Устойчивость некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, связанных с логистическим уравнением динамики популяции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Вагина Мария Юрьевна

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ, СВЯЗАННЫХ С ЛОГИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПЕРМЬ 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского государственного педагогического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кипнис Михаил Маркович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Симонов Петр Михайлович,

кандидат физико-математических наук, профессор Плышевская Татьяна Константиновна

Ведущая организация:

Уральский государственный университет имени A.M. Горького

Защита состоится 18 мая 2004 года в 16 час. на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу:

614000, г. Пермь, Комсомольский проспект, д. 29, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан ".li-?.* апреля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования Основными объектами исследования являются линейное дифференциальное уравнение с запаздываниями

x(í) = -е a(r)x{t - т) dr, а(т) dr = 1, t > 0. (2)

Здесь е > 0, (at) - неотрицательная последовательность весовых коэффициентов, - неотрицательная последовательность запаздываний.

В уравнении (2) мы предполагаем последействие ограниченным: для ядра а(т) существует Т > 0, называемое длиной интервала последействия, такое что а(т) = 0 для всех г > Т.

Ядро а(т) предполагаем неотрицательным и кусочно-непрерывным на [0, Т]. Здесь и далее кусочно-непрерывными функциями на отрезке мы будем называть такие функции, для которых существует разбиение этого отрезка на конечное множество отрезков, внутри которых функция непрерывна, а на концах может иметь разрывы первого рода.

Начальная функция (p(t) для уравнений (1) и (2) суммируема соответственно на отрезке {—г, 0], где т = max(ro,rit...,Tv,)., и на отрезке [—Т, 0], где Т - длина интервала последействия.

Для уравнений (1) и (2) фиксируется также начальное условие хц, причем равенство у>(0) = «о необязательно.

Решением уравнения (1) называется абсолютно непрерывная на любом отрезке [0, Л/], М > 0 функция х(f), (такая что x(í) = ж(0) + j* ±(í) di для любого t > 0), удовлетворяющая (1) почти всюду на (0, оо), такая что i(t) = ip(t) при ¿ € [—г, 0), i(0) = Хо ■ Аналогично определяется решение уравнения (2), с заменой [—г, 0) на' [—7*, 0).

Известно, что решение уравнения (1) (соответственно, (2)) непрерывно дифференцируемо на [г, 2т]., дважды непрерывно дифференцируемо на [2т, Зг] (соответственно, на [Г, 2Г], [2Т, ЗГ]) и т.д.

Основным объектом нашего исследования является также специальный случай уравнения (2) - интегродифференциальное уравнение с за-

»

п

и линейное интегродифференциальное уравнение

паздывающим усреднением

ь-е

¿(0 ! (3)

(—9—г

В (3) неотрицательное число в является запаздыванием, положительное число т есть интервал усреднения.

Актуальность темы Уравнения (1) - (3) являются линеаризациями соответственно следующих дифференциальных и интегродифференци-альных уравнений

п

№ ЧгМ(1 - *ky(t - г*)), ¿ а* = I, (4)

т = évWU - l^<r)y(t - r)dr), jí°° o(r) dr = 1, (5)

(t-e ч

f (6) t—б — T

вокруг стационарного решения ¡r{í) = N.

В свою очередь уравнения (4) - (6) получены введением запаздываний различного вида в логистическое уравнение динамики популяции

y(t)=^(í)(l-j^(0), е>0. (7)

В (4) - (7) е - коэффициент автоприроста (скорость воспроизводства), y{t) есть численность популяции в момент времени (., число N - предписанная численность популяции (емкость среды для данной популяции). Множитель ( 1 — ^y(t)) символизирует обратную связь системы "популяция - окружающая среда".

Логистическое уравнение (7) рассматривается в необозримом и неис-тощающемся массиве публикаций. Несколько меньший, но достаточно обширный к настоящему моменту объем публикаций посвящен логистическим уравнениям с запаздываниями.

Приведем список некоторых авторов, результаты которых либо относятся к уравнениям (1) - (3), либо имеют следствия, касающиеся устойчивости указанных уравнений. Это Абдуллаев А.Р., Азбелев Н.В., Ацд-

ронов А.А., Беллман Р., Березанский Л.М., Гусаренко С.А., Колманов-ский В.Б., Красовский Н.Н., Кук К.Л., Майер А.Г., Максимов В.П., Малыгина В.В., Мышкис А.Д., Неймарк Ю.И., Норкин СБ., Рахматулли-на Л.Ф., Рехлицкий З.И., Симонов П.М., Соколов В.А., Эльсгольц Л.Э., Amemiya Т., Cushing J., Driver R., Gopalsamy K., Hale J., Hutchinson G., Pinney E., Sugie J., Wright E., Yoneyama Т., Yorke J.

Многие из этих работ посвящены сложным проблемам устойчивости, колебательности, особенностям асимптотического поведения уравнений, отягощенных переменными запаздываниями, сложными ядрами в интегральных компонентах и т.п.

Тем более актуальным является рассмотренный в диссертации вопрос о поведении простейших уравнений (1) - (3). Полученные в работе точные оценки численных параметров, гарантирующие устойчивость уравнений, могут служить в дальнейшем ориентиром для более общих теорий.

Цель работы Мы ставим задачу исследовать устойчивость нулевого решения x(i) = 0 в уравнениях (1) - (3). Мы намерены исследовать влияние двух факторов на устойчивость уравнений (1), (2):

1. Ограничение произведения е на среднее запаздывание ЛкТк для уравнения (1) и та(т) для уравнения (2). Здесь мы намерены дать в некотором смысле окончательные результаты.

2. Выпуклость последовательности коэффициентов ( а*) в уравнении (1).

Для уравнения (3) мы намерены дать необходимое и достаточное

условия асимптотической устойчивости в виде ограничений на ет и ев.

Методы исследования Мы используем преобразование Лапласа для исследования устойчивости нулевых решений уравнений (1) - (3). Проблема устойчивости сводится к проблеме расположения корней характеристической функции.

Для определения отсутствия у характеристической функции корней с неотрицательными действительными частями используется геометрическое истолкование теоремы о логарифмическом вычете, которое приводит к "принципу аргумента".

Полученные результаты подтверждаются с помощью численных экспериментов с годографами в математическом редакторе MATCAD и путем построения конкретных решений данных уравнений в математической среде MATLAB с помощью пакета dde23,

Научная новизна полученных результатов Одним из основных результатов диссертации являются достаточные условия устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения (1) с несколькими запаздываниями. Достаточные условия получены в виде ограничения на

произведение е и среднего запаздывания. Эти результаты можно считать в некотором смысле окончательными, поскольку определена неулучша-емая . константа. Новизна заключается в том, что этот результат улучшает полученные ранее условия устойчивости К. Гопалсами и обобщает известные результаты.

Для уравнения (1) получено еще одно достаточное условие устойчивости нулевого решения в виде выпуклости последовательности коэффициентов (а*). Этот.результат является аналогом одного результата К. Гопалсами в теории интегродифференциальных уравнений.

Кроме того, показано, что никакое ограничение сверху величины произведения е и среднего запаздывания не является необходимым для устойчивости нулевого решения этого уравнения, что опровергает одно из утверждений К. Гопалсами.

Аналогичные результаты получены для интегродифференциального уравнения (2) с распределенным запаздыванием.

Еще один.элемент новизны - это рассмотрение интегродифференци-ального уравнения (2) с таким специальным ядром , при котором уравнение (2) принимает вид (3).

Уравнение (3) естественно назвать дифференциальным уравнением с запаздывающим усреднением. Такая постановка задачи до сих пор не встречалась. Для этого уравнения получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения, которые носят окончательный характер.

Полученные результаты устойчивости для уравнение (3) точнее, чем те, которые могли быть выведены из более общих результатов работ ,А.Д. Мышкиса и К. Гопалсами.

Теоретическая и практическая значимость Основные результаты диссертационной работы имеют теоретический характер.

Теоретические достижения работы состоят в получении окончательных неулучшаемых оценок в достаточных признаках устойчивости нулевых решений уравнений (1), (2), а также в получении необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (3).

Практическое значение автор видит в том, что результаты работы дают основания для построения в дальнейшем методов управления устойчивым ростом популяции либо посредством уменьшения запаздываний, уменьшения скорости воспроизводства, либо посредством структурных настроек (например, обеспечения выпуклости последовательности весовых коэффициентов в уравнении).

Работа может быть также использована в преподавании специально-

го курса дифференциальных уравнений с запаздываниями. ■ *- ■

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 12 Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самаре (2002 г.), на 10 Международной конференции "Математика, компьютер, образование" ' в Пущи-но (2003 г.), на 13 Межвузовской конференции - "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самаре (2003 г.), на Международной конференции "Physics and Control" в Санкт-Петербурге (2003 г.), на 12 Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" в Перми (2003 г.), на научном семинаре кафедры математического анализа ЧГПУ под рук. проф. М.М. Кипниса и доц. А.С. Макарова.

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата, из них 4 - публикации без соавторства.

В совместных работах научному руководителю М.М. Кипнису принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем работы составляет 114 страниц. Библиография содержит 116 наименований работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается описание предмета исследования, обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, делается обзор основных результатов, полученных другими авторами в данной области. Излагаются основные результаты диссертации и проводится анализ их новизны.

В первой главе диссертации изучено линейное уравнение с запаздывающим усреднением (3).

В п. 1.1 дается постановка задачи о запаздывающем усреднении. Поставлена задача определить условия устойчивости нулевого решения x(t) = 0 уравнения (3).

Нулевое решение линейного уравнения (3) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения

р + ee-pi(l - €-"t)/(pt) = 0 (8)

обладают свойством

В п. 1.2 рассматриваются вопросы существования, единственности решения, уравнений (2), (3), даются определения устойчивости.

В п. 1.3 обосновано применение характеристического уравнения для исследования устойчивости уравнений (2), (3).

В п. 1.4 формулируется теорема об условиях устойчивости нулевого решения уравнения (3).

Теорема 1 Нулевое решение уравнения (3) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда

е < —-^-ЗГг-• (9)

2(20 + т) бш 2(2<Г+Т)

Замечание 1 При г —+ 0 уравнение (3) преобразуется к виду

х(() = (10)

для которого хорошо известно необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости

Если же в правой части неравенства (9) устремить г к нулю, то получим также условие £0 < тг/2.

Таким образом, теорема 1 обобщает известные результаты об устойчивости нулевого решения уравнения (10).

Замечание 2 При & = 0 уравнение (3) имеет вид

»

¿(0 = -; J х{и)(Ь. (И)

(-г

Уравнение (11) является линеаризацией вокруг стационарного решения логистического уравнения с усреднением (без запаздывания)

у{<) = еу{1) ~ ^ / > £ > 0, г > 0.

Необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения уравнения (11), как следует из теоремы 1, будут следующими. Следствие 1 Нулевое решение уравнения (\\) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда £Т < ТГ2/2.

В 5 п. 1.5 область устойчивости уравнения (3) сравнивается с областью, гарантированной известной теоремой "о 3/2 - устойчивости" результатом К. Гопалсами. Полученная в пространстве параметров область устойчивости нулевого решения уравнения (3) оказалась шире тех, которые гарантируются известными теоремами;

В п.1.6 формулируется и доказывается лемма об элементарном неравенстве, которая используется при доказательстве теоремы 1. В п. 1.7 приводится доказательство теоремы 1.

Во второй главе изучено уравнение (1) с несколькими дискретными запаздываниями.

В п. 2.1 рассмотрена постановка задачи о дискретных запаздываниях. Поставлена задача определить условия устойчивости нулевого решения х(() = 0 уравнения (1). Эта задача сводится к проблеме распределения корней характеристического уравнения

№

Р + £ ^ а*е~рт* = 0. (12)

к=0

В п.2.2 обосновано применение характеристического уравнения для исследования устойчивости уравнения (1).

В п. 2.3 формулируется теорема о достаточном признаке устойчивости уравнения (1).

Теорема 2 Пусть а*, € {0,оо), (0 ^ к ^ п). Если

п

£^актк < тг/2,

то все корни уравнения (12) имеют отрицательные действительные части и нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Кроме того, обсуждается отношение теоремы 2 со следующими утверждениями К. Гопалсами (предложение 1 и предложение 2). Предложение 1 Пусть а^аьт^Т! € (0,оо) и е(аото + 01Г1) < 1. Тогда любое решение уравнения (1) при п = 1 обладает свойством Иш хШ = 0.

Предложение 2 Пусть йо,01,То,Т1 6 (0,ОО) .Условие £(аоТЪ+а1Т|) < 1 является достаточным, а условие < тг/2

необходимым для того, чтобы все корни уравнения (12) при п = 1 имели отрицательные действительные части.

Теорема 2 усиливает результат предложения 1 и предложения 2 о достаточном условии устойчивости.

В п.2.4 формулируется и доказывается лемма об элементарном неравенстве, которая используется в доказательстве теоремы 2. В п.2.5 приводится доказательство теоремы 2.

В п.2.6 рассмотрены примеры к теореме 2, приведены комментарии. В п.2.7 формулируется еще одно достаточное условие устойчивости уравнения (1). Доказывается следующая теорема.

.Теорема Ъ.Если в уравнении (1) п = 1, Оа = Щ — 1/2 и его < 1, то при любом Т\ 6 (0, оо) все корни уравнения (12) имеют отрицательные действительные части.

Из теоремы 3 следует ошибочность необходимого признака устойчивости К. Гопалсами, сформулированного в предложении 2. Кроме того, в п. 2.7 мы цитируем доказательство необходимого признака устойчивости из монографии К. Гопалсами и указываем точно то место, в котором имеется ошибка в доказательстве.

В п.2.8 мы экспериментируем с программой dde23 пакета MATLAB, решающей дифференциальные уравнения с запаздываниями. Мы проверяем, учитывает ли программа dde23 скачок от начальной функции к начальному значению, или, возможно, непрерывно стыкует решение с начальной функцией. Оказывается, скачок учитывается, и мы делаем вывод, что программа dde23 "понимает" (в рамках узкого круга задач, для которых она предназначена) идеи Пермского семинара.

В п.2.9 проведены численные эксперименты по нахождению области устойчивости нулевого решения уравнения

¿(0 = -ао:г(* - Го) - - Т|) (13)

в плоскости параметров Оо, 01 при фиксированных значениях запаздываний. Численные эксперименты проведены двумя способами: с годографами и с пакетом dde23 в среде MATLAB. Полученные двумя способами области устойчивости нулевого решения уравнения (13) совпадают и содержат внутри себя области устойчивости, указанные в теореме 2 и теореме 3. Наличие точек устойчивости вне этих областей дает еще одно, на этот раз экспериментальное, подтверждение ошибочности результата К. Гопалсами о необходимом условии устойчивости.

В п.2.10 показывается, что линейное уравнение (1) является линеаризацией вокруг стационарного решения у^) = N не только уравнения (4), но и логистического уравнения с запаздываниями в воспроизведении и в реакции окружающей среды

гп - тч п т

»(*)=«!>»(*- -П)), 1>ь = 1,5> = I.

*=о ¿=о *=о *=о

(14)

В третьей главе диссертации изучено интегродифференциальное уравнение (2) с распределенной памятью.

В п.3.1 дается постановка задачи о распределенной памяти.

Нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво тогда и

только тогда, когда у характеристического уравнения

roo

р + е ( о(г)е"^т = О Jo

все корни обладают свойством Яер < 0.

Левая часть уравнения (15) является целой функцией комплексного переменного р ввиду условия. ограниченности последействия. Поэтому есть возможность использовать хорошо развитую теорию о разложении решения уравнения (2) в виде ряда по экспонентам, в показателях ' которых фигурируют корни характеристического уравнения (15).

В п. 3.2 формулируется теорема о достаточном признаке устойчивости нулевого решения уравнения (2).

Теорема 4 Если в уравнении (2) последействие ограничено и

"Р

Jo

та(т) dr < 7г/2,

то все корни уравнения (15) имеют отрицательные действительные части и нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.

Далее обсуждается отношение теоремы 4 с утверждением К. Гопал-сами (предложение 3).

Предложение 3 Пустъядро а(г) : (0,оо) -+ (0,оо) непрерывно и у до -влетворяетусловиям е а(т) dr < оо « £ го(г) dr <1 Тогдалюбое решение уравнения (2) обладает свойством lim ¿c(í) = 0.

i-»öS

Теорема 4 усиливает результат предложения 3 о достаточном условии устойчивости при ограниченном последействии. В п.3.3 приводится доказательство теоремы 4. В п.3.4 формулируется и доказывается теорема^ которая показывает, что никакое ограничение сверху величины е та(т) dr не является необходимым для устойчивости.

Теорема 5 Для любых М > О, С > 0 существуеттакоеядро а{т), что

1)ejT3Ta{T)dr>M,

2)Ca(r)dr = l,

3) существует такое Т > 0, что а(т) = 0 при т>Т,

4) нулевое решение уравнения (2) устойчиво.

В п.3.5 формулируется и доказывается теорема о точности постоянной ff/2 в теореме 4.

Теорема 6 Для любого С > зг/2 существует такоеядро в(т),

1) £ /0°° га(т)Ж- < С, что

2)/o00o(r)dr = l,

3) существует такое Т > 0:, что о(г) = 0 при т >Т,

4) нулевое решение уравнения (2) неустойчиво.

В четвертой главе диссертации рассматривается уравнение с дискретными запаздываниями (1), в котором последовательность весовых -коэффициентов выпукла.

В п.4.1 кратко дается постановка задачи о дискретных запаздываниях, рассмотренная в пункте 2.1. Рассматривается постановка задачи о выпуклости последовательности весовых коэффициентов.

К. Гопалсами рассмотрел уравнение f

Г* '

i(í) = -е / o(t)x(í — т) dr. (16)

Jq i

i

и доказал следующее утверждение.

Предложение 4 Пусть о(г) удовлетворяет условиям \

1) а{г) еС[0,оо)П<?2(0,оо),

2) (-1 У£о(т) ^ 0 при т^О, j = 0,1,2, (

3) a(r) ?é const. J

Тогда каждоерешение (16) таково, что aí(í) 0 при í —Ь оо:

Поставлена цель найти аналог этого предложения для случая дис- ]

кретных запаздываний. ■ Такой аналог найден автором для более просто- j

го, чем уравнение (1), уравнения с равномерным распределением дискретных запаздываний

i

4(«) = -е£а**{(-И. (17)

í=ü

с характеристическим уравнением

р + е£аке-*кт =0.

*=о :

Уравнение (17) является линеаризацией уравнения: i п "

*=0 fc=0 *

i

вокруг стационарного решения y(í) = N.

В п.4.2 рассматриваются свойства выпуклой последовательности весовых коэффициентов и доказательства этих свойств.

Определение 1 Конечная последовательность (а*), (к = 0,1,•..,п), (n ^ 2) называется выпуклой, если выполняется неравенство

ak < (<U-i +e*+i)/2, к- 1,2,...,»-1.

Свойство 1 Если последовательность (а*) {Ä = 0,неотрицательна, выпукла и о,» = 0, то -

1) о„_ 1 < а„_2/2,

2) Для любого fc(l ^ к < п) выполняетсянеравенствоаь-х > а* > 0. Свойство 2:Если последовательность (й*) (fc = 0,1, ...,п) неотрицательна, выпукла и ап = 0, то последовательность (Ь*), определенная-равенством frj. = а* — dn~i (к = 0,1,..., п — Ц также неотрицательна, удовлетворяет условию = 0 и выпукла.

В п.4.3 формулируется теорема об устойчивости уравнения (17) с выпуклыми весовыми коэффициентами.

Теорема 7 Если неотрицательная последовательность (а*),

(к = 0,1,...,«) выпукла и а„ — О, то нулевое решение уравнения (17)

асимптотическиустойчиво.

Теорема 7 дает еще одно доказательство ошибочности необходимого условия предложения ■ 2.

В п.4.4 формулируются и доказываются леммы, которые используются в доказательстве теоремы 7.

Лемма 1 ДЛЯлюбого п 6 N, длялюбого а £ К выполняется неравенство (п — к) cos ка > 0.

Лемма 2 Если неотрицательная последовательность (at) (О ^ fc ^ п) выпукла и а„ = 0, то длялюбого n € N, длялюбого а £ В, выполняется неравенство в* cos ка ^ Cn-i ~ со®

В п.4.5 приводится доказательство теоремы 7. В п.4.6 рассмотрены примеры к теореме 7, приведены комментарии.

заключение:

В диссертации исследована устойчивость линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с запаздываниями, связанных с логистическим уравнением динамики популяции. В частности:.

- Введено ' линейное уравнение с запаздывающим усреднением, получены-необходимые и достаточные условия его асимптотической устойчивости в терминах ограничений на его коэффициенты и запаздывания.

- Найдены достаточные условия устойчивости линейного дифференциального уравнения с дискретными запаздываниями. Эти условия дают

более широкую область устойчивости, чем известные ранее. Доказано, что фигурирующая в этих условиях постоянная - точная.

- Указаны достаточные условия асимптотической устойчивости для ли- | нейного интегродифференциального уравнения с распределенным за- I паздыванием с ограниченным последействием. Эти условия также дают " ; более широкую область устойчивости, чем известные ранее. Доказано J также, что фигурирующая в этих условиях постоянная - точная. ' |

- Доказано, что выпуклость последовательности коэффициентов доста- | точна для устойчивости линейного дифференциального уравнения с равномерно распределенными дискретными запаздываниями.

Из результатов об устойчивости линейных уравнений выведены следствия о локальной устойчивости стационарных ненулевых решений логистических уравнений динамики популяции с запаздываниями.

- Выведено следствие об устойчивости логистических уравнений дина- I мики популяции в виде ограничений на произведение скорости воспро- 1 изводства на среднее запаздывание.

- Выведено следствие об устойчивости логистического уравнения динамики популяции с равномерно распределенными дискретными запаздываниями в случае выпуклости последовательности весовых коэффици- ' ентов, независимо от скорости воспроизводства.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вагина М.Ю., Кипнис М.М. Асимптотика решений логистического уравнения динамики популяций с запаздываниями // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 12 межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2002. С. 18-19.

2. Вагина М.Ю. Локальная устойчивость логистической модели динамики популяции с запаздываниями // Математика, компьютер, образование.. Тез. докл. 10 межд. ■ конф. Москва-Ижевск. 2003. С. 261.

3. Вагина М.Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением. // АиТ. 2003: № ■ 4. С. 167-173.

4. Вагина М.Ю. Устойчивость логистической модели динамики популяций с запаздыванием и усреднением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 13 межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2003. С. 22-25.

5. Вагина М.Ю., Кипнис М.М. О локальной устойчивости логистической модели динамики популяций с запаздываниями в реакции окружающей среды // Математическое моделирование в естественных науках. Тез. докл. 12 Всеросс. конф. молодых ученых. Пермь: ПермГТУ, 2003. С. 59-60.

6. Вагина М.Ю., Кипнис М.М. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Мат. заметки. 2003. Т. 74. № 5. С. 786-789.

7. Кипнис М.М., Вагина М.Ю. Устойчивость логистической модели популяций с запаздываниями в реакции окружающей среды // АиТ. 2004. W 5. С. 32-39.

8. Vagina M. Yu. Stability of the delay logistic equation of population dynamics. Proc. Int. Conf. Physics and Control. St. Petersburg: IEEE, 2003, pp. 317-319.

Подписано в печать 14.04.04. Формат 60 х 90/16. Объем 1,0 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1220 Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе в типографии ЧГПУ. 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 69.

.7699

Введение

1 Линейное интегродифференциальное уравнение с запаздывающим усреднением

1.1 Постановка задачи о запаздывающем усреднении

1.2 Существование, единственность решения интегродифферен-циального уравнения. Устойчивость.

1.3 Характеристическое уравнение для уравнения с ограниченным последействием (1.3).

1.4 Теорема о необходимом и достаточном условии устойчивости нулевого решения уравнения (1.1).

1.5 Сравнение области устойчивости нулевого решения уравнения (1.1) с областью, гарантированной "теоремой о 3/2 -устойчивости" и результатом Гопал сами

1.6 Лемма об элементарном неравенстве к доказательству теоремы 1.4.1.

1.7 Доказательство теоремы 1.4.1 об условиях устойчивости нулевого решения уравнения (1.1).

2 Линейное дифференциальное уравнение с дискретными запаздываниями. Ограничения на произведение е и среднего запаздывания

2.1 Постановка задачи о дискретных запаздываниях.

2.2 Устойчивость и характеристическое уравнение для уравнения (2.1).

2.3 Теорема о достаточном признаке устойчивости нулевого решения уравнения (2.1).

2.4 Лемма об элементарном неравенстве к доказательству теоремы 2.3.1.

2.5 Доказательство теоремы 2.3.1 о достаточном признаке устойчивости уравнения (2.1).

2.6 Примеры к теореме о достаточном признаке устойчивости уравнения (2.1) и комментарии.

2.7 Ошибочность необходимого признака устойчивости К. Го-палсами.

2.7.1 Еще одно достаточное условие устойчивости нулевого решения уравнения (2.1).

2.7.2 Локализация ошибки К. Гопалсами

2.8 Понимает ли программа dde23 идеи Пермского семинара?

2.9 Область устойчивости нулевого решения уравнения (2.14): численные эксперименты.

2.9.1 Цели численных экспериментов.

2.9.2 Описание численных экспериментов с годографами

2.9.3 Описание численных экспериментов с пакетом dde в среде MATLAB.

2.9.4 Комментарии к результатам численных экспериментов

2.10 Дифференциальное логистическое уравнение динамики популяции с запаздываниями в воспроизводстве и в реакции окружающей среды

3 Линейное интегродифференциальное уравнение с распределенной памятью. Ограничения на е и среднее запаздывание

3.1 Постановка задачи о распределенной памяти.

3.2 Теорема о достаточном признаке устойчивости уравнения (3.1) и комментарии.

3.3 Доказательство теоремы 3.2.1 о достаточном признаке устойчивости уравнения (3.1).

3.4 О необходимом признаке устойчивости нулевого решения уравнения (3.1).

3.5 Доказательство точности постоянной it/2 в теореме 3.2.

4 Линейное дифференциальное уравнение с дискретными запаздываниями. Выпуклость последовательности весовых коэффициентов

4.1 Уравнение с дискретными запаздываниями. Постановка задачи о выпуклости последовательности весовых коэффициентов

4.2 Свойства выпуклой последовательности весовых коэффициентов

4.3 Теорема об устойчивости нулевого решения уравнения (4.5) с выпуклыми весовыми коэффициентами и комментарии

4.4 Леммы к теореме 4.3.1.

4.5 Доказательство теоремы 4.3.1 об устойчивости нулевого решения уравнения (4.5) с выпуклой последовательность весовых коэффициентов.

4.6 Примеры к теореме об устойчивости нулевого решения уравнения (4.5) с выпуклой последовательностью весовых коэффициентов

Постановка задачи В последние годы возрос интерес к изучению дифференциальных уравнений с запаздываниями. Введение запаздывания в дифференциальное уравнение, описывающее какой-либо процесс, мотивируется тем, что состояние системы в любой момент времени влияет на характер скорости эволюции этой системы не только в тот же момент времени, но и в последующие.

Математически введение запаздывания отражается в появлении в дифференциальном уравнении членов с запаздываниями, например, вида x(t — т) (дискретное запаздывание) или f£°a(T)x(t — r)dr (распределенное запаздывание).

Основными объектами исследования являются линейное дифференциальное уравнение с запаздываниями п п x(t) = -£^2akx(t - Тк), = t>0 (1) к=О к=О и линейное интегродифференциальное уравнение г со роа x(t) = -£ a(r)x(t - т) dr, / а(т) dr = 1, t > 0. (2) Jo Jo

Здесь e > 0, (ak) - неотрицательная последовательность весовых коэффициентов, () - неотрицательная последовательность запаздываний.

В уравнении (2) мы предполагаем последействие ограниченным: для ядра а (г) существует Т > О, называемое длиной интервала последействия, такое что а(т) = 0 для всех т > Т.

Ядро а(т) предполагаем неотрицательным и кусочно-непрерывным на [О, Т]. Здесь и далее кусочно-непрерывными функциями на отрезке мы будем называть такие функции, для которых существует разбиение этого отрезка на конечное множество отрезков, внутри которых функция непрерывна, а на концах может иметь разрывы первого рода.

Начальная функция ip{t) для уравнений (1) и (2) суммируема соответственно на отрезке [—г, 0], где г = max(ro, Ti,., тп), и на отрезке [—Т, 0], где Т - длина интервала последействия.

Для уравнений (1) и (2) фиксируется также начальное условие хо, причем равенство = xq необязательно.

Решением уравнения (1) называется абсолютно непрерывная на любом отрезке [0, М], М > 0 функция x(t), (такая что x(t) = rr(0) + fo x(t) dt для любого t > 0) удовлетворяющая (1) почти всюду на [0, оо), такая что x(t) = ip{t) при t G [—г, 0), z(0) = жо- Аналогично определяется решение уравнения (2), с заменой [—г, 0) на [—Т, 0).

Известно, что решение уравнения (1) (соответственно, (2)) непрерывно дифференцируемо на [г, 2т], дважды непрерывно дифференцируемо на [2т, 3т] (соответственно, на [Т, 2Т], [2Г, 3Т]) и т.д.

Основным объектом нашего исследования является также специальный случай уравнения (2) - интегродифференциальное уравнение с запаздывающим усреднением t-e x(t) = — е J —x(u)du. (3) t—в—т

В (3) неотрицательное число в является запаздыванием, положительное число т есть интервал усреднения.

Уравнения (1) - (3) являются линеаризациями соответственно следующих дифференциальных и интегродифференциальных уравнений y(t) = ey(t)( 1 - jf^aky{t - 7*)), ]Г)а* = 1, (4) к=0 к=О

1 Г СО роо y(t)=ey{t){l-~ a{r)y(t-r)dr), J a(r)dr = l, (5) t-e v

6) y(t)=ey(t)( 1-1 j ±y(u)dЛ вокруг стационарного решения y(t) = A7".

В свою очередь уравнения (4) - (б) получены введением запаздываний различного вида в логистическое уравнение динамики популяции y(t) = ey(t)(l-±y(t)), е > 0. (7)

В (4) - (7) е есть коэффициент автоприроста (скорость воспроизводства), y(t) есть численность популяции в момент времени число N - предписанная численность популяции (емкость среды для данной популяции). Множитель (1 — jfу(t)) символизирует обратную связь системы "популяция - окружающая среда".

Важнейшими проблемами для нелинейных уравнений (4) - (6) является выяснение условий устойчивости их стационарного решения y{t) — N.

Эти проблемы сводятся к задачам устойчивости нулевых решений линейных уравнений (1) - (3). Данная задача и является основной задачей настоящего исследования.

Мы намерены исследовать влияние двух факторов на устойчивость уравнений (1), (2):

1. Ограничение произведения е на среднее запаздывание akTk Для уравнения (1) и /™та(т) для уравнения (2). Здесь мы намерены дать в некотором смысле окончательные результаты.

2. Выпуклость последовательности коэффициентов (ajt) в уравнении (1). Для уравнения (3) мы намерены дать необходимое и достаточное условия асимптотической устойчивости в виде ограничений на ет и ев. История вопроса Уравнение, описывающее динамику популяции, одним из первых предложил в 1789 году Т.Р. Мальтус. Оно имеет вид y(t)=ey(t), 2/(0) = 2/о >0. (8)

Здесь y(t) - численность популяции в момент времени t, постоянная е именуется мальтузианским коэффициентом линейного роста.

В соответствии с законом Мальтуса (8) численность популяции должна расти экспоненциально, что не всегда справедливо, ибо не согласуется с реальностью. Для преодоления этого противоречия необходимо принять во внимание иные факторы и соответствующим образом модифицировать уравнение.

Дж. Кьютелет предположил, что должно иметь место насыщение численности популяции. На основании этого в 1836 году его ученик Ферх-юльст предложил для описания численности популяции y{t) использовать уравнение (7). Очевидно, что ненулевое стационарное решение y{t) = N уравнения (7) асимптотически устойчиво.

По сравнению с уравнением (8) уравнение (7) более удовлетворительно описывает динамику изменения численности популяции. Однако и эта модель не свободна от недостатков. Один из них состоит в том, что численность популяции монотонна и стремится к стационарному значению y(t) = N, в то время как многочисленные наблюдения показывают, что обычно численность популяции колеблется около стационарного решения.

Другим существенным недостатком уравнений вида (7) является предположение о мгновенной реакции популяции на изменение ее численности. В действительности, однако, изменение численности популяции у it) не мгновенно сказывается на скорости y(t). Учет этого приводит к необходимости использовать уравнения с последействием.

Если все эффекты последействия усредненно можно характеризовать временным запаздыванием г, то соответствующее уравнение, предложенное Г.Е. Хатчинсоном в 1948 году, имеет вид y(t)=ey(t)(l-^y(t-r)), е> 0. (9)

Эта модель уже ближе к реальности. В частности, она учитывает инерцию в реакции популяции, колебательный характер стремления численности популяции к ее стационарному значению, возможность устойчивого сосуществования лишь ограниченного числа представителей данной популяции.

Качественное поведение решений этого уравнения с запаздыванием существенно разнообразнее и богаче по сравнению со случаем т = О [101].

Уравнение Хатчинсона изучалось большим количеством авторов, таких, например, как Джонс [84], Какутани и Маркус [85], Райт [101]. В некотором смысле обобщение уравнения Хатчинсона = уШ° - Ш - y(f -1)) (10) рассматривалось в работах [74], [89], [97].

Уравнение (10) появляется в моделях популяции биологических видов, где уровень смертности зависит не только от численности популяции в момент времени t, но и от численности популяции в предыдущий промежуток времени. Для этого уравнения в указанных работах получен следующий результат: если b > 1, то ненулевое стационарное решение y{t) = a/(b+ 1) уравнения (10) глобально асимптотически устойчиво. Более общее уравнение y(t) = y(t)(a - by(t) - f K{t - s)y(s)ds), (11)

J — oo включающее неограниченные временные запаздывания, детально обсуждается в [69].

В [94] Миллер показывает, что если K(t) непрерывна при t ^ 0 положительна и интегрируема на [0, оо), то из условия J0°° K(t)dt < b следует, что ненулевое стационарное решение y(t) = a/{b-\- К(t)dt) уравнения (И) глобально асимптотически устойчиво.

Крупными шагами в исследовании дифференциальных уравнений с запаздываниями были монографии Беллмана, Кука [12] и Пинни [45].

В СССР и в России дифференциальные уравнения с запаздываниями интенсивно исследовались. Выходили регулярные сборники работ семинара по уравнением с последействием [17] - [20], [27], [40], [41], [51], [57].

С 70 - х годов прошлого века появляются работы школы Н.В. Азбеле-ва, например, [1] - [9], [15], [28] - [33], [53], [54],[61]. Мы поясним некоторые идеи этой школы на примере дифференциального уравнения с запаздываниями (1), являющегося одним из основных объектов нашей работы.

Мы считаем, что в (1) т^ ^ 0 (0 ^ к ^ п). Традиционно для дифференциального уравнения (1) фиксируется начальная функция ip(t) : [—г, 0] —> М и предполагается, что решение x(t) удовлетворяет условию x{t) = <p(t), t^ 0. (12)

В школе Н.В. Азбелева происходит разделение условия (12) на начальную функцию x{t) = <p(t), t < 0. (13) и начальное условие

0) = so, (14) причем необязательно xq = <р(0) (хотя это и не исключается).

Задача (1), (13), (14) рассматривается в новой постановке. Вводится оператор внутренней суперпозиции (Shkx), связанный с функцией hk{t) = t — Тк следующим образом: x{t ~ ч), если t > Тк,

ЗД(«) =

О, если t ^ Тк.

Далее вводятся функции

40 =

0, если t > Тк,

16) p{t - тк), если t ^ тк.

Из (15), (16), (13) получаем при t ф Тк x(t-Tk) = (Shkx)(t) + ^hk(t),

17)

Поэтому задача (1), (13), (14) становится линейным неоднородным функционально - дифференциальным уравнением с начальным условием (14).

В левой части уравнения (18) к неизвестной функции x(t) применен линейный оператор. Таким образом, возникает возможность использовать методы функционального анализа и теории операторов к уравнениям с запаздываниями. Например, выводится формула, выявляющая структуру общего решения [9] задачи (18):

Здесь X{t) есть фундаментальное решение дифференциального уравнения (1), то есть решение, удовлетворяющее уравнению (1) с начальной функцией X(t) = (f{t) = 0 при t < 0 и начальным значением Х(0) = 1. п п

18)

19)

Настоящая диссертация не принадлежит напрямую к школе Н.В. Аз-белева. Наша задача исследования устойчивости уравнений с запаздываниями (1) - (3) эффективно решается традиционными методами исследования характеристических уравнений с применением принципа аргумента. Но мы включили в нашу работу параграф, связывающий программу dde23 в пакете MATLAB с идеями Пермского семинара.

Разнообразными уравнениями с запаздываниями занимался К. Гопал-сами, автор около 150 работ по этой тематике. В своей монографии [74] он получает необходимый и достаточный признаки устойчивости нулевого решения уравнения (1) для случая п = 1, достаточные признаки устойчивости нулевого решения уравнения (2).

Монография К. Гопал сами [74] по методам исследования однородна. Практически единственным методом установления устойчивости или неустойчивости уравнений в монографии является применение функций Ляпунова. В этом К. Гопалсами проявляет большую изобретательность.

Также К. Гопалсами получает несколько признаков глобальной устойчивости ненулевого стационарного решения уравнения y(t) = y(t)(b - alV(t) - a2y(t - n)), (20) которое заменой переменных может быть сведено к уравнению (10).

Кроме того, К. Гопалсами рассматривает неавтономные уравнения, например, уравнение x(t) = -p(t)x(t-r(t)). (21)

Для уравнения (21) он формулирует несколько достаточных признаков устойчивости.

Неавтономные уравнения рассмотрены также, например, в работах [8], [151, [29] - [33], [47], [59], [бб], [82], [93], [103] - [106]. Критерий асимптотической устойчивости уравнения x(t) = —ax(t) - bx(t - т) (22) повидимому, впервые был дан А.А. Андроновым и А.Г. Майером [10] в 1946 году. В статье [10] указано, что ее результаты были получены в 1939 году.

Более изощренное уравнение с переменными коэффициентами и запаздываниями x(t) = -a(t)x{t) - b(t)x(t - r(t)) (23) было предметом исследования многих авторов.

В работе [59] Т. Амемия указал, что асимптотическая устойчивость уравнения (23) обеспечивается при любых ограниченных запаздываниях, если устойчиво одно уравнение (тест-уравнение) такого же вида со специально выбранным запаздыванием. В.В. Малыгина [32] распространила этот метод на уравнение п x(t) = —ax(t) - - rk(t)). (24) k=1

В [32] даны достаточные условия асимптотической устойчивости уравнения (24), наложенные на числа аи, Ьш, где 6 = Ylk=i ^ь и = шах sup rk(t).

Йорке [106] исследовал уравнение (24) переменными запаздываниями в случае а = 0 и указал достаточное условие устойчивости для него: п

0 < max Timrk(t) У^ Ьк < 3/2. с=1

Позднее В.В.Малыгина [30] - [33], а также Н.В. Азбелев и В.В.Малыгина [8] дали далеко идущие обобщения результатов Йорке.

Результаты о поведении решений уравнения (24) получены также в работах [15], [104], [105].

З.И. Рехлицкий исследовал устойчивость системы x(t) = -Ax(t-r), (25) где x(t) : К+ —Rn; А - матрица, г - запаздывание г > 0. Он показал, что нулевое решение системы (25) асимптотически устойчиво если и только если все собственные числа матрицы А лежат в некоторой области комплексной плоскости, которую позднее назвали овалом Рехлицкого [70]. Через тридцать лет этот результат был переоткрыт в работах [68], [95].

В работе [88] даются два достаточных условия устойчивости уравнения x{t) = -p(t)x(t-r). (26)

Первое условие есть p(t) > 0, fj°p(t)dt = +оо, Hm f*Tp(s)ds < 7г/2; второе таково: p(t) > 0, /0°° p{t)dt = +оо, Hm J^rp(s)ds < 1.

Из работы [8] следует, что уравнение (26) устойчиво, если pit) > 0, J~p(t)cft = +оо, Ш $lTp(s)ds < 3/2.

ЮО

Еще одно достаточное условие устойчивости, данное В.В. Малыгиной

29], таково: p{t + г) = p(t), 0 < fjp(s)ds < тг/2.

Для более сложного чем (26) уравнения (21) в работе В.В. Малыгиной

30] дано достаточное условие устойчивости (очевидно, с неулучшаемой константой 7г/2): Hm f*r^p{s)ds < 7г/2.

Н.Н. Красовский [25] показал, что нулевое решение уравнения

Т1 x(t) = —ax(t) - Y, bkx{t - n). (27) k=l асимптотически устойчиво, если а > 0, && > 0 (1 ^ к ^ п), ^ < а

Из результатов Йорке [106] следует, что при а = 0 достаточным условием асимптотической устойчивости уравнения (27) является условие nZUbk < 3/2.

В работах [32], [93] В.В. Малыгина строит некоторую область DcK2, такую что принадлежность точки (аи, Ьси) области D является достаточным условием устойчивости для уравнения (27). Здесь b = Ylk=i ^ь ш = max Тк. Признак В.В. Малыгиной утонынает признак Йорке.

В цитируемых нами работах имеются многие результаты о значительно более сложных ФДУ, чем в данном обзоре. Мы здесь указываем только "проекции" этих результатов на уравнения, фигурирующие в данной диссертации или близкие к ним.

Актуальность темы диссертации Логистическое уравнение рассматривается в необозримом и неистощающемся массиве публикаций. Несколько меньший, но достаточно обширный к настоящему моменту объем публикаций посвящен логистическому уравнению с запаздываниями.

Приведем список работ некоторых авторов, результаты которых либо относятся к основным объектам исследования, либо имеют следствия, касающиеся устойчивости рассмотренных уравнений: [1] - [10], [12], [15], [21], [25], [28] - [33], [35], [45], [46] - [50], [55], [57] - [61], [74] - [79], [83], [87], [101] - [107].

Многие из этих работ посвящены сложным проблемам устойчивости, колебательности, особенностям асимптотического поведения в уравнениях, отягощенных переменными запаздываниями, сложными ядрами в интегральных компонентах и т.п.

Тем более актуальным является рассмотренный в диссертации вопрос о поведении простейших уравнений (1) - (3) . Полученные в работе точные оценки численных параметров, гарантирующие устойчивость уравнений, могут служить в дальнейшем ориентиром для более общих теорий.

Методы исследования Мы используем преобразование Лапласа для исследования устойчивости нулевых решений уравнений (1) - (3). Проблема устойчивости сводится к проблеме расположения корней характеристической функции. Для определения отсутствия у характеристической функции корней с неотрицательными действительными частями используется геометрическое истолкование теоремы о логарифмическом вычете, которое приводит к "принципу аргумента".

Полученные результаты подтверждаются с помощью численных экспериментов с годографами в математическом редакторе MATCAD и путем построения конкретных решений данных уравнений в математической среде MATLAB с помощью пакета dde23 [98], [99]. Научная новизна полученных результатов Одним из основных результатов диссертации являются достаточные условия устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения (1) с несколькими запаздываниями. Достаточные условия получены в виде ограничения на произведение е и среднего запаздывания. Эти результаты можно считать в некотором смысле окончательными, поскольку определена неулучшае-мая константа. Новизна заключается в том, что этот результат улучшает полученные ранее условия устойчивости К. Гопалсами [74] и обобщает известные результаты.

Для уравнения (1) получено еще одно достаточное условие устойчивости нулевого решения в виде выпуклости последовательности коэффициентов Этот результат является аналогом одного результата К. Гопалсами в теории интегродифференциальных уравнений.

Кроме того, показано, что никакое ограничение сверху величины произведения е и среднего запаздывания не является необходимым для устойчивости нулевого решения этого уравнения, что опровергает одно из утверждений К. Гопалсами.

Аналогичные результаты получены для интегродифференциального уравнения (2) с распределенным запаздыванием.

Еще один элемент новизны - это рассмотрение интегродифференциального уравнения (2) с таким специальным ядром а(т), при котором уравнение (2) принимает вид (3). Уравнение (3) естественно назвать уравнением с запаздывающим усреднением. Такая постановка задачи до сих пор не встречалась. Для этого уравнения получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения, которые носят окончательный характер.

Полученные результаты устойчивости для уравнение (3) точнее, чем те, которые могли быть выведены из более общих результатов работ А.Д. Мышкиса [35] и К. Гопалсами [74].

Краткое содержание диссертации Во введении дается описание предмета исследования, обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, делается обзор основных результатов, полученных другими авторами в данной области. Излагаются основные результаты диссертации и проводится анализ их новизны.

В первой главе диссертации изучено линейное уравнение с запаздывающим усреднением (3). В п. 1.1 дается постановка задачи о запаздывающем усреднении. Поставлена задача определить условия устойчивости нулевого решения x(t) = 0 уравнения (3). В п. 1.2 рассматриваются вопросы существования, единственности решения, уравнений (2), (3), даются определения устойчивости. В п.1.3 обосновано применение характеристического уравнения для исследования устойчивости уравнений (2), (3). В п.1.4 формулируется теорема 1.4.1 об условиях устойчивости нулевого решения уравнения (3), которая обобщает известные результаты об устойчивости. В п. 1.5 найденная область устойчивости уравнения (3) сравнивается с областью, гарантированной известной теоремой "о 3/2 - устойчивости" [35] и результатом К. Гопалсами [74]. В п.1.6 формулируется и доказывается лемма об элементарном неравенстве, которая используется при доказательстве теоремы 1.4.1. В п.1.7 приводится доказательство теоремы 1.4.1.

Во второй главе изучено уравнение (1) с несколькими дискретными запаздываниями. В п.2.1 рассмотрена постановка задачи о дискретных запаздываниях. Поставлена задача определить условия устойчивости нулевого решения x(t) = 0 уравнения (1). В п.2.2 обосновано применение характеристического уравнения для исследования устойчивости уравнения (1). В п.2.3 формулируется теорема 2.3.1 о достаточном признаке устойчивости уравнения (1). Кроме того, обсуждается отношение теоремы 2.3.1 с известными утверждениями К. Гопалсами (предложение 2.3.1 и предложение 2.3.2). Теорема 2.3.1 усиливает результат предложения 2.3.1 и предложения 2.3.2 о достаточном условии устойчивости. В п.2.4 формулируется и доказывается лемма об элементарном неравенстве, которая используется в доказательстве теоремы 2.3.1. В п.2.5 приводится доказательство теоремы 2.3.1. В п.2.6 рассмотрены примеры к теореме 2.3.1, приведены комментарии. В п.2.7 формулируется еще одно достаточное условие устойчивости нулевого решения уравнения (1) (теорема 2.7.1.1). Кроме того, в п. 2.7 мы цитируем доказательство необходимого признака устойчивости из монографии К. Гопалсами и указываем точно то место, в котором имеется ошибка в доказательстве. В п.2.8 мы экспериментируем с программой dde23 пакета MATLAB, решающей дифференциальные уравнения с запаздываниями. Мы проверяем, учитывает ли программа dde23 скачок от начальной функции к начальному значению, или, возможно, непрерывно стыкует решение с начальной функцией. Оказывается, скачок учитывается, и мы делаем вывод, что программа dde23 "понимает" (в рамках узкого круга задач, для которых она предназначена) идеи Пермского семинара. В п.2.9 проведены численные эксперименты по нахождению области устойчивости нулевого решения уравнения x(t) = -aox(t — tq) — aix(t — ti) (28) в плоскости параметров ао, а\ при фиксированных значениях запаздываний. Численные эксперименты проведены двумя способами: с годографами и с пакетом dde23 в среде MATLAB. В п.2.10 показывается, что уравнение (1) является линеаризацией вокруг стационарного решения y(t) = N не только уравнения (4), но и логистического уравнения с запаздываниями в воспроизводстве и в реакции окружающей среды тп 1 " п т yW = e^bky{t - вк){1 - ~ Ylak = = L k=0 k=0 &=0 k=0

29)

В третьей главе диссертации изучено интегродифференциальное уравнение (2) с распределенной памятью. В п.3.1 дается постановка задачи о распределенной памяти. В п.3.2 формулируется теорема 3.2.1 о достаточном признаке устойчивости нулевого решения уравнения (2). Далее обсуждается отношение теоремы 3.2.1 с утверждением К. Гопалсами (предложение 3.2.1). Теорема 3.2.1 усиливает результат предложения 3.2.1 о достаточном условии устойчивости при ограниченном последействии. В п.3.3 приводится доказательство теоремы 3.2.1. В п.3.4 формулируется и доказывается теорема 3.4.1, которая показывает, что никакое ограничение сверху величины е /0°° та (г) dr не является необходимым для устойчивости. В п.3.5 формулируется и доказывается теорема 3.5.1 о точности постоянной 7г/2 в теореме 3.2.1.

В четвертой главе диссертации рассматривается уравнение с дискретными запаздываниями (1), в котором последовательность весовых коэффициентов выпукла. В п.4.1 кратко дается постановка задачи о дискретных запаздываниях, рассмотренная в пункте 2.1. Рассматривается постановка задачи о выпуклости последовательности весовых коэффициентов. Поставлена цель найти аналог предложения К. Гопал сами для интегродифференциального уравнения в случае дискретных запаздываний. Такой аналог найден для более простого, чем уравнение (1), уравнения с равномерным распределением дискретных запаздываний

В п.4.2 рассматриваются свойства выпуклой последовательности весовых коэффициентов и доказательства этих свойств. В п.4.3 формулируется теорема 4.3.1 об устойчивости уравнения (30) с выпуклой последовательностью весовых коэффициентов. В п.4.4 формулируются и доказываются леммы, которые используются в доказательстве теоремы 4.3.1. В п.4.5 приводится доказательство теоремы 4.3.1. В п.4.6 рассмотрены примеры к теореме 4.3.1, приведены комментарии.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 12 Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самаре (2002 г.), на 10 Международной конференции "Математика, компьютер, образование" в Пущино (2003 г.), на 13 Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самаре (2003 г.), на Международной конференции "Physics and Control" в Санкт-Петербурге (2003 г.), на 12 Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" в Перми (2003 г.), на научном семинаре кафедры математического анализа ЧГПУ под рук. проф. М.М. Кипниса и доц. А.С. Макарова. п

30)

Заключение

В диссертации исследована устойчивость линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с запаздываниями, связанных с логистическим уравнением динамики популяции. В частности:

- Введено линейное уравнение с запаздывающим усреднением, получены необходимые и достаточные условия его асимптотической устойчивости в терминах ограничений на его коэффициенты и запаздывания.

- Найдены достаточные условия устойчивости линейного дифференциального уравнения с дискретными запаздываниями. Эти условия дают более широкую область устойчивости, чем известные ранее. Доказано, что фигурирующая в этих условиях постоянная - точная.

- Указаны достаточные условия асимптотической устойчивости для линейного интегродифференциального уравнения с распределенным запаздыванием с ограниченным последействием. Эти условия также дают более широкую область устойчивости, чем известные ранее. Доказано также, что фигурирующая в этих условиях постоянная - точная.

- Доказано, что выпуклость последовательности коэффициентов достаточна для устойчивости линейного дифференциального уравнения с равномерно распределенными дискретными запаздываниями.

Из результатов об устойчивости линейных уравнений выведены следствия о локальной устойчивости стационарных ненулевых решений логистических уравнений динамики популяции с запаздываниями:

- Выведено следствие об устойчивости логистических уравнений динамики популяции в виде ограничений на произведение скорости воспроизводства на среднее запаздывание

- Выведено следствие об устойчивости логистического уравнения динамики популяции с равномерно распределенными дискретными запаздываниями в случае выпуклости последовательности весовых коэффициентов, независимо от скорости воспроизводства.

1. Абдуллаев А. Р. Об устойчивости линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Краевые задачи: Меж-вуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь. 1987. С. 46-49.

2. Азбелев Н.В. О нулях решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Дифферент уравнения. 1971. Т. 7, № 7. С. 1147-1157.

3. Азбелев Н.В. О нелинейных функционально-дифференциальных уравнениях // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 11. С. 19231932.

4. Азбелев Н.В. Две гипотезы в теории линейных функционально-дифференциальных уравнений // Успехи мат наук. 1986. Т. 41, № 4. С. 210-211.

5. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактное функционально-дифференциальное уравнение / / Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1987. С. 3-11.

6. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и приложения. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

8. Азбелев Н.В., Малыгина В. В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Изв. Вузов. Математика. 1994. № 6. С. 20-27.

9. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001.

10. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // АиТ. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

11. И. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // В кн. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. С. 383-394.

12. Веллман Р., Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

13. Волков И.К., Крищенко А.П., Чеботарев А.Н. Режимы функционирования популяции с возможным неравновесным сохранением численности // АиТ. 1997. № 8. С. 156-167.

14. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

15. Гусарепко С.А., Домошницкий А.И. Об асимптотических и осцил-ляционных свойствах линейных скалярных функционально дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2090-2103.

16. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

17. Зверкин A.M. Применение теорем сравнения к исследованию устойчивости уравнений с запаздыванием // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1969. № 7. С. 3-16.

18. Зверкин A.M. К теории гомоморфизма, определяемого уравнением с отклоняющимся аргументом // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1972. JY& 8. С. 71-76.

19. Зверкина Т.С. К вопросу о выборе метода интегрирования уравнений с отклоняющимся аргументом // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1969. № 7. С. 75-81.

20. Каменский Г.А. О решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка неустойчивого типа с запаздывающим аргументом // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1963. № 2. С. 82-93.

21. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

22. Колмановский В.Б., Тихонов А.В. Об устойчивости по вероятности системы Лотки-Вольтерра // Дифф. уравнения. 1996. Т. 32 № 11. С. 1480-1487.

23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

24. Колосов Г.Е. Управление размером популяции, описываемой стохастической логистической моделью // АиТ. 1997. № 4. С. 192-203.

25. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

26. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

27. Логунов А.И. О сравнении решений уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1972. № 8. С. 109-114.

28. Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Линейное функционально-дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 12. С. 2231-2240.

29. Малыгина В. В. Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 25 авг. 1982 г., № 4701-82 ДЕП.

30. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1992. т. 28. № 10. С. 1716-1723.

31. Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости функционально дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной // Изв. вузов. Математика. 1992. № 7. С. 46-53.

32. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1993. № 5. С. 72-85.

33. Малыгина В. В. Об устойчивости асимптотических свойств решений уравнения с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1993. т. 29. № 8. С. 1324-1329.

34. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

35. Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

36. Нахушев А.В. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

37. Недорезов JI. В. Курс лекций по математической экологии. Новосибирск: Сибирский хронограф. 1997.

38. Неймарк Ю.И. D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем) // Прикл. мат. и мех. 1949. Т. 13. вып. 4. С. 349-380.

39. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

40. Носов В. Р. О существовании положительных решений для дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1972. JV2 8. С. 139-142.

41. Ожиганова И.А. Определение области асимптотической устойчивости для дифференциального уравнения 1-го порядка с отклоняющимся аргументом // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом / Ун-т дружбы народов им. П.Лумумбы. 1962. Т. 1. С. 52-62.

42. Перцев Н.В. Об одном классе интегродифференциальных уравнений в моделях динамики популяций // Матем. структуры и моде-лир. Омск, 1998. Вып. 1. С. 72-85.

43. Перцев Н.В. Об ограниченных решениях одного класса систем интегральных уравнений, возникающих в моделях биологических процессов // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 6. С. 831-836.

44. Перцев П.В. Исследование решений интегральной модели Лотки-Вольтерра // Сиб. журн. индустр. математики. 1999. Т 2. № 2(4). С. 153-167.

45. Пинни Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

46. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 29 -32.

47. Рехлицкий З.И. Признаки ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием аргумента // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118. № 3. С. 447-449.

48. Рехлицкий З.И. Признаки ограниченности решений дифференциальных уравнений с непрерывным запаздыванием аргумента в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. № 5. С. 971974.

49. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений периодических дифференциально разностных уравнений. Изв. АН СССР 1966 т. 30. № 5. С. 971-974.

50. Рехлицкий З.И. Признаки устойчивости решений линейных операторных уравнений с дискретными и непрерывными запаздываниями аргумента // ИАН СССР (матем.) 1970. № 34. т. 2. С. 458-471.

51. Рыбин П.П. О периодических решениях линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1969. № 7. С. 129-135.

52. Свирежев Ю.М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М., 1978.

53. Соколов В.А. Задача о допустимости пар пространств для функционально дифференциальных уравнений // Функционально-дифф. уравнения: Межвуз. сб. научн. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1984. С. 60-63.

54. Соколов В.А. Об устойчивости по правой части функционально -дифференциального уравнения // Краевые задачи: Межвуз. сб. научн. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1986. С. 17-19.

55. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

56. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонениями // Математика. Период. сб. перев. иностр. статей. 1961. Т. 5. № 6. С. 73-98.

57. Элъсгольц Л.Э. Некоторые проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Тр. сем. по теории дифф. уравнений с откл. аргументом. 1967. № 5. С. 239-241.

58. Элъсгольц Л.Э., Норкин С.В. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

59. Amemiya Т. On the delay-independent stability of a delayed differential equation of 1 st order // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. P. 13-25.

60. Baker C.T.H., Bocharov G.A., Rihan F.A. A report on the use of delay differential equations in numerical modelling in the biosciences. MCCM Technical Report. 1999. V. 343.

61. Berezansky L., Braverman E. On oscillation of a logistic equation with several delays 11 J. Comput. Appl. Math. 2000. V. 113. No. 1-2. P. 255265.

62. Bocharov G.A., Hadeler K.P. Structured population models, conservation laws and delay equations //J. Differential Equations. 2000. V. 168. P. 212-237.

63. Bocharov G.A., Rihan F.A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations //J. Comput. Appl. Math. 2000. V. 125. P. 183-199.

64. Braddock R.D., Van den Driessche. On a two lag delay differential equation. // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1983. V. 24. P. 292-317.

65. Brumley W.E. On the asymototic behavior of solutions of differential difference equations of neutral type. //J. Diff. Eqns. 1970. V. 7. P. 175-188.

66. Burton T.A., Haddock J.R. On the delay-differential equationsx(t) + a(t)f(x(t r(t))) = 0 and x(t) + a(t)f(x(t - r(t))) = 0 // J. Math. Anal. Appl. 1976. No 54. P. 37-48.

67. Busenburg S.N., Cooke K.L. Stability conditions for linear nonautonomous delay differential equations // Quart. Appl. Maths. 1984. V. 42. P. 295-306.

68. Bus/lowicz M. Simple stability criterion for a class of delay differential systems // Int. J. Systems Sci. 1987. V. 18. No. 5. P. 993-995.

69. Cushing J. M. Integrodifferential equations and delay models in population dynamics. Lect. Notes in Biomath. No. 20. Berlin. Springer Verlag, 1977.

70. Dodkin M.I. Asymptotic behavior for one class of forced delay differential equations // Functional differetial equations. 2002. V. 9. No. 3-4. P. 343-351.

71. Driver R.D., Sasser D. W., Slater M.L. The equationx = ax (t) + bx{t t) with small delay // Amer. Math. Monthly. 1973. V. 80. P. 990-995.

72. Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. Applied Math. Sciences, New York, Springer-Verlag. 1977.

73. Fisher M.E., Goh B.S. Stability results for delayed-recruitment models in population dynamics. // J. Math. Biol. 1984. V. 19. P. 147-156.

74. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Kluwer Academic Publishers, 1992.

75. Gopalsamy К., He Xue-Zhong Oscillations and convergence in an almost periodic competition system // Acta Appl. Math. 1997. V. 46. No. 3. P. 247-266.

76. Gopalsamy K., Liu. P. On a model of competition in periodic environments // Appl. Math. Comput. 1997. V. 82. No. 2-3. P. 207-238.

77. Gopalsamy K., Liu P. Dynamics of social populations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 1997. V. 30. No. 5. P. 2595-2604.

78. Gopalsamy K., Issic К. C. Leung, Liu P. Global Hopf-bifurcation in a neural netlet // Appl. Math. Comput. 1998. No. 94. P. 171-192.

79. Gopalsamy K., Liu P. Persistence and global stability in a population model // J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 224. No. 1. P. 59-80.

80. Gyori I. Some mathematical aspects of modeling cell population dynamics // Comput. Math. Appl. 1990. V. 20. No. 4-6. P. 127-138.

81. Gyori I. Global attractivity in delay differential equations using mixed monotone technique // J. Math. Anal. Appl. 1990. V. 152, No. 1. P. 131-155.

82. Haddock J.R. On the asymptotic behavior of solutions ofx(t) = -a{t)f(x{t-r{t))) // SIAM J. Math. Anal. 1974. No. 5. P. 569573.

83. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology // Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. V. 50. P. 221-246.

84. Jones G.S. On the nonlinear differential-difference equationf(x) = -/(ж1)(1 + /(ж)) // J. Math. Appl. 1962. No. 4. P. 440-469.

85. Kakutani S., Markus L. On the nonlinear difference-differential equation y'(t) = A — By{t — r)]y(t) // Contributions to the theory of nonlinear oscillations. 1958. V.4. Princeton Univ. Press. Princeton, N.Y. P. 1-18.

86. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. N.Y., Academic Press, 1986.

87. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. New York. Academic Press. 1993.

88. Ladas G., Sficas Y.G., Stavroulakis LP. Asymptotic behavior of solutions of retarded differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. V. 88. P. 247-253.

89. Lenhart S.M., Travis C.C. Global stability of a biological model with time delay // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V. 96 P. 75-78.

90. Liu P., Cui X. Hyperbolic logistic difference equation with infinitely many delays // Math. Comput. Simul. 2000. V. 52. P. 231-250.

91. Luo J. Oscillation and linearized oscillation of a logistic equation with several delays // Appl. Math. Comput. 2002. V. 131. No. 2-3. P. 469476.

92. MacDonald N. Time lags in biological models. Lecture Notes in Biomath. V. 27. New York. Soringer-Verlag. 1978.

93. Malygina V. On estimates of sign-definite solutions of linear equations with delay // Mem. Diff. Eq. Math. Phys. 2002. V. 26. P. 153-156.

94. Miller R.K. On Volterra's population equation // SIAM J. Appl. Math. 1966. V. 14. P. 446-452.

95. Mori TNoldus E. Stability criteria for linear differential difference systems // Int. J. Systems Sci. 1984. V. 15. No. 1. P. 87-94.

96. Murakami K. Asymptotic constansy for systems of delay differential equations // Nonlinear Anal. 1997. V. 30. No. 7. P. 4595-4606.

97. Seifert G. On a delay-differential equation for single specie population variations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 1987. V. 11. No. 9. P. 1051-1059.

98. Shampine L.F., Thompson S. Solving DDEs in MATLAB // Appl. Num. Math. 2001. V. 37. P. 441-458.

99. Shampine L.F., Thompson S., Kierzenka J. Solving delay differential equations with dde23 // (ftp: / / ftp.mathworks.com / pub/doc/papers/dde/).

100. So Joseph W.-H., Yu J.S., Global attractivity for a population model with time delay // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. No. 123. P. 2687-2694.

101. Wright E.M. A non-linear difference-differential equation // J. Reine Angew. Math. 1995. V. 194. P. 66-87.

102. Yamada Y. On certain class of semilinear Volterra diffusion equations // J. Math. Anal. Appl. 1982. V. 88. P. 433-451.

103. Yoneyama Т. On the stability for the delay differential equationx = —a(t)f(x(t r{t))) // J. Math. Anal. Appl. 1986. V. 120. P. 271-275.

104. Yoneyama T. Uniform stability for one dimensional delay-differential equations with dominant delyed term // Tohoku Math. J. 1989. V. 41. No. 2. P. 217-236.

105. Yoneyama Т., Sugie J. On the stability Region of scalar delay -differential equations // J. Math. Anal, and Appl. 1988. V. 134. No. 2. P. 408-425.

106. Yorke J.A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations // J. Diff. Eqns. 1970. No. 7. P. 189-202.

107. Zhang B.G., Gopalsamy K. Global attractivity in the delay logistic equation with variable parameters // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1990. V. 107. P. 579-590.

108. Вагина М.Ю., Кипнис M.M. Асимптотика решений логистического уравнения динамики популяций с запаздываниями // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 12 межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2002. С. 18-19.

109. Вагина М.Ю. Локальная устойчивость логистической модели динамики популяции с запаздываниями // Математика, компьютер, образование. Тез. докл. 10 межд. конф. Москва-Ижевск. 2003. С. 261.

110. Вагина М.Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением // АиТ. 2003. № 4. С. 167-173.

111. Вагина М.Ю. Устойчивость логистической модели динамики популяций с запаздыванием и усреднением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 13 межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2003. С. 22-25.

112. Вагина М.Ю., Кипнис М.М. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Мат. заметки. 2003. Т.74. № 5. С. 786-789.

113. Кипнис М.М., Вагина М.Ю. Устойчивость логистической модели популяций с запаздываниями в реакции окружающей среды // АиТ. 2004. № 5. С. 32-39.

114. Vagina M.Yu. Stability of the delay logistic equation of population dynamics. Proc. Int. Conf. Physics and Control. St. Petersburg: IEEE, 2003, pp. 317-319.

115. Vagina M. Yu. Linear stability of the delay logistic equation // Applied Math. Letters (в печати).