Асимптотические разложения распределений гладких функционалов от сумм независимых разнораспределенных банаховозначных случайных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ("ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Г,

На правах рукописи УДК 519.214.4 + 519.214.6

СОЛОВЬЕВ ЕВГЕНИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ГЛАДКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ РАЗНОРАСПРЕДЕЛЕННЫХ БАНАХОВОЗНАЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 1994

Работа выполнена в Институте Математики СО РАН.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор И. С. Борисов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук В. В. Сенатов

кандидат физико-математических наук С. Ю. Новак

Ведущая организация — Московский Государственный Университет

им. М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 1994 г. в часов

на заседании специализированного Совета Д 002.23.03 в Институте Математики СО РАН ( 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4 )

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики СО РАН.

Автореферат разослан " " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 002.23.03

доктор физико-математических наук

А. В. Косточка

1. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Предельные теоремы являются одним из основных объектов изучения в современной теории вероятностей. Систематические исследования берут начало с классической работы Ю. В. Прохорова (Теория вероятностей и ее прим. - 1958 г., Т.2, в.2, с. 177 - 238). В ней, в частности, уделено большое внимание "принципу инвариантности", который иногда называют функциональной предельной теоремой или теоремой Донскера - Прохорова. Суть этого принципа заключается в следующем:

Пусть £„i>... ,£„„, п— 1,2,...— последовательность серий независимых в каждой серии случайных величин (с. в.) с нулевыми средними и конечными дисперсиями, которые удовлетворяют следующему условию нормировки ^ Е = 1. Рассмотрим на отрезке

i<n

[0,1 ] так называемую случайную ломаную Sn(t) = , где

i-.t^t

tni = Е . Хорошо известно, что при выполнении условия Ш

Линдеберга распределения процессов Sn(-) при п -* <» слабо сходятся в Dy[0, 1 ] (банаховом пространстве непрерывных справа и имеющих пределы слева функций на [0, 1 ] с равномерной нормой) к распределению стандартного винеровского процесса W(i) . Представляет интерес оценка величины

dWO = sup | Р (F(S„) < х) - V (F(W) < х) |,

x&VL

где F— некоторый непрерывный на D^fO, 1 ] функционал. Решением этой задачи при различных ограничениях на распределения и функционал F занимались многие специалисты, в частности: А. В. Скороход ( Исследования по теории случайных процессов - Киев, Изд-во Киевского университета 1961 г. ), А. А. Боровков ( Теория вероятностей и ее прим. - 1973 г., Т.18, в.2, с. 217-234 ), Я. Комлош, П. Майор, Г. Тушнади ( Z. Wahrsheinlichkeitsteor. verw. Geb., - 1976, В.34, H.l, S. 33-58 ), А. И. Саханенко ( Тр. Института Математики

СО АН СССР Т.1, Новосибирск, с. 72-78, там же Т.5, Новосибирск, 1985 г., с. 27-44 ), И. С. Борисов ( Теория вероятностей и ее прим. - 1976 г. Т.21, N2, с. 283 - 299 ), { Тр. Института Математики СО АН Т.13, Новосибирск, 1985 г. с. 7-40 ), а также С. Н. Дронов, А. И. Саханенко ( Сиб. Мат. Журнал - 1987 г., Т.28, N3 с. 78-88 ) и другие. Необходимо отметить, что до недавнего времени при оценке величины df(Sn, W) использовался, главным образом, метод одного вероятностного пространства. Наилучшие оценки df(Sn, W) в этом

случае имели порядок у .

Однако в работе И. С. Борисова ( Тр. Института Математики СО АН СССР - 1989 г.,Т.13, с. 7-40 ) был предложен новый подход, основывающийся на представлении Sn(t) в виде суммы п независимых разнораспределенных процессов индикаторного типа с весом и использовании затем идей метода композиции аналогично тому, как это делалось в работе Ф. Гетце (Preprints in Statistics, N 68; University of Cologne, 1981). При минимальных моментных ограничениях на распределения исходной последовательности были получены в известном смысле неулучшаемые оценки величины df(-,-) для достаточно широкого класса функционалов F. В частности, при соответствующих условиях порядок указаных оценок может быть п~хП.

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы было получение асимптотического разложения второго порядка для функции распределения гладких функционалов от сумм независимых разнораспределенных банаховозначных случайных элементов и оценки остаточного члена. В качестве следствия из основной теоремы получено асимптотическое разложение в принципе инвариантности Донскера - Прохорова с оценкой остаточного члена.

3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В качестве основных методов доказательства основной теоремы выступают методы характеристических функций и композиции,

метод условных срезок В. В. Юринского, а также метод симметризации Ф. Гетце.

4. НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертации получено ассимптотическое разложение второго порядка

Р(F(Sn) <z)=P(F(WJ <z) + Qn(z) + Rn(z),

где Sn — сумма n независимых банаховозначных случайных элементов (с.э.) £я1,... ,£пп в схеме серий. Найдены также оценки для Qn(z) и Rn(z) , причем в важном частном случае симметрических функционалов либо симметричности распределений £nj,..., ¡¡пп показано, что Qn(z) = 0. Кроме того, для одинаково распределенных слагаемых ( см. (3) ) и при существовании четвертого момента показано, что sup |Лп(г)| = 0(n-I+v), v>0 . Это является обобще-

z£R

нием результата Т.Р. Виноградовой ( Теория вероятностей и ее прим. 1985 г., Т.30, N2, с. 219-229, там же 1985 г., Т.30, N3, с. 554-557) для симметрических F, а также усиливает один из результатов В.В. Ульянова (Теория вероятностей и ее прим. - 1986 г., Т.31, N1, с. 31-46), где были получены оценки для Rn(z) для частного вида функционалов F в гильбертовом пространстве.

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в статистике.

6. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты диссертации докладывались на конференции "Предельные теоремы и непараметрическая статистика" (г. Билефельд, Германия, 1992 г.) а также на заседаниях семинара лаборатории теории вероятности и математической статистики Института Математики СО РАН.

7. ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. I. S. Borisov, Е. A. Solov'yov. Second-order approximation for distributions of smooth functional of sums of independent random variables in Banach spaces. // Siberian Advances in Math., Allerton Press Inc., New - York, Vol. 2, No. 2, 1992, P. 31 - 58 ),

2. И. С. Борисов, E. А. Соловьев. Аппроксимация второго порядка распределений гладких функционалов от сумм независимых банаховозначных случчайных элементов. // Тр. Института Математики СО РАЛ, Новосибирск, Т.2, 1993 г., С. 3 - 31

8. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из четырех параграфов: Объем работы 34 страницы журнального формата (70 стр. машинописного текста). Список литературы содержит 23 наименования.

9. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть ; I < п] , п > 1 — последовательность серий независимых в каждой серии с.э. в произвольном банаховом пространстве (X, ||- Ю. Предполагается, что распределения имеют в X сепара-

бельные носители; при этом Е = 0, ^ = 1 , где величины

isn

Orf = Е |£m ||2 удовлетворяют так называемому условию бесконечной

малости lim max oni = 0. Кроме того, будем предполагать, что п-*» i^n

распределение каждого с.э. предгауссово, т.е. существуют гауссовские с. э. у„(- такие, что для любых непрерывных линейных функционалов /х и /2 выполнено Е= Е/i(y,„)/2(yin).

Положим Бп = ^ , \Уп = ^ уП1. Основной результат работы /<л /<,п

связан с оценкой близости распределений с.в. Р(Бп) и /г(И/„), где некоторый в известном смысле регулярный функционал на X. Условимся, что всюду в дальнейшем запись вида Р €Е С(т,/3, а), где т — 0, 1> •••» а ^ 0 , /3 £ [0,1]> будет означать следующее:

||* < с0(/) ехр {«|(х ||}, ||*<»0(х)-*<"0(у) |р < Со(Г, ехр {а \\х\\ + а Цу||} \\x-y\f ,

(1)

где к = 1, 2,..., т и [•] — к-я производная Фреше, ||- ||* —

стандартная норма полилинейного функционала.

Введем дополнительные ограничения на с.э. {£п;; г < п} и {уП1; I < п}. Пусть для любого подмножества N С {1,..., л} выполнены следующие соотношения 2

Е

¡ел/

¡•&У

/6ЛГ

(2)

где постоянная Л не зависит от п и N, но может зависеть от X и тех или иных вероятностных характеристик наборов ; г < л} и {уп1; I < п) . Например, в банаховых пространствах типа 2 эти соотношения выполнены и А = А(Х). Однако (2) может иметь место

и в других банаховых пространствах, скажем пусть

' (3)

где {£г-; I < л} - независимые одинаково распределенные с.э. Если последовательность {£,} удовлетворяют центральной предельной

теореме в X , то условие (2) выполнено и А = эир Е11| р .

п

Отметим также, что без каких-либо ограничений на геометрию X каждое из соотношений в (2) не вытекает одно из другого.

Известно, что с помощью одних лишь условий (1) и (2) нельзя получить содержательные оценки для •). Последнее ограни-

чение можно назвать условием стохастической отделимости от нуля второй производной Фреше функционала F.

Предположим, что для любого п и некоторого д €Е (0,1) найдется

такое множество индексов N(6, п) , что а^ > ö , и для всех

¡ещ&,п)

непересекающихся подмножеств jV^ , QN(d, ti), удовлетворяющих требованиям

> е(п) н J Emin {|||m.||2, ||£J|3 } , iBN i<n

S°ni , k=l,2,

выполнено следующее неравенство

sup z~MP ( 2 2Dnij{Wn^)) <z

Z>° W^W4 /€//'> /GZ/21 i

(4)

где (л, у) = E (f<2>(x) y] )2 , m - достаточно

большое положительное число, {у^} — независимые центрированные

гауссовские с. э. с теми же ковариациями, что и Отметим,

что если распределения исходных с.э. предгауссовы, то {у^} существуют.

В случае, когда суммируемые с.э. имеют вид (3), условие (4) по существу совпадает с условиями в работах Т. Р. Виноградовой (Теория вероятностей и ее прим. - 1985, Т. 30, N2, с. 219-229 ), и Ф. Гетце ( Ann. Probab. - 1989, V.17, N4, p. 1602-1634 ).

Отметим также, что довольно много результатов (см., например, Бенткус В. Ю., Залесский Б. А. ( Литовский мат. сборник. - 1985, Т.25, N.3, с. 3-16 ) Нагаев С. В., Чеботарев В. И. ( Тр. Института Математики СО РАН. - 1989, Т.13, с. 66-77 ), Ульянов В. В. (Теория вероятностей и ее прим. - 1986, Т.31, N1, с. 31-46 )) посвящено изучению асимптотических разложений для специального вида регулярных функционалов F(x) = (х — a , х — а) в гильбертовом пространстве. Для таких функционалов условие (4) проверяется достаточно просто. Скажем, для одинаково распределенных слагаемых

вида (3) число M пропорционально количеству ненулевых собственных чисел ковариационного оператора fj.

Введем обозначения:

Ù = МШЛ =2 1). Л2 = 2 Е l^-4'll2 > Lm = I Е l^-ir ,

isn k<n

где £„(*) = P (F(Wn+x) < z).

Теорема 1. Пусть F G C(7, 0, a) и выполнено (2) и условие стохастической отделимости от нуля второй'производной Фреше функционала F. Тогда функция Qn(z) корректно определена, и при всех z G R справедливо следующее асимптотическое разложение:

P (F(Sn) < z) = P (F(Wn) <z) + Qn(z) + Rn(z) ; при этом для любого v > 18М~1

sup IRn(z) I < c(v, -)(Л2 + l}~v + L4) , <5)

zSR

где постоянная c(v, •) зависит еще и от с0, а, А,д, В. Кроме того, при выполнении одних лишь условий (2) и (4) имеет место оценка

sup |Q„(z)| <с(-)Ь3. zSR

Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 1 F— симметрический функционал, т.е. F(x) = F(—x) для любого х Е X, или Çni симметрично распределены при всех is п. Тогда Qn(z) = 0, и левая часть неравенства (5) совпадает с величиной df(Sn, Wn).

Первая часть этого утверждения следует из симметричности распределения Wn и того факта, что производные четного или нечетного порядка симметрических функционалов соответственно симметричны или асимметричны.

Следствие 2. В условиях теоремы 1

d^Sn, Wn) < с(-)(Л2 + L3) .

Обратимся еще раз к принципу инвариантности Донскера -Прохорова. Обозначим

к<п

где ^ = si), = + *)<*).

Ink(z) — 0, если z < ink, и Lú( •) = 1 в противном случае.

Доказательство следующего утверждения существенно опирается на теорему 1.

Теорема 2. Пусть функционал F:Da[Q, 1 ] R удовлетворяет следующим условиям : FG С{1,0, а) и для некоторого В > О

sup z~MР ( 2 ]?yf PniPnf (/2]{W) [Ini, Injl oh ^a2n})< B.

z>0 Ы'Ы2' í6//" jeN(2) 1

(6)

где M > 0, Pni = D^P , {yj} — независимые (0,1)—гауссовские с.в.,

не зависящие от W( ■)/ подмножества N, лКО.М2) удовлетворяют условиям (3), (4). Тогда функция Qn(z) корректно определена при всех z е R, и

Р (F(Stl) < z)) = Р (F(W) < z)) + Qn(z) + Rn(z) ;

при этом

sup IRn{z) I < F,v) + c(-)2 PnJcWnk-и ink) > (7) zGR ksn

где <5(-) совпадает с правой частью неравенства (5), вычисленной для массива с. в. £ = {£ш};

X(ts)= su f l^OOfoW«)!! , [x, -/y)]|

ll*l|exp{a||z||} ¡\x\\2exp{a\¡z¡\}

Следствие 3. Для любого 5 6 (2, 4 ] выполнено где Ьр= ^ Е | \р — классическое отношение Ляпунова. В част-

1<П

Л I /'■у

ности, если £П|- = £г(п Е£,) , и условие (4) для любого М > О, то при х = 4

л \ 1-"

\птЬ2)

(9)

где V— произвольно малое положительное число.

Следствие 4. В условиях теоремы 2 для функционалов интегрального типа

1

/•(*) =//(*(0)Ф( 0. (10)

О

где /м( ) — конечная мера на отрезке [О, 1 ], /€ С(7, 0, а) , имеют место оценки

Е^;-!' <«•) * со(Г)тах °п1 •

Следовательно, в условиях следствия 1 для функционалов (10) получаем из (7), (9) и (11) для любого V > 0 следущую оценку :

зир |Л„(г)| <С1(У) ген

/ А \1—V

{

Замечание. Если /г(-)— мера Лебега на [0,1 1 то для выполнения (6) достаточно чтобы в (10) функции /"(') была знакопостоянной, и для некоторых положительных <5 , р имело место

неравенство ¡/"(х)1 - т'П{1Х1Р><$} ПРИ всех х-

Следствие 5. В условиях теоремы 2 для схемы серий (3) с конечным четвертым моментом имеет место представление

ш=|| 2 ^ +^ *| s=o+°(п~х)

г<п

= Ш )du^V(F(W + sQ < z) |s=0 + o(n~\ 0 as

если только функционалы -г- + ^u) [■ ] удовлетворяют условию

(1) равномерно по и.

В частности, для интегральных функционалов (10), у которых мера ц имеет ограниченую плотность относительно меры Лебега, отделенную от нуля всюду на [0,1 ], предыдущее равенство может быть переписано в виде (сравни с работой Н. Бакирова Sixth Inter. Vilnius Conf. on Probability Theory and Math. Statistics, Abstracts of communications, Vilniius, 1993.—P. 27. )

PJ;3 1 3 U 1

Oz(z) = Jdu P ( ff(W(t)) dfi(t) + ff(W(t) + s) dM(t) < z) I s=0+

+ o(n~1).

Отметим, что аналогичное разложение может быть получено для интегральных функционалов типа (10) с ядром /(х, {).

Подписано к печати

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 0,75 п.л. Тираж 100 экз. Заказ Ц.^

Отпечатано на ротапринте Института Математики СО РАН 630090, Новосибирск — 90