Обратимые задачи в динамике твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение

1 Устойчивость перманентных вращений тяжелого одно- 13 родного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости

1.1 Уравнения движения тяжелого твердого тела на абсо- 13 лютно шероховатой горизонтальной плоскости

1.2 Перманентные вращения. Уравнения возмущенного 16 движения. Обезразмеренная форма уравнений.

1.3 Нормальная форма

1.4 Устойчивость положения равновесия обратимой систе- 25 мы

1.5 Результаты численных исследований. Выводы об ус- 30 тойчивости

2 Качение тяжелого полого эллипсоида на абсолютно шеро- 34 ховатой горизонтальной плоскости вдоль прямой

2.1 Уравнения движения

2.2 Качение тела вдоль прямой

2.3 Уравнения возмущенного движения

2.4 Обезразмеренная система уравнений в вариациях

2.5 Параметрический резонанс в обратимой системе 50 третьего порядка

2.6 Качение эллипсоида, близкого к эллипсоиду вращения

2.7 Результаты и выводы об устойчивости

3 Колебания и вращения спутника в гравитационном поле 79 Земли с учетом влияния атмосферы

3.1 Уравнения движения

3.2 Колебания и вращение спутника на слабоэллиптиче- 84 ской орбите

3.3 Периодические вращательные движения спутника на 93 произвольной эллиптической орбите

3.4 Быстрые вращения спутника в плоскости эллиптиче- 105 ской орбиты

Дополнение А Метод нахождения 2пк - периодических решений обратимой системы второго порядка

В данной работе исследуются обратимые задачи в динамике твердого тела. Для тяжелого эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и спутника на эллиптической орбите проанализированы перманентные вращения, колебания и вращательные движения, решается вопрос об устойчивости указанных движений. Такой выбор темы исследования обусловлен, с одной стороны, тем, что основные модели, используемые в классической и небесной механике, описываются обратимыми системами дифференциальных уравнений [45, 46, 61]. С другой стороны, выбор темы определен интенсивной разработкой в последние два десятилетия теории устойчивости и теории колебаний обратимых механических систем [9,16, 17, 23, 45 - 67, 77]. Следует также отметить, что в 80 - е годы разработана обратимая КАМ - теория [77, 88 - 90], которая по полноте сравнима с КАМ теорией гамильтоновых систем [2, 22, 84], и также нашла применение для исследования механических задач [55].

До работы В.Н. Тхая [45] свойству обратимости не уделялось какое - либо заметное внимание в классической механике. В то же время, как указывается в [61], свойство симметрии (в данном случае имеется в виду обратимость) в небесной механике учитывается, начиная еще с JI. Эйлера [69]. Симметричными являются построенные JI. Эйлером [69] локальные периодические орбиты в окрестности одной из коллинеарных точек либрации, периодические орбиты в задаче Хилла [79], являющейся основной в теории Хилла - Брауна движения Луны, периодические орбиты Пуанкаре всех трех родов [39, 71, 74, 91]. Все построенные периодические орбиты в задаче Хилла [44] являются симметричными. Известен критерий Уиттекера [68] для симметричных периодических орбит. Отметим также работу A.F. Schanzle [87], посвященную подковообразным орбитам в задаче трех тел. В этой работе фактически предлагается подход к построению всех симметричных периодических движений в консервативной обратимой системе с двумя степенями свободы. В относительно недавних основополагающих работах [41, 43] по исследованию задачи В.В. Белецкого [3] также существенным образом используется свойство обратимости.

В работе В.Н. Тхая [45] показано, что голономная механическая система, стесненная стационарными геометрическими связями и подвер-женнная воздействию только позиционных сил, описывается обратимой системой дифференциальных уравнений. Далее, с использованием свойства обратимости решена задача об устойчивости в случае резонанса третьего и четвертого порядков. Эта работа нашла продолжение [46] только в 1991 г., когда был проанализирован ряд основных моделей классической и небесной механики и показано, что эти модели образуют частный класс обратимых систем u = U(u,v), v = V(u,v); ueR'.veRп, 1>п

U(u, -v) = —U(u, v), V(u, -v) = V(u, v), U который в более поздней работе [61] назван обратимой механической системой.

В отличие от общего случая, система (А) инвариантна при обращении времени t (изменении t на —t) относительно линейного преобразования (u,v) на (u, — v), т.е. представляет собой линейно обратимую систему с неподвижным множеством {и, v : v = 0}. Другим ограничением является условие I > п на размерности векторов и и v. Это условие в механических системах всегда выполняется. Например, в механической системе под действием позиционных сил u = q — вектор обобщенных координат, av = q — вектор обобщенных скоростей, I = п.

Работа В.Н. Тхая [46] получила свое развитие в следующих направлениях. Во - первых, изучалась устойчивость обратимых систем в резонансных случаях [23, 24, 30, 29, 45, 46, 47, 48]. Затем, после разработки достаточно полной теории устойчивости резонансных систем, были инициированы работы [31, 32, 33] об устойчивости обратимой системы в общем эллиптическом случае, включая случай наличия первых интегралов [81]. Кроме того, был разработан [8, 17, 62] конструктивный метод вычисления характеристических показателей линейной периодической обратимой системы и предложен способ исследования устойчивости по Ляпунову для численно построенного решения в периодической обратимой системе второго порядка [8, 14, 15] и консервативной обратимой системы с двумя степенями свободы [16]. Проведенное параллельное исследование конкретных механических задач [8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 50, 52, 53, 55, 56, 62, 65, 66] позволяет утверждать о создании теории устойчивости обратимых систем с приложениями в механике.

Другое направление связано с исследованием периодических движений (колебаний и вращений) в обратимых механических системах. Хотя с теоретической точки зрения здесь очень важна работа [77], отправной точкой для создания теории колебаний обратимых механических систем послужила работа [78], посвященная периодическим движениям одной системы с симметрией. В результате проведенных исследований в настоящее время имеется достаточно полная теория, включающая необходимые и достаточные условия существования периодических движений, метод построения и исследования всех таких движений, теорию продолжения по параметру, теорию локальных ляпуновских семейств периодических движений, теорию для систем специального вида (стандартного вида, система, близкая к консервативной системе с одной степенью свободы и т.д.), теорию для систем, близких к обратимым системам, приложения [9, 12, 13, 14, 15, 16, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 67, 63, 64].

На обратимость задач динамики твердого тела впервые обращено внимание в [46]. С использованием этого свойства проанализированы перманентные вращения вокруг вертикали для тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и близкие к ним движения [49, 50].

Тем самым, в частности, был сделан следующий шаг в иследовании поставленной А.П. Маркеевым [26] проблеме об устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой плоскости. А.П. Маркеев [26] выводит уравнения движения в этой задаче, которые принадлежат классу обратимых уравнений [61], как уравнения Аппеля неголономной системы. Далее, им устанавливается существование вращения вокруг одной из осей эллипсоида, совпадающей с вертикалью, и выводятся уравнения в вариациях. Вычисление корней характеристического уравнения позволяет вывести неустойчивость вращения вокруг средней оси. Вращения вокруг наименьшей оси всегда устойчиво в линейном приближении, а вращение вокруг наибольшей оси — при достаточно большой угловой скорости. Однако вопрос об устойчивости по Ляпунову перманентных вращений остался открытым. Этот вопрос не удалось решить и в более поздних работах [55, 38]. Прогресс в решении проблемы наметился с отнесением ее к задаче об устойчивости для обратимой системы [46]. Решение ее стало реальным после доказательства теоремы об устойчивости обратимой системы в общем эллиптическом случае [81, 31]; результаты об устойчивости при резонансе 4 - ого порядка известны с 1980 г. [45]. Полное решение проблемы на уровне имеющихся на сегодня теоретических результатов изложено в данной диссертации и опубликовано в [10, И].

Отметим, что изложение результатов по исследованию перманентного вращения произвольного тяжелого твердого тела на плоскости (не эллипсоида) можно найти в [21, 28].

Тяжелое твердое тело, ограниченное гладкой поверхностью, может катиться по плоскости таким образом, что одна из главных плоскостей все время совпадает с неподвижной вертикальной плоскостью. Если уравнение поверхности F(x,y,z) =0 (x,y,z — координаты точки контакта тела и плоскости в связанных осях), то в случае нечетной функции Fy(x, у, z) качение представляет собой симметричное периодическое движение обратимой системы [56]. Такой случай имеет место для эллипсоида, у которого центр масс совпадает с геометрическим центром, а главные центральные оси инерции направлены по осям эллипсоида.

Для динамически симметричного тела, у которого в рассматриваемом движении ось симметрии горизонтальна, условия устойчивости получены И.М. Миндлиным и Г.К. Пожарицким [37]. Для эллипсоида, ограниченного поверхностью вращения, задача исследовалась в [56].

Несколько в иной постановке рассматривается данная проблема в диссертации: эллипсоид предполагается полым и сравниваются результаты для полого и однородного эллипсоидов.

Исследуется устойчивость качения эллипсоида вдоль прямой в одном направлении. Для тела, близкого к эллипсоиду вращения, здесь возможен параметрический резонанс.Отметим, что задача об устойчивости обратимой системы при параметрическом резонансе достаточно подробно исследована [51]. Одночастотный резонанс 2ш = р Е N, как правило, приводит к неустойчивости, и этот вывод следует из неравенства нулю резонансного коэффициента в нормальной форме. Метод нормальных форм достаточно хорошо отработан [6]. Однако получение нормальной формы в конкретной задаче связано с известными вычислительными трудностями, особенно при рассмотрении периодической системы. Поэтому при параметрическом резонансе интерес представляют конечные формулы для вычисления резонансных коэффициентов. Данная задача решена в диссертации для квазиавтономной линейной обратимой системы третьего порядка.

Вращательные движения спутника на эллиптической орбите под действием гравитационного и аэродинамических моментов описываются обратимой системой шестого порядка [42]. Эта система обладает интегральным многообразием, отвечающим движениям спутника в плоскости орбиты. Имеем обратимое периодическое уравнение второго порядка. Для такого уравнения особенно эффективен метод [54, 60], позволяющий принципиально построить все нечетные колебания и вращения и исследовать их устойчивость. Именно свойство симметрии использовалось и используется [7, 42] при исследовании задачи В.В. Белецкого (аэродинамический момент равен нулю), именно так исследовалась задача при наличии гравитационных сил и светового давления [14, 15].

Плоские колебания спутника на эллиптической орбите исследованы Н.В. Мельник [34, 35]. Методом фазовой плоскости проведен полный анализ движения спутника на круговой орбите, затем численно определены колебательные движения спутника на эллиптической орбите. Отметим, что на круговой орбите колебания окружают соответствующие положения относительного равновесия. Такие равновесия могут быть тривиальными, когда одна из осей инерции спутника совпадает с радиусом - вектором, и косыми, когда эта ось инерции образует с радиусом - вектором ненулевой угол. На каждом из семейств период колебаний Т зависит от амплитуды (энергии К) и dT(h) ф 0 почти всюду. Колебания, окружающие тривиальные равновесия, симметричны относительно {z,z : z = 0 (mod-7r)}. Поэтому для продолжения таких колебаний применима теорема из [58, 60].

Таким образом, из характера поведения функции T{h) следует, что почти все 2irk — периодические колебания спутника на круговой орбите продолжаются на слабоэллиптическую орбиту. Такой качественный вывод отсутствовал в работах Н.В. Мельник [34, 35].

Тем не менее, основной задачей являлось численное исследование вращательных движений спутника. Эти исследования проведены с помощью метода построения всех периодических движений обратимой системы и исследования их устойчивости [54, 60]. Кроме того, исследованы быстрые вращения спутника в задаче В.В. Белецкого и устойчивость плоских вращений в пространственной задаче.

Таково место проведенных в диссертации исследований среди других работ по динамике твердого тела на плоскости и динамике относительного движения тела.

Дадим краткое содержание работы по главам.

В первой главе исследуется устойчивость перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.

В §1.1 приведены уравнения движения тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости в форме, полученной в [21]. Эти уравнения принадлежат к классу обратимых уравнений. Указано, что система уравнений движения имеет частное решение, в котором тело совершает перманентные вращения вокруг вертикали [28].

В §1.2 составлены уравнения возмущенного движения в окрестности исследуемого частного решения для тела, ограниченного поверхностью эллипсоида. Проведено обезразмеривание системы.

В §1.3 приведен алгоритм получения нормальной формы для обратимой системы. В частном случае обратимой системы четвертого порядка явно выписано линейное нормализующее преобразование.

В §1.4 даны необходимые для дальнейшего исследования известные результаты [45, 30, 31, 81] по устойчивости по Ляпунову обратимой системы в общем эллиптическом случае.

В §1.5 в пространстве параметров задачи выделены области, где перманентные вращения устойчивы по Ляпунову и области, где вывод об устойчивости не следует из имеющихся на сегодня теоретических результатов. Проведен анализ резонансных кривых, который показал, что резонанс 1:3 приводит к неустойчивости.

Во второй главе исследуется качение тяжелого полого эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости вдоль прямой.

В §2.1 выписаны уравнения движения для тела, ограниченного поверхностью эллипсоида. Проведена замена переменных, учитывающая геометрический интеграл.

В §2.2 показано, что в случае тела, ограниченного поверхностью эллипсоида, система уравнений движения обладает интегральным многообразием, на котором одна из главных плоскостей постоянно совпадает с неподвижной вертикальной плоскостью, а точка контакта тела и плоскости описывает на последней прямую линию [56]. Рассматриваются движения, на которых эллипсоид совершает качение в одну сторону. Для исследования этих движений и близких к ним движений выполнен переход к новой независимой переменной — углу поворота эллипсоида. С помощью интеграла энергии проведено понижение порядка системы.

В §2.3 получена система уравнений в вариациях в окрестности исследуемого качения. Эта система является обратимой системой дифференциальных уравнений третьего порядка с периодическими коэффициентами.

В §2.4 проведено обезразмеривание системы уравнений в вариациях.

В §2.5 исследовалась квазиавтономная линейная обратимая система третьего порядка с периодическими коэффициентами, зависящими от малого параметра. Для этой системы вычислен коэффициент в нормальной форме, отвечающий за неустойчивость в случае параметрического резонанса.

В §2.6 исследовано качение эллипсоида, близкого к эллипсоиду вращения. Показано, что качение в случае параметрического резонанса неустойчиво. В частности, отсюда следует, что для эллипсоида, близкого к шару, качение вокруг средней оси неустойчиво [28].

В §2.7 исследовалась устойчивость качения в первом приближении. Для нахождения характеристических показателей системы уравнений в вариациях использовалось свойство обратимости, что позволило найти характеристические показатели системы построением всего одного решения задачи Коши. Для произвольного эллипсоида в пространстве параметров задачи выделены области, где выполняется необходимое условие устойчивости.

В третьей главе исследовались колебания и вращения спутника на эллиптической орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов.

В §3.1 приведены уравнения движения спутника на эллиптической орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов [42]. Система уравнений обладает интегральным многообразием, которое отвечает движениям в плоскости эллиптической орбиты [42].

В §3.2 доказано, что 2ттк — периодические колебания спутника на круговой орбите около тривиальных положений равновесия продолжаются на случай слабоэллиптической орбиты для произвольного значения аэродинамического параметра.

В §3.3 исследовались 2тгк — периодические вращения спутника, на которых за один оборот центра масс спутника по орбите спутник один раз поворачивается на угол 2жк вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости орбиты. Используя метод нахождения всех 2irk — периодических решений обратимой системы второго порядка, для таких движений были найдены значения начальных скоростей. Исследована устойчивость по Ляпунову этих движений. В пространстве параметров задачи выделены области, где найденные 2тгк — периодические вращения устойчивы по Ляпунову.

В §3.4 исследовались быстрые вращения спутника в задаче Белецкого, т.е. движения, на которых за один оборот центра масс спутника по орбите спутник га (га > 10) раз поворачивается вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости орбиты.

В Дополнении А описан метод нахождения всех 2пк — периодических решений обратимой системы второго порядка.

В Дополнении Б описан метод нахождения характеристических показателей обратимой системы.

В Приложении приведена зависимость плотности атмосферы от высоты.

На защиту выносятся следующие основные результаты и выводы.

1. Результаты по исследованию устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Степень разрешенности данной задачи соответствует современному уровню теоретических разработок по устойчивости движения.

2. Результаты по исследованию устойчивости качений тяжелого полого эллипсоида вдоль прямой на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: вывод о неустойчивости, вызванной параметрическим резонансом и необходимые условия устойчивости, полученные численно.

3. Явное выражение для резонансного коэффициента в случае параметрического резонанса для обратимой системы третьего порядка.

4. Вывод о продолжении на случай слабоэллиптической орбиты 2irk — периодических колебаний спутника на круговой орбите под действием гравитационных и аэродинамических моментов.

5. Результаты по исследованию 27т — периодических вращений спутника на слабоэллиптической и произвольной эллиптической орбитах (нахождение начальных точек для вращений, исследование устойчивости вращений).

6. Результаты по исследованию быстрых вращений в задаче В.В. Белецкого.

Основные результаты докладывались на семинаре по аналитической механике и устойчивости движения МГУ (рук. В.В. Румянцев, В.В. Белецкий и А.В. Карапетян, 1998, 2001), на семинаре в университете Пьера и Марии Кюри /Paris - VI/ (рук. М. Pascal, D. Chevallier, 2000), на семинаре отдела механики ВЦ РАН (2001), а также на конференциях:

II техническая конференция Моделирование и исследование сложных систем, 10-11 июня, 1998, Кашира.

Третий международный симпозиум по классической и небесной механике, 23 - 28 августа 1998, Великие Луки.

Third European Nonlinear Oscillations Conference 3rd ENOC, 8-12 august 1999, Copenhagen (Lyngby), Denmark.

Всероссийская научная конференция по механике Вторые Поляхов-ские чтения, 2-4 февраля 2000, Санкт - Петербург.

IV международный семинар Устойчивость и колебания нелинейных систем управления, 6-8 июня 2000, Москва.

EUROMECH 4th European Solid Mechanics Conference (ESMC4), 26 - 30 June 2000, Metz, France.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Валентину Николаевичу Тхаю за постоянное внимание и помощь в написании диссертации.

1. Выводы об устойчивости по Ляпунову перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Степень разрешенности этой задачи, таким образом, соответствует современному уровню теоретических разработок по устойчивости движения.

2. Результаты по исследованию устойчивости качения полого эллипсоида вдоль прямой в одном направлении. Здесь проанализирован параметрический резонанс и получены необходимые условия устойчивости. Для квазиавтономной линейной обратимой системы вычислен коэффициент в нормальной форме, отвечающий за неустойчивость в случае параметрического резонанса.

3. Вывод о том, что почти все 2тгк — периодические колебания спутника на круговой орбите продолжаются на слабоэллиптическую орбиту.

4. Результаты по исследованию 27т — периодических вращений спутника на слабоэллиптической и произвольной эллиптической орбитах.

5. Результаты по исследованию быстрых вращений в задаче В.В. Белецкого.

Все полученные результаты являются новыми и согласуются с результатами, известными в частных случаях.

Диссертацию отличает систематическое применение новейших методов, разработанных для обратимых механических систем. Это третья диссертация по динамике обратимых систем 2 и первая работа по обратимым задачам в динамике твердого тела.

Проведенные исследования показывают высокую эффиктивность методов, учитывающих свойство обратимости. Данный вывод следует счи

2См. [55], а также Гродман А.Л. Исследование плоских колебаний и вращений спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико - математических наук. М.: МАИ, 2001 тать одним из основных выводов диссертации.

Наконец, диссертация убеждает в важности современных компьютерных методов при исследовании задач динамики твердого тела.

Заключение

В диссертации исследованы две обратимые задачи в динамике твердого тела. Проанализированы простейшие движения — перманентные вращения, колебания, вращательные движения, исследована устойчивость этих движений. В результате получены следующие результаты:

1. Амосов А.А., Дубинский ЮА., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

2. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. С. 91 192.

3. Белецкий В.В. О либрации спутника // "Сборник искусственные спутники Земли". 1959. N 3. М.: АН СССР. С. 13-31.

4. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Л.: ЛГУ. 1991. 144 с.

5. Брюно А.Д. Аналитическая форма обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. Моск. Мат. о ва. 1971. Т. 25. С. 119 - 262; 1972. Т. 26. С. 199 - 239.

6. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 253 с.

7. Брюно А.Д. Семейство периодических решений уравнения Белецкого // Препринт ИПМ им. Келдыша. 2000. N 52. 36 С.

8. Глухих Ю.Д., Тхай В.Н. 2тт — периодические вращательные движения спутника под действием гравитационных и аэродинамических моментов // Модел. и исслед. сложных систем. Докл. II Межд. научно техн. конф. Ч. 3. М.: МГАПИ, 1998. С. 363 - 375.

9. Глухих Ю.Д., Тхай В.Н. Периодические движения механической системы с одной степенью свободы // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: Изд во ВЦ РАН, 1999. С. 100 - 112.

10. Глухих Ю.Д., Тхай В.Н., Шеваллъе Д.П. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // М.: Изд во ВЦ РАН, 2000. Ч. 1. С. 87 - 104.

11. Глухих Ю.Д., Гриханова Т.В. Об устойчивости 2тг — периодических вращательных движений спутника в плоскости эллиптической орбиты в пространственной задаче М.: Изд во ВЦ РАН, 2000. Ч. 2. С. 142 - 148.

12. Глухих Ю.Д., Бучин В. О. Исследование вращений спутника в плоскости эллиптической орбиты М.: Изд во ВЦ РАН, 2001. (в печати)

13. Гродман Д.Л., Тхай В.Н. Вращение динамически симметричного спутника на эллиптической орбите под действием гравитационных сил и светового давления // Модел. и исслед. сложных систем. Докл. II Межд. научно техн. конф. Ч. 3. М.: МГАПИ, 1998. С. 376 - 385.

14. Ефимов И.Л., Тхай В.Н. Устойчивость периодических орбит в задаче Хилла // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: Изд во ВЦ РАН, 1999. С. 45 - 60.

15. Зимовщиков А.С., Тхай В.Н. Об устойчивости треугольных решений неограниченной задачи трех тел / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации решения. М.: Изд во ВЦ РАН, 1998. С. 117-130.

16. Зимовщиков А.С., Тхай В.Н. Об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими телами // Задачи исследования устойчивости и стабилизации решения. М.: Изд во ВЦ РАН, 1999. С. 121 - 129.

17. Зимовщиков А.С., Тхай В.Н. Об устойчивости треугольных точек либрации фотогравитационной ограниченной задачи трех тел с двумя излучающими телами // Задачи исследования устойчивости и стабилизации решения. М.: Изд во ВЦ РАН, 2000, Ч. 1. С. 68 - 77.

18. Карапетян А.В. Бифуркация Хопфа в задаче о движении тяжелого твердого тела по шероховатой плоскости //Известия АН СССР. МТТ. 1985. N 2. С. 19 24.

19. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эди-ториал УРСС, 1998. 165 с.

20. Колмогоров А.Н. О сохранении устойчивости периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Докл. АН СССР. 1954. Т. 58. С. 527 530.

21. Красилъников П.С., Тхай В.Н. Обратимые системы. Устойчивость при резонансе 1:1 // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 570-580.

22. Куницын A.JI., Муратов А. С. Об устойчивости одного класса квазиавтономных систем при внутреннем резонансе // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 31 39.

23. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530с.

24. Маркеев А.П. К геометрической интерпретации Пуансо движения твердого тела в случае Эйлера // Пробл. мех. упр. дв. Пермь: Изд во Перм. ун - та, 1982. С. 123 - 131.

25. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. 414с.

26. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.

27. Матвеев М.В., Тхай В.Н. Об устойчивости обратимых систем при нескольких резонансах // Матем. модел. нестац. процессов и автоматиз. сист. М.: Изд во МИП, 1992. С. 37 - 41.

28. Матвеев М.В., Тхай В.Н. Устойчивость периодических обратимых систем // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 3 11.

29. Матвеев М.В. Устойчивость по Ляпунову положения равновесия обратимых систем // Матем. заметки. 1995. Т. 57. Вып. 1. С. 90 104.

30. Матвеев М.В. Устойчивость обратимых систем с двумя степенями свободы. М.: Деп. в ВИНИТИ N 1226 13.94. 1990. 30 с.

31. Матвеев М.В. Устойчивость нелинейных обратимых систем. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико математических наук. М., МАИ, 1995.

32. Мельник Н.В. Периодические колебания спутника на круговой орбите с учетом влияния сопротивления атмосферы // Препринт ИПМ АН СССР. 1976. N 97. 37 С.

33. Мельник Н.В. 2л —периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты при наличии сопротивления атмосферы // Препринт ИПМ АН СССР. 1976. N 119. 45 С.

34. Миндлин И.М. Об устойчивости движения тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Инж. ж. 1964. Т. 4. Вып. 2. С. 225 230.

35. Миндлин И.М., Пожарицкий Г.К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 1965. Т. 29. N 4. С. 742 745.

36. Поликша В. В. Некоторые задачи устойчивости в критических случаях и их приложение в динамике катящегося тела. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико математических наук. М., МАИ, 1989.

37. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В 3 х т. Избр. тр. Пер. с франц.: М.: Наука. Т. 1. 1971. 771 с.

38. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т.2. М.: Наука, 1983. 544 с.

39. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исследования. 1976. Т. 15. N 6. С. 809 834.

40. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. 1978. Т. 11. 223 с.

41. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космич. исследования. 1979. Т. 17. N 2. С. 190 207.

42. Себехей В. Теория орбит. М.: Наука, 1982. 665 с.

43. Тхай В.Н. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил // ПММ. 1980. Т. 44. Вып.1. С. 40 48.

44. Тхай В.Н. Обратимость механических систем // ПММ. 1991. Т. 55. Вып.4. С. 578 586.

45. Тхай В.Н. О поведении обратимой механической системы на границе области устойчивости // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 5. С. 707 -712.

46. Тхай В.Н. Качественное исследование обратимой системы при резонансе 1:3 // Некоторые задачи динамики механических систем. М.: Май. 1991. С. 50 56.

47. Тхай В.Н. Периодические движения однородного эллипсоида на шероховатой плоскости // Изв. АН. СССР. МТТ. Механ. тв. тела. 1991. N 6. С. 24 30.

48. Тхай В.Н. О неустойчивости перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида вращения на абсолютно шероховатой плоскости // Изв. РАН. Механ. тв. тела. 1992. N 2. С. 25 30.

49. Тхай В.Н. Некоторые задачи об устойчивости обратимой системы с малым параметром // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 1. С. 3 12.

50. Тхай В.Н. Нелинейные колебания обратимых систем // ПММ.1995. Т.59. Вып. 1. С. 38 49.

51. Тхай В.Н. Симметричные периодические орбиты задачи многих тел. Резонантность и парад планет. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып.З. С. 3-13.

52. Тхай В.Н. Неподвижные множества и симметричные периодические движения обратимых механических систем// ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С. 959 971.

53. Тхай В.Н. Качественное исследование механических систем. Диссертация на соискание научной степени доктора физико математических наук. М., МГУ, 1995.

54. Тхай В.Н. Об устойчивости качений тяжелого эллипсоида вращения по шероховатой плоскости // Известия Академии Наук. МТТ.1996. N 1. С. 11 16.

55. Тхай В.Н. Симметричные периодические орбиты в задаче трех тел // Космические исследования. 1997. Т. 55. N 2. С. 164 171.

56. Тхай В.Н. О продолжении периодических движений обратимой системы в негрубых случаях. Приложение к N — планетной задаче // ПММ. 1998. Т.62. Вып.1. С. 56 72.

57. Тхай В.Н. О методе Ляпунова Пуанкаре в теории периодических движений // ПММ. 1998. Т.62. Вып.З. С. 355 - 371.

58. Тхай В.Н. Вращательные движения механических систем // ПММ. 1999. Т.63. Вып. 2. С. 179 195.

59. Тхай В.Н. Обратимые механические системы. // Вторые Поля-ховские чтения. Докл. Всероссийской научной конференции по механике, Санкт Петербург, 2-4 февраля 2000 г. — СПб.: Издательство НИИХ С. - Петербургского университета, 2000. 161 с.

60. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриолли // ПММ. 2000. Т. 64. Вып.5. С. 848 857.

61. Тхай В.Н. Ляпуновские семейства периодических движений в обратимой системе // ПММ. 2000. Т. . Вып.1. С. 46 58.

62. Тхай В.Н. Периодические движения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, близкие к регулярным прецессиям Гриолли // М.: Изд во ВЦ РАН, 2000. Ч. 1. С. 60 - 67.

63. Тхай В.Н. Параметрический резонанс в задаче об устойчивости коллинеарных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // М.: Изд во ВЦ РАН, 2000. Ч. 2. С. 108 - 117.

64. Тхай В.Н., Швыгин A.JI. Об устойчивости маятникообразных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. М.: Изд во ВЦ РАН, 2000. Ч. 2. С.

65. Тхай В.Н. Периодические движения системы, близкой к автономной обратимой системе // ПММ. 2001. Т. 65. Вып.З. (в печати)

66. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. — Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999, 588 с.

67. Эйлер JI. Новая теория движения Луны: Пер. с лат. А. Н. Крылова. Л.: Изд во АН СССР. 1934.

68. Appell P. Cours de mecanique de la faculte des sciences. Traite de mecanique rationnelle. Sixieme edition. Tome deuxieme. Dynamique des systemes mecanique analytique, Paris Gauthier-Villars, Editeur 1953.

69. Arenstorf R.F. Periodic solutions of the restricted trhee body problem represententing analytic continuations of the Keplerian elliptic motions // Amer. J. Math. 1963. Vol. 85. N1. P.27 35.

70. Arnol'd V.I. Reversible systems // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, ed. R.Z. Sagdeev. Harwood, Chur, N.Y. 1984. V. 3. P. 1161-1174.

71. Arnol'd V.I. and Sevryuk M.B. Oscillations and bifurcations in reversible systems. In: Nonlinear phenomena in Plasma Physics and Hydrodynamics, ed. R.Z. Sagdeev. Mir, Moscow. 1986. P. 31-64.

72. Barrar R.B. Existence of the periodic orbits of the second kind in the restricted problem of three bodies // Astron. J. 1965. Vol. 70. N1. P. 3-4.

73. Bibikov Yu.N Local theory of nonlinear analytic ordinary differential equations //Lect. Notes Math. V. 702. Berlin: Springer, 1979.

74. CIRA. 1972. North Holland. Amsterdam COSPAR International Reference Atmosphere. 450 p.

75. Devaney R.L. Reversible diffeomorphisms and flows // Trans. Am. Math. Soc. 1976. V. 218. P. 89-113.

76. Heinbockel J.H., Struble R.A. Periodic solutions for differential systems with symmetries // J.Societ. Indust. Appl. Math. 1965. V. 13. N 2. P. 425 440.

77. Hill G.W. Researches in the lunar theory // Amer. J. Math. 1878. V.I. P. 5-26, P. 129-147, P. 245-360.loose G. and Adelmeyer M. Topics in bifurcation theory, in: Advanced series in nonlinear dynamics. Vol. 3. (Singapore, World Scientific, 1992).

78. Matveyev M. V. Reversible systems with first integrals // Physica D. 1998. V. 112. P. 148-157.

79. Montgomery D. and Zippin L. Topological transformation groups. N.Y.: Interscience, 1955.

80. Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions // Math. Ann. 1967. V.169. N 1. P. 136-176.

81. Moser J. Lecture on Hamiltonian systems // Mem. Amer. Math. Soc. 1968. V. 81. P. 1-60, P. 136-176.

82. Moser J. Stable and random motions in dynamical systems // Ann. Math. Stud. 1973. V. 77. Princeton: Princeton Univ. Press.

83. Roberts J.A.G., Quispel G.R.W. Chaos and time-reversal symmetry // Phys. Reports. 1992. V. 216. N 2-3. P. 63-177.

84. Schanzle A.F. Horseshoe shaped orbits in the Jupiter - Sun restricted problem // Astron. J. 1967. Vol. 72 N 2. P. 149 - 157.

85. Sevryuk M.B. Reversible systems // Lect. Notes Math. V. 1211. Berlin: Springer, 1986

86. Sevryuk M.B. Lower-dimensional tori in reversible systems // Chaos. 1991. V. 1. N 2. P. 160-167.

87. Sevryuk M.B. New cases of quasi periodic motions in reversible systems // Chaos. 1993. V. 3. N 2. P. 211-214.

88. Uno T. Recherches sur les solutions periodiques dans le probleme restreint des trois corps // Jap. J. Astron. and Geophys. 1937. Vol. 15. N1/2. P. 149 191.