Неаддитивные задачи об оптимальной остановке для стационарных диффузий

Каменов, Андрей Александрович

Неаддитивные задачи об оптимальной остановке для стационарных диффузий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Каменов, Андрей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Неаддитивные задачи об оптимальной остановке для стационарных диффузий»

Автореферат диссертации на тему "Неаддитивные задачи об оптимальной остановке для стационарных диффузий"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.244.5(043)

Каменов Андрей Александрович

НЕАДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ОСТАНОВКЕ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДИФФУЗИЙ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2014

11 СЕН 2014

005552327

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Ширяев Альберт Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Дарховский Борис Семенович, главный научный сотрудник Института Системного Анализа РАН

доктор физико-математических наук, профессор Павлов Игорь Викторович, заведующий кафедрой высшей математики Ростовского Государственного Строительного Университета

Ведущая организация: Институт прикладных математических

исследований КарНЦ РАН

Защита состоится 3 октября 2014 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8 этаж) и на сайте механико-математического факультета http://mech.math.msu.su

Автореферат разослан 29 августа 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Задача об оптимальной остановке имеет множество применений, в первую очередь в финансовой математике. Типичными ситуациями, в которых возникает указанная задача, являются определение безарбитражной цены для опционов Американского типа и задача оптимального управления капиталом.

Одной из значимых проблем финансовой математики является поиск справедливой цены для русского опциона. Термин «русский опцион» был впервые введен Л.Шеппом и А.Н.Ширяевым1. По такому контракту, покупатель имеет право в любой момент времени продать актив по максимальной цене, наблюдавшейся с момента заключения контракта, при этом платя штраф, пропорциональный прошедшему времени. Таким образом, покупатель опциона минимизирует возможные потери вследствие того, что он мог бы предъявить опцион к исполнению раньше. Такой контракт торгуется за рубежом, хотя и в сравнительно небольших объёмах. При этом для оценки его справедливой стоимости используется модель опциона американского типа с немного изменёнными параметрами.

Русскому опциону посвящены исследования множества авторов. В последующих работах Л.Шеппа и А.Н.Ширяева был предложен подход к решению задачи, основанный на введении дуальной мартингальной меры2, а также решена задача для «барьерной» версии опциона - т.е. момент остановки не должен превосходить момента первого достижения процессом некоторого уровня3. Задача, аналогичная рассмотренной в настоящей работе, была решена для модели Блэка-Шоулза Г.Пешкиром4, а Дуйстермаатом, Киприяну и ван Шайком

lSheppL., Shiryaev А. N. The Russian option: reduced regret//The Annals of Applied Probability. 1993. T. 3, № 3. C. 631—640.

2Shepp L. A., Shiryaev A. N. A New Look at Pricing of the «Russian Option» // Theory of Probability & Its Applications. 1994. T. 39, № 1. C. 103-119.

lShepp L. A., Shiryaev A. N., Sulem A. A barrier version of the Russian option // Advances in Finance and Stochastics. Springer, 2002. C. 271-284.

4Peskir C. The Russian option: Finite horizon // Financc and Stochastics. 2005. Anp. T. 9, № 2. C. 251-267. ISSN 1432-1122.

предложен алгоритм, позволяющий явным образом строить аппроксимации для границы оптимальной области остановки5.

Очень близкой является задача о поиске справедливой цены для другого экзотического производного финансового инструмента — лукбэк опциона. Одной из первых работ, касающихся этого типа опционов, стала в 1991 году статья А. Конзе и Вишванатана6. Метод для поиска цены можно найти в книге М. Му-сиелы и М. Рутковски7. Ещё одна работа8, посвященная исследованию лукбэк опциона на бесконечном временном горизонте, интересна тем, что условия гладкого склеивания, являющегося общим для большинства задач об оптимальной остановке, оказывается недостаточно. Авторами показано, что для решения поставленной задачи необходимо добавить условие на асимптотику границы между областями остановки и продолжения наблюдений.

Целый ряд авторов занимались задачей об остановке случайного процесса как можно более близко к его абсолютному максимуму (или, наоборот, так далеко, как возможно). Главной проблемой при решении задач такого рода по сравнению с задачей для функционала Майера V = sup Е M(Хт) является тот факт, что процесс текущего максимума Mt = sup Xt не является марковским, и для того, чтобы применить подход, основанный на использовании свойств марковских процессов, необходимо рассматривать двухмерный процесс (Xt, Mt).

Одной из причин для постановки такой задачи является известная инвестиционная стратегия «покупай и держи». Она основана на эмпирическом наблюдении, состоящем в том, что на больших временных промежутках финансовые рынки обеспечивают достаточно высокую доходность, несмотря на имеющуюся волатильность. Согласно этой точке зрения, предсказание дальнейшего поведения цен невозможно (по крайней мере, для небольших инвесторов),

5Duistermaat J., Kyprianou A., Schaik К. van Finite expiry Russian options // Stochastic Processes and their Applications. 2005. Апр. T. 115, № 4. C. 609-638. ISSN 0304-4149.

6ConzeA.t Visvanathan Path dependent options: The case of lookback options//The Journal of Finance. 1991. T. 46, № 5. C. 1893-1907.

1Musiela M, Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling. Springer, 2006. (Stochastic Modelling and Applied Probability). ISBN 9783540266532.

8Gho X.y Shepp L Some optimal stopping problems with nontrivial boundaries for pricing exotic options // Journal of Applied Probability. 2001. T. 38, № 3. C. 647-658.

и вместо попытки приобрести акции перед их ростом, лучше просто «купить и держать».

В пользу такого подхода говорит гипотеза эффективного рынка, утверждающая, что цена акции в каждый момент времени отражает всю доступную к этому моменту информацию, а следовательно, нет никакого смысла совершать финансовые операции в краткосрочной перспективе. Также сторонники упоминают о транзакционных издержках (оплата брокерских услуг, а также разница между рыночными ценами покупки и продажи). Очевидно, что указанная стратегия минимизирует количество проведенных операций (и, таким образом, размер издержек).

Цель работы.

Целью настоящей работы является исследование задачи об оптимальной остановке для процесса М() и получение результатов, расширяющих и обобщающих упомянутые выше работы. Основным направлением исследования является рассмотрение случаев однородной диффузии, а также произвольной целевой функции, оценивающей расстояние между значением процесса в момент остановки и абсолютным (или текущим) максимумом.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Решена задача об оптимальной остановке для «русского опциона» в модели Башелье. Доказано, что оптимальным моментом остановки является момент первого достижения процессом границы, являющейся единственным решением интегрального уравнения Вольтерры, кроме того, найдено асимптотическое поведение упомянутой границы в случаях временного горизонта, стремящегося к нулю и бесконечности.

2. Показано, что в случае произвольной задачи об оптимальной остановке однородной диффузии относительно её абсолютного максимума имеет место субгармоническая характеризация функции цены в точках, где значение процесса совпадает со значением его текущего максимума, что является расширением известного результата из общей теории оптимальной остановки. Получены системы дифференциальных уравнений со свободной границей. Доказательство проведено в случаях как бесконечного, так и конечного временного горизонта.

3. В случае задачи для бесконечного горизонта доказано, что для функций, удовлетворяющих условию однократного пересечения, границей оптимальной области остановки является максимальное из допустимых (т.е. целиком содержащихся в области, где целевая функция является субгармонической) решений определенного дифференциального уравнения. Также показано, что для функций, условию однократного пересечения не удовлетворяющих, можно явным образом построить модификацию, удовлетворяющую указанному условию, при этом сохраняющую значение цены и для которой любой оптимальный момент остановки в исходной задаче также является оптимальным.

4. В случае конечного временного горизонта найдена система из дифференциального уравнения и интегрального уравнения Вольтерры, которой должна удовлетворять граница оптимальной области остановки. В случае дополнительного условия на гладкость целевой функции на прямой, соответствующей временному горизонту, найдено преобразование для упомянутой системы, упрощающее её исследование и численное решение. Для случая функций, удовлетворяющих условию однократного пересечения, доказано, что оптимальным моментом остановки является момент первого пересечения процессом максимального решения построенной системы.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, методы динамического программирования, а также эконометрические методы. Для исследования частных случаев были применены методы численного решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Исследование носит теоретический характер. Его результаты и методы могут быть полезны специалистам, занимающимся теорией оптимальной остановки. Явные формулы, полученные для задачи об остановке относительно максимума диффузии, могут быть использованы в качестве первого приближения в задачах подобного типа.

Апробация работы.

1. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством А.Н. Ширяева (2014)

2. На семинаре кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В. Ломоносова «Стохастический анализ и мартингальные методы» под руководством А.Н. Ширяева (неоднократно, 2007-2014).

3. На русско-японском симпозиуме «Сложные статистические модели» в МИАН им. Стеклова (2007).

4. На международной конференции «European Young Statisticians Meeting» в Бухаресте, Румыния (2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в 3 работах, 2 из которых - статьи в ведущих рецензируемых научных журналах. Список приведен в конце настоящего автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 89 страниц с 4 рисунками. Список литературы содержит 54 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

В первой главе решена задача об оптимальной остановке для русского опциона в модели Башелье. Задача об оптимальной остановке для русского опциона в указанной модели принимает вид

Vt = sup Е

max Хи — ст

и^т

(1)

где Xt = ¡it + Bt.

Общая теория оценки опционов американского типа утверждает, что для нахождения справедливой цены такого опциона необходимо решить следующую задачу об оптимальной остановке:

Vt = sup Е

тЦТ

max Хи — сг

и^т

Ответ даёт

Теорема 1.1. Оптимальным моментом остановки в задаче (1) является момент первого выхода процесса max Хи — Xt на кривую b(t), заданную как решение интегрального уравнения

T-t

A(i, Т, b(t)) = b(t) + (с — р)(Т — t) — с J E(t,u,b(t),b(t + u))du

где А и В имеют следующий вид:

A(t,T,b(t)) = EiMt)XT B(i, и, b(t), b(u)) = EtMt) I(XU > b(u)).

Нас интересуют свойства решения полученного уравнения, в частности, асимптотика при Т — i—>0иТ — i—> оо.

Теорема 1.2. При t Т

В случае бесконечного временного горизонта оптимальным моментом остановки является т^ = inf{i : Xt > ¿'о}, где So = lnf,'2^+1). Для горизонта, стремящегося к оо, справедлива следующая оценка для функции цены.

Теорема 1.3. Для некоторого положительного D имеет место оценка 0 < VooW-U&S) < De1"/2-«' cos(A:r), где \ = тг/(2 S0)uq = (min(/i, 0))2/4 + А2.

Отсюда можно найти оценку для асимптотики непосредственно границы области оптимальной остановки.

Теорема 1.4. Имеет место оценка 0 ^ So — h(t) < y/D/{2c)eqt/2.

Во второй главе мы переходим к исследованию задачи об оптимальной остановке для произвольной функции, зависящей от максимального значения процесса (гладкой и удовлетворяющей определенным условиям для роста на бесконечности). Поскольку для многих диффузий значение максимума на всей положительной полупрямой может быть не определено, то имеет смысл также рассмотреть аналогичную задачу для функций вида Н(ХТ, Мт+е) для некоторого £ > 0.

Как показано, обе эти формулировки являются частными случаями следующей задачи:

У,=зирЕ „/(ХТ,МГ), (3)

где для функции /(х, в) выполнено условие /'¡¡(х, 5)|х=3 = 0.

Обозначим

и(х) -Ж- _1Пп Ь'(х)У -

В силу супергармонической характеризации функции й), в точках, где выполнено

/£(*,*)+ 2А1(*)/£(*,*)> 0, (4)

не лежащих на диагонали (т.е. х < 5), останавливаться не оптимально.

Для точек, лежащих на диагонали, инфинитезимальный генератор имеет более сложный вид. Тем не менее, как оказывается, и для них условие (4) является достаточным для того, чтобы точка (х, х) принадлежала области продолжения наблюдений.

Теорема 2.1. Не оптимально останавливаться в точках (х,х), для которых либо /,¡(х, х) > 0, либо /'3(х, х) = 0 и выполнено (4)

В случае, если при некотором в верно К (в, в) = то есть в точ-

ке (з, в) на диагонали необходимо сразу останавливаться, вопрос нахождения У„{х, я) для всех х < в сводится к задаче для одномерного процесса Хи ответ в которой известен. Интерес, следовательно, представляют те случаи, когда при М{ = в необходимо останавливаться при достижении процессом некоторого уровня <?* (в) < в (при этом, опять-таки, для х < д„(в) вопрос нахождения V» (х, в) сводится к одномерной задаче). Далее мы выведем дифференциальное уравнение для оптимальной границы

Чтобы найти уравнение для д*(.ч) (в случае, если области остановки и продолжения наблюдений действительно имеют описанный вид), запишем систему дифференциальных уравнений для У(х, в):

ЬхУ(х, в) = 0 д(в) < х < в

= 0 (нормальное отражение)

ьу

У{х, = /(х, «) (мгновенная остановка)

= й) (гладкое склеивание.)

(5)

дУ

х=д{з)+

Теорема 2.2. Функция У{х, в) удовлетворяет условиям (5), если для границы д(х, в) выполнено

д{) ГМ*1*) + Ы*)Ш*),*) ' '

гдеАШ,*) = МЩР-

Далее мы придерживаемся стандартного для задач об оптимальной остановке порядка действий — доказываем верификационную теорему для функции д, удовлетворяющей (6).

Определение 1. Функция /(х, а) удовлетворяет условию однократного пересечения, если для любого в существует х(в) такое, что Ьх(х, в) ^ 0 при х < х(в) и Ъх(х, в) ^ 0 при я > х > х(з).

Оказывается, впрочем, что практически любую функцию / можно модифицировать (не изменив решения задачи (3)) таким образом, что условие однократного пересечения окажется выполненным. Единственное, что нам потребуется - сделать некоторые достаточно естественные предположения относительно поведения функции / при х и я, стремящихся к границам интервала I.

Условие 1. Существует функция д(в) такая, что

Пх, з) < 7(х, з) = Ч(з) + .

Ь'(8)

Отметим, что если для какого-то в нельзя подобрать д и д' так, чтобы выполнялось указанное неравенство, то У(х, в) = оо при х < з.

Условие 2. Для любого s 6 I в некоторой окрестности s выполнено одно из двух условий:

,. f(x,s)

lim = -оо,

или

\f'a(x,s)\<C, VxG/.

Теорема 2.3. Пусть f(x, s) удовлетворяет условиям 1 и 2, а g(s) - произвольная допустимая граница, причём V(g(s),s) < оо. Тогда существует функция f(x, s) 6 С2'1, такая, что для любых (х, s)

О Lx/(x, s) ^ 0 при х ^ g(s),

ii) s) > О, причем, если неравенство строгое, то Lxf{x, s) = 0 при

I x=s

х € [s — е, s] для некоторого г > 0.

Hi) sup EIS f(XT, MT) = sup EI3 f(XT, MT), теш!(/) re<m(f)

iv) Любой момент остановки т, являющийся оптимальным в первой задаче, оптимален и по второй,

v) Любой момент остановки т, такой, что Lxf(XT,MT) < 0 пл., оптимальный во второй задаче, является оптимальным моментом остановки в первой задаче.

Определение 2. Назовём границу g : I —> Io, g(s) ^ s допустимой, если: i) g(s) полунепрерывна снизу,

И) В точках, где l¡ < g(s) < s, g(s) является решением уравнения (6),

iii) Для всех s точка (g(s),s) принадлежит замыканию множества {(х. s) : bxf(x, s) < 0}.

Далее, для функций, удовлетворяющих принципу однократного пересечения, показано, что имеет место принцип максимума.

Теорема 2.4. Пусть функция удовлетворяет условию однократного пересечения и выполнено утверждение ii) теоремы 2.3. Тогда

1. Существует максимальная допустимая граница gt(s).

2. Если для момента остановки т* = inf{i > 0 : Xt ^ g*{Mt)} выполнено Е /(ХТч, Мт<) < со, то он является оптимальным в задаче (3).

Рассмотрен частный случай, а именно решена в случае е > 0 задача V = sup Е (ХТ — тпт+€) для процесса Xt, являющегося геометрическим броуновским

г^О

движением cxp(i?( — fit) vimt = minXs.

ssSt

Теорема 2.5. Оптимальный момент остановки в данном случае имеет вид:

1. Если ц < то оптимального момента остановки не существует, а V,, (х, s) = оо.

2. Если fj. = то V* = Е (Xq — те), причём равенство достигается на любом моменте остановки из 9Rx(f)-

3. Если /х > /io(e), где /jq — единственный корень уравнения

+ 2(/х - 1)е^Ф((р - l)Vi) = 2^-1,

то оптимальным моментом остановки является т = О

4. Наконец, если не выполнено ни одно из указанных условий, то оптимальным моментом остановки является г» = inf {£ : Mt — Xt = d}, где d — единственный корень уравнения

В третьей главе рассматривается самый важный и сложный случай — произвольная целевая функция на конечном временном интервале. Основная сложность, возникающая при такой постановке, состоит в том, что задача более не является однородной во времени. Интерес представляет задача вида

V» = sup f(XT, МТ, т),

т^Т

где /'¡¡(х, в, £)|х_3 = 0. Важным частным случаем является задача

К = Бир Н(ХТ,МТ). (7)

Обозначим

V.(x,s,t)= sup Еxstf{XT,MT,T), (8)

где Ех.5( - математическое ожидание при условии = х, Л/г = е.

Так же, как и во второй главе, встаёт вопрос об остановке на диагонали. Ответ на него даёт следующее утверждение.

Теорема 3.1. Предположим что /'„(х, х, £) = 0. Тогда, если выполнено условие (■щ + /(я, х, £) > 0, то останавливаться в точке (х, х, £) не оптимально.

Для того, чтобы получить систему уравнений, которой должна удовлетворять граница оптимальной области остановки в данном случае, мы формулируем, в соответствии с общей теорией оптимальной остановки, систему дифференциальных уравнений со свободной границей (задачу Стефана):

dV,

V/ + hxv = 0 g(s) < X < s

= 0 (нормальное отражение)

V(х, s, í)|I=ff(s)+ = f(x, s, t) (мгновенная остановка)

= f'x(x, s,t) (гладкое склеивание.)

(9)

В её решении оказывается полезным следующее утверждение, представляющее собой вариант теоремы об огибающей для рассматриваемой задачи.

Теорема 3.2. У3'(х, £) существует и на множестве продолжения наблюдений С удовлетворяет уравнению

д \

Обозначим У; процесс Хи остановленный в момент пересечения диагонали, т.е. У( = ХЬаТо и положим

Теорема 3.3. Если выполнены условия (9), то g{s,t) в точках, где g(s,t) < s, удовлетворяет уравнению

пч~ Л _ а (9{s,t)) t_ nf))

9Л'}~ 2 ' (fí + bxf)(g(s,t),s,t) ■ (WJ

где ф{з, в) - функция, удовлетворяющая уравнению Вольтеррьг

K(g(s,t),g(s,r),r) = Jv(g(s,e),g(s,r),r-9)diP(s,t,e) (И) t

для всех t < г ^ Т.

Кроме того, если исходная задача имеет вид (7), то указанную систему можно упростить таким образом, что при различных t ядро и образ уравнения Вольтерры остаются неизменными:

Теорема 3.4. Если в условиях теоремы 3.3 имеет место f(XT,MT,r) = Щк(ХТ,Мт)\ХТ,МТ,т) и существует предел H(s) = lim h's(g(s,T), s), то g(s, t) в точках, где g(s, i) < s удовлетворяет следующему уравнению:

jt. fs*2(9(s,t)) I(s, t) — f"s(g(s, t), s, t) 9Л,) 2 ' (f> + hxf)(g(s,t),s,t) '

где Гт

a x(r) - решение уравнения Вольтерры

f'Ms, 0), s, 9) - Н(з)Ъ(д(в, s), s,T — 6) = Г X(r)V(g(s, в), g(r, s), r - 6)dr

для всех в 6 [í, Т].

Такое преобразование значительно упрощает исследование и численное решение системы.

По аналогии со случаем бесконечного горизонта, дадим следующее определение:

Определение 3. Функция f(x, s, t) удовлетворяет условию однократного пересечения, если для каждого s в интервале I существует граница x(s, t) такая, что (J¿ + Lx) f{x, s, t) ^ 0 при x > x(s, t) и (+ Lx) {x, s,t) <0 при X < x(s, t).

Далее будем предполагать условие однократного пересечения выполненным.

Определим Vg(x, s, t) как решение задачи Коши:

(J¡+L*) V9(X'S>t)==0

Vg(g(s,t),s,t) = f(g(s,t),s,t) ^(g(s,t),s,t) = f'Ms,t),s,t)

Vg(x,s,T) = f{x,s,T), s>x>g(s,T).

Теорема 3.5. Пусть g(s, t) - произвольное допустимое решение и Ta 6 ЯЯх(/) -соответствующий ему момент остановки. Тогда

1. Для любого момента остановки т € Шх(/) верно

Ехл/(Хт,Мт,т) ^ Vg(x,s,t).

2. Если (J¿ + Lx) f(g(s, г), s, г) < 0 для Vs, г, и т 6 Шх{/) - оптимальный момент остановки, то Pxst(,T "Ф тд) = 0

Перейдём к вопросу о выборе конкретного допустимого решения.

Теорема 3.6. Существует максимальная допустимая граница g,(s, t).

Оказывается, что максимальная допустимая граница является оптимальной в исходной задаче. Используя теорему 3.5, получаем основное утверждение третьей главы:

Теорема 3.7. Обозначим g*(s,t) максимальное допустимое решение. Тогда, если для момента остановки т, = inf{í > 0 : Xt ^ g,(Mt, £)} выполнено Е f(XT, Мт, т) < оо, то он является оптимальным в задаче (8).

Наконец, рассмотрена задача о минимизации отношения к абсолютному максимуму для броуновского движения со сносом Xt = Bt + (it:

V, = inf (12)

ПТ MT

Обозначим G(x,t) функцию распределения величины Мт-t, a p(x, i) -плотность этого распределения. Оказывается, что функция распределения Мт-t является логарифмически выпуклой вверх, т.е. (jj^j^j > 0.

Ответ в поставленной задаче даёт следующее утверждение:

Теорема 3.8. 1. Если ц ^ 0, то оптимальным (причём единственным) моментом остановки в задаче (12) является т, = Т.

2. Если ц > 0, то функция f(x,s,t) удовлетворяет условию однократного пересечения. В этом случае оптимальный момент остановки имеет вид г» = inf{í : Xt ^ g(St,t)}, где g(s, t) — единственное решение системы (10)-(11) с начальным условием g(s,T) = s.

Более того, в рассматриваемом случае при помощи теоремы Гирсанова удаётся найти явное выражение для Ф(х, у, í):

Р,(У, < у) = Ф ~ е^Ф + ■

Вместе с теоремой 3.7 это позволяет решить поставленную задачу численным методом. Для иллюстрации качественного поведения границы g(s, t) результат решения задачи (с использованием библиотеки Math.NET Numerics) приведен на рисунке 1

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику, доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задачи, неоценимую помощь и интерес к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Каменов А. А. Башелье-версия русского опциона на конечном интервале // Теория вероятностей и её применения. 2008. Т. 3, № 53. С. 576—587

2. Каменов А. А. Решение задачи о предсказании абсолютного максимума однородной диффузии // Успехи математических наук. 2014. Т. 69, № 3. С. 100-101

3. Каменов А. А. Оптимальная остановка для абсолютного максимума однородной диффузии // Депонировано в ВИНИТИ. №219-В2014

Подписано в печать: 29.07.2014 Тираж: 100 шт. Заказ № 033 Отпечатано в типографии «Реглет» 125009, г. Москва, Страстной бульвар, д. 4 +7(495)979-98-99; www.reglet.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Каменов, Андрей Александрович, Москва

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 519.244.5(043)

04201460734

Каменов Андрей Александрович

Неаддитивные задачи об оптимальной остановке для

стационарных диффузий

Специальность 01.01.05 — «Теория вероятностей и математическая статистика»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Ширяев

Москва - 2014

Содержание

Введение........................................................................4

1 Башелье-версия русского опциона на конечном интервале .... 18

1.1 Постановка задачи....................................................18

1.2 Решение задачи........................................................19

1.2.1 Уравнение для границы области остановки................19

1.2.2 Доказательство оптимальности..............................26

1.3 Свойства решения....................................................29

1.3.1 Асимптотика вблизи Т ......................................29

1.3.2 Асимптотика на бесконечности..............................31

2 Общая задача на бесконечном интервале..............................35

2.1 Постановка задачи......................................................35

2.2 Остановка на диагонали..............................................37

2.3 Решение задачи........................................................41

2.3.1 Дифференциальное уравнение для граничной кривой. . . 41

2.3.2 Условие однократного пересечения..........................44

2.3.3 Верификационная теорема....................................49

2.4 Частный случай: максимизация расстояния до минимума..........52

3 Общая задача на конечном интервале................................57

3.1 Введение................................................................57

3.2 Остановка на диагонали..............................................58

3.3 Решение задачи........................................................61

3.3.1 Дифференциальное уравнение для граничной поверхности. 61

3.3.2 Верификационная теорема....................................69

3.4 Частный случай: минимизация отношения к максимуму. .... 75

Заключение....................................................................82

Список рисунков..............................................................84

Литература....................................................................85

Введение

Одной из значимых проблем финансовой математики является определение справедливой цены для русского опциона. Термин «русский опцион» был впервые введен Л.Шеппом и А.Н.Ширяевым в работе [1]. По такому контракту, покупатель имеет право в любой момент времени продать актив по максимальной цене, наблюдавшейся с момента заключения контракта, при этом платя штраф, пропорциональный прошедшему времени. Таким образом, покупатель опциона минимизирует возможные потери вследствие того, что он мог бы предъявить опцион к исполнению раньше. Такой контракт торгуется за рубежом, хотя и в сравнительно небольших объёмах. При этом для оценки его справедливой стоимости используется модель опциона американского типа с немного изменёнными параметрами.

Русскому опциону посвящены исследования множества авторов. В работе [2] был предложен подход к решению задачи, основанный на введении дуальной мартингальной меры. В [3] решена задача для «барьерной» версии опциона - т.е. момент остановки не должен превосходить момента первого достижения процессом некоторого уровня. Задача, аналогичная рассмотренной в настоящей работе, была решена для модели Башелье в [4], а в работе [5]

предложен алгоритм, позволяющий явным образом строить аппроксимации для границы оптимальной области остановки.

Очень близкой является задача о поиске справедливой цены для другого экзотического производного финансового инструмента — лукбэк опциона. Одной из первых работ, касающихся этого типа опционов, стала в 1991 году статья [6]. Метод для поиска цены можно найти в книге [7]. Ещё одна работа, [8], посвященная исследованию лукбэк опциона на бесконечном временном горизонте, интересна тем, что условия гладкого склеивания, являющегося общим для большинства задач об оптимальной остановке, оказывается недостаточно. Авторами показано, что для решения поставленной задачи необходимо добавить условие на асимптотику границы между областями остановки и продолжения наблюдений.

тот факт, что процесс текущего максимума Мь = вир Хь не является марковским, и для того, чтобы применить подход, основанный на использовании свойств марковских процессов, необходимо рассматривать двухмерный процесс {Хи Мь).

Первыми теорию оптимальной остановки к стратегии «покупай и держи» применили Ширяев, Сюй и Чжоу в работе [9]. В построенной ими модели цена акции описывается геометрическим броуновским движением:

(¡Х1 = (а-г)ХгсИ + аХг(1Вг. (1)

В таком случае естественным образом возникает следующая задача об оптимальной остановке:

<2)

для определенной функции полезности U и значения максимума цены Mt = max Xs. В случае логарифмической U эта задача тривиальна, в упомянутой работе рассматривается случай линейной функции полезности. Доказано, что ответ в задаче зависит от значения показателя а = следующим образом: если а ^ то оптимальным (и, в случае строгого неравенства, единственным) моментом остановки является т* = Т, если а ^ 0, то оптимальным моментом является т* = 0. Таким образом, дано математическое обоснование для стратегии «покупай и держи».

Недостающий случай 0 < а < \ рассмотрели в [10] дю Туа и Пешкир. Кроме того, ими решена похожая задача V = inf Е ^^^.

Другой вариант задачи (2) исследовали Дай, Цзин, Чжун и Чжоу в работе [11]. В этой статье поставлены 4 задачи, включающие в рассмотрение также

процесс текущего минимума mt = min Xs:

O^s^t

fxT\ /ХЛ f xT\ f xT\

min E —— , min E - , max E —- , max E - .

T^T \Mt J t^t \mT J t^t \Mt J t^t \mTJ

Здесь в каждом из 4 случаев при определенных промежуточных значениях параметра а области остановки и продолжения наблюдений имеют нетривиальный вид и разделяются некой непрерывной кривой.

Отметим, что во всех упомянутых работах, касающихся вариаций (2) основным этапом решения являлось приведение исходной задачи к форме Май-ера для вспомогательного процесса Xt/Mt, являющегося марковским (так называемый «бэнг-бэнг» процесс).

Аналогичная задача была рассмотрена Граверсеном, Пешкиром и Ширяевым в работе [12]: К = inf Е(Д- — Mi)2. Авторами был применен нестандартный подход, также позволивший перейти к рассмотрению классической задачи (на этот раз в форме Лагранжа, V = sup Е f* e~XsL(Xs)ds) для од-

номерного марковского процесса. Эта же задаче, но в случае броуновского движения со сносом, изучается в работе [13].

Ещё два варианта оценок расстояния между значением процесса и его абсолютным максимумом были изучены Педерсеном в работе [14]. Предложены следующие задачи об оптимальной остановке:

К = inf E(Mi - Вт)\ W* = sup Р(М1 -Вт^е).

Вторая из этих задач интересна тем, что максимизируется математическое ожидание разрывной функции от Мх и Вт.

Отметим также работу дю Туа и Пешкира [15], где рассмотрен принципиально иной подход к предсказанию максимума броуновского движения со сносом. Авторы вместо минимизации расстояния от текущего значения до абсолютного максимума исследуют следующую задачу: К = inf Е \9 — т|, где в - момент достижения максимума.

Случай процессов с разладкой был рассмотрен Ширяевым и Новиковым в [16]. Ряд авторов рассматривали задачу (2) для процессов, не являющихся диффузиями. Стоит упомянуть работу [17], обобщающую результат работы [9] на случай экспоненциальных процессов Леви.

Альтернативный подход был применен Гораном Пешкиром в работе [18] к задаче об оптимальной остановке для функционала в Ь8-форме на бесконечном временном горизонте: V = вир Е (^М? — / . Поставленная задача была решена автором для класса процессов, являющихся темой и настоящей работы - для однородных диффузий, то есть процессов, удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению

= Ь(ЛУ + . (3)

В такой постановке было получено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять граница оптимальной области остановки и показано, что имеет место «принцип максимума»: из всех решений уравнений необходимо выбрать максимальное, не пересекающее прямую Хг = М*.

Одной из важных техник, использованных автором, является так называемый метод замены пространства. Он состоит в том, что для определенной функции Ь, называемой функцией шкалы, процесс У^ = Ь(Х^ удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ¿Щ = (т(Хг)Ь' Све-

дя исходную формулировку к задаче для процесса Уи мы получаем возможность воспользоваться широким набором фактов из хорошо развитой теории мартингалов.

При этом в упомянутой работе имеются два важных предположения, позволяющих использовать выбранный метод. Во-первых, поставленная задача обладает определенными свойствами монотонности, а во-вторых, рассмотрен только случай бесконечного временного горизонта. Одна из основных целей настоящей работы — предложить подход к такого рода задачам, позволяющий избавиться от указанных предположений.

Упомянутый выше принцип максимума оказывается достаточно универсальным при исследовании задач, связанных с максимальным значением случайного процесса. Педерсеном в работе [19] был расширен класс задач, для которых он применим.

В настоящей работе показано, что он применим к более широкому, чем это сформулировано в [18], классу задач для однородных диффузий. Более того, однородными диффузиями область применимости принципа максимума не ограничивается — как показано Оттом в диссертации [20], аналогичный принцип имеет место и для задач, посвященных изучению спектрально отрицательных процессов Леви (т.е. не имеющих положительных скачков).

Стоит отметить, что в исследовании поставленной задачи важную роль играет специальный вид интегральных уравнений — уравнения Вольтерры:

В случае, если /(£) = 0, такое уравнение называется уравнением первого рода, иначе - второго рода.

Одной из первых работ, посвященных изучению этого вида уравнений, является диссертация Траяна Лалеску [21]. Уравнения Вольтерры встречаются в демографии, теории вязкоупругости, а также страховой математике. За более чем столетие уравнения такого типа были очень хорошо изучены, в частности, множество результатов содержится в книге [22]. Кроме того, уравнения Вольтерры оказываются весьма удобными для численного решения - см. например, книгу [23].

В стохастическом анализе уравнения Вольтерры возникают, как правило, при решении задач о моментах первого достижения. Одними из наиболее полных работ, посвященных этой теме, являются статья [24] и диссертация [25].

Наконец, ещё одно важное семейство результатов, используемое в настоящей работе — теоремы об огибающей. Для параметризованных оптимизаци-

онных задач теоремами об огибающей называют утверждения, посвященные дифференцируемости решения по параметру, а также представляющие выражение для производной. Такие утверждения впервые появились в экономике (в теории спроса и предложения). В классическом варианте от допустимого множества в оптимизационной задаче требовалась выпуклость и определенные топологические свойства. Первой работой, сформулировавшей теорему об огибающей для произвольных допустимых множеств, стала статья Пола Милгрома и Ильи Сигала [26].

Результаты работы Милгрома и Сигала уже нашли свое применение в задачах об оптимальной остановке. В статье [27] показано, помимо прочего, что в параметризованной задаче об оптимальной остановке для Ь8-функционала ответ (функция цены) является дифференцируемым по параметру. При этом исследован только случай бесконечного временного горизонта. Использованный подход расширен в настоящей диссертации.

Основные понятия и определения

Пусть задано пополненное фильтрованное вероятностное пространство (П, Т, (^)^О) Р)- Однородной диффузией называется процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению

¿Х1 = Ь{Х1)(И + а{Х^В1, (5)

где Д - стандартное броуновское движение, согласованное с фильтрацией (ЛЬо, а функции Ь и сг липшицевы:

\Ъ(х) - Ъ{у)| + |а(х) - а(у)| ^ С \х - у\ (6)

для некоторой постоянной С > 0. Условие (6) обеспечивает существование и Р-п.н. единственность сильного решения уравнения (5) (см., например, [28]).

Напомним, что диффузия, принимающая значения на интервале /, называется регулярной, если для любых х, принадлежащего (внутренности /), и

у € / для марковского момента ту = т£{£ : Хъ = ?/} верно < оо) > 0.

Как показано в книге [29], любая диффузия представляется в виде композиции регулярных, поэтому далее можем без ограничения общности предполагать, что X регулярная. Нам понадобится также тот факт, что вероятность Р(Нт Хь = //), где // - нижняя граница интервала I, либо равна нулю при всех Х0 е I, либо при любых Х0 больше нуля (см., например, [30, гл. 5, предл. 5.22]).

Далее, характеристическим оператором марковского процесса X со значениями в называется оператор 1Ь, действующий на функциях / : —> М, определенный следующим образом:

и 11/х Ти

где Еж обозначает условное математическое ожидание Е(- | Х0 = х), тц — момент первого выхода процесса Хь на границу окрестности II, а предел берется по последовательности вложенных окрестностей, пересечением которых является множество из одной точки х.

Характеристический оператор может быть рассмотрен как расширение понятия инфинитезимального генератора:

(8)

>0 Ъ

Как показано в [31], на множестве, где определены оба этих оператора, они совпадают. Более того, для диффузии (5) характеристический оператор равен (для дважды дифференцируемых функций /)

= + (9)

Основные положения, выносимые на защиту:

Диссертация состоит из трёх глав, посвященных различным постановкам задачи об оптимальной остановке для однородной диффузии вместе с её абсо-

лютным (или текущим) максимумом. Наиболее общая постановка содержится в третьей главе — она включает в себя задачу, рассмотренную в главе 1, и использует методы, являющиеся обобщением методов главы 2.

Подход, использованный во всех трёх главах, является достаточно типичным для задач об оптимальной остановке. Он основан на том, чтобы вначале угадать решение, исходя из субгармонической характеризации функции цены, а также принципов нормального отражения и гладкого склеивания. После того, как решение угадано, доказывается так называемая верификационная теорема, которая является самой сложной частью решения задачи.

Стоит отметить, что во второй и третьей главах отдельный интерес представляет вопрос об остановке процесса на диагонали, то есть в точках, где Xt = Mt. Возможности для применения общей теории в этом случае ограничены в связи с тем, что, как будет показано, в этих точках целевая функция не принадлежит области определения характеристического оператора процесса.

Перейдём к подробному описанию содержания каждой главы.

В первой главе решена задача об оптимальной остановке для русского опциона в модели Башелье. Введенная в 1900г. в работе [32], эта модель стала первой, применившей броуновское движение к исследованию динамики цен активов. Задача об оптимальной остановке для русского опциона в указанной модели принимает вид

Vt = sup Е

7-СГ

где Xt = ¡Л 4- Bt.

Доказано, что оптимальный момент остановки имеет вид т* = inf{£ : maxXu — Xt ^ b(t)}, где b(t) - решение уравнения Вольтерры

u^t

T-t

A(t, Т, b{t)) = b(t) + (с - fi)(T - t) - с J B(t, и, b(t),b(t + u))du (10)

для некоторых операторов А и В, явный вид которых также представлен.

max Хи — ст ,

и^т

В части 1.3 исследована асимптотика решения при Т — t —> 0, а также при Т — t —> оо. В частности, доказано, что при t —> Т граница b(t) = y/(T-t) lir\T-t) + 0{T - t).

Замет