Сходимость распределений и структура распределений функционалов от гауссовских случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НА правах рукопиои

Б А У Ш Е В Алексей Николаевич

СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И СТРУКТУРА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

/ 01.01,05 - Теория вероятностей и математическая статистика /

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой стегени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа тиолизма п Спнкт-Пстсрбургг.ном государственном университете

Паушшй руководитель -доктор физико-математических наук, профессор П.А. ДОЩОВ

ОЬшиллыте оппомонты -доктор физико-математических наук, В.Л. КГОРОВ

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, доцент М.А. ЛЙИПИЦ

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение математического института им. В,А. Стеклова РАН

Защита состоится "/У" ¿1.^1^0 1993г. в/^ часов на заседании специализированного совета К063.57.29 по присуждению ученоП степени кандидата физико- математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: I98904, Петергоф, Библиотечная пл. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу:-199034,Санкт-Петербург, Университетская наб. , 7/9.

. Ученый секретарь' специализированного совета доцент

О.И. Рейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Одной из часто возникающих задач^в современной математической статистике и теории случайных процесоов является задача нахождения распределения функционалов того или иного вида от случайного процесса. Ваянув роль для решения этой проблемы играет возможность аппроксимировать распределение рассматриваемого функционала его конечномерными распределениями или распределениями от процессов специального вида, которые легко могут быть найдены. Вопрос о возможности такой аппроксимации для достаточно широкого класса функционалов приводит к проблеме сходимости распределений случайных процессов. Если речь идёт о функционалах интегрального типа, то естественно рассматривать распределение .процесса,как вероятностную меру,сосредоточенную в линейном пространстве.нормированном при помощи соответствующей интеГ-■ральной нормы. Самыми простыми и в то же время самыми важными

примерами таких пространств являются пространства I_п , а также

г

пространства Орлича и их обобщения.Таким образом возникаем рассматриваемая в данной диссертации проблема слабой сходимости вероятностных мер в пространствах и пространствах Орлича.

Научная новизна. Рассматриваемый в данной диссертации подход к проблеме слабой сходимости вероятностных мер в бесконечномерных пространстве* является новым.Этот подход заключается в поиске добавочного условия к условию поточечной сходимости характеристических функционалов,обеспечивающего слабую сходимость соответствующих мер,в виде сходимости моментов от нормы рас -сматриваемях мер. Идея этого подхода была предложена К).А. Давыдовым, и, как показывают результаты данной диссертации,такой подход

оказывается эффективным в случае пространств > •/ <р >

^р 1 р * 00 и некоторых пространств Орлича.

Апробация работы.Результаты диссертации докладывались на научном семинаре по случайным процесса -.в СЛОМИ.

Публикации. Результаты .диссертации частично опубликованы в работе [ I] .Две статьи «'настоящему моменту находятся в печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 30 наименований.Общий объем работы 94 страницы.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых проблем и даётся краткий обзор полученных результатов.

Первая глава посвящена поиску необходимых и достаточных условий слабой сходимости вероятностных мер в пространствах I— ^ .'Для того,чтобы сформулировать основные результаты этой главы введём некоторые обозначения

Если (- семейство неотрицательных случайных величин, заданных на одаом и том же вероятностном пространстве Р/1, то пусть обозначает класс непрерывных строго монотонных функций : I? таких,что семейство равномерно

интегрируемо /относительно меры Р /.Очевидно, класс ((^^У)

для любого семейства неотрицательных С.1 содержит подкласс

состояний из непрерывных строго монотонных ограниченных функций

Пусть - пространство со счётно-поровденной

алгеброй и б-- конечной полной мерой,

Р »-борелевские вероятностные мары в с характеристическими

функционалами , соответственно.

Теорема 1.3. ,Пля слабой сходимости последовательности (^)н

Р необходимо,чтобы для любой функции с£¿((11^$) и достаточ-10,чтобы для некоторой Функции л/»«))0 выполнялись

соотношения:

В) (ш)9п

где Г т Х-значный случайный элемент с распределением .Р .

- о)'1'

Следствие 1.2. В условиях теоремы 1.3 для слабой сходимости последовательности к Р достаточно выполнение условия а) и условия В) хотя бы для одной функции

Замечание. Результат теоремы 1.3 сохраняет силу в случае / ^ р<(?° и чисто атомической меры К ,в частности в случае Х- • Однако,ответ на вопрос о справедливости аналогичного утверждения в случае р =1 и непрерывной мери, в частности, в случае

автору неизвестен.

Вашим подклассом класса борелевских вероятностных ?дер является класс гауссовских мер. Для случая гауссовских мер, комбинируя теорему 1.3 и теорему Черника об интегрируемости гауссовских векторов,получаем следующий результат.

Теорема 1.4. Пусть в условиях теоремы 1.3 _Р ,£^-гауссов-ские меры со средними значениями (I, Й^ и ковариационными операторами соответственно. Тогда для слабой сходимости последо-

вательности ,.

V)

(Р)к Р необходимо, чтобы для любого с^ > 'О и

достаточно,чтобы для некоторого о! 7 0 выполнялись соотношения:

• а) <аЛ,ос*> с) ^^(«Ы-^х^РМа)

Пример §1.3 показывает,что в случае пространства Х = С (ГО,'}) аналог теоремы 1.3 не имеет места и таким образом,возникает интересная проблема описания класса пространств,для которых справедлива теорема 1.3 или её аналоги. Заметим,что если речь идёт о возможных обобщениях теоремы 1.3,то,по-видимому, нужно исходи®ь из более слабого утверждения. Именно, следует искать ответ на вопрос: для каких пространств слабая сходимость последовательности (Р)к Р будет гарантирована выполнением условия а) и условия

где ^ » Р " распределения некоторого фиксированного непрерывного выпуклого функционала на X относительно мер Я .Р соответ -ственно? С этой точки зрения полученные результаты показывают,

что в случае

I < р < оо или

I $ р <оэ

норма пространства X мокет играть роль такого функционала, а в случае X = С ( С 0 > I]) - нет.

Глава 2 посвящена обобщению результатов главы I на случай пространств Орлича.

Пусть , д) - пространство'со счётно-порождённой СГ-

алгеброП и полной конечной мерой, ^ -некоторая /V- функция,

X« Ц, ($,1^)

Предположим,что функция Я! удовлетворяет следующим условиям:

? -

i), iitn со / Д. - условие /,•

' ц.**» (¿(a) í

где - положительная

непрерывно оправа неубывающая функция такая, что

&!(iO = í<pít)¿t

Условие 2) означает некоторое усиление требование строгой выпуклости функции У! . Условие 2) выполняется,например,для функций

Теорема 2.3. Пусть удовлетворяет условиям Í) , 2) ¡ Х-

= L.y, (S>X,yi} >-P^v , -Р -борелевские вероятностные меры в X о характеристическими функционалами , соответственно. Для

слабой сходимости последовательности.(f^) к Р необходимо, чтобы

для любой функции

и достаточно, чтобы для некоторой функции выполнялись соотношения:

тс*4) (V^e

в) (clac) ^

где ? - X" значный случайный эл.емент с распределением ' Щя случая гауссовских мер получаем следующий аналог теоремы 1,4

Теорема 2.4. Пусть в условиях теоремы 2.3 ,Р - гауо -совские меры со средними значениями (1^,0. к ковариационнкми

операторами , 3Í соответственно. Для слабой сходимости после-

довательности .Р необходимо,чтобы для любого о2 > 0 и достаточно,чтобы для некоторого с1 У0 выполнялись соотношения:

в)

с) (^ (а)Р(сЬ^.

В главе 3 рассматривается проблема наличия ограниченной плотности у распределения нормы гауссовского случайного вектора. Эта проблема возникла в связи с оценками скорости сходимости и центральной предельной теореме и рассматривалась во многих работах. В ряде работ / В.Ри, М.Талагран/ рассматривается следующий вопрос: каким условиям должна удовлетворять норма пространства X для того,чтобы каждый Х-значный гауссовский вектор с нулевым средним имел ограниченную плотность распределения нормы относительно меры Лебега на прямой.В частности, В.Ри и М. Талаграном получены следующие результаты:

I*) если модуль выпуклости /Кларксона / пространства X допускает оценку > Сб ^ , р > 0 ,то каждый X -значный

гауссовский вектор с нулевым средним имеет ограниченную плотность распределения нормы;

2) в сепарабельном гильбертовом пространстве можно построить эквивалентную равномерно выпуклую норму и центрированную скалярно невырожденную гауссовскую меру с неограниченной плотностью распределения построенной нормы.

В связи с этими результатами возникает вопрос:является ли условие равномерной или, по крайней мере, строгой выпуклости необходимым для того, чтобы каждый гауссовский X -значшй вектор со скалярко невырожденным распределением и нулевым средаим имел ограниченную плотность распределения нормы. Отрицательный ответ на этот вопрос вытекает из следующего результата главы 3.

Следствие 3.2. Пусть - пространство со счётно-

порожденной б"- алгеброй и полной (э- конечной мерой,

X Х^уО , Р - скалярно невырождешая гауссовская мера

в X . Если мера имеет,по крайней мере,один атом,то для

любого и. Ь. Л фун-кционал имеет ограничен-

ную плотность распределения относительно меры Лебега на прямой.

Основные результаты.

1. Получены условия относительной компактности семейства мер в пространства* , 4< р<со , и некоторых пространствах Орлича.

2. Получены условия слабой сходимости вероятностных мер в этих пространствах.

3. Доказано наличие ограниченной плотности у распределения -нормы скалярно невырожденного гауссовского случайного

вектора в том случае .когда мера ^Х. имеет,по крайней мере, один атом.

Результата .диссертации частично опубликованы в работе X. Баутаев А..Н. : О слабой сходимости гауссовских мер, ' -Теория вероятч. и её примен.,1587,т.32,в.4,с.734-742.