Квазистатическая теория резонансного рассеяния электромагнитных волн на незамкнутых анизотропно проводящих цилиндрических поверхностях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

У2 - 3

2864 - 6

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

УДК 621.396.67.01

КВАЗИСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОГО РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕЗАМКНУТЫХ АНИЗОТРОПНО ПРОВОДЯЩИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ

На правах рукописи

Малышкин Павел Александрович

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2002

Работа выполнена в Институте радиотехники и электроники РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Шатров А.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Кюркчан А.Г. доктор физико-математических наук профессор Шевченко В.В.

Ведущая организация:

НПО "Бега", г. Москва.

Защита состоится 22 октября 2002 года в 15® на заседании диссертационного совета К 212.156.04 в Московском физико-техническом институте (Государственном университете) по "адресу: 141700, г. Долгопрудный, Московской области, Институтский пер. д. 9, ауд. 204 Нового корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ). Автореферат разослан ^ сентября 2002 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.156.04 к.т.н. доцент

Куклев Л.П.

; Г ; Общая характеристика работы.

"Актуальность темы диссертации. Резонансные свойства электродинамических объектов широко используются в технике СВЧ, в связи с чем изучение новых, ранее не исследованных объектов является важной задачей.

Структуры в виде поверхностей с анизотропной проводимостью обладают рядом полезных электродинамических свойств. В частности, они могут проявлять резонансные свойства в области низких частот, когда их размеры малы по сравнению с длиной волны. Это позволяет создавать на их основе частотно-селективные решетки с эффектами полного отражения и прохождения в низкочастотной области.

Большое развитие в последнее время получило так же новое направление, которое заключается в создании и исследовании искусственных сред с заданной зависимостью материальных параметров от характеристик электромагнитного поля в сантиметровом и миллиметровом диапазоне волн. Так, например, свойство пространственной дисперсии (киральности) связано с особенностями симметрии элементов, из которых создана среда. Использование резонансных объектов с анизотропной проводимостью в качестве элементов искусственных сред открывает новые возможности, например, в создании искусственных киральных структур, тонких по сравнению с длиной волны.

Несмотря на разнообразие электродинамических свойств объектов с анизотропной проводимостью поверхности, их возможности остаются мало изученными. Известны исследования отдельных анизотропно проводящих элементов, периодических решеток из них и каскадов таких решеток. Таким образом, вопрос изучения электродинамических объектов с анизотропной проводимостью является актуальным.

Диссертация выполнялась в соответствии с планом научных работ ИРЭ РАН и проектами РФФИ.

Целью диссертационной работы является решение задач рассеяния плоской электромагнитной волны на новых цилиндрических объектах с анизотропной проводимостью поверхности. Поскольку данные объекты обладают ярко выраженными резонансными свойствами, необходимо определить резонансные частоты и исследовать условия, при которых возможно резонансное рассеяние. Работа направлена на получение аналитических выражений для характеристик рассеянного поля, которые допускают проверку на опыте и создают предпосылки для проведения эксперимента.

Метод исследования заключается в использовании граничных условий Владимирского для описания анизотропной проводимости поверхностей. В задачах рассеяния получены интегродифференциальные уравнения для поверхностных токов, которые решены в квазистатическом

приближении. Для уточнения амплитуд поверхностных токов в условиях резонанса использован вариационный принцип.

Научная новизна работы. Граничные условия Владимирского широко используются для описания взаимодействия электромагнитной волны с двумя простыми видами объектов, а именно анизотропно проводящей плоскостью и круговым цилиндром с винтовой проводимостью. В данной работе рассматриваются новые цилиндрические объекты, поперечные сечения которых представляют собой незамкнутые контуры. Такие объекты обладают также и принципиально новыми электродинамическими свойствами. Адекватность использования граничных условий Владимирского для описания таких структур ранее не проверялась. В работе впервые рассмотрены задачи дифракции плоской волны на ленте с анизотропной проводимостью поверхности и круговом цилиндре с узкой продольной щелью, поверхность которого обладает проводимостью вдоль винтовых линий. В квазистатическом приближении получены аналитические выражения для диаграмм направленности рассеянного поля, полного сечения рассеяния и радиолокационного поперечника рассеяния в зависимости от параметров задач.

Анализ полученных выражений показывает, что в низкочастотной области возможно возникновение резонансных явлений, которые проявляются в резком изменении характеристик рассеянного поля. Резонансные явления могут иметь различную природу. В случае рассеяния на ленте длина линий проводимости может быть сравнима с длиной падающей волны, в результате чего появляются условия для возникновения резонанса. Круговой цилиндр со щелью является аналогом резонатора Гельмгольца, свойства которого определяются размерами цилиндра и щели. Экспериментальные результаты, одновременно полученные в ИРЭ РАН, подтверждают правильность сделанных в работе теоретических выводов и соответствие используемой математической модели реальным физическим процессам. Таким образом, работа показала, что граничные условия Владимирского являются адекватными для применения в задачах, связанных с рассеянием на различных незамкнутых анизотропно проводящих объектах.

Цилиндр с узкой продольной щелью и винтовой проводимостью поверхности также впервые предложен и исследован в качестве замедляющей системы. В квазистатическом приближении получено дисперсионное уравнение для постоянных распространения собственных волн. Обнаружено, что система может поддерживать медленные и слабо вытекающие волны.

Основные результаты работы. Автором получены и выносятся на защиту:

• Теоретическое обоснование возможности низкочастотного резонанса при дифракции на анизотропно проводящих ленте и цилиндре с продольной щелью;

» Формулы, определяющие условия возникновения резонансов при рассеянии плоской волны на рассматриваемых объектах;

• Выражения для расчета полного сечения рассеяния в зависимости от параметров задач и формулы для расчета радиолокационного сечения рассеяния;

® Дисперсионное уравнение для волн, направляемых круглым анизотропно проводящим цилиндром с узкой продольной щелью.

Практическая значимость полученных результатов работы связана с возможностью использовать анизотропно проводящие объекты для создания решеток с частотной и поляризационной селективностью, антенн вытекающих волн, а также искусственных сред с заданными свойствами материальных параметров.

Достоверность научных выводов подтверждается результатами экспериментов по измерению радиолокационного сечения рассеяния, проведенных в ИРЭ РАН.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3-м и 4-м Международных симпозиумах "Physics and Engineering of Millimeter and Submillimeter Waves" (Харьков, 1998 и 2001), 8-й международной конференции по электродинамике сложных сред "Bianisotropics 2000" (Лиссабон, Португалия, 2000), Международной конференции 2000 "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory" (Харьков, 2000), 2-й Международной конференции "Modem Trends in Computational Physics (Дубна, 2000), XLIII научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2000), Second International Symposium of Trans Black Sea Region on Applied Electromagnetism, (Ксанти, Греция, 2000).

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы. Основные результаты работы изложены в выводах, которые находятся в конце каждой главы. Материал изложен на 102 страницах текста, включая 17 рисунков и библиографию из 94 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении рассмотрены цели работы и описаны методы ее достижения. Сделан краткий обзор работ по электродинамике анизотропно проводящих объектов и их применениям.

В первой главе рассматривается задача рассеяния плоской волны на ленте с анизотропной проводимостью (рис. 1). Лента расположена в плоскости х - 0, имеет ширину 2а и бесконечную протяженность по оси z . Единичный вектор г - {0,sin^,cos^} указывает направление, в котором

лента имеет идеальную проводимость. Падающая плоская волна распространяется в направлении, которое определяется углами в^,

Электрическое поле этой волны записывается в виде

£„ = « ехр[- 1кг со$[(р - (р,. ]- /Лг],

(1)

где = Л = , к

2л/А - волновое число в свободном

пространстве. Вектор п определяет поляризацию волны. Необходимо

определить характеристики рассеянного электромагнитного поля е\ н*. Это поле создается поверхностными токами, индуцированными на ленте полем £°, оно удовлетворяет уравнениям Максвелла и имеет на радиальной бесконечности характер расходящейся цилиндрической волны.

.г V

Рис. 1. Анизотропно проводящая лента.

На ленте полное поле £° + £,т, Н° + Я4 должно удовлетворять двухсторонним граничным условиям Владимирского, которые в системе координат (г,/") имеют вид:

е; = е;=о, е; = е;,я; = н;, (2)

Граничные условия (2) позволяют получить строгое интегродифференциальное уравнение для поверхностного тока /{£,), где у/а:

- — ¡и

--/V

¡0{4,?)/{?№ = (и-у)2 ехр(ж^), (3)

здесь

ка (И Л ка (17 , .

и=——-| -^ову/ч-! У = ~-1 —соэ^" — 1 , •м^-каь\т\(рй,

БИ11// V к

На краях ленты ток должен обращаться в нуль:

/(±0=0 (5)

Чтобы подчеркнуть зависимость плотности поверхностного тока от параметров задачи и, V, м, будем решение уравнения (3), удовлетворяющее условию (5), обозначить так же /(%,и,у,м>). Введем функцию как фурье-преобразование поверхностного тока:

I

и, V, (б)

-I

Диаграммы рассеяния компонент электромагнитного поля полностью определяются преобразованием (6). Оптическая теорема позволяет выразить через значение диаграммы рассеяния в направлении распространения падающей волны величину полного сечения рассеяния:

ка = — 1ш[и* /="(- м/, и, V, и>)]. (7)

И

Если ширина ленты значительно меньше длины волны (ка «1), то аргумент функции Ханкеля в (4) будет малой величиной. Поэтому вместо ядра (4) можно использовать его квазистатическое представление

во^ГЬ^ь'^"^. где у = 1,78... (8)

27с 2

Решая интегродиффереициаяьное уравнение (3) с ядром (8), для фурье-преобразования тока получим:

\ я (и-у)2пг 2 (и-н'Ду-м'ХДглу) X \д(и,у)р(н>,х)+ иг)р(и,*)+ф,и)р(1>,*)], (9)

где

6(И,У)=(и-УК(«)У0(У)+И:л(И)/1((10)

рМ=—[¿/„(4/, СО-^, ■ (п)

Выражение (9) для фурье-преобразования поверхностного тока содержит резонансный знаменатель ()(и, у) . При изменении частоты или угла падения плоской волны 0О этот знаменатель может принимать малые значения. При этом происходят резкие изменения характеристик рассеянного поля. В частности, может наблюдаться значительное увеличение полного сечения рассеяния.

В наиболее простом случае, когда плоская волна падает на ленту нормально (h = 0, л: = к, и = -v, w = 0), рассеянное поле не обладает угловой направленностью: Ф(ср) = const. Из (7) получаем формулу для полного сечения рассеяния:

ка=,_--.. (12)

J0(u)+iJt{u)\n

2

iyxa

4

Выражение (12) достигает максимальных значений, равных 4, при равенстве нулю действительной части выражения, стоящего под знаком модуля в знаменателе:

Jo(u)+aJ,(a)ln2H = 0. (13)

Уравнение (13) имеет много корней. Например, если цг = 0.16 , то низшему резонансу соответствует и = 0.8. Поперечник рассеяния в резонансе оказался порядка длины волны X, несмотря на то, что ширина ленгы 2а предполагалась малой по сравнению с Я. Если частота такова, что У, (и) - 0, то в рамках используемого приближенного метода расчета рассеяние отсутстйует.

Более сложные резонансные явления могут наблюдаться при наклонном падении плоской волны. Если частота и угол падения волны в{. таковы, что выполняются условия JQ (и) = ./0 (v) = 0, то Q(u, v) = 0 , и выражение (17) обращается в бесконечность. Это происходит, когда

ka = Vm + V"' sin yr, eos 6>0 = , Vm -, (14)

2 K.+vJcos^

где vm - нули функции Бесселя J0(v)\ v, =2,4..; v2 =5,52..; =8,65.. и

т.д.

Обращение F0 в бесконечность связано с использованием аппроксимации (8). Мнимая часть ядра G0, посредством которой учитывается излучаемая мощность, в квазистатическом приближении представляет собой константу. Такая аппроксимация не позволяет учесть излучение токов, если они обладают свойством

}/(&/£ = 0. (15)

-!

В этом случае необходимо использовать более точное приближение ядра G:

G = G0+G,, (16)

где О, представляет собой квадратичный член разложения функции Бесселя:

. (17)

Влияние малой добавки (17) на решение интегро-дифференциального уравнения оценено с помощью вариационного принципа. Используется однородный функционал, стационарный на решении уравнения (3) /,(£) = /(£,и,у,м>) и решении союзного ему

уравнения /2(^) = /{¿¡,-и

(» - V)2 )Л ($)ехр(и£)# |/2 (^)ехр(/Ч)^

= -~-~-—(18)

41 (Г)]Ш+ш/МШ'

-1-1

где штрих у функции означает дифференцирование. На решениях /, и /2(£) значение функционала имеет смысл фурье-преобразования поверхностного тока (6), для которого в результате можно получить конечное значение в резонансных точках (14):

= —-(19)

\ка) т

при этом рассеянное поле приобретает направленность:

Выражение для полного сечения рассеяния в условиях резонанса (14) имеет

вид:

ксг = ---эш2 <р0. (20)

|Й| «V

Так, например, для волны, которая распространяется вдоль оси у и у которой электрический вектор направлен по оси г, полное сечение рассеяния равно 4А/тг, что вдвое превосходит значение а в резонансе для случая нормального падения волны.

Задача об обратном рассеянии рассмотрена в случае, когда направление распространения падающей волны (1) составляет прямой угол

с осью г, а вектор параллелен оси г. В рассеянном поле г -компонента электрического вектора в дальней зоне имеет вид

Радиолокационное сечение рассеяния определяется формулой

аг{<Ро) = Л\<Ь{л + <Рь,(рй\2. (22)

Параметры s, и, v, w (8), в задаче нахождения радиолокационного сечения рассеяния принимают следующие значения: ,y = &asin<p, w = -/:asin(р0, и = -v = kalsmy . (24)

Поэтому для нахождения сечения обратного рассеяния можно использовать функцию f(w,u,-u,w), и для радиолокационного сечения рассеяния получается следующее выражение:

а, {(Ро) = ~~~~AFc (w> и>v'w)+ ^ (w>v' W)T > (23)

ол

где fc и fs соответственно четная и нечетная функции соответствующих аргументов:

г. t \ 2я- cos yntj, (и)

Fc (w, и-и, w) =--* .. , (25)

У0(м)+и./,(к)1п-

4

)w2

(26)

r. / \ 32л cos u/J\(v)v

\б1и0(иЩи)+1л(кау-и2Д{и) Из анализа (25), (26) следует, что при выполнении условий • 2 1 {kaf . ука

sm <ра =-, «-i/0 = —i——Ini—- (27)

2 2щ 4

обратного рассеяния нет: f°+fs= 0. Если (р^ = тг/4, то существует

частота, на которой а = 0, при этом диаграмма рассеяния описывается

функцией 1+

sin <р. На указанной частоте сечение обратного рассеяния

2

зависит от угла падения <р0 по закону cos 2<р0.

Во второй главе рассматривается задача дифракции плоских волн с круговой поляризацией на незамкнутой цилиндрической поверхности с винтовой проводимостью (рис. 2).

На поверхности цилиндра (г = а, \ср\<в<л) граничные условия Владимирского для полного поля принимают следующий вид:

е: = е; , е; = е; , (я; - я; )sin а+(я; - я; jcos« = о, (28) ег sin а + £р cosa = 0, (29)

где а - угол подъема винтовых линий проводимости, которые для определенности предполагаем правыми: 0 <а<л/2. Индексы "+" и соответствуют областям г > а и /• < а . Рассматривается случай, когда направление распространения падающей волны лежит в плоскости (х, у) и

составляет угол <pü с осью х. В этой волне z - компоненты электромагнитного поля выражаются формулами

Н° = ехр[- ikr cos(p - <р0)], Е° = ±/ ехр[- ikr cos{<р - <р0)]. (30) Верхний и нижний знаки относятся к задачам о правой и левой круговой поляризации.

Рис. 2. Анизотропно проводящий цилиндр с продольной щелью.

Из условий (28)~(29) получено строгое интегродифференциальное уравнение для плотности поверхностного тока:

]с{гр-(р')/{<р')с1<р' = р(<р), (31)

а<Р -в -в

Ядра уравнения выражаются через двумерную функцию Грина свободного пространства

г

<Р~<>

С{а,<р,а,<р') = ±н12) 4

2 ка

sin-

следующим образом:

D -

cos а ка

ö(a, <р, а, <р'),

(32)

(33)

С - Aar sin2 сЮ(а, <р, а, (р')+ka cos2 аС{а, <р, a, (p')cos((p~<p'), (34) Правая часть уравнения (31) определяется формулой

F(<p) - [/cos a cos(f - (рй )Т sin а]ехр[- ika cos(f - <ра)]. (35)

Решение f(<p) должно обращаться в нуль на краях щели: /(0)=/(-<?)=О. (36)

Условие ка«1 позволяет воспользоваться приближенным выражением для функции Грина (32):

2тг

\ 2 ) 2к „=1

СОБ

п{<р-<р')

Ядра (34) и (33) соответственно прямо и обратно пропорциональны частоте. Пренебрегая в уравнении (31) при ка «1 оператором С, получим

4,2 (38)

й(р1

соб а

При ка« 1 и V «1 достаточно оставить нулевую и первую гармоники в разложении функции Г(<р) в ряд Фурье:

Определим функции /,(©), /2 {(р) и /3 ((р) формулами

2<Р

С08 — - СОЭ — 2 2

+ СОБ

<Р

- 1п соб -

/2(<р) = СОЗ-

СОБ ---СОБ

.. 2

/з(^) = 5Ш~| СОБ'

9

■ СОБ

2бГ 1/2

2]

0)'/2

2

(39)

(40)

(41)

(42)

"— 2 \ 2

Функция /,(<р) описывает поверхностный ток в условиях известного низкочастотного резонанса в задаче рассеяния на полом круговом металлическом цилиндре с продольной щелыо для случая Я -поляризации. Частота этого резонанса определяется формулой

, я-в«\, (43)

ка =

21псоб

Задача рассеяния на металлическом цилиндре является частным случаем рассматриваемой задачи, когда а- 0.

Функции /т, (т~ 1,2,3), определенные согласно (40) - (42), удовлетворяют уравнениям

/2 в

с1(р

Щ<р-ср')

ГгУ) /зИ

с!<р'--

1

1

0039?

(44)

с ядром О0((р-<р'), определенным согласно (37), и условию обращения в нуль на краях щели. Из сравнения (38), (39) с (44) следует, что ток /((р) при ка«1 является линейной комбинацией функций /„,, (т- 1,2,3) с

коэффициентами, равными соответственно 2ка(ка + 2\>), 41касо$<ра, 4Лазт (р0.

В рассматриваемой задаче кроме параметра ка есть другие малые параметры V и я—0. Пренебрежение при ка« 1 ядром С в уравнении (31) становится неправомерным, если щель узкая [в —> яг). Действительно, если допустить, что нулевая гармоника тока превосходит остальные в 1 /(ка)2 раз (именно таким свойством обладает функция /¡(<р), когда величина 0 определена согласно (43)), то оба слагаемых в левой части уравнения (31) имеют один порядок. На некоторой частоте происходит их взаимная компенсация и становится возможным существование у соответствующего однородного уравнения нетривиального решения.

Определим резонансную частоту, предполагая, что угол подъема а мал, т.е. а - 0(ка) . В этом случае можно пренебречь первым слагаемым ядра С в (34). Ограничившись нулевой гармоникой — 1/4тг разложения для второго слагаемого ядра С, получим искомое уравнение для нахождения собственного тока и собственной частоты

= 0 • (45)-

¿у 4тг ^

Решением этого уравнения является функция /, (ср); при этом величина ка определяется формулой (43).

Разумеется, собственная частота должна быть комплексной, однако для нахождения ее мнимой части, характеризующей добротность колебания, требуются более точные расчеты. Предполагая параметры ка, а, п-в малыми, ищем решение уравнения (31) в виде

/(?)=л3/3 (<•/>). (46)

Коэффициенты Ат определим с помощью вариационного принципа. Функционал

О = 2 °\р{<р)/{(р)с1<р - )]с{<р - р')/(<р)/{<р')с1(рс1(р' +

-О -о-в

+ 11о(<р - <р')Г(<р)/'{<р')с1<рс!<р' (47)

-во

стационарен на решениях /(<р) задачи (31), (36) и принимает на этих решениях значение

«(/)= ]р(<р)/(<р)с!<р (48)

■ о

Ядро G0 (см. (37)) необходимо дополнить слагаемым

G, {<р - р') = ~{kaf [1 - cos(,p - <p'j\, (49)

которое позволяет более точно аппроксимировать мнимую часть функции Грина (32). Используя вариационный принцип, получаем систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов Ат,

в

приближенное решение которой при

1л eos-

»1 имеет вид:

_ 2ka{kaT2v)+4i(kaf eos ср0 - ,

Л2 = 4ika eos rp0, А3 = 4ikasin (р0.

А,=

где

S = l-i- l{kaj

\-i^{kaf-2v2 ln

iyka

ln eos

в

(50)

(51)

(52)

Зависимость амплитуды Ах от частоты имеет резонансный характер. Резонансная частота определяется из условия обращения в нуль вещественной части знаменателя (52). При малых углах подъема линий проводимости (у «1) резонансная частота близка к частоте собственных колебаний металлического цилиндра с узкой щелью (см. (43)). При этом резонансный знаменатель (52) можно записать в виде

5 = 1 + 2(kaf\\-i^\kaf + (2v)4 ln eos|.

(53)

В частном случае, когда параметры v и в связаны соотношением

(54)

i в 1

lncos—=---

2 8v

резонансная частота определяется формулой (43). В этом случае в условиях резонанса рассеянное поле обладает круговой диаграммой направленности.

Используя оптическую теорему можно приближенно рассчитать полное сечение рассеяния аг на резонансной частоте (43) для волн левой и правой круговой поляризации:

ка, =4[1+(кг)2соз>0], (55)

ка^Л(ка)\о%г(р0. (56)

Величины (55) и (56) значительно различаются, что позволяет использовать рассмотренный анизотропно проводящий цилиндр для создания электродинамических структур с киральными свойствами.

Для сечения радиолокационного рассеяния получено выражение:

Гг = л(ка)А

х = И2

2у

О 1 у

Йа1пС05 —+ СОЗ<9о151Л 2у-4у2 1псо5 — сое2 у +

в

5 + (ка)21п соб — - Ъка сое с

■2{каУ

СОБ %

БШ2 у

(57)

от угла у, причем

где у - угол между вектором электрического поля в падающей линейно поляризованной волне и осью г . Анализ этого выражения показывает, что

если выполнены условия (54), и 1п соэ-^»1, то при срй на

резонансной частоте (43) сечение радиолокационного рассеяния не зависит

X 2/г'

В третьей главе рассматриваются волноведущие свойства анизотропно проводящего цилиндра. Задача состоит в нахождении решений однородных уравнений Максвелла с зависимостью от координаты г в виде ехр(~/Уге). Поля направляемых волн должны удовлетворять условиям (28) - (29) и иметь на радиальной бесконечности характер цилиндрической волны с поперечным волновым числом к. Величины к и

И связаны соотношением И = \к2 -к2 , где к = 2яг/Я - волновое число в свободном пространстве. Таким образом, получаем спектральную задачу на собственные значения И и собственные функции, в качестве которых принимаются плотности поверхностных токов вдоль направления проводимости /(^)ехр(-гТгг), -в <<р <6. На кромках ленты ток должен обращаться в нуль (36). Получено следующее интегродифференциальное уравнение для поверхностного тока:

в

+ к2а2 ]Ъ(а, <р, а, (р')^^ - <р')/{<р')<1<р' = 0 ,

где

(58)

(59)

V = {И + к)аХ%а , /л = (И-к)а1%а . Спектральный параметр И сложным образом входит в уравнение (58), так как его ядро зависит от поперечного волнового числа к :

51П

<Р ~<Р

В квазистатическом приближении ядро (60) имеет вид

1 ГIука

1 1', +—1п

) 2ж 2

Во втором слагаемом уравнения (58) воспользуемся упрощением 1 (62) 4я

0{ср' - <р)со${(р' - ср)

состоящим в сохранении лишь нулевой гармоники в разложении ядра в ряд Фурье. Это позволяет правильно описать свойства квазистатической волны, у которой в разложении тока доминирует фурье-гармоника с индексом /и = 0. Тогда дисперсионное уравнение может быть получено в аналитической форме:

2 /? + 1п БИ1

е

Р_ХСОБ в)-Р„{СОБ в) ЛДсОБ в)-РДсОБ в) Р_ХСОБ в)+ Ру(СОБ в) Р {СОБ в)+ р (СОБ в)

+1-1=0 V ц

(63)

где Ру(со50) - функции Лежандра, ¡3 = 1п

г \ука\ 1 Л2 г

Как известно, резонансы при рассеянии на цилиндрических объектах возникают, если эти объекты поддерживают вытекающие волны, то есть комплексные волны, поперечные волновые числа которых к = к'+ ¡к" обладают свойствами:

0<к'<к, |лг"|«лг'. (64)

Предполагая, что выполнены условия (64), ка«], ' ®

1ПСОБ-

»1 и

Ща «1, из (63) получим:

1 + 2 (Ал)2 1п соб—4 (кг?)22 а 1п соз—1п|

¡ука

= 0

(65)

Уравнение (65) следует рассматривать в комплексной плоскости ка с разрезом, проведенным из точки ка = 0 по мнимой положительной полуоси. При этом следует выбрать ту ветвь многозначной функции

1п(лг

отрицательной полуоси.

Легко видеть, что при выполнении условия

которая принимает вещественные значения на мнимой

каА 21псоз

>1

(66)

уравнение (65) имеет корень, соответствующий медленной волне: Лек = 0, 1шаг<0.

Если выполнено более сильное условие

to J 2

In cos -

»1,

(67)

что соответствует очень узкой щели, то в уравнении (65) можно пренебречь первым слагаемым:

(kaf =2(ка)2 tg2а\п\

(/укаЛ

(68)

Это уравнение совпадает с известным уравнением для симметричной волны анизотропного цилиндра без щели при |из|«1. Если выполнено неравенство

ка.\2 In cos

в

<1,

(69)

2

то уравнение (65) имеет комплексный корень, соответствующий вытекающей волне. Представим этот комплексный корень в показательной форме

ка = рехр(;>) (70)

Приравнивая нулю мнимую часть уравнения (65), получим связь между модулем р и аргументом у/ искомого корня в виде

-ехр

я

ctg2^

(71)

Это уравнение описывает траекторию, по которой корень перемещается в комплексной плоскости ка при изменении частоты. Траектория касается вещественной оси в точке ка = 0, при этом

ка. 2 In cos

■Л

(72) квадрант

(73)

С уменьшением частоты траектория попадает в первый комплексной плоскости. На частоте, определяемой из уравнения

1 + 2(kaf In cos -2 tg2 «In ^pj = 0

имеем к' = к. Уравнения (72) и (73) задают границы полосы частот, где существует вытекающая волна. При изменении частоты угол между направлением высвечивания вытекающей волны и осью цилиндра изменяется от 0 (см. (72)) до тг/2 (см. (73)).

Нижняя частота отсечки вытекающей волны в отличие от верхней частоты зависит от угла подъема а. При малых углах подъема относительная ширина полосы мала:

Это свойство вытекающей волны можно использовать для частотного сканирования луча в антенных приложениях.

Во второй главе показано, что при нормальном падении плоской волны на анизотропно проводящий цилиндр с узкой продольной щелью на частоте, определяемой уравнением (73), имеет место резонанс. Таким образом, этот резонанс может быть объяснен свойствами волн, направляемых цилиндром.

Известно, что в области (66) у аналогичного металлического цилиндра существует квазистатическая щелевая волна, которая на частоте (43) высвечивается под прямым углом к оси цилиндра. Медленных волн в металлическом цилиндре нет. Таким образом, свойства анизотропно проводящего и металлического цилиндров значительно различаются.

В ИРЭ РАН проводились измерения обратного сечения рассеяния от ленты с анизотропной проводимостью и анизотропно проводящего цилиндра с узкой продольной щелью на специально изготовленных макетах.

0/А.Дб - от/А, Дб

Рис. 3. Зависимость нормированного сечения рассеяния анизотропно проводящей ленты от частоты при различных значениях угла падения плоской волны <р0 (слева - теория, справа -

эксперимент, проведенный в ИРЭ РАН). Кривые 1-4 соответствуют <р0 - 0°,30е,45°,90° .

Результаты эксперимента хорошо согласуются с выводами теории (см. рис. 3 для случая ленты) за исключением высокочастотной части диапазона, где развитая квазистатическая теория становится неприменимой. Таким образом, модель незамкнутых анизотропно проводящих цилиндрических поверхностей и использованный метод решения правильно передают основные черты резонансных явлений, наблюдаемых при рассеянии на реальных физических объектах.

-40

8 10 12 14 /,Ггц

8 10 12 14 /,Ггц

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Малышкин П. А., Шатров А. Д. Резонансное рассеяние электромагнитных волн на узкой анизотропно проводящей ленте// Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 7. С. 800-805.

2. Аплеталин В.Н., Малышкин П.А., Солосин B.C., Шатров А.Д. Резонансное поведение сечения обратного рассеяния узкой анизотропно проводящей ленты // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45. № 12. С. 1426-1430.

3. Аплеталин В.Н„ Малышкин П.А., Солосин B.C., Шатров А.Д. Рассеяние на тонком анизотропно проводящем киральном цилиндре с узкой продольной щелью // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 1. С. 33-42.

4. Shatrov A.D., Malyshkin Р.А. Resonance Effects in Electromagnetic Wave Diffraction by a thin strip with anisotropic conductivity in: Third International Kharkov Symposium "Physics and Engineering of Millimeter and Submillimeter Waves" (Kharkov, 15-17 September, 1998). P. 370-372.

5. Apletalin V.N., Malyshkin P.A., Solosin V.S., Shatrov A.D. Resonance Effects in EM Wave Backscattering from a Narrow Anisotropically Conductive Strip in: Proceedings of the Second International Symposium of Trans Black Sea Region on Applied Electromagnetism, (Xanthi, 27-29 June, 2000). P. 72.

6. Malyshkin P.A., Shatrov A.D. Chiral Low Frequency Resonance on an Anisotropically Conductive Cylinder with a Thin Longitudinal Slot in: Second International Conference "Modern Methods in Computational Physics" (Dubna, 24-29 July, 2000). P. 113.

7. Malyshkin. P.A., Shatrov A.D. Chiral Low Frequency Resonance on an Anisotropically Conductive Cylinder with a Thin Longitudinal Slot in: Proc. of 2000 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Kharkov, 12-15 September, 2000). P. 538-540.

8. Malyshkin P.A., Shatrov A.D. Chiral Low Frequency Resonance on an Anisotropically Conductive Cylinder with a Thin Longitudinal Slot in: Proc. of 8th International Conference on Electromagnetics of Complex Media (Lisbon, 27-29 September, 2000). P. 229-232.

9. Apletalin V.N., Malyshkin P.A., Shatrov, A.D., Solosin, V.S. Back-Scattering from a Chiral Anisotropic Cylinder with a Longitudinal Slot in: The Fourth International Kharkov Symposium on Physics and Engineering of Millimeter and Sub-Millimeter Waves (Kharkov, 4-9 June, 2001). P. 667 - 669.

Формат 60х84'/1б. Бумага офсетная 80г. Печать офсетная. Уч.-изд.л. 1,0. Усл.печ.л. 1,5. Тираж 70 экз. Заказ № 0867 Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО "Ториус" 124536 г. Москва, Зеленоград, МЖК 528 офис 12

Введение.

Глава 1. Резонансное рассеяние электромагнитных волн на узкой анизотропно проводящей ленте.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Интегродифференциальное уравнение для плотности поверхностного тока.

1.3. Поле в дальней зоне.

1.4. Полное сечение рассеяния.

1.5. Аналитическое решение для узкой ленты.

1.6. Резонансы.

1.7. Сечение обратного рассеяния ленты.

Выводы.

Глава 2. Низкочастотный киральный резонанс анизотропно проводящего цилиндра с узкой продольной щелью.

2.1 Постановка задачи.

2.2. Поле поверхностных винтовых токов.

2.3. Интегродифференциальное уравнение для плотности поверхностного тока.

2.4. Предельный вид токов при ка—> 0.

2.5. Низкочастотный резонанс.

2.6. Квазистатическое решение задачи дифракции.

2.7. Сечение обратного рассеяния цилиндра.

Выводы.

Глава 3. Волны, направляемые анизотропно проводящим цилиндром с продольной щелью.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Интегродифференциальное уравнение для собственного тока.

3.3. Аналитическое решение в случае малых углов подъема и узкой щели.

Выводы.

Предмет исследований.

В настоящей работе исследуются двумерные незамкнутые рассеиватели резонансного типа, поперечные размеры которых малы по сравнению с длиной волны. Такими рассеивателям являются лента с анизотропной проводимостью и круговой цилиндр с узкой продольной щелью с анизотропной проводимостью вдоль винтовых линий.

Интерес к подобным рассеивателям возникает в связи с тем, что они могут применяться для создания электромагнитных структур (например, периодических решеток, каскадов решеток) с новыми электродинамическими свойствами, которые не наблюдаются при использовании металлических рассеивателей.

Так, решетка из анизотропно проводящих лент, период которой много меньше длины волны, обладает сильной частотной селективностью: в такой решетке имеют место эффекты полного внутреннего отражения и прохождения. Решетки из обыкновенных металлических лент таким свойством не обладают. В тонком металлическом цилиндре с узкой продольной щелью существует низкочастотный резонанс. В таком же цилиндре с анизотропной проводимостью вдоль винтовых линий этот резонанс приобретает свойство киральности, в связи с чем решетки из таких рассеивателей обладают селективностью по отношению к знаку вращения круговой поляризации.

Кроме того, известно, что если цилиндрический рассеиватель проявляет резонансные свойства, то эти резонансы связаны с вытекающими волнами, что дает возможность использовать такие объекты в антенных приложениях.

Математический аппарат решения рассматриваемых задач дифракции.

Методология решения задач дифракции на объектах с анизотропной проводимостью поверхности состоит в использовании приближенных граничных условий, метода интегральных уравнений и вариационного аппарата.

Приближенные граничные условия не учитывают локальную структуру поля на границе раздела двух сред. Возможность использования таких усредненных условий возникает тогда, когда размеры области, в которой происходят значительные изменения электромагнитного поля, много меньше всех линейных размеров, участвующих в задаче, а именно длины волны, радиуса кривизны поверхности, радиуса кривизны фронта падающей волны, расстояния, на котором свойства среды заметно меняются, и т.д.

Примером усредненных граничных условий являются условия Леонтовича в теории скин-эффекта [1] для случая падения волны на металлическую поверхность. Амплитуда волны в металле спадает экспоненциально. Величина, которая характеризует скорость убывания амплитуды, называется толщиной скин-слоя. Внутри скин-слоя существует соотношение между тангенциальными компонентами полей Ё и Й :

Ех = wHy, Еу = -wHx

0) где w = У///£ - волновое сопротивление металла, ось z направлена в металл. Это соотношение справедливо и на самой границе раздела, а так же на внешней границе раздела, поскольку компоненты поля в (1) непрерывны при переходе через эту границу. В случае идеальной проводимости металла s является бесконечно большой мнимой величиной, в результате чего w = О, и электрическое поле на поверхности равно нулю.

Формула (1) является примером гшпедансных граничных условий [2], связывающих компоненты электромагнитного поля на границе раздела двух сред. Аналогичные условия можно записать и для тонкого диэлектрического слоя на поверхности металла.

Поверхностный импеданс скин-слоя и диэлектрического слоя на поверхности металла является изотропным: для двух возможных направлений поляризации он отличается только знаком. Существует также класс поверхностей, для которых импедансные граничные условия различны в разных тангенциальных направлениях. Примером такой поверхности является периодическая металлическая гребенчатая структура (гофра), канавки которой заполнены материалом с большой диэлектрической проницаемостью. Если период структуры много меньше длины волны, то можно пользоваться усредненными значениями для компонент электромагнитного поля, при этом

Еу=0, Ех= wHу (2) где ось у направлена вдоль гофры. Если канавки имеют четвертьволновую глубину [3], то

Еу = Ну= 0. (3)

Граничные условия, в которых проводимость в различных направлениях характеризуется разными значениями w, называются анизотропными импедансными условиями. Так, например, условия (2) означают, что в направлении у поверхность имеет идеальную, а в направлении х - конечную электрическую проводимость. Выражение (3) является так же условием идеальной магнитной проводимости в заданном направлении. Оно называется условием смешанной анизотропной проводимости (электрической и магнитной). Условия (1), (2) и (3) являются односторонними и позволяют независимо рассматривать поле по обе стороны границы раздела.

Усредненные граничные условия для частопериодической решетки идеально проводящих проводов, впервые предложенные Владимирским, можно записать в виде

Е+у= 0, Е-у = 0, Е+х = Е-х, Нх = я;, (4) где ось у направлена вдоль проводов решетки. Индексы "+" и "-" относятся к разным сторонам решетки. Условия (4) означают, что в плоскости решетки токи в направлении х не текут. Такие условия принято называть условиями анизотропной проводимости. Первые два уравнения в (4) имеют вид импедансных граничных условий, аналогичных (1) для случая идеальной проводимости металла, а третье и четвертое условия связывают между собой тангенциальные компоненты полей по разные стороны решетки. Таким образом, граничные условия Владимирского требуют совместно рассматривать поле по разные стороны границы раздела.

В настоящей работе исследуются цилиндрические объекты, поверхность которых представляет собой частопериодическую решетку металлических лент с коэффициентом заполнения, близким к 1/2. Для описания поля на таких поверхностях используются граничные условия Владимирского (4). Эти условия означают, что рассеянное поле создается только электрическими токами, и, следовательно, его компоненты можно выразить, пользуясь только электрическим вектором Герца:

Es =ne+-Vgrad divfl', Hs =-гоШ% (5) к к

Задачи являются двумерными, то есть зависимость полей от координаты z задана множителем exp(-ihz), и электрический вектор Герца удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца:

ДП(е) + к2П(е) = ikj{e), к = 4кг-Н2 . (6)

Компоненты вектора Герца можно выразить через интегралы от поверхностных токов, после чего граничное условие (4) позволяет получить интегродифференциальное уравнение с ядром в виде двумерной функции Грина свободного пространства:

G(r, ср, г \ <р') \cJr2+r'2-2rr'cos(<p-<p')} (7)

Поскольку поверхности рассматриваемых объектов являются незамкнутыми, полученное уравнение следует дополнить условием обращения в нуль токов на краях этих поверхностей.

Интегродифференциальное уравнение можно решать, используя квазистатическое приближение для функции Грина (7). Однако в некоторых резонансных точках такой метод не позволяет правильно определить амплитуды поверхностных токов, поскольку в квазистатическом приближении мнимая часть функции Грина, посредством которой учитывается мощность, излучаемая поверхностными токами, представляет собой константу. Для того, чтобы правильно учесть рассеянную мощность, следует использовать более точное приближение для функции Грина (7), которое учитывает следующий член разложения ее мнимой части в ряд по степеням малого параметра. Влияние этой малой добавки на решение уравнения можно учесть при помощи вариационного аппарата. Метод состоит в нахождении функционалов от поверхностного тока, стационарных на решениях исходного уравнения, то есть таких функционалов, значения которых не зависят в первом приближении от отклонений поверхностного тока от точных решений интегродифференциального уравнения. Для оценки значений функционала используются пробные функции, полученные в квазистатическом приближении, и уточненное выражение для функции Грина, что позволяет получить правильные выражения для амплитуд поверхностных токов и рассеянной мощности в общем случае.

Обзор близких по тематике работ.

Анизотропно проводящие поверхности широко используются на практике для создания антенн, волноводов и замедляющих структур. Так, например, гофрирование стенок волновода в некоторых случаях позволяет снять нежелательное вырождение системы собственных волн, в частности, в круглом волноводе [4]. Замедление волн гофрированной поверхностью применяется в электронике для достижения взаимодействия с электронным потоком. Применяется также гофрирование стенок рупорной антенны [5], [6], [7]. Одним из полезных свойств импедансных покрытий, реализованных на основе гребенчатых структур, является трансформация пространственного поля в поверхностные волны [8].

Широкое применение на практике имеет микрополосковая антенна (см. [9], [10]), граничные условия на поверхности которой описываются условиями (2). Она состоит из набора металлических лент, нанесенных на диэлектрическую плату, которая, в свою очередь, располагается на металлическом экране. Большое значение микрополосковые антенны имеют для создания фазированных антенных решеток, то есть антенн с электронным управлением диаграммой направленности [11]. Существуют варианты многослойных антенн. Микрополосковые структуры используются так же для создания частотно-селектвных устройств (фильтров, амплитудных и фазовых корректоров).

Различные виды решеток из металлических лент широко применяются в микроволновой технике и к настоящему времени подробно исследованы (см., например, [12]). Как известно, представление о том, что формулы (4) описывают решетки из проводящих лент, требует уточнений, поскольку эти формулы не учитывают влияния формы проводников и коэффициента заполнения на структуру поля в примыкающей к решетке области, размеры которой малы по сравнению с длиной волны. Учет этих факторов позволяет более точно моделировать поверхности с анизотропной проводимостью. В [13] и [14] приведены значения оптимальных коэффициентов заполнения решетки соответственно для случаев ленточных и круглых проводников. Они обеспечивают одновременно малость отражения волны, электрический вектор которой перпендикулярен к проводам решетки, и прохождения волны, электрический вектор которой им параллелен. Кроме этого, подбором коэффициента заполнения можно совместить эквивалентную плоскость отражения с плоскостью симметрии решетки. Для проводников круглого сечения вычисление такого коэффициента заполнения проведено в [15], [16]. В [17] исследованы решетки из симметричных двойных лент и определены оптимальные параметры для выполнения условий (4). Рассмотрены также задачи дифракции и рассчитаны коэффициенты прохождения плоских волн для решеток из толстых лент [18], наклонных лент [19] и др. Обзор работ, связанных с реализацией импедансных поверхностей и изучением границ применимости условий (2), (3) сделан в [20].

Теоретическое и экспериментальное исследование фазовых характеристик толстых проводящих решеток проведено в [21], исследована зависимость фазы коэффициента отражения от частоты и угла падения. Показано, что в зависимости от сечения проводников можно подобрать периодичность решетки таким образом, что фазы коэффициентов прохождения и отражения остаются постоянными в широком диапазоне частот. Угловая зависимость коэффициентов прохождения и отражения в этом диапазоне частот так же исчезает.

В [22] рассмотрена задача дифракции волны на полуплоскости с анизотропным импедансом поверхности. Предполагается, что полуплоскость является идеально проводящей в одном направлении и имеет конечную проводимость в перпендикулярном направлении. При нормальном падении анизотропия не влияет на рассеяние и решение не отличается от решения для задачи дифракции на металлической полуплоскости [23], но для случая произвольного угла падения волны возможно изменение поляризации в рассеянном поле. В [24] задача дифракции на анизотропно проводящей полуплоскости обобщена на случай произвольного выбора направлений анизотропной проводимости и наклонного падения плоской волны.

Большое количество работ посвящено задаче дифракции волн на клине, на гранях которого выполняются условия анизотропного поверхностного импеданса (см., например, [25], [26], [27]).

В [28] численно исследованы волноведущие свойства цилиндра, направление анизотропной проводимости которого параллельно его оси. В [29], [30] исследована задача дифракции на цилиндре с гофрированной поверхностью, на которой выполняются условия анизотропного импеданса (2): рассмотрены случаи, когда направление гофры параллельно и перпендикулярно оси цилиндра. В [31] рассмотрена задача возбуждения кругового цилиндра с анизотропным импедансом продольным электрическим диполем.

Широкий круг задач возникает при рассмотрении электродинамических свойств поверхностей, на которых линии проводимости не могут быть совмещены со своими зеркальными отражениями (свойство киральности). При этом соответствующие тела по-разному взаимодействуют с волнами левой и правой круговой поляризации, что дает возможность использовать тела с анизотропной проводимостью поверхности для создания сред с пространственной дисперсией (киральных сред) [32], [33]. Искусственные электромагнитные среды образуются из киральных элементов, размеры которых много меньше длины волны. Такая среда может представлять собой либо упорядоченную структуру в виде пространственной решетки, либо хаотическую смесь киральных элементов с диэлектриком. В оптике с пространственной дисперсией связано явление, которое называется оптической активностью. Оптическая активность в естественных средах не нашла широкого применения из-за малости эффекта, что связано с малостью размеров молекул по сравнению с длиной оптической волны. Размеры молекул органических веществ значительно больше, но полимеры слабо прозрачны для оптических волн. Возможности искусственных киральных сред в сантиметровом и миллиметровом диапазоне волн значительно шире, поскольку искусственные элементы могут обладать сложной структурой и поддерживать низкочастотные резонансы токов. В этом случае киральность уже не является малой поправкой, и свойства киральной среды могут значительно отличаться от свойств некиральной среды не только за счет накопления малого эффекта, как в явлении оптической активности. Поэтому искусственные киральные среды могут быть не только "трехмерными", но и тонкими по сравнению с длиной волны.

Развитие электродинамики киральных объектов и сред проводится очень активно. В настоящее время существуют два основных направления исследований в области электромагнитной киральности: исследования киральных свойств объектов как элементов искусственных структурных сред и решение задач о поведении электромагнитных полей и волн в киральных и более общих (биизотропных, бианизотропных) средах в предположении, что материальные уравнения для них известны. Основные положения и теоремы электродинамики киральных сред, включая уравнения Максвелла, принцип Гюйгенса, теорема взаимности, и т.д., сформулированы как обобщение известных положений теории некиральных сред [34], однако их применение в конкретных задачах при исследовании объектов и технических устройств еще не освоено.

Макроскопическая теория, приводящая к материальным уравнениям киральной среды в оптике, полностью разработана (см., например, [35]). В радиодиапазоне эта задача формулируется несколько иначе, она состоит в вычислении коэффициентов поляризуемости малых тел сложной структуры, то есть в решении задач дифракции [36]. Эти задачи решены лишь для нескольких киральных элементов: для маленьких металлических спиралей [37], [38], разомкнутых колечек с выступающими концами [39] (омега-среды), сфер с винтовой электрической проводимостью [40], [41]. В качестве кирального элемента также упоминается лента Мебиуса [42].

Наиболее интересная особенность омега-сред состоит в том, что в них волновые сопротивления плоских волн могут отличаться при распространении в различных направлениях. На этой основе оказывается возможным подбор параметров слоя такой среды, обеспечивающий согласование границы слоя с окружающим пространством при нормальном падении поля, и, как следствие, создание поглотителей энергии падающей электромагнитной волны [43].

В работе [44] исследована задача возбуждения магнитодиэлектрического шара с электрической проводимостью поверхности вдоль линий спирального типа в случае, когда диполь помещен на оси симметрии и ориентирован вдоль нее. Обнаружены низкочастотные резонансы и определены параметры шара, при котором излучаемое поле имеет круговую поляризацию. В [45], [46] исследованы сферические частицы с идеальной смешанной проводимостью вдоль винтовых линий. Показано, что такие частицы могут использоваться в качестве элементов для создания биизотропной среды.

Решетки, состоящие из длинных тонких киральных цилиндров, описаны в [47]. В обзоре [48], изложены результаты исследований киральных объектов в виде круговых цилиндров с анизотропной проводимостью малого по сравнению с длиной волны радиуса, решеток из них и каскадов таких решеток. Рассматриваются цилиндры, обладающие электрической и магнитной проводимостью вдоль винтовых линий, и цилиндры только с электрической проводимостью вдоль тех же линий. В этих структурах обнаружены сильные поляризационно-селективные явления, обуславливающие их фильтрующие и гиротропные свойства. Показано, что киральные эффекты могут проявляться в таких структурах, даже если их размеры малы по сравнению с длиной волны.

В работе [49] приведены результаты исследования волн, направляемых цилиндром со смешанной проводимостью вдоль винтовых линий, а в [50], [51] исследованы задачи дифракции плоской волны на таком цилиндре. Задача о нормальном падении плоской волны на решетку из цилиндров со смешанной проводимостью вдоль винтовых линий рассмотрена в [52], Показано, что такая решетка может являться эффективным поляризационным фильтром, поскольку резонансные явления проявляются только для волны одного из направлений круговой поляризации. Резонанс проявляется как в полном прохождении, так и в полном отражении от решетки. Волна противоположного направления вращения поляризации имеет почти полное прохождение во всем диапазоне частот.

В большей части работ по теории винтовых анизотропно проводящих поверхностей используют формулы (4), поскольку уточненные граничные условия приводят к сложным выкладкам. Модель в виде цилиндра с электрической проводимостью вдоль винтовых линий хорошо описывает диэлектрические стержни с однозаходной либо многозаходной проволочной намоткой (винтовые спирали), если расстояние между осями соседних проводников много меньше длины волны, а величины зазоров лежат в определенном интервале. Проводники предполагаются тонкими по сравнению с радиусом цилиндра. Адекватность модели анизотропной проводимости поверхности реальным проволочным объектам подробно обоснована и подтверждена экспериментально в [53] и следует, в частности, из теоретических результатов работы [54].

Цилиндрические проволочные объекты используются в качестве замедляющих структур [55] и в качестве антенн вытекающих волн [56], [57]. Известны исследования замедления волн на полой винтовой спирали [58] и винтовой спирали с магнитодиэлектрическим заполнением [59]. Обнаружено, что направляемые ими круго-поляризованные волны противоположных знаков вращения поляризации принципиально различны. В отличие от волноводов, заполненных киральной средой, в винтовых спиралях это различие обязано проводимости поверхности. В [60] предложен метод исследования киральных волноводов, который пригоден для исследования винтовых спиралей, проводники которой являются толстыми, а также для круглых металлических волноводов с гофрированными стенками вдоль винтовых линий. Медленные волны в волноводах с винтовой проводимостью поверхности широко используются для осуществления взаимодействия с электронным пучком, например, в лампах бегущей волны [61].

Рассеяние волн одиночным круговым цилиндром, образованным анизотропной поверхностью, идеально проводящей вдоль винтовых линий, впервые было исследовано численно в [62]. В работах [63], [64] эта задача была исследована аналитически. В [65], [66] рассмотрена аналогичная задача для цилиндра с магнитодиэлектрическим заполнением. Определены резонансы такого стержня и изучено влияние диэлектрических потерь и поляризации источника излучения на величины поглощения и рассеяния. Обнаружено, что при низких частотах (ка« l) имеют место резонансные явления, которые проявляют себя, в частности, в резком увеличении поперечника рассеяния, о которых докладывалось в [67]. Показано, что эти резонансы связаны с наличием слабо вытекающих волн в винтовой спирали [58]. Особенностью рассматриваемых объектов является то, что эти резонансы возникают только при определенном знаке вращения плоскости поляризации падающей волны. Описанные низкочастотные резонансы отличаются от известного резонанса Гельмгольца (см., например, [68]) необычной структурой поля и высокой добротностью. В [69] описана антенна, созданная на основе решетки из цилиндров с двузаходной намоткой, с углом подъема винтовых линий равным

4°.

Сложные поляризационные явления могут возникать в решетках из полых цилиндров с анизотропной проводимостью поверхности, в результате чего они могут служить в качестве преобразователей поляризации различных типов. Математический аппарат расчета таких решеток изложен в [70], [71]. Подробно решение задачи о нормальном падении плоской волны на решетку изложено в [72]. При определенных параметрах решетки прошедшее и отраженное поля имеют круговую поляризацию и сохраняют направление вращения падающей волны, при этом подбором параметров можно достичь полного отражения волны одной поляризации и частичного прохождения волны противоположной поляризации [73].

Параметры решетки можно подобрать так, что при падении на решетку линейно поляризованной волны образуется пара круго-поляризованных волн, причем прошедшее и отраженное поля имеют противоположные направления вращения поляризации [74]. Возможно также преобразование круго-поляризованных волн в линейно-поляризованные [75], [76], [77], причем плоскости поляризации в прошедшей и отраженной волне перпендикулярны друг другу. Для таких решеток прошедшее и отраженное поля остаются почти линейно поляризованными в широкой полосе частот. Прошедшая и отраженная мощности для обоих направлений круговой поляризации слабо меняются с частотой и примерно равны друг другу.

В [78] исследовано возбуждение решетки линейно поляризованными волнами, у которых направление плоскости поляризации составляет ±45° с осями цилиндров. Определен класс решеток, для которого прошедшее и отраженное поля линейно поляризованы, причем электрический вектор в прошедшей волне оказывается повернутым на 90°, а электрический вектор отраженной волны сохраняет ориентацию падающего поля. При определенных условиях возникают эффекты полного внутреннего отражения и прохождения. Рассмотрено два вида решеток: со смешанной проводимостью вдоль винтовых линий и только с электрической проводимостью.

Каскады решеток также имеют ряд интересных свойств. В [79], [80] решетки находятся в параллельных плоскостях и развернуты друг относительно друга на некоторый угол. Структура обладает идеальными гиротропными свойствами, то есть без энергетических потерь преобразует волну линейной поляризации с любой ориентацией вектора электрического поля в линейно поляризованную волну с повернутым на заданный угол вектором электрического поля. Каскад решеток так же обладает возможностью идеальной фильтрации волн круговой поляризации.

Незамкнутым цилиндрическим объектам с анизотропной проводимостью поверхности, какие рассматриваются в настоящей работе, посвящено относительно мало статей. В [81] были обнаружены эффекты полного прохождения и отражения для решеток из лент, проводимость которых является анизотропной. Направление проводимости каждой ленты составляет некоторый малый угол у/ с ее осью. В интегродифференциальном уравнении для этой задачи используется периодическая функция Грина. В отличие от известных решеток из металлических лент с изотропной проводимостью, в таких решетках уже в низкочастотной области наблюдаются резонансные эффекты. Это связано с тем, что хотя ширина отдельной ленты много меньше длины падающей волны, при малых значениях угла у/ длина линии проводимости становится сравнимой с диной волны. В работе [82] рассмотрена задача о произвольном падении плоской волны на решетку из анизотропно проводящих лент.

В [83], [84] анизотропно проводящая лента была предложена и исследована в качестве замедляющей системы. Было получено интегральное уравнение для собственных токов, а в случае узкой ленты получено аналитическое решение. В работе [85] изучены свойства комплексных волн ленты. Обнаружено, что лента может поддерживать прямые и обратные слабо вытекающие волны с малым уровнем радиационных потерь.

Анизотропно проводящий цилиндр с узкой продольной щелью является новым электродинамическим объектом. Известно решение задачи рассеяния на аналогичном металлическом объекте [68], а также исследование его волноведущих свойств [86].

Краткое содержание диссертации

В первой главе рассматривается задача дифракции плоской волны на ленте с анизотропной проводимостью. Лента имеет бесконечную протяженность, направление идеальной проводимости составляет малый угол с осью ленты. Падающая плоская волна распространяется в произвольном направлении. Необходимо определить характеристики рассеянного электромагнитного поля, которое создается поверхностными токами, индуцированными на ленте падающей волной.

В работе используется метод, изложенный в [84]. Решение сводится к замене однородного уравнения, полученного в [84] уравнением с правой частью, которая описывает падающую волну. Поперечное волновое число, использованное в [84] в качестве спектрального параметра, в данной задаче является заданным и определяется углом между направлением распространения исходной волны и осью ленты.

В случае узкой ленты (ширина ленты значительно меньше длины волны) становится возможным получить аналитическое решение уравнения. Для этого используется квазистатическое представление для ядра при малых аргументах.

Для рассеивателей, не поглощающих и не выделяющих энергию, справедлива оптическая теорема, которая позволяет выразить полную рассеянную мощность через значение диаграммы рассеяния в направлении распространения падающей волны. Согласно оптической теореме полное сечение рассеяния определяется через фурье-преобразование поверхностного тока.

Полученные выражения для тока и его фурье-преобразования, через которые определяются поля в дальней зоне, содержат резонансный знаменатель. При изменении частоты или угла падения плоской волны этот знаменатель может принимать малые значения, при этом происходят резкие изменения характеристик рассеянного поля. В частности, может наблюдаться значительное увеличение сечения рассеяния. Резонансные явления обусловлены тем, что лента может поддерживать вытекающие волны с малым уровнем радиационных потерь.

В случае нормального падения волны рассеянное поле не обладает угловой направленностью. Поперечник рассеяния в резонансе оказался порядка длины волны, несмотря на то, что ширина ленты предполагалась малой по сравнению с длиной волны.

Более сложные резонансные явления могут наблюдаться при наклонном падении плоской волны. При определенных углах падения по отношению к оси ленты появляются дополнительные резонансные частоты, причем используемое приближение дает бесконечно большие значения для полного сечения рассеяния в условиях резонанса. Появление бесконечных значений объясняется тем, что мнимая часть ядра, посредством которой учитывается мощность, излучаемая поверхностным током, представляет собой константу. Такая аппроксимация не позволяет учесть излучение нечетных токов.

Чтобы получить конечное решение интегродифференциального уравнения в условиях резонанса, используется вариационный принцип. При этом для мнимой части функции Грина используется более точное представление, которое учитывает квадратичный член разложения функции Бесселя. Используемый функционал является стационарным на решениях интегродифференциального уравнения и однородным, так что нормировка пробных функций не влияет на его значение. В качестве пробных функций используются приближенные решения, которые нормируются так, чтобы они оставались конечными в условиях резонанса.

Анализ уточненных выражений показывает, что в случае наклонного падения рассеянное поле приобретает направленность: Ф(<р) » sin^>. В случае бокового падения волны на ленту полное сечение рассеяния равно 4Л/я, что вдвое превосходит значение в резонансе для случая нормального падения волны. Благодаря тому, что рассеянное поле имеет на резонансной частоте угловую направленность, узкие анизотропно проводящие ленты могут быть использованы для создания решеток с нестандартной зависимостью электродинамических характеристик от угла падения плоской волны.

Для экспериментального исследования рассеянного поля ленты удобно использовать понятие радиолокационного сечения рассеяния. Из формул, полученных в первой главе, следует, что при определенных условиях обратное рассеяние отсутствует (сечение радиолокационного рассеяния равно нулю). Таким образом, резонансные свойства одиночной ленты объясняют эффекты полного отражения и прохождения, обнаруженные в [81] в периодических решетках из узких анизотропно проводящих лент.

Во второй главе изучены свойства нового кирального объекта с анизотропной проводимостью вдоль винтовых линий: цилиндр с узкой продольной щелью. Направление распространения падающей волны лежит в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра, азимутальный угол является произвольным. Установлена связь между углом подъема винтовых линий проводимости и угловой шириной щели, при которой рассеянное поле имеет круговую поляризацию. Обнаружен низкочастотный поляризационно-селективный резонанс, приводящий к сильному рассеянию для волны одной круговой поляризации.

Метод исследования заключается в решении интегродифференциального уравнения, которое получено из граничных условий Владимирского. Ядра уравнения выражаются через двумерную функцию Грина свободного пространства. Условие малости радиуса цилиндра по сравнению с длиной волны ка«1 позволяет воспользоваться приближенным выражением для функции Грина. Показано, что решение неоднородного уравнения можно представить в виде суперпозиции трех функций, одна из которых совпадает с решением, полученным в [68] для металлического цилиндра с продольной щелью.

При некоторых условиях соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальное решение, при этом собственная функция и частота в рамках используемого приближения также совпадают с решением для металлического цилиндра. Однако используемое квазистатическое приближение не позволяет определить мнимую часть собственной частоты, которая характеризует добротность резонансного колебания. Для уточнения мнимой части используется вариационный принцип, при этом в качестве пробной функции используется решение неоднородного уравнения с произвольными коэффициентами Ах, А2, А3 для входящих в него функций. Для этих коэффициентов получена и решена линейная система алгебраических уравнений.

Анализ полученного решения показывает, что зависимость амплитуды Ах от частоты имеет резонансный характер. При малых углах подъема линий проводимости резонансная частота близка к частоте собственных колебаний металлического цилиндра с узкой щелью. В этом случае в условиях резонанса рассеянное поле обладает круговой диаграммой направленности. На резонансной частоте полное сечение рассеяния для волн левой и правой круговой поляризации значительно различаются, что позволяет использовать рассмотренный анизотропно проводящий цилиндр для создания электродинамических структур с киральными свойствами.

Анализ выражения для поперечника обратного рассеяния показывает, что при определенных условиях на резонансной частоте сечение радиолокационного рассеяния не зависит от направления поляризации.

В третьей главе рассматриваются волноведущие свойства анизотропно проводящего цилиндра с продольной щелью. Распространение волн в аналогичном металлическом волноводе исследовано в [86]. Задача о медленных волнах в цилиндрических системах состоит в нахождении решений однородных уравнений Максвелла с зависимостью от координаты z в виде exp(-ihz). Поля направляемых волн должны удовлетворять условиям Владимирского и на радиальной бесконечности иметь характер цилиндрической волны с поперечным волновым числом к. На кромках ленты ток должен обращаться в нуль.

Из граничных условий Владимирского вытекает интегродифференциальное уравнение для поверхностного тока. Спектральный параметр h сложным образом входит в это уравнение, так как его ядро зависит от поперечного волнового числа к. Для решения уравнения используется квазистатическое приближение.

Полученное уравнение можно применять и к замкнутому цилиндру, если вместо условия обращения в нуль токов на кромках ленты потребовать их периодичности. Из того же уравнения предельным переходом можно получить интегродифференциальное уравнение для собственных токов анизотропно проводящей ленты. Таким образом, предельные случаи уравнения приводят к известным результатам.

Полученное решение в виде дисперсионного уравнения правильно описывает свойства квазистатических волн, у которых в разложении доминирует фурье-гармоника с индексом т = 0. В работе показано, что низкочастотный резонанс, возникающий при рассеянии плоской волны на анизотропно проводящем цилиндре со щелью, связан со свойствами направляемых им волн.

При условии, что щель узкая, дисперсионное уравнение имеет решение, которое соответствует медленной волне. В [86] показано, что в металлическом цилиндре с узкой продольной щелью в той же области частот существует квазистатическая вытекающая щелевая волна. Медленных волн в металлическом цилиндре нет. Видно, что свойства анизотропно проводящего и металлического цилиндров существенно различаются.

Достоверность полученных результатов

В целях экспериментальной проверки сделанных теоретических выводов в ИРЭ РАН были проведены измерения обратного сечения рассеяния от ленты с анизотропной проводимостью [80] и анизотропно проводящего цилиндра с продольной щелью [87] на специально изготовленных макетах. Установка для измерений и метод эксперимента подробно описаны в [88]. Результаты эксперимента хорошо согласуются с выводами теории, из чего следует, что модели анизотропно проводящей ленты и анизотропно проводящего кругового цилиндра с продольной щелью, использующие граничные условия Владимирского, правильно передают все основные черты резонансных явлений, наблюдаемых при рассеянии на реальных физических объектах. Таким образом, граничные условия Владимирского являются адекватными для постановки задач рассеяния на незамкнутых цилиндрических объектах с анизотропной проводимостью поверхности. И

Выводы

1. Круглый цилиндр с продольной щелью, поверхность которого обладает свойством анизотропной проводимости вдоль винтовых линий с фиксированным углом подъема предложен и исследован в качестве замедляющей структуры. Получено интегральное уравнение для собственных токов и его аналитическое решение для случая малых углов подъема винтовых линий проводимости.

2. Показано, что в предельных случаях дисперсионное и интегродифференциальное уравнения сводятся к соответствующим задачам для сплошного анизотропно проводящего цилиндра и анизотропно проводящей ленты.

3. Определен диапазон частот, в котором существуют медленные и вытекающие волны для случая цилиндра с малым углом подъема линий проводимости. При изменении частоты угол между направлением высвечивания вытекающей волны и осью цилиндра изменяется от 0 до л[2.

4. Установлена связь между слабо вытекающими волнами и обнаруженными во второй главе резонансами рассеяния в задаче дифракции плоской волны.

5. Показано существенное различие между волновыми свойствами анизотропно проводящего и металлического цилиндра. кща

Рис. 3.1. Траектория в комплексной плоскости к поперечного волнового числа для волны, найденной в квазистатическом приближении. Стрелкой показано направление возрастания частоты к. Слабо вытекающая волна существует в области частот (к2,к{).

1. М. А. Леонтович. Исследования распространения радиоволн. М.: Изд-во АН СССР, 1948.

2. Schelkunoff S. A.// Bell Syst. Tech. J., vol.17, pp. 17-48, Jan. 1938.

3. Каценеленбаум Б. 3. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука, 1966.

4. Amari S., Vahldieck R., Bornemann, J. in 1998 URSI International Symposium on Signal, Systems, and Electronics (Pisa, 29 September 2 October 1998). P. 482.

5. P. J. B. Clarricoats, A. D. Olver. Corrugated Horns for Microwave Antennas. -Peter Peregrinus Ltd., London, UK, 1984.

6. Olver A.D.// Electronics & Communication Engineering Journal, 1992. V. 4. № l.P. 4.

7. Gentili, G.G., Nesti R., Pelosi G., Natale V. // Electronics Letters, 2000. V. 36. № 6. P. 486.

8. Терешин O.H., Седов B.M., Чаплин А.Ф. Синтез антенн на замедляющих структурах. М.: Связь, 1980.

9. Панченко Б.А., Нефедов Е.И. Микрополосковые антенны. М.: Радио и связь, 1986.

10. James J.R., Hall P.S. Wood С. Microstrip Antennas: Theory and Design. New York: Peregrinus, 1984.

11. Филиппов B.C., Пономарев Л.И., Гринев А.Ю. и др. под ред. Воскресенского. А.Ю. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных антенных решеток. М.: Радио и связь, 1994.

12. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973.

13. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Коршунова Е.Н. и др. Электродинамика антенн с полупрозрачными поверхностями. Методы конструктивного синтеза./ Под ред. Каценеленбаума Б.З., Сивова А.Н. -М.: Наука, 1989.

14. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. -М.: Наука, 1977.

15. Сивов А.Н., Чуприн А.Д., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. № 8-9. С. 1276.

16. Sivov A.N., Chuprin A.D., Shatrov A.D.// Proc. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET 94) (Kharkov, September 7-10, 1994). P. 403.

17. Guglielmi, M.; Jackson, D.R.// IEEE Trans. Antennas and Propagation, 1991. V. 39. № 10. P. 1479.

18. Kobayashi K., Miura K. // IEEE Trans. Antennas and Propagation, 1989. V. 37. № 4. P. 459.

19. Kriezis E.E., Chrissoulidis D.P. // ШЕЕ Trans. Antennas and Propagation, 1993. V. 41. № 11. P. 1473.

20. Manara, G.; Nepa, P.; Pelosi, G.// IEEE Trans. Antennas and Propagation, 2000. V. 48. № 5. P. 790.

21. Chuprin A.D., Parker E.A., Shatrov A.D., Sivov A.N., Solosin V.S., Zubov A.S., Langley R.J. // IEE Proc. Microwaves, Antennas and Propagation, 1998. V. 145. №5. P. 411.

22. Senior, T.B. A., Legault, S.R. in Antennas and Propagation Society International Symposium (Montreal, 13-18 July, 1997). P. 1784.

23. Nefedov Y. I., Fialkovskiy A. T.// Radio Eng. Electron. Phy., 1972. V.17, № 6, P.887.

24. Nepa, P.; Manara, G.; Armogida, A.// IEEE Trans. Antennas and Propagation. 2001. V. 49. №1. P. 106.

25. Rojas R. G.// IEEE Trans. Antennas Propagation. 1988. V. 36, № 7. P. 956.

26. Manara G., Nepa P., Pelosi G.// Electronics Letters, 1996.V. 32, № 13. P.l 179.

27. Pelosi, G., Manara, G., Nepa. P. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1998. V. 46. № 4. P. 579.

28. Климов A.B., Петров Б.М., Семенихин А.И.// Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1985. Т. 28. № 2. С. 74.

29. Manara, G.; Monorchio, A.; Pelosi, G.; Coccioli, R. in Antennas and Propagation Society International Symposium (Newport Beach, June 18-23, 1995). Vol.1. P. 14.

30. Габриэлян Д.Д., Звезднна М.Ю.// Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. № 8. С. 875.

31. Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. № 1.С. 28.

32. Lindell I et al. Electromagnetic Waves in Chiral and Bi-isotropic Media. Artech House, 1994.

33. Svogel J., Michielssen E., Mittra, R. in Proc. of 3rd International Workshop on Chiral, Bi-isotropic, and Bi-anisotropic Media. 1994. P. 89.

34. C.A. Третьяков. //Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. № 10. С. 1457.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

36. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: УРСС, 2001.

37. Bahr A.J., Clausing K.R. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1994. Vol. 42. № 12. P. 1592.

38. Mariotte, F.; Tretyakov, S.A.; Sauviac, В.// IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1996. Vol. 38. № 2, P. 22.

39. Tretyakov S.A. et al.// IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1996. V. 44. № 7. P. 1006.

40. Шевченко В.В.// Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. № 12. С. 1777.

41. Kostin M.V. Shevchenko V.V. in Advances in Complex Electromagnetic Materials (Eds. A. Priou, S. Tretyakov, A Vinogradov) (Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publ., 1997).

42. Jaggard. D. et al.// IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1989. V. 37. N° 11. P. 1447.

43. Третьяков C.A., Харина Т.Г., Сочава A.A. //Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2001. №2 (24).

44. Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д.//Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45. №5. С. 517.

45. Шатров А.Д. //Радиотехника. 1999. № 4. С. 1168.

46. Korshunova E.N., Sivov A.N., Shatrov A.D. in Proc. of IVth International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (Lviv, 20-23 September, 1999), P. 165.

47. Yeah S.H., Kong J.A.// Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 1991. №5. P. 701.

48. Каценеленбаум Б.З., Коршунова E.H., Сивов A.H., Шатров А.Д. // Успехи физических наук. 1997. Т. 167. № 11. С. 1201.

49. Loukos G., Vardaxoglou J.C. // Elecronics Letters, 1995. V. 31. № 10. P. 778.

50. Коршунова E.H. Прибытько М.П., Сивов А.Н. и др.// Зарубежная радиоэлектроника. 1997. № 8. С. 44.

51. Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д.//Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 12. С. 1.

52. Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41. №8. С. 911.

53. Casey J.P., Bansal R.// Radio Science. 1998. Т. 23. № 6. С. 1141.

54. Bahr A.J., Clausing K.R. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1994. Vol. 42. № 12. P. 1592.

55. Вайнштейн JI.А. Электромагнитные волны. M.: Радио и связь, 1988.

56. Terado N. And Kagoshima К. // Electronics Letters, 1991, Vol. 27, № 12, pp. 1108-1109.

57. Nakano H., Mimaki H., Yamauchi J. // Electronics Letters, 1991, Vol. 27, № 17, pp. 1568-1569.

58. Shatrov A.D. Sivov A.N. Chuprin A.D.// Electronics Letters. 1994. Vol. 30. № 19. P. 1558.

59. Прибытько М.П., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. № 12.

60. Shatrov A.D., Nikitin I.P. in Proc. of the Second International Symposyum of Trans Black Sea Region on Applied Electromagnetism, 2000. (Xanthi, 27-29 June, 2000). P. 76.

61. Chen C.L.// IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1996. V. 14. № 3. P. 283.

62. Uhm H.S. in 1996 IEEE International Conference on Plasma Science (Boston, 3-5 June 1996). P. 105.

63. Сивов A. H., Чуприн А. Д., Шатров А.Д. //Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39 № ЮС. 1534.

64. Chuprin A.D., Shatrov A.D., Sivov A.N. in Proc. of 24 European Microwave Conference (Cannes, 5-8 September, 1994).

65. Прибытько М.П., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. № 1. С. 23.

66. Прибытько М.П., Шатров А.Д.// Электромагнитные волны & электронные системы. 1998. Т. 3. № 2. С. 59.

67. Chuprin A.D., Shatrov A.D., Sivov A.N. in Proc. of 24th European Microwave Conference. 1994. P. 596.

68. Носич А. И., Шестопалов В.П.// Доклады АН СССР. 1977. Т. 234. № 1. С. 53.

69. Nakano Н., Takeda Н, Kitamura Y., Mimaki Н., Yamauchi J. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1992. V. 40. № 3. P. 279.

70. Сивов A.H., Чуприн А.Д., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. №12. С. 1981.

71. Chuprin A.D., Shatrov A.D., Sivov A.N. in Proc. of 15th International Symposium on Electromagnetic Theory (St. Petersburg, May 23-26, 1995). P. 242.

72. Sivov A.N., Chuprin A.D., Shatrov A.D.// Electromagnetic Waves and Electronic Systems. 1996. Vol. 1. № 1. P. 79.

73. Chuprin A.D., Shatrov A.D., Sivov A.N. in Proc. of International Conference on Chiral Bi-isotropic and Bi-anisotropic Media (Penn. St. University, 11-14 October, 1995).

74. Сивов A.H., Чуприн А.Д., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41. №5. С. 539.

75. Сивов А.Н., Чуприн А.Д., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника.1996. Т. 41. №8. С. 918.

76. Сивов А.Н., Чуприн А.Д., Шатров А.Д.// Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. № 1. С. 74.

77. Chuprin A.D., Shatrov A.D., Sivov A.N. in Proc. of 11 International Microwave Conference MIKON-96 (Warsaw, 27-30 May, 1996).

78. Chuprin. A. Et al., in Proc. of 6th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-96) (Lviv, 10-13 September,1. J* 1996). P. 529.

79. Коршунова E.H., Сивов A.H., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника.1997. Т. 42. №10. С. 1157.

80. Аплеталин В.Н., Малышкин П.А., Солосин B.C., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45. № 12. С. 1426.

81. Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1998, Т. 43 №2 С. 153.

82. Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45. № 12. С. 1431.

83. Korshunova E.N., Korshunov I.P., Sivov A.N., Shatrov A.D. in Proc. of 3rd Workshop on Electromagnetic and Light Scattering. Theory and Applications (Bremen, March 16-17, 1998). P. 141.

84. Коршунова E.H., Коршунов H. П., Сивов А. Н., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1998, Т.43 № 8. С. 915.

85. Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. №9. С. 1085.

86. Велиев Э.И., Носич А.И., Шестопалов В.П.// Радиотехника и электроника. 1977. № 3. С. 466.

87. Аплеталин В.Н., Малышкин П.А., Солосин B.C., Шатров А.Д.// Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 1. С. 33.

88. Kazantcev Yu.N., Apletalin V.N., Solosin V.S., Zubov A.S.// Journal of Radioelectronics. 2000. № 4.

89. Ваганов P. Б., Каценеленбаум Б. 3. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982.

90. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.Ж Мир, 1964.

91. Прудников А. П., Брычков Ю. А. Маричев О. И. Специальные функции. Интегралы и ряды. М.: Наука 1983.

92. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

93. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971.

94. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. М.: Наука, 1969.