Устойчивость обратимых квазиавтономных периодических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИМ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ ииени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

на правах рукописи УДК 531.36

МУРАТОВ АОлакии СатОаевич

I

УСТОЙЧИВОСТЬ ОБРАТИМЫХ КВАЗИАВТОНОМНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность: 01.02.01 "Теоретическая ыеханика"

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва Издательство МАИ 1993

Работа выполнена в московском ордена Ленина и ордена октяорьской Революции авиационном институте имени Сеpro Орджоникидзе

Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор А.л.луниццн Научный консультант - к.ф.-м.н., профессор Л.Т.Ташимов

Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., профессор с.Г.журавлев

-к.ф.-м.н., в.С.Сергеев Ведущая организация: Государственный астрономический

институт имени п.к.штерноерга

Защита состоится _ 1993 г. на заседании

специализированного совета д 053.18.02 в московском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции авиационном институте имени Сорго Орджоникидзе.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке май.

Просьба принять участие в обсуждении диссертации или прислать свой отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью.

Адрес института: I2587I, Москва, ГШ, Волоколамское шоссе,4. Предварительный заказ пропусков по телефону: 158-44-66.

Автореферат разослан " Qi-kJ? Я 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

о

кандидат физ.-мат.наук, доцент Л.Ф.Лооанова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие аналитической динамики, теории нелинейных колебаний, теории автоматического регулирования и оптимального управления и некоторых других новых направления в науке и технике существенно расширили круг задач, которые приводят к необходимости исследования устойчивости периодического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях, т.е. когда вопрос об устойчивости не | решается первым приближением.

Среди них особый интерес для приложении представляют системы с малым параметром, при обращении которого в нуль они превращаются в автономные, обратимые. Последнее свойство предполагает наличие некоторого линейного автоморфизма, который часто проявляется у механических систем при отсутствии диссипативных сил. Неустойчивость таких систем возникает, как правило, лишь при внутреннем резонансе, требующем проведения нелинейного анализа. При решении этой задачи важно выяснить роль малого параметра, подобно тому, как это было установлено для параметрического резонанса.

В приложениях подобные ситуации возникают для периодических решений, рождающихся из положения равновесия соответствующей автономной системы. Здесь весьма эффективным оказывается метод ма-

I

лого параметра Пуанкаре. При этом для обратимых систем в первом приближении всегда возникает некоторый критический случай, часто сопровождающийся наличием нулевого корпя, что существенно затрудняет исследование.

Целью работы является: Г) исследование задачи устойчивости обратимых квазиавтономных периодических систем с малым параме-

тром.в критическом случае одного нулевого и N пар чисто мнимых характеристических показателей - 1 з = 1,...,N ) при наличии внутренних резонансов 3-го и 4-го порядков и при целых значениях Хдш/х ( и - период системы ), а именно, в получении необходимых и достаточных условий устойчивости и установлении влияния на устойчивость малых периодических членов; 2) применение полученных результатов к исследованию устойчивости поступательно-вращательного периодического движения геостационарного искусственного спутника Земли (ИСЗ) с малой тягой.

Методы исследования. В основу исследования положены: второй ^ метод А.М.Ляпунова, метод малого параметра Пуанкаре, метод преобразования исходной системы уравнений возмущенного движения к нормальной форме.

Научная новизна работы состоит в том,что в ней I) показано, что характеристические показатели, отыскиваемые в виде ряда по целым степеням малого параметра, при отсутствии параметрического резонанса не получают поправок в первом приближении по малому параметру.

2) Выявлены особенности нормальных форм при резонансах 3-го и 4-го порядков в обратимых квазиавтономных периодических системах в критическом случае одного нулевого и N пар чисто мнимых характеристических показателях. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и установлено влияние на устойчивость ) малых периодических членов.

3) Показано, что при резонансе 3-го порядка и в случае четного значения отношения неустойчивость вызывается исключительно периодическими членами, пропорциональными малому параметру.

4) Установлены те случаи резонанса 4-го порядка, когда при достаточно малых значениях малого параметра, задача об устойчивости периодической системы сводится к задаче оо устойчивости для соответствующей автономной системы.

5) Решена задача об устойчивости поступательно - вращательного периодического движения геостационарного искусственного спутника Земли (ИСЗ), способного зависать над люоой точкой земной поверхности вследствие сообщения ему постоянного по модулю малого реактивного ускорения У/. Показано, что в малой окрестности устойчивых стационарных движений, представляющих относительное равновесие МСЗ в равномерно вращающейся вместе с землей системе координат, существуют устойчивые периодические движения с периодом близким периоду вращения Земли и с тем же множеством неустойчивых резонансных режимов.

Практическая ценность. Практическое применение полученных общих результатов по исследованию устойчивости обратимых квази-автономлых периодических систем с малым параметром могут оыть использованы при решении разноооразных задач из области небесной механики, нелинейных колебаний и других разделов теоретической и прикладной механики.

Апробация работы. Основные результаты, отражающие содержание диссертационной работы, докладывались и обсуждались на 6-ой Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Казань, 1992 г.); на семинаре по дифференциальным уравнением в казхти (Шымкент, 1992 г..руководитель- член-корреспондент АН республики Казахстан Г.Ш.Кальменов); на семинаре по небесной механике в глиш (1992 г. руководитель- профессор Е.П.Аксенов); на семинаре кафедры теоре-

тической механики май (1993 г., руководитель - профессор В.Г.Веретенников).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка цитированной литературы из 62 наименований. Объем работы - 95 стр. машинописного текста, в том числе 2 рис.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается постановка задачи об устойчивости решений обратимых квазиавтономных периодических систем в критических случаях, обосновывается ее актуальность и кратко описывается содержание работы. Здесь же дается краткий обзор раоот, посвященных вопросам устойчивости поступательно-вращательного геостационарного искусственного спутника Земли с малой тягой.

Первая глава носит вспомогательный характер. Рассматривается периодическая система, вида

а У

= = т,у,Е) (1)

<з г

правые части которой голоморфны по малому параметру е. система уравнений возмущенного движения, соответствующая и-периодичес-кому решению <р(г,е) системы (1), имеет вид

(IX

■ -1 "о

к=1 к=1

— = [ а0 + ^ ек х + Vх' + 2 £к ■

I

Проводится линейная нормализация системи (2).

В § I кратко изложены появившиеся в последнее время результаты по исследованию критического случая одного нулевого и N пар чисто мнимых характеристических показателей, необходимые в дальнейшем при решении прикладной задачи.

В § 2 доказана следующая Теорема. Пусть система (I) такова, что: I) является обратимой (или г-инвариантной); 2) при е=0 имеет место м <р0(-г) = 3) <р0(1;,е) - единственное и-периодическое решение, рождающееся из у0(1:). Тогда система (2) также обратима.

В качестве примера рассмотрено уравнение дкффинга.

В § 3 проводится линейная нормализация системы (2), когда матрица А0 имеет один нулевой и и пар чисто мнимых собственных значений. Посредством неособенного периодического преобразования переменных

х = (В0 + Е В1(X) + ...) г (3 )

линейная часть системы (2) приводится к виду

г = (л0 + е л, + ...) г ( 4 )

Показано, что приведение к диагональному виду линейной части системы (2) в первом приближении по Е проводится, как и для автономной системы ( при е=0 ), если исключить случай параметрического резонанса.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости периодического решения многомерной периодической системы с малым параметром, в предположении, что систсмэ является обратимой.

В § I проведен анализ структуры нормальной формы, как известно, ее структура зависит от наличия или отсутствия резонансных соотношении вида

2 %1 ,

<р, * л> = --(г = _1, ч = 0,±1,±2,... ( 5 )

ш

||Р|| = р1 + ...+ рк = к » з, р3 ? о ,

где ¿л = (¿х1,... - вектор характеристических показателей, Р - вектор с целочисленными компонентами.

В § 2 рассматриваются случаи внутренних резонансов 3-го и 4-го порядков, когда система может оыть неустойчивой и когда

требуется проводить нелинейный анализ.

Формулируется следующая

Теорема. Пусть в системе (2) имеет место внутренний резонанс ^5) 3-го и 4-го порядков при ч=0. Тогда при решении задачи устойчивости при достаточно малом е вместо исходной периодической системы можно рассматривать соответствующую автономную систему, получаемую из (2) при е = 0. В случае д^О устойчивость тривиального решения системы (2) при резонансе 3-го порядка определяется исключительно периодическими членами, каким оы малым ни было при резонансе 4-го порядка и устойчивость три-

виального решения системы (2) сохраняется и при учете нелинейных членов до 3-го порядка включительно.

В § 3 для обратимых ш-периодических систем с малым параметром, показано, что если отношение л3и/х - есть четное число, то Еопрос об устойчивости решается членами, содержащими малый параметр, т.е. при сколь угодно малом значении параметра с, может возникнуть неустойчивость. При \ и/х - нечетном при достаточно малых значениях е система растущих решений не имеет и вопрос об устойчивости остается открытым.

Последняя третья глава посвящена исследованию устойчивости

а

периодических движений геостационарного искусственного*спутника Земли на произвольной широте с малой реактивной тягой, которое является развитием результатов шце м., куницына А.Л., Шибанова A.C., Медведева C.B. и Матвеева м.В. полученных для круговой орбита.

В i I дается постановка задачи и вывод уравнений поступа-тупательно-вращательного движения спутника.

В § 2 согласно теореме Пуанкаре, получены необходимые и достаточные условия существования 2*-дариодаческого, аналитические по эксцентриситету е решения, представимого в виде

z(v) = у* + е u(v) + ... ( 6 )

з = (z1,...1 ), u = (U1..,un; * * *

где y = (y1,...,y ) - частное решение при e = О. Методом неопределенных коэффициентов с помощью ЭВМ найдены коэффициенты периодического решения (В;.

В i 3 проводится исследование устойчивости найденного периодического движения. Получены уравнения возмущенного движения для рассматриваемого периодического движения и показано, что оно является обратимым. С помощью ЭВМ показано, что область устойчивости рассматриваемого периодического движения в пространстве параметров В/А, С/А и у (А, В, С - моменты инерции ИСЗ, <р0 - широта его центра масс) при достаточно малых значениях е практически совпадает с областью устойчивости стационарного движения, полученной в работах А.Л.Куницына и С.В.Медведева, из доказательства обратимости системы также вытекает,что эта область, за исключением быть может резонансного множества параметров сис-

S

темы, будет и областью полной устойчивости по Биркгофу, т.е. устойчивости в любом конечном порядке.

В $ 4 исследованы вопросы об устойчивости и неустойчивости при резонансах 3-го порядка. Аналитически показано, что коэффициенты нормальной формы будут отличными от нуля только, в том случае, когда в (5) q = ±1. С помощью ЭВМ в области устойчивости по первому приближению, обнаружены резонансные соотношения, могущие вызывать неустойчивость.

Б заключении приведены основные результаты диссертационной | работы, освещенные в разделе реферата научной новизны работы.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТШЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Куншдан А.Л., Муратов A.C. Об устойчивости периодических движений квазиавтономных периодических систем: Деп. в Казншнти, 14.03.91, К 3329-Ка91.

2. Муратов A.C., Ташимов Л.Т. .устойчивость решений уравнений Дюффкнга. Шестая Всесоюзн. четаевск. конф. "Аналит. мех., устойч. и управл.движением", Казань: 1992 г.

3. Муратов A.C. Обратимость в системах с малым параметром: Деп. в КазНШШШ, 01.10.92, N 3857-Ка92.

4. Куницын А.Л., Муратов A.C. Об устойчивости одного класса квазиавтономных периодических систем при внутреннем резонансе. //Прикл.матем. имэхан., 1993, т.57, вып.2, с.31-39.