О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

ЛЮЛЬКО Ярослав Александрович

О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

з акт т

005533958

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: академик РАН, доктор

физико-математических наук, профессор Ширяев Альберт Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Афанасьев Валерий Иванович, ведущий научный сотрудник Математпическо института им. В.А. Стеклова РАН

доктор физико-математических наук, профессор Мазалов Владимир Викторович, директор ИПМИ КарНЦ РАН

Ведущая организация: Центральный экономико-математический

институт РАН

Защита диссертации состоится 25 октября 2013 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математического факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 24 сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени с точки зрения нахождения их распределений, предельных свойств распределений, стохастических представлений, а также получению «максимальных» неравенств и решению связанных с ними задач оптимальной остановки.

Практически каждая задача или результат современного стохастического анализа так или иначе связаны с функционалами от случайных процессов - даже знаменитая формула Ито для дважды непрерывно дифференцируемых функций

df(t,Xt) = ^(t,Xt)dt + t,Xt)dXt + l¥l(txt)(dxt)2

оперирует с функционалом f(t,Xt) от случайного процесса {Xt)t>о-При изучении любого случайного процесса классическими задачами для функционалов от его траекторий являются нахождение распределения максимума на фиксированном и случайном отрезках времени; момента первого достижения некоторого уровня; момента первого выхода из заданного множества; момента, обратному к размаху, а также исследование локальных времен случайных процессов. Основные известные результаты о функционалах от случайных процессов изложены в монографиях Revuz и Yor1, Karatzas и Shreve2, А. H. Ширяева3'4, Rogers и Williams5.

Зачастую для выявления специальных свойств стохастических процессов и получения новых результатов обращаются к базовым процессам и исследуют функционалы уже от этих процессов более простой структуры. Таким базовым процессом в дискретном времени является сумма

1 Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. 3-rd ed. — Berlin: Springer, 1999

2Koratzas I., Shreve S. Brownian motion and stochastic calculus. — Berlin, Heidelberg and New York: Springer, 1988

3Булинский А. В., Ширяев A. H. Теория случайных процессов. — M.: Физматлит, 2003

4Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. — М.: Наука, 1974

5 Rogers L., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. II. — New York: Wiley and Sons, 1987

независимых случайных величин - случайное блуждание S = {Sk)k>o, и в непрерывном времени - броуновское движение (винеровский процесс) W = (Wt)t>о- Примером специальной задачи может служить задача исследования дискретных стохастических интегралов, которые включают в себя и интегральные функционалы от случайных блужданий. Высокий интерес к подобным функционалам связан с их использованием в моделях рынка акций в финансовой математике, а также с рядом задач, возникающих в современной теории временных рядов. В процессе решения подобных задач являются полезными различные варианты предельных теорем, позволяющие получать свойства стохастических интегралов от более сложных процессов, в частности, от фрактального броуновского движения (ßm(i))t>o с параметром Харста H 6 (0,1). Данный гауссовский процесс, введенный в работах А. Н. Колмогорова6 и Б. Ман-дельбротта, Й. Ван Несса7, в общем случае не является ни марковским процессом, ни семимартингалом. Однако, с помощью рассмотрения дискретных интегралов от случайных блужданий, в работах8'9 выводятся общие условия сходимости к интегралам Ито от стандартного броуновского движения (Н = 1/2), а в работе10 - к интегралам по фрактальному броуновскому движению с параметром Харста Н > 1/2. Таким образом, изучение некоторых свойств интегралов по фрактальному броуновскому движению сводится к исследованию дискретных стохастических интегралов по случайному блужданию, которые устроены значительно проще. Отметим также, что многие результаты, относящиеся к функционалам от стандартного броуновского движения, приведены в справочнике А.Н. Бородина, П. Салминена11 и монографии А.Н. Ширяева12.

В главе 1 мы рассматриваем так называемые стохастические ин-

°Колмогоров А. Н. Математика и механика. Избранные труды. Том 1. — М.: Наука, 1985

7Mandelbrot. В. В., Van Ness J. W. Fractional Brownian motion, fractional noises and applications. // SIAM Review, 1968, v. 10, p. 422-437

s Скороход A.B., Слободснюк H. П. Предельные теоремы для случайных блужданий. — Киев: Наукова Думка, 1970

®Yoshihara K.-I. A weak convergence theorem for functionals of sums of martingale différences. // Yokohama Math. J., 1978, v. 26, p. 101-107

l0Mishura Yu.S., Rode S.H. Weak convergence of integral functionals of random walks weakly convergent to fractional Brownian motion. // Ukrainian Math. J., 2007, v. 59, No 8 p. 1040-1046

11 Бородин A. H., Салминен А. Справочник по броуновскому движению. — СПб.: Лань, 2000

12Ширяев А. Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением. — Современные проблемы математики, в. 8, M.: МИАН, 2007

тегралъные представления (однократные представления) и представления хаоса (многократные представления) функционалов от случайных процессов в дискретном времени. Полученные нами однократные представления функционалов от случайного блуждания являются дискретными аналогами представлений для функционалов от стандартного броуновского движения (Bt)t>о, полученных в работах13'14. Одним из результатов данных работ является представление максимума = maxo<s<rß.5) которое также было получено другим методом в монографии15.

В случае непрерывного времени существование однократных представлений для класса квадратично интегрируемых .^-измеримых функционалов, где (^r¿B)te[o,T] ' ' естественная фильтрация броуновского движения, гарантирует известная теорема Ито-Кларка1. Хотя данная теорема принципиально и решает вопрос о существовании стохастических представлений для квадратично интегрируемых функционалов, нахождение подынтегрального процесса в представлении в каждом конкретном случае является далеко не самой тривиальной задачей. Одним из методов является формула Кларка16'17. Предложенный П. Маллявеном в работе18 метод исследования переходных вероятностей диффузионных процессов нашел применение для гораздо более широкого класса задач анализа, геометрии, теории случайных процессов. В частности, метод оказался полезен для исследования свойств интегральных функционалов от случайных процессов. Исчислению Маллявена посвящены книги В.И. Богачева19, D. Nualart20, а таже монография N. Privault21.

13Ширяев А. Н., Йор М. К вопросу о стохастических интегральных представлениях функционалов от броуновского движения. I. // Теория вероятн. и ее прнмен., 2003, том 48, вып. 2, с. 375-385

li Граверсеп С. Э., Ширяев А.Н., Йор М. К вопросу о стохастических интегральных представлениях функционалов от броуновского движения. И. ,// Теория вероятн. и ее примен., 2006, том 51, вып. 1, с. G4-77

Hogers h., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. II. — New York: Wiley and Sons, 1987

16 Clark I. M. C. The representation of functionals of Brownian motion by stochastic integrals. // Ann. Math. Statist., 1970, v. 41, No 4, p. 1282-1295

17Karatzas I., Shreve S. Brownian motion and stochastic calculus. — Berlin, Heidelberg and New York: Springer, 1988

lsMalliavin P. Stochastic calculus of var iations and hypoelliptic operators. // Proc, Intern. Symp. SDE Kyoto, Tokyo: Wiley, 1978, p. 195-263

10Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявена. — М.: Ижевск, 2008

20Nualart D. The Malliavin calculus and related topics, 2nd ed. — Springer, 2000

Privault N. Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings: With Normal Martingales. —

Несмотря на всеобщность формулы Кларка, в каждом конкретном случае произвести вычисление производной Маллявена и найти явный вид подынтегрального процесса достаточно трудно. Поэтому в настоящей работе мы демонстрируем другой подход, основанный на использовании мартингала Леви и разложения Дуба-Мейера процессов в дискретном времени.

Основная часть главы 2 посвящена вопросу о распределении вероятностей случайной величины Nn(a), которая есть число посещений состояния а однородной марковской цепью Z = (Zt)k>о до момента тъ первого попадания цепи в состояние Ь. Одним из основных результатов данной главы является нахождение распределения NTb(a) в общем виде.

Далее в качестве примера полученный результатат применяется к скошенному случайному блужданию - дискретному процессу, введенному в работе22. Все параметры распределения случайной величины Nn(a) в случае скошенного случайного блуждания найдены в явном виде. В частности, получены обобщения ранее известных результатов. Так, в случае симметричного бернуллиевского случайного блуждания известно23, что ENTo(a) = 1 и не зависит от уровня а > 0. Из полученных нами результатов непосредственно следует, что для скошенного случайного блуждания с параметром а € [0,1] при любом Ь < 0 математическое ожидание Е NTb{a) равно 2а|6|/(1 — а), т. е. также не зависит от уровня а > 0. При этом распределение времени Nn(a) в этом случае все же зависит от а.

В уже упомянутой работе22 было показано, что при соответствующей нормировке скошенное случайное блуждание (S°)k>o с параметром а сходится к скошенному броуновскому движению (Wta)t>o. Скошенное броуновское движение впервые было рассмотрено в книге К. Ито и Г. Маккина24, а затем подробно изучено в работе25. Скошенное броуновское движение с параметром а — 1/2 по закону совпадает со стандартным броуновским движением (Bt)t>o, а с параметром а = 1-е модулем стандартного броуновского движения (|5г|)«>о- Данный процесс приме-

Springer, 2009 (Lecture Notes in Math., v. 1982)

22Harrison J. M., Shepp L. A. On skew Brownian motion. // Ann. Probab., 1981, v. 9, No 2, p. 309-313

23Ширяев A. H. Задачи по теории вероятностей. — M.: МЦНМО, 200С

24#mo К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М.: Мир, 1965

25 Walsh J. В. A diffusion with a discontinuous local time. // Temps Locaux, Asterisque, 1978, 52-53, p. 37-45

няется при решении разнообразных прикладных задач в геофизике26, экологии27, астрофизике28, финансовой математике29, а также для численного моделирования диффузионных процессов специального типа30. Основные вероятностные свойства скошенного броуновского движения наиболее полно отражены в работе работе30.

Используя обобщенный принцип инвариантности Донскера-Прохорова, установленный в работе31, мы переходим к пределу от времени пребывания NTb(a) скошенного случайного блуждания к локальному времени Ьть(а) скошенного броуновского движения и находим распределение локального времени до момента ть- Стоит отметить, что существует общая теория локального времени диффузионных процессов со временем жизни основанная на теоремах Рэя-Найта32,33. С помощью этой теории, например, в книге11 найдено распределение локального времени стандартного броуновского движения с линейным сносом до момента первого достижения уровня Ь. В настоящей работе продемонстрирован другой подход, основанный на аппроксимации диффузионных процессов марковскими цепями с дальнейшим предельным переходом, основанным на обобщенном принципе инвариантности.

В третьей главе мы рассматриваем задачи, связанные с оптимальной остановкой скошенного броуновского движения. Полученные результаты позволяют установить неравенства, связывающие среднее значение максимума (Wtf>)i>o до момента остановки г и среднее значение времени наблюдения т. Данные неравенства обобщают классические «максимальные» неравенства для стандартного броуновского движения и его

26Lejay A. Simulating a diffusion on a graph application to reservoir engeneering. // Monte Carlo Methods Appl., 2003, v. 9, No 3, p. 241-256

2' Cantrell R., Cosner C. Diffusion models for population dynamics incorporating individual behavior at boundaries: Applications to refuge design. // Theoretical Population Biology, 1999, v. 55, No 2, p. 189207

28Zhang M. Calculation of diffusive shock acceleration of charged particlcs by skew Brownian motion. // Astrophys. Journal, 2000, v. 541, p. 428-435

29 Corns T. R. A., SatchellS. E. Skew Brownian motion and pricing European options'. // The European Journal of Finance, 2007, v. 13, No 6, p. 523-544

S0Lejay A. On the construction of the skew Brownian motion. // Probab. Surv., 2006, No 3, p. 413-466

uCliemy A., Shiryaev A., Yor M. Limit behaviour of the "Horizontal-Vertical" random walk and боте extensions of the Donsker-Prokhorov invariance principle. // Теория вероятн. и ее примен., 2002, том 47, вып. 3, с. 498-517

32 Ray D. В. Sojourn times of a diffusion process. III. 11 Illinois J. Math., 1963, v. 7, p. 615-630

33Knight F.B. Random walks and a sojourn density process of Brownian motion. // Trans. Amer. Math. Soc., 1963, No 109, p. 56-86

модуля, полученные в работах34,35.

Цель работы. Целыо настоящей диссертации является исследование функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени с точки зрения нахождения их распределений и стохастических представлений. Также целью является получение новых «максимальных» неравенств и решение связанных с ними задач оптимальной остановки для процессов броуновского типа.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены однократные и многократные стохастические представления функционалов «максимального» типа от случайного блуждания, рассматриваемых до фиксированного момента времени, до момента первого достижения некоторого состояния (марковский момент) и до момента последнего нуля случайного блуждания на фиксированном отрезке (немарковский момент). С помощью принципа инвариантности Донскера-Прохорова произведен предельный переход от представления максимума случайного блуждания на фиксированном отрезке к известному представлению максимума броуновского движения.

2. Найдено распределение времени пребывания однородной марковской цепи со счетным множеством состояний на разных уровнях фазового пространства до момента достижения фиксированного состояния. Показано, что в общем случае распределение будет геометрическим (с массой в нуле). В качестве примера получено распределение времени пребывания скошенного случайного блуждания и произведен предельный переход к непрерывному времени, устанавливая тем самым распределение локального времени скошенного броуновского движения. Также получены распределения функционалов «максимального» типа в дискретном и непрерывном времени на различных участках траектории рассматриваемого процесса.

34Dubins £., Schwarz G. A sharp inequality for sub-martingales and stopping times. /'/ Asterisque, 1988, v. 157-158, p. 129-145

35Дубине Л. E., Шепп Л. А., Ширяев А. Н. Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя. // Теория вероятн. и ее примен., 1993, том 38, вып. 2, с. 288330

3. Получено «максимальное» неравенство для скошенного броуновского движения. Установленное неравенство является обобщением классических неравенств для стандартного броуновского движения и его модуля. Доказательство результата основано на решении задачи оптимальной остановки, для которой найдены оптимальный момент и функция цены. Кроме того, найден явный вид границы множества остановки.

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно. Точные формулировки установленных автором утверждений приведены ниже.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастического исчисления, а также методы теории оптимальных правил остановки марковских процессов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть полезными при изучении распределений функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени. Полученное в главе 2 распределение времени пребывания однородной марковской цени может быть использовано при изучении свойств локального времени диффузионных процессов и их дискретных аналогов. Установленные в главе 3 «максимальные» неравенства могут быть использованы в задачах оценивания функционалов от случайных процессов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных семинарах и конференциях:

1. Большой семинар кафедры теории вероятностей МГУ под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева (Москва, несколько докладов в 2009-2012 гг.).

2. Научный семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» под руководством Аркнпа В.И. и Пресмана Э.Л. в ЦЭМИ РАН (Москва, 2013 гг.)

3. Научный семинар «Стохастический анализ: теория и приложения» под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева, проф. А А. Гущина в Математическом институте им. В.А. Стеклова (Москва, 2011 гг.)

4. Международная конференция «Stochastic Optimization and Optimal Stopping» (Москва, 2012 г.)

5. Международная конференция «Markov and Semi-Markov Processes and Related Fields 2011» (Порто Kappac, Греция, 2011 г.)

6. Международный симпозиум «Workshop on Stochastic Methods in Financial Markets» (Любляна, Словения, 2011 г.)

7. Международный симпозиум «Visions in Stochastics (Leaders and their Pupils)» (Москва, 2010 г.)

8. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в МГУ (Москва, несколько докладов в 20092012 гг.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах автора в рецензиремых журналах. Список публикаций приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных обозначений и списка литературы, насчитывающего 81 наименование. Общий объем диссертации составляет 102 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко описывается история вопроса, освещаются научные результаты, полученные ранее, перечисляются основные достижения диссертации с указанием использованных методов и подходов.

В Главе 1 исследуются вопросы нахождения стохастических представлений функционалов «максимального» тина от бериуллиевского случайного блуждания.

На вероятностном пространстве (Г2, Т, Р) рассмотрим бернуллиевское случайное блуждание (Sk)k>0 с S0 = 0, Sk = & + .. к > 1, где Р(£ =

1) = Р(£ = -1) = 1/2, i > 1, и величины ----... независимы.

Положим также ДSk = Sk - Sk-ь С* = n(n - 1)... (n - к + 1 )/kl для к < п. Имеет место

Теорема. Для MN — max0<fc<;v Sk справедливо следующее стохастическое представление:

N

MN = ЕMN + k, Ми-1 - 5fc_0ASb (1)

k=1

где

a(k,m) = hp(Mk = m) + P(Mk > m) = + £

i=m+l

Представление (1) для процесса максимума Мдг = maxo<k<N 5k случайного блуждания на конечном отрезке является дискретным аналогом представления максимума — maxosj«<r Bs стандартного броуновского движения {Bt)t>о, полученного в работах13,14:

Теорема. Для М^ имеет место стохастическое интегральное представление

М$ = ЕМ$+ F V{t,M? - Bt)dBt, (2)

Jo

Здесь Ф(х) = ЛоДЗтг)-1 exp{-u2/2}du функция распределения стандартного нормального закона.

Используя принцип инвариантности Донскера-Прохорова, а также теоремы о сходиомсти дискретных стохастических интегралов из30, мы устанавливаем сходимость полученного нами представления (1) к известному представлению (2).

30Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Том 2 — М.: Физ-матлит, 1994

Помимо максимума случайного блуждания на конечном отрезке времени, в главе 1 рассматриваются функционалы до момента выхода на фиксированный уровень

FT_a = max St, т_а = inf{fc > 0 : Sk = -a}, a 6 N

0<к<т-а

и до момента последнего нуля случайного блуждания на множестве (О ,ЛГ]

F3n = max Sk, 9n = sup{0 < к < N : Sk = 0}. 0

В частности, доказывается следующая

Теорема. Для FT_a имеет место стохастическое представление

Т-а

Qmax Sk = -^Я(Mfc-^)Ä5fc, (3)

Т~" k=2

где Н{п) = £?=1(а +1)-1, H{0) := 0, Mk = max0<;<fc Sj.

Отметим, что FT_a иллюстрирует ситуацию, когда ищется стохастическое представление максимума до марковского момента т_а, a FgN -когда ищется стохастическое представление максимума до немарковского момента (?дг.

Многократные стохастические представления в непрерывном времени строятся на основе многомерных интегралов Ито от детерлшнированных функций / е £2([0, Г]'1). Идея построения этих интегралов та же, что и в случае одномерных интегралов Ито: сначала интеграл определяется для класса ступенчатых функций специального вида, а затем предельным переходом в L2{П) он определяется и для функций / е L2([0, Т]п). В итоге получается многомерный стохастический интеграл

W)= f I(tu...,tn)dBh---dBtn J[0,T]n

со следующими свойствами:

1) In{f) = /„(/), где fih,...,tn) = (n[)-1Z^J(ta(D,---Mn)) -симметризация функции / е L2([0,T)n) (Е„ обозначает совокупность всех подстановок на множестве {1,..., п});

2) Е [/„(/)] = 0 для /€L2([0,Г]");

3)Е[/М=гг!||/||2для/е^([0,Т]");

4) если п ± т и ¡,д е Ь2{[0,Т}п), то Е [Щ)1т{д)] = 0. Обозначим Ь2ут([0,Т]п) класс квадратично интегрируемых симметричных функций, т.е. таких функций / € £2([0,Т]"), что для любой подстановки а € £„ выполнено равенство /(£а(1), • ■ •, ^(п)) = /(¿ь ■ ■ ■ Дп)-Справедлива следующая теорема, являющаяся многомерным аналогом теоремы Ито-Кларка.

Теорема (Винера-Ито). Пусть функционал Г = ЛбЛЯ&ТПСЛ ^"гр " измеримым и Е .Р2 < оо. Тогда для него существует, и притом единственное, многократное стохастическое представление

Ч-оо

Р = ЕГ + £/„(/„), где /„ е Ь1ут([О, Т]п),

п=1

называемое представлением хаоса.

Во второй части первой главы мы находим многократные стохастические представления функционалов Рдг и п. Обозначим Вп = {г =

(»1, ■■■,»») : к е {-1,1}, к = 1,...,п}, и™ = : 1 < «1 <

• ■ • < ^ п, и е М}.

Определение. Пусть /1 : Кп —» М. Определим но индукции ее разделенную разность п-го порядка:

£>(1)/1(2:1,..., жп) = ^ (/1(1,12, ••• ,£„) - 1, •■• ,агп)),

0{к)К{хъ...,хп) = | ..., 1,^+1,...

- Н{хх,... ,Хк-1,-1,Хк+и-- ■ .Яп)), & ^ п.

Следующий доказанный нами результат является основным для построения многократных стохастических представлений:

Лемма. Пусть / : Мп —► Е. Тогда справедливо следующее представление:

/(!) = Е ДО + ££ (Е [/(01?.,-......€ч=*.]) • • •

где £ = (&,..., £„).

С помощью данной леммы, а также однократных стохастических представлений (1), (3), мы получаем представления хаоса функционалов ^ЛГ и

Теорема. Для Мм = тахо^/ь^л' справедливо следующее многократное стохастическое представление:

N

к=1

N

+ ХЗ • • •, й,„)Д5/ь1 ■ • • АБкт,

т=2 1<Агх <—<Лгт<ЛГ

где

Ст{кь..., и = Х^-Че [а(ЛГ - кт, Мь^-Э^-!)]^.....

Теорема. Для справедливо следующее представление:

Т_0

к=2 Т-а

Ьт{кх,..., /ст)1(т_а ^ кт)АЗк1 • ■ ■ Д5*;га,

т=2

где М*ь ■ ■ ■. М = Д^Е ИМ^)^,...., 1=,го_1])1

= Е"-1(а + 0-1. я(°) == о.

В первой части главы 2 исследовано время пребывания однородной марковской цепи со счетным множеством состояний на разных уровнях до момента достижения некоторого фиксированного состояния.

Пусть на вероятностном пространстве (Г2, Т, Р) задана однородная марковская цепь 2 — о с множеством фазовых состояний Е =

{¿о,¿1,¿2, ■■■}, начальным распределением р0(1) — Р(/?о = г) и переходными вероятностями ру = ^{^¡п — ^ \ = г), г, у € Е. Для каждого х € Е определим меру Р^ следующим образом: РЖ(Л) = Р(А | ^о = х) для любого А 6 Т. Положим

п

АГп(а) = ^2Цгк = а),

к=0

где а 6 Е, и пусть тъ = т{{к > $ \ Zk = Ь} для Ъ € Е.

Теорема. Если а&ЕиЬе.Е(Ь фа) таковы, что Ра(та < т^) < 1, то распределение времени Л^Да) относительно меры Рх задается формулами

|р*(адо = о) = 1 -рх,

[Рх(Мп(а) = к) = Рх{1 - 0а)ака-\ к = 1,2,...,

где рх = Рх(та <п), х е Е \ {а}. В частности, ЕхЛгп(а) = Дг/(1 - /За).

В качестве примера применения полученной теоремы рассматривается скошенное случайное блуждание Б" =

Определение. Скошенным случайным блужданием с параметром а € [0, 1] будем называть однородную марковскую цепь Ба — о,

= 0, с множеством состояний Z и переходной функцией

а, если г = 0, .7 = 1, 1 — а, если г = 0, ] = —1,

1/2, если i ф 0, |г — Л = 1,

О в остальных случаях.

Для скошенного случайного блуждания все параметры распределения Л^(а) находятся в явном виде.

Утверждение. Для скошенного случайного блуждания (5£)¿>о параметры /3 = /3о = Р(га < 7^) гг = Р0(га < ть) при а > О, Ь е Ж \ {а} определяются из табл. 1.

Таблица 1 Ь < 0 < а 6 = 0 Ь > а > 0 а = 0 < Ь а о > ь

Д а\Ь\ а 1 ч : - 1 -а

(1 - а)а + а\Ь\ а |Ь|

Ра 1 ^ 2а ! 1 1 - 1 — а

2а * 2(6 - а) |Ь|

Скошенное случайное блуждание замечательно тем, что оно аппроксимирует скошенное броуновское движение.

Определение. Процесс Ха = (Х?)^, заданный на вероятностном пространстве (Г2, Т, Р), называется скошенным броуновским движением

с параметром а 6 [0,1], если он удовлетворяет следующему стохастическому уравнению:

Х? = Х$ + В1 + {2а-1)Ь{}(Ха),

где В = (В^>о ~ стандартное броуновское движение на (П,^, Р), а Ь° = (Ц(Ха))1>о с Ьц(Ха) = 0 — локальное время в нуле процесса Ха.

Рассмотрим процессы Хп — (Хр)^ и Уп = (У")(>о, определенные следующим образом: в рациональных точках Х'^п = тг_1//25^, У^п —

п~1/2Е1г - ад, к & Ъ+, а траектории (Х?)г>0 и

(У/г){>о являются ломаными с узлами (к/п,Х^п), (к/п,У^п), к > 0. В работе31 доказан обобщенный принцип инвариантности, согласно которому

(Х1\ УД г > 0) ^ (и?, £ яеп(И^) I > о

С помощью данной сходимости мы переходим к пределу от времени пребывания Л^а) скошенного случайного блуждания к локальному времени Ьп{а) скошенного броуновского движения. Имеет место

Теорема. Локальное время Ьп(а) = (И/а) скошенного броуновского движения \Уа = (И/4а)(>о на уровне а > 0 до момента первого достижения состояния 6 ф а имеет показательное распределение (с массой в нуле), плотность р(х) = dP(LT|}(a) < х)^х которого определяется из табл. 2

Таблица 2 Р (Ьп(а) = 0) р(х), х > 0 ЕЬп{а)

а = 0, 6 > 0 0 Ьа-1 аб-1

а= 0, 6 < 0 0 \bKl-a)-1 (1-а)|Ь|"1

Ъ < 0 < а да г-Ш:/2 2(1—а) МЬ\ 1-а 1 а+п(1-а)-ЧЫ

Ъ > а > 0 0 2(6 - а) 1/(26 - 2а)

Во второй части главы 2 мы ищем распределения функционалов Р(в,Ха) — яи-р^Х?, где X? — Б? в случае дискретного времени и X" = в случае непрерывного времени, а в - экспоненциально распределенная случайная величина с параметром А2/2, не зависящая от процесса Ха. Границами отрезка Д служат моменты времени а, 6 из множества {0,9в,9^в}, где д1 = 8ир{в < £ : X? = 0} - последний нуль на

полуинтервале [0,f), a dt = sup{s > t : X" = 0} - первый нуль после t. При всех возможных значениях а и b получим шесть различных функционалов

1) sup Xt°, 2) sup Xta, 3) sup X?,

0 <t<9 0 <¿<50 0 <t<d„

4) sup Xta, 5) sup xp, 6) sup X£a.

ge<t<8 9<t<dff ge<t<ds

Заметим, что аналогичные функционалы рассматривались в работе37. При этом вместо Wa ведущим процессом служил модуль стандартного броуновского движения (\Bt\, t > 0). Этот случай соответствует значению параметра а = 1. В настоящей работе доказана следующая

Теорема. В случае непрерывного времени распределения функционалов F(9, Wa) = sup(^ W° имеют следующий вид:

2ае~ХА

1) Р( sup W? > А) =

О <t<H

2) Р( sup Wta > А) =

2ае~2ХЛ

W£ > А) = т~П

О <t<ge

1 +(2q - 1)е"2Л-4'

a 1 - е~2ХА

4) Р( sup Wta >А) = а( 1 - tanh

ge<t<6 \ V 2

5) Р( sup W" > А) = (l — e~XA);

0<t<ds АЛ

6) P( sup Wtn > A) = a ( 1 - coth(AA) +

ge<t<de \

для любого A > 0.

Глава 3 посвящена оценке максимума математического ожидания скошенного броуновского движения до марковского момента т с конечным математическим ожиданием.

37Fujita T., Yor M. On the remarkable distributions of maxima of some fragments of the standard reflecting Random walk and Brownian motion. // Prob. and mathem. Stat., '2007, v. 27, No 1., p. 89-104

Пусть \Уп = (И^а)е>0 - скошенное броуновское движение с параметром а € [0,1]. В качестве фильтрации Р = (^)(>о рассмотрим естественную фильтрацию ^ = = в < £), í > 0. Впервые в работе34, а позднее совершенно другим методом в работе35 были установлены следующие «максимальные» неравенства:

Е(тах Вг) < Е(тах < \/2Ёг,

0<4<г о<е<т' ~

справедливые для любого марковского момента г е ЯЛ, где

Ш= {т — марковский момент относительно (^¿)г>о, Ет < оо}.

Основным результатом третьей главы является следующая

Теорема. Для любого марковского момента т е Ш и для любого а £ (0,1) имеет место неравенство

Е^тахИ?) <Ма^, (4)

где Мп = а(1 + Л„)/( 1 - а), а Ап - единственное решение уравнения

АаеА

„Аа+1 _ 1 - 2Q

удовлетворяющее условию Ап > —1.

При этом неравенство (4) является "точным" в том шысле, что для любого Т > 0 существует марковский момент т с Ет = Г такой, что

Е ( max wA = MaVbr.

\0<t<T 1 J

Из (4) видно, что Мг/2 = 1, Mi = л/2. Также нетрудно проверить, что Мо = 0. Для нахождения величины Ма мы пользуемся методом, предложенным в работе35. Для произвольных i 6 1, s > 0 таких, что х < s, определим процессы

Xt(x) = х + Wta, St(x, s) = max{s, max XJx)}.

0 <u<t

Заметим, что двумерный процесс (X, S) является марковским с пространством состояний Е = {(z,s) е R2 : х < s, s > 0}. Рассмотрим для (.X, S) задачу нахождения функции цены

Vc{x, s) = sup Е (ST(x, s) - ст), с > 0. (5)

rerot

Теорема. Оптимальный момент остановки тс в задаче (5) существует и равен

тс = inf{£ > 0 : Xt < g{St)}, где зависимость g — g(s), s > 0 задана в виде

если g > О,

П 1

s =

5 + 1/(2С),

ß2 ~ 1 Mg ,9, J_ 0

2с/32 6 ß 2cß2' еаш^<и'

параметр ¡3 = (1 — а)/а.

Если ввести множества £>» = {(ж, я) £ Е : х < ¡^в)}, С* = Е \ то функция цены Ус(х, б) определяется следующими формулами:

Vc(x, s)

s + c(x- g{s))2, (x, s) G C„ x > 0, s > 1/(2c)

ил« x < 0, s < l/(2c), s + c(x - 5(s))2 + 2c(l - ß)xg(s), (x, s)eC„i>0,s< l/(2c), Ks, {x,s)eD*.

Отметим, что, помимо задачи (5), в настоящей работе решена также более общая задача

я) = вир Е в) — ст), с> 0 геПЛ

для скошенного броуновского движения И= -Ь /^¿^ с линейным сносом деЕ. Здесь Б?(х, я) = шах{а, тахо<ц<((И^(/х) 4- ж)}.

Благодарность. Автор признателен своему научному руководителю академику РАН, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за внимание к работе, важные рекомендации и ценные замечания.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Люлько Я. А. Стохастические представления функционалов «максимального» типа от случайного блуждания // Теория вероятн. и ее иримен., 2009, том 54, вып. 3, с. 580—589.

[2] Люлько Я. А. О распределении времени, проводимого марковской ценыо на разных уровнях до момента достижения фиксированного состояния // Теория вероятн. и ее иримен., 2011, том 56, вып. 1, с. 167-176.

[3] Люлько Я. А. Точные неравенства для максимума скошенного броуновского движения // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ., 2012, №. 4, с. 26- 31.

[4] Lyulko Ya.A. Stochastic representations of max-type functionals of random walk. // Abstracts of Russian-Japanese Symposium on "A Stochastic Analysis of Advanced Statistical Models", Theory Probab. Appl., 2011, v. 55, issue 3.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж too экз. Заказ № 39

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Механико-математический факультет

04201361847 на правах рукописи

УДК 519.21

Люлько Ярослав Александрович

О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: академик РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор А. Н. Ширяев

Москва — 2013

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Стохастические представления функционалов от бер-нуллиевского случайного блуждания 22

§ 1.1. Представление максимума на конечном отрезке................ 22

§ 1.2. Представление максимума случайного блуждания до момента

выхода на фиксированный уровень............................. 29

§ 1.3. Представление максимума случайного блуждания до момента

последнего нуля на фиксированном отрезке.................... 30

§ 1.4. Многократные стохастические представления.................. 35

Глава 2. Распределение некоторых функционалов от случайных блужданий и процессов броуновского типа 41 §2.1. Распределение времени пребывания однородной марковской

цепи со счетным множеством состояний........................ 42

§2.2. Распределение времени пребывания скошенного случайного

блуждания...................................................... 44

§ 2.3. Предельный переход к локальному времени скошенного броуновского движения............................................. 47

§2.4. Распределение максимума скошенного броуновского движения и скошенного случайного блуждания на некоторых случайных отрезках времени....................................... 53

Глава 3. «Максимальные» неравенства для процессов броуновского типа 65

§ 3.1. Точные неравенства для максимума скошенного броуновского

движения........................................................ 65

§ 3.2. Обоснование выбора функции цены и оптимального момента

остановки....................................................... 70

§ 3.3. Доказательство оптимальности выбранных функции цены и

момента остановки............................................................................................79

§ 3.4. Об одной задаче оптимальной остановки для скошенного броуновского движения со сносом....................................................................86

Основные обозначения 95

Список литературы 96

Введение

1. Настоящая диссертация посвящена исследованию функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени с точки зрения нахождения их распределений, предельных свойств распределений, стохастических представлений, а также получению «максимальных» неравенств и решению связанных с ними задач оптимальной остановки.

Практически каждая задача или результат современного стохастического анализа так или иначе связаны с функционалами от случайных процессов - даже знаменитая формула Ито для дважды непрерывно дифференцируемых функций

df(t,Xt) = %{t,Xt)dt + ^(t,Xt)dXt + lÇl(t,Xt)(dXt)2

оперирует с функционалом f(t,Xt) от случайного процесса (Xt)t^Q. При изучении любого случайного процесса классическими задачами для функционалов от его траекторий являются нахождение распределения максимума на фиксированном и случайном отрезках времени; момента первого достижения некоторого уровня; момента первого выхода из заданного множества; момента, обратному к размаху, а также исследование локальных времен случайных процессов. Основные известные результаты о функционалах от случайных процессов изложены в монографиях Revuz и Yor [74], Karatzas и Shreve [56], А. H. Ширяева [8], [18], [35], [36], Rogers и Williams [75], Blumenthal и Getoor [42], Дынкина [14], Гихмана и Скорохода [9].

Зачастую для выявления специальных свойств стохастических процессов и получения новых результатов обращаются к базовым процессам и исследуют функционалы уже от этих процессов более простой структуры. Таким базовым процессом в дискретном времени является сумма независимых случайных величин - случайное блуждание S = (Sk)k^о> и в непрерывном времени - броуновское движение (винеровский процесс) W = (Wt)t^o-

Примером специальной задачи может служить задача исследования дискретных стохастических интегралов, которые включают себя и интегральные функционалы от случайных блужданий. Высокий интерес к подобным функционалам связан с их использованием в моделях рынка акций в финансовой математике, а также рядом задач, возникающих в современной теории временных рядов. В процессе решения подобных задач являются полезными различные варианты предельных теорем, позволяющие получать свойства стохастических интегралов от более сложных процессов, в частности, от фрактального броуновского движения с парамет-

ром Харста Н € (0,1). Данный гауссовский процесс, введенный в работах А. Н. Колмогорова [17] и Б. Мандельбротта, Й. Ван Несса [64], в общем случае не является ни марковским процессом, ни семимартингалом. Однако, с помощью рассмотрения дискретных интегралов от случайных блужданий, в работах [27], [44], [79] выводятся общие условия сходимости к интегралам Ито от стандартного броуновского движения (Н = 1/2), а в работе [67] - к интегралам по фрактальному броуновскому движению с параметром Харста И > 1/2. Таким образом, изучение некоторых свойств интегралов по фрактальному броуновскому движению сводится к исследованию дискретных стохастических интегралов по случайному блужданию, которые устроены значительно проще. Отметим также, что многие результаты, относящиеся к функционалам от стандартного броуновского движения, приведены в справочнике А. Н. Бородина, П. Салминена [7] и монографии А.Н. Ширяева [33], а также в работах [5], [6], [19], [24].

В настоящей работе рассматриваются функционалы «максимального» типа (главы 1 - 3) и функционалы типа локального времени (глава 2). При этом в главе 1 строятся стохастические представления от бернуллиевско-го случайного блуждания в виде дискретных стохастических интегралов, в § 2.4 главы 2 находятся распределения функционалов на некоторых случайных отрезках времени, а в главе 3 выводятся «максимальные» неравенства для скошенного броуновского движения £ [0,1] в непрерыв-

ном времени. В §§2.1, 2.2 главы 2 найдено распределение времени пребывания однородной марковской цепи со счетным множеством состояний, и полученные результаты применяются к скошенному случайному блуж-

данию {3%)к>о- В §2.3 главы 2 с помощью перехода к пределу получено распределение локального времени скошенного броуновского движения в непрерывном времени.

2. При решении конкретных задач теории стохастических процессов используются различные представления исследуемого случайного процесса X = или функционала от него. Выбор того или иного представле-

ния зависит как от свойств процесса (Х^^о, так и от специфики решаемой задачи. Так, если X - семимартингал, то существует триплет предсказуемых характеристик Т = (В, С, и) такой, что справедливо каноническое представление (см., например, [40, Гл. 3])

Хг = Х0 + ВЬ{К) + Хсг + [ [ 1г(х)(1([1 - у) + Г [ {х - к(х))(1/1,

Уо JR ¿0 ¿Ж

где Н(х) - функция урезания, В {К) - предсказуемый процесс ограниченной вариации, С - квадратическая вариация процесса Xе, ц - мера скачков процесса X, г/ - компенсатор меры //.

Если же X является субмартингалом с траекториями типа сас!^, то имеет место разложение Дуба-Мейера (см. [8])

Хг = Х0 + Аь + Ми

где А = ~ возрастающий процесс (компенсатор), а М = (М^^о ~

равномерно интегрируемый мартингал.

Если случайная величина £ является безгранично делимой, то ее характеристическая функция допускает представление Колмогорова-Леви-Хинчина (см. [74])

Еехр{^} = ехр{«0+ (е* - 1 - Ц^ЛХ^)} ,

где (3 € Е, а2 ^ 0, и А - некоторая мера на борелевской сигма-алгебре (Е,£(Е))сА({0}) = 0.

В настоящей работе мы рассматриваем так называемые стохастические интегральные представления (однократные представления) и пред-

оглавления хаоса (многократные представления) функционалов от случайных процессов в дискретном времени. Полученные нами однократные представления функционалов от случайного блуждания являются дискретными аналогами представлений для функционалов от стандартного броуновского движения о» полученных в работах [38], [10]. Одним из результатов данных работ является представление максимума М£ = тахо<в<т В3, которое также было получено другим методом в монографии [75]. Справедлива теорема ([38]):

Теорема. Для М^ = тахо^^г Д> имеет место стохастическое интегральное представление

Т

м£ = ем£ + [ -вг)ави (1.1)

Уо

где = =

Ф(х) = -4= Г е-У2/Чу.

V 27Г J-oo

В случае непрерывного времени существование однократных представлений для класса квадратично интегрируемых .Т^-измеримых функционалов, где ~ естественная фильтрация броуновского движения, гарантирует

Теорема (Ито-Кларка). Пусть случайная величина X = Х(ш) является Тт - измеримой и ЕХ2 < оо. Тогда найдется квадратично интегрируемый случайный процесс / = (/(£,а>))*е[о,:г], измеримый по паре переменных (¿, ш) и согласованный с фильтрацией шакой, что

1*

Х{и) = ЕХ + [ /(¿,ы)сШг Р-п.н. (1.2)

Уо

Хотя данная теорема принципиально и решает вопрос о существовании представлений типа (1.2) для квадратично интегрируемых функционалов, нахождение подынтегрального процесса (/(¿, с^))ге[о,т] в каждом конкретном случае является далеко не самой тривиальной задачей. Одним из мето-

дов является формула Кларка (см. [46], а также [57], [75]), согласно которой

№,и>) = Е(ОХ&Т\\Ъ)(ш), (1.3)

где ИХ - производная Маллявена функционала X. Предложенный П. Мал-лявеном в работе [63] метод исследования переходных вероятностей диффузионных процессов нашел применение для гораздо более широкого класса задач анализа, геометрии, теории случайных процессов. В частности, метод оказался полезен для исследования свойств интегральных функционалов от случайных процессов. Исчислению Маллявена посвящены книги В.И. Богачева [3], Б. Ыиа1аН [68], а таже монография N. РпуаиИ; [71].

Несмотря на всеобщность формулы (1.3), в каждом конкретном случае произвести вычисление производной Маллявена и найти явный вид процесса достаточно трудно. Поэтому в настоящей работе мы демонстрируем другой подход, основанный на использовании мартингала Ле-ви и разложения Дуба-Мейера процессов в дискретном времени. Одним из основных результатов первой главы является представление максимума Мх = тахо<к<ы Бк симметричного бернуллиевского случайного блуждания (8к)к>о- Доказана

Теорема 1.2. Для М^ = тахоо^лг справедливо следующее стохастическое представление:

N

Мы = + а(м - к> М*-1 - &-1)(1.4) к=1

где Авк = — Бк-1 и

к

а(к,т) = \Р(Мк = т) + Р(Мк > т) = 2'к'1С^12 + £ 2

1=т+1

В §1.1 делается предельный переход от дискретного стохастического представления (1.4) к непрерывному представлению (1.1).

Многократные стохастические представления в непрерывном времени строятся на основе многомерных интегралов Ито от детерминированных функций / е Ь2([0,Т]п). Само понятие многомерного стохастического ин-

теграла по броуновскому движению впервые было введено Н.Винером в [78], а позднее обобщено К.Ито в работе [55]. Идея построения этих интегралов та же, что и в случае одномерных интегралов Ито: сначала интеграл определяется для класса ступенчатых функций специального вида (см. [59]), а затем предельным переходом в L2(Q) он определяется и для функций / G L2([0,T]n). В итоге получается многомерный стохастический интеграл

Ш)= [ f(ti,...,tn)dBtl.--dBtn J[0,T]n

со следующими свойствами:

/Ч /ч

1) 1п{}) = /„(/), где f(tu...,tn) = -симметризация функции / £ L2([0, Т]п) (£п обозначает совокупность всех подстановок на множестве {1,..., п});

2) Е [In(f)] = 0 для / G L2([0,T]n);

3) Е[/2(/)] = п\ \\T\\l2 для / 6 L2([0,T]n);

4) если п ф m и /,£ G L2{[0,T)% то Е [/„(/) Jmfo)] = 0. Обозначим через Ь2уш([0, Т]п) класс таких симметричных функций / €

L2([0, Т]п), что для любой подстановки а £ Еп выполнено равенство

• • • > ^<т(п)) = /(¿ъ • • • j tri)- Справедлива следующая теорема (см. [59]), являющаяся многомерным аналогом теоремы Ито-Кларка:

Теорема (Винера-Ито). Пусть функционал F = F{u) является измеримым и EF2 < оо. Тогда для него существует, и притом единственное, многократное стохастическое представление

+00

F = EF + J2 Wn), где fn £ Ls2ym([0,Tf),

п= 1

называемое представлением хаоса.

Однако так же, как и в случае однократных представлений, возникает вопрос о нахождении явного вида функций /п. Ответ дается с помощью понятия вариационной производной 6 •

st-

fnih, • • • i in) = гЕ

п\

6п

6t\ • • • Str

где Р — ^^-измеримый квадратично интегрируемый функционал, для которого ищется представление хаоса (подробнее см. в [59], [71]).

В главе 1 строятся многократные представления для функционалов от случайного блуждания. В § 1.4 главы 1 находится многократное представление случайной величины /(£1 ,...,£п), где / : 1П I - произвольная функция, и с помощью этого представления получаются многократные представления функционалов ^дг и Рт_а. При этом существенно используются полученные в §§1.1, 1.2 однократные представления.

Примером применения стохастических интегральных представлений может служить следующая задача финансовой математики. Пусть в = 0(ш) - тот момент времени, когда стандартное броуновское движение (В^^о достигает максимума на отрезке [0,Т], то есть В в = тах0^т В^ Требуется найти предсказуемый (марковский) момент г*, на котором достигается инфимум

Под марковским моментом понимается такой случайный момент г*, что для любого Ь ^ 0 событие {а;: т*(ш) ^ ¿} £ .

С точки зрения финансового анализа, данная задача рассматривается в рамках модели, в которой цены на акции в течение определенного промежутка времени (день, месяц, ...) моделируются стандартным броуновским движением. Требуется выбрать такой предсказуемый момент времени г*, продажа в который имеющихся акций будет наиболее выгодна (в средне-квадратическом смысле). Важно отметить, что сам момент времени в является "внутренним" моментом броуновского движения, то есть зависит от значений на всем промежутке времени [О, Т]. Поэтому, наблюдая движение цен в течение дня, мы можем лишь предсказать в, строя различные оценки. Заметим также, что в силу установленного в работе [29] соотношения Е(Вт — Во)2 = Е|т — 6\ + 1/2, справедливого для любого марковского момента т ^ Т, получаем, что задача (1.5) эквивалентна задаче отыскания

(1.5)

Я*= Ы Е|т — 0\.

Для решения задачи (1.5) применим стохастическое представление (1.1)

Т к

и разложение Вв = ЕВо + /0 М^ — В^с1В1. С учетом тождеств Вальда (если Ет < оо, то ЕВт = О, ЕВ2 = Ет) и мартингального свойства интеграла Ито, имеем

Е(Вв - Вт)2 = ЕВ2в + ЕВ2Т - 2Е[ВвВт] = Т + Ет - 2Е[Вт{ЕВв +

[ -Вг)<1Вг)] = Т-2ЕВеЕВт + Е [ М-2 [ <Ш4х

7о и о иъ

х [ -в1)ав1 =Т+ е[ (1-2

Уо ] 3о

Таким образом, мы показали, что исходная задача (1.5) эквивалентна стандартной (подробнее см. §3.2) задаче поиска величины

II. = т| Е Г ( 1 - 2Ф(*, М? - Вг))&. (1.6)

Данная задача уже может быть решена при помощи развитой теории задач оптимальной остановки для марковских процессов. В работе [53] получена следующая теорема:

Теорема. Решение задачи (1.6) дается формулой

т* = шф 6 [О,Г] : М? -Вь = ^\ZT-i}, (1.7)

где константа находится из уравнения

4Ф(^) - -3 = 0.

Здесь (р = 1р(х) - плотность стандартного нормального распределения. При этом г* = 1.12..., К = 2Ф(г*) - 1 = 0.73...

Полученная формула (1.7) позволяет строить реальные стратегии торговли на бирже в предположении, что цены акций ведут себя как стандартное броуновское движение.

3. Первая часть главы 2 (§§2.1 - 2.3) посвящена вопросу о распределении вероятностей случайной величины МТЬ(а), которая есть число посещений состояния а однородной марковской цепью 2 = о до момента

тъ первого попадания цепи в состояние Ъ. Одним из основных результатов данной главы является нахождение распределения ЫТь (а) в общем виде. Имеет место

Теорема 2.1. Если а е Е иЪ 6 Е (6 ф а) таковы, что Ра(та < Ть) < то распределение времени Nn(a) относительно меры Рх задается формулами

'рх(ЛГТб(а) = 0) = 1-рх, Рх(Мч(а) = к)= рх(1 - ра)(Зка~\ к = 1,2,...,

где рх = Р х(та <п), х е Е\ {а}. В частности, ЕхЛ^(а) = (Зх/( 1 - /?а).

Фактически, эта теорема является следствием того, что отрезки марковской цепи между последовательными попаданиями в состояние а £ Е не зависят друг от друга. В качестве примера применения полученной теоремы в § 2.2 рассматривается скошенное случайное блуждание = Доопределение. Скошенным случайным блужданием с параметром а 6 [О, 1] будем называть однородную марковскую цепь 5а = ¿>0 =

с множеством состояний Z и переходной функцией

а, если г = 0, ] = 1,

1 — а, если ¿ = 0, ] = —1,

1/2, если I ф 0, [¿ — ^'1 = 1,

0 в остальных случаях.

Заметим, что в соответствии с терминологией, данной в книге Ф. Спице-ра [28], тот или иной процесс в дискретном времени относится к семейству случайных блужданий, если его переходная функция р^ зависит только от разности г —у. Поэтому, строго говоря, процесс не является слу-

чайным блужданием из-за его поведения в нуле. Однако, в силу схожести структуры и свойств (так, при а = 1/2 процесс (З^До является симметричным бернуллиевским случайным блужданием), мы решили оставить связь со случайным блужданием в названии процесса 5а. Отметим также,

что теория случайных блужданий подробно изложена в книгах [28], [73] и монографии [1].

В рассматриваемой главе для скошенного случайного блуждания все параметры распределения случайной величины N^(0) найдены в явном виде. В частности, получены обобщения ранее известных результатов. Так, в случае симметричного бернуллиевского случайного блуждания известно (с