Аппроксимативные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1Г Б ОД

1 '» СЕН 199!>

государственный комитет российской федерации

ПО'ВЫСШЕМУ ОБРЛЗЭЗА'И'Ю КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.51:517.96:519.6

валеева роза 1

АППРОКСИМАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАБОСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

01. 01. 01 — математический анализ

.4 е т о р с ф в р а т дпссертацпа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ —1995

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина и на кафедре математического анализа Казанского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Габдулхаев Б. Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Чибрикова Л. И.

кандидат физико-математических наук, доцент Габбасов Н. С.

Ведущая организация: Одесский государственный университет

Защита состоится « ¿Ш^аг^иг- 1995 г. в 14 час.

на заседании диссертационного Совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете имени В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Ленина, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18).

Автореферат разослан « ^^^^^1995 г.

Ученый секретарь диссертационного Сонета, доцент

В. В. Шхрыгин

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Реферируемая работа посвящена система-

гическому исследованию и теоретическому обоснованию различных :ласс.оа аппроксимативных методов решения слабосингулярпых инте-ралышх уравнений (кратко: слабо с.и.у.) Фредгольма первого рола : разностными логарифмическими ядрами в главной части интеграль-гого оператора.

Указанные уравнения возникают в ряде задач электрофизики, тео-1ии упругости, аарогидромеханики и яругах разделов механики, фи-•»к« ¿1 ¿г-.т-ияткческой физики. Теория таких уравнений в настоящее |реыл достаючяа »пио^- р^пми^. И? «и* следует, что указанные ■равпешш точно решаются лишь в очень ре~тт? чаехиыг г-гучч»*, 1аже в ©тих случаях для доведения результата до числа необходимо тлеть вычислять различные (как регулярные, так и сингулярные) ин-:егралы довольно сложной природы. Л ело здесь усуглубляется еще г тем, что обсуждаемые уравнения относятся к классу некорректно (оставленных задач. Повтому как для теории, так н в особенности |ля приложений первостепенное значение приобретает разработка ап-(роксимативиых методов решения слабо с.и.у. первого рода с соот-1етствующим теоретическим обоснованием. Здесь в первую очередь (аибольшнй интерес представляют прямые и проекционные методы, юзаоляющие решать указанные уравнепия, минуя трудоемкий прочее их регуляризации. Такие методы в настоящее время принято называть "методами саморегуляризации"; первые исследования в втой ¡блнсти проведены еще в 60-е годы А.Н. Тихоновым, В.И. Лмитрие-шм, Б.В. Захаровым и В.А. Непохо, а затем продолжены в работах

я учеников и последователей

За последние годы в »той области достигнут значительный процесс в основном благодаря работам советских математиков и механи-

;ов, а также ряда зарубежных авторов. Некоторые итоги достигнутых

результатов подведены в специальной монографии В.Г. Г&бдулхаева1); кроме того, наряду со многими другими вопросами, результаты в этой области частично отражены в монографиях И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Бабешко (1974 г.), Т.Н. Галишниковой, A.C. Ильинского (1087 г.), В.И. Дмитриева, Б.В. Захарова (1987 г.), Е.В. Захарова, Ю.В. Пимевова (1982 г.), Колтона и Кресса (1987 г.), З.Т. Наз&рчу-ка (1989 г.), В.В. Панасюка, М.П. Саврука, З.Т. Назарчука (1984 г.), Г.Я. Попова (1982 г.), а также в диссертациях В.В. Воронина (1978 г.), А.И. Гребенникова (1989 г.), Мохаммеда Н.М. (1988 г.), JI.A. Сурай (1994 г.), В.А. Иенохо (1987 г.).

Однако, несмотря на сказанное, в «той области остается всё ещё много нерешенных задач. Данная диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.

Цель работы - теоретическое обоснование различных классов аппроксимативных методов решения слабо с.и.у. Фредгольма первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора.

В диссертации под теоретическим обоснованием понимается,'следуя Л.В. Канторовичу, следующий круг задач:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений; б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению И определение скорости сходимости; в) установление оффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных; г) исследование устойчивости к обусловленности аппроксимативных методов.

Методам исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, общей теории приближенных методов функционального

Ч Гкбдуяхма В.Г. Пршш иггоды (мшевжа смгуялряых ягагркльяых урм-манй верюго род». - Kim»; Иэд-so Кьэмск. ув-т», 19(4. - 38S с.

анализа и теории интегральных уравнений; при »том мы существенно пользуемся методикой исследования и результатами, предложенными в упомянутой выше монографии научного руководителя диссертации.

__Научная новизна, а) В терминах теории рядов Фурье-Чебышева

установлена структура обратного оператора для характеристического^ слабосингулярного интегрального оператора первого рода и доказана устойчивость решений полного слабо с.и.у, первого рода.

б) Дано теоретическое обоснование известных прямых и проекционных истодов (коллокаши, наименьших квадратов, подобластей, ортогональных многочленов и механических квадратур).

а) Предложены и теоретически обоснованы два новых общих проекционных метол*.

д) Предложены и обоснованы вычислительные схемы аппроксимативно-итерационных методов и метода дискретных вихрей решения слабо с.и.у. 1-рода.

е) Предложен новый способ теоретического обоснования сплайн-тригонометрического метода Галеркина решения периодического- слабо с.и.у. Фредгольма первого и второго родов.

Теоретическая я практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и приближений и интегральных уравнениях, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабо с.и.у. первого рода и сводящихся к ним уравнений математической физики. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к указанным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертант докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского университета за 1988 -1994 годы; на Всесоюзной научной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела* (г.Одесса, 1989г.); на Республиканской научной конференции "Экстремальные за-

дачи теории приближения и их приложения" (г.Киев, 1990г.); н& Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики* (г.Харьков, 1991г.); на Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию Н.И. Лобачевского (г.Одесса, 1092г.); на Международной научной конференции, посвященной ЮО-пегшо Н.Г. Чеботарева (г.Каааиь, 1994г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы i семи работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и обгем работы. .Диссертация с общим объемом 10S страниц состоит из введения, двадцати параграфов и списка литературы из 100 наименований.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении характеризуется актуальность темы, приводится краткий обзор литературы по теме диссертации и излагается краткое содержание полученных автором результатов.

Параграф 1 носит вспомогательный характер; в нем приводятся необходимые для дальнейшего результаты по теории функций и приближений, в том числе по конечномерным приближениям решений операторных уравнений в линейных нормированных пространствах.

Параграфы 2-19 посвящены точным и приближенным методам решения слабо с.и.у. Фредгольма 1-рода

J^j^^r + i » V(t), -l<t< 1, (0.1)

где Л(<,г) и v(0 - известные непрерывные функции в областях соответственно [—1,1]'s £—1,1;—1,1] и [—1,1], а>(г) - искомая функция, в также слабо с.и.у. вида

a* s*

Axs—~ J h[»,c)x{a)âa = y{t), (0.2)

где h(a,v) и у(в) - известные непрерывные 2*-периодические функции по каждой из переменных, & х{а) - искомая функция.

В § 2 в терминах теории рядов Фурье по полиномам Чебышева I и II -родов устанавливаются представления для обратного оператора <?-1 : У —• X, где G : X--► Y- соответствующий (0.1)

характеристический оператор, причем X = £j,(i-ta)-i/»[— 1,1] и У — суть полные нормированные пространства с обычными нормами. С помощью »того результата здесь устанавливаются также достаточные условия корректности задачи решения слабо с.и.у. (0.1), в том числе устойчивости его решений относительно малых возмущений функций h(t,r) и у(<).

В «aparpaf* * - i« ncwivAj.ir:." — -"""ииАлкные методы решения уравнения (0.1). В $3 доказана с*одииит "rrsjt «аллокации „ пространстве ba,(t_|j)-i/a[—1, I] и установлена скорость его сходимости, учитывающая структурные свойства коэффициентов h(i,r) и y(t) исходного уравнения. Результат сформулирован в теореме 3.1, а в теореме 7.3 аналогичный результат получен в универсальных терминах, & именно, в терминах теории наилучших равномерных приближений функций алгебраическими многочленами. В $4 доказана сходимость (теорема 4.1) метода наименьших квадратов и установлена скорость его сходимости (теорема 4.2).

В §5 приведено обоснование метода подобластей решения слабо с.и.у. (0.1), которое несколько отличается от предложенного ранее в работах Л.Б, Ермолаевой способа обоснования бблъшей простотой получения основных оценок, но уступает соответствующим результатам отих работ наличием в итоговой оценке множителя Inn. В $6 доказала сходимость (теорема 6.1) м«тода ортогональных полиномов решения уравнения (0.1) r пространстве 1] и установлена скорость его сходимости (теорема 6.2). Здесь результаты сформулированы в терминах теории наилучших весовых срсднекоадратических приближений функций алгебраическими многочленами.

Параграф 7 посвящен теоретическому обоснованию двух вариантов метода механических квадратур решешш слабо с.и.у. (0.1). В теореме 7.1 доказана сходимость и установлена оценка средвеквалратиче-ской погрешности этого метода в терминах наилучших равномерных приближений функций алгебраическими многочленами. В теореме 7,2 установлена скорость сходимости метода в зависимости от структурных свойств регулярного ядра /»(«,т) и правой части у{1) уравнения (0.1). Заметим, что в теоремах 7,1 и 7.2 исследован известный (см., напр., отмеченную выше монографию Б.Г. Габдулхаева и цитированные в ней результаты В.В. Панасюка, М.П. Саврука и З.Т. Назарчука) вариант метода квадратур. А в теоремах 7.4 - 7.7 предложены результаты исследования второго варианта метода квадратур, основанного на предварительной регуляризации с.и.у. (0.1) путем обращения исследованного в §2 характеристического оператора С : X —► У, где пространства X и У определены выше. При ©том приближенное решение представляется в (двух) различных формах и для каждого случая доказана равномерная сходимость метода в терминах наилучших равномерных приближений многочленами и установлена скорость равномерной сходимости в зависимости от структурных свойств исходных данных.

Параграф 8 посвящен исследованию метода дискретных вихрей решения слабо с.и.у. I -рода (0.1). В частности, здесь для слабосингулярного интеграла из (0.1) выводится очень простая квадратурная формула и исследуются ее свойства, а на ее основе предлагается удобная конечная СЛАУ относительно приближенных значений искомой функции в узлах полиномов Чебытеиа. Т„(<) первого рода, причем в качестве узлов коллокации используются корни любого из уравнений 2Т„({) -1 = 0, 2Т„(1) + 1 = 0. В 59 предлагается новый проекционный метод решения уравнения (0.1), который можно трактовать также как специальную дискретизацию метода наименьших квадратов. Доказана сходимость метода (теорема 9.1) и установлена скорость его

сходимости (теорема 9.2),

В §10 предложены и исследовали два обпщх проекционных метода решения с.н.у. (0.1). Первый из методов порожден полиномиальными

проекционными операторами Рп , ограниченными по норме в совокупно ein fr пространстве У = Wj/j,[-1,11, а второй - аналогичными аеогра»шчШ1мыми опера-юрами и У ■ "о ограниченными из пространства 1] с обычной пормой в пространство У . Доказана сходимость каждого из методов и установлены оцешш погрешности (теоре-тпз 10.1, 10.2, 10.4); показано также, что в частных случаях теоремы о сходимости и оценки погрешности методов значительно упрощаются И усиливаются. В §11 предложен и исследован общий прямой метод

- /г. * \

ЛвШРНИН глкии U.I1.T. 1 - VVMW twt«f.

В §12 приведены утверждения об yc-rvÜ4«»wv«H и общего прямого и общего проекционного методов решения слабо с.и.у. (0.1); на основе етого делается вывод об их справедливости и для конкретных прямых и проекционных методов решегам указанного уравнения.

Оценки погрешности .обоснованны* в §$ 3 - 11 прямых и проекционных методов ¿формулировали, как правило, в терминах теория приближения функций. Этот факт и хорошо известные прямые теоремы конструктивной теории функций позволяют установить скорость сводимости указанных методов в зависимости от структурных свойств регулярного ядра и правой части слабо с.н.у. (0.1); некоторые результаты такого характера приведены для конкретных методов в §§3 -7, 9. В §13 подобные оценки установлены для общего проекционного метода, исследованного в параграфах 10 и 12.

3iit.si.inH, -;тс до с:тг пор погрешность приближенного решения уравнения (0.1) мы иезде оценивали в пространстве квадратично-суммируемых на [-1,1] функций свесом (1-t4)"1'2 . В §14 доказала равномерная сходимость исследованных методов, причем вто сделано как следствие сходимости в среднем; при втом в теореме 14.1 рассматривается

общий проекционный метод, а в теореме 14.2 - метод ортогональных полиномов решения слабо с.и.у. (0.1). Параграф 15 посвящен исследованию невязок прямых и проекционных методов решения уравнения (0.1); в теореме 16.1 рассмотрев общий прямой метод, а в теореме 15.2 - метод ортогональных полиномов.

В ¡$16 и 17 исследованы итерационные и соответственно проекци-онно-итеративные методы решения с.и.у. (0.1). В §18 предлагаются четыре вычислительных схемы квадратурно-итерационного метода решения уравнения (0.1) и приводятся теоремы об их сходимости.

Параграф 19 (пункты 19.1 -19.7) посвящен теоретическому обоснованию сплайн-тригонометрического метода Галеркина решения периодического слабо с.и.у. I -рода (0.2), а также интегрального уравнения Фредгольма И -рода

ÎT

где у € Ij[0,2*] и А 6 ¿а[0,2*]* - известные функции, а г 6 Lj[ù,2t] -искомая функция.

Указанный метод впервые был предложен и исследован для уравнения вида (0.2) американским математиком Д.Н. Арнольдом. Суть »того метода заключается в следующем: приближенное решение ищется в виде сплайна с неопределенными коэффициентами, которые определяются по методу Галеркина на основе тригонометрической системы функций. Нами предложен другой, более простой способ обоснования етого метода для различных классов слабо с.и.у. как первого, так и второго родов. Этот способ основав на применении предложенного Б. Г. Габдулхаевым варианта общей теории приближенных методов функционального анализа3) и ряда результатов хорошо известной, теории рядов Фурье. Полученные при атом результаты излагаются а § 10 данной диссертации.

ГЧСдулхде* Б.Г. Оптшильвые ипрокскм«цни решений лияейаых мдьч. -Киш: Изд-ю К»лшск. ув-т*, 1980. - 232 с.

В п.19.2 предложено обоснование упомянутого метода для характеристического слаб о с.и.у., соответствующего уравнению (0.2). По-

лученный здесь результат сформулировал п теореме 19.1. С помощью »той теоремы в п.19.3 доказана сходимость и установлена скорость сходимости исследуемого метода для полного слабо с.и.у. (0.3); полученный результат сформулирован п теореме 19.2.

В п.19.4 установлена скорость сходимости сплайн-тригонометрического метода Галеркина решения уравнения (0.2) в случае онлайновых приближений нулевого к первого порядков, Здесь предложены средиеквадратические и равномерные оценки погрешности метода в зависимости от структурных свойств искомой функции, а следовательно,

я »«пикишеиигй -I ,[;] --—"« ш -¿I мпяучмш» г-

зультаты сформулированы в теоремах 19.3 - 19.5,

В п.19.5 приведена схема сплайн-тригонометрического метода Галеркина решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода (0.3) и предложено ее обоснование', полученный результат сформулирован в теореме 19.6.

В п.19.6 доказано, что для невязки исследуемого метода спрааед-ливы и более сильные утверждения, которые для погрешности метода, вообще говоря, ив имеют места. В п.19,7 рассмотрены вопросы устойчивости и обусловленности сплайн-тригонометрического метода Галеркина решения слабо с.и.у. (0.2) и (0.3).

В §20 обсуждается возможность переноса полученных в 5§2 - 18 и соответственно в §19 результатов на специальные непериодические и периодические системы слабо с.и.у. первого рода, возникающие при решении различных прикладных задач,

Сформулируем основные результаты диссертации, этлнесящиеся на . защиту:

1. Предложены и теоретически обоснованы общие проекционные методы решения слабо с.и.у. I -рода (0.1), порождаемые двумя классами общих полиномиальных омерамров, обладающих различными

аппроксимативными свойствами. Установлены сходимость, устойчивость и оценки погрешности как общих, так и конкретных классов проекционных методов (методы коллокации, наименьших квадратов, подобластей, ортогональных полиномов и дискретный вариант метода наименьших квадратов).

2. Лаяо теоретическое обоснование известных и предлагаемых автором новых вычислительных схем метода механических квадратур решения слабо с.и.у. первого рода (0.1). В терминах теории приближения функций получены среднеквадратнческие и равномерные оценки погрешности, автоматически прослеживающие структурные свойства исходных данных.

3. Установлено обоснование аппроксимационно-итеративных (про-екционно-итеративных и квадратурно-итеративного) методов решения слабо с.и.у. (0.1).

4. Предложен новый способ теоретического обоснования сплайн-тригонометрического метода Галерки на решения слабо с.и.у. I -рода (0.2), а также интегрального уравнения Фредгольма II -рода (0.3).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Габдулхаеву В.Г, за постановки задач и помощь ори выполнении работы.

III. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Валеева Р.Т. Проекционные методы решения слабо сингулярных

интегральных уравнений первого рода/ Казанск. гос. ун-т. -

Казань, 1992. - 20 с. - Лев. в ВИНИТИ 04.09.92., № 2725-В92.

2. Вмеева Р.Т. Сплайн-тригонометрический метод Галеркина реше-

ния интегральных уравнений/ Казанск. гос. ун-т. - Казань, 1992.

- 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.09.92., № 2726-В92.

3. Валеева Р.Т., Габдулхаеа Б.Г. Устойчивость метода ортогональных

многочленов и ее следствия// Смешанные задачи механики де-

формируемого тел». ГУ Всесоюзная конференция. Тезисы докладов. Часть 1. - Одесса: Иэд-во ОГУ, 1989. - С. 73. 4. Валееав Р.Т., ГаВдулмсв Б.Г. Оптимальные методы решения сингу-

_______лярных интегральных уравнений I -рода// Экстремальные задачи

теории приближения и их приложения. Тезисы докл. республи-каиской научной конференции, 29 - 31 мая 1990г. - Киев, 1990. -С. 33.

6. Вллесв» Р.Т., Гябдулхйев Б.Г. Об одном новом способе решения сла-

бо сингулярного интегрального уравнения I -рода// Метод дискретных особенностей в задачах математической физики. Тезисы ---.т-,.-"» V Им-г/надя. симпозиума. Часть 2. - Одесса: Изд-во ОГУ, 1001. - С. 14 - 15. в. Вялее«* Р.Т., Гшбдулые» Б.Г. Сплайн-метод решения слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода// Республиканская научно-методическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского. Одесса: 3-8 сеят. 1992г. Тезисы докладов. Часть 2. - Одесса: Иэд-во ОГУ, 1992. -С. 60-61.

7. В/иеева Р. Т., Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение интегрально-

го уравнения первого рода// Алгебра и анализ. Тезисы докл. Междун. научи, конф., посвященной 100-летик> Н.Г. Чеботарева. Казань, 5-11 июня 1994г., часть 2. Теория функций и приближений, функциональный анализ, краевые задачи для дифф. уравнений в частных производных. - Казань: Изд-во КГУ, 1994. - С. 2».