Дифференциальное исчисление на пространстве конфигураций и его применения в задачах теории вероятностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СМОРОДИНА Наталия Васильевна

УЖ 519.21

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА ПРОСТРАНСТВЕ КОНФИГУРАЦИЙ Ж ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте Радиационной гигиены.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московски Государственный Университет

заседании специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете, по адресу : 191011, Санкт-Петербург, нао.р.Фонтанки, л.27, КОМИ, к.301.

С диссертацией можно ознакомиться з научной библиотеке им.Горького СПбГУ (Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9)

профессор В.Н.Судаков доктор'физико-математических наук, профессор Б.П.Харламов, доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Ширяев

имени М.В.Ломоносова Защита состоится "/£ " Лсс<р-гк 1994 г. в '"//"часов на

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета доцент С.М.Ананьевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Во многих задачах теории вероятностей важно иметь условия гладкости (и даже просто существования) плотности распределения ИГ"1 случайной величины 1:й —» & определенной на вероятностном пространстве (П,з,Р).

Значительный прогресс в нахождении подобного типа достаточных условий в последнее время связан с появлением так называемого стохастического вариационного исчисления, часто именуемого также исчислением Маллявена . С помощью этого исчисления поставленная задача была успешно решена для образов гауссовских мер под действием винеровских функционалов, в частности, для распределений функционалов, заданных на траекториях диффузионных процессов. Имеются работы, в которых аналогичными методами исследуются распределения функционалов от локально безгранично делимых процессов, когда кроме гауссовской компоненты имеется и вторая, "скачкообразная", представляющая собой стохастический интеграл по некоторой пуассоновской случайной мере. Другим направлением исследований в этой области является изучение образов мер в бесконечномерных пространствах под действием гладких отображений. Относительно исходных мер узка' не требуется, чтобы они были гауссовскими, предполагается лишь, что они обладают определенной степенью гладкости. Важно отметить, что изучение свойств распределэний образов гауссовских или, более общим образом, дифференцируемых мер под действием гладких отображений основано на глубоко развитом математическом анализе в бесконечномерных линейных пространствах (а именно они являются наиболее естественными вероятностными пространствами для задания гауссовских случайных величин), в частности, на теории

абстрактных винеровских пространств . Дяя "скачкообразной" кошовентн безгранично дэлззшх распределений тазше имеется естественное вероятностное пространство - пространство точечных конфагураций с шро2, отеечащай шкоторой пуассоновской случайной мере. В отлична от случая лзшэёшх пространств, сколько-нибудь глубоко развитое дайерэнциальное исчисление на пространстве конфигураций, приспособленное к решению вероятностных задач, длительное вреия отсутствовало. Настоящая работа в определенной степени призвана Еоспакеть этот пробел. ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоят:

1 .в построензи удобного для вероятностных вршюЕешгй аппарата дифференциального исчисления на пространства конфигураций с пуассоновской мерой;

2.в изучении геометрии пространства конфигураций, в том числе, в введении и изучении поверхностей конечной коразмерности и поверхностных мер на них, пахоадэтш возюкгаго аналога формулы Гаусса-Остроградского;

3.в псдальзовашиж построенного аппарата дифференциального исчисления для получения условий гладкости распределений стохастических функционалов, в частности, функционалов от банаховозначных устойчивых векторов.

4.в построении асимптотического разложения для распределения гладкого однородного фунционала от строго устойчивого вектора в банаховой пространстве с показателем устойчивости, меньшим единицы.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ 5 пэршх трех главах диссертации использованы обычные штоды математического анализа. Для получения условие гладкости распределений стохастических функционалов кроме аппарата дифференциального исчисления кэ пространстве конфигураций используется еще разработанный в главе 4 диссертации метод дифференциальных операторов. В главе 5

диссертации, посшсуэнной асЕштотачегасш разлогэикям распределений однородных функционалов от строго устойчивых случайных векторов, >.51 предлагаем щпнцишально новый подход к получении разложений такого типа (обычно в таких случаях используют метод характеристических функций), основанный на представлении устойчивой величины стохастическим интегралом по пуассоновской случайной мере и на разложении распределения этой случайной мэры, члены которого оказываются приспособленными к выделению отдельных слагаемых асимптотика.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА Усе вопрос о том, что значит продифференцировать функцию, определенна на множестве точечных конфигураций, является вполне содержательным. В главе 2 диссертации вводится достаточно простое и наглядное понятие гладкости функций, на пространстве конфигураций в превращающее это пространство конфигураций в бесконечномерное многообразие. Для этого многообразия стандартные образом определяются и другие традиционные структуры: касательные пространства, Евкторные поля, гладкие поверхности. Поскольку на пространстве конфигураций кроме дифференциальной структуры имеется еце и мера (распределение некоторой пуассоновской случайной меры), на гладких поверхностях (подмногообразиях конечной коразмерности) оказывается возмокшш ввести поверхностные меры и доказать аналог формулы Гаусса -Остроградского, имеющую классический вид. Тем самым в определенном смысле пространство конфигураций неожиданно оказывается устроенным даш проще, чем бесконечномерное линейное пространство, где в формулу Гаусса - Остроградского обязательно входит еще дополнительный член, содеркащий производную меры.

В главах 3 и 4 диссертации разработанная теория применяется к изучению свойств распределений стохастических функционалов, в частности, гладких функций от . бесконечномерных устойчивых векторов, для которых выводятся условия существования плотности фиксированной гладкости и ограниченности плотности и ее производных.

В главе 5 для некоторого важного и интересного класса мер в пространстве конфигураций строится разложение их в бесконечную сумму линейных функционалов (в определенном отношении напоминающее разложение Ито - Фока ) и с его помощью выводится асимптотическое разложение функции распределения (и ее производных ) гладкого однородного функционала от строго устойчивого случайного вектора с показателем устойчивости меньше единицы.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Развитый в диссертации аппарат дифференциального исчисления на пространстве конфигураций с пуассоновской мерой расширяет известные представления с свойствах бесконечномерных вероятностных распределений. Е частности, доказано существование бесконечномерного аналоге классической (без дополнительного члена) формулы Гаусса -Остроградского. Результаты работы могут быть использованы до изучения свойств распределений стохастических функционалов. Полученные в работе конкретные результаты о свойства! функционалов от бесконечномерных, устойчивых векторов могут, I свою очередь, быть использованы для оценки скорости сходимости I предельных теоремах теории вероятностей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывалис! на международных конференциях в Вильнюсе (1985,1989,1993), Кивв(

(1991), в Международном математическом институте имени Эйлера в Санкт-Петербурге (1993), а также на семинарах в Киеве (КГУ, Институт математики АН УССР), Москве (МГУ, МИАН) и Санкт-Петербурге (ЛСШ).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список приводится в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы содержит 86 наименований. Общий объем работы 222 - машинописных страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 носит вводный характер. В ней содержатся необходимые определения, относящиеся к пространству конфигураций. Как обычно, конфигурацией мы называем локально конечные подмножества некоторого метрического пространства в. Отдельные конфигурации обозначаем буквами Х.У.Й, а множество всех конфигураций в в - 14(5). Далее, если П - неотрицательная мера на борелевской о-алгебре 2, принимающая конечные значения на ограниченных подмножествах в, а V - пуассововская случайная мера с интенсивностью П (т.е. Еу(>) = ПО)), то она может быть реализована на (*,2). Соответствующую меру Р. на (1,3) (распределение v) мы также называем пуассововской мерой с интенсивностью П.

Всюду в диссерта ц ни рассматриваются пространства с специального вида. Именно, С = Б « I, где Б - некоторое полное сепарабельное метрическое пространство, а I с ^ (пй1) -открытое множество. ' Пространство 3 будет >играть далее вспомогательную роль (именно, все операции дифференцирования будут производиться "вдоль I"), вполне содержательным является

уже случай, одноточечного S, но для большинства приложений (например, для изучения распределений функционалов от устойчивых векторов) его оказывается недостаточно.

Глава 2 диссертации в основном посвящена построению аппарата дифференцирования на пространстве конфигураций х.

В § 2.1 на пространстве *(G) вводится структура "плоского гильбертова многообразия в направлении Iй: для каадой конфигурации X € x(G) рассматривается гильбертово пространство Н(Х) квадратично суммируемых отображений X —* Вр

. Н(Х) = { h:X ^ ^ | |h||(X)= ^ < « },

имеющее смысл касательного пространства вдоль I в точке lex. Отображение Х^Н(Х) задает измеримое поле ь гильбертовых пространств на х.

Далее вводится понятие ортопроектора, определяемого борелевским мнокеством VcG, как семейства отображений Q=Q(V) = ={Q(X):H(X) -+ H(X)j I ( г ) вида h -» 1X(1V h. Ортопровкторы, отвечающие ограниченным множествам V, мы называем конечномерными, т.к. в этом случае все пространства Ну(Х) = Q(V)H(X) конечномерны.

Затем вводится понятно векторного поля в а, как измеримого отображения К : X К(Х) ( Н(Х), а также полей полилинейных функционалов L:Xh.L(X)€J?*'(H(X)), полилинейных функционалов Гильберта-З&пдаа L:Xt-»b(X)€Jr^2) Ш(Х)) и ядерных операторов L:Xb.L(Xk*(1)(H(X)).

§ 2.2 посвящен описанию различных топологий в пространстве конфигураций х. Кроме обычно используемой грубой топологии (для наших целей она не подходит-, мал запас непрерывных функций) на

с (О ми вводам еще одну - с-топологию, описывающую свойства пространства * "вдоль Iя: множество и с * является о-открытым (и £ о) если для любой конфигурации X € и и любого ограниченного открытого V с А найдется такое е>0, что для любого Л € Ну(Х) = = ОСУ)Н(Х) с (Ь.(<е конфигурация X + К с II.

Именно топология о является основной в нашем исследовании, в §2.2 изучаются некоторые ее свойства, в частности, даются необходимые и достаточные условия сходимости последовательности в топологии о. Далее определяется еще целый класс топологий (мы называем их пуассоновскими) которые не сильнее, чем о-топология,но определены не на всем а на некотором его подмножестве Р-полной меры. В этом же параграфе д&ется достаточно общий способ задания таких топологий. Пуассоновские топологии используются далее в главе, посвященной выводу формулы Гаусса - Остроградского.

Наконец, §2.3 посвящен определению дифференцируемое™ функций и векторных полей на ш.

Пусть и е е П 2, V с й - ограниченное открытое множество. Измеримую функцию I: II -» К1 назовем, * -кратно Еу-дафференцируемой (Г « с^ (и)), если для любого X € и отображение й к. £(Х + Ь) (-кратно непрерывно дифференцируемо в окрестности нуля в Ну(Х). Будем обозначать производную порядка

3 в точке Ь через (Х,Ю, опуская аргумент 11 , если Ь = О.

По своему определению производная - это полилинейный функционал

на Ну(X). • ,

Почти также определяются классы дифференцируемых

векторных полей К: X м К(Х) е НЧ(Х). Отличив состоит в том,

что роль отображения (Х+Л) играет отображение

1и^Г(Х,Ь)К(Х+11), где оператор переноса ia.li): Н(Х+Ь) Н(Х) определяется естественной формулой

[ Т(Х,Ь)в ](х) = + й(х)), х £ X € Н(Х + Ь).

Пусть II с о Л 2, 1:11—»К1 - измеримая функция. Будем говорить что 1 I-кратно дифференцируем! (Г £ ), если

она принадлежит кавдому из классов Су'' (и) ( V - ограниченное открытое подмножество С ) и найдутся такие "глобализущие" измеримые векторные поля Г^ :Х м Г^'(Х) е )

(3=1,...,/; Хе11), такие, что для любого У и любого Хф Х^^ХХО-.-.-.О') = 1(3)(Х)«К..._,(И. гда 0=0(7), ...,1.

Глава 3 диссертации посвящена "геометрии" пространства конфигураций.

В § 3.1 вводится понятие гладкой поверхности конечной коразмерности в пространстве конфигураций. Именно, мноз;ество Гс* назовем элементарной поверхностью коразмерности к (при к=1 эхелешррной гиперповерхностью), если найдутся открытое измеримое множество и, объемлющее Г (ЩвПЯ, 1ЬГ) , и функция 1=(Г1 ,...,1^) е (3^(11,0^), такие, что Г=Г-1 (0) и для некоторого конечномерного проектора 0 = ОСУ) (V - отбыто)

1пГ йег [ (0п(Х;Г1),0п(Х;Г3))Н(Х) ) > 0,

хеи

где п(Х;Г1) = ><Х)/|Г^1)(Х)| е Н(Х) ,1 = 1.....к.

Более общим образом, множество Г с » назовем поверхностью

коразмерности к, если найдется такое не более чем счетное

семейство СГ^ } элементарных поверхностей коразмерности к, что

и Г., = Г и каждое конечное пересечение множеств Г1 снова 3 л .

является элементарной поверхностью той же коразмерности.

Далее, в §§ 3.2 и 3.3 дон* гладких поверхностей Г с 8 вводится понятие поверхностной меры Ор , отвечавдей сначала (§3.2) пуассоновскоА .¿ере Р с интенсивностью П = (% -

некоторая локально конечная мера на Б, а \ - мера Лебега на I), а затем (§3.3) и мере Р более общего вида, и доказывается теорема "факторизации", сводящая интегрирование по мере Р к интегрированиям по поверхностям уровня некоторой функции. Именно, справедлива

Теорема 3.1. Мэра Р допускает представление сЗР = бо,.,

т.е. для любой Т-итегрируелой функции ф: и —» К1

1. для почти, всех (по яере Лебега ) г £ ¡г1 функция

X м ф(Х)|Г ^ *(Х)Г1 а^-интегрируем;

2. функция t н» | <4><Х) |Г(1)(Х)|"1 аг((1Х) интегрирует и

¡ел | ф |1(1)Г1 <зох = I ф ар. к г1 и

С помощью этой теоремы в §3.4 получен результат об абсолютной непрерывности некоторого класса стохастических функционалов:

Прэдлсгвкке 3.1. Пусть Г = (^,...,1^) í причем для

Р-почти всех X е и Ни г {г}1 К ... = к. .

Тогда образ лери Рц = Р(* П и) под действием отображения. Г абсолютно непрерывен относительна яеры Лебега в К^. (Здесь и - в-огкрытое подмножество 8, а мера Р удовлетворяет условиям §§3.2 или 3.3) В качестве примера применения последнего результата получены условия абсолютной непрерывности

распределэния функционала, заданного на траекториях процесса с независимыми прпрачошша, являющиеся обобщением на многомерный случай результата М.ийфшца.

Наконец, 53.5 посвящен непосредственному вывода аналога формулы Гаусса - Остроградского для пространства конфигураций г (которое, как уже отмечалось, можно рассматривать как нелинейное, хотя и плоское бесконечномерное многообразие), когда в качестве исходной меры берется пуассоновская мера Р с

ИНТвВСИВНОСТЬЮ 1С »

Известны бесконечномерные обобщения этой формулы в линейных пространствах, использующую гауссовскую меру (СооШпап), или, более общий образом, дифференцируемую меру (Угланов). Обычная трудность при получении бесконечномерных аналогов формулы Гаусса - Остроградского состоит в том, что в бесконечномерном линейном пространстве нет естественой лебеговой меры (т.е. ыары, инвариантной относительно сдвигов). Это приводит к тому, что для упомянутых выше мер еид формулы Гаусса - Остроградского отличен от классического - появляется член (в бесконечномерном случае он не может равняться нулю), содержащий производную меры. Как оказалось, на пространстве коафвгурацяй дело обстоит по-другому, вид формулы Гаусса - Остроградского соответствует именно классическому случаю, и в атом смысле полученный результат оказался достаточно неожиданным.

В начале $3.5 то аналогии с понятием гладкой поверхности вводится понятие иновества с гладкой границей. Бели и -множество с гладкой границей, а К е С^1Ч1Г) - векторное иоле, формулой Гаусса-Остроградского (й#) ш тишаем соотношение

I tr K(1) dP =, J (K.n) dam и au

где Og^j - поверхностная мера на flU.

Далее доказываются две тварвш, давдив условия

справедливости формулы Гау сса-Остроградского.

Теореыа 3.3. Предположил, что ввторноо поле К - конечномерно

т.е. QqK = К для некоторого конечномерного проектора Qq. Тогда

для справедливост (GO) достаточно, чяоОы tr К*1* t L1 (U,P) к

(К,п) е Ь^Ю.Овд).

Теореыа 3.4. Предположил, что для любой конфигурации X € U К(1)(Х) б г(1)(Н(Х)) и J |K(1 >|1 dP < • . Тогда дм

справедливости (GO) достаточно, чтобы |К| i U L1+0 (U,P) я

5>0

|К| i L1 Oli,o8U) .

Глава 4 диссертации посвящена нахождению достаточных условий существования гладкой плотности у распределений стохастических функционалов. Имеется ряд подходов к упомянутой проблеме (Malllarin, Blsmut, Jacoi, Далецкий, Угланов и др.). В основе большинства из них лежит доказательство оценки вида

I Е Ф(п)(5)| < const ¡«pi. , (1)

где £ - изучаемый стохастический функционал, а <р - произвольная финитная бесконечно дифферецируеная функция. Из (1) непосредственно вытекает требуемая гладкость. Для получения (1) используются так называемые "формулы интегрирования по частям", представляющие из себя тождества вида '(С),т)) = Ef(ОС (т],С - некоторые случайные величины), где в правой части стоит i^1' (£). а в правой £(Z). Многократно применяя формулу

интегрирования по частям к выражению Е<(/п'(|), шено добиться того, что под знаком математического ожидания окажется только сама функция <р (а не. ее производные), что дает принципиальную возможность получения оценки (1). Этот подход впервые был использован Маллявеном для доказательства гладкости переходных плотностей многомерных диффузионных процессов и получил широкую известность благодаря тому, что ' давал возможность получения чисто вероятностных доказательств некоторых результатов математической физики, касащихся свойств решений параболических уравнений.

Для получения результатов о существовании гладкой плотности в нашей работе использован несколько другой подход, связанный с построением дифференциального исчисления функций и мер на абстрактном измеримом пространстве ("метод даЗференцаальных операторов"). В его основе также лежат идея, связанная с доказательством (1) при помощи формул интегрирования по частям, но в предлагаемой общей схеме формула интегрирования то частям появляется не как доказываемое утверждение, а как составная часть определения (в конкретных ситуациях формулу, разумеется, следует доказывать). Такая степень общности оказывается оправданной, т.к. позволяет выписать достаточные условия существования гладкой плотности в весьма общем виде, удобном для последующих применений. Необходимость этого связана правда всего с тем, что мы в нашей работе сталкиваемся с проблемами, которые не возникают в "обычном" исчислении Ыаллявена. Первая проблема связана с отсутствием ыомэнтов (основная область приложений -функционалы от устойчивых векторов, которые не имеют даже второго момента), а вторая' проблема - ограничение на степень

гладкости изучаемых случайных функций. Нас, в частности, будет интересовать распределение однородных функционалов, производная которых, как известно, плохо устроена в окрестности нуля. Наличие упомянутых проблем заставляет нас при интегрированиях по частям аккуратно учитывать все появлявдиеся сомножители, что приводит еще и к тому, что в формулировках теорем встречаются достаточно громоздкие выражения.

§4.1 диссертации посвящон непосредственному построению аппарата дифференциального исчисления функций и мер на абстрактном измеримом пространстве (С1,у). Первым шагом этого построения является введение понятия дифференциального оператора (первого порядка), как частичного отображения D:5°—<5° с областью определения dorn D, удовлетворяющего следующим двум условиям:

1) млеетство dorn D замкнуто относительно гладких суперпозиций, т.е. для любого гй1, любой функции гр:^1—^ класса С° и любых g1, ... .gjj i dorn D отобракениэ <p(gj,... e dorn D;

2)Справедливо обычное правило дифференцирования суперпозиции

DqKSi • • • -«л) = J^i^l'••-®п> ®81

Шкясества dorn (D*). г j 1, будем обозначается также (^=01 (D). По определению полагаем CQ(D) = S0.

Далее, для линейного функционала L с областью определения dorn 1 с S0 определяется понятие производной по отношению к дифференциальному оператору D, как линейного функционала DL с областью определения dorn (DL) = { g е dorn D | Dg с dorn L }, задаваемый формулой (DL)(g) = -L(Dg). Очевидно, что dorn (D'l) = = { g € dorn (D*) | D*g € dorn L > и (D'l)(g) = (-1L<D*g),

<=1,2,... . Основной для нас пример линейных функционалов -функционалы.определяемые мерами

I^(S) = J g ац , dorn = Ljdnl)

(мерой мы называем счетно-аддитивную функцию, определенную на о-алгебре Ъ , не обязательно положительную и не обязательно конечную).

Следующим шагом язляется определение гладкого функционала, в частности, гладкой меры. Обозначения, выбранные нами для пространств гладких функционалов, аналогичны обозначениям, используемым в теории обобщенных функций. Именно, пусть S с - линейное множество. Будем говорить, что линейный функционал К принадлежит классу WQ(S) = Wq(D|S), если dorn L э s и на множестве S функционал Ъ задается формулой L(g)=Jg da, где р - некоторая мера (мы называем ее представлявдей мерой для L), определенная, вообще говоря, не однозначно. Более общим образом, пусть Sq,«..,S^ -- линейные подмножества CQ(D),.. . (D) соответственно, причем DSj с , 3 = 1,... ,t . Будем

говорить, что функционал I принадлежит классу W*(Sq,...,Sf) = (D|S0,...,S,), если D^I i WqCSj), J= 0,1,...,*. При этом соотношения f Dg = S g Ф-j. gfSj, где (x^ - представляющая мера для D^L, можно назвать формулами интегрирования по частям.

Пусть теперь 1 : П —» R - случайная величина на вероятностном пространстве (0,3,Р), А с R - некоторое открытое подмножество R. Рассмотрим меру Pi~1 (распределение f) как обобщенную функцию на А. Мы даем условия ее принадлежности классам W^ (А) , t } 1, обобщенных функций, г -я производная которых - конечная мера. Хорошо известно, что меры класса (А)

абсолютно непрерывны относительно меры Лебэга, а соответствующие

плотности (при ()2) - функции класса С^-2(А) с абсолютно

непрерывной (*-2)-й производной (так что (*-1)-я производная

плотности определена почти всюду на А и является функцией

ограниченной вариации).

Введем вспомогательные обозначения, необходимые для

формулировки нашего результата. Для I = 1,2,..., 1 = 0,1,...,*

пологим И* ,1) = { к=(к1,...,к,) € £ | £ ЗЬ = I - 1 ).

3=1 *•

Положим такке 1^=1^+...+К,. Если теперь Б - дифференциальный оператор и g £ С<+1(В), то обозначим 1(В,8), 1 = 0,1.....

множество функций вида <р¡(8) (Ю8) "М (Г?вР ...

' ,где к £ 1(^,1), ф1 £ Сд, а <¡>2 * СЪ и обРаЩае'гся; в 0 в некоторой окрестности нуля.

Теорема 4.1. Пусть Г : О —♦ К - случайная величина. Предположил, что для некоторого дифференциального оператора Б и некоторого ( 5 1 е-ыполняхтся условия :

1) 1 € С,+1(В) и ИЪ1 Ф О) = 1;

2) Р е Т (0|Б0, ) для некоторых Б^ дф.Г), 1=0,1,;

3) Для каждого 1 = 0,1,..,,' и каждого к £ 1(',1) конечен

интеграл / (БГГ*~1к1 (1^1 ... (Б{+1Г)к{ <3^ - представлаоиря лера фунщионала Б1? ш ;. Тогда РГ-1 € Щ (К).

Приведем здесь результат, полученный с помощь® вышеописанного метода, но не вошедший в основной текст диссертации, поскольку он относится к функционалам от

1Т

гауссовских векторов (доказательство приведено в (23). Именно, пусть - измеримое пространство с о-конечной марой р., В =

lP(Cl,|i), Р - некоторая гауссовская мера в В. Мы предполагаем, что р2 и что В сепарабельно. Для а>0 положим

1а(х) = lx|£ - ( J |х(Ъ)|Р ц(«)]а/р, г(-) « В

и обозначим через распределение случайной величины 1а. Теорема 0.1. Пусть - целое число. Предположил, что

1. р ? к+1 или, р - четно;

2. размерность топологического носителя леры Р строго больше, чел 2к(р-1), если aip или к(а+р-2), если сер. Тогда *>а е W^.

Близкие по форме результаты получены А.В.Углановым и Т.Р.Виноградовой. Однако все они относятся к пространству с весьма сильным ограничением на меру Р: она должна представляться в виде Р = Р., * Р2, причем носитель Р1 совпадает с линейной оболочкой ш = га(к) векторов ввда (0,...,0,1,0,...).

В §4.2 метод дифференциальных, операторов применяется для функций, заданных на е-открытых подмножествах пространства конфигураций с (S»I) и пуассоновской меры Р с интенсивностью вида е » Я. В' качестве используемых в теореме 4.1 дифференциальных операторов мы будем применять операторы дифференцирования вдоль векторного поля. Именно, измеримому векторному полю К:ХмК(Х) сопоставим дифференциальный оператор D, действующий по формуле (Dg)(X) = (g*1 ^(Х),К(Х).Формула интегрирования по частям в данном случае имеет вид

J (i(1 },К) dP = - J f tr К(1) dP.

и является простым следствием формулы Гаусса - Остроградского. Приводятся два результата о принадлежности меры Р введенным выше

классам W* (D|SQf...,S{), а затем, как следствие теоремы 4.1 выводится достаточно общий результат (предложение 4.1) о глвдкости распределений Pí~1 образов меры Р под действием отображений f:x-<G¡.

Приведем ряд результатов, полученных с использованием предложения 4.1, давдих достаточные условия гладкости распределений функционалов от банаховозначных устойчивых векторов.

Пусть В - сепарабэльное банахово пространство, и -

устойчивый вектор в В с показателем 0<а<2, f:B —» R -

~ *

квадратичный функционал виде f(u)=(Au,u)+(b ,и)+с, где ceOf, b*(B*, а А:В-»В* непрерывный самосопрягенный линейный оператор. Далее, пусть Ва - афишный носитель меры ц, причем Ba=B0+bQ, где В0 - линейное подпространство В, a bQcB (т.е. Ва получается некоторым сдвигом из линейного подпространства BQ). Пусть также Aq - сужение А на В0.

Теорема 4.3. Если dim Aq(Bq) >21 , то ц?-1 с Щ. В случае coi сходный результат был получен Бенткусом и Папом.

Отметим, что методом, предложенным в настоящей диссертации, получены и другие результаты о свойствах распределений функционалов от устойчивых случайных векторов. В частности, в [5] совместно с М.А.Яифзшцем получен результат (не вошедший в основной текст диссертации) дающий условия гладкости распределения нормы устойчивого случайного вектора и со значениями в банаховом пространстве В, а Д.Папом получена оценка максимума плотности распределения |шЬ|, Ь(В бидэ Const (1+|b|m) (число га определяется геометрией пространства В).

В §4.4 получен результат о гладкости распределения

однородного функционала. Пусть теперь и - строго устойчивый случайный вектор со значениями в В и показателем а<1, а 11: В—Ж - гладкий неотрицательный однородный функционал (в частности, гладкая полунорма). Сформулируем условия, которые мы накладываем на однородный фушадаонал 1г. Именно, фиксируем г£2, требуем , чтобы функционал Ь был п раз дифференцируем по Фреше вне множества 1Г1(0), и вводим условия "ограниченности" на его производные 7^11, рассматриваемые как полилинейные функции:

в1Ю = шах вир вир, . — <

к«п е1.....ек€ б ъеьчи 1 К

Это условие мы называем условием эивсп).

Теорема 4.4. Предположим, что при некотором неотрицательный однородный функционал Ь удовлетворяет условию 5Ш(г+1). Тогда для любого Е > О ограничение заряда РН~1 на КЕ = )Е,ю[ принадлежит классу (]Е,в[).

Глава 5 диссертации посвящена асимптотическим разложениям. Хорошо известны асимптотические разложения одномерных устойчивых распределений. Имеется также ряд работ (Гг18ге<И, Лисицкий), где речь идет об асимптотическом разложении евклидовой нормы устойчивого вектора или, более общим образом, гильбертовой нормы. Все эти результаты получены с использованием метода характеристических функций.В диссертации предложен принципиально новый подход к получению одного из разложений такого типа. Мы имеем дело со строго устойчивым распределением в произвольном (сепвраСельном) банаховом пространстве (В,|*|). Предполагается, .что показатель устойчивости а<1. Мы рассматриваем гладкий неотрицательный однородный функционал на пространстве В

(основной пример таких функционалов - полунорма) и строим конечное степенное разложение хвоста распределения случайной величины Ь(и); здесь и - строго устойчивый случайный вектор в В. Длина разложения определяется гладкостью функционала Ь. Такой результат в данной области является новым.

Перейдем к более подробному изложению предлагаемого подхода. Пусть, как и ранее, * = «(в) - пространство конфигураций на метрическом пространстве в, 2 - о-алгебра в *. Отметим попутно, что конечные конфигурации будут играть существенную роль в наших рассуждениях даже для неограниченных в. Ми будем использовать обозначение с = с^ для отображения

(81»...>8^) .....

переводящего упорядоченный набор точек е С в соответствующую конечную конфигурацию.

Перейдем теперь непосредственно к описанию пространства С и

меры П, нужных для наших целей. Зададим на полуоси Лд = 10,»[

бег

меру С, удовлетворяющую условию 3 = | т1п (2,х) £(с1х) < а

«О

и с ее помощью метрику (х,у) = |(]х,у])р (х<у). Для наших целей предположение, что действительно метрика, является вполне достаточным. Зафиксирум, далее, полное сепарабельное метрическое пространство Б с метрикой йд и локально конечную меру тс на кем. Возьмем, наконец, в качестве пространства С прямое произведение с соответствующей метрикой (например

+ <1|) и положим II = % » Очевидно, мера П локально конечна. Частный случай, который будет интересовать нас в наибольшей

степени, можно описать следуицим образом: Б - единичная сфера в В с метрикой, индуцированной банаховой нормой, £(бх) = х~1_а йх. Определим отображение Ь: й —» В формулой

Ь(е,х) = х'Э (9 € Б , х 6 Кд).

Тогда стохастический интеграл

ц = / Ь йх> й

задает нам устойчивый вектор и со значениями в В и спектральной мерой Ясно.что этот интеграл Р-почти наверное записывается как сумма

и(Х) = £ х9 , X € *(С) (9,х)еХ

Пусть И, как и в §4.4, - гладкий, неотрицательный однородный функционал (например,- долунорма) на банаховом пространстве В. Изучение распределения случайной величины Щи) - это изучение образа меры РН-1 меры Р на пространстве конфигураций * под действием отображения В: X м Ь(и(Х)) (Хее). Мы построим сначала разложение меры Р в сумму линейных функционалов

Р'=к|04г И*. (2)

а с его помощью - сходное разложение меры РН-1 (уже конечное; количество слагаемых будет определяться степенью гладкости функционала й).

1г

Функционалы ц в формуле (2) являются степенями (см. ниже) функционала ц1 , но лишь рЯ -мера - 6-мера с нагрузкой на пустой конфигурации 0 - = б{)}). Определим функционал ^. Пусть 1 = Г(х,9) - функция на С, имеющая продолжение по непрерывности на П = Б » [0,»[ (напомним, что если мера £

бесконечна, точка 0 является, возможно, бесконечно удаленной точкой пространства Кд=Ю,ю[ в метрике с^ ). Положим АГ(9,х) = = Г(9,х)-Г(8,0) и

ц1 (I) = / Д1 <Ш.

а

Область определения функционала ц1 состоит из функций, для которых зтот интеграл конечен. В нее входят, в частности, все С1-гладкие по аргументу х функции, ограниченные на С шесте с производной.

Более общим образом, рассмотрим для фиксированного функции 1 = 1(0,х) на имеющие непрерывные продолжения на и обозначим через приращение функции I на параллелепипеде [0,х3 (аргумент 6 при этом не меняется ). Положим цк(Г) = | А <1Пк.

С11

V

Область определения (Л , состоящая из всех функций, для которых этот интеграл конечен, включает все Ск-глгдкив по х функции, ограниченные на С11 вместе со всеми производными до порядка к включительно, функционалы (л^ мы будем рассматривать и "на пространстве конфигураций". С этой целью функции Г на »(в) мы сопоставляем набор функций 1^=1 «с^ на симметричных

относительно перестановки сомножителей, которые порождаются ограничением Г на к-точечные конфигурации в 0, и по определению полагаем =

То обстоятельство, что в разложении (2) фигурируют не меры, а' линейные функционалы, конечно, не объясняет самого факта существования этого разложения в случае П(С) = » (например, для устойчивых распределений), когда конфигурации почти наверное

бесконечны. Ключевым моментом здесь является структура пространства функций ( мы далее обозначаем это пространство функций через РА ) на «(б), на котором мы рассматриваем

V-

одновременно и функционалы ц и все разложение (2) в целом. В этом пространстве значения функций на бесконечных конфигурациях аппроксимируются их значениями на конечных конфигурациях.

Для задания пространства РА удобно ввести ряд обозначений.

Именно, пусть Г(5Д) - функция на , I = (П.,... Д.,} -

I

произвольное подмножество (возможно, пустое) множестве { 1,... Л ) , |1| = 3 - число элементов множества I. Будем обозначать символом с^Г частную производную 3^1 / ... й^ .

Пусть далее, Л^ и [ > сЦ ^ обозначают, соответственно, операцию А по переменной х^ и кнтегрирование по х^, так что = ¿^..Д^.Положим еще с^ / х ?№), с0 = 2 | £(<1х).

10,21 Ко

Введем пространство = ф^""1 , состоящее

из

симметричных функций на ük, дифференцируемых к-1 раз по х, для которых конечна норма (в ее определении учтена симметричность):

= ОШК-1 ^...Х,,/ lQ .....i>

(при к = 0 по определению |fj_1 = |í| - в этом случае 1 -функция на одноточечном множестве).

Леша 5.1. Пусть 1 € к > 1 . Тогда |цк(Г)| < -

Отметим, что обычно удобнее пользоваться более грубым неравенством:

Пусть теперь Г - функция на пространстве конфигураций з. Зсли каддая функция f,,e Ф^1 (в частности, продолжается

надлежащим образом на SK), положим т =

Введем пространство FA функций 1:2 —» R, обладающих свойствами:

1) Щ < о ;

2) какдая из функций Г,, ( к?0 ) является граничным значением "следующей" функции ij^ в том смысле, что

( •" • • • ,... ,Xj^,0) = Xj,...,Xjj);

3) для любой исчерпываадей G возрастаний последовательности

{G_i ограниченных открытых многвств f (X) = Ilm (Р-п.н.).

а-»»

Теореиэ 5.1. Пусть t е РА. Тогда

г i ® = j0 4г &

В отличие от разловения (2), требующего, по существу, неограниченной гладкости функции, к которой применяется функционал Р, для ИГ1, как правило, принципиально возмоняо лезь конечное разложение, длина которого определяется гладкостью h. В связи с этим нам потребуется представление

? = Jo-^K + г*'

для остаточного члена гп которого в §5.2 выписано выражение, не требующее неограниченной гладкости . Из него получаем

РН~1 = Jo + '

где функционалы |Аг1 и гпН-1 определяются естественными соотношениями: = (i»H), гпБ_1(1) = гп (i*H).

В особо интересующем нас случае строго устойчивых-

распределений ( |(<5Ь0=х~1_а сЬс и т.д.) при не очень

ограничительных предположениях о функционале II . в §5.3

к -1

диссертации показано, что функционалы р. Н оказываются мэрами. Более того, однородность й и степенной вид плотности меры £ без труда приводят при х>0 к простой формуле

(ц*ЯГ1)(1х,- [) = х_1га

откуда

Р( Ь(и> ? х ) = Д х_ка + (гпН_1)([х,» I).

Далее, в §5.4 дается оценка 0(х~*л+1^а) остаточного члена этого разложения. Сформулируем соответствующие утверждения. Теорема 4.3. Предположил, что Ъ.(Ьа[Б,д%) и удовлетворяет условию БОВ(п). Тогда функционалы цЧг1, к = 1,...,п, ограниченные на 10,»[ , являются мерами (положительным, или отрицательными) виПа

Г) = Ск х-ка , х > 0 .

Теорема 5.4. Предположил, что 11 е Ьа(Б,йх) и при некотором ЮОудовлетворает условию БЦВ Ш+2п+2). Тогда производные р^ заряда рп, понимаемое в смысле обобщенных фушщий., являются конечными зарядами, Цричем

"К > о<3<к.

Следствие. Если Ьй.а(Б,41С) и удовлетворяет условию БЦВ(2п+2), то

Р( Ь(и)>х ) = I + 0(х~(п+1)а ).

к=1

Замечание. Хорошо известно, что если производная заряда сама является зарядом, то исходный заряд абсолютно непрерывен. Доэтому ( при N ) 2 ) плотности зарядов р^ (3 $ N-1) являются обычными производными плотности заряда р . Отсюда при

надлежащих условиях (см. формулировку теоремы 5.4) вытекает, что кроме разложения для вероятности Р( й(и)Я ), справедливы и аналогичные разложения

для производных этой вероятности.

Основные результаты диссертации опубликованы е работах

1.Смородина Н.В. Условия гладкости плотностей распределения функционалов от случайных процессов.-Тез. докл. IV Междунар. конф. по теории вероятностей и мат. статистике. Вильнюс, 1985, т.З, с.143-145.

2.Смородина Н.В. Условия гладкости распределения Ьр-нормы гауссовского вектора.- Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1987, т.158, с.161-166.

3.Смородина Н.В. Дифференциальное исчисление на измеримых пространствах и условия гладкости плотностей распределения случайных величин. - Докл. АН СССР, 1987, т.292, №Ь, с.1053-1057.

4.Смородина Н.В. Дифференциальное исчисление на пространстве конфигураций и устойчивые меры, I. Теория вероятностей и-ее примен., 1988, т.33, £3, с.522-534.

5.Смородина Н.В., Лифшиц М.А. О распределении нормы устойчивого вектора. - Теория вероятн. и ее применение, 1988, т.34, Я&, с.304-313.

6.Смородина Н.В. Формула Гаусса-Остроградского для пространства конфигураций. - Тез. докл. V Меадунар. конф. по теории вероятностей и мат. статистике. Вильнюс, 1989, т.2, с.241-242.

7.Смородана Н.В. Формула Гаусса-Остроградского для пространства

конфигураций. - Теория вероятностей и ее примен, 1990, т.35, с.727-739.

8-Смородина Н.В. Асимптотическое разложение плотности нормы гильбертова устойчивого вектора. Тез. докл. V1 Советско-Японского симп. по теории вероятностей и мат. статистике. Киев, 1991, с.131.

9.Smorodina N.V. Differential calculus on the configuration spacer surfaces, surface measures. Gauss - Ostrogradskii formula. - Probability Theory and Mathematical Statistics, Proceedings of the Fifth Vilnius Conference., 1990, v.2, p.451-459 Mokslas, Vilnius, Lithuania & VSP Utrecht, Th£ Netherlands.

lO.Smorodlna N.V. Asymptotic expansion for distributions o: smooth, homogsneous functionals .of stable random vector. -

В сб. VI Ыездународная Вильнюсская конференция по теорж вероятностей и математической статистике. Тез. докл., т. Вильнюс, 1993, с.141.