Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

м/

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ^

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ ШЗОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.А.СТЕЮЮВА (Ленинградское отделение)

На правах рукописи УДК 517.9

НОВОКШЕНОВ Виктор Юрьевич

ИЗОМОНОДРОМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И УРАВНЕНИЯ ПЕШГЕВЕ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика)

кЁ> клггаи^х А/£ о2>о<Г от 2.ЪЛ\. ЪЧ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград 1988

Работа выполнена в лаборатории дифференциальных уравнений Отдела физики л математики Башкирского филиала АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В.С.Буслаев доктор физико-математических наук профессор В.Б.Матвеев доктор физико-математических наук Б.А.Дубровин

ч

Ведущая организация: Физико-технический институт низких

температур УССР

Защита состоится " " 1988 г. в

14 часов на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Ленинградском отделении Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР (Ленинград, наб.р.Фонтанки, д.27, комн. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан 1988 г.

Ученый секретарь специализированного совета г\ П

доктор физико-математических А.П.Осколков

Лг,-. :,: ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ссертлций i

АКТУАЛЬНОСТЬ' ТЕШ. Диссертация посвящена разработке нового подхода к изучению глобальных аналитических свойств решений широкого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которому, в частности, принадлежат все шесть типов классических уравнений Пенлеве. Предлагаемая в работе схема основана на привлечении з традиционную теории обыкновенных дифференциальных уравнений математических приемов и идей, возникших в современной математической физике год влиянием широко известного ныне метода обратной задачи и уже успешно зарекомендовавших себя в теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Среди них естественно выделяются гамильтонов подход к нелинейным эволюционным уравнениям, современное изложение которого содержится в монографии Л.А.Тахтаджяна и Л.Д.Фаддеева1) и аналитический аспект метода обратной задачи, более тесчо связанный с предметом диссертации. Последний включает в себя формализм матричной задачи Римана, созданный в работах В.Е.Захарова, А.Б.Шабата, С.В.Манакова и А.В.Михайлова, а такяе аппарат теории конечнозонного интегрирования, развитый исследованиями С.П.Новикова, Б.А.Дубровина, В.Б.Матвеева, А.Р.Итса и И.М.Кричевера. Перечисленные работы касались в основном теории точных решений нелинейных уравнений. Параллельно с этим в рамках метода обратной задачи интенсивно изучались вопросы асимптотического анализа общих решений, то есть решений соответствующих задач Коши. Решающие шаги здесь были сделаны в работах С.В.Манакова, В.Е.Захарова, А.Б.Шабата и Е.Я.Хруслова. В дальнейшем соответствующие результаты были уточнены, строго обоснованы и обобщены в различных направлениях в статьях B.C.Буслаева, М.Абловица и Х.Сегура, А.Р.Итса и автора диссертации. Полученные на этом пути явные , асимптотические формулы представляют собой нелинейные аналоги формул классического метода Фурье и, как отмечено в "наиболее ярко демонстрирует эффективность метода обратной задачи".

■^Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории соля-

тонов. - М.: Наука, 1986.

2Захаров В.Е., Малаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов (метод обратной задачи), - М.: Наука, 1980.

Новый импульс как в теоретико-групповом, так и в аналитическом плане был придан методу обратной задачи в конце 70-х годов известной серией работ киотской группы (М.Сато, М.Дзимбо, Т.Мива, К.Уено)^ и работой Г.Флашки и А.Ньюэлла4] Предмет исследования этих статей восходит к классической задаче Римана--Гильберта о восстановлении системы обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами по ее группе мо-нодромии. Последняя задача связана с лаксовой парой дифференциальных операторов метода обратной задачи следующим образом. Если в качестве потенциала } £ ) в -операторе выбрать какое-либо автомодельное решение исходного нелинейного уравнения, то соответствующая -функция будет удовлетворять третьему уравнении - уравнению по спектральному параметру вида

■ЦТ .....(I)

А ,

где А - рациональная матричная функция по Я , коэффициенты которой зависят от сс , и. , , ... . Матрицы монодромии

системы (I) естественным образом связаны с матрицей рассеяния /. -оператора, причем динамика данных монодромии по ос и ^ остается тривиальной ("изомонодромность" деформации системы (I)).

Это важное наблюдение, развитое в дальнейшем А.Р.Итсоы, легло в основу метода изомонодромных деформаций в теории интегрируемых уравнений с частными производными и позволило, к примеру, "внутренним"образом провести процесс построения временных асимптотик, не апеллируя к априорной информации об их структуре.

Отвлекаясь от автомодельных редукций эволюционных уравнений, можно изначально сузить класс деформационных уравнений, рассмо-

3^Сато М., Дзимбо М., Мива Т. Голономные квантовые поля. - М.: Мир, 1983. ;

'Flaschka Н., KWell A. Monodromy- and epectrum preserving deformations. - Comm.Math.Phys., 1980, v.76, p.65-116.

трев однопараметрические деформации, зависящи от одной независимой переменной ос. . Тогда, полагая группу монодромии системы (I) не зависящей от сс , получаем обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию ьсС^с.) . В общем случае оно записывается в виде известного уравнения нулевой кривизны

где рациональная по Я матрица определяет динамику У/ -функции по сс : = Z Ч? . Существование последнего уравнения для изомонодромной -функции гарантируется теоремой Флашки-Ныоэлла41

Предаетом диссертации служит исследование аналитических свойств решений нелинейных уравнений вида (2), описывающих изо-монодромные деформации системы (I). Класс таких уравнений содержит, в частности, все шесть типов уравнений Пенлеве3: Первыми интегралами их решений являются по определению матрицы монодромии системы (I). Это обстоятельство позволяет изучать аналитическую структуру общгос решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2) (существенное отличие от метода, изомонодромных деформаций в теории уравнений с частными производными).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Для уравнений (2) в диссертации ставятся основные задачи аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений: вычисление асимптотического поведения реиения задачи Коши по начальным данным, изучение особенностей общего решения и асимптотического распределения особенностей, а также параметризация классов общих решений их первыми интегралами. В диссертации разработаны асимптотические методы, позволяющие решить указанные задачи в рамках метода изомонодромных деформаций. Показано, что данный подход для уравнений (2) является прямым нелинейным аналогом метода интегральных представлений для классических спецфункций, удовлетворяющих линейным уравнениям второго порядка. В свою очередь, нелинейным аналогом последних уравнений выступают в работе уравнения Пенлеве, возникающие в различных задачах теоретической и математической физики.

На примере уравнений Пенлеве второго и третьего типов

FU: и. = оси + 2 и.3

РИ: ы + — ьс + sin u. = с>

эсэс. ОС.

в диссертации исследованы упомянутые выше аналитические свойства их одно- и двухпараметрических решений на вещественной оси. Асимптотическое поведение функций Пенлеве в окрестности существенных особых точек связывается явными формулами с данными моно-дромии, что позволяет написать формулы связи асимптотик в различных точках или областях.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результата:

- Для частного случая уравнения РШ - автомодельного уравнения синус-Гордон - доказано существование двухпараметрического семейства гладких вещественных решений на полуоси о ¿ =с ¿

и найдены явные формулы связи их асимптотик в нуле и на бесконечности. Выделены классы однопараметрических решений, линейным пределом которых служат функции Бесселя 0*0 > К0 С»0 •

- Для уравнения РШ описано семейство комплексных мероморфных решений, заданных лорэновским разложением в нуле. Получены явные асимптотические формулы распределения полюсов этих решений на бесконечности. Аналогичные формулы предъявлены для вещественных мероморфных решений уравнения HI, заданных гладкой асимптотикой при эс. - оо . Выделены однопараметрические классы гладких решений, экспоненциально убывающих при -хе. + .

- С помощью асимптотических свойств функций Пенлеве, установленных методом изомонодромных деформаций, построены временные асимптотики решений

а) дискретного нелинейного уравнения Шредингера,

б) системы уравнений Максвелла-Блоха, описывающей динамику импульса в длинном лазерном усилителе,

в) трехмерного нелинейного уравнения Шредингера в окрестности момента волнового коллапса.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Основными техническими средствами, используемыми в диссертации являются метод обратной задачи, матричная задача Римана и асимптотическая теория линейных дифферен-

циалышх уравнений в комплексной плоскости,

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Уравнения Пенлеве представляют собой классический объект качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и анализу их решений посвящено большое число работ. С другой стороны, значительный всплеск интереса к этим уравнениям вызван в последнее время их появлением в ряде задач теоретической и математической физики, связанных с нелинейными эволюционными уравнениями, квантовой теорией поля и статистической физикой. В этих задачах уравнения Пенлеве применяются для описания определенных переходных и автомодельных режимов, которые "сшивают" решение исходной задачи в различных характерных областях. Подобная составная структура асимптотических решений нелинейных систем является общей для обширного класса задач. При этом неважно, является исходная система интегрируемой или нет. Иными словами, из ряда моделей нелинейной теоретической физики можно сделать вывод о том, что трансцен-денты Пенлеве играют в них ту же роль, что и классические спецфункции в линейных задачах. Полученные в диссертации результаты позволяют описать асимптотическое поведение функций Пенлеве о той же степенью полноты и явности, что к функций Бесселя, Эйра и др.

АПР0БА1Щ РАБОТЫ, Результаты работы докладывались на семинарах лабораторий математической физики и дифференциальных уравнений Башкирского филиала АН СССР, на семинаре им. И.Г.Петровского в МГУ (1983, 1984 и 1986 г.), на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Черноголовка, 1985 г.), на П Рабочем совещании "Теория солитонов и приложения" (Дубна, 1965 г.), иа семинаре ЛОМИ под рук. член.--корр. АН СССР О.А.Ладыженской (1984 г.), на сешнаре в Харьковском гос. университета под рук. акад. АН УССР В.А.Марченко (1986 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 6-ти статьях и 4-х главах монографии, написанной совместно с А.Р.Итсом.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на 4 главы каждая, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 228 страниц, список лита-

ратуры содержит 103 наименования,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой части диссертации излагаются методы и результаты асимптотического анализа решений уравнений Пенлеве второго и третьего типов. Полученные формулы применяются для описания асимптотического поведения решений ряда задач нелинейной математической физики, что составляет содержание второй части работы. В приложении приведены некоторые формулы связи, используемые в основном.тексте, которые получены в других работах по данной теме.

Глава I первой части носит вспомогательный характер и не содержит оригинальных результатов. В ней излагается версия метода изоыонодромных деформаций в приложении к уравнениям РП и РШ. В первом случае (§1) "уравнение по Я " (I) имеет одну иррегулярную особую точку, и для задания данных монодромии достаточно рассмотреть матрицы Стокса дяя -Функций, определенные на системе лучей ал.^. = ТСк/3 » к = .

Вводится естественная параметризация матриц Стокса двумя комплексными параметрами р , , после чего выписываются алгебраические соотношения на эти параметры, отвечающие вещественной и чисто мнимой редукциям в уравнении РП.

Изомонодромная задача для уравнения РШ изучается в § 2. Здесь -функция удовлетворяет системе

где , ^ , 6з - матрицы Паули, се , гс , г*.^- скалярные

параметры, <С *

В окрестности двух иррегулярных особых точек X =• О и "X = оо фундаментальные решения системы (3) допускают нормировку

ехр^'^^з)^ алаД = оа (4)

Наличие двух особых точек приводит к тому, что в набор данных мояодромии помимо матриц Стокса входит матрица связи =»

_ "у/ 1 , устанавливается, что условие изомонодромности

c/Q/cíзc. = о эквивалентно тому, что функция и. = глОО удовлетворяет уравнению РШ.

В § 3 формулируется матричная задача Римана, эквивалентная обратной задаче теории монодромии, и приводятся некоторые достаточные условия ее разрешимости.

Глава 2 посвящена исследовании вещественных решений уравнения РШ

и. ч- и и. = О (б)

. *=с сс

на полуоси о < оо , в § I вычисляются данные монодромии для системы (3) по начальному условии уравнения (5). При этом можно не предполагать вещественности функции и.(ас) , нескольку для определенного класса комплексных решений вычисления проводятся единым образом. Этот класс выделяется аоимптотикой

+ 0 (6)

где е С , ,

Матрица связи, однозначно определяющая данные монодромии

, имеет в этом случае вид

В & 2 проводится качественный анализ структуры вещественных решений уравнения (5). При ее.— о они имеют асимптотику

(6) при /»V» = 1т б = О . Доказывается существование и единственность гладкого решения при всех се. > о .На бесконечности имеют место асимптотики двух типов

' а л Л

и£*0 = + ^ [1 + О)

где К - целое, оС , р, - неопределенные вещественные параметры. На фазовой плоскости , и^ случай (8) отвечает

устойчивому фокусу в точке и = 2тс к. , = о , а решение (9) представляет собой движение по сепаратрисе, выходящей из седла и =2x0

Построение формул связи параметров асимптотик (6), (8), (9) составляет содержание § 3. В нем производится вычисление матрицы связи С? по асимптотикам (8), (9). Здесь применяется стандартная процедура асимптотического анализа линейных сиотем с точками поворота. Методом двухмасштабных асимптотических разложений строятся -Функции с нормировками (4) в нуле и на бесконечности, продолжающиеся в общую область определения. В результате матрица связи находится в виде

<?„ * (-Ю.

V(т^Г^П-Ю^С^р).ш

Непосредственно из сравнения формул (7), (10) в § 4 производится вывод формул связи для гладкого вещественного решения уравнения (5). Например, для амплитуда в случае (8) получается формула

7Г 'Ж '

Условие А = о выделяет одномерное "сепаратрисное" многообразие решений о асимптотикой (9). В атом случае для амплитуды при убывающей експоненте справедлива формула

Для целой постоянной к , к которой стремятся решения (8), (9), также имеет место явная формула

К - ек|1ег в + 3^¿п2 - 4 ал.^. +

В главе 3 исследуются комплексные решения уравнения (5) вида и (ж) = 9С + С ТГСж) , имеющие в нуле асимптотику (6) при

условии 1I <2 , Такие решения имеют, вообще говоря, логарифмические особенности в конечных точках ос. = сс.^ ->о

VО) » О - _

"Щ. --у» 2

(II)

соответствующие полюсам мвроморфного решения уравнения РШ, связанного о (5) заменой гсГ = ехр . таким образом, вопрос об

асимптотическом поведении решения и Ос.) на бесконечности здесь может быть сформулирован как задача об асимптотическом распределении его полюсов ос.^ , в зависимости от начального условия (6).

В § I строятся асимптотические приближения "У/" -функции при ос. — сск при фиксированном -зе^ . Оказывается, что в

главном порядке компоненты удовлетворяют уравнению Матье + (12)

Данные монодромия р , ^ системы (3) явно выражаются через матрицы Стокса уравнения Матье (12). Однако, последние связаны с величинами , трансцендентным образом, что не

позволяет, например, вычислить координату первого полюса. Явными формулы становятся лишь в пределе -за —*■ <*> •

к

Д«-

Отметим, что полюсы "^с^ функции иГ= служат ну-

лями функции гсг-1^ ехр I которая также является репе-

нием уравнения PID. Здесь уместно провести аналогию с распределением нулей функции Бесселя, выступающей как линейный предел функций Пенлеве третьего типа. Распределение на бесконечности нулей функций Бесселя хорошо известно, в то время как в конечной области нули можно вычислить ли-л. приближенно.

В пределе сс^-*- <=о к уравнению Матье (12) применим метод ВКБ, аналогичный изложенному выше для системы (3). В § 2 этим методом вычисляются матрицы Стокса уравнения (12), определяющие данные монодромии р , ^ . Сравнивая их с найденными ранее данными.монодромии (7) для начального условия (6), получаем формулу распределения полюсов

»П = - ге £м\ &ТСП + a/tg. +Lse) +

Xr Tft .. 0

+ аЛ&СА+ЬХАе*-- ß<z~) +

< > (A+ßt где % г5Г| •

Здесь также выделяется "сепаратрисный" случай А+Ё>=*-0, когда полюсы исчезают и существует гладкое решение всвду при эс. о о асимптотикой

t — Э(» _ —

гх-(эс) = х -к Locoef2 е [i -t OC^c A)J

где ^бИатр .

В главе 4 изучается распределение полюсов вещественного решения уравнения РП

= +2 и*, (И)

Здесь ставятся гладкие граничные условия при ос. - <*>

[|(-xf-foc^fx)^] [i+ oCD] . (I4)

Данные монодромии, выделяющие подкласс таких решений, удовлетворяют редукции р - %> .Их выражение через параметры асимптотики (14) имеет вид:

р- £-е*"*ехрIШ)

При положительных сс решение и имеет, вообще говоря, полисы о лорановским разложением вида

В § X главы 4 строится приближенное решение прямой задачи теории монодрсмии при ос. — '¿с.^ , ол^ - фиксированная точка. Здесь главный член функции также удовлетворяет модельному уравнению

+ аб)

а Л

Уравнение (16) хорошо известно в физике как стационарное уравнение Шредангера для ангармонического осциллятора. Задача рассеяния для уравнения (16), сформулированная в § 2, выражает данные монодромии {=> , с^ через коэффициента этого уравнения сс^ , \)п . Также, как и в главе 3, задача расоеяния эффективно

решается лишь в пределе оо , в результате в § 3 пара-

метры лорановского ряда для решения и (ж.) явно выражаются через асимптотику (14) при больших сс

К

(2=сп)* ^ вХп-^Лг^П Л, 2-

где эе - А ^ 3 , )р1<1 , ¡2е.р>о , а вели-

ТС • 4. — 1р1 I

чина р задана формулой (15).

В конце § 3 рассмотрен вырожденный однопараметрический

случай отсутствия полюсов, задаваемый условием

Тогда уравнение (13) имеет гладкое решение при всех эг €/? и асимптотику при сс -»-«>

-да ~ ****** +-со],

где а » 1 — . Это асимптотическое решение, найденное

М.Абловицем и Х.Сегуроы, было строго обосновано Б.И.Сулеймановым.

Во второй части работы рассматриваются приложения формул связи для функций Пенлеве в некоторых задачах нелинейной математической физики, а также в одной задаче теории монодромш.

Как уже отмечалось выше, функции Пенлеве описывают переходные автомодельные режимы в асимптотических решениях нелинейных эволюционных уравнений. В качестве первого примера в главе 5 рассматривается задача Коши для дискретного нелинейного уравнения Шредошгера

Существование и единственность решения задачи (18), (19) при всех £. > о доказывается методом обратной задачи рассеяния, который коротко излагается в § I. Предполагая начальное

условие достаточно малым, что обеспечивает отсутствие со-

литонов, в главе 5 строится равномерная асимптотика решения

^пСО при оо ,

Также как и для дифференциальных уравнений с частными производными, здесь в асимптотике выделяются три характерные области Т — п2^ (¿¿)г- С^^ ^ » Т =

В первой области имеет место, быстроосциллирующее убывающее решение

где

<Р2 =2(х ал^сиап + а>-1-Хаг) + (*;]

В § 2 главы 5 величины £ , г , , явно вычис-

ляются по данным рассеяния аСн) , (^г) • |н| = 1 начального условия

. В области Ж решение экспоненциально убывает

я/о =

(21)

Промежуточная область ][_ играет роль пограничного слоя, где происходит сшивка асимптотики (20) и (21). В ней решение имеет автомодельное представление вида

< о;/ 2

£п60 - ¿"* е.« * ОС1-*\ {22)

1 2

где ьр - Ц1 а-2с-э , а функция И-Су) удовлетворяет уравнению Н1

В § 3 решение (20) переписывается в переменной £ в пределе х. 1 , в результате чего оказывается, что для сшивки о (21) решение гл. обязано быть вещественным и иметь

асимптотику (17) при ^ —• - оо . Непосредственно проверяется,

что выполнено "сепаратрисное" условие Лс<г'-€п2 + ^^ Лс ^ )+

+ + у> я о , которое обеспечивает существование гладкого решения уравнения РП при всех с экспоненциально убывающей асимптотикой при у —*• + с*о 4 Последняя явным образом сшивается с представлением (20), обеспечивая требуемое равномерное приближение решения при всех п & .

Отметим, что асимптотики (20), (21) имеют интегрируемые

особенности вида С)[(г1~ на границе характеристичес-

кого конуса пг = (2Ё.)9 , причем порядок этих особенностей в следующих приближениях будет возрастать. Хотя для

главного члена асимптотики (20) удается доказать оценку остатка в среднем (в норме ), для следующих членов подобная оценка не будет выполнена без учета Пенлеве-прибликения в пограничной области Д ,

Значительно более важную роль Печлеве-орибдижение играет в другой задаче математической физики - задаче о распространении импульса в длинном лазерном усилителе, рассматриваемой в главе 6. Здесь Пенлеве-приближение дает главный вклад в асимптотику решения всей задачи, которая ставится следующим образом,

Для системы уравнений Макс в елла-Блоха до

+Е-1 - (2за)

— со

и.1 1и>и (236)

и- - -¿согт + 1В ьс , (23в)

задается краевая задача

,о) - О , > 7Т(рс.,оя со) = 0 при =С->0)

Е(о,0 ~ £о6П при ¿>о, (24)

ЕС°Л) - а при £ ¿.ог

где Еа СО ¿л1) - заданная функция, которая определяет Форму импульса, входящего в полубесконечную оптически активную среду, описываемую системой (23). Фун.-ция пв первом

уравнении (23) предполагается положительной, что отвечает инверсно заселенной среде, обеспечиваюпрй усиление входящего импульса. Величины и (рсг i, ¿о) и ¿о) имеют смысл амплитуд вероятностей найти атом среда в возбужденном или основном состояниях соответственно, а пропорциональна комплексной огибающей электрического поля волны. Требуется найти ЕС^А*) при t ->ос. »1.

В работе С.В.Маяакова®' предложен вариант метода обратной задачи для интегрирования системы (23). В качестве Z. -оператора здесь используются два последних уравнения (236, в) где частота со играет роль спектрального параметра:

Cuair) — ВС",*) ) ^

При ■эс » о данные рассеяния А и В определяются по начальному импульсу Еа Ci) • Постановка обратной задачи

рассеяния для системы (23) излагается в § I главы 6.

Для построения равномерной асимптотики решения Е^ 3 также как и в главе 5 используется прямая задача рассеяния, и

приближенное решение ЕС7*1* ^ ) выбирается так, чтобы его данные рассеяния аппроксимировали точные при ос. оо . В

л.

структуре решения Е выделяется три характерные области: т Х + OCx^'oz)} s J « {£, эе+

< I <с =С ♦ оС=СО] J i у -ГС +

Отметим, что в силу конечной скорости распространения импульса 5= о при £ -с ot .

__ В § 2 кратко приводятся асимптотики решения Е в областях Л и Л , найденные в работе а затем по ним вычисляется матрица рассеяния. В первой области, где Е достаточно мало,

^Манаков С.В. Распространение электромагнитного шпульса в длинном лазерном усилителе // ЖЭТФ, 1982, т.83, № I, с.60-63.

матрица рассеяния отличается от единичной на величину Q(p¿k.

. Асимптотика £ в ойпасти 1 вычисляется методом перевала из интегрального представления для решения линеаризованной системы (23)

где Н » 2SL , SI - £ nC<*)Jb>, a

величины Eo > О и ^ определяются асимптотикой начального импульса 0(Í*L) Л- о , .

В области JL справедливо квазиавтомодельное прибликение

£" - =гЧ + ;<")

где функция U удовлетворяет уравнению

Чи "^Ч. (26)

с вещественным начальным условием

и Сол)-U- k£i% т

Нетрудно показать, используя результаты главы 2, что решение (26), (27) имеет следующие асимптотики

I г i

X +c* (2zJscos(zz ¿iz*-e)+0(z~3) н-х^Г

ib ' "

1/Н

Формулы связи параметров Ы. , ^ и £7 получены в главе 2, где следует положить [/= ТГ+и. » Ъ = о , 5 = £7 -X .

О

Для вычисления матрицы рассеяния на решении (25) попользуется изомонодромная "Ц/ -функция, построенная в § 2 главы 2 по Функции Пенлеве иСг,%~) при Фиксированном ^ . Поскольку

= удовлетворяет также

уравнениям по £ (236,в), выражение б — — У/

Рм 1н-о

• ~Ц/1 ,-. даст требузмую матрицу рассеяния,

I г*= _

порожденную Пеилеве-приближением в области Л • Разделив точную матрицу рассеяния с в (А Л на — ,

° \В А ) РЖ _

получим матрицу рассеяния, отвечающую решению в области Ж Ее структура, как видно из-явных вычислений, определяет устойчивое состояние системы (23) Е ^ <=> (О , и. ~ о В § 3 асимптотика в области ]1[ строится в виде

П а ш

+ + + ОС^Г^3), оо.

Амплитуда £ здесь определяется по построенной выше матрице рассеяния 5 й р^ « В промежуточной области она согласована с амплитудой << , а при £ <= /II , вообще говоря

(при произвольном и.С^) )» мала порядка ) .

Однако, в случае п - величина Ъ всюду конечна и

"осциллирующий хвост" (28) не исчезает на любом расстоянии от фронта. В этом случае, редуцирующем систему (23) к уравнению синус-Гордон,, строятся фазовые функции и £ .В зак^-нение главы 6 в § 4 доказывается, что составное асимптотическое разложение (25), (28) аппроксимирует точное решение равномерно при £ > -х, .

В главе 7 Пенлеве-приближение применяется дяя исследования решения неинте грируемого уравнения - трехмерного нелинейного уравнения Шредингера

+ + »€.1?3 (29)

Кал показано В.Е.Захаровым, для произвольного начального условия = ц/ С=е) » у/ е. £>02*) * удавлетворяю-

«его условии отрицательности гамильтониана

я3

ампитуда решения уравнения (29) обращается в бесконечность в некоторой точке в конечный момент времени £ = £0> о , то есть имеет место явление волнового коллапса.

Предполагая, что коллапс происходит в точке ос « о и решение сферически симметрично

в работе6^ исследовалось поведение решения при 'Ъ =» —'¿-•О.

О

В главе 7 строится формальная асимптотика ~Ч/ равномерно пригодная при всех Об"2: ^ 00 .

Здесь, также как и в главах 5 и 6, выделяются три характерные области. Первая из них, содержащая точку коллапса, задается

условием О < ^ 0(4г*^3) , где - автомодельная переменная

- г/г*?'*.

Решение в этой области ищется в виде (см. £ I)

где ^ - ¡-12.

Главные члелы асимптотики, найденные в имеют вид

фсо - -f¿щре. ой

В § I далее строятся амплитуды и фазы 2 » »А г пУтем

Захаров В.Е., Кузнецов ¥1.А. Квазиклассическая теория трехмерного волнового коллалса // ЖЭТФ, 1986, т.91, с. 1310-1324.

подстановки выражения (30) в уравнение (29) и приравнивания членов при одинаковых степенях -£- и одинаковых экспонентах. Граничная точка « , как показывают формулы (31), является особой для асимптотики (30). Тая, для амплитуд ос.: справедлива асимптотика

а амплитуда следующих приближений имеют неинтегрируемые особенности.

Для продолжения асимптотики (30) за пределы сферы радиуса

в окрестности этой сферы в § 2 строится другое асимптотике

чесяое приближение в "погралалойной" переменной Это приближение имеет вид

ч = - -с":& +сс^а (32)

где функция Ф определена формулой (31), а функция удовлетворяет уравнению

V* (33)

которое после масштабных преобразований V-* - сс. , 2Л-+ 1и. совпадает с уравнением РП.

Из условия сшивки асимптотик (32) а (30) при ^ - со

- о ) получаем ~ *■ , откуда следует,

что решение уравнения Н1 (13) должно быть чисто мнимым ( ТУ -вещественно). Такие решения, рак показано в главе I, отвечают редукции данных монодромии р» - ^ и гладко продолжаются на всю вещественную ось. В работе [ 7] найдены формулы связи для этого решения. Ввиду их громоздкости мы не приводим их здесь. Укажем лишь асимптотику 2Г при — - оо

где величины £, согласованы с и при .

В § 3 строится асимптотика вгэ области коллапса

с

Л

>

где ^ -+ + р., ¿- 3> .

При % -* Ж +0 находятся асимптотики параметров о^ ,

и с неопределенными постоянными - константами интегрирования в уравнениях для этих величин. Эти постоянные находятся кз сшивки с Пенлеве--приближением при + Таким образом, составное асимптотическое решение (30), (32), (34) полностью построено в окрестности момента коллапса. Произвольные постоянные £ и , фигурирующие в этом решении, оказываются связанными с законом сохранения

Е - [ - хСЮ*/5^

я?3

В заключительной главе 8 рассматривается чисто математическое приложение свойств функций Пенлеве, связанное о разрешимостью обратной задачи теории монодромии (ОЗТМ) для систем с рациональными коэффициентами

V »да)^. <35>

В качестве нетривиального примера систем (35) с одной иррегулярной особой точкой "X = оо изучается случай

да) - , ¿,1А3. (зе)

Окрестность бесконечности покрывается системой шести секторов , так что ¡ХЪ Г)£}л1 ф ф и каждый сектор содержит

к к А '

только один луч раздела = О ♦ где »

- собственные числа матрицы Д .в каждом секторе найдется голоморфное невырожденное решение с асимптотикой

к

Х~6+<Ж1))^г(оа\3+цх*+ц\)9 (37)

где - диагональные матрицы. В пересечении соседних секто-

ров канонические решения связаны матрицами Стокса

Для систем с одной иррегулярной особой точкой ОЗТМ состоит в нахождении коэффициентов системы (35) по заданному набору матриц Стокса.

В случае общего положения в § I коэффициенты (36) системы (35) приводятся калибровочным преобразованием к виду.

А +4а(-гГо; _а ) (38)

Тог/"я для канонических решений (37) справедливы параметризации

, 4 = ° >4. .

где гс = 1а-2ъсгг , -р =* 2Тг<Г- и^. .

Основная идея используемого в главе 8 подхода состоит в изучении деформаций системы (35), которые оставляют матрицы Стокса и параметр ветвления V постоянными. Параметром деформации считается переменная се , а сами деформации описываются системой дифференциальных уравнений

'иКх = хи+2"-2гГ. Ч- - 2Г

* (39)

2Г = о^тТ + 2тТг1Х. мг^и.

хя. ' ж •

Матрицы Стокса и параметр ^^тТи^ТГи. являются

первыми интегралами системы (39)* При наложении условия и,- ТГ

она сводится к уравнению РП, Тем самым вопрос о разрешимости ОЗТМ для системы (35) сводится к исследованию аналитических свойств решений нелинейных уравнений (39). Мы ограничиваемся случаем V о и редукцией 7Г , поскольку структура решений уравнения ГО достаточно хорошо изучена. Матрицы Стокса в »1 эм случае удовлетворяют редукции SK+3 -

Изучение особенностей решений уравнения РП, выполненное в главе 4, доставляет ряд утверждений о неразрешимости ОЗТМ при V — о , се £¿73 , При наложении вещественной редукции

S1-S3. = U0)

решение РП имеет счетное число вещественных полюсов "=с. - t и. = ... . Используя зтот факт, в S 3 доказывается, что при редукции (40) не существует системы (35) с нормировкой (38) и ос. » зс.^ , имеющей заданные матрицы Стокса. На многообразии данных монодромии выделяется, таким образом, семейство подмногообразий, параметризуемое вещественным параметром ее , для которых обратная задача теории монодромии не разрешима.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Новокшенов В.Ю. Метод изомонодромной деформации и асимптотика третьего трансцендента Пенлеве // Функц. анализ и его приложения, 1984, т.18, вып.З, с,90-91.

2. Новокшенов В.Ю. Подвижные полюсы решений уравнения Пенлеве третьего типа и их связь с функциями Матье // Функц, анализ и его приложения, 1986, т.20, вып.2, с.38-49.

3. Новокшенов В.Ю. Об асимптотике общего вещественного решения уравнения Пенлеве третьего типа // ДАН СССР, 1985, т.283,

» 5, с.1161-1165.

4. Новокшенов В.Ю. Асимптотическое поведение при i -+» решения задачи Ковш для нелинейного дифференциально-разностного уравнения Шредингера // Дифференц. уравнения, 1985, т.21,

# II, с.1915-1926.

5. Капаев A.A., Новокшенов В.Ю. Двухпараметрическое семейство вещественных решений второго уравнения Пенлеве // ДАН СССР, 1986, т.290, № 3, с.590-694.

6. Манаков С.В., Новокшенов В.Ю. Полное асимптотическое пред-ставлание электромагнитного импульса в длинном двухуровневом усилителе // Я®, 1986, т.69, й I, с.40-64.

its А.Н., Novokshenov V.Yu. Isomonodromic deformation method in the theory of Painlave equations.- Lecture Hotee in Math., 1986, r.1191, Springer-Verlag, 313p.

Подписано в печать 29.10.87 г. П01809. Зал. № ?06 Тир. 100. РТП ШЦ УО АН СССР. Уфа, 54, пр.Октября, 71.