Исследование анизотропии и аномального скейлинга в сильно развитой турбулентности методами квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Исследование влияния слабых анизотропных возмущений на скейлинговый режим двумерной турбулентности

1.1 Векторная модель слабо анизотропной двумерной турбулентности

1.1.1 Квантово-полевая формулировка и УФ-расходимости.

1.1.2 РГ-функции и анализ устойчивости неподвижных точек.

1.2 Специфика двумерии и скалярная модель

1.2.1 Скалярный вариант уравнения

Навье-Стокса в двумерии

1.2.2 Ренормировка

1.2.3 Связь векторной и скалярной моделей.

2 Анализ составных операторов с канонической размерностью 8 в двумерном и бесконечномерном случаях

2.1 Аномальный скейлинг и составные операторы.

2.1.1 Ренормировка составных операторов.

2.2 Двумерный случай

2.2.1 Диаграммы.

2.2.2 Уравнения Швингера.

2.3 Бесконечномерный случай.

2.3.1 Ренормировка квадрата оператора диссипации

2.3.2 Старшие степени оператора диссипации.

2.4 Проблема обоснования аномального скейлинга в реальной турбулентности.

3 Обобщение модели Крейчнана турбулентной конвекции на случай векторного поля

3.1 Модель.

3.2 Квантово-полевая формулировка.

3.3 Ренормировка операторов.

3.3.1 Вторая структурная функция.

3.3.2 Старшие структурные функции.

3.4 Уравнение Дайсона, эффективная вязкость.

3.5 Метод нулевых мод.

3.5.1 Вывод уравнения на аномальные индексы

3.5.2 Свойства решений.

4 Аномальный скейлинг в модели переноса векторной пассивной примеси

4.1 Операторы с двумя полями.

4.2 Уравнения нулевых мод.

4.2.1 Изотропный сектор

4.2.2 Анизотропные сектора

4.2.3 Факторизация анизотропного уравнения.

4.2.4 Свойства решений.

4.3 Операторы с четырьмя полями.

В последние годы, в теории сильно развитой турбулентности, являющейся одной из старейших нерешенных задач классической физики, наметились значительные сдвиги. Стало ясно, что основные положения Колмогоровской теории, долгое время являвшейся фундаментом теоретических исследований в данной области, требуют корректировки.

Хорошо известно, что сильно развитая турбулентность имеет два характерных пространственных масштаба: интегральный L и дисси-пативный Id- Первый определяется геометрией течения и характеризует размер неоднородностей поля скорости, обусловленных граничными условиями и обеспечивающих накачку энергии в турбулентную систему. Второй характеризует микромасштаб турбулентности, на котором доминирующую роль начинает играть диссипация энергии за счет вязкости, и определяется средней скоростью диссипации энергии.

Таким образом, энергия поступает в систему на масштабах г > L (область накачки), а диссипирует на масштабах г < Id (область диссипации). В промежуточной области, получившей название инерционного интервала, имеет место перенос энергии по спектру от области накачки к области диссипации за счет нелинейности в уравненииях гидродинамики. Именно в этой области и возникает, собственно, явление турбулентности, а ширина инерционного интервала напрямую связана с числом Рейнольдса Ljlg = Re3/4. В основе Колмогоровской теории лежат два утверждения относительно статистических свойств пульсаций поля скорости, известные как первая и вторая гипотезы Колмогорова [1]:

Гипотеза 1. В области к 1/L одновременные функции распределения фурье-компонент пульсаций скорости зависят от полной мощности накачки W, но не зависят от «деталей ее устройства».

Гипотеза 2. В области к <С 1 /Id, распределение фурье-компонент пульсаций скорости не зависит также от коэффициента вязкости V.

В инерционном интервале, где выполнены условия обеих гипотез, одновременные корреляционные функции пульсаций скорости, согласно Колмогоровской теории, зависят только от мощности накачки (точнее, от потока энергии по спектру), что позволяет определить асимптотики корреляционных функций из соображений размерности. Отметим, что последние подразумевают локальную однородность и изотропность поля пульсаций в инерционном интервале.

Однако, в настоящее время существуют как достаточно надежные экспериментальные данные, так и весомые теоретические аргументы, показывающие, что зависимость корреляционных функций от интегрального масштаба не исчезает при сколь угодно широком инерционном интервале (см., например, [2, 3, 4]). Это явление получило название аномального скейлинга, а его последовательное теоретическое обоснование представляет в настоящее время одну из наиболее актуальных проблем теории турбулентности.

Другим существенным ограничением Колмогоровской теории является предположение о локальной изотропности сильно развитой турбулентности. Во-первых, оно не всегда выполняется (см., например, обсуждение эффекта магнитного динамо в [5]), а во-вторых, учет анизотропных вкладов важен для построения более реалистических моделей турбулентности, имеющих прикладное значение.

Хорошо известно [6], что классические стохастические модели, к числу которых относится и стохастическая теория турбулентности, допускают переформулировку в виде, формально соответствующем квантово-полевой модели с некоторым действием. Это позволяет применить к таким моделям мощные технические методы, разработанные в рамках формализма квантовой теории поля и создававшиеся первоначально для потребностей квантовой физики элементарных частиц. Одним из них является метод ренормализационной группы (РГ), нашедший широкое применение в теории сильно развитой турбулентности, и позволяющий вычислять асимптотики корреляционных функций непосредственно из статистической модели, не прибегая к априорным гипотезам, характерным для феноменологических теорий.

В рамках квантово-полевого формализма, вторая гипотеза Колмогорова является точным аналогом критического скейлинга (масштабная инвариантность инфракрасной (ИК) асимптотики функций Грина), а первая гипотеза — некоторым дополнительным утверждением о свойствах этой асимптотики. Соответственно, метод РГ оказывается исключительно эффективным инструментом при рассмотрении вопросов, связанных со второй гипотезой (вычисление критических индексов, исследование устойчивости скейлингового режима, исследование влияния анизотропных и др. возмущений на критический скейлинг). Вопросы, касающиеся первой гипотезы, в том числе проблема аномального скейлинга, требуют привлечения дополнительных методов (функциональные уравнения типа Швингера-Дайсона, ренормировка составных операторов и операторное разложение) для анализа ИК-сингулярностей функций Грина, использующих, в свою очередь, аппарат квантово-полевой РГ в качестве основы. Особенно полезным оказывается такой подход при анализе вкладов конкурирующих анизотропных структур, неразличимых по размерности.

Идея рассмотрения размерности пространства d как произвольного, непрерывно меняющегося параметра теории, первоначально возникшая в теории критического поведения, несмотря на существенно иную мотивацию, оказывается плодотворной и в теории турбулентности. В стохастических моделях турбулентности нет необходимости в размерной регуляризации (за исключением двумерного случая), поскольку логарифмичность теории может быть обеспечена сдвигом степенного показателя в корреляторе шума, однако аналитическая зависимость критических размерностей от размерности пространства часто содержит дополнительную информацию. Особенный интерес представляют предельные случаи d —> 2 и d —У оо.

Двумерный случай в теории турбулентности, как и в гидродинамике вообще, занимает исключительное положение. Строго говоря, понятие двумерной гидродинамики является некорректным, поскольку диссипация при d = 2 имеет существенно нелокальный характер, и областью определения уравнений гидродинамики является 2 < d < оо. Тем не менее, в теории турбулентности активно исследуются двумерные модели, основанные на формальном использовании уравнений гидродинамики в двумерном случае. Интерес к таким моделям связан прежде всего со значительным уменьшением числа степеней свободы, что делает их намного более доступными для численного моделирования, чем аналогичные трехмерные модели. С другой стороны, такие модели обладают ярко выраженными специфическими особенностями (например инверсный каскад переноса энергии), наблюдаемыми в ряде реальных квазидвумерных физических систем (волны на поверхности, атмосферные течения и т.п.).

Второй предельный случай d оо интересен прежде всего с точки зрения аномального скейлинга, так как одной из наиболее правдоподобных, на сегодняшний день, гипотез остается восстановление Колмогоровского скейлинга в обсуждаемом пределе. Соответственно, обратная размерность пространства 1 jd может рассматриваться как малый параметр для построения более адекватной теории возмущений.

Диссертационная работа посвящена изучению эффектов анизотропии и аномального скейлинга в статистических моделях сильно развитой турбулентности. Рассмотрены стохастическое уравнение Навье — Стокса (СНС) и обобщение модели турбулентной конвекции на случай векторного поля. При помощи методов квантово-полевой РГ и операторного разложения (ОР) исследуются скейлинговые режимы и асимптотики одновременных структурных функций вышеупомянутых моделей. Особое внимание уделено зависимости результатов от размерности пространства d, включая предельные случаи.

Ниже кратко поясняется структура работы, обзор состояния исследований по теме диссертации приводится в основном тексте.

В главе 1 исследовано влияние слабых анизотропных возмущений на скейлинговый режим сильно развитой двумерной турбулентности. Рассмотрен как чисто двумерный случай, так и случай d = 2 + е. Показано, что несмотря на различное число независимых тензорных структур, в обоих случаях изотропный скейлинг оказывается неустойчивым относительно слабых анизотропных возмущений и может реализоваться только как промежуточная асимптотика при Rec < Re < Reanis [34, 35, 36].

Глава 2 посвящена анализу составных операторов с канонической размерностью 8 (семейство квадрата оператора диссипации). Рассмотрены два предельных случая: d —> 2 и d 4 оо. В однопетле-вом приближении найден опасный (имеющий отрицательную критическую размерность) оператор при d —У 2. В бесконечномерном случае доказана мультипликативная ренормируемость всех степеней оператора диссипации с нулевой критической размерностью [37, 38]

В главе 3 рассмотрено обобщение известной модели турбулентной конвекции Крейчнана на случай векторного поля — А-модель. Для этой модели доказан аномальный скейлинг структурных функций, исследовано влияние нелокальности и анизотропии. В однопетлевом приближении найдены критические размерности операторов, дающих главный вклад в аномальные индексы всех структурных функций. Для структурной функции второго порядка найдены также поправочные индексы [40].

В главе 4 рассмотрен важный частный случай А-модели, получающийся при А = 0. Этот случай качественно отличается от общего и наиболее близок к реальной гидродинамике (уравнению Навье — Стокса). В частности, ренормировка составных операторов, дающих главный вклад в аномальные показатели структурных функций, происходит со смешиванием. В однопетлевом приближении получены аномальные размерности структурных функций второго и четвертого порядков, вычислены анизотропные поправочные индексы для второй структурной функции и показана иерархическая структура этих индексов [39, 41].

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Исследована устойчивость скейлингового режима сильно развитой двумерной турбулентности относительно влияния слабых анизотропных возмущений.

2. Показана эквивалентность скалярной и векторной моделей сильно развитой двумерной турбулентности со слабой анизотропией.

3. В однопетлевом приближении найден опасный составной оператор с канонической размерностью 8 в скалярной модели сильно развитой двумерной турбулентности.

4. В однопетлевом приближении доказана мультипликативная ре-нормируемость всех степеней оператора диссипации в пределе d —у оо с нулевыми критическими размерностями.

5. Рассмотрено обобщение модели Крейчнана турбулентной конвекции на случай векторного поля. Для этой модели доказан аномальный скейлинг структурных функций, исследовано влияние нелокальности и анизотропии, получены выражения для главных и поправочных индексов.

6. Доказан аномальный скейлинг в модели переноса векторной пассивной примеси. В первом порядке е-разложения вычислен аномальный индекс четвертой структурной функции.

7. В модели переноса векторной пассивной примеси найдены анизотропные поправочные индексы для второй структурной функции, показана иерархическая структура этих индексов.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора JI. Ц. Аджемяна, профессоров кафедры физики высоких энергий А. Н. Васильева и Н. В. Антонова, а также всех сотрудников кафедры статистической физики за всестороннюю помощь и поддержку при работе над диссертацией.

1. Монин А. С., Яглом A.M., Статистическая гидромеханика. СПб., (1996).

2. Borgas М. S. Phys. Fluids А, 4, 2055, (1992);

3. Meneveau С., Sreenivasan K.R. Phys. Rev. A, 41, 2246, (1990).

4. Kraichnan R. Phys.Fluids, 10, 1417, (1967); Kraichnan R. Phys. Fluids, 11, 945, (1968); Kraichnan R. Phys. Rev. Lett., 72, 1016, (1994).

5. Chertkov M., Falkovich G., Kolokolov I., Lebedev V. Phys. Rev. E, 52, 4924, (1995);

6. Chertkov M., Falkovich G. Phys. Rev. Lett, 76, 2706, (1996).

7. Adzhemyan L.Ts., Hnatich M., Horvath D., Stehlik M. Int. Journ. Mod. Phys В, 9, 3401, (1995).

8. Васильев A. H. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. Издательство ПИЯФ, СПб, (1998).

9. Rubinstein R., Barton J.M. Phys. Fluids, 30, 2987, (1987).

10. Ким Т. Л., Сердюков А. В. ТМФ, 105, 412, (1995).

11. Busa J., Hnatich М., Honkonen J., Horvath D. Phys. Rev. E, 55, 381, (1997).10 11 12 131418

12. Olla P. Int. Journ. Mod. Phys В, 8, 581, (1994).

13. Ronis D. Phys. Rev. A, 36, 3322, (1987).

14. Коллинз Дж., Перенормировка. M.: Мир, (1988).

15. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А. Н. УФЕ, 166, 1257, (1996).

16. Honkonen J., Nalimov M.Yu. Z. Phys. Я, 99, 297, (1996).

17. Honkonen J. Proc. Ill Int. Conference "Renormalization Group' 96". Dubna, 26-31 Aug. 1996., Дубна, (1997).

18. J. Honkonen Phys. Rev. E, 58, 4532, (1998).

19. Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J. Phys. Rev. A, 16, 732, (1977).

20. Васильев A. H., Вязовский М.И., Деркачев С.Э., Кивель H. A. ТИФ, 107, 27, (1996).

21. Antonia R. A., Satyaprakash B.R, Hussain A.K.M.F. J. Fluid Mech., 119, 55, (1982).

22. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasil'ev A.N. The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence. Amsterdam, (1999).

23. Gaw§dzki К., Kupiainen A. Phys. Rev. Lett., 75, 3834, (1995); Bernard D., Gaw§dzki K., Kupiainen A. Phys. Rev. E, 54, 2564, (1996).

24. Adzhemyan L.Ts, Antonov N. V., Vasil'ev A.N. Phys. Rev. E, 58, 1823, (1998); Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V. Phys. Rev. E, 58, 7381, (1998).

25. Аджемян Л.Ц., Антонов H.B., Васильев A.H. Журн. экспер. и теор. физики., 95, 1272, (1989).

26. Adzhemyan L.Ts, Vasil'ev A.N., Hnatich M. Teor. Math. Phys., 74, 115, (1988).

27. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Kim T.L. Teor. Math. Phys, 100, 1086, (1994).

28. Obuchov A.M. Izv. Akad. Nauk SSSR, Geogr. Geofiz13, 58, (1949).

29. Антонов H.B., Борисенок С. В., Гирина В. И. ТМФ, 106, 92, (1996).

30. A. Lanotte, A. Mazzino Phys. Rev. Е, 60, R3483, (1999).

31. Antonov N. V., Lanotte A. Mazzino A. Phys. Rev. E, 61, 6586, (2000).

32. Vergassola M. Phys. Rev. E, 53, R3021, (1996).

33. Prudnikov A. P., Brychkov Y. A., Marichev O.I., Integrals and Series. Gordon and Breach, New York (1986), Vols.l and 2.

34. Аджемян Л.Ц., Борисенок С.В., Гирина В.И. ТМФ, 105, 450, (1995).

35. Fournier J.-D., Frisch U., and Rose H. A. J. Phys. A: Math. Gen., 11, 187, (1978).34} Антонов H.B., Рунов А. В. ТМФ, 112, 417 , (1997).

36. Орлов М.Б., Рунов А. В. Вестник СПбГУ, сер. Физика, химия., 4, 120, (1997).

37. Рунов А. В. Тезисы докладов итогового семинара по физике и астрономии по результатам конкурсов грантов 1997 г. для молодых ученых Санкт-Петербурга, с. 25, Санкт-Петербург,1998).

38. Рунов А. В. Тезисы докладов итогового семинара по физике и астрономии по результатам конкурсов грантов 1998 г. для молодых ученых Санкт-Петербурга, с. 40, Санкт-Петербург,1999).

39. Runov А. V. Preprint SPbU-IP-99-08. СПбГУ, (1999); chao-dyn/9906026.

40. Аджемян Л. Ц., Рунов А. В. Вестник СПбГУ, сер. Физика, химия., 1, 85, (2001).

41. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Mazzino A., Muratore-Ginanneschi P., Runov A.V. Europhys. Lett., 55, 801, (2001).

42. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Runov A.V. Phys. Rev. E, 64, 046310, (2001).