Дискретные аналоги некоторых свойств броуновского движения и других процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 519.21

Мшцевко Андрей Сергеевич

ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ И ДРУГИХ ПРОЦЕССОВ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор А. Н. Ширяев

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Гущин

кандидат физико-математических наук, доцент М. В. Козлов

Центральный экономико-математический институт РАН (ЦЭМИ РАН)

Защита диссертации состоится ". ^ "_марта_ 2006 г. в

16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 17 " февраля 2006 г.

I*

ченый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор р Т.П.Лукашенко

/ ç>Ob 4

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В теории случайных процессов одно из центральных мест занимает теория броуновского движения. Обнаружено множество соотношений между самим броуновским движением, различными функионалами от него или другими связанными с ним процессами.

Речь идет, например, о таком результате как теорема Питмана1, утверждение которой состоит в следующем.

Пусть (В^ь^о — стандартное броуновское движение, а М( := вир,^ Ве процесс его максимума. Пусть (А«)«>о трехмерный процесс Бесселя, а J^ Тогда следующие пары процессов совпадают по распределению

При этом условные распределения Law(Jt | Ft) и Law{Rt—Jt | il) являются равномерными распределениями на отрезке [0, iït], где Ft := cr(R,\ а < i).

Другие два известных соотношения, связывающие броуновское движение и процесс Бесселя размерности три — теоремы Вильямса2. Это два смежных утверждения, связь между которыми состоит в том, что они получаются друг из друга с помощью некоторого преобразования, включающего в себя инверсию времени и линейную операцию над фазовой переменной. Приведем формулировку одного из них, называемого разложением Вильямса8.

Зафиксируем некоторое Ь > 0. Пусть с — случайная величина, равномерно распределенная на [0, b], (Bt)t>о ~ стандартное броуновское движение, a (J?t)t>о и (Я^^о — процессы Бесселя, причем все эти четыре случайных элемента независимы. Определим случайные моменты времени

1 J.Ptomm. One-dimentional Browniaa motion and the thre&-dimentional Beœel process. - Adv. Appl. Prob. 7 (1975) p. 511-626.

2D. Wilhams. Decomposing the Browniaa path. - Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970) p. 871-873.

3 D.Revuz, M. Yor. Continuous Martingales and Browniaa Motion. Berlin-Heldelberg: Springer-Verlag, 1999, Гл. VII, (4.9)

(2Mt-Bt,Mt)tzo = (Rt,Jt)m.

law

сое. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛ Clic 99

{U}i=1,2,3 по формулам

ix = inf{i|ßt = c},

h — h = sup{i IД} = с},

t3-t2 = inf{i I Äf = b}.

Тогда процесс (lt)t<t3, определенный по формуле

'Bt, 0 < t < ii, У(:= с-ЯЦ, h

k ^¡-ta! Î2 < Î < <3,

является стандартным броуновским движением, рассматриваемым до момента первого достижения уровня Ь.

Важную роль в теории броуновского движения занимает функционал локального время. Этот процесс впервые ввел в рассмотрение в своей par боте П. Леви4. Одно интересное соотношение, называемое теоремой Леви, касается именно этого функционала.

Утверждение этой теоремы состоит в том, что для стандартного броуновского движения {Bt)m процесса его максимума (Mt)t^o и локального времени в нуле (Lt)t%о имеет место следующее равенство по распределению

(Mt-BuMt)t>0 l^(\Bt\,Lt)tzo.

Процесс локального времени подробно изучался во многих работах, в частности, в работе X. Танака5, где были доказаны следующие его представления, называемые формулами Танака.

Пусть (i?t)t;so — стандартное броуновское движение, a (Lf ) его локальное время в точке а. Тогда имеют место следующие соотношения

ц/2 = (Bt-a)+-til{B,>a}dB„ Ц = \Bt — а| — /о sgn(B4 - о) dB,.

Эти формулы также можно рассматривать как одно из эквивалентных определений локального времени.

*Р. Léay. Sur certain processus stochastiques homogènes. - Comp. Math. 7 (1939), p. 283-339.

*ff. Tanaka. Note on continuous additive functional of the l-dimensional Brownian path. -Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 1 (1963), p. 251-257.

Доказательство всех приведенных утверждений, а также определения всех упомянутых процессов можно найти в подробной монографии по теории броуновского движения Д. Ревуза и М. Йора®.

Настоящая работа посвящена отысканию дискретных аналогов различных свойств броуноского движения и других связанных с ним случайных процессов. В качестве дискретной аппроксимации броуновского движения мы рассматриваем простейшее симметричное случайное блуждание, то есть блуждание, шаг которого имеет распределение Бернулли. На его основе мы строим дискретные аналоги многих функционалов от броуновского движения и других процессов, таких как время пребывания выше заданного уровня, значение максимума и точка достижения этого максимума, локальное время на заданном уровне, процесс Бесселя размерности три. Далее для построенных функционалов доказываются дискретные варианты соотношений, выполненных в непрерывном времени, в частности, мы доказываем дискрентые аналоги всех приведенных выше утверждений.

Наши исследования затрагивают и другие свойства броуновского движения, процесса Бесселя размерности три, а также других случайных процессов, в том числе таких как броуновский мост и броуновский меандр. Известно7, что модуль броуновского моста в сумме со своим локальным временем в нуле является броуновским меандром. Установлено8 также, что процесс Бесселя размерности три и броуновский меандр имеют эквивалентные распределения, причем плотность линейно зависит от значения в последний момент времени. Для этих и других утверждений в диссертации доказываются дискретные версии.

В первой главе приводится дискретный аналог уже упоминавшейся классической теоремы Леви, а также ее обобщения для случая броуновского движения со сносом, которое впервые было доказано в работе С.Б. Гравер-сена и А.Н. Ширяева9. Утверждение этой теоремы следующее.

* D.Rema, М. Kor. Continuous Martingalee and Brownian Motion. Berlin-Heldelberg: Springer-Verlag, 1999

тнапрнмер, D.Rema, M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion. Berlin-Heidelberg: SpringerVerlag, 1999, Гп. ХП, (4.25)

'например, там же, Гл. ХП, (4.18), 3°

'Graveraen З.Е., Shiryaev A.N. AnextensionofP. Livy's dlstributional property to thecaseof a brownian motion witfa drift. - Research repart Jft22 (September 1998), Centre for Mathematical Physlcs and Stochastik,

Пусть (Bt)tz о - броуновское движение со сносом Л, то есть В} := Bt + A t. Обозначим через MtA := sup8<t В, процесс его максимума. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

dXt — dBt — A sgn Xt dt, Xq = 0,

и обозначим через (Xx)t^o его решение. Тогда следующие пары процессов одинаково распределены

(М* - Bî, Mî)t>0 (\Xtx\,L(X*)t)t>0,

где L{Xx)t обозначает локальное время в нуле процесса

Дискретный аналог этого результата формулируется для несимметричного простейшего случайного блуждания.

Еще одним интересным утверждением о броуновском движении, которому мы уделяем внимание, является закон арксинуса, установленный в уже упоминавшейся работе П. Леви10. В действительности известно три различных закона арксинуса, которые можно объединить в одну общую теорему.

Пусть {Bt)tçi — стандартное броуновское движение на отрезке [0,1]. Обозначим 01 = argsups<1 В,, 71 = /0 Тогда все три величины , д\ и 71 распределены по закону арксинуса

Р(0Х е dx) = Р(л е dx) » P(7l е dx) = 1

ТГу/х{1-х)

Воспользовавшись этим утверждением и свойством автомодельности броуновского движения, легко сделать вывод, что справедливо следующее соотношение.

Пусть (Bt)t>о — стандартное броуновское движение, а процессы 7t и 9t такие как определено выше. Тогда распределения этих величин совпадают при каждом фиксированном t.

о law

щ = Ъ-

Во второй главе диссертации приводятся различные обобщения этого последнего равенства. Так, вместо функционала мы рассматриваем величину 7" = /g*I{B,>a},ds, для произвольного неотрицательного а, а вместо

Aurhue Univerrity (to be published in Berloulli)

10P. Lévy. Sur certain processus stochastiques homogènes. - Сотр. Math. 7 (1939), p. 283-339.

одномерных, некоторые трехмерные условные распределения, и доказываем их равенство. Это утверждение получено предельным переходом в соответствующем дискретном соотношении, которое представляет и самостоятельный интерес. Полученное соотношение в частном случае а = 0 упоминалось в эквивалентной форме в книге И. Каратзаса и М. Шрива11, но для общего случая а > 0 оно является новым. В заключение второй главы полученный результат для а = 0 обобщается на случай броуновского движения со сносом и броуновского моста, идущего в произвольную точку. Для рассматриваемых совместных распределений не только установлено их совпадение, но и вычислен явный вид, в чем неоценимую помощь оказал справочник А. Бородина и П. Салминена12.

Третья глава диссертации посвящена изучению свойств дискретного процесса Бесселя размерности три. Мы приводим четыре эквивалентных определения этого процесса, описывающих его с различных точек зрения. В первых двух определениях этот процесс задается как некоторый функционал от простейшего случайного блуждания. В третьем определении указана его переходная функция как марковского процесса. Последнее определение состоит в задании плотности распределения этого процесса относительно распределения простейшего симметричного случайного блуждания.

Далее д ля построенного процесса доказываются аналоги соотношений, связывающих процесс Бесселя размерности три и броуновское движение в непрерывном времени. Среди них, в частности, дискретный вариант приведенного выше разложения Вильямса.

В теории случайных процессов вопрос об аппроксимации непрерывных процессов их дискретными аналогами изучается давно. Различные свойства таких дискретных процессов интересны и сами по себе, и с точки зрения возможности совершить в них предельный переход к непревному времени. Обычно, эти предельные переходы опираются на различные обобщения теоремы, называемой принципом инвариантности Донскера-Прохорова, получившей свое название благодаря работам М. Донскера13 и Ю.В. Прохо-

11/. Kantzaa, M. Shreve. Brownien Motion and Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1987, 8.3.9, p. 425]

UA. Бородин, П. Салминен. Справочник no Броуновскому Движению. Спб.: Издательство "Лаяь",

2000

uAi. Donsker. An invariance principle for certain probability limit theorems. - Mem. Amer. Math. Soc. 8

ровам.

Эта теорема утверждает, что если {г)п)п=1,г,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Ет?„ = О, Erin = 1, то случайное блуждание В„ := Ya=i Vk слабо сходится к стандартному броуновскому движению (Bt)t^o в следующем смысле. Рассмотрим случайный процесс в непрерывном времени (Bt)t^o, построенный по этому случайному блужданию с помощью кусочно-линейной интерполяции, тогда

( ) Л (£t)t;>o,

\vm Jt>0

при m —► оо в смысле слабой сходимости распределений в пространстве С [0, оо).

Доказано множество различных обобщений этого результата, многие из них можно найти в монографии П. Биллингсли15, или в книге Ж. Жакода и А.Н. Ширяева16.

Из всего многообразия подобных результатов выделим уже упоминавшуюся работу Дж. Питмана17 в которой, помимо прочих результатов, строится дискретный аналог процесса Бесселя размерности три и доказывается его сходимость к непрерывному процессу Бесселя в смысле принципа инвариантности. Именно этот процесс мы и изучаем в третьей главе, называя его дискретным процессом Бесселя.

Также особый интерес для нас будет представлять совместная работа М. Йора, А.С. Черного и А.Н. Ширяева18, в которой с помощью интегральных сумм построенных по случайному блужданию аппроксимируется стохастический интерграл по броуновскому движению и теорема Донскера-Прохорова обобщается на этот случай. Идеи доказательства этой теоремы

(1951-52).

иЮ.В. Прохоров Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. — Теория вероятностей и ее применения, 1956, т. 1, вып. 2, с. 177-238.

"Я. Биллингсли Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977, 362 с.

UJ. Jacoi, A.N. Shiryaev Limit théorème for etochastic proceesee. Berlin: Springer-Veriag, 1987.

17 J.Pitrnan. One-dimentional Brownian motion and the three-dimentional Beeeel process. - Adv. Appt. Prob. 7 (1975) p. 511-526.

l'A.S.Cherny, A.N.Shiryее», M.Yor. Limit Behaviour of the "Horizontal-Vertical" Random Walk and Some Extensions of the Donsker-Prokhorov Invariance Prindple. - Теория вероятностей и ее применения, 2002, т. 47, т, С. 498-516.

восходят к работам A.B. Скорохода19. Используемый нами результат состоит в следующем.

Пусть Вп := Vk — такое же случайное блуждание как и в классическом принципе инвариантности, а /(х) некоторая функция. Рассмотрим стохастический интеграл It := $ f(B,)dBs, и построим его дискретный аналог. А именно, выберем некоторое m > 0, положим I™ := £"=i /(^г)7?*' а затем доопределим этот процесс с помощью кусочно-линейной интерполяции. Предположим, что выполнено одно из двух условий: либо функция f(x) кусочно-непрерывна, либо распределение rjn имеет нетривиальную абсолютно непрерывную относительно меры Лебега компоненту. Тогда при т—» оо имеет место сходимость

в смысле сходимости распределений в пространстве С[0, оо)2.

Она используется в диссертации для совершения предельного перехода в утверждениях, затрагивающих функционал локального времени, к которому принцип инвариантности в классической формулировке неприменим.

Мы строго обосновываем предельный переход к непрерывному времени только во второй главе при изучении функционалов, связанных с законом арксинуса. Но для большинства других дискрентых утверджений, приводимых в диссертации, возможность такого перехода не вызывает сомнения и сопряжена, возможно, лишь с чисто техническими трудностями.

Цель работы.

Целью работы является отыскание дискретных аналогов различных свойств броуновского движения и связанных с ним процессов, таких как броуновское движение со сносом, броуновские мосты, броуновский меандр, процесс Бесселя размерности три и других.

10 A.B. Скороход. Исследование по теории случайных процессов. К.: 1961, 216 с.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Сформулированы и доказаны дискретные аналоги теоремы Леви, теоремы Питмана, разложения Вильямся и других свойств броуновского движения и связанных с ним процессов.

2. Получено новое равенство по распределению, связывающее, в фиксированный момент времени, значение броуновского движения, точку достижения им своего максимума, значение этого максимума, локальное время в некоторой точке а > 0, а также время пребывания выше уровня а.

Методы исследования.

В доказательствах утверждений диссертации применены методы стохастического анализа: теория марковских процессов, метод замены меры, предельные теоремы, а также различные комбинаторные построения.

Теоретическая и практическая ценность.

В диссертации решается ряд задач стохастического анализа.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны при изучении свойств броуновского движения и других процессов, особенно, при аппроксимации этих процессов функционалами от простейшего случайного блуждания.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре «Стохастический анализ и финансовая математика» кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, октябрь 2005 г.

По теме диссертации также был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, октябрь 2005 г.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем работы составляет 69 страниц. Список литературы включает 19 наименований. Собственные результаты автора и в тексте диссертации, и в автореферате называются «теоремами», «леммами» и «следствиями». Цитируемые утверждения называются «предложениями».

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 является вводной. В ней приводятся основные обозначения, определения и доказываются некоторые вспомогательные результаты. Также здесь формулируются известные свойства броуновского движения и смежных процессов, которые либо будут использованы в доказательствах, либо предназначены для сравнения со своими дискретными аналогами, приводимыми в диссертации.

Для изучаемых случайных процессов мы используем следующие обознаг чения: обозначает стандартное броуновское движение, —

его локальное время в точке а, — время проведенное выше уровня а. будет обозначать процесс максимума броуновского движения,

а Ь точку достижения этого максимума, то есть Вв, — М*. Через обозначается процесс Бесселя размерности три, а также мы обозначаем К? := Мг Л (Mt - Вь — а)- Все дискретные процессы мы будем обознаг чать теми же буквами, что и их непрерывные аналоги, но над ними всегда будет ставиться волна, так же как это сделано в самой диссертации для избежания путаницы при предельном переходе от дискретного времени к непрерывному.

Важным понятием в теории броуновского движения является понятие экскурсии, под которой понимается отрезок траектории между двумя соседними нулями. В первой главе вводится понятие экскурсии для случайного блуждания, это понятие используется на протяжении всей работы. Оно

несколько отличается от классического, поэтому остановимся на нем поподробнее. Для случайного блуждания (В„) рассмотрим следующие моменты времени

Го = о, = тт{& > г0~ \вк = 1}- 1,

г? = = тт{& > \вк = 0} — 1,

Т1 = = тт{& > т{~ \вк = 1}- 1,

Т2 = ОгГ. — тт{& > 1 Вк = 0>- 1,

Определение 1. Точки, задаваемые формулами (1) разбивают временную ось на отрезки, которые мы будем называть экскурсиями случайного блуждания. Более точно, будем называть часть траектории {(з, БД я е 1тк' ^-той положительной экскурсией, а часть {(а, В,), з 6 [т)~, <тЦ]} А;-той отрицательной экскурсией.

Неформально, основное отличие от классического определения состоит в том, что мы принимаем за «начало отсчета» не точку 0, а точку 1/2. То есть, именно моменты пересечения уровня 1/2 считаются границами между экскурсиями. Такой, на первый взгляд, незначительный нюанс в определении экскурсии, как оказалось, имеет решающее значение. На основе такого разбиения на экскурсии мы строим несколько важных отображений на множестве траекторий простейшего случайного блуждания, которые определенным образом переставляют и переворачивают экскурсии. Построение этих отображений и доказательство их свойств является основной частью диссертации. Именно с помощью подобных построений доказываются основные утверждения, касающихся дискретного времени.

Также в первую главу вынесено доказательство дискретного аналога теоремы Леви, а также ее обобщения на случай броуновского движения со сносом. Чтобы сформулировать это утверждение, рассмотрим случай, когда простейшее случайное блуждание несимметрично. Зафиксируем число Л € (—1/2,1/2), и пусть независимые одинаково распределенные случайные величины {£п}п=1,,.. имеют следующее распределение = Д) = 1/2 + ЛД, Д = ±1. Рассмотрим случайное блуждание В* ]С"=о & и обозначим через (М^)п=0,1,... процесс его максимума.

Построим далее марковский процесс (Х*)п=о,1,.., выходящий из нуля и имеющий следующую переходную функцию

Р(Хп\г - Х„Л = Д1 я,) = 5 - А до - 0 Д, Д = ±1,

и обозначим через Iх количество пересечения процессом (Х^к^п уровня 1/2. В этих обозначения справедлива следующая теорема, которая является дискретным аналогом уже упоминавшегося обобщения теоремы Леви на случай броуновского движения со сносом.

Теорема2. Пусть (£?*)„=од,..., , (Х^)п=од,... и (¿*)„=од,... -

процессы, определенные выше. Тогда распределения следующих пар процессов совпадают.

(МПА - В„\ М„л)п=0д,... (№ - 1/2| - 1/2, ¿¿)„-од,.

Заметим, что при А = 0 процесс (X®) есть ни что иное как простейшее симметричное случайное блуждание, и мы получаем дискретный аналог классической теоремы Леви.

Глава 2 посвящена изучению функционалов, связанных с законами арксинуса, а так же их дискретных аналогов. Вначале здесь доказывается утверждение о совпадении некоторых дискретных трехмерных условных распределений, для формулировки которого требуется построить дискретные аналоги различных функционалов от броуновского движения. А именно, для простейшего случайного блуждания (5п)п=о,1,... положим

М„ := твхк<пВк, в„ := тш{Л < га | В* = М„}, Кап :<> Мп А (М„ — В„ — а),

то есть 6п обозначает самую левую точку достижения случайным блуждаг нием своего максимума, а есть количество значений, строго больших а. Введем также процесс

п

который «считает» количество пересечений случайным блужданием уровня а + 1/2 сверху вниз, этот процесс является дискретным аналогом величины Lt! 2. В этих обозначениях оказывается справедливым следующее утверждение

Теорема 3. Для дискретных процессов, определенных выше, при каждом натуральном п и любом целом а > 0 имеет место следующее равенство совместных условных распределений

Law(7°, TV", Вп | Мп ^ а) =

= Law(0„, Вп + 2а\Мп-Вп> а)

Далее в этом утверждении производится предельный переход, что приводит к аналогичному результату в непрерывном времени.

Теорема 4. При произвольных неотрицательных а и t для рассматриваемых выше функционалов от броуновского движения следующие условные совместные распределения равны

Law(7t0,L?/2,ßt|Mt>a) = = Law(0(, Kl Bt + 2a | Mt - Bt > a).

В заключение главы с помощью техники замены мерк утверждение теоремы 4 в случае а = 0 доказывается для броуновского движения со сносом и для броуновских мостов, идущих из нуля в произвольную точку.

В случае непрерывного времени, помимо непосредственного доказательства совпадения соответствующих распределений, вычислен также их явный вид.

Глава 3 содержит детальное изучение дискретного процесса Бесселя размерности три. Вначале приводятся различные определения этого процесса и доказывается их эквивалентность. В качестве первого берется определение из статьи Дж. Питмана20, а именно

Определение 5. Дискретным процессом Бесселя назовем процесс (•Rn')n=o,i, , задаваемый равенством

_Я£> := 2М„ - Вп.

xJ.Pitmm. One-dimentional Brownlan motion and the three-dimentional Beseel process. - Adv. Appl. Prob. 7 (1975) p. 511-526.

Второе определение также задает дискетный процесс Бесселя как функционал от случайного блуждания. Эквивалентность тут же следует из приведенной выше дискретной теоремы Леви.

Определение 6. Процесс (Ж^)п=ю,1,... определенный по следующей формуле

Д<2>:=|В„-1/2|-1/2 + 1п, (2)

также будем называть дискретным процессом Бесселя.

В третьем определении мы указываем переходную функцию дискретного процесса Бесселя, который, как нетрудно проверить, является марковским.

Определение 7. Дискретным процессом Бесселя, обозначаемым через (я!3))п=од, ) мы будем называть марковский процесс, выходящий из нуля и имеющий следующую переходную функцию

р(л& - = ДIД^) = 5 ■ ^УгЦА д-±1.

<• Кп +1

Для того, чтобы дать последнее четвертое определение дискретного процесса Бесселя, нам придется ограничиться конечным временным интервал лом. Обозначим через множество всех неотрицательных траекторий случайного блуждания до момента времени N, и построим вероятностную меру , заданную формулой

Другими словами траектория, имеющая в последний момент времени значение х, наделяется весом, пропорциональным величине (х +1).

Определение 8. Дискретным процессом Бесселя (Дп')п<лг назовем канонический процесс на пространстве П £, рассматриваемый относительно меры (¿я. Под каноническим понимается процесс, заданный равенством

Теорема 9. Все четыре определения дискретного процесса Бесселя эквивалентны между собой, то есть все четыре процесса

имеют одно и то же распределение вероятностей; в дальнейшем все эти процессы мы будем обозначать просто через (Лп)п=о,1, • При этом, распределение процесса {Rn)n=од,.. сходится к распределению непрерывного процесса Бесселя (Rt)t%о в смысле принципа инвариантности Донскера-Прохорова. А именно, если через (Rt)tzo обозначить кусочно-линейную интерполяцию процесса (Д,)n=o,i,...> то

\-j=Rmt} (Rt)rn Wm ) т

при т —* оо в смысле слабой сходимости распределений в пространстве С[0, оо).

После того как дискретный процесс Бесселя определен, в диссертации изучаются его свойства. Чтобы их сформулировать, потребуется ввести некоторые обозначения и дать еще одно определение. Обозначим через множество траекторий простейшего случайного блуждания. Для дискретного случайного процесса (Xn)n=o,i, принимающего значения в пространстве Qx и целого числа а определим следующие случайные моменты времени.

la(X) := inf{n | Х„ = а}, la+(X) := inf{n | Х„ = а + 1} — 1, ra.{X) := sup{u | Х„ = а — 1} + 1, га(Х) •.— sup{n | Х„ = о}.

Определение 10. Пусть (Rn) дискретный процесс Бесселя. Процесс, задаваемый равенством

мы будем называть положительным дискретным процессом Бесселя.

В этих обозначениях справедливы дискретные аналоги многих утверждений, имеющих место в непрерывном времени. Три последующие леммы являются дискретными вариантами утверждений [Гл. VII, (4.8)], [Гл. VI, (3.9)], [Гл. VII, (4.6)] из уже упоминавшейся монографии по броуновскому движению21. Непрерывные прототипы дискретных версий теорем Вильямса можно найти там же: [Гл. VI, (3.11)] и [Гл. VII, (4.9)].

31 D.Revuz, М. Yor. Continuous Martingalee and Brownian Motion. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1999

Лемма 11. Пусть (Я„)п=од,.. дискретный процесс Бесселя. Выберем произвольное целое а > 0 и рассмотрим момент 1а+{В) ■ Процесс (Лп), остановленный в этот момент, обладает симметричностью распределения в следующем смысле.

(Я")п<;10+(я) ^ (а ~ Аа+(Д)-п)п<1„+(й)'

Лемма 12. Пусть (Яп)п=од,.. дискретный процесс Бесселя, а целое число а > О. Обозначим Зп := Як ■ Пусть некоторый случайный момент времени V обладает свойством В.„ = , и к тому же является моментом остановки относительно двумерного процесса (Ёп, Зп) ■ Тогда процесс (Яп)п=о,1,.. задаваемый формулой Яп ~ Ап+и — Ви независим от (Лп)п<1/ и также является дискретным процессом Бесселя. В частности в качестве и можно взять момент Га-(Л).

Лемма 13. Пусть (Яп)п=од,... вновь обозначает дискретный процесс Бесселя, а (2?п)п=од,. некоторое симметричное случайное блуждание. Зафиксируем произвольное целое а > О и рассмотрим моменты га(Щ и 1а+(В) ■ Тогда следующие два процесса равны по распределению

Также справедливы и некоторые вариации этих лемм, касающиеся положительного дискретного процесса Бесселя.

Доказательство этих и последующих утверждений существенно опирается на один технический вспомогательный результат, для формулировки которого введем следующее обозначение. Пусть Плг обозначает множество всех, а £1% — неотрицательных траекторий случайного блуждания до момента времени N.

Лемма 14. Зафиксируем неотрицательное число N. Можно считать, что формула (2) из определения 6 задает некоторое отображение ■фх : Плг —, которое переводит траекторию (В„)п^у в траекторию (Дп )п<лг- Это отображение обладает следующим свойством. Для каждой траектории

= {и>£.....6

имеющей в конечный момент времени значение х := R^\ui+) и для

всякого целого у из отрезка 0 < у < х, существует и единственна траектория ф^(и;+,у) = w 6 Пдг, для которой Ln[w) — У, о, фы{и) = ш+.

С помощью приведенных вспомогательных утверждений доказываются основные результаты главы. Приведем их формулировки.

Теорема 15 (Дискретный вариант теоремы Вильямса). Выберем произвольное целое число b > 0. Пусть следующие четыре случайных элемента независимы. Случайная величина а имеющая дискретное равномерное распределение на отрезке [0,6]. Симметричное случайное блуждание (Bn)n=o,i, ., выходящее из точки Ь. Два дискретных процесса Бесселя (Ri)n=o,i,... и (Л£)п=о,1,... ■

Определим моменты времени щ и по формулам

щ = lb(Rl) := inf{n|^ = b}, щ-щ = la(B) := inf{ra | Bn = o}.

Тогда процесс (■Xn)n=o,i,". > определенный по формуле

' R\, 0 < п < щ, Хп ' ВП-П1, щ < п < П2,

имеет распределение дискретного процесса Бесселя.

Теорема 16 (Дискретный вариант разложения Вильямса). Зафиксируем некоторое целое число Ь > 0 и зададим следующие четыре независимых случайных элемента. Случайная величина с с дискретным равномерным распределением на отрезке [0, Ь]. Простейшее симметричное случайное блуждание (.Bn)n-o,i, . Два положительных дискретных процесса Бесселя (Л+д)п=о,1,. и (Л^'2)„=од,....

Определим моменты времени гщ, т2 и гпз по формулам

mi = 1С+(В) тщ — пц = г^Д"1"'1) ГП3—ТП2 = lb+(R¥,i)

= inf{ra [ Д, = с + 1} — 1, = supinl^'1 =с}. = mf{n|fl+'2 = b + l}-l.

Тогда процесс (Уп)п^тз, определенный по формуле

Вп, 0 < п. < пи,

Уп ~ С- ГЩ ^ п < 7712,

к К^-т,, т2 < п < ТПз,

имеет распределение простейшего симметричного случайного блуждания, остановленного в момент 1ь+ ■

Как уже упоминалось выше, доказательства основных утверждений, каг сающихся дискретного времени, основываются на построении некоторых преобразований на множестве траекторий случайного блуждания и изучении их свойств. При этих построениях важную роль играет описанное в самом начале понятие разбиения траектории на положительные и отрицательные экскурсии.

Работа выполнена под руководством членагкорреспондента РАН, профессора Альберта Николаевича Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность. Также автор благодарит кф.-м.н. Александра Семеновича Черного за помощь и поддержку.

Список работ автора по теме диссертации

[1] А.Мищенко. О трех законах арксинуса. — Успехи математических наг ук, 58 (2004), вып. 6, с. 159-160.

[2] А.Мищенко. О распределении вероятностей некоторых функционалов от случайного блуждания. — Теория вероятностей и ее применения, 50 (2005), вып. 4, с. 789-796.

[3] А.Мищенко. Дискретный процесс Бесселя и его свойства. — Теория вероятностей и ее применения, 50 (2005), вып. 4, с. 797-806.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж /Р 0 экз. Заказ № /3

33 92

Введение

Глава 1. Основные обозначения, понятия и вспомогательные результаты

§ 1.1. Рассматриваемые случайные процессы

§ 1.2. Понятие разбиения траектории простейшего случайного блуждания на экскурсии

§ 1.3. Известные свойства броуновского движения и других ф процессов

§ 1.4. Дискретный вариант теоремы Леви

Глава 2. О распределении функционалов, связанных д с законами арксинуса

§ 2.1. Случай дискретного времени

§ 2.2. Предельный переход к непрерывному времени.

§ 2.3. Обобщение на случай других процессов.

Глава 3. Дискретный процесс Бесселя размерности три

§ 3.1. Определение дискретного процесса Бесселя ф

§ 3.2. Свойства дискретного процесса Бесселя.

В теории случайных процессов давно изучается вопрос об аппроксимации непрерывных процессов их дискретными аналогами. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы построить дискретные аналоги различных функционалов от броуновского движения и изучить их.

В качестве дискретной аппроксимации броуновского движения мы рассматриваем простейшее симметричное случайное блуждание, то есть блуждание, шаг которого имеет распределение Бернулли. На его основе мы строим дискретные аналоги многих связанных с броуновским движением процессов, таких как локальное время, время пребывания выше заданного уровня, значение максимума и точка достижения этого максимума, броуновский мост и броуновский меандр. Особое внимание уделяется процессу Бесселя размерности три. Определения всех этих процессов можно найти в очень подробной монографии по теории броуновского движения [12].

Для построенных дискретных процессов мы доказываем дискретные варианты многих известных утверждений, имеющих место в непрерывном времени. Например, в теории броуновского движения хорошо известен следующий результат П. Леви (см., например, [12; IV (2.3)])

Предложение 1.6 (Теорема Леви). Для стандартного броуновского движения (Bt)t>о процесса его максимума (Mt)t>о и локального времени в нуле {Lt)t>о имеет место следующее равенство по распределению.

Mt-Bt,Mt)t>0l^(\Bt\,Lt)t>0.

Рассмотрим теперь простейшее симметричное случайное блуждание (Дг)п=о,1,., обозначим процесс его максимума через Мп = supk<nBk, и построим дискретный аналог локального времени в нуле п i=1 другими словами величина Ln равна количеству пересечений уровня 1/2 случайным блужданием до момента времени п. В этих обозначениях имеет место следующее соотношение

Теорема 1.11 (Дискретный вариант теоремы Леви). Пусть процессы (Вп)п=од,., (Mn)n=o,i,. и (Ln)n=од,. такие как определено выше. Тогда распределения следующих двумерных процессов совпадают

Мп - ВП} Mn)n=o,i,. (|Вп - 1/2| - 1/2, Ln)n=0,i,.

В дальнейшем мы также будем обозначать дискретные процессы теми же буквами, что и их непрерывные прототипы, но над ними всегда будет ставиться волна, так же как в формулировке предыдущего утверждения. Это делается для избежания путаницы во время предельного перехода от дискретного времени к непрерывному.

Помимо классической теоремы Леви (предложение 1.6), известно ее обо-щение на случай броуновского движения со сносом (В* := Bt + Xt)t>o.

Предложение 1.7. Пусть (Bx)t>0 — броуновское движение со сносом А. Обозначим через MfA := sups<t Вх процесс его максимума. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение dXt = dBt — A sgn Xt dt, X0 = 0 и обозначим через {X£)t>o его решение. Тогда следующие пары процессов одинаково распределены

Mtx - В1м})ъо (\X?lL(Xx)t)t>0, где L{Xx)t обозначает локальное время в нуле процесса (Xt)t>о.

Впервые это утверждение было доказано в работе С.Е. Гравереена и А.Н. Ширяева [6] исходя из классической теоремы Леви с помощью техники замены меры. В более поздней статье А.С.Черного и А.Н. Ширяева [3] приводится непосредственное доказательство. Для этого обобщения теоремы Леви мы также доказываем дискретный аналог, который формулируется для несимметричного случайного блуждания.

Другим хорошо известным утверждением о броуновском движении, которому мы уделяем внимание, является закон арксинуса, впервые установленный в уже упоминавшейся работе П. Леви [9]. В действительности, известно три разных закона арксинуса, которые можно объединить в одно общее утверждение.

Предложение 1.2. Пусть (Bt)t>о — стандартное броуновское движение. Обозначим положение последнего пуля через gt — sup{s < t J Bs — 0}, время пребывания его выше нуля через 7f — /0*I{ns>o},ds, а точку достижения своего максимума через dt — argsupa<f Bs, то есть B$t — supa<tBs. Тогда все три величины д\, 71 и в\ распределены по закону арксинуса

P(Si € dx) - P(7l € dx) - Р(в1 в dx) = 1

7Гу Ж(1 — X)

Воспользовавшись этим утверждением и свойством автомодельности броуновского движения, легко сделать вывод, что справедливо следующее соотношение.

Предложение 1.3. Пусть (Bt)f>0 — стандартное броуновское движение. Обозначим время пребывания его выше нуля через 7{ — /ц /{в,>о}> ds, а точку достижения своего максимума через 6t — argsups<{ Bs, то есть Bgt — sups<t Bs. Тогда распределения этих величин совпадают при каждом фиксированном t

В диссертации приводятся различные обобщения этого последнего равенства. Так, вместо функционала jt мы рассматриваем величину для произвольного неотрицательного а, а вместо одномерных, некоторые трехмерные условные распределения, и доказываем их равенство.

Теорема 2.2. Пусть (Bt) — стандартное броуновское движение. Обозначим через Mt = sups<t Bs процесс его максимума, через {Lf) его локальное время в точке а. Обозначим также

Процессы (7^) и (6t) такие как описано выше. Тогда при фиксированном t и а > 0 имеет место следующее равенство совместных условных распределений

Это утверждение получено предельным переходом в соответствующем дискретном соотношении. А именно, рассмотрим дискретные аналоги процессов, упомянутых в предыдущей теореме. Для простейшего случайного

К? = Mt Л (Mt -Bt- а). t

Law (7ta, Щ2, Bt | Mt > a) = = Law (et, Кta, Bt + 2a | Mt - Bt > a). блуждания (Bn)n=o,i,. положим

Mn := maxk<nBk, 9n := min{A; <п\Вк = Mn} Kan := Mn Л {Mn — Bn — a), spn r In Z^k=01{Bk>a}^ n n то есть вп обозначает самую левую точку достижения случайным блужданием своего максимума, а есть количество значений, строго больших а. Введем также процесс п k=1 который «считает» количество пересечений случайным блужданием уровня а + 1/2 сверху вниз.

В этих обозначениях оказывается справедливым следующее утверждение

Теорема 2.3. Для простейшего симетричного случайного блуждания (Дг)п=о,1,. w его функционалов, определенных выше, при каждом натуральном п и любом целом а > 0 имеет место равенство по распределению

Law (7* Щ, Вп | Мп >а) = = Law (§п, К*, Вп + 2а\Мп~ Вп> а).

В заключение второй главы приводится обобщение полученных результатов для других случайных процессов, таких как броуновское движение со сносом и броуновские мосты. А именно, для этих процессов доказывается равенство аналогичное утверждению теоремы 2.2 в случае а = 0.

Другая часть диссертации посвящена изучению свойств дискретного процесса Бесселя размерности три. Речь идет о процессе, рассматриваемом в работе Дж. Питмана [10], а именно, для простейшего симметричного случайного блуждания (Вп)п=од,., и процесса его максимума (Mn)n=o,i,. положим

R* 2Мп - Вп.

Этот процесс мы и называем дискретным процессом Бесселя размерности три. В работе [10] доказана его сходимость к непрерывному процессу Бесселя, который мы будем обозначать (i?t)t>o

Помимо указанного выше определения мы приводим три других эквивалентных определения диекрентного процесса Бесселя, описывающих его с различных точек зрения. В одном из этих определений этот процесс задается как некоторый другой функционал от простейшего случайного блуждания. В другом определении указана его переходная функция как марковского процесса. Последнее определение состоит в задании плотности распределения этого процесса относительно распределения простейшего симметричного случайного блуждания.

Для этого дискретного процесса мы доказываем аналоги различных известных соотношений, выполненных для процесса Бесселя в непрерывном времени, в частности

Теорема 3.4 (Дискретный вариант теоремы Питмана). Рассмотрим процессы (jBn)n=0,ii., (M„)„=o,if. и (Rn)n=0,1,., определенные выше. Положим Jn := inffc>„ Rk- Тогда следующие двумерные процессы совпадают по распределению

2Мп — Вп, Mn)n=o,i,. (Я», Jn)n=o,i,-> причем условное распределение Law (Jn |Fn) является дискретным равномерным распределением на отрезке [0, Rn], то есть Jn принимает значения 0,1. Rn с равными вероятностями. Здесь Fn := cr(Rk, к = 0,1,. п).

Немалая часть работы посвящена доказательству дискретных вариантов теорем Д. Вильямса [16] (см. также ([12; VI, (3.11)], [12; VII, (4.9)]), двух утверждений о взаимосвязи между процессом Бесселя и броуновским движением. Чтобы их сформулировать нам потребуются следующие обозначения.

Для целого числа а и дискретного случайного процесса (Xn)n=o,i,. > имеющего такие же траектории, как и у простейшего случайного блуждания, обозначим через la(X),la+{X),ra(X),ra(X), случайные моменты времени, задаваемые формулами

ЦХ) := inf{n | Xn = а},

1а+(Х) := Ы{п\Хп = а+\}-\, ra-(X) := sup{n | Хп = а — 1} + 1, га(Х) := sup{n | Хп = а}.

Тогда справедливо следующее утверждение

Теорема 3.12 (Дискретный вариант теоремы Вильямса) Выберем произвольное целое число Ь > 0. Пусть следующие четыре случайных элемента независимы. Случайная величина а имеющая дискретное равномерное распределение на отрезке [0,6]. Симметричное случайное блуждание (Вп)п=од,., выходящее из точки Ъ. Два дискретных процесса Бесселя (Rh)n=од,. и п=ОД,.*

Определим моменты времени п\ и по формулам щ = hiR1) := inf{n | R\ = Ь}, n2-ni = la(B) := inf{n | Bn = a}.

Тогда процесс (Хп)п=од,., определенный no формуле R-l 0 < n < щ, xn := < Bn-ni, щ < n < n2, I a + R?n

-п21 n2 — n> имеет распределение дискретного процесса Бесселя.

Пусть (Rn)n=o,i,. — дискретный процесс Бесселя. Назовем положительным дискретным процессом Бесселя процесс задаваемый формулой

Тогда к предыдущему результату можно добавить и смежный с ним.

Теорема 3.13 (Дискретный вариант разложения Вильямса).

Зафиксируем некоторое целое число b > 0 и зададим следующие четыре независимых случайных элемента. Случайная величина с с дискретным равномерным распределением на отрезке [0,6]. Простейшее симметричное случайное блуждание (Вп)п=од,. Два положительных дискретных процесса Бесселя (Я+'^п^од,. и (R+'2)n=од,.

Определим моменты времени m\, гпг и тз по формулам m 1 = lc+(B) := inf{n 12?n = с + 1} — 1, ш2 — mi — rc(R+jl) := sup{n | Rp1 = с}. m3-m2 = lb+{R+>2) := inf{n | Л+-2 = 6+1} - 1.

Тогда процесс (Уп)п<т3, определенный по формуле Вп, О < п < mi,

Уп ■= С- Rn-mi, mi<n< m2, , Rn-m2, т2<п< m3, имеет распределение простейшего симметричного случайного блуждания, остановленного в момент 1ь+.

Свойства дискретных случайных процессов интересны и сами по себе, и с точки зрения возможности совершить в них предельный переход к непрерывному времени. Обычно, эти предельные переходы опираются на результаты, подобные теореме, называемой принципом инвариантности Донскера-Прохорова, получившей свое название благодаря работам М. Донскера [5] и Ю.В. Прохорова [И] (см. также [12; XIII, (1.9)]).

Предложение 1.1 (Принцип инвариантности). Пусть (^n)n=i,2,. — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Еrjn = 0, Е772 = 1. Рассмотрим случайное блуждание Вп := Х)ь=1 Vk и построим по нему случайный процесс в непрерывном времени с помощью кусочно-линейной интерполяции, который обозначим через {Bt)t>0. Тогда (^LBmt) t>o (Bt)t>o при m —» 00 в смысле слабой сходимости распределений в пространстве С[0,00); где (Bt)t>o - стандартное броуновское движение.

Помимо принципа инвариантности в классической формулировке доказано множество различных обобщений этого результата, многие из них можно найти в монографии П. Биллингсли [2], или в книге Ж. Жако-да и А.Н. Ширяева [7]. Из недавних работ упомянем статью Т. Соттинена [14] утверждение аналогичное принципу инвариаитности доказывается для фрактального броуновского движения. Для нас особый интерес представляют работа Дж. Питмана [10], в которой он строит дискретную аппроксимацию процесса Бесселя размерности три, а также совместная работа М. Йора, А.С. Черного и А.Н. Ширяева [4], в которой с помощью интегральных сумм построенных по случайному блужданию аппроксимируется стохастический интерграл по броуновскому движению и теорема Донскера-Прохорова обобщается на этот случай. Идеи доказательства этой теоремы восходят к работам А.В. Скорохода [13].

Предложение 1.10. Пусть Вп := щ — такое же случайное блуждание как и в классическом принципе инвариантности, а f(x) некоторая функция. Рассмотрим стохастический интеграл It := f*f(Bs) dBs, и построим его дискретный аналог. А именно, выберем некоторое т > 0, полоо/сим I™ := ]CL=i/(^г^ь а затем доопределим этот процесс с помощью кусочно-линейной интерполяции. Предположим, что выполнено одно из двух условий: либо функция f(x) кусочно-непрерывна, либо распределение г]п имеет нетривиальную абсолютно непрерывную относительно меры Лебега компоненту. Тогда при т —> оо имеет место сходимость в смысле сходимости распределений в пространстве С[0,оо)2.

Этот замечательный результат позволяет при совершении предельного перехода от дискретного времени к непрерывному оперировать, в частности, с таким важным функционалом от броуновского движения как его локальное время в некоторой точке а. Доказательство теоремы 2.2 опирается именно на это утверждение. Впервые функционал локального времени ввел в рассмотрение П. Леви в работе [9]. Далее X. Танака в работе [15] установил (см. также [12; VI, (1.2)]), что для локального времени имеют место следующие соотношения

Предложение 1.4 (Формулы Танака) Пусть {Bt)t>о — стандартное броуновское движение, a {Lf) его локальное время в точке а. Тогда имеют место следующие соотношения

Ц/2 = (Bt-a)+-f*I{Be>a}dBs, Ц = \Bt — а| — /о sgn(Bs — a) dBs, из которых видно, что локальное время представляется в виде непрерывного функционала от самого броуновского движения и некоторого стохастического интеграла по нему. Причем функции f\{x) = 1{х>а} и /2(ж) = sgn(a; — а) является кусочно-непрерывными, что позволяет воспользоваться предложением 1.10. Классический же принцип инвариантности в виде предложения 1.1 к локальному времени неприменим, поскольку, как видно из другой известной формулы

1 [*

Lt =l1!?; / ha<B,<a+e} ds с Jo локальное время задается функционалом от броуновского движения, который всюду разрывен в С[0, £].

Важным понятием в теории броуновского движения является понятие экскурсии, под которой понимается отрезок траектории между двумя соседними нулями. В настоящей работе вводится понятие экскурсии для случайного блуждания, это понятие используется на протяжении всей работы. Оно несколько отличается от классического, поэтому остановимся на нем поподробнее. Основное отличие состоит в том, что мы принимаем за «начало отсчета» не точку 0, а точку 1/2. То есть именно моменты пересечения уровня 1/2 считаются границами между экскурсиями. Полное определение и основные свойства такого разбиения на экскурсии приводятся в первой главе.

Такой, на первый взгляд, незначительный нюанс в определении экскурсии, как оказалось, имеет решающее значение. На основе такого разбиения на экскурсии мы строим несколько важных отображений на множестве траекторий простейшего случайного блуждания, которые определенным образом переставляют и переворачивают экскурсии. Построение этих отображений и доказательство их свойств является основной частью диссертации. Именно с помощью подобных рассуждений доказываются основные утверждения, касающихся дискретного времени.

Диссертация построена следующим образом.

В главе 1 приводятся основные обозначения и определения, вводится используемое в дальнейшем понятие разбиения траектории случайного блуждания на экскурсии и излагаются его свойства. Далее формулируются известные свойства броуновского движения и смежных процессов, которые либо будут использованы в доказательствах, либо предназначены для сравнения со своими дискретными аналогами, приводимыми в диссертации. Также в эту главу вынесены дискретный аналог классической теоремы Леви и ее обобщения.

Глава 2 посвящена различным обобщениям раветства, приведенного в предложении 1.3. Здесь доказывается равенство некоторых условных трехмерных распределений в дискретном времени (теорема 2.3), далее производится предельный переход, что приводит к теореме 2.2. В заключение главы с помощью техники замены меры утверждение теоремы 2.2 в случае а = 0 доказывается для броуновского движения со сносом и для броуновских мостов, идущих из нуля в произвольную точку. Для рассматриваемых совместных распределений не только установлено их совпадение, но и вычислен явный вид, в чем неоценимую помощь оказал справочник [1].

В главе 3 изучается дискретный процесс Бесселя размерности три. Вначале приводятся различные определения этого процесса и доказывается их эквивалентность. Потом приводятся вспомогательные утверждения, являющиеся дискретными аналогами известных свойств процесса Бесселя. Дальнейшее содержание главы посвящено доказательству теорем 3.12 и 3.13.

Цитируемые утверждения носят название «предложение». Собственные результаты автора названы «теоремами», «леммами» или «следствиями».

Нумерация утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом используется двойная система нумерации, так что ссылка на теорему 3.1 указывает на первую теорему в третьей главе. То же самое относится и к нумерации формул.

По теме диссертации были сделаны доклады на научно-исследовательском семинаре «Стохастический анализ и финансовая математика» кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, а также на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ в 2005 году.

Непосредственно к теме диссертации относятся статьи [17], [18] и [19].

Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора Альберта Николаевича Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность. Также автор благодарит к.ф.-м.н. Александра Семеновича Черного за помощь и поддержку.

1. А. Бородин, П. Салминен. Справочник по Броуновскому Движению. Спб.: Издательство "Лань", 2000, 640 с.

2. П. Биллингсли. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977, 352 с.

3. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev. Some distributional properties of the Brownian motion with a drift and an extension of P. Levy's theorem. — Theory of Probability and Its Applications, 44 (1999), №2, p. 466-472.

4. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev, M. Yor. Limit Behaviour of the "Horizontal-Vertical" Random Walk and Some Extensions of the Donsker-Prokhorov Invariance Principle. — Теория вероятностей и ее применения, 2002, т. 47, №3, с. 498-516.

5. М. Donsker. An invariance principle for certain probability limit theorems. — Mem. Amer. Math. Soc. 6 (1951-52).

6. J. Jacod, A.N. Shiryaev. Limit theorems for stochastic processes. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

7. I. Karatzas, M. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1987

8. P. Levy. Sur certain processus stochastiques homogfenes. — Сотр. Math. 7 (1939), p. 283-339.

9. D. Revuz, М. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1999, 560 p.

10. A.B. Скороход. Исследование по теории случайных процессов. К.: 1961, 216 с.

11. Т. Sottinen. Fractional Brownian motion, random walks and binary market models Finance and Stochastics, 5 (2001), p. 343-355.

12. H. Tanaka. Note on continuous additive functionals of the 1-dimensional Brownian path. — Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 1 (1963), p. 251-257.

13. D. Williams. Decomposing the Brownian path. — Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970) p. 871-873.

14. А. Мищенко. О Трех Законах Арксинуса. — Успехи Математических Наук, 2004, т. 58, вып. 6, с. 159-160.

15. А. Мищенко. О Распределении Вероятностей Некоторых Функционалов от Случайного Блуждания. — Теория Вероятностей и ее Применения, 2005, т. 50, выи. 4, с. 789-796.

16. А. Мищенко. Дискретный Процесс Бесселя и Его Свойства. Теория Вероятностей и ее Применения, 2005, т. 50, вып. 4, с. 797-806.