Устойчивость нелинейных обратимых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

РГ5 он

| и дрр ________на правах рукописи

УДК 531.36+517.9

Матвеев Михаил Вячеславович

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБРАТИМЫХ СИСТЕМ

01.02.01 - Теоретическая механика

■X

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической механики факультета "Прикладная математика" Московского государственного авиационного института (технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.Л.Куницын

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Козлов;

доктор физико-математичоских наук, ведущий научный сотрудник А.В.Карапетян

Ведущая организация: Институт проблем механики Российской икидомии ниук

V

Защита диссертации состоится п И п а^г^г-еы^ 1995 г. в 40 часов на заседании диссертационного совета К 053.18.02 в Московском государственном авиационном институте.

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан " М¿¿¿р¿"¿Я 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.,доцент

Л.Ф.Лобанова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В последнее время в нашей стране и за рубежом проведено большое количество исследований систем, обладающих свойством обратимости (т.е. инвариантных относительно некоторой инволюции фазового пространства с одновременным изменением знака независимой переменной). Интерес к таким системам обусловлен, с одной стороны, необычностью их свойств (в первую очередь, сочетанием "консервативного" и "диссипативного" поведения траекторий), а с другой - тем, что такие системы достаточно часто появляются при решении конкретных задач механики и физики. В частности, обратимыми являются уравнения движения любой мохпиичоской оиотомы под дойотпиом позиционных сил (п том числе, и при наличии неголономных связей).

Основополагающими в рассматриваемой области являются работы В.И.Арнольда, Ю.Н.Бибикова, А.Д.Бршо, Р.Девани, Ю.Мозера, М.Б.Севрюка, В.Н.Тхая и других авторов..

Цель работы состоит в исследовании устойчивости по Ляпунову положений равновесия обратимых систем дифференциальных уравнений (автономных или периодических по независимой переменной) и применении полученных результатов к исследованию конкретных механических систем.

Метод исследования представляет собой сочетание методов КАМ-теории (в первую очередь, метода Ньютона - Колмогорова последовательных замен переменных), теории нормальных форм и традиционных методов исследования нелинейных резонансных систем.

Научная новизна. В работо получены слодущие основные результаты:

- для обратимых систем доказан аналог теоремы Арнольда -Мозера об устойчивости положения равновесия автономной систомы с двумя степенями свобода в общем эллиптическом случае;

- полученный результат обобщен на многомерные и ноаптономныо обратимые оиотомы специального вида;

- проведено исследование устойчивости периодических систем при резонансах низких порядков, причем получено полное решение задачи устойчивости в первом нелинейном приближении;

- исследован частный случай задачи устойчивости при взаимодействии резонансов четвертого порядка. При этом найден новый тип растущих решений, наличие которых приводит к неустойчивости;

- проведено исследование динамики системы жестких стержней типа многозвенного маятника с упругими и следящими силами. В частности, для двузвенной системы в пространстве параметров построена область устойчивости по Ляпунову;

- рассмотрена задача об устойчивости прямолинейных качений твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости. Найдены условия, при которых уравнения движения являются обратимыми в окрестности качения;

- проведено исследование устойчивости активного искусственного спутника Земли (ИСЗ). Для неисследованного ранее случая регулярной прецессии построена область устойчивости в первом приб-лижошти и пыяплоиы иоуотойчииыо розопшгоиыо режимы дпижоиил.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических мотодов. Полученные результаты хорошо согласуются с известными из работ других авторов.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть применены для решения ряда задач динамики, в первую очередь: 1) Исследования устойчивости систем с неконсервативными позиционными силами (в частности, с реактивной тягой). Такими системами могут быть, например, космические аппараты и отдельные элементы их конструкции; 2) изучения динамики качения. Другим возможным приложением является исследование стационарных режимов точения жидкости или газа (после сведения системы к конечномерной методом инерциального (центрального) многообразия.

Апробация работы. Материалы диссертации были доложены на:

- VI Четаевской конференции (Казань, февраль 1992);

- семинарах кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ, руководимых акад. В.В.Румянцевым, проф. В.В.Козловым, проф.В.Г.Деминым;

- семинаре кафедры теоретической механики МАИ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в. работах [1-7].

Структура и оОъем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы (65 наименований). Ее общий объем 131 страница, из которых 10 занимают рисунки.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор известных результатов, относящихся к теме диссертации. Обоснована актуальность темы, введены определения и понятия, необходимые в дальнейшем. Дано краткое изложение содержания работы и описание основных результатов.

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

х = F(x,t) , (1)

заданная в n-мерном евклидовом пространстве или на гладком многообразии. Считается, что правые части периодичны по t (или не зависят от t вовсе).

Определения. Систомя (1) мппнппотоя оПр.чтимоП, пили существует диффеоморфизм Л фазового пространства, являющийся инволюцией (т.е. й2 = id - тождественному преобразованию), такой, что система (1) инвариантна относительно замены х * Fx, t -» -t .'Диффеоморфизм R принято называть обращающей инволюцией (reversing involution).

Пусть система (1) автономна. Тогда в окрестности особой точки или цикла, симметричных относительно инволюции Д, ее можно записать в виде

F(t.u.v) , V= G(t,u,v) ; F(t,0,0) = 0 , G(t,0,0) = 0 , F(-t.-u.v) e F(t,H,uJ , G(-t,-u,v) s ~G(t,u,v) . (2)

Функции F, G будем считать аналитическими по и , v в некоторой комплексной окрестности начала координат, а также непрерывными и 2тс-периодическими по t (либо, если рассматривается окрестность особой точки, вообще от t не зависящими). В локальных координатах и, v (dim и = р, dim v - q, p+q=n) инволюция принимает вид: R: (и,v) (~u,v). Ставится задача: исследовать положение равновесия системы (2) в нуле на предмет устойчивости по Ляпунову. Устойчивость возможна лишь при q > р, причем имеет место критический случай р пар чисто мнимых и (q-p) нулевых корней (характеристических показателей). ).

i

В главе I получены достаточные условия устойчивости по ? Ляпунову начала координат в системе (2). В §1 обсуждается общий подход к доказательству устойчивости. Отмечается, что, несмотря на весьма широкую аналогию с гамильтоновыми системами, теоремы Лагранжа - Дирихле и Арнольда - Мозэра не могут быть перенесены на обратимую систему (2) по причине отсутствия первого интеграла. Изложен общий подход к доказательству теорем типа теоремы Арнольда - Мозера для обратимых систем. Он заключается в том, что вместо отдельных колмогоровских торов, не разделяющих фазовое пространство даже при р = q = 2 в автономной системе, предлагается рассматривать однопараметричэские аналитические семейства таких торов, примыкающие к циклам и (при q>p) особым точкам.

В §2 проведен предварительный нестрогий анализ, показывающий, что при выполнении некоторых вполне конструктивных условий на коэффициенты членов низких порядков нормальной формы устойчивость должна иметь мосто при д>р=2. Она обесточивается существованием инвариантных многообразий, состоящих из двумерных колмогоровских торов, циклов Ляпунова - Девани и (при <рр) особых точек. Эти многообразия (при выполнении некоторых условий) имеют топологию (п-1 .Ьмерных сфер и отделяют инвариантные окрестности начала координат. Существование таких многообразий у укороченной системы показывается элементарно. Однако строгое доказательство их сохранения в полной системе представляет некоторые сложности. Переход к полярным координатам позволяет несколько упростить задачу, превращая (фиктивно) циклы и особые точки в двумерные торы. Проблема заключается, во-первых, в потере аналитичности при переходе к полярным координатам, и, во-вторых, в доказательстве сохранения полученного семейства двумерных торов как единого целого.

Приведенные в §3 вспомогательные леммы создают основу для преодоления втих трудностей. Порппя ломма (оонопошшя нп технике А.Д.Брюно) позволяет осуществить (при выполнении некоторых условий нерезонансности) переход к полярным координатам без потери аналитичности. Лемма 2 представляет собой модификацию теоремы Ю.Н.Бибикова о сохранении квазипориодичоских рошоний. Модификация заключается в продолжении построенного тора по параметру, л рлпультпто 40ГО ДОКПГШППОТОЯ ООХрПИОИИО ПОЛО!'« оомоп-ства торов. Доказательство леммы методом Ньютона - Колмогорова

довольно громоздко и вынесено в приложение.

В §4 доказана основная ломма о сохранении колмогоропских семейств двумерных торов. Доказательство основано на лемме 2 продидущого параграфа.

§5 содержит формулировки двух теорем об устойчивости в автономной системе (2). Первая теорема касается системы с р=д=2, являясь, таким образом, обратимым аналогом теоремы Арнольда -Мозера. Следует отметить, что здесь основное неравенство в условиях устойчивости имеет вид ">" вместо V". Поэтому устойчивость гарантируется лишь в "половине" случаев.

Вторая теорема дает условия устойчивости для системы с д>р=2. При этом наиболее жестким требованием является обращение в ноль (q-p) коэффициентов нормальной формы. Однако, благодаря наличию Г д-р)-параме триче ского семейства особых точек, выполнение условий устойчивости в одной из них является все-таки типичной ситуацией. Справедливость обеих теорем непосредственно следует из лемм §§3,4.'

В §6 лемма из §4 применена для доказательства устойчивости п нопптоиомной сиотомо. Ропульчлтом япляптоя пиплог тооромч 2 из §5, но здесь уже' р=1, д>р (случай рассмотрен Ю.Н.Би-

биковым).

В §7 обсуждается возможность ослабления полученных условий устойчивости. Показано, что даже в случае автономной системы с двумя степенями свободы существенное ослабление условий теоремы 5С иошзамалпю иа-ап наличия дифруаии и римких одной розонгшоиой зоны.

Глава 2 посвящена исследованию влияния на устойчивость неавтономной обратимой системы (2) резонансов низких порядков. Пусть система имеет m=q-p нулевых и р пар чисто мнимых характеристических показателей. Тогда условие резонансности имеет вид

<к,К> = V , к € гР (3)

(здесь к = (ку...,кр) е нР , X = (К^,...,^) - мнимые части ненулевых характеристических показателей, <•,•> - скалярное произведение, число | к | = | кр] называется

порядком резонанса, V е г для периодической системы и V = О для автономной). Известно, что при | к | > 5 имеет место устойчивость в смысле большинства начальных условий. Случай

| к | < 5 был рассмотрен В.Н.Тхаем и П.С.Красильниковым для

\

автономной системы; при этом было показано, что задача устойчивости имеет полное решение в первом нелинейном приближении. В главе 2 подобный анализ проводится для систем, периодических по времени { . §1 содержит некоторые предварительные замечания, из которых, в частности, следует, что в случае многочастотных резонансов (т.е. когда как минимум две компоненты вектора к не равны нулю) ситуация оказывается аналогичной той, что имеет место в автономных системах. Случай одаочастотных резонансов, не имеющий аналога в автономных системах, является предметом рассмотрения в двух последующих параграфах. В §2 рассмотрен случай системы с одной степенью свободы (р=q=1). Получено полное решение задачи об устойчивости в первом нелинейном прибли-

жонии; при этом система с одной степенью свобода или неустойчива, или устойчива в любом конечном порядке.

В 53 рассмотрен случай многомерной системы. При резонансе третьего порядка имеет место (как правило) неустойчивость, что доказывается построением растущего решения типа инвариантного луча. При резонансэх второго и четвертого порядков также возможна неустойчивость, доказываемая аналогичным образом. Если же растущего решения такого типа нет, то при резонансе четвертого порядка модельная система обладает знакоопределенным интегралом. При резонансе второго порядка такой интеграл построить не удается. Поэтому здесь для доказательства устойчивости модельной системы был применен иной подход, заключающийся в доказательстве ограниченности множества всех траекторий модельной системы, начинающихся на некоторой сфере с центром в начале ко-

ч

ординат. В силу однородности мпдплытй мттпмы, отошло олодуот оо устойчивость по Ляпунову.

В главе 3 также рассматривается проблема влияния резонан-сов на устойчивость. Здесь исследуется случай, когда выполнено сразу два резонансных соотношения типа (3), причем соответствующие целочисленные векторы к не содержат общих ненулевых компонент. В §1 приводятся некоторые предварительные соображения, §2 посвящен построению достаточных условий устойчивости и неустойчивости модельной системы. При этом устойчивость доказывается построением знакоопределенного интеграла, а неустойчивость - построением растущего решения типа луча. Для этого делается переход к полярным координатам, в которых отделяется подсис-

тема для полярных радиусов и двух резонансных углов 0;,е2 , меняющихся медленнее других угловых величин. Соответственно растущими лучами называются решения, на которых 8;остаются постоянными.

Особенностью рассматриваемой задачи является то, что указанными случаями не исчерпывается все. многообразие ситуаций общего положения. Так, в §3 показано, что существуют области в пространстве параметров, в которых модельная система неустойчива, а углы е},е2 меняются со временем монотонно.

Сдшш А посвящена рассмотрению конкретных задач механики, в которых учет обратимости позволяет получить новые результаты. Вообще говоря, обратимо большинство уравнений механики (классической и небесной). Однако, как правило, такие механические системы не только обратимы, но и гамильтоновы. Поскольку большинство известных на сегодня свойств обратимых систем являются аналогами соответствующих свойств гамильтоновых систем, использование менее разработанного аппарата анализа обратимых систем в таких задачах неэффективно. Однако существуют два класса механических систем, в которых обратимость позволяет получать качественно новые результаты. Таковы системы с неконсервативными позиционными силами и неголономные системы. Все рассмотренные в главе 4 системы принадлежат одному из этих классов.

В § 1 рассматривается система жестких стержней, соединенных шарнирами и спиральными пружинами, представляющая собой, фактически, многозвенный маятник, к последнему звену которого приложена следящая сила. Систему можно рассматривать как прими-

тивиую модель упругого сторжня под действием следящей силы или часть раскрывающейся конструкции космического аппарата.

Такая система является обратимой, не являясь гамильтоно-вой. Исслодуется устойчивость прямолинейной конфигурации систо-мы звеньев. Строится область устойчивости в норвом приближении; внутри ипо рассматриваются розонпнснно режимы дгшшия, ири-иоднщио и рндо олучиоо к неустойчивости. Дли мроотойшой системы с двумя степенями свобода построена область устойчивости по Ляпунову.

Пример неголономной системы приведен в § 2. Здесь рассматривается задача об устойчивости прямолинейных качений тяжелого твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости. Показано, что при выполнении некоторых условий на форму и геометрию масс тела, задача сводится к исследованию устойчивости положения

ч

равновесия обратимой системы третьего порядка с периодическими по t правыми частями. Таким образом, имеет место ситуация теоремы 3 гл.1. Более того, для однородного эллипсоида наиболее жесткое условие теоремы оказывается выполненным априори.

И, наконец, в § 3 исследуется проблема устойчивости движения искусственного спутника Земли по круговой некеплеровой орбите. Некеплеровость орбиты достигается с помощью тяги реактивного двигателя, жестко связанного с корпусом аппарата. Наличие вектора тяги приводит к негамильтоновости системы. Для случая т.н. регулярной прецессии спутника построена область устойчивости в первом приближении; внутри нее выявлены некоторые розонопспыо ротами, приводящие) к неустойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Куницын А.Л.,Матвеев М.В. Об устойчивости одного класса обратимых, систем // Прикл.матем.мех.. 1991. Т.55. Вып.6.

2. Матвеев М.В.,Тхай В.Н. Об устойчивости обратимых систем при нескольких резонансах. В сб.:Мат.моделирование нестационарных процессов... М.:Моск.ин-т приборостроения, 1992. С.37-42.

3. Куницын А.Л.,Матвеев М.В.,Туякбаев A.A. Устойчивость обратимых систем при многократном резонансе 4-го порядка. В сб. тезисов докладов международного семинара: "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". М.:Ин-т проблем управления РАН, 1992. С.38.

4. Матвоов M.D.,Тхой В.Н. Устойчивость пориодичоских обратимых систем//11рща.матем.и мех. 1993. Т.57. Вып.1. С.3-11.

5. Куницын А.Л.,Матвеев М.В.Дуякбаев A.A. Об устойчивости рб-рагидах систем при наличии резонансов 4-го порядка. В сб. тезисов1 докладов 6-ой Четаевской конференции, секц. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Казань: Казанск. авиац. ин-т, 1992. С.17-18.

6. Матвеев М.В. Устойчивость обратимых систем с двумя степенями свободы. М.:19Э4. Деп.в ВИНИТИ, » 1226-В94.

7. Матвеев М.В. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия обратимых систем // Мат. заметки. 1995. Т.57. Вып.1.