Каскадные модели спиральной турбулентности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Шестаков Александр Владимирович КАСКАДНЫЕ МОДЕЛИ СПИРАЛЬНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

11 НОЯ 2014

Пермь - 2014

005555949

005555949

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Фрик Петр Готлобович,

доктор физико-математических наук,

профессор, заведующий лабораторией

Решетняк Максим Юрьевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта

Соколов Дмитрий Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики физического факультета Московского государственого университета им. М.В. Ломоносова

ФГБОУ ВПО "Пермский государственный национальный исследовательский университет"

Защита состоится 2014г. в ч. ОО мин. на за-

седании диссертационного совета Д 004.012.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королёва 1; тел: (342) 2378461, факс: (342) 2378487; сайт: http://www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМСС УрО РАН. Электронная версия текста диссертации и автореферата доступны на сайте ИМСС УрО РАН по адресу http://www.icmm.ru

Автореферат разослан "<?Р" кО&^ьЕ- 2014.

Учёный секретарь Диссертационного совета/^ доктор технических наук

Березин И. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Актуальность исследования турбулентных течений обоснована их широким распространением в природе и технических устройствах. В исследованиях развитой турбулентности можно выделить два основных направления: первое берет начало в работах О.Рейнольдса и ставит своей целью расчет средних характеристик (полей скорости, завихренности, температуры, концентрации примеси) конкретных течений, второе сформировалось в значительной мере под влиянием работ А.Н.Колмогорова и направлено на выяснение общих свойств мелкомасштабной статистически однородной турбулентности. В обоих направлениях достигнут прогресс, в значительной степени обусловленный бурным развитием компьютеров и выходом на прямые численные расчеты течений, характеризуемых числом Рейнольдса до Re « 105. Однако, выход в прямых численных расчетах на существенно большие значения числа Рейнольдса (скажем, 106 - 107) в ближайшее десятилетие ожидать нельзя, что делает крайне привлекательными маломодовые модели развитой турбулентности, к которым относятся и каскадные модели турбулентности, независимо предложенные в начале 1970-х А.М.Обуховым и Е.Лоренцом. Каскадные модели (в английской литературе устоялся термин "shell models") используют так называемые коллективные переменные, характеризующие пульсации величин в заданном диапазоне (оболочке) волновых чисел и позволяют описать процессы спектрального переноса энергии, завихренности, концентрации примеси и других величин в широком диапазоне масштабов. В начале 1990-х было обнаружено, что каскадные модели с удивительной точностью воспроизводят свойства высших статистических моментов пульсаций скорости в реальных турбулентных потоках. Это вызвало рост интереса к каскадным моделям, который не снижается до настоящего времени, о чем свидетельствуют многочисленные публикации в научной периодической литературе. С помощью каскадных моделей были выяснены многие свойства двумерной (квазидвумерной) и трехмерной турбулентности, турбулентной конвекции, МГД-турбулентности. При этом каскадным моделям доступны расчеты для чисел Рейнольдса Re = 107 — Ю8 и выше.

В исследованиях свойств развитой турбулентности отдельное место занимают работы, связанные с изучением турбулентных течений с нарушенной отражательной симметрией. Такие течения называются спираль- 1

ными, а мера, характеризующая степень нарушения симметрии, называется спиральностью и является наряду с энергией интегралом движения в идеальной трехмерной гидродинамике. Изучение спиральных течений важно для решения таких фундаментальных проблем, как проблема генерации космических магнитных полей, проблема зарождения и эволюции крупномасштабных структур в атмосфере и т.д.. На сегодняшний день остается много вопросов, касающихся поведения спиральности и ее влияния на эволюцию турбулентных потоков.

Представляется, что в изучении спиральной турбулентности не достаточно внимания уделено возможностям каскадных моделей. Проблема состоит в том, что в рамках каскадных моделей само определение меры спиральности сталкивается с серьезными трудностями, связанными с особенностями данного инварианта. Поэтому, актуальной задачей является как построение каскадных моделей, пригодных для описания спиральной турбулентности, так и изучение с их помощью особенностей каскадных процессов в спиральных турбулентных потоках.

Целью работы является построение каскадной модели развитой трехмерной турбулентности, адекватно описывающей спектральный перенос обоих интегралов движения (энергии и спиральности), и изучение с её помощью особенностей развитой турбулентности при нарушении отражательной симметрии, причиной которого могут выступать, например, вращение или внешние силы специального вида. Научная новизна работы.

1. Рассмотрены способы описания спиральности в каскадных моделях различного типа. Показано, что каскадные модели, в которых спи-ральность однозначно связана с энергий пульсаций данного масштаба, не дают устойчивого спектрального потока при высоком уровне спиральности. Построена новая каскадная модель турбулентности, в которой спиральность определяется как мера корреляции действительной и мнимой части каскадной переменной, и показано, что эта модель работает при любом уровне спиральности.

2. С помощью построенной модели исследованы инерционные интервалы переноса энергии и спиральности большой протяженности, недоступные ни в реальных экспериментах, ни в прямом численном моделировании.

3. Исследовано влияние вращения на каскадные процессы. Показано, что вращение приводит к подавлению каскадного процесса переноса энергии на больших масштабах, не оказывая существенного влияния на динамику переноса спиральности.

4. Исследованы особенности каскадных процессов в турбулентности с независимым подводом энергии и спиральности. Показано, что распределенный (в пространстве масштабов) впрыск спиральности существенно меняет характер процесса каскадного переноса энергии, влияя на спектральное распределение как спиральности, так и энергии.

Научная и практическая ценность работы определяется разработанной новой каскадной моделью спиральной турбулентности и результатами исследования с помощью этой модели свойств спиральной турбулентности в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Работа выполнена в рамках госбюджетных тем "Взаимодействие мелкомасштабной турбулентности и крупномасштабных полей в течениях проводящей и непроводящей жидкости" (№ гос.рег. 01.2.007 00735), "Крупномасштабные поля и структуры в потоках проводящей и непроводящей жидкости" (№ гос.рег. 01200961901), проектов РФФИ-Урал 07-01-96007 "МГД-турбулентность и ее вклад в динамо средних полей", РФФИ-Урал 11-0196000 "Кризисные явления в крупномасштабной циркуляции при турбулентной конвекции в природных и технологических системах", РФФИ-Урал 11-01-96031 "Каскадно-сеточное численное моделирование многомасштабных турбулентных систем"

Обоснованность и достоверность результатов, полученных в работе, основывается на всестороннем тестировании предлагаемых каскадных моделей и расчетных программ, сопоставлении полученных результатов, там, где это возможно, с результатами других авторов, полученными в экспериментальных работах и прямых численных расчетах для умеренных чисел Рейнольдса.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались: на всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках", Пермь, в 2005 году, на заседаниях 15-й, 16-й, 17-й Зимних школ по механике сплошных сред, Пермь, 2007, 2009, 2011 г; на конференции молодых ученых

"Неравновесные переходы в сплошных средах", Пермь, 2006; на 14-й европейской конференции по турбулентности ЕТС2014, Лион, Франция, 2014; на семинарах института механики сплошных сред УрО РАН, Пермь.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 2 статьи в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Автором диссертации выполнены построение модели, выбор расчетных методов, разработка и программная реализация расчетных алгоритмов, расчеты и анализ полученных данных.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех Глав, основных выводов и списка литературы (110 наименований). В диссертации приводится 59 рисунков. Общий объем информации составляет 122 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задача диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, а также описана структура диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. Представлен обзор публикаций, близких к теме диссертации. На основании обзора даны характеристики современного состояния проблемы изучения спиральной турбулентности, возможностей использования для этой цели каскадных моделей, обоснована актуальность выбранной задачи и метода исследования.

Во-вгорой главе обсуждаются особенности спиральной турбулентности и способы ее моделирования в рамках каскадных моделей.

Интерес к спиральной турбулентности впервые возник в контексте проблемы МГД-динамо, в которой спиральность позволила построить первые замкнутые модели динамо средних полей еще в 60-х годах. Тем не менее, до сегодняшнего дня общепринятой точки зрения на влияние спи-ральности на свойства развитой турбулентности нет. В трехмерной гидродинамической турбулентности спектральная плотность спиральности ограничена сверху соотношением Н(к) < кЕ(к), что оставляет возможность как минимум двух сценариев поведения спиральности. При первом сценарии реализуется каскад энергии и спиральности в сторону малых масштабов. При реализации этого сценария спектральные распределения энергии и спиральности подчиняются степенным законам Е(к) ~ С££2/3/с~5//3

и Н(к) ~ С„е1)£~1/3АГ5/3 соответственно. Принципиально возможен и второй сценарий поведения спиральности, который заключается в реализации прямого каскада спиральности, сопровождаемого обратным каскадом энергии Спектральные распределения энергии и спиральности в этом случае должны отвечать законам Е(к) ~ С^к'7'3 и Н(к) ~ СчеТк~Ф соответственно. Второй сценарий до настоящего времени не получил подтверждения ни в лабораторных, ни в численных экспериментах. Попытки прямого численного моделирования развитой спиральной турбулентности становятся все многочисленнее, но даже высокопроизводительные многопроцессорные системы, позволяющие проводить расчеты на сетках с несколькими тысячами узлов по каждой координате, воспроизводят инерционный интервалы в пределах чуть больше одной декады.

Надежду на моделирование процессов спектрального переноса в рамках протяженного инерционного интервала дают каскадные модели турбулентности. Эти модели представляют собой системы ОДУ гидродинамического типа, имеющие два интеграла движения и позволяющие описать процессы спектрального переноса сохраняемых величин и их спектральные распределения. Каскадные модели - сравнительно простой подход к изучению турбулентности, при котором доступны расчеты с числами Рейнольдса 10® -г- 107. Наибольшее распространение получила каскадная модель турбулентности, называемая моделью вОУ (С1е(1гег-ОкШат-Уата(1а)

<иип = кп (уиии - + - ик1ип, (1)

включающая один свободный параметр е. Уравнение (1) сохраняет две квадратичные величины. Первая не зависит от параметра е и соответствует энергии = Е — Т,п\ип? = Еп(4 + Ь2п), вторая имеет вид Ш2 = Еп(£_1)-"|[/п( и имеет различный смысл при е > 1 и е < 1. При е > 1 квадратичная величина является положительно-определенной и может быть записана в виде = П = \ип\2, где с = -\ое2\е - 1|- Данную величину называют обобщенной энстрофией. При е = 5/4 она совпадает с обычной энстрофией и получается модель двумерной турбулентности. При е < 1 сохраняется величина^ = Я = Тп{-1)пкк\и„\2, которую называют обобщенной спиральностью. В этом случае сохраняется знакопеременная величина. При е = 1/2 величина Щ имеет размерность гидродинамической спиральности и принимает вид Я = Т.п{~1)пкп\ип\2 = Е„(-1)пЫ<£ + 0-

Именно этот случай моделирует трехмерную турбулентность, воспроизводя и свойства статистических моментов высших порядков.

Однако, модели типа GOY имеют особенность, состоящую в том, что структура второго интеграла движения - спиральности такова, что каждый масштаб однозначно связан со спиральностью одного знака, а "неспиральная" турбулентность возникает только при равенстве энергии четных и нечетных оболочек. Это означает, что в пределах одного масштаба неспирального движения быть не может, а спиральная турбулентность неизбежно описывается пилообразными спектрами, в которых доминируют либо четные, либо нечетные оболочки.

Встает необходимость построения каскадной модели развитой турбулентности, в которой присутствие энергии в определенном масштабе не влечет за собой обязательного наличия спиральности и в которой спираль-ность отдельной оболочки может менять знак. В работе построена каскадная модель спиральной турбулентности, представляющая собой обобщение известной модели Новикова-Деснянского,

ün = ikniiiu^ + (u;^)2 + \(u;un+l - u;u;+i) -

-\2(UnUn+1 + UnU'n+1)) +iknl2{Un^Un + UnUU + A(i/*_1t/* - un-,wn) +

+A2(C/„2+1 + (t/:+1)2)) - ^ + /„, (2)

где Un = an + ibn - комплексная каскадная переменная, характеризующая амплитуду турбулентных пульсаций поля скорости масштаба с волновым числом К = А", Ii, 12- весовые коэффициенты, А - коэффициент, характеризующий плотность разбиения волнового пространства на оболочки, Re -число Рейнольдса, /п - слагаемое, отвечающее за внешнюю силу. В отсутствии диссипации и внешней силы уравнения сохраняют полную энергию Е = I £„({/„{/*) и полную спиральность системы Я = ^ £n kn(U% - (С/*)2. Модель (2) дает модель Новикова -Деснянского при использовании действительных переменных, А = 2 и 72 = 0.

Признаком наличия развитого инерционного интервала являются постоянные спектральные потоки энергии и спиральности. Для модели (2) спектральные потоки определяются формулами:

п„ = 3fe(A7i(C„2 + т2)(ип+1 - u;l+l) +

+хЫи2п+1 + (и*+1)2){ип-ю) 5„ = Щк1{\2ъ(и2п + (К)2)(ип+1 + С/п+1) +

+\Ыи2+1 + (и-+1)2){ип + и;)) (3)

Основной задачей, которая рассматривается в главе, является задача о турбулентности, в которой спиральность вносится на масштабе возбуждения силой, обеспечивающей постоянный приток энергии и спираль-ности. Расчеты проводились для значений числа Рейнольдса в интервале 103 < Ие < 106. Интегрирование уравнений (2) производилось по явной схеме методом Рунге-Кутты 4 порядка с постоянным шагом по времени. Тестовые расчеты выполнялись на персональном компьютере. Основные расчеты выполнены на вычислительном кластере Уральского института математики и механики "УРАН". Для получения устойчивых статистических характеристик задачи с близкими начальными условиями запускались одновременно на нескольких десятках процессоров, а затем производилось осреднение по всем реализациям.

Показано, что предложенная модель (2) эффективна как для спиральной, так и для неспиральной турбулентности. При внесении спираль-ности в турбулентность на масштабе её возбуждения, спиральность переносится по спектру подобно пассивной примеси, для энергии и для спи-ральности при этом реализуются устойчивые инерционные интервалы (см. рис.1), спектральные распределения в которых соответствуют степенным законам Е(к) ~ Сее2^к~5'3 и Н(к) ~ С^е'^к'^. Реализацию такого сценария подтверждают измерения, выполненные в пограничном слое атмосферы (Копров и др. ДАН, 2005. Т.403. С.1-4). Кроме того, показано, что диссипативные масштабы энергии и спиральности при этом совпадают АЕ ~ Ая, а увеличение числа Рейнольдса приводит лишь к росту протяженности инерционного интервала. Коэффициент корреляции пульсаций скорости и завихренности падает пропорционально масштабу пульсаций. Статистические моменты = (|£/„|?> идентичны полученным с помощью модели СОУ и согласуются с моделью турбулентности Ше-Левека, которая хорошо описывает экспериментальные данные.

• Предложенная модель, таким образом, адекватно описывает турбулентность и может быть использована для изучения турбулентности в контексте различных задач.

Третья глава посвящена моделированию турбулентности во враща-

^ ^мз а

<\ ч %

100 10*

Рис. 1. Спектральный поток энергии П и спектральный поток спиральности Н в вынужденной турбулентности е = г) = 1 для различных значений числа Рейнольдса. 1,5 - 11е = 3 х 103,2,6 - Яе = 3 х 104,3, 7 - Ке = 3 х 105

0.01 10-« 10"*

Ъг

0.01 10-<

• г т тт*, -..

яа».

7- Е

о- Н

105

Рис. 2. Распределение средних значений энергии и модуля спиральности оболочек в вынужденной турбулентности (е = ту = 1) для числа Рейнольдса Ие = 3 х 103 (слева) и Ее = 3 х 105 (справа). Пунктир соответствует спектру Е(к) ~ к, прерывистая линия Е(к) ~ Аг5/3

ющихся системах. На примере двух каскадных моделей турбулентности -модели (1) и модели (2) рассматриваются различные варианты описания силы Кориолиса в рамках каскадных моделей и анализируются результаты, которые получаются при численных расчетах. Показано, что для обоих моделей вращение вызывает накопление энергии на больших масштабах и рост средней спиральности системы. Характерные спектральные распределения энергии для модели (2) приведены на рис.3. Степенной закон Е(к) ~ к■ получаемый из феноменологических соображений для спектральной плотности энергии во вращающейся турбулентности, реализуется в определенном диапазоне интенсивности вращения в обоих моделях, однако сменяется затем более крутой зависимостью. Обе модели показывают,

Рис. 3. Компенсированные распределения спектральной плотности энергии для различных значений интенсивности вращения П = 1,2,4,8,16,32,64 при Яе = 105.

что свободное вырождение турбулентности в присутствии вращения существенно замедляется независимо от начальных условий.

Четвертая глава посвящена исследованию турбулентности, характеризующейся ненулевой средней спиральностью в широком диапазоне масштабов. Мерой, характеризующей долю энергии спиральных мод на за-

ттг (ЬЛ _

данном масштабе, выступает относительная спиральность п {К) - . Исследования, проведенные в главе 2, показали, что в турбулентности, в которой спиральность вносится в систему на масштабе возбуждения, относительная спиральность падает с ростом масштаба по закону Нг{к) ~ к'1, вследствие чего доля энергии, приходящейся на спиральные моды, прогрессивно падает с ростом масштаба и спиральность ведет себя как пассивная примесь.

В данной главе рассмотрена турбулентность, в которой относительная спиральность Нт{к) > 0 в широком диапазоне масштабов. Поставленная задача рассматривается в двух постановках. Во-первых, изучается турбулентность, в которой имеется распределенный по спектру источник спиральности, заданный в виде внешней силы, реализующей впрыск спиральности без впрыска энергии во все масштабы с различным законом скейлинга. Используемая в расчетах сила имеет вид

= гщКиЖ + К2)П> №

где параметр Щ определяет уровень вносимой спиральности в старший масштаб выбранного диапазона, а параметр а характеризует степенную зависимость вносимой спиральности от волнового числа кп.

Во-вторых, рассматривается задача, в которой источник спирально-

сти поддерживает заданный уровень средней относительной спиральности, которая определяется соотношением Нг{к) = В этом случае сила

имеет вид

Я = гт,пип(и2п+и?)/2, (5)

где параметр т]п зависит от уровня средней относительной спиральности оболочки (Щ) = -^¡^ за некоторый промежуток времени Т. При этом, требуемый уровень относительной спиральности оболочки Нп задается постоянным во всем инерционном интервале. Таким образом, скорость изменения количества вносимой в масштаб спиральности определяется по формуле ^ = 1 (Ш - 1).

В рамках первой задачи показано, что силы, обеспечивающие распределенный по спектру приток спиральности в систему, влияют на спектральные распределения как спиральности, так и энергии. При этом, реализуется устойчивый инерционный интервал переноса энергии с прямым каскадом энергии и спиральности во всем диапазоне рассматриваемых управляющих параметров а и щ. Спектр энергии включает несколько участков с различными степенными законами, которые в пределе максимально высокой спиральности снова вырождаются в колмогоровское распределение энергии с законом Е{к) ~ к~5'3. Спектральное распределение спиральности в пределе максимальной спиральности также стремится к одному степенному закону Н(к) ~ к"2/3. Такой степенной закон спектрального распределения спиральности при колмогоровском распределении энергии отвечает ситуации с предельным уровнем спектральной плотности спиральности. Характерный график спектральных распределений энергии и спиральности приведен на рис.4.

В рамках второй задачи показано, что при любом уровне относительной спиральности реализуется прямой каскад энергии с устойчивым инерционным интервалом (см. рис.6) и спектральными распределениями энергии и спиральности описываемые степенными законами Е(к) ~ к'5/3 и Н(к) ~ к~2,г соответственно. Компенсированные спектры приведены на рис.5. Спиральность также вовлекается в прямой каскад, а спектральный поток спиральности описывается степенным законом вп ~ кп при любом уровне относительной спиральности.

Рис. 4. Компенсированные спектры энергии и спиральности при а — 0.5, е = 10, г7о = 3.0, Ие = 107

0.1

0.3

0.5 -«-

0.7

0.9 —

? у'Д'С'»-^- ._

0.1 ->~ 0.3 0.5 -»■■ 0.7 -»0.9 -

\1

ч

100 Ц,

юоо юооо

100

Ц,

1000 10000

Рис. 5. Спектральные распределения энергии (слева) и спиральности (справа) при различных значениях уровня относительной спиральности при Яе = 105

1!« - » * 5-

-а'5 * "С ' ) * X 1 +

■'в » " 8 * * + 0.1 . 0.3 » 0.5 > 0.7 е 0.9 ■

10 100 1000 10000

Рис. 6. Спектральные потоки энергии (слева) и спиральности (справа) при различных значениях уровня относительной спиральности при Не = 105

В заключении представлены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построена каскадная модель развитой трехмерной турбулентности, отличающаяся от существующих каскадных моделей способом описания спиральности. Показано, что предложенная модель эффективна для описания как спиральной, так и неспиральной турбулентности.

2. Для предложенной каскадной модели разработан и отлажен расчетный код для вычислений на многопроцессорных кластерах, с помощью которого выполнялись параллельные вычисления нескольких сотен реализаций процессов с близкими начальными условиями, позволившие получить достоверные статистические характеристики рассмотренных режимов.

3. Показано, что при постоянном внесении спиральности на масштабе возбуждения турбулентности она переносится по всему инерционному интервалу как пассивная примесь, а ее диссипация происходит на тех же масштабах, что и диссипация энергии. Коэффициент корреляции пульсаций скорости и спиральности падает при этом пропорционально масштабу пульсаций. При больших числах Рейнольдса в спиральной турбулентности формируется инерционный интервал с обычным для развитой турбулентности спектральным распределением энергии, отличающимся от закона «—5/3» за счет перемежаемости. При этом во всем инерционном интервале наблюдается стационарный поток спиральности, причем спектральная плотность спиральности следует закону «-5/3».

4. Изучены возможные способы представления силы Кориолиса в рамках различных каскадных моделей. Показано, что во всех изученных моделях, при наличии силы Кориолиса имеет место накопление энергии на больших масштабах и снижение скорости вырождения свободной турбулентности. Вместе с тем, вопрос о моделировании силы Кориолиса в каскадных моделях требует дальнейшего изучения, в т.ч. в контексте построения анизотропных каскадных моделей турбулентности.

5. Изучено поведение турбулентности, в которой поддерживается существенная средняя спиральность в широком диапазоне к-

пространства. Показано, что наличие распределенного источника спиральности меняет картину спектральных распределений как спи-ральности, так и энергии. Для потока энергии в существенно спиральной турбулентности реализуется прямой каскад с развитым инерционным интервалом. Для спиральности также реализуется прямой каскад Степень влияния спиральности на процессы каскадного переноса определяется уровнем относительной спиральности, характеризующей долю энергии, приходящуюся на спиральные моды. Показано, что в пределе максимальной спиральности (iT(fc) 1) спектральное распределение энергии стремится к колмогоровскому со степенным законом Е(к) ~ fc"5/3, S спектральное распределение спиральности отвечает степенному закону Н{к) ~ к~2'3. Эти же спектральные распределения имеют место в турбулентности с постоянным уровнем относительной спиральности в инерционном интервале переноса энергии, независимо от её величины.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1 Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. О спектральных свойствах спиральной турбулентности. //Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2009, №5, С.33-43.

2 Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Влияние вращения на каскадные процессы в спиральной турбулентности. //Вычислительная механика сплошных сред, 2012, №2, С.193-198.

3 Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Каскадные модели турбу-' лентности во вращающейся жидкости. //Сборник статей "Гидродинамика", вып №15, ПГУ, Пермь, 2005, С.159-170.

4 Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Построение каскадных мо-

делей турбулентности с неположительно определенными интегралами движения. //Сборник статей научной конференции молодых ученых по механике сплошных сред посвященной 80-летию А.А.Поздеева "Поздеевские чтения", Пермь, 2006, С.121-122.

5. Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Моделирование каскадных процессов в спиральной турбулентности. // Сборник статей XV Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, 2007, Ч.З, С.207-210.

6. Шестаков A.B., Фрик П.Г., Мизева И.А., Носков В.И., Попова E.H., Степанов P.A., Чупин A.B. МГД-турбулентность и ее вклад в динамо средних полей. //В сборнике "Региональный конкурс РФФИ-Урал", Ч 1, Пермь-Екатеринбург, 2008, С.139-143.

7. Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Каскадная модель турбулентности во вращающейся жидкости. //Тезисы докладов 14 Всероссийской конференции "Математическое моделирование в естественных науках", Пермь, 2005, С.80.

8. Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Построение аналога гидродинамической спиральности в каскадных моделей турбулентности. //Тезисы докладов конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах", Пермь, 2006, С.94-96.

9. Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Спектральные свойства спиральной турбулентности. //Тезисы докладов XVI Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, 2009, С.310.

10. Шестаков A.B., Степанов P.A., Фрик П.Г. Влияние вращение на каскадные процессы в спиральной турбулентности. //Тезисы докладов XVII Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, 2011, С.334.

Подписано в печать^^М^- Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1,35 Тираж-100 экз. Заказ

Типография Пермского государственного национального исследовательского университета

614990. г. Пермь, ул. Букирева, 15