Стохастические задачи оптимальной остановки для процессов Леви тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико- математический факультет

На правах рукописи УДК 519.216

005003250

Синельников-Мурылев Сергей Сергеевич

Стохастические задачи оптимальной остановки для процессов Леви

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ - 1 ДЕК 2011

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2011

005003250

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель член-корреснондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Ширяев Альберт Николаевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Мазалов Владимир Викторович

доктор физико-математических наук, профессор

Николаев Михаил Леонидович

Ведущая организация Центральный экономико-математический

институт РАН

Защита диссертации состоится «16» декабря 2011 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова но адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «15» ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного /О

совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук,

Пр0феСС0р Сорокин В. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

В стохастическом анализе широко известна так называемая «задача о разборчивой невесте». Эта задача в различных постановках рассматривалась, в частности, в работах таких авторов, как Гарднер1, Карлин2, Дынкин3, Чоу, Моригути, Роббинс, Самуэльс4, Гилберт, Мо-стеллер5, Гусейн-Заде6, Бойс7, Пресман, Сонин8. Гриффит, Снелл9, Николаев10, Глинка, Шеахан11, Винниченко, Мазалов12.

Сформулируем задачу, следуя работе Ширяева13. Имеется п объектов, занумерованных числами 1, ..., п, причем объект с меньшим номером классифицируется «лучше» объекта с большим номером. Предполагается, что объекты поступают к нам в моменты времени 1, ..., п в случайном порядке (все п\ перестановок равновероятны), причем в результате сравнения двух из них становится ясно, какой из них лучше, хотя их истинные номера остаются неизвестными. В каждый момент времени нужно принять решение: либо отвергнуть объект (и далее к нему вернуться уже нельзя), либо принять объект (и процесс выбора прекращается). Задача состоит в том, чтобы с максимальной вероятностью выбрать объект с номером 1.

Оптимальной стратегией в этой задаче оказывается следующая. Надо просмотреть и пропустить первые т* — 1 объектов, а затем продолжать осмотр до момента г*, когда впервые появится объект, лучший,

1 Gardner М. Mathematical games // Scicutific American. 1960. Vol. 202, no. 1. Pp. 150 - 156.

2Karlin S. Stochastic models and optimal policy for selling an asset // Studies in Applied Probability and Management Science. 1962. Pp. 148—158.

3Дытин Е.Б. Оптимальный выбор момента остановки марковского процесса // Доклады Академии Наук СССР. 1963. Т. 150, № 2. С. 238-240.

4 Chow Y. S., Moriguti S., Rabbins II., Samuels S. H. Optimal selection based on relative rank (the "secretary" problem) // Israel Journal of Mathematics. 1964. Vol. 2, no. 2. Pp. 81—90.

5Gilbert J. P., Mosteller F. Recognising the maximum of a sequence // Journal of American Statistical Association. 1966. Vol. 61. Pp. 35 73.

e Гусейн-Заде С. M. Задача выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний // Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т. 11, № 3. С. 534—537.

' Воусе W. М. Stopping rules for selling bonds // Bell Journal of Economics and Management Science. 1970. Vol. 1. Pp. 27-53.

8 Пресман Э.Л., Сонин И.М. Задача наилучшего выбора при случайном числе объектов // Теория вероятностей и ее применения. 1972. Т. 17, К' 4. С. 695—706,

dGriffeath D., Snell J.L. Optimal stopping in the stock market // Annals of Probability. 1974. Vol. 2. Pp. 1 13.

10Николаев M. Л. Об одном обобщении задачи наилучшего выбора // Теория вероятностей и ее применения. 1977. Т. 22, № 1. С. 191-194.

11Hlynka М., Sheahan J. N. The secretary problem for a random walk // Stochastic Processes and their Applications. 1988. Vol. 28. Pp. 317-325.

12Винниченко С. В., Мазалов В. В. Оптимальная остановка наблюдений в задачах управления случайными блужданиями // Теория вероятностей и ее применения. 1990. Т. 35, № 4. С. 669—676.

13Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ, Москва: Наука, 1976.

чем все предыдущие. При большом п, m* « n/e, а искомая вероятность приблизительно равна 1/е » 0.368. Этот результат интуитивно удивителен, потому что, казалось бы, искомая вероятность должна стремиться к нулю с ростом количества объектов.

Несмотря на то, что такие оптимизационные задачи в дискретном времени являются достаточно хорошо изученными, случай непрерывного времени начал исследоваться совсем недавно. Отличительной чертой подобных задач является то, что для принятия оптимального решения требуется хорошо оценивать будущее поведение наблюдаемого процесса но полученным данным. Искомый случайный момент 0 является непредсказуемым, т. е. несогласованным с естественной фильтрацией процесса Т. Задача заключается в построении оценки этого момента, т. е. согласованного с фильтрацией момента остановки г, который был бы оптимален в некотором смысле. В связи с тем, что процесс <j>t = 1{9 < t} является несогласованным с имеющейся фильтрацией, естественным образом возникает опциональная проекция этого процесса14, процесс 7гт = 1{в ^ т | 7Т), определенный для любого конечного (с вероятностью 1) случайного момента т. Таким образом, искомая задача сводится к задаче об оптимальной остановке процесса апостериорной вероятности щ, равно как и близкая к ней задача о разладке15. Принципиальным отличием класса рассматриваемых задач от задачи о разладке является то, что в рассматриваемой задаче в момент в не происходит смены характеристик процесса.

Определим ряд критериев, которые используются в подобных задачах скорейшего обнаружения. Пусть X — наблюдаемый процесс, в — искомый непредсказуемый момент, Мх — класс марковских моментов, порожденных рассматриваемым процессом. Решением задачи при среднеквадратичном критерии называется момент т* е Мх, такой что

Е(Хв-Хт.)2= inf Е(Х$ - Хг)2.

темх

Таким образом, момент т* минимизирует норму Е{Хц - Хт)2 в классе Мх. Этот критерий обобщается на случай нормы - XT)q, q > 1. Подобные критерии часто называются пространственными, поскольку они используют «близость» величин Хт и Х9. В работе Ширяева16 было предложено задействовать в этой задаче временные крилем., например, Dellacherie С., Meyer P. A. Probabilités et potentiel. Paris: Hermann, 197G. "См., например, Колмогоров А.Н., Прохоров Ю.В., Ширяев А.И. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 182. С. 4-23.

1GShiryaev А. N. Quickest detection problems in the technical analysis of the financial data // Proc. Mathematical Finance Bachelier Congress. Berlin: Springer-Verlag, 2002. Pp. 487-521.

теряй, использующие непосредственно близость т к 9, т. е. величину вида

Е [(?!(((?-r)+) + G2((r-0)+)] с некоторыми функциями риска G\(t) и Gi(t), t ^ 0. Среди временных критериев особо следует выделить два критерия: абсолютный, использующий норму Е|0 - т|, и байесовский, использующий норму Р(т < в) 4- сЕ(т - (?)+, где с — некоторая заданная положительная постоянная. Также среди временных критериев можно выделить еще один критерий, который называется условно-экстремальным. Для фиксированного а £ (0,1) определяется класс моментов остановки, для которых вероятность «ложной тревоги», т.е. Р(т < 9), не превышает а:

М%{в) = {теМх | Р(т < в) < а}. Под моментом, являющимся решением задачи при условно-экстремальном критерии, понимается момент т* Е такой

что для него минимизируется среднее время запаздывания:

Е (т*-0)+= inf Е(т-0)+. тем§(в)

Известно17, что условно-экстремальный критерий является частным случаем байесовского критерия (при соответствующем выборе постоянной с).

Поставленные задачи особенно подробно изучались для процессов броуновского движения Bt и броуновского движения со сносом Bf = ¡j,t + Bt. Первой работой, посвященной этой теме, была работа 2000 года Граверсена, Пешкира и Ширяева18, в которой рассматривался конечный интервал [0,1], процесс стандартного броуновского движения Bt, а непредсказуемый момент представлял собой в = inf{i: Bt = sup0— момент (первого) достижения максимума. Согласно результатам этой работы, оптимальный момент остановки имеет вид

т* = inf{t < 1: St-Bt 2 z*vT-i}, где г* « 1.12, a St = snips^tBs. Эти результаты были обобщены Пе-дерсеном19 на случай общего пространственного критерия. Для этого критерия ответ выглядит точно так же, лишь с заменой постоянной

17См. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ, Москва: Наука, 1976.

wGraversen S. Е., Peskir G., Shiryaev А. N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum // Теория вероятностей и ее применения. 2000. Т. 45, № 1. С. 125-136.

laPedersen J. L. Optimal prediction of the ultimate maximum of Brownian motion // Stochastics and Stochastic Reports. 2003. Vol. 75, no. 4. Pp. 205-219.

z* на постоянную z*(q). В 2004 году Урусовым20 было доказано тождество

Цт-е\ + ± = Е(Вт-Ве)2

для любого г б Мв. Тем самым было доказано, что для броуновского движения среднеквадратичный и абсолютный критерии для момента максимума совпадают. В работе Ширяева21 был рассмотрен условно-экстремальный критерий для момента в и введен еще один непредсказуемый момент g = sup{£ ^ 1: Bt - 0} — момент последнего нуля. Для этого момента были рассмотрены условно-экстремальный и абсолютный критерии. В работе было показано, что в случае условно-экстремального критерия для момента в оптимальный момент остановки имеет вид

т* = inf{t < 1: St - Bt > ZvVï^t},

где za — некоторая постоянная. В то же время для момента g оптимальные моменты остановки в случае условно-экстремального и абсолютного критерия имеют ровно тот же вид, что и для момента в, лишь с заменой процесса St — Bt на процесс \Bt\.

Указанные совпадения не имеют места для процесса B't' = ¡.it + Bt. Случаи среднеквадратичного и абсолютного критериев для момента максимума в были рассмотрены в работах де Туа и Пешкира22'23. «Достаточной статистикой», позволяющей принять оптимальное решение, здесь по-прежнему является процесс S¡ - ßf, где Sf = sups<¡tB¡, Однако структура множества остановки различается в зависимости от рассматриваемого критерия. Абсолютный критерий для момента последнего нуля был рассмотрен в работе де Туа, Пешкира и Ширяева24, и, в отличие от случая броуновского движения, ответ для этого момента отличается от ответа для момента максимума. Более того, границы множества остановки во всех этих случаях не могут быть найдены в явном виде, а представляют собой решение системы уравнений Воль-

20 Урусов М. А. Об одном свойстве момента достижения максимума броуновским движением и некоторых задачах оптимальной остановки // Теория вероятностей и ее применения. 2004. Т. 49, № 1. С. 184-190.

21 Ширяев А. Н. Об условно-экстремальных задачах скорейшего обнаружения непредсказуемых моментов у наблюдаемого броуновского движения // Теория вероятностей и ее применения. 2008. Т. 53, № 4. С. 751-708.

22du Toit J., Peskir G. Tirap of complacency predicting the maximum // The Annals of Applied Probability. 2007. Vol. 35, no. 1. Pp. 340-365.

adu Toit J., Peskir G. Predicting the time of the ultimate maximum of the Brownian motion with a drift // Proc. Mathematical Control Theory Finance. Berlin: Springer-Verlag, 2008. Pp. 95-112.

24 du Toit J., Peskir G., Shiryaev A. N. Predicting the last zero of the Brownian motion with a drift // Stochastics. 2008. Vol. 80. Pp. 229-245.

терра второго рода.

Кохен25 исследовал среднеквадратичный критерий для броуновского движения со сносом (отрицательным) на бесконечном горизонте, т.е. на интервале [0,+оо). Согласно результатам его работы, достаточной статистикой в этом случае является Sf — Bf (как и в случае конечного горизонта), однако границей является постоянная.

Рассматриваемые задачи для процессов, отличных от броуновского движения и броуновского движения со сносом, изучены не так хорошо. Ряд исследователей изучали различные задачи подобного характера для геометрического броуновского движения. В частности, к таким работам относятся работы Ширяева, Key и Жу25 и де Туа и Пеш-кира27, где качество момента остановки т определялось функцией от отношения Хт/Х$, т.е. Еи(Хт/Хд), где X — геометрическое броуновское движение, в — момент его максимума на рассматриваемом интервале, au — линейная или логарифмическая функция, а также работа Педерсена28, в которой рассматривался критерий

Р (Хг^рХв),

где р 6 (0,1). В первом случае оптимальная стратегия приводит нас к правилу «buy and hold>, т. е. имеет вырожденный вид: в зависимости от параметров процесса, оптимальный момент остановки т* либо равен 0, либо равен Т. Во втором случае вид ответа ближе к случаю дискретного времени: оказывается, что оптимальная стратегия имеет вид

T* = mï{t;<t^l-.Xt=pSt), где St = sup3^tXs, ai*— некоторая постоянная, зависящая от параметра р.

В работе Эсиинозы и Тоузи29 исследовалась похожая задача для произвольной однородной диффузии Xt со свойством возврата к среднему. При начальном условии Х0 = х > 0 определялся случайный горизонт То = inf{í > 0: Xt = 0}. На этом отрезке решалась задача поиска момента остановки г с критерием Е и(Х$ - Хг), где и — функция потерь, удовлетворяющая ряду условий (в частности, возрастаю-

25 Cohen A. Examples of optimal prediction in the infinite horizon case // Statistics and Probability Letters. 2010. Vol. 80. Pp. 950-957.

nShiryaev A. N., Xu Z., Zhu X. Y. Thou ehalt buy and hold // Qualitative Finance. 2008. Vol. 8, no. 8. Pp. 765-776.

27du Toit J., Peskir G. Selling a stock at the ultimate maximum // The Annals of Applied Probability. 2009. Vol. 19, no. 3. Pp. 983-1014.

2sPedersen J. L. An optimal selling strategj' for stock trading based on predicting the maximum price. Preprint. 2007.

29Espinosa G.-E., Touzi N. Detecting the maximum of a mean-reverting scalar diffusion. Preprint. 2010.

щая и выпуклая книзу), а 9 — момент максимума процесса на отрезке [0,7]. В работе было ноказано, что при некоторых дополнительных условиях оптимальный момент остановки имеет вид

т* = inf{i ^ 0: S't ^ 7pTt)},

где St — supa^t Xs — текущий максимум процесса, а 7 есть некоторая граница, имеющая весьма сложный вид. Как мы видим, «достаточная статистика» здесь уже имеет вид (St,Xt), а не St — Xt.

В работе Берник, Даланга и Пешкира30 исследовался пространственный критерий для момента максимума устойчивого процесса Jle-ви Xt с параметром а 6 (1,2) на конечном интервале [0,Т]. Оказывается, что в зависимости от значения параметров р и а оптимальный момент остановки т* или имеет вид

г* = inf{i ^T:St-Xt> z„{T - t)l/a},

где z* является решением некоторого трансцендентного уравнения и зависит от q и а, или равняется Т вне зависимости от поведения статистики St — Xt.

Цель диссертационной работы состоит в получении различных результатов, связанных с моментами абсолютного максимума и последнего нуля для процессов Леви на бесконечном горизонте.

Научная новизна. Все полученные результаты диссертации являются новыми. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Построены оптимальные стратегии для ряда критериев в случае броуновского движения со сносом.

2. Доказано обобщение теоремы Леви о совпадении пар процессов ио распределению для случая процесса Леви конечной интенсивности.

3. Указан вид оптимальной стратегии для ряда критериев в случае общего процесса Леви конечной интенсивности. Построены оптимальные стратегии для ряда критериев в случае процесса, являющегося комбинацией броуновского движения и пуассоновского процесса, и предложен алгоритм численного моделирования, позволяющий получить оптимальную стратегию в случае, когда ее аналитический вывод оказывается слишком сложным.

wBemyk V., Dalang R. С., Peskir G. Predicting the ultimate supremum of a stable LSvy process with no negative jumps // Annals of Probability, to appear.

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы, изложенные в диссертации, могут быть полезными ири изучении задач, в которых наблюдаемый процесс может моделироваться в рамках процессов Леви,

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• Большой кафедральный семинар кафедры теории вероятностей, рук. Ширяев А.Н., МГУ им. М.В.Ломоносова, 2011г.

• Семинар «Стохастический анализ и теория мартингалов», рук. Ширяев А.Н., МГУ им. М.В.Ломоносова, неоднократно в 2008— 2011гг.

• Семинар «Стохастический анализ», рук. Гущин A.A. и Ширяев А. Н., МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2009 г.

• Международный симпозиум «Visions in Stochastics», Москва, МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.

• Семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании», рук. Аркин В. И. и Пресман Э. Л., ЦЭМИ РАН, 2011 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, входящих в список журналов по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, библиографии и приложения. Общий объем диссертации составляет 74 страницы. Библиография включает в себя 63 наименования, включая 3 работы автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении работы описывается общий тип исследуемых задач. Общая постановка задач, исследуемых в диссертации, является естественным продолжением широко известной «задачи о разборчивой невесте» для случая непрерывного времени. Несмотря на то, что в случае дискретного времени задачи подобного характера являются

достаточно хорошо изученными, случай непрерывного времени стал исследоваться сравнительно недавно: первая из подобных задач была рассмотрена в 2000 году.

В первой главе приведен обзор известных результатов, связанных с исследуемой темой, и рассматриваются некоторые задачи, связанные с процессом броуновского движения со сносом на бесконечном горизонте. Автором исследуются абсолютный, байесовский и условно-экстремальный критерии. Пусть Bf, где р < 0, — стандартное броуновское движение с отрицательным сносом на бесконечном интервале, t е [0, оо), а = sups^f В£. Рассматриваются следующие непредсказуемые моменты:

в = inf{f: В? = вар ВЦ},

0

д = sup{i: В? = 0}.

Для условно-экстремального и абсолютного критериев оказываются верны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть 0 < а < 1. Для условно-экстремального критерия для момента в оптимальным моментом остановки является момент

r*a = inf{i: S? - В? > <},

где

„ _ Ina

Теорема 2. Пусть 0 < а < 1. Для условно-экстремального критерия для момента g оптимальным моментом остановки является момент

т*а = inf{i: В? ^ -zl),

где

, _ Ina

Теорема 3. Оптимальнъш моментом в смысле абсолютного критерия для момента в является момент

т* = inf{t: Sf - В? >z*},

где z* — единственное положительное решение уравнения

О.пг 1

Теорема 4. Оптимальным моментом в смысле абсолютного критерия для■ момента д является момент

Таким образом, в рассматриваемых задачах для моментов 9 и д роль «достаточных статистик» будут играть процессы — Вр и Вр соответственно, а оптимальными моментами остановки будут являться моменты достижения этими процессами некоторого постоянного уровня. Более того, и вид ответа, и даже границы в этих задачах совпадают, что больше соответствует случаю обычного броуновского движения на конечном интервале, чем случаю броуновского движения со сносом, где структура этих моментов принципиально различна.

Результаты первой главы опубликованы в работе [1].

Доказательство указанных выше теорем принципиально опиралось на результат работы Граверсена и Ширяева31, который обобщал знаменитую теорему Леви о совпадении пары процессов по распределению на случай броуновского движения со сносом. Во второй главе эта теорема обобщается на случай процесса Леви с конечной мерой.

Классический результат Леви гласит, что

где В — броуновское движение, Ь(В) — локальное время броуновского

law

движения в нуле, а = означает совпадение процессов по распределению.

Этот результат обобщается на случай броуновского движения со сносом. Граверсеном и Ширяевым было показано, что

где X^ — единственное решение стохастического дифференциального уравнения

31 Graversen S. E., Shiryaev A. N. An extension of P. Lgvy's distributional properties to the case of a Brownian motion with a drift // Bernoulli. 2000. Vol. 6, no. 4. Pp. 615-620.

r* = inf{i: -z*},

где z* — единственное положительное решение уравнения

е2м* = 1

1 - 4цг'

(sup В - В, sup В) = (|В|, L(B)),

(sup В" - В\ sup В") = {\Х% Ь{Х»))

dX£ = - ц sgn X?dt + dBt, = 0, sgn(x) =

1, если x > 0, —1, если х ^ 0.

Далее авторы доказывают, что инфинитезимальный оператор процесса 1-^1 совпадает с инфинитезимальным оператором отраженного броуновского движения со сносом.

Пусть Xt — некоторый процесс Леви, мера Леви V которого удовлетворяет условию

В этом случае количество скачков процесса на любом конечном интервале конечно, и для процесса Х( можно определить триплет инфини-тезимальных характеристик (ц, сг, и) относительно функции урезания Н(х) = хХ{х ф 0}, где заX обозначена индикаторная функция. Подобные процессы часто называют процессами Леви с конечной мерой или процессами Леви конечной интенсивности. Пусть а > 0, т.е. процесс имеет невырожденную диффузионную компоненту. Введем также процесс = Бир^ Х3 — текущий супремум процесса Х^ Главным результатом второй главы является следующее утверждение.

Теорема 5. 1. Предположим, что процесс не имеет положительных скачков. Тогда пара процессов — X¿, Бг) совпадает по распределению с парой процессов где ^ является ре-

шением следующего стохастического дифференциального уравнения:

где Вс — стандартное броуновское движение, Л^ — составной пуассоновский процесс, соответствующий случайной пуассонов-ской мере интенсивности и, а Ц является локальным, временем марковского процесса Уг в нуле.

2. В общем случае, когда процесс имеет как положительные, так и отрицательные скачки, пара процессов (£г - Х^Б^ совпадает по распределению с парой процессов (|2г|,Лг), где является решением следующего уравнения:

= -ц гь-<а + айв1 - sgn г(-длг4-

- - ^-ДЛ/г) ^ 0} - - 0,

Ъ = £ - sgnzt-дiví) < 0} - щпг^АЩ + ьи

где является локальным временем марковского процесса в нуле.

= УЬ-<И + стсЩ - У0 = 0,

где Д и были определены ранее, а

Для применения этой теоремы к рассматриваемым задачам необходимо выразить процесс в терминах его инфинитезимального оператора. Аналогично определению процесса отраженного броуновского движения со сносом автор вводит следующее определение.

Определение 1. Пусть — процесс Леей с характеристиками (р,,а,и) относительно функции урезания Н(х). Назовем отраженным в нуле процессом X{> марковский процесс с инфини-тезимальнъш оператором Л, действующим на функциях

/е5([0,оо]),|^и>= О,

где ¿> — пространство быстро убывающих функций (пространство Шварца), следующим образом:

Л^1(у) = ^'(у) + 1а2Г(у) +11Пу + х)-Пу)-Г(у)Чх)У(у,х),

где и°(у,х) — это мера, определенная для у ^ 0 и имеющая вид

1/°(у, ¿х) = р ¡/(/Их), ¿х = -у, О, <1х < —у.

Такой оператор определяет единственное семейство мер, а соответствующий марковский процесс мы, по определению, назовем отраженным в нуле процессом Хь, начинающимся в х ^ 0 и будем обозначать 11ЬР0(Х)^.

Автор обозначает процесс имеющий начальную точку х ^ 0, за Z^. Оказывается, что верно следующее утверждение.

Теорема 6. Для любого х ^ О

\21\ = ЯЬРО(-Х)

Результаты второй главы опубликованы в работе [2].

В третьей главе автор использует результаты второй главы, чтобы обобщить подход, предложенный в первой главе, на случай процессов Леви с конечной мерой. Пусть — наблюдаемый процесс Лови, рассматриваемый на бесконечном интервале [0, оо). Пусть = — текущий супремум процесса, 5 = Бира>0Х„ — абсолютный супремум процесса. Рассматривается следующий непредсказуемый момент:

0 = тф>О: 5г = 5}.

Для конечности момента в предполагается условие ЕХг < 0. В качестве критериев оптимальности приближения рассматриваются байесовский (в т. ч. условно-экстремальный), абсолютный и пространственный критерии. Первая часть третьей главы посвящена доказательству следующих фактов.

Теорема 7. В рассматриваемых задачах оптимальный момент остановки имеет вид

т* = > 0: 5( - ^ > а},

где а — некоторая положительная постоянная (зависящая от критерия).

Отсюда можно вывести следующий результат для случая условно-экстремального критерия.

Теорема 8. Пусть 5 = зир5>0Х3, Х0 = 0, = Р(5 < г). Тогда для условно-экстремального критерия оптимальным моментом остановки будет первый момент выхода процесса 5} - Хг на уровень ах, являющийся корнем уравнения

1 - С(ах) = а.

В второй части третьей главы рассматривается общая схема нахождения постоянной а с помощью задачи Стефана. Показывается, что искомая задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению. В случае абсолютного критерия это уравнение имеет следующий вид:

-№„{*) + + I+ х)~ - ВДад^,^) =

= 1-2в{г), (К г <г*, (1)

где

{^(-¿я), в,х > —у,

Ц-у^Ых), йх=-у,

0, (1х < —у.

Как видно, мера г/°(г,а;) получается из определения 1 при рассмотрении меры и(х) = г/(-х), соответствующей процессу —XЗадача Стефана получается, если добавить к этому уравнению необходимые граничные условия (условие мгновенной остановки, условие нормального отражения и условие гладкого или непрерывного склеивания, в зависимости от характеристик процесса). После решения задачи Стефана необходимо проверить, что найденная функция является решением исходной задачи. Для этого можно использовать формулу Ито, поскольку найденная функция принадлежит пространству Шварца.

В третьей части третьей главы указанная схема применяется к сравнительно простому процессу = ¡хЬ aBt — гЛ'г, где Л'г — простой нуассоновский процесс интенсивности Л. В этом случае интегро-дифференциальное уравнение вырождается в дифференциальное уравнение с опережающим аргументом. Для случая абсолютного критерия уравнение (1) запишется как

-/ЛВД + ¿а2(г) + + г) - 1ВД) = 2е^г - 1,

О ^ 2 < а. (2)

Его решение сводится к последовательному решению систем линейных уравнений. Применение этого алгоритма к задаче с параметрами ¡1 = -1, а — 1, г = 0.35, А = 2 приводит к неизвестной границе а « 0.442 и функции IV(г): имеющей следующей вид:

Numerical calculation of W,(z)

Численный подсчет функции И',(г) при значениях параметров ц = -1, а - 1, г = 0.35, А = 2. Функция представляет собой «склейку> из двух разных функций. Найденное значение

а и 0.442.

В работе также предложен альтернативный способ нахождения неизвестной постоянной а в том случае, если решение задачи Стефана

представляется слишком сложным: численное моделирование границы методом Монте-Карло. Алгоритм, приведенный в приложении работы, применяется к указанному выше процессу и приводит к постоянной а » 0.44.

В заключительной части главы обсуждается вопрос, связанный с моментом последнего нуля. Ввиду разрывности траекторий процесса Леви можно определить два различных момента:

£Г2 = зир{г >0: X, ^ 0}.

Подход, использованный в первой главе для случая броуновского движения со сносом, с успехом может быть применен для момента #2 и процесса Леви Xt■ Более того, если процесс Xt имеет только отрицательные скачки, то аналогично результатам первой главы можно показать, что оптимальная стратегия для момента <72 будет точно той же, что и оптимальная стратегия для момента в с точностью до замены процесса «достаточной статистики>.

Для исследования момента д\ требуется выразить для него процесс апостериорной вероятности. Подход, предложенный в работе де Туа, Пешкира и Ширяева32, состоит в том, чтобы выразить его следующим образом:

= Р(и < « | Я) = РхЛ1 = 0},

где I = 1Ш(-юо ¿4, а — локальное время в нуле процесса Таким образом, процесс апостериорной вероятности 7Г( представляет собой, вообще говоря, функцию от Хь. Отдельный вопрос представляет собой нахождение явного вида этой функции для процесса Леви. После того как будет получен процесс апостериорной вероятности, дальнейшее решение не будет принципиально отличаться от случая момента в.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [3].

Благодарности. Автор выражает свою глубокую благодарность своему учителю и научному руководителю члену-корреспонденту РАН,

доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задачи, неоценимую помощь и интерес к работе.

32du Toil J., Peskir G., Shiryaev A. N. Predicting the last zero of the Brownian motion with a drift // StochBstics. 2008. Vol. 80. Pp. 229-245.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Об оптимальной остановке броуновского движения с отрицательным сносом // Теория вероятностей и ее применения. 2011. Т. 56, № 2. С. 391-398.

2. О совместном распределении (вир X — X, вир X) для процесса Леви X // Успехи математических наук. 2010. Т. 65, № 6. С. 193-194.

3. О моменте абсолютного максимума процесса Леви // Вестник МГУ. 2011. Т. 4. С. 23-27.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж /00 экз. Заказ № ^ 6

Введение

Общая характеристика работы.

Глава 1. Случай броуновского движения со сносом.

1.1. Обзор известных результатов для броуновского движения и броуновского движения со сносом.

1.2. Постановка задач об оптимальной остановке.

1.3. Условно-экстремальный критерий для момента максимума

1.4. Условно-экстремальный критерий для момента последнего нуля 2

1.5. Абсолютный критерий

Глава 2. Обобщение теоремы Леви о совпадении пар процессов по распределению.

2.1. Введение.

2.2. Основной результат.

2.3. Процессы Леви с отражением в нуле.

Глава 3. Случай процесса Леви.

3.1. Постановка задач об оптимальной остановке для момента максимума

3.2. Общий вид решения.

3.3. Схема решения задач при помощи задачи Стефана.

3.4. Пример: комбинация броуновского движения со сносом и пуас-соновского процесса.

3.5. Схема решения задач методом Монте-Карло.

3.6. О задаче, связанной с моментом последнего нуля.

В стохастическом анализе широко известна так называемая «задача о разборчивой невесте» (известная также под рядом других названий, в частности, задача о выборе наилучшего объекта, см. [19]). Эта задача в различных постановках рассматривалась значительным числом авторов, в т. ч. в работах [4, 5, 7, 12, 13, 31, 32, 44, 45, 48, 49, 52].

Сформулируем задачу, следуя [19, гл.2, §3]. Имеется п объектов, занумерованных числами 1, ., п. причем объект с меньшим номером классифицируется «лучше» объекта с большим номером. Предполагается, что объекты поступают к нам в моменты времени 1, . 77 в случайном порядке (все п\ перестановок равновероятны), причем в результате сравнения двух из них становится ясно, какой из них лучше, хотя их истинные номера остаются неизвестными. В каждый момент времени нужно принять решение: либо отвергнуть объект (и далее к нему вернуться уже нельзя), либо принять объект (и процесс выбора прекращается). Задача состоит в том, чтобы с максимальной вероятностью выбрать объект с номером 1.

Оптимальной стратегией в этой задаче оказывается следующая. Надо просмотреть и пропустить первые т* — 1 объектов, а затем продолжать осмотр до момента г*, когда впервые появится объект, лучший, чем все предыдущие. При большом п, т* ~ п/е, а искомая вероятность приблизительно равна 1/е ~ 0.368. Этот результат интуитивно удивителен, потому что, казалось бы, искомая вероятность должна стремиться к нулю с ростом количества объектов.

Несмотря на то, что такие оптимизационные задачи в дискретном времени являются достаточно хорошо изученными, случай непрерывного времени начал исследоваться совсем недавно. Отличительной чертой подобных задач является то, что для принятия оптимального решения требуется хорошо оценивать будущее поведение наблюдаемого процесса по полученным данным. Искомый случайный момент в является непредсказуемым, т. е. несогласованным с естественной фильтрацией процесса Т. Задача заключается в построении оценки этого момента, т. е. согласованного с фильтрацией момента останови! т, который был бы оптимален в некотором смысле. В связи с тем, что процесс фь = Х{в < ¿} является несогласованным с имеющейся фильтрацией, естественным образом возникает опциональная проекция этого процесса (см. подробнее [34]), процесс тгт = X{в ^ т | определенный для любого конечного (с вероятностью 1) случайного момента т. Таким образом, искомая задача сводится к задаче об оптимальной остановке процесса апостериорной вероятности равно как и близкая к ней задача о разладке (см., например, [10]). Принципиальным отличием класса рассматриваемых задач от задачи о разладке является то, что в рассматриваемой задаче в момент в не происходит смена характеристик процесса.

Целью настоящей работы является исследование некоторых задач такого характера для случая бесконечного горизонта. В то время как в случае конечного горизонта почти все задачи сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода и не позволяют получить явного решения, оказывается, что в случае бесконечного горизонта значительная часть подобных задач позволяет получить решение в явном виде.

Структура настоящей работы состоит в следующем. В первой главе приводится обзор существующих результатов, дается определение некоторых используемых далее понятий, и задача рассматривается для процесса броуновского движения со сносом. Для решения этой задачи широко используется обобщение известной теоремы Леви о распределении пары процессов, полученное в работе [47] для процесса броуновского движения со сносом. Во второй главе эта теорема обобщается дм случая процесса Леви с конечной мерой. В третьей главе мы используем этот результат для описания общего подхода к решению подобной оптимизационной задачи для процесса Леви с конечной мерой и демонстрируем этот подход в ситуации, когда наблюдаемый процесс представляет собой комбинацию броуновского движения со сносом и пуассоновского процесса. В приложении мы приводим алгоритм численного моделирования методом Монте-Карло, который позволяет получить приближенное решение.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Настоящая работа посвящена изучению ряда задач, возникающих при рассмотрении оптимальных оценок для непредсказуемых моментов, таких как первый момент достижения процессом наибольшего значения или последний момент достижения процессом уровня ноль. В общем виде задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть Хь — некоторый случайный процесс, а в — непредсказуемый момент. Задача состоит в том, чтобы, наблюдая процесс «остановить» его наиболее «близко» к моменту в.

В дискретном случае эта задача активно изучалась в 60-х и 70-х годах. Случай непрерывного времени стал, однако, активно исследоваться лишь в последнее десятилетие. Рассматриваемая задача относится к задачам скорейшего обнаружения, которые широко изучаются в современном стохастическом анализе.

Особый интерес представляют собой решения подобных задач в явном виде. Для процесса броуновского движения и некоторых критериев оптимальности для моментов абсолютного максимума и последнего нуля такое решение было получено в работах [17, 22, 46, 56]. Однако, как было показано в работах [36, 37, 39], уже в случае броуновского движения с ненулевым сносом ответ представляет собой решение некоторой системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода и не может быть выписан в явном виде. В настоящей работе исследуется случай бесконечного горизонта и показывается, что для достаточно широкого класса процессов решение может быть найдено в явной форме.

Цель диссертационной работы состоит в получении различных результатов, связанных с моментами абсолютного максимума и последнего нуля для процессов Левы на бесконечном горизонте.

Научная новизна. Все полученные результаты диссертации являются новыми. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Построены оптимальные стратегии для ряда критериев в случае броуновского движения со сносом.

2. Доказано обобщение теоремы Леви о совпадении пар процессов по распределению для случая процесса Леви конечной интенсивности.

3. Указан вид оптимальной стратегии для ряда критериев в случае общего процесса Леви конечной интенсивности. Построены оптимальные стратегии для ряда критериев в случае процесса, являющегося комбинацией броуновского движения и пуассоновского процесса, и предложен алгоритм численного моделирования, позволяющий получить оптимальную стратегию в случае, когда ее аналитический вывод оказывается слишком сложным.

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы, изложенные в диссертации, могут быть полезными при изучении задач, в которых наблюдаемый процесс может моделироваться в рамках процессов Леви.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• Большой кафедральный семинар кафедры теории вероятностей, рук. Ширяев А.Н., МГУ им. М.В.Ломоносова, 2011г.

• Семинар «Стохастический анализ и теория мартингалов», рук. Ширяев А.Н., МГУ им. М.В.Ломоносова, неоднократно в 2008-2011 гг.

• Семинар «Стохастический анализ», рук. Гущин A.A. и Ширяев А.Н., МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2009 г.

• Международный симпозиум «Visions in Stochastics», Москва, МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.

• Семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании», рук. Аркин В. И. и Пре-сман Э. Л., ЦЭМИ РАН, 2011г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора [14-16], входящих в список журналов по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, библиографии и приложения. Общий объем диссертации составляет 74 страницы. Библиография включает в себя 63 наименования, включая 3 работы автора по теме диссертации.

1. Боровков А. А. О времени прохождения для одного класса процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 1965. Т. 10, № 2. С. 360-363.

2. Бородин А. Н., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. Санкт-Петербург: Лань, 2000.

3. Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Москва: Наука, 1986.

4. Винниченко С. В., Мазалов В. В. Оптимальная остановка наблюдений в задачах управления случайными блужданиями // Теория вероятностей и ее применения. 1990. Т. 35, № 4. С. 669-676.

5. Гуссйн-Заде С. М. Задача выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний / / Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т. И, № 3. С. 534-537.

6. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. Москва: Физматгиз, 1963.

7. Дынкин Е. Б. Оптимальный выбор момента остановки марковского процесса // Доклады Академии Наук СССР. 1963. Т. 150, № 2. С. 238-240.

8. Звонкин А. К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, «уничтожающее» снос // Математический сборник. 1974. Т. 93, № 1. С. 129-149.

9. Золотарев В. М. Момент первого прохождения уровня и поведение на бесконечности одного класса процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 1964. Т. 9, № 4. С. 724-733.

10. Колмогоров А. Н., Прохоров Ю. В., Ширяев А. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 182. С. 4-23.

11. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. Москва: Наука, 1972.

12. Николаев М. Л. Об одном обобщении задачи наилучшего выбора // Теория вероятностей и ее применения. 1977. Т. 22, № 1. С. 191-194.

13. Пресман Э. Л., Сонин И. М. Задача наилучшего выбора при случайном числе объектов // Теория вероятностей и ее применения. 1972. Т. 17, № 4. С. 695-706.

14. Синельников С. С. О совместном распределении (эирХ — X, вир X) для процесса Леви X // Успехи математических паук. 2010. Т. 65, № 6. С. 193-194.

15. Синельников С. С. О моменте абсолютного максимума процесса Леви // Вестник МГУ. 2011. Т. 4. С. 23-27.

16. Синельников С. С. Об оптимальной остановке броуновского движения с отрицательным сносом // Теория вероятностей и ее применения. 2011. Т. 56, № 2. С. 391-398.

17. Урусов М. А. Об одном свойстве момента достижения максимума броуновским движением и некоторых задачах оптимальной остановки // Теория вероятностей и ее применения. 2004. Т. 49, № 1. С. 184-190.

18. Черный А. С., Ширяев А. Н. Некоторые свойства броуновского движения со сносом и обобщение одной теоремы П. Леви // Теория вероятностей и ее применения. 1999. Т. 44, № 2. С. 466-472.

19. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Москва: Наука, 1976.

20. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Москва: Фазис, 1998.

21. Ширяев А. Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением // Современные проблемы математики. Т. 8. МИАН, 2007. С. 3-78.

22. Ширяев А. Н. Об условно-экстремальных задачах скорейшего обнаружения непредсказуемых моментов у наблюдаемого броуновского движения //' Теория вероятностей и ее применения. 2008. Т. 53, К2 4. С. 751-768.

23. Ширяев А. Н. О нестандартных проблемах стохастической оптимизации: редукция к задачам в марковском представлении и их решение // Современные проблемы математики и механики. Т. 4. Москва: Издательство МГУ, 2009. С. 8-39.

24. Alili L., Kyprianou А. Е. Some remarks on first passage of Levy process, the American Put and pasting principles // The Annals of Applied Probability. 2005. Vol. 15, no. 3. Pp. 2062-2080.

25. Allaart P. C. A general „bang-bang" principle for predicting the maximum of a random walk // Journal of Applied Probability. 2010. Vol. 47, no. 4. Pp. 1072-1083.

26. Applebaum D. Levy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge: Cambridge University Press, 2009.

27. Baxter G., Donsker M. D. On the distribution of the supremum functionalfor the processes with stationary independent increments // Transactions of the American Mathematical Society. 1957. Vol. 85, no. 1. Pp. 73-87.

28. Bernyk V., Dalang R. C., Peskir G. The law of the supremum of a stable Lévy process with no negative jumps // Annals of Applied Probability. 2008. Vol. 36, no. 5. Pp. 1777-1789.

29. Bernyk V., Dalang R. C., Peskir G. Predicting the ultimate supremum of a stable Lévy process with no negative jumps // Annals of Probability. To appear.

30. Bertoin J. Lew Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

31. Boyce W. M. Stopping rules for selling bonds // Bell Journal of Economics and Management Science. 1970. Vol. 1. Pp. 27-53.

32. Chow Y. S., Moriguti S., Robbins H., Samuels S. M. Optimal selection based on relative rank (the "secretary" problem) // Israel Journal of Mathematics. 1964. Vol. 2, no. 2. Pp. 81-90.

33. Cohen A. Examples of optimal prediction in the infinite horizon case // Statistics and Probability Letters. 2010. Vol. 80. Pp. 950-957.

34. Dellacherie C., Meyer P. A. Probabilités et potentiel. Paris: Hermann, 1976.

35. Dufresne F., Gerber H. U. Risk theory for a compound Poisson process that is perturbed by diffusion // Insurance: Mathematics and Economics. 1991. Vol. 10. Pp. 51-59.

36. Espinosa G.-E., Touzi N. Detecting the maximum of a mean-reverting scalar diffusion. Preprint. 2010.

37. Fitzsimmons P. J. A converse to a theorem of P. Levy // The Annals of Applied Probability. 1987. Vol. 15, no. 4. Pp. 1515-1523.

38. Gardner M. Mathematical games // Scientific American. 1960. Vol. 202, no. 1. Pp. 150-156.

39. Gilbert J. P., Mosteller F. Recognising the maximum of a sequence // Journal of American Statistical Assosiation. 1966. Vol. 61. Pp. 35-73.

40. Graversen S. E., Peskir G., Shiryaev A. N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum // Теория вероятностей и ее применения. 2000. Т. 45, № 1. С. 125-136.

41. Graversen S. E., Shiryaev A. N. An extension of P.Lévy's distributional properties to the case of a Brownian motion with a drift // Bernoulli. 2000. Vol. 6, no. 4. Pp. 615-620.

42. Griffeath D., Snell J. L. Optimal stopping in the stock market // Annals of Probability. 1974. Vol. 2. Pp. 1-13.

43. Hlynka M., Sheahan J. N. The secretary problem for a random walk // Stochastic Processes and their Applications. 1988. Vol. 28. Pp. 317-325.

44. Huzak M., Perman M., Sikic H., Vondracek Z. Ruin probabilities and decompositions for general perturbed risk process // The Annals of Applied Probability. 2004. Vol. 14, no. 3. Pp. 1378-1397.

45. Karatzas I., Shreve S. E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1998.

46. Karlin S. Stochastic models and optimal policy for selling an asset // Studies in Applied Probability and Management Science. 1962. Pp. 148-158.

47. Kyprianou A. E. Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2006.

48. Mordecki E. The distribution of the maximum of a Lévy process with positive jumps of phase-type // Theory of Stochastic Processes. 2002. Vol. 8, no. 24. Pp. 309-316.

49. Mordecki E. Ruin probabilities for a Lévy process with mixed exponential positive jumps // Теория вероятностей и ее применения. 2003. Т. 48, К2 1. С. 188-194.

50. Pedersen J. L. Optimal prediction of the ultimate maximum of Brownian motion // Stochastics and Stochastic Reports. 2003. Vol. 75, no. 4. Pp. 205-219.

51. Pedersen J. L. An optimal selling strategy for stock trading based on predicting the maximum price. Preprint. 2007.

52. Peskir G. On reflecting Brownian motion with a drift // Proc. Simposium of Stochastic Systems. 2005. Pp. 1-5. ISCIE Kyoto (Osaka, 2005).

53. Peskir G., Shiryaev A. N. Optimal Stopping and Free-Boundary Problems. Basel: Birkhàuser, 2006.

54. Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2005.

55. Revuz D., Yor M. Continious Martingales and Brownian Motion. Berlin: Springer-Verlag, 1999.

56. Shiryaev A. N. Quickest detection problems in the technical analysis of the financial data // Proc. Mathematical Finance Bachelier Congress. Berlin: Springer-Verlag, 2002. Pp. 487-521. Paris 2000.