натуральный логарифм отношения этих сторон-

Отличительные особенности данного описания задачи заключаются з следующем. Уравнение для переменной г- фактически совпадает : фундаментальным соотношением в небесной механике - уравнением Тагранжа-Якоби и в дифференциальной форме выражает факт сохране-шя механической энергии- Геометрически переменная > характеризу-;т размеры треугольника, а ф, у - его конфигурацию. Задача описыва-ггея функцией Рауса

* = Л

4г

сгз - форма степени а относительно у',ф' с коэффициентами, зависящими только от у и фэ или уравнениями Гамильтона, и в то же Ереыя уравнения движения являются обратимыми. Наконец, квадратичная относительно скоростей часть фушедш Рауса уже приведена к изотермическим координатам.

В §7. г выводится ряд следствий Ко 1ште1рала энергии

г^+г"^ + -- -1~п'+1г =ЬСсопзО

4г

Элементарный анализ показывает, что функция г0су,фз имеет только пять стационарных точек, отвечавших классическим коллинеарным к треугольным решениям. При п2>1 с п2<1 э в треугольных точках функция г0су, ф) хшеет глобальный минимуме максимум, а коллине арные точки являются седдовыми для ?0с у, фэ • Отсюда и из интеграла энергии следует, что: азпри п>1 треугольные точки устойчивы вековым образом для всех значений массе теорема 7.13. бзпри п>-1 движение системы устойчиво по Лагранжус теорема 7. г:>.

При -з<п<-1 и ¡ко из интеграла энеогии получено неравенство

2Ь

^у.^гя , я. -----| — —

п+З 4Ь п-1 -I

которое позволяет распространить все выводы В- Г. Голубеза об устойчивости по Хиллу в случае п»-г на диапазон -з<п<-1. Качественно эти результаты следуют из линий уровня функции ^0су, фз.

Основной результат §7. з заключается в распространении теоремы Биркгофа о гиперболо-эллиптических движениях для п=-г на диапазон -з<п<-1. Показано, что, если в некоторый момент времени система образует конфигурацию, близкую к тройному столкновению, то в дальнейшем движении одно из тел уходит на бесконечность, а ■два других образуют устойчивую по Хиллу систему тел-Предлагается геометрическая интерпретация полученных результатов.

В §7.4 выведены уравнения движения. Показано, что в предельном варианте, когда масса одного из тел равна нулю,уравнение для переменной г отщепляется от системы для у и ф, причем последняя является лагранзевой-

Окрестности классических точек либрации исследуются в §7. з. Показано, что з окрестности коллинеарных точек либрации имеется ляпуновское семейство симметричных периодических движений, в которое при п> —з вырождаются симметричные двумерные "усатые" торы. В окрестности треугольных точек либрации уравнения в переменных и у имеют вид уравнений Ляпунова, полученных им в результате ряда искусных преобразований. Из этих уравнений следуете теорема 7.3), что при малых эксцентриситетах эллиптические треугольные решения устойчивы в линейном приближении, если

„ . 1 г п+зч2 , 1 г п+2 т2 1 4п+11 4 п+2

м з К=Т\ ' ; ? з I ^Т \ '12 г „2 ' з .

-' ^ ' сп-13 сп-1)

V = 1Ч0т1 +тот2+тЦт2 ' "3<п< -1

где т =м ✓см0+м1+м2э - относительные массы тел-

Далее установлено, что при го -з и произвольных эксцентриситетах задача об устойчивости в линейном приближении треугольных решений задачи трех тел в общейснеограниченной) постановке эквивалентна этой задаче в ограниченной постановкес теорема 7.4). Отсюда следует, что при и произвольном эксцентриситете о<£< <1 устойчивость эллиптических треугольных решений неограниченной задачи имеет место всюду в области Дзнбис5. м. йапЬу), полученной им для ограниченной задачи трех тел.Только эту область необходимо изобразить на плоскости £),где т=и£ 1 -¡V; - относительная масса одного из основных тел в ограниченной задаче с теорема 7.5).

Е рамках ограниченной задачи трех тел тело рг нулевой массы не влияет на движение основных тел Р0 и рг.Оказывается, учет малой ненулевой массы может дать примеры "сильного" влияния тела Р2 на движение тел ро и р1 в рамках неограниченной задачи. Этот вопрос исследуется в §7.6.

Показано, что при VI✓зз в слабо-эллиптической задаче возникает параметрический резонанс, который приводит к неустойчивости * с теорема 7.6). Причем этот резонанс имеется и в ограниченной постановке задачи, и неустойчивость означает уход тела рг; тела ро и рг продолжают двигаться по слабо-эллиптическим орбитам.

При Ь=\/зб возникает такяе внутренний резонанс в задаче об устойчивости постоянных лагранжевых решений и этот резонанс вы-

зывает неустойчивость. Здесь происходит нелинейное взаимодействие конфигурации и размера треугольника, и даже при малой ненулевой массе тела рг два других тела сходят с невозмущенных круговых орбите теорема 7.7Э.Тело р2 малой массы "сильно" влияет на движение тел ро и р1.

Наконец, в §7. 7 показано, что при малых ш1 /о, в рассматриваемой задаче имеется семейство симметричных орбит, близких к круговым.

Основной результат главы 7 состоит в качественном совпадении результатов для ньютоновского закона тяготенияеп=-гэ и для степенного закона с показателем -з<п<-1. Иначе, ньютоновский закон не является "уникальным" для задачи трех тел.

В главе в исследуется ы-планетный вариант задачи многих тел. Уравнения движения выведены в §е.1,где также показана Ц-обрати-мость построенной системы.

В §8. г доказано существование сюжатричных периодических орбит 1 сорта, рождающихся из круговых орбит, принадлежащих одной неподвижной плоскости. Эти орбиты являются периодическими во вра щавдейся с постоянной утловой скоростью системе координат; в неподвижном пространстве орбиты образуют двумерные симметричные торы. Средние движения тел по орбитам откосятся как целые числа срезонансностьз, а в моменты времени, кратные полупериоду, все тела выстраиваются вдоль одной и той же неподвижной прямой, демонстрируя "парад планет". Парад планет наблюдается также в неподвижном пространстве.

Далее анализируются эллиптические орбиты порождающей системы Показано, что в еы-мернои пространстве имеется шесть сгк+1и-пара метрических семейств симметричных периодических эллиптических орбитезз. Из этих орбит рождаются периодические орбиты г сорт Показано, что плоские орбиты г сорта существуют для всех значена эксцентриситетов, исключая только некоторое конечное число их с§а.43. Эти орбиты также резонансны, и на них также наблюдается парад планет.

В §8.5 доказано существование двух семейств симметричадх периодических орбит з сорта. При этом орбита для тела ОД близка к плоской эллиптической в плоскости <РЕ, все плоскости «р проходя?

через одну и ту же неподвижную прямую, а угол ср3-с^ между плоскостям ф,. и ^ - произвольный. Средние движения по орбитам относятся как целые числа,и движение является резонансным.Все тела в моменты времени, кратные полупериоду, пересекают в первом семействе орбит одну и ту же неподвижную плоскость, во втором семействе - выстраиваются вдоль одной и той же неподвижной прямой с парад планет).

В §е.б установлена применимость выводов к системе "Солнце-планета-спутники" •

В Заключении сформулированы основные положения диссертации, вкносиыые на защиту.

АВТОР ВЫНОСИТ НА ЗАЩИТУ СЛЕДУЮЩИЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Обратимость основных моделей классической и небесной механики.

Это позволяет использовать обратимую КАМ-теорию для исследования как голономных, так я неголоноыных систем независимо от того, используются ли координаты или квазикоординаты.

г. Основное положение резонансной теории об устойчивости обратимой системы в окрестности положения равновесия и симметричного периодического движения: в невырожденных случаях система первого нелинейного приближения устойчива при выполнении конструктивно проверяемых условий в виде неравенств, в противном случае имеет место неустойчивость; неустойчивость является грубым свойством как в классе обратимых возмущений, так и для возмущений общего вида.

В результате реализации данного положения построена резонансная теория об устойчивости обратимых систем и в основном - качественная теория системы первого нелинейного приближения-

з. В типичном для симметричного периодического движения - неизолированном по Пуанкаре случае вопрос о продолжении по параметру решается ка основе анализа только порождающей системы; исключение составляет только вырожденные случаи.

В диссертации получены конструктивные условия продолжения.

результаты применены для доказательства-существования локальных периодических движений в нерезонансном и резонансном случаях, построены периодические орбиты в классических задачах небесной ' механики.

4.Тяжелое твердое тело на абсолютно шероховатой плоскости представляет собой обратимую механическую систему. Поэтому ряд локальных результатов выводится нй линеаризованной системы. Такие результаты получеки в задаче об устойчивости качения динамически несимметричного эллипсоида вращения вдоль прямойспроанализирована линейная задача),а также - в задаче о перманентных вращениях однородного эллипсоида вокруг вертикалиспостроены два семейства локальных ляпуновских периодических движений и доказана неустойчивость в случае симметричного эллипсоида, когда ось симметрии не совпадает с вертикалью.

5.в ограниченной задаче трех тел симметричные периодические орбиты можно продолжить по параметру на основе анализа только предельной задачи.

В задаче о движении пассивно гравитирующей точки в окрестности одного из основных теле система типа Солнце-Земля-Луна) доказано существование симметричных орбит, близких к: а>круговым, бэ сидерическим эллиптическим, вэсинодическим эллиптическим. В частном случае выводятся результаты для задачи Хилла- Кроме того, доказан* существование периодических орбит второго рода в эллиптической задаче.

6. В неограниченной задаче трех тел с силой взаимодействия, пропорциональной степени п взаимного расстояния между телами, известные в случае ньютоновского взаимодействиясп=-гз качественные результаты справедливы для диапазона -з<п<-1.

В рамках,решения этой задачи введены новые переменные задачи, характеризующие размере полярный момент инерцию и конфигурацию: угол между двумя сторонами и логарифм отношения этих сторою треугольника, образованного телами. На основе нового описания задачи! а? качественно решена задача сб устойчивости по Хиллу пары из трех тел при -з<п<-1, б)доказано существование финальных двк-■ жений при —з<п<—1; при п=-г эти движения относятся к гиперболо-эллиптическому типу и установлены Биркгофом, в)показано, что пре-

дельная - ограниченная задача описывает изменение конфигурации, гэпроведен локальный анализ окрестностей эйлеровых и лагранжевых с лапласовых:) точек либрации.

Локальный анализ показал, что з окрестности эйлеровых точек с положений равновесия обратимой системы^ существует два семейства ляпуковских периодических движений, в которые вырождается семейство двумерных "усатых" торовс-з<n<-iз. В первом приближении задача о движении в окрестности лагранжевых точек для общей с неограниченной» задачи эквивалентна задаче в ограниченной постановке, если -з<п<-1. Отсюда при п=-2 выводится устойчивость эллиптических решений неограниченной задачи из результатов Дэнби, полученных им для ограниченной задачи. Доказана почти вековая устойчивость по Румянцеву треугольных точек при n>i.

Учет малой ненулевой массы приводит к качественно новым результатам по сравнению с ограниченной задачей. Так, при параметрическая неустойчивость в ограниченной задаче не изменяет орбит основных тел. в то время как резонанс в неограниченной задаче приводит к сходу основных тел с невозыущенных орбит.

7. в N-планетной задаче многих тел существуют симметричные периодические орбиты i,2,з родов, рождающиеся соответственно из плоских круговых, плоских эллиптических и пространственных эллиптических решений N задач двух тел- Эти решения описывают резонансные орбиты,и на них наблюдается "парад планет".

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

i. Об устойчивости постоянных лапласовых решений неограничен- * ной задачи трех тел^Прикл. мат. и механ-1978. Т. 4г. Вып. с. с. югв-1032.

г. Об устойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел^Письма в астрон. журн. 1э7э. Т. s. ns. с. 436-4s8. \

3. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил^Прикл. мат. и механ. i oso. т. 44-. Вып. i - С. 40-48.

4. Плоская неограниченная задача трех тел^Астрон. журн. 1987.

Т. 64. n4. с. 860-864.

5.On"the stability of reversible systems under inner reso-nanc e//Col1oqui a mathematica societis Janos Bolyai.30.Quail ta-

tive theory of differential equations. Szeged. 1988.P.643-631.

6. Обратимость механических систем^-'Прикл. мат. и механ. isqi. Т. 55. йш. 4. с. 707-712.

7. о поведении обратимой механической системы на границе области устойчивости^Прикл. мат. и механ. isgi. т. 55. Вып. 5. с. 707-712.

8.Периодические движения однородного эллипсоида на шероховатой плоскости^''Изв. АН СССР. Механ. тв. тела. ia9i. N6. с.24-30.

э. Качественное исследование обратимой системы при резонансе 1:3/'/Некоторые задачи динамики механических систем. М.: МАИ. i .

С. 50-56.

1 о. о неустойчивости перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида вращения на абсолютно шероховатой плоскости^ Изв. РАН. Механ. тв. тела. i аог. ыг. с. гз-зо.

11.Обратимые системы. Устойчивость при резонансе i: 1^Прикл. мат. и механ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С-570-580С совместно с П. С-Крзсиль-никовыыэ -

1 г. Устойчивость периодических обратимых систем^Прикл. мат. и механ. 1393. Г. 57. Вып. i. С. з-i i с совместно с М. В. Матвеевым).

13. Об устойчивости симметричных положений равновесия обратимой систеыы/'/Прикл. мат. и механ. 1зэз. т. 57. Вып. з. С. 20-24. ■ 14. Некоторые задачи об устойчивости обратимой системы с малым параметром^Прикл. мат. и механ. 1994. т. 58. Вып. i. С. з-i г. is. Нелинейные колебания обратимых систем-^Прикл- мат. и механ.

1995. Т. 59. ВЫП. 1 - С. 38-50.

is.Симметричные периодические орбиты задачи многих тел. Резо-нансность и парад планет^Прикл. маг. и механ. 1995. т. 59. Вып. з.

С. 3-13.

I