Осцилляция случайных процессов со значениями в локально выпуклом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКГ-ШЕРБУР1Ш5Й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МИХАИЛОВ АЛЖСАВДР ЕВГШШИЧ

ОСЦЖЛЯЦЩ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ СО ЗНАЧШШШ В ЛОШШО ВЫПУКЛОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.05. - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Р Г Б ОД

2 7 Ш 1997

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1996 г.

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Судаков

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЖШ -доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник М.АДифииц

доктор физико-математических наук Н.В.Смородина

ВЕЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -институт проблем машиноведения РАН.

Защита состоится "13> " (р&ры^ 1997 г. в часов на заседании диссертационного совета К 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-мате матических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математшга-мехшшческий факультет СПбГУ,

С диссертацией модно ознакомится в библиотеке им. М.Горького СП61У, Университетская наб. 7/9„

Автореферат разослан " II " . _1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

О.И.Рейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование локального и асимптотического поведения траекторий случайных процессов является одной из важных задач теории случайных процессов, имеющей давнюю историю. Изучение осцилляции случайных процессов, в том числе и осцилляции гауссовоких процессов со значениями в локально выпуклом пространстве, тесно связано сданной проблемой.-Исторически первым результатом,, об осцилляции случайного процесса со значениями в банаховом пространстве, мояет считаться закон повторного логарифма Штрассена. Однако, на сегодняшний день имеется не так уж много результатов о свойствах осцилляции гауссовоких процессов, не связанных с законом повторного логарифма и различными его обобщениями. В связи с этим мояно отметить работы К „Бор едя, К.Ферника, В.В.Булдыгина, С.А.Солнцева. Поэтому получение новых результатов о свойствах осцилляции, а также ее вычисление, представляет несомненный интерес. .

Цель- работы. Целью настоящей работы явилось, главным образом, исследование общих свойств осцилляции гауссовских процессов со значениями в локально выпуклом пространстве а ташке явное вычисление осцилляции для некоторых гауссовсккх процессов специального вида.

Методы 'исследования. Диссертационная работа использует методы теории случайных процессов и функционального анализа, принцип сравнения для гауссовоких случайных величин.

"Научная новизна. В диссертации определен ряд условий: С0) С, С1 , выполнение которых для случайного процесса влечет су-

ществование у данного случайного процесса модификации имеющей регулярные траектории, в частности, выполнение условия С. для гауссовского процесса гарантирует существование у него естественной модификации. Для проверки выполнения этих условии приведен ряд критериев, использующих аппарат мажорирующих мер. Для гауссовских процессов со значениями в локально выпуклом пространстве, удовлетворяющих условию Св , изучены свойства осцилляции и полуосцилляции, в частности доказано, что полуос-цшшщия и осцилляция гауссовского процесса в точке всегда является симметричным звездным относительно нуля множеством. Для некоторых классов гауссовских процессов произведено явное вычисление юс осцилляции.

Апггообашя работы и публикации. Результаты работы неоднократно докладывались на общегородском семинаре по случайным процессам ( ЖМИ, СПб, 1991-1994 ) . По теме диссертации опубликовано четыре работы в сборниках "Записки научных семинаров ПОМИ".

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 27 наименований. Общий объем работы 85 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Обозначения. Далее под случайным процессом понимается семейство случайных элементов %-. Если на Т задана метрика р , то будет обозначать шар радиуса £ с цен-

тром "Ъ в метрике р . Для гауссовской меры у » воспроизво-

дящее ядро этой меры будет обозначаться Н ^ » а - единичный шар воспроизводящего ядра.

Во введении дано краткое описание содержания работа-, а также дан краткий обзор результатов получениях другими авторами, касающихся теш диссертации.

В главе 1, носящей главным образом вспомагательный характер, приведены некоторые сведения из функционального анализа о локально выпуклых пространствах, и определен ряд условий - С0) СА)Сг - таких, что выполнение любого из них для случайного процесса ШИ'Ьб-Т^ со значениями в локально выпуклом'прост- • ранстве гарантирует, при некоторых дополнительных предположениях, наличее у него "хороших" модификаций, например естественной модификации /см. теорему 1.1 и следствие 1.3 /. Кроме того, вводится полумегрика на множестве Т , породненная случайным процессом и исследуются некоторые

. ее свойства.

В главе 2 приведены некоторые сведения о пространствах Ор-лича, а такяе предложены критерии для проверки выполнения условия С о » использущие аппарат мажорирующих мер. Например, дяя гауссовсккх процессов, имеет место следующее утверждение. ТЕОРИЛА. 2.4 Пусть центрированный гауссовский

случайный процесс со значениями в квазиполном и -пространстве Е .

Если существует вероятностная мера ^ на Т такая, что

00 , и семейство гауссовских мер плотно, где - распределение случайного

элемента I ^"" , то ? удовлетворяет условию С„ .

? IV)

В главе 3 приведены определения осцилляции и полуосщшшции случайного процесса | со значениями в локально выпуклом просяь ранстве и изучены некоторые их свойства.

ОПРВДЖЕНИЕ Цусть - случайный процесс со зна-

чениями в.локально выпуклом пространстве Е ,СТур") — сепара-бельное метрическое пространство, Б - счетное всюду плотное подмножество Т , тогда осцилляцией случайного процесса £ в точке "Ь называется случайное множество

С>о

а случайное множество

п ису^мьеьмг^ £>0

называется яолуосцилляцией случайного процесса % в точке •Ъ .

ЕсяиЕ=1Я , то осцилляцией обычно называют случайную функцию

£-)0 .

Очевидно, что (+)и>"). Для гауссовских процессов

К.Ито и М.Нисио было доказано, что существует неслучайная функция сЦ-Ь) такая, что

. Аналогичное утверждение имеет место и для случайных процессов со значениями в локально выпуклом пространстве, а именно, для случайных процессов, удовлетворяющих условию (* ) , которые включают в себя гауссовские процессы, удовлетворяющие условию Сс , автором доказана неслучайность осцилляции и голуосцшшщии; имеет место следующее утверждение.

ТВЭРН.1А 3.1 Дусть (НгТ}-случайный процесс со значе-

ниями в Ь-пространстве £ , удовлетворяющий условию (-£} ,

(Т, р)~ сепарабельное метрическое пространство, и тоздествен-

ГД

ное отображение (Т(р")—>(Т(^) равномерно непрерывно. Тогда существует отображение такое, что:

1. для любого счетного всюду плотного множества 5е Т

р{ )= 1 г ? ?

и \/5(.+)= К ("И п.н. для каздого -Ь<:Т ;

и— ^ 5

2. КМСК СО для каждого ; 5-Н

3. если т-т,ить .^^Цг^Т^^и^^^Ь ит,(\тг, то К0Ь1= к ^и К ;

4-, если

непрерывный линеЕный оператор, % = Н^-Т] ^ ? '

то

для кавдого 1геТ .

Здесь е*рсЕ обозначает множество компактных подмножеств Е, ^ снабжено топологией Вьеториса; Ь-пространством называется локально выпуклое пространство обладающее счетным семейством линейных непрерывных функционалов разделяющим точки Е .

Кроме того, если случайный процесс гауссовский, то его осцилляция обладает некоторыми дополнительными свойствами.

В теореме 3.2 пункт 5 доказано, что дая качздого ^(гТ множес-§

тво К (Л) является симметричным звездным относительно нуля множеством.

Глава 4 целиком посвящена вычислению осцилляции гауссовс-ких процессов.

Пусть селарабельное метрическое про стран ство^Хи},^

последовательность н.о.р. гауссовских случайных элементов со значениями в Е , f - распределение случайного элемента Xh - одномерный гауссовскик процесс. Рассмотрим

Сх»

разложение St-t") в ряд: , где "

н.о.р. гауссовские случайные величины,Ev^-Ojt>v\4=i .

Определим гауссовсник процесс йяедующшл

образом: JV)=£ ^4ttl Хл . Легко заметить, что расгоеде-ленке гауссовского процесса зависит только от распреде-

ления гауссовского процесса и меры ^ , и не зависит от выбора разложения £ в ряд. Имеет место следующее утверждение ТЕОРША. 4.1

1. удовлетворяет условию Са тогда и только тогда, ког да ^ имеет модификацию с ограниченными траекториями;

2. если Удовлетворяет условию Со , тоК^'^У^ОДБну для каздого -fct-T , где <A(-t) - значение осцилляции по Мто-Ни-сио гауссовского процесса £ в точке t .

Возникает естественный вопрос, что будет, если гауссовскик

оо

процесс допускает представление для кал-

дого tfc-T , где {_KMj - независимые случайные элементы, но рас пределения случайных элементов Хц различны. В общем случае ответ неизвестен, но если TMNUi.«0)и f о -b*v\

I ^ , t=* ;

то имеет место следующая теорема.

ТЕОРИИ. 4.2 Пусть f XJ| - последовательность независимых гауссовских случайных элементов со значениями в Е , семей-

ство мер { » где ^ - распределение случайного элемен-

та Xvi , плотно, {~ такая числовая последовательность, что сГц=0( ) . Рассмотрим гауссов сшт процесс ^ -{IH^ItírT^ Т=ШиЫ;5(ь1=«-иХ„ ДИ=о . d - метрика на Т, d(w,i*K«h*í¿)"" при Yi,ntlM i fU^o^KrJ.

Тогда | удовлетворяет условию С0 , к К^"")- U ^фЬ^у

• л г i re® т'

где ^ - замыкание множества {Дч^^ в топологии слабой сходимости , а

последовательность н.о.р. гауссовских случайных величин, 1ц - индикаторная йункция тожества U .

3 заключении главы 4 приведен один результат об асимптотическом поведении траекторий стационарных гауссовских полей со значениями в локально выпуклом пространстве Е . Пусть Х^ХШ^ОН^ШьТ}

- стационарные гауссовские поля со значениями в Е . Обозначим черезодноточечную компактификацию . Пусть . ТЕОРИЙ. 4.3 Цусть U (*)- (z«| . 1+1= I i г 1 при HlR^

Vfj.1 0 . ^.Л. , >

mtv-A^i vv | при. T^lfs^

хогда:

1. ^ {>](+) "] удовлетворяет условию С0 ;

2. ^ЩМ-Н-ТЛ удовлетворяет условию С о тогда и только

* I

тогда, когда |-Н 1-1,1] ) удовлетворяет условию С0

% %

3. если £ удовлетворяет условию С„ , то К 0*0= К М , где

^{адИгеТЛ ;

4. если ) —* о для каждого х*£- Е , то

' ' НгИ*>

, где | распределение случайного элемента X (о) .

Па теме диссертации опубликованы работы:

1. Михайлов А.Е. Об осцилляции гауссовских процессов//3ап. научн. семин. ЛОМИ - 1989. - Т. 177. - С. 92-97.

2. Михайлов А.Е. Об осцилляции гауссовских процессов Ц//Зад. научн. семин. ПОШ - 1992. - Т. 194. - С. 119-123.

3. Михайлов А.Е. Асимптотическое поведение траекторий стационарных гауссовскуос полей со значениями в банаховом

про стран стве//3ап. научн. семин. ЮМИ - 1994. - Т. 216. -С. 110-116.

4„ Михайлов А.Е. Асимптотическое поведение траекторий стационарных гауссовских полей со значениями в банаховом пространстве//Зап. научн. семин. ГОМИ, "Вероятность и статистика Г' - 1996. - Т. 228. - С. 220-228.

Подписано к печати 6. СМ.97. Заказ 2 Тираж 100 Объем 0,5 п.л. 19903*1, Санкт-Петербург, наб. Макарове,б.