Влияние крупномасштабных пульсаций скорости на статистику турбулентности в инерционном интервале тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Расчет спектров энергии развитой затухающей турбулентности с помощью схемы замыкания Гейзенберга

1.1. Введение.

1.2. Общий вид спектра энергии. Постановка задачи.

1.3. Зависимость от времени. Нормировочные соотношения.

1.4. Схема замыкания Гейзенберга.

1.5. Решение уравнения спектрального баланса в области диссипации.

1.6. Решение уравнения спектрального баланса в области энергии.

1.7. Нормированные одномерные спектры. Сравнение с экспериментом.

Глава 2. Диффузия скалярной примеси в сильно анизотропном турбулентном потоке

2.1. Введение

2.2. Формулировка модели. Аномальный скейлинг и "опасные" составные операторы.

2.3. Теоретико-полевая формулировка. Уравнения Дайсона-Уайльда

2.4. Ренормировка, РГ функции и РГ уравнения.

2.5. Решение РГ уравнений. Инвариантные переменные.

2.6. Ренормировка и критические размерности составных операторов

2.7. Операторное разложение и аномальный скейлинг.

2.8. Точное решение для структурной функции второго порядка и расчет ее амплитуды

3.2. Описание модели.93

3.3. Полевая формулировка. Операторное разложение.95

3.4. Базис для скалярных операторов вида {д^р)п.100

3.5. Критические размерности базисных операторов в однопетлевом приближении. Асимптотика структурных функций. . . . 102

3.6. Заключение.109

3.7. Приложение .110

Глава 4. Специфика аномального скейлинга векторной примеси в двух и трех измерениях 113

4.1. Введение . 113

4.2. Формулировка модели.114

4.3. Поведение структурных функций в инерционном интервале . 115

4.4. Двумерный случай.116

4.5. Трехмерный случай.117

4.6. Заключение.120

Заключение 122

Литература 125

Введение

Построение теории турбулентности — одна из наиболее старых, и до сих пор окончательно не решенных задач теоретической физики. В частности, развитая турбулентность, характеризующаяся большими значениями числа Рейнольдса Л, с трудом поддается теоретическому анализу, несмотря на усилия многих поколений ученых и разнообразие применяемых методов, которые варьируются от построения феноменологических и полуфеноменологических замыканий уравнений гидродинамики, до мощных теоретико-полевых методов, разработанных первоначально в рамках формализма квантовой теории поля для нужд физики элементарных частиц.

Значительный прогресс в понимании механизма, развитой турбулентности был достигнут в 40-х годах прошлого века и был связан с именами Колмогорова и Обухова [1-3]. Согласно теории Колмогорова-Обухова, развитая турбулентность имеет два характерных пространственных масштаба: интегральный Ь и диссипативный 77. Первый определяется геометрией течения и характеризует максимальный размер неоднородностей поля скорости в системе. Второй определяется масштабом турбулентности, на котором доминирующую роль начинает играть диссипация энергии за счет вязкости, и связан со средней скоростью диссипации энергии. Энергия поступает в систему в виде вихрей размером г > Ь (область накачки), а диссипирует на масштабах г < 77 (область диссипации). Отношение этих масштабов выражается через число Рейнольдса Ь(т\ — Л3/4. В промежуточной области Ь г г/, получившей название инерционного интервала, происходит перенос энергии по спектру размеров пульсаций скорости от области накачки к области диссипации за счет нелинейности в уравнениях гидродинамики.

В инерционном интервале теория Колмогорова-Обухова предсказывает независимость пульсаций скорости от интегрального и диссипа-тивного масштабов, что позволяет получить асимптотические выражения для корреляционных функций из соображений размерности. Именно получение универсальных спектров энергии (вторая корреляционная функция), которые прекрасно согласуются со всем многообразием экспериментальных данных в инерционном интервале, было большим успехом теории.

Хотя поведение турбулентности на крупных масштабах зависит от устройства системы, тем не менее, для геометрически подобных систем можно построить универсальное описание в этой области [4]. Примером такого класса систем служит затухающая турбулентность за решеткой. В Главе 1 исследуется уравнение спектрального баланса энергии развитой затухающей однородной изотропной турбулентности. Обобщается на крупномасштабную область схема замыкания Гейзенберга, дающая колмогоровский спектр энергии в инерционном интервале. Находится приближенное решение полученного уравнения во всем диапазоне масштабов. Вычисляется значение константы Колмогорова. Демонстрируется неплохое согласие соответствующего решению продольного одномерного спектра энергии с экспериментальными данными для затухающей турбулентности за решеткой.

Известны, однако, экспериментальные и теоретические свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний теории Колмогорова-Обухова. В частности, для одновременных структурных функций

5„(г) ЕЕ (Ы*, X + г) - х)П (0.1) турбулентных пульсаций скорости ср(1,х), где (рг = щт{!г — компонента с/э в направлении г, теория Колмогорова-Обухова позволяет найти в инерционном интервале выражение ¿'„(г) сх г'"/3 (колмогоровские показатели, колмогоровский скейлинг). Отклонения же феноменологически записываются в виде Бп(г) ос гп/3(г/Ь)~%г. Сингулярная зависимость структурных функций от Ь с некоторыми показателями 7„ > 0 обычно называется "аномальным скейлингом" и объясняется явлением "перемежаемости" — сильно развитыми флуктуациями скорости локальной диссипации [2, 3]. Аномальные показатели 7П невелики для малых п, но нелинейно растут с ростом п и достигают заметного значения при п — 18 [48]. В рамках теоретико-полевого подхода обобщением этих идей может считаться операторное разложение, согласно которому

5п(г)осг"/3^(г/Ь)дМр, (0.2) р где суммирование ведется по всевозможным скалярным галилеево-инвари-антным составным операторам ^ (локальным произведениям полей и их производных), Ар — критические размерности этих операторов [50, 51]. В набор ^ входят, в частности, и все степени оператора диссипации (дцрз + <Э^)2/2. Если бы для всех ^ выполнялось Ар > 0, члены суммы в (0.2) определяли бы в инерционном интервале поправки к колмогоровскому скейлингу. Если же в (0.2) присутствует хотя бы один оператор с Ар < 0 — "опасный оператор", предел г/Х —> 0 в (0.2) перестает существовать, что и приводит к аномальному скейлингу.

В последнее время проявляется значительный интерес к исследованию аномального скейлинга пассивной скалярной примеси в инерционном интервале. И натурные, и численные эксперименты показывают, что отклонения от классической теории Колмогорова-Обухова гораздо сильнее проявляются для скалярной примеси, нежели, собственно, для поля скорости; например, см. [10, 11] и имеющиеся там ссылки. В то же время, задача переноса скалярной примеси более проста для теоретического анализа.

Наиболее заметный прогресс в этой области был достигнут для, так называемой, модели Крейчнана [13] перемешивания пассивной примеси "синтетическим" полем скорости с гауссовой статистикой (см. ссылки в Главе 2). Уже такая сравнительно простая модель обнаруживает некоторые аномальные черты, свойственные реальной турбулентной конвекции. Тем самым, проблема турбулентной диффузии, важная сама по себе, может рассматриваться как отправная точка при изучении аномального скейлин-га в турбулентности в целом.

Еще один важный вопрос, изучаемый в последнее время, — влияние крупномасштабной анизотропии на статистические характеристики пассивно переносимых полей и, собственно, на поле скорости. Согласно классической теории Колмогорова-Обухова, анизотропия, привнесенная на крупных масштабах посредством силы (граничных условий, геометрии препятствий), исчезает при переносе энергии на меньшие масштабы, благодаря каскадному механизму [2, 3]. Недавние работы подтверждают эту картину для четных корреляционных функций. Тем не менее, анизотропия выживает в инерционном интервале и проявляется в нечетных корреляционных функциях, что не совпадает с ожиданиями, основанными на идеях каскада. Асимметрия Б^/Я^2 уменьшается при уменьшении масштабов гораздо медленнее, чем ожидалось, а безразмерные отношения более высоких нечетных порядков 52^+1/52+1у/2 (гиперасимметрия и т.д.) увеличиваются, демонстрируя устойчивую мелкомасштабную анизотропию. Это проявляется и для скалярного и для векторного полей, переносимых быстро меняющимся гауссовским полем скорости, а так же для скалярного поля, переносимого двумерным полем скорости, подчиняющимся уравнению Навье-Стокса, что говорит в пользу универсальности эффекта (см. ссылки в Главе 2).

В Главе 2 изучается обобщение модели Крейчнана турбулентной конвекции на сильно анизотропное поле скорости. Методами ренормгруппы и операторного разложения доказывается наличие аномального скейлинга в инерционном интервале, и в первом порядке г-разложения вычисляются соответствующие аномальные показатели для структурных функций произвольного порядка в произвольной размерности пространства с1.

Аномальные показатели структурных функций в пределе малой анизотропии можно связать с тензорными составными операторами, построенными из градиентов скалярного поля. При этом, они обладают иерархией, связанной со степенью анизотропии: чем меньше ранг оператора, тем больший вклад в асимптотику инерционного интервала ему соответствует. Ведущие вклады для четных и нечетных структурных функций даются, соответственно, скалярными и векторными операторами.

Одним из интересных качественных результатов анализа данной модели является следующий. Хотя при конечной анизотропии показатели нельзя связать с определенными операторами, вследствие "смешивания" операторов при ренормировке, упомянутая иерархия выживает во всех рассмотренных случаях. Эта иерархия может рассматриваться как подтверждение известной феноменологической гипотезы о локальной изотропизации турбулентности, полученное на основе микроскопической модели и в рамках контролируемого приближения.

Кроме того, обнаружено, что, при достаточно сильной анизотропии поля скорости, асимметрия структурных функций скалярной примеси может возрастать в инерционном интервале. Нечетные отношения старших порядков возрастают уже при малой анизотропии.

Детальное исследование структурной функции второго порядка методами ренормгруппы и анализа нулевых мод приводит к согласующимся результатам. Вычислены соответствующие показатели и амплитуды в рамках теорий возмущения по е, 1/(1 и параметрам анизотропии.

В связи с успехами, достигнутыми в модели Крейчнана, в настоящее время активный интерес вызывает исследование ее обобщений на случай примесного векторного поля. Наиболее обсуждаемые в литературе модели — модель Казанцева-Крейчнана переноса магнитного поля, линеаризованное уравнение Навье-Стокса, которое описывает перенос мелкомасштабных компонент скорости крупномасштабными с заданной статистикой, а так же, собственно, модель переноса пассивной векторной примеси.

Последнюю модель можно рассматривать как линеаризованное уравнение Навье-Стокса, в котором пренебрегается градиентом крупномасштабных компонент скорости. С точки зрения анализа аномального скейлинга с помощью операторного разложения (0.2), именно эта модель наиболее близка к уравнению Навье-Стокса. Дело в том, что именно в этом случае задача становится инвариантной относительно сдвига примесного поля на постоянный вектор, что является аналогом галилеевой инвариантности уравнений гидродинамики.

Как и в уравнении Навье-Стокса операторы, дающие главный вклад в операторное разложение, сильно смешиваются при ренормировке, что порождает значительные вычислительные трудности. Для получения аномальных показателей необходимо найти собственные числа матрицы критических размерностей, порядок которой равен количеству операторов в семействе. Так, семейство операторов для ¿ч включает 6 операторов при произвольном (I [59], и их количество быстро возрастает с ростом порядка структурной функции.

В Главе 3 рассмотрена модель переноса пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком. Установлено, что асимптотика структурных функций примеси в инерционном интервале определяется флуктуациями диссипации энергии. Показатели аномального скейлинга рассчитаны в однопетлевом приближении для структурных функций произвольного порядка, что стало возможным вследствие выбора базиса в котором матрица критических размерностей имеет треугольный вид.

В Главе 4 разработана методика для построения базисов семейств oneо раторов, определяющих главный вклад в операторное разложение структурных функций, основанная на выявлении дополнительных связей между операторами при уменьшении размерности пространства d. Появление дополнительных связей объясняется тем, что тензоры с одинаковым количеством значков в пространствах разной размерности имеют разное количество независимых компонент.

На основе этой методики построены операторные базисы для d — 2 и d = 3, что позволило в случае трех измерений в однопетлевом приближении рассчитать аномальные показатели структурных функций до восемнадцатого порядка включительно.

Основные результаты, полученные в данной работе, изложены в следующих публикациях:

1. Борисенок С.В., Новиков С.В. Расчет одномерных спектров энергии развитой затухающей турбулентности с помощью схемы замыкания Гейзенберга // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 1999. Вып. 3 (№18). С.3-11;

2. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Hnatich M., Novikov S.V. Anomalous scaling of a passive scalar in the presence of strong anisotropy // Phys. Rev. E, 2001, V.63, 016309. 25 pages;

3. Новиков С.В. Перенос пассивной векторной примеси турбулентным потоком // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2002. Вып. 4 (№25). С. 77-80 ; а также доложены на международной конференции The 4-th Small Triangle Meeting on Theoretical Physics (Snina, Slovakia, 2002r.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Л.Ц. Аджемяну, профессорам кафедры физики высоких энергий Н.В. Антонову и А.Н. Васильеву, а также всем сотрудникам кафедры статистической физики за всестороннюю помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Обобщена на крупномасштабную область предложенная Гейзенбер-гом схема замыкания уравнения спектрального баланса энергии развитой

-» О О Т Т и -К затухающей однородной изотропнои турбулентности. Найдено приближенное решение полученного уравнения во всем диапазоне масштабов.

2. Продемонстрировано, что соответствующий этому решению продольный одномерный спектр энергии неплохо описывает экспериментальный для затухающей турбулентности за решеткой. Для константы Колмогорова получено значение, хорошо согласующееся с известными экспериментальными данными.

3. Рассмотрено обобщение модели Крейчнана турбулентной конвекции на сильно анизотропное поле скорости. Доказано наличие аномального скейлинга структурных функций в инерционном интервале. Получены явные асимптотические выражения для структурных функций произвольного порядка. Соответствующие аномальные показатели вычисленные в одно-петлевом приближении для произвольной, размерности пространства, имеют явную зависимость от параметров анизотропии.

4. Продемонстрировано сохранение эффекта изотропизации статистических характеристик скалярной примеси при сильной анизотропии поля скорости. Иерархия, которой обладают аномальные показатели структурных функций при отсутствии анизотропии, связанная с рангами соответствующих тензорных составных операторов, сохраняется и при сильной анизотропии, несмотря на смешивание операторов при ренормировке.

5. Детально исследована структурная функция второго порядка скалярной примеси при сильной анизотропии поля скорости методами ренорм-группы и анализа нулевых мод. Показана согласованность обоих методов. Вычислены соответствующие показатели и амплитуды в рамках различных теорий возмущения.

6. Обнаружено, что при достаточно сильной анизотропии поля скорости асимметрия структурных функций скалярной примеси может возрастать в инерционном интервале. ,

7. Рассмотрена модель переноса пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком. Установлено, что асимптотика структурных функций примеси в инерционном интервале определяется флуктуациями диссипации энергии. Показатели аномального скейлинга рассчитаны в од-нопетлевом приближении для структурных функций произвольного порядка.

8. Разработана методика построения базисов семейств операторов, определяющих главный вклад в операторное разложение структурных функций векторной примеси, основанная на выявлении дополнительных связей между операторами при уменьшении размерности пространства с/. На ее основе построены операторные базисы для с1 = 2 и с1 = 3.

9. В модели переноса пассивной векторной примеси в случае трех измерений в однопетлевом приближении рассчитаны аномальные показатели структурных функций до восемнадцатого порядка включительно.

1. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР, 1941, Т.ЗО, с.299.

2. Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой оюидкости // ДАН СССР, 1941, Т.31 с.538.

3. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидродинамика. Том 2 // СПб., Гидрометеоиздат, 1996.

4. Frisch U., Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov // Cambridge University Press, 1995.

5. Фриш У. Турбулентность: наследие А.Н. Колмогорова // М., ФАЗИС, 1998.

6. George W.K. The decay of homogeneous isotropic turbulence // Phys. Fluids A, 1992, V.4, No.7, p.1492.

7. Аджемян Л.Ц., Богданов С.P., Сыщиков Ю.В. // Вестник ЛГУ, 1982, №10, с.76.

8. Борисенок С.В // Вестник СПбГУ, Сер.4, 1994, №11. с.70.

9. Аджемян Л.Ц., Борисенок С.В., Налимов М.Ю. Расчет спектров развитой затухающей турбулентности в энергосодержащей и инерционной областях // ТМФ, 1996, V.106, №.3 с.416.

10. Comte-Bellot G., Corrsin S. Simple Eulerian time correlation of Full and Narrow-Band Velocity Signals in Grid Generated, 'isotropic' turbulence U J. Fluid Mech., 1971, V.48, p.273.

11. Sreenivasan K.R., Tavoularis S., Henry R., Corrsin S. Temperature Fluctuations and Scales in Grid-generated Turbulence // J.Fluids Mech., 1980, V.100, Pt.3, p.597

12. Sreenivasan K.R., Antonia R.A. The phenomenology of small-scale turbulence // Annu. Rev. Fluid. Mech., 1997, V.29, p.435.

13. Holzer M., Siggia E.D. Turbulent mixing of a passive scalar // Phys. Fluids, 1994, V.6, p.1820.

14. Pumir A. A numerical study of the mixing of a passive scalar in three dimensions in the presence of a mean gradient // Phys. Fluids, 1994, V.6, p.2118.

15. Tong C., Warhaft Z. On passive scalar derivative statistics in grid turbulence // Phys. Fluids, 1994, V.6, p.2165.

16. Обухов A.M. // Изв. АН СССР, Сер. геофиз., 1949, T.13, c.58.

17. Kraichnan R.H. Small-scale structure of a scalar field convected by turbulence // Phys. Fluids, 1968, V.ll, p.945.

18. Kraichnan R.H. Convection of a passive scalar by a quasi-uniform random stretching field // J. Fluid Mech., 1974, V.64, p.737. Kraichnan R.H. Anomalous scaling of a randomly advected passive scalar // Phys. Rev. Lett., 1994, V.72, p.1016.

19. Kraichnan R.H. Passive Scalar: Scaling Exponents and Realizability // Phys. Rev. Lett., 1997, V.78, p.4922.

20. Chertkov M., Falkovich G., Kolokolov I., Lebedev V. Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive scalar // Phys. Rev. E, 1995, V.52, p.4924.

21. Chertkov M., Falkovich G. Anomalous Scaling Exponents of a White-Advected Passive Scalar // Phys. Rev. Lett., 1996, V.76, p.2706.

22. Gawgdzki K., Kupiainen A. Anomalous Scaling of the Passive Scalar // Phys. Rev. Lett., 1995, V.75, p.3834.

23. Bernard D., Gaw§dzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling in the N-point functions of a passive scalar // Phys. Rev. E, 1996, V.54, p.2564.

24. Pumir A. Structure of the three-point correlation function of a passive scalar in the presence of a mean gradient // Phys. Rev. E, 1998, V.57, p.2914.

25. Shraiman B.I., Siggia E.D. Symmetry and Scaling of Turbulent Mixing // Phys. Rev. Lett., 1996, V.77, p.2463.

26. Pumir A., Shraiman B.I., Siggia E.D. Perturbation theory for the delta-correlated model of passive scalar advection near the Batchelor limit 11 Phys. Rev. E, 1997, V.55, p.R1263.

27. Eyink G. Intermittency and anomalous scaling of passive scalars in any space dimension jf Phys. Rev. E, 1996, V.54, p.1497.

28. Aclzhemyan L.Ts., Anlonov N.V., Vasil'ev A.N. RenorrnalizaLion group, operator product expansion, arid anomalous scaling in a model of advected passive scalar // Phys. Rev. E, 1998, V.58, p.1823.

29. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V. Renormalization group and anomalous scaling in a simple model of passive scalar advection in compressible flow 11 Phys. Rev. E, 1998, V.58, p.7381.

30. Wiese K.J. The passive polymer problem // J. Stat. Phys., 2000, V.101, p.843.

31. Celani A., Lanotte A., Mazzino A., Vergassola M. Universality and Saturation of Intermittency in Passive Scalar Turbulence // Phys. Rev. Lett., 2000, V.84, p.2385.

32. Lanotte A., Mazzino A. Anisotropic nonperturbative zero modes for passively advected magnetic fields // Phys. Rev. E, 1999, V.60, p.R3483.

33. Antonov N.V., Lanotte A., Mazzino A. Persistence of small-scale anisotropies and anomalous scaling in a model of magnetohydrodynamics turbulence // Phys. Rev. E, 2000, V.61, p.6586.

34. Arad I., L'vov V., Podivilov E., Procaccia I. Anomalous Scaling in the Anisotropic Sectors of the Kriachnan Model of Passive Scalar Advection // Phys. Rev. E, 2000, V.62, p.4904.

35. Arad I., Biferale L., Procaccia I. Nonperturbative Spectrum of Anomalous Scaling Exponents in the Anisotropic Sectors of Passively Advected Magnetic Fields // Phys.Rev.E, 2000, V.61, p.2654.

36. Arad I., Dhruva В., Kurien S., L'vov V.S., Procaccia I., Sreenivasan K.R. Extraction of Anisotropic Contributions in Turbulent Flows // Phys. Rev. Lett., 1998, V.81, p.5330.

37. Arad I., Biferale L., Mazzitelli I., Procaccia I. Disentangling Scaling Properties in Anisotropic and Inhomogeneous Turbulence // Phys. Rev. Lett., 1999, V.82, p.5040.

38. Kurien S., L'vov V.S., Procaccia I., Sreenivasan K.R. The Scaling Structure of the Velocity Statistics in Atmospheric Boundary Layer // Phys. Rev. E, 2000, V.61, p.407.

39. Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena // Clarendon, Oxford, 1989.

40. Васильев A.H. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике // СПб, Издательство ПИЯФ, 1998.

41. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasil'ev A.N. // Zh. Éksp. Teor. Fiz., 1989, V.95, p.1272 Sov. Phys. JETP, 1989, V.68, p.733.

42. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квнтово-полевая ренор-мализационная группа в теории развитой турбулентности // УФН, 1996, Т.166, №12, с.1257.

43. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasiliev A.N. The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence // Gordon & Breach, London, 1999.

44. Duplantier В., Ludwig A. Multifractals, operator-product expansion, and field theory // Phys. Rev. Lett., 1991, V.66, p.247.

45. Eyink G.L. Lagrangian field theory, multifractal, and universal scaling in turbulence // Phys. Lett. A, 1993, V.172, p.355.

46. Polyakov A.M. Turbulence without pressure // Phys. Rev. E, 1995, V.52, p.6183.

47. Lässig M. On growth, disorder, and field theory // J. Phys. C, 1998, V.10, p.9905.1.ssig M. Dynamical Anomalies and Intermittency in Burgers Turbulence // Phys. Rev. Lett., 2000, V.84, p.2618.

48. Rubinstein R., Barton J.M. Infrared properties of an anisotropically stirred fluid // Phys. Fluids, 1987, V.30, p.2987.

49. Carati D., Brenig L. Renormalization-group method for anisotropic turbulent transport // Phys. Rev. A, 1989, V.40, p.5193.

50. Adzhemyan L.Ts., Hnatich M., Horvath D., Stehlik M. // Int. J. Mod. Phys. B, 1995, V.9, p.3401.

51. Ким Т.Л., Сердюков А.В. Квантово-полевая ренормгруппа в теории развитой турбулентности: учет анизотропии и пассивной примеси // ТМФ, 1995, Т.105, №.3, с.412.

52. Busa J., Hnatich М., Honkonen J., Horvath D. Stability of Kolmogorov scaling in anisotropically forced turbulence // Phys. Rev. E, 1997, V.55, p.381.

53. Fournier J.D., Frisch U. Remarks on the renormalization group in statistical fluid dynamics // Phys. Rev. A, 1983, V.19, p.1000.

54. Антонов H.B., Васильев A.H. Ренормализационная группа в теории развитой турбулентности. Проблема обоснования гипотез Колмогорова для составных операторов // ТМФ, 1997, Т. 110, №1, с. 122.

55. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений // М., Наука, 1971.

56. Аджемян Л.Ц., Борисенок С.В., Гирина В.И. Методы ренормгруппы и операторного разложения в теории развитой турбулентности: асимптотика тройной одновременной корреляционной функции // ТМФ, 1995, Т.105, №3, с.450.

57. Sreenivasan K.R., Dhruva В., San Gil I. The effects of large scales on the inertial range in high-Reynolds-number turbulence // chao-dyn/9906041.

58. Anselmet F., Gagne Y., Hopfinger E.J., Antonia R.A. High-order velocity structure functions in turbulent shear flows // J. Fluid Mech., 1984, V.140, p.63.

59. Borgas M.S. A comparison of intermittency models in turbulence // Phys. Fluids A, 1992, V.4, No.9, p.2055.

60. Adzhemyan L.Ts., Anlonov N.V., Vasil'cv A.N. Renormalization group, operator product expansion, and anomalous scaling in a model of advected passive scalar // Phys. Rev. E, 1998, V.58, p. 1823.

61. Аджемян Л.Ц., Антонов H.B., Васильев A.H. Ренормгруппа, операторное разложение и аномальный скейлинг в простой модели турбулентной диффузии // ТМФ, 1999, Т.120, №2, с.309.

62. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Письмак Ю.М. // ТМФ, 1983, Т.57, с.268.

63. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М. // ТМФ, 1988, Т.74, с.180.

64. Антонов Н.В., Борисенок С.В., Гирина В.И. Ренормализационная группа в теории развитой турбулентности. Составные операторы канонической размерности восемь // ТМФ, 1996, Т.106, №1, с.92.

65. Bernard D., Gaw§dzki К., Kupiainen A. Anomalous scaling in the N-point functions of a passive scalar // Phys. Rev. E, 1996, V.54, p.2564.

66. Antonov N.V. Anomalous scaling regimes of a passive scalar advected by the synthetic velocity field // Phys. Rev. E, 1999, V.60, p.6691.

67. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Hnatich M., Novikov S.V. Anomalous scaling of a passive scalar in the presence of strong anisotropy // Phys. Rev. E, 2001, V.63, 016309.

68. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Runov A.V. Anomalous scaling, nonlocality, and anisotropy in a model of the passively advected vector field // Phys. Rev. E, 2001, V.64, 046310.

69. Arad I., Procaccia I. Spectrum of anisotropic exponents in hydrodynamic systems with pressure // Phys. Rev. E, 2001, V.63, 056302.

70. Yoshida K., Kaneda Y. Anomalous scaling of anisotropy of second-order moments in a model of a randomly advected solenoidal vector field 11 Phys. Rev. E, 2000, V.63, 016308.

71. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Mazzino A., Muratore Ginanneschi P., Runov A.V. Pressure and intermittency in passive vector turbulence // Europhys. Lett., 2001, V.55, p.801.

72. А.П. Казанцев // ЖЭТФ, 1967, T.53, c.1806.

73. Vergassola M. Anomalous scaling for passively advected magnetic fields U Phys. Rev. E, 1996, V.53, p.R3021.гос:у'