Неравномерная оценка погрешности в коротких асимптотических разложениях в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Г л а в а

I. М е т о д ы п о с т р о е н и я н е р а в н о м е р н ы х о ц е н о к

2. Основные л е м м ы

3. Доказательство основной теоремы

4. Вспомогательные р е з у л ь т а т ы

5. Оценки интегралов от производных характеристических функций в доказательстве леммы о близости с глаженных распределений

6. Неравномерная оценка в специальном случае Г л а в а П П р и м е р ы п о с т р о е н и я о ц е н о к в г и л ь б е р т о в о м п р о с т р а н с т в е

7. Оценка функции концентрации квадратичной формы в Н

8. Оценки для членов асимптотического разложения

В работе исследуются вопросы, связанные с асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме в бесконечномерных пространствах. Рассматриваемая задача относится к теории вероятностных распределений в линейных пространствах и находится на стыке функционального анализа и теории вероятностей.

Основная часть работы посвящена, так называемым, "коротким" асимптотическим разложениям. Здесь имеется ввиду приближение данного распределения предельным распределением и первым членом асимптотического разложения.

Вопрос о погрешности нормальной аппроксимации в бесконечномерных пространствах возник в 60-е годы двадцатого века в связи с задачами математической статистики, а также в соответствии с внутренней логикой развития самой теории вероятностей. Первыми в этой области являются работы Н.П. Канделаки [12], В.В. Сазонова [45, 46], ijlQ. Прохорова и В.В. Сазонова [20], Н.Н. Вахания и Н.П. Канделаки [9]. В [23], [45], [20] gJO1. Прохоров и В.В. Сазонов рассматривали ш2-статистику как jn-i/2 ХЛ", где Xj — независимые одинаково распределенные случайные элементы (с.э.) со значениями в пространстве 1/2[0,1], a j - j — норма в этом пространстве. Такое представление и послужило одним из важных толчков к изучению проблемы.

С тех пор эта область математики интенсивно развивалась и было получено большое количество результатов. Многие из них, описание методов исследований, применения в статистике и обзоры публикаций можно найти в книгах В. Паулаускаса и А. Рачкаускаса [17], В.В. Сазонова [47],

B.C. Королюка и ЩКУ. Боровских [13], Н.Н. Вахания, В.И. Тариеладзе и

C.А. Чобаняна [10], а также в обзоре В. Бенткуса, Ф. Гётце, В. Паулаускаса, А. Рачкаускаса [5], [32]. Однако много новых публикаций появилось уже после выхода в свет этих работ. Среди последних отметим статьи В.В. Сазонова и В.В. Ульянова [25], [48], В. Бенткуса и Ф. Гётце [35], [36], [37], [38], Ф. Гётце и В. Ульянова [41] и др., а также докторскую диссертацию В.В. Ульянова [27].

Подчеркнем, что метод, применяемый в данной работе и объединяющий все полученные в ней утверждения, в основном является результатом синтеза приемов упомянутых выше работ В.В. Сазонова, В.В. Ульянова, Ф.Гётце, Б.А. Залесского, а также работ В.В. Юринского [29] и В .И. Ротаря [21], [22].

Целью работы является исследование по уточнению гауссовской аппроксимации для независимых одинаково распределенных с.э. со значениями в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве. В качестве класса множеств, на которых сравниваются меры, порожденные суммами исходных с.э., с аппроксимирующими функциями множеств, рассматриваются шары с произвольными центрами. Также ставится задача показать, что методы, применяемые для решения первой проблемы, могут успешно использоваться для решения смежных задач теории вероятностей и математической статистики.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Оценена погрешность короткого асимптотического разложения вероятности сумме независимых одинаково распределенных с.э. попасть в шар гильбертова пространства при оптимальных моментных ограничениях. Полученная оценка является правильной как по числу слагаемых в сумме, так и по зависимости от центра шара. Кроме того, полученная оценка является неравномерной, т.е. она убывает при увеличении расстояния от границы шара до нулевого элемента, и порядок убывания не может быть улучшен. Оценка зависит от двенадцати наибольших собственных значений ковариационного оператора отдельного слагаемого и это число не может быть уменьшено.

2. С помощью методов, использованных для получения первого результата, получена оценка функции концентрации квадратичной формы в гильбертовом пространстве. Фактически, результат справедлив для более широкого класса статистик, а именно для статистик, представимых в виде суммы трех слагаемых, где первое из них является собственно квадратичной формой, а два других — функции от исходных с.э. достаточно произвольного вида. Полученная оценка интересна тем, что вид ее зависимости от собственных значений ковариационного оператора распределения исходных с.э. — дробно-рациональный. Таким образом, при определенных условиях предлагаемая оценка может быть лучше оценки В. Бенткуса и Ф. Гётце [36], [37].

3. Найдены оценки произвольного члена асимптотического разложения вероятности сумме с.э. попасть в шар гильбертова пространства. Здесь также улучшен вид зависимости от ковариационного оператора исходного распределения по сравнению с известными результатами.

В диссертации используются следующие методы, идеи и приемы:

1. Метод характеристических функций (метод преобразования Фурье).

2. Метод симметризации и повторного интегрирования, который позволяет сводить задачу оценки характеристической функции квадратичес-кого функционала суммы независимых с.э. к оценке характеристической функции билинейного функционала от подходящих частей суммы. Этот прием хорошо проиллюстрирован в работе В.В. Юринского [29].

3. Прием, позволяющий при оценке характеристической функции квадрата нормы гауссовского с.э. выделять в качестве множителя функцию, быстро убывающую на бесконечности.

4. Метод срезок (или усечений).

5. Метод введения вспомогательного распределения.

6. Метод сглаживания.

7. Метод оценки интеграла от осцилирующей функции, принадлежащий В. Бенткусу и Ф. Гётце [33], [34].

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в дальнейшем изучении асимптотических разложений в бесконечномерных пространствах, теории случайных процессов, математической статистике (в частности, при аппроксимации распределений U-статистик).

Результаты и методы диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, С.-Петербургском государственном университете, Математическом институте РАН им. В.А. Стеклова, Новосибирском государственном университете, Петербургском отделении математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на открытом научном семинаре кафедры математической статистики Университета города Умео (Швеция, май, 2001), на Восьмой всероссийской школе -коллоквиуме по стохастическим методам (зимняя сессия, Йошкар-Ола, 2001), на семинаре "Избранные вопросы теории вероятностей" факультета ВМиК МГУ. Также результаты были представлены на Третьем всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия, Сочи, 2002).

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора (см. библиографию в конце).

Диссертация состоит из введения, семи разделов, сгруппированных в две главы, и списка литературы, содержащего 50 наименований. Общий объем работы 103 страницы.

1. Бенткус В.Ю. Асимптотические разложения в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве. Лит. матем. сб., т. 24, N 3, с. 29 — 49, 1984.

2. Бенткус В.Ю. Асимптотические разложения для сумм независимых случайных элементов гильбертова пространства. Лит. матем. сб., т. 24, N 4, с. 29 — 48, 1984.

3. Бенткус В.Ю. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных элементов гильбертова пространства. Доклады АН СССР, т. 278, N 5, с. 1033 — 1036, 1984.

4. Бенткус В.Ю., Залесский Б.А. Асимптотические разложения с неравномерными остатками в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве. Лит. матем. сб., т. 25, N 3, с. 3 — 16, 1885.

5. Бенткус В., Гетце Ф., Паулаускас ВРачкаускас А. Точность га-уссовской аппроксимации в банаховых пространствах. Итоги науки и техники, сер. "Совр. пробл. матем.", с. 39 — 139, Москва, ВИНИТИ, 1991.

6. Богатырёв С.А. Неравномерная оценка в коротких асимптотических разложениях в гильбертовом пространстве. Обозрение прикладной и промышленной математики, т.8, вып. 2, с. 742-743, 2001 г.

7. Богатырёв С.А. Оценка функции концентрации квадратичной формы в гильбертовом пространстве. Обозрение прикладной и промышленной математики, т.9, вып. 2, с. 339, 2002 г.

8. Богатырёв С.А. Неравномерная оценка погрешности в коротких асимптотических разложениях в гильбертовом пространстве. Теория вероятностей и ее применения, 2002 г., вып. 4, с. 769 — 772.

9. Вахания Н.Н., Канделаки Н.П. Об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме в пространстве Гильберта. Труды ВЦ АН ГССР, т.9, N 1, с. 150 — 160, 1969.

10. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

11. Залесский Б.А., Сазонов В.В., Ульянов В.В. Правильная оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве. Математический сборник, N 12, с. 1587 — 1613, 1989.

12. Канделаки Н.П. Об одной предельной теореме в пространстве Гильберта. Труды ВЦ АН ГССР, т.5, N 1, с. 46 — 55, 1965.

13. Королюк B.C., Боровских Ю.В. Теория U-статистик. Киев, Наукова думка, 1989.

14. Нагаев С.В., Чеботарев В.И. Уточнение оценки погрешности нормальной аппроксимации в гильбертовом пространстве. Сиб. мат. журн., т. 27, с. 154 — 173, 1986.

15. Нагаев С.В., Чеботарев В.И. О разложении Эджворта в гильбертовом пространстве. Предельные теоремы для случайных процессов и их применения. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, с. 170 — 203, 1993. (Тр. РАН Сиб. отделение, Ин-т мат-ки, т. 20).

16. Паулаускас В.И., Рачкаускас А. Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховом пространстве. Вильнюс, Мокслас, 1972.

17. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. Москва, Наука, 1972.

18. Пинелис И. Ф. Оценки моментов конечномерных мартингалов. Математические заметки, т. 27, с. 953 — 958, 1980.

19. Прохоров Ю.В., Сазонов В.В. Об оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в бесконечномерном случае. Первый советско-японский симпозиум по теории вероятностей, Хабаровск, тезисы докладов. Новосибирск, с. 223 — 230, 1969.

20. Ротарь В. И. Неравномерная оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен., т. 25, с. 647 — 665, 1970.

21. Ротаръ В.И. Неклассические оценки скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме I, II. Теория вероятн. и ее примен., т. 22, 23, с. 774 — 790, 55 — 66, 1977, 1978.

22. Сазонов В.В. Улучшение одной оценки скорости сходимости. Теория вероятн. и ее примен., т. 14, с. 667 — 678, 1969.

23. Сазонов В.В., Ульянов В.В., Залесский Б.А. Нормальная аппроксимация в гильбертовом пространстве I, II. Теория вероятн. и ее примен., т. 33, с. 225 — 245, 508 — 521, 1988.

24. Сазонов В.В., Ульянов В.В. Асимптотические разложения вероятности сумме независимых случайных величин попасть в шар гильбертова пространства. Успехи матем. наук, т.50, с. 203 — 222, 1995.

25. Сенатов В.В. Четыре примера нижних оценок в многомерной центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен., т. 30, вып. 4, с. 770 — 778, 1985.

26. Ульянов В.В. Гауссовская аппроксимация в гильбертовом пространстве. Автореф. диссертации докт. физ.-мат. наук, 01.01.05, Москва, 25 е., 1994.

27. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2, Москва, Мир, 1984.

28. Bentkus V. On the dependence of Berry-Esseen bounds on dimensionality. Lithuanian Math. J., v.26, pp. 205 — 210. 1986.

29. Bentkus V., Gottze F., PauliSuskas V., Rachkauskas A. The accuracy of Gaussian approximation in Banach spaces. (Preprint 90-100, SFB 343, Universit at Bielefeld), Bielefeld, 90 p., 1990.

30. Bentkus V., Go$tzeF. On the lattice point problem for ellipsoids. (Preprint 94-111, SFB 343, Universit St Bielefeld), Bielefeld, 27 p., 1994.

31. Bentkus V., Goetze F. On the lattice point problem for ellipsoids. Докл. РАН, т. 343, N 4, 1995.

32. Bentkus V., Gottze F. Optimal rates of convergence in the CLT for quadratic forms. Ann. Prob. v. 24, no. 1, pp. 466 — 490, 1996.

33. Bentkus V., Goptze F. Optimal rates of convergence in functional limit theorems for quadratic forms. (Preprint 95-091, SFB 343, Universitat Bielefeld), Bielefeld, 34 p., 1995.

34. Bentkus V., Goetze F. Uniform rates of convergence in the CLT for quadratic forms in multi-dimensional spaces. Probab. Theory Relat. Fields, v. 109, pp. 367 — 416, 1997.

35. Bentkus V., Goetze F. Optimal bounds in non-Gaussian limit theorems for U-statistics. Ann. Prob., v. 27, no.l, pp. 454 — 521, 1999.

36. Esseen C.G. Fourier analysis of distribution functions. Acta Math., v. 77, pp. 1 — 125, 1945.

37. Goetze F. Expansions for von Mises functionals.Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, v.65, pp. 599 — 625, 1984.

38. Go&tze F., Ulyanov V. Uniform approximations in the CLT for balls in Euclidian spaces. (Preprint 00-034, SFB 343, Universitat Bielefeld), Bielefeld, 26 p., 2000.

39. Gd&tze F. Asymptotic expansions for bivariate von Mises functionals. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, no.50, pp. 333 — 355, 1979.

40. Goetze F. On Edgeworth expansions in Banach spaces. Ann. Probab., v. 9, no. 5, pp. 852 — 859, 1981.

41. Nagaev S. V., Chebotarev V.I. On the accuracy of Gaussian approximation in Hilbert space. Acta Aplicandae Mathematicae, v.58, pp. 189 — 450, 1999.

42. Sazonov V. V. On the w2-test. Sankhya Indian J. Statist., Ser. A, v. 30, part 2, pp. 205 — 209, 1968.

43. Sazonov V. V. On the multi-dimensional central limit theorem. Sankhya, Ser. A, v.30, no,2, pp. 181 — 204, 1968.

44. Sazonov V. V. Normal approximation — some recent advances. Lecture Notes in Mathematics, 879, Springer-Verlag, Berlin, NY, 1981.

45. Sazonov V. V., Ulyanov V. V. An improved estimate of the accuracy of the Gaussian approximation in Hilbert space. New Trends in Probability and Statistics, pp. 123 — 136, VSP, Mokslas, Vilnius, 1991.

46. Senatov V. V. On rate of convergence in the central limit theorem in a Hilbert space. Fifth Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics. Abstracts, v.4, p.222, 1989.

47. Сенатов В.В. Об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме по системе шаров в R/. Теория вероятн. и ее при-мен., т.28, вып.2, с.440 — 444, 1983.