Гауссовская аппроксимация в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ6 о

2 3 MAP 199'}

РОССИЙСКАЯ академия наук МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 519.21

УЛЬЯНОВ Владимир Васильевич

ГАУССОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Математическом институте

имени В.А.Стеклова

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат.наук доктор физ.-мат.наук доктор физ.-мат.наук, профессор

В.И.Богачев А. Ю.Зайцев

В.Ф.Колчин

Ведущая организация — Институт математики СО РАН

Защита диссертации состоится "¿^Умоелл 1994г. в 4ч часов

на заседании специализированного

Ученого Совета Д.002.38.03

при Математическом институте

им. В.А.Стеклова

Российской академии наук

(117966 Москва, ГСП-1, ул. Вавилова, 42)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института

Автореферат разослан " 44 " (ч^т^ч 1994г.

Ученый секретарь Совета

доктор физико-математических наук

А.С.Холево

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ- Одной из основных задач теории вероятностей является изучение асимптотического поведения распределений сумм растущего числа случайных величин» получение для них асимптотических формул и, в частности» изучение скорости сходимости к предельным законам. В одномерном случае эта тематика восходит к работам создателей теории вероятностей) и развитые с тех пор эффективные методы» такие как метод характеристических функций и метод композиций» позволили получить точные оценки и асимптотические разложения, хотя и в этой области остается eue немало трудных нерешенных задач- В многомерном случае ситуация примерно такая же, но заметно более сложная, а в бесконечномерном случае эта теория находится сейчас в стадии интенсивного развития- Уяе получен ряд окончательных результатов, часть из которых включена в диссертацию, однако ответы на многие стоящие вопросы еще неизвестны: бесконечномерность вносит существенные изменения в возниканшие вероятностные закономерности- Так» в центральной предельной теореме, в отличие от конечномерного случая, нет равномерной сходимости уве по классу всех полупространств, более сложные эффекты возникают при суммировании разкораспределенных случайных величин. Исследования здесь стимулируются как внутренним развитием теории суммирования независимых случайных величин, так и практическими запросами - в основном со стороны математической статистики-

Этой проблематике и посаяиена диссертация! в ней развиваются новые методы, позволяющие оценить точность гауссовской аппроксимации в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве Н-

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - анализ точности гауссовской аппроксимации

вероятностей попадания нормированных сунн независимых случай-них элементов"вУнёкоторого класс&нножеств гильбертового пространства Н, в частности, в иары. Указанный анализ проведен как собственно в центральной предельной теореме» когда для случая одинаково распределенных слагаемых точность приближения имеет порядок

О^-0^ с рС : О с* < 4/2. I так и для асимптотических разложений- Помимо случая одинаково распределенных слагаемых, рассмотрен общий случай разнораспределенных слагаемых.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе!

а) используются усовершенствованные методы характеристических Функций и композиций 1

б) применяется неравенство симметризации, позволявшее линеаризовать проблему,

в) дальнейшее развитие получил прием введения промежуточного распределения со значительной гауссовской составляющей,

г) разработаны новые методы для нахождения близости распределений в общем случае разнораспределенных слагаемых.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА- В главе 1 получены равномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме по шарам гильбертового пространства- Оценки являются правильными по зависимости от входящих в них параметров шаров и распределений слагаемых- Рассмотрены также неравномерные оценки и оценки в случае, когда порядок конечного абсолютного момента слагаемого меньше трех-

В главе 2 обобщается классический результат Эссеена для конечномерных пространств на бесконечномерное гильбертово пространство путем построения асимптотических разложений с двумя членами разложения- Построены также общие асимптотические разложения, уточняющие центральную предельную теорему в гильбертовом пространстве, с неравномерной оценкой остаточного члена

при минимальных моментных ограничениях. Зависимость оценок от ковариационного оператора слагаемых указана в явном виде-

Глава 3 содержит обобщение неулучыаемых оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве и оценок остаточного члена асимптотических разложений на случай разнораспределенных слагаемых. Указанное обобщение потребовало разработки новых приемов, позволяющих группировать разнораспределенные случайные элементы таким образом* что суммарный ковариационный оператор элементов каждой группы содержит достаточное число ненулевых собственных значений.

В главе 4 получены новые оценки для плотности нормы произвольного гауссовского элемента в гильбертовом пространстве, приводящие к двусторонним оценкам для вероятностей попадания гауссовского элемента в шары. Зависимость оценок от центров и радиусов иаров та же, что и в известных(точных]асимптотически ) результатах.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит главным образом теоретический характер. Результаты диссертации и развитые в ней методы могут применяться в математической статистике и в дальнейших исследованиях по предельным теоремам в бесконечномерных векторных пространствах.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ• Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах в Математическом институте им. В-А-Стекдова Российской АН, в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова, в Биле-фельдеком университете, ФРГ, в Орхузском университете, Дания, на IV и V международных Вильнюсских конференциях (1985,1989), на 1-м (Ташкент,1986) и 2-м (Уппсала,1990) Всемирных конгрессах Общества Бернулли, на X Всесоюзном семинаре по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (Куйбышев,1986), в международном Математическом центре им.С-Банаха (XXXV семестр,

Варшава, 1990), на 4-й Российско-финской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Москва,1993).

По тепе диссертации опубликовано 25 работ. Основные результаты содержатся в [13 - [153.

Часть результатов глав 1 и 2 получены совместно о Б.А-Занесении и Е.В.Сазоновым, что отмечается в диссертации.

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из предисловия, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Общий объем - 243 страниц«.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть Л. 1- =1 , ..■1~ независимые одинаково распределенные случайные величины со значениями в гильбертовом сепара-бельном пространтове Н. Предположим, что | <х>

и обозначим через V ковариационный оператор, отвечающий Х^

Положии ВХ/]\2~>

^ = (Xс -

и пусть У - гауссовская Н-значная случайная величина с параиет-рами (О, Б V). Обозначим через Р^ (соответственно С) вероятностную борелевскую меру в Н, отвечающую (соответственно У), и для V" ^ 0>са.<с: Ц положим (а^) — И:

Центральная предельная теореяа утверждает, что Р слабо

* и_

сходится к G, так что в частности»

А^о e l^cv^) -

< 1)

ПРИ П —* сх> для любых г "5- о» Н-

Первая глава посвящена изучению скорости сходимости а (1)- История исследования этой проблемы насчитывает уже около четверти века- Не вдаваясь в анализ многочисленных публикаций (см.,напр-, обзор В.Бенткуса, Ф-Гётце, В-Паулаускаса и А.Рачка-ускаса, Итоги науки и техники) 1991, т.81),мы упомянем здесь лишь те статьи, которые имеют самое непосредственное отношение к результатам настоящей работы. Впервые оценка Л Оч, у) порядка 0(у\, без ненужных дополнительных предположений

!типа независимости компонент у X ^ ) была получена Гетце (Z. Wahrscheinlichkeitstheor- verw- Geb. 1979, В. 50 ). Хотя номентные условия там и завышены, эта работа ценна тем, что в

ней предложен оказавшийся плодотворным метод оценки

1СТ V ' тие этой области

Vc.expVi't VS^2"^ , сильно повлиявший на дальнейшее разви-

Опираясь на идеи Гетце, Юринский (Теория вероятн. и ее применен- 1982, т.27, в.2) показал , что

^ с<Д/) (Ал уСА\ (2>

где с(У) зависит лишь от собственных значений оператора & и В = Е\Х - ЕХЛ \ • Обозначим через Б >. С' > .. . собственные значения V- Из доказательства Иринского следует,

что c(V) в (2) зависит лиыь от Q \ ~ Л Ab Позднее

до >

С.В.Нагаев (Lect. Notes Math- 1983, В• 1021 ) установил , что в (2) можно положить

-оЛ - с(п О *** О, <)л\

где с~абсолк>тная постоянная (в ДАН СССР, 1988, т.303, в- 1, С.В.Нагаев несколько улучшил второе слагаемое в этом выражении для с(V); см.также С63 в списке литературы ниже).

С другой стороны, из работы Сенатова (Теория вероятн. и ее

применен. 1985, т.ЗО, в-2) можно вывести, что для любого

_ _ z. ._2.

С > О и произвольных 1 3- , , ^ ЧГ, существует

о А Ь

Н| \л\>С0 ,и вероятностная мера Р на Н такие, что если Xjr.,.-- ~ независимые случайные величины с распреде-

лением Р, то ЕХ,, = О^ Т.2" , с = ^ р ^ сю

Уг.

<3>

sr\ •--* OO ^

> С (п

где с - абсолютная постоянная. Из (3) вытекает, в частности, что, вообще говоря, нельзя построить оценку типа (2) с константой с(У), зависящей от меньшего, чем месть собственных значений оператора V-

В первой главе строится анонсированная в С1] правильная оценка типа 12) с с(V), зависящей лишь от первых шести собственных значений оператора В V .В доказательстве ис-

пользуется подход Гетце к оценке характеристической Фукции 2.

величины \ \ , а также развиваются идеи Юринского по сгла-1 п. 1

живанию распределений величин X ► „

о

Основным результатом первой главы является следувдая ТЕОРЕМА 1 (С 1,23). Существует абсолютная постоянная с та-

кая, что о обозначениях, введенных в (1), (2) для любых а Н, г > О, целого п 1

*(4)

Замечания» 1- Сравнение с (3) показывает) что (4) - правильная оценка.

2- Оценка вида (4) получена другими методами С-В.Нагаевым (Тезисы докладов 5-й Вильнюсской международной конференции по теории вероятностей и математической статистике,1989,т-4) и Б.В.Сенатовым (Тезисы докладов 5-й Вильннсск^эиУконференции по теории вероятностей и математической статистике, 1989, т.4) о заменой \<«_\ на г.

В главе 1 отмечается, что оценка (4) может быть уточнена для больших значений \V —( , то есть, построены так называемые неравномерные оценки (см. СЗЗ). Кроме этого, возможно обобщение (4) на случай (см- С4Э), когда

ноо С р ; 2. < (5 < 2, .

Отметим, что в (4) используется информация о первых тиести собственных значениях ковариационного оператора V- Если же ограничиться лишь первыми двумя собственными значениями, то скорость сходимости ухудшится, а именно, в главе 1 доказана

ТЕОРЕМА 2 (С53 >- Существует абсолютная постоянная с такая, что в обозначениях Теоремы 1 для лкбых а £ Н, г 3. О, целого п 2

Замечания- 1. Путем построения оценки снизу для & 6л можно показать, что (5) аналогично (4) является

правильной оценкой*

2- Направление, связанное с оценками типа (4) и (5), получило дальнейшее развитие в работах Сенатова (см.например, Теория вероятн. и ее принен.,1992,т.37,в.4).

Вторая глава начинается с доказательства ряда результатов, в частности, так называемых "коротких" асимптотических разложений, которые выводятся без предположения о гладкости распределений слагаемых и дают обощение известного результата Эссеена на бесконечномерное гильбертово пространство. Напомним, что одна из важных теорем Эссеена (Acta Math. 1945, v.77) заключается в следующем^ если , X ^ , ... - последовательность н.о.р. случайных векторов в с нулевым средним, единичной ковариационной матрицей и конечный абсолютный моментом четвертого порядка, то

V-У О

Из результатов главы 2 вытекает для Н-значных случайных элементов (ниже для упрощения записи предполагаем, что ЬЛХл\ = А ) СЛЕДСТВИЕ 1 ([6]). Если Уа=0, ^ЕДХ^Р сю и

б', > О при V; ~>г 13, то для любого положительного ^ К

и всех п >1

Л О <: с С и, X Ъ ( 4-+ \ V - X

?

где - постоянная, зависящая только от к и V

и -

лг . -

л w , - - п л* ^ л

с._ (У) - СП «О

л

U - 4/CV+

e(W,v,o = ((П «р

s -"ik/iU+it*)

К

Замечание. Оценка, близкая к результата Следствия

1, но без сомножителя (4+ W-WMV и с меньшим пока-

-Л

зателеи степени у Vi была получена С.В.Нагаевым и 3-И.Чеботаревым (Сиб-мат.журнал, 1986, т-27, в-3).

Во второй главе рассмотрены также общие асимптотические разложения и строятся оценки остаточного члена и членов

асимптотического разложения для вероятности V (\S — al^r^i

Vv

где И, v > О и S , как и выше, - нормированная

П-

суниа п независимых одинаково распределенных Н-значных случайных величин- Сам вид асимптотических разложений тот же, что в работах Бенткуса (Литовский мат■ сборн.,1984, т.24) и Бенткуса и Залесского (Литовский мат-сборн.19В5,т.25)■ Новыми являются оценки остаточного члена и членов асимптотических разложений- Основными чертами этих оценок являются следующие: ны строим неравномерные оценки с явной завися мостьм от центра шара

Л , иоментные условия у нас минимальны и зависимость оценок от (усеченных) моментов и ковариационного оператора слагаемых даны в явном виде- При этом число ненулевых собственных значений ковариационного оператора слагаемых при заданном порядке убывания остаточного члена у нас такое же, как в работе С-В.Нагаева и В-И.Чеботарева (Ргос.о {Ue • First World Congress Bernoulli Society, VNU Science Press, 19B7, v-1), где рассмотрен частный случай а=0 и построены равномерные оценки остаточного

члена.

Используем введенные выие обозначения. Для упрощения записи результатов мы будем предполагать без ограничения общности, что £ Хл - О и \ ■ Дополнительно положим для произвольного целого к "> О

к л с ' к 1<

и определим проекционный оператор К: (ПН следующей Формулой ~ оргоилрм. систему С - С-4,7.

6 к-5 \

Для произвольного . 1_ > О положим

О (М - \.1Еекр ^.Х^М- ^ЬьД

Пусть Ч Ч('л ., .^ - независимые Н-оначные гауссовские

случайные величины- Для п. ^ И ^ у- > О ^ = п обозначим

к ь И , у- > о с =' > >

Ь. 1 О 1

Л

Операторы О^ ^ 2. ^ определяются по индукции*

Обозначим через ^ ' ■ индикаторную Функцию события Д > I

^ и положим ^(^Уй И Кус '

- 13 -

1J (S)

ля полоиительных целочисленных векторов начни „ .

з .а а/ - к )

< У. У V у ' ■ ' X V У

1 для целых 1<- ^ ^ € Ь.- *2_ пусть

Л; С*,*) -

к-4 43 . <J «

-У ' ' ~ ~

•де обозначает суммирование по всем <_ таким, что

Ниже через с и с( •) , с индексами или без них,обозначаются абсолютные постоянные и постоянные, зависящие лишь от

1араметров, стоящих в скобках- За исключением с. одни и те

к

«се символы могут обозначать разные постоянные.

Основным результатом главы 2 об общих асимптотических разложениях является

ТЕОРЕМА 3 (С83)• Пусть р > О , Ъ ^ 0 , и целое к > 2 произвольны и Ь - положительное число такое, что

~ «с*/s-

Тогда при

1-7.

л

к- 2. \

где 5 - \\«Д - V 1 о<- ^ ^/Ъ

_ р 4 _ р/2. р / ч

м и,*) - мг(*,г) СУ«,*)

И т г/\<*.[\/ если кЬо,и т О.

Кроме того, для членов асимптотического разложения для произвольного 5 > О справедливы оценки

i+Z

* С

2.a-л\, . .ï-'i. + m ) +

+ И U,г) I

J )

а если Va=0 и i нечетно, то А- г) - О

Замечание. Если отказаться от условия |_ < то с помощью стандартных рассуждений можно показать справедливость (6) ив этом случае, причен последнее слагаемое в правой части (6) можно при этом отбросить. Однако в оценке для \ (\ . Са V-) 1 выше надо будет внутри квадратных скобок до-

1 с > »

бавить в виде слагаемого 1- Следствие 2 ниже тоже остается справедливыми при \_ Jn » причем в утверждаемом тан неравенстве последнее слагаемое справа также мояно при этом отбросить. СЛЕДСТВИЕ 2. Справедлива оценка

л/s r / 3 U-~5

+ то ^/о].

В главе 3 построены асимптотические разложения для вероятностей попадания суммы независимых случайных элементов, имеющих, вообще говоря, различные ковариационные операторы в некоторые подмножества Н, в частности» в ыары.

Ниже будут использоваться следующие обозначения дополнительно, если не оговорено противное, к введенным выше: есть линейный ограниченный симметричный оператор с нормой

^р у «Л: Н-> Ж-1

иил

есть линейный непрерывный функционал,

Д = { X <с И - сС) < У Ь , Г £ иО сс €г !-(

плд

Положим

где есть индикатор множества ^ .

Пусть X • 1=1,2,- независимые случайные элементы со значениями в Н с нулевыми средними и ковариационными операторами V 1 = 1»2»-■■ соответственно!

с — л V • V У„ У " независимые гауссо-

вские случайные элементы в Н с нулевыми средними и ковариационными операторами V £ 1 = 1,2, ■ • • ? V ~ ^ V у^ ?

п.-

предполагаем, что

■Ьу-У = X' 4 . (7>

Это предположение не ограничивает общности и введено лишь для

упрощения записи результатов.

"2. 2.

Пусть бГ^ ^ .. _ - собственные значения оператора V«

Запись

V G (?,[<) ?

ззиачает, что . введенный выше дифференциальный опе-

ратор с!^ будем теперь записывать в виде Л • Для

целых положительных мультииндексов

- с С,-, О , ут) -

половик

(8)

<1

/ ^ Л / л (.»М С\

оД = са„<д , ^ )-

Если вместо X • в (8) взять X. 1= 1,2, ■ • ■ ,п>, то

получим определение величины ~ ^ ^ / ^ / ,

Далее, пусть > = ^ ^ /

^ - распределение

Будем говорить, что случайные злененты X • Г =1,2,•••

о О

удовлетворяют К-условию, если существует ограниченный симметричный оператор

и числа >\ > О , Р < такие,

где И "Л х Ь Н > з ^ .

Заметим, что К-условие обобщает классическое условие Кранера-

Основные результаты главы 3 содержатся в следующих теоремах '

ТЕОРЕМА 4 (С103). Пусть ^ > О^ выполнено (7) и ("О у4)2" ^ О ( [Ь - Существует постоянная с - с \ 4

такая, что при всех п^.1, а (гН, У- ^

- ? М I *

ТЕОРЕМА 5 < С ЮЛ ) - Пусть выполнена (7), р> О и £ :0е Ь . Существуют постоянные С -= С-(ь)

, С,- ГЫ, и О

такие, что если С^5 ^^ ^ ^ то при всех п 1,

а е н, у ^

где

■> о

- 19 -

здесь ^ есть распределение случайного элемента

- V-

ил1 * СЛ (Л*

ТЕОРЕМА 6 (С 103). Пусть выполнены (7) и К-услоэие (9>, т - целое число,

гл ■> 1 ) I >0 ( 51 : 0<у<1 .

Существуют постоянные с=с(и>, с и ~ сс

1=1,2......... с ^ Ш)

такие, что если

то для всех п > 1, а 6 Н, у- <с ^^ имеет место асимптотическое разложение

т-2.

К^А^Н 21 -ь

где для 1=1,2,•••,га-2

21' учо> «.д

Если А т о=> , то имеет место асимптотическое раз-

ложение

чп-2.

■ тк. +

где для 1 = 1,2,...,т-2

\Ц\ < оСи м^,

и для целого положительного мультииндекса = ^^

<т > О <*•)

знак означает сумму по всей С таким, что

•з-

и

знак 2_ означает сумму по всем целым мультииндексан

- ^

" 1 ' - f • ' \

Г'иП П

таким, что

Л j

Замечание- В Теоремах 4-6 были впервые для общего случая независимых разнораспределенных слагаемых получены оценки точности гауссовской аппроксимациив случае одинаково распределенных слагаемых давалг» как следствие оценки с правильной зависимостью от числа слагаемых- Тем самым уточнялись соответствующие результаты В-Бенткуса, В-Паулаускаса и В-Бярнотаса. Позднее И.С.Борисов (см-напр-, его работу в Lecture Notes in Math*» 1988, v-12'?9) обобщил результаты для разнораспределенных слагаемых на случай общих банаховых пространств и множеств, оп-

ределяемых гладкими Функционалами-

В главе 4 построены различные оценки для плотности случайной величины — | ^ , где У - гауссовский случайный элемент в Н о нулевым средним и ковариационным оператором V-

Предположим, что собственные значения ковариационного оператора V таковы, что

е- ... * «г,2" > г

2. к и.ч-4 к*-2.

для некоторого >, \ , которое всиду ниже обозначает

кратность значения ' Известно, что в Н существует ор-

тонормированная система кз собственных векторов V, для которой

где V - - (У е . 1 есть независимые нормально распреде-

^ - СУ, е.) ленные случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями 6■ • Плотность случайной величины

— <Я \

обозначим через ^ ^ ^ О ) «. И.

Б-М- Золотарев (Теория вероятн- и ее применен. 1961, т-6) доказал первый асимптотически точный результат для ^Си^О);

о)/* = И^и (

где

мс^ - п (1-

и Т. и) - плотность случайной величины г . Т.*

V- ' я >

то есть ^

где есть гамма-функция. Существует много работ, в

которых рассматриваются различные обобщения (10!, об асимптотическом поведении гауссовской меры в гильбертовом или в банахо-

вых пространствах (см-напр. Лившиц (Записки научн.семинаров ЛОМИ, 1992, т.194) и Линде (Апп-РгоЬаЬ. 1991, у.19) и список литературы в этих работах). Однако при изучении точности гауссовской аппроксимации в бесконечномерных пространствах необходимо уметь оценивать гауссовскую меру шаров ^у.Сл.') - ^ эс^Н"- \эс- слД < У ^ не только для больших значений г, но для всех г•

Один из первых результатов в этом направлении был получен Х-е.фдингом (Теория вероятн. и ее применен-1964, т-9), который доказал, что для всех и > О и к > 2

4 1А сЮ ^ (и;о) .

(11)

Полученные позднее оценки для р(и,а) для любого а не приводили к (11) (см-обсуждение подобных результатов в С14Л)•

В главе 4 доказаны оценки для р(«,а), которые при а=0 совпадают с (11). Кроме этого из построенных в главе 4 оценок для р(ц,а) вытекают оценки сверху для вероятностей V I \ — \ > у") с той же зависимостью от а и г, что и

в асимптотически точных результатах Линде (Апп-РгоЬаЬ. 1991, V-19)»полученных для случая г —;>

Рассматриваются также оценки снизу для РС^Ч — <=^\"> .

Для Формулировки типичных для главы 4 результатов положим для а £ Н

~ Оч , •• • ? >

где - , -

ТЕОРЕМА 7 (С 14, 153). Пусть к ^ 3

а) Для всех а (-И _ —

*

,«0Усе.«*)

6) Если О , то

Использование оценок для р(и,а) и представления Рихтера (Z.Anal-Anw., 1985, v-4) для гауссовских мер в tR. приводит

к следующим двусторонним оценкам.

ТЕОРЕМА 8 (С 153). а) Пусть г и а таковы, что f/z. > \>

К

"> Л /х- Тогда для всех к 3 существуют постоянные

и c^^lO ( зависящие только от к , для которых

6) Пусть г и а таковы, что г 1 и (^ 4/у-Тогда для всех "к 2 существуют постоянные и

с ( 1<Л зависящие только от к, для которых & ^ ' >

U-'Z. k

' k* t fr- Ulf))}.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Залесский Б-А-, Сазонов В.В., Ульянов В.В- Правильная оценка точности нормального приближения в гильбертовом прост-ранстве//Теория вероятностей и ее применения.1988-Т.33. Вып.4.С-753-754.

2- Залесский Б>А. , Сазонов В-В., Ульянов В-В- Правильная оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве//Математ-сборник.1989.Т.180-Вып.12.С.1587-1613.

3- Sazonov V-V., Ulyanov V-V- An improved estimate of the accuracy of the Gaussian approximation in Hilbert space.

Irs ¡New Trends in Probability and Statistics,pp-123-136,VSP/ Mokslas, Vilnius, 19914- Sazonov V.V., Ulyanov V-V. Speed of convergence in the central limit theorem in Hilbert space under weakened moment conditions. In-"Probab-Theory and Mathemat.Statistics. Proc.of Fifth Vilnius Conference,pp394-410, vol.2, Mokslas, Vilnius, 1990, 616 pp.

5- Ульянов В.В- Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве//Матем-заметки,1981-Т-29.В.1-С-145-153-

6- Залесский Б-А-, Сазонов В-В«, Ульянов В-В- Нормальная аппроксимация в гильбертовом пространстве.1,П//Теория вероятностей и ее применения.1988.Т.33-Вып.2.С.225-245.Вып.3.

С.508-521.

7. Sazonov V-V-, Ulyanov V.V., Zalesskii B-A- Asymptotic expan-

sions refining the central limit theorem in Hilbert space-InJProc-of the let World Congress of the Bernoulli Society, vol-It Tashkent,1986), pp679-6B8, VNU Sci.Press, Utrecht,1987. . Sazonov V-V., Ulyanov V.V> Asymptotic expansions in Hilbert space. In^Research reports, no-265(1993), Dept-Theoretical Statistics, University of Aarhus. . Ulyanov V-V- Normal approximation for sums of non-identi-cally distributed random variables in Hilbert spaces.// Acta Sci. Math.(Szeged) 50<1986)pp411-419. D-Ульянов B-B- Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин в Н//Теория вероятностей и ее применена-1986.Т.31.Вып.1.С.31-46-1-Ulyanov V-V- On Gaussian approximation in Hilbert space, nonidentically distributed random variables case- IniPro-bability theory and mathemat- statistics, vol-2(Vilnius, 1985) PP671-6B2, VMU Sci-Press, Utrecht, 1987-Z-Ульянов B-B- Неравномерные оценки погрешности гауссовской аппроксимации в Н//В сб- Проблемы устойчивости стохастических моделей. М.!ВНИИСИб 1987, с.96-103. 3-Ulyanov V-V- On the density of the norm of Gaussian random variable in a Hilbert space// 2nd Bernoulli Society World Congress, Uppsala, Sweden, 1990, p.112. l.Ulyanov V-V. Non-uniform estimates of the density of the norm of Gaussian vector in Hilbert space- In: New Trends in Probability and Statistics, VSP/Mokslas, Vilnius, 1991, рр-255-263-

¡•Ulyanov V-V. On Gaussian Measure of Balls in H.//Preprint-reihe SFB343, University of Bielefeld, 1993, no-56.