Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.51:517.968:519.6

Еникеева Светлана Рашидовна

Прямые методы решения слабосингулярных интегральных

уравнений

01.01.01 — математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор

физико-математических наук, профессор Габдулхаев Б.Г.

Казань — 1998

Оглавление

Введение 3

Глава I. Предварительные результаты

§1. Некоторые результаты из общей теории приближенных

методов анализа................................................14

§2. Некоторые результаты из теории приближений многочленами ..............................................................16

§3. Некоторые соотношения из теории классических ортогональных многочленов..........................................18

§4. Об интерполяционной квадратурной формуле..............20

§5. Квадратурная формула для логарифмического интеграла

/(*)................................................................21

5.1. Вывод квадратурной формулы........................21

5.2. Алгоритм вычисления интеграла /о(£)................24

5.3. Вычисление последующих интегралов /т(£)..........26

§6. Сходимость и оценка остаточного члена квадратурной формулы ..............................................................28

§7. Некоторые частные случаи....................................32

Глава II. Прямые методы решения слабосингулярного интегрального уравнения второго рода

§1. Введение..........................................................37

§2. Вычислительные схемы метода квадратур..................38

§3. Вспомогательные результаты ................................39

§4. Сходимость метода квадратур в среднем....................44

§5. Сходимость метода квадратур в узлах......................47

§6. О равномерной сходимости метода квадратур..............49

§7. Некоторые дополнения..........................................52

7.1. Первый случай..........................................52

7.2. Второй случай..........................................54

7.3. Третий случай..........................................55

7.4. Четвертый случай......................................55

§8. Полиномиальные проекционные методы ....................56

§9. Метод Боголюбова — Крылова................................61

9.1. Введение..................................................61

9.2. Метод сил айн-кол локаций нулевого порядка .... 61

9.3. Метод Боголюбова — Крылова ......................65

Глава III. Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода

§1. Введение..........................................................67

§2. Некоторые свойства слабосингулярного оператора .... 68

§3. Метод наименьших квадратов................................71

§4. Метод ортогональных многочленов ..........................73

§5. Метод коллокаций..............................................77

§6. Метод последовательных приближений......................81

§7. Метод механических квадратур..............................83

§8. Некоторые замечания и дополнения..........................89

8.1. Структура обратного оператора и корректная постановка задачи............................................89

8.2. Прямые методы решения регуляризованных уравнений ........................................................94

Литература 97

Введение

Многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, физики, химии и техники приводят к необходимости решения различных классов интегральных уравнений первого и второго родов с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора (см., напр., работы [8, 10, 28, 32, 35, 40, 47, 61, 65, 67, 68, 70, 82, 83, 97] и библиографию в них). Теория таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана (см., напр., [10, 29, 46, 60, 65-67, 72, 73, 83, 87, 94] и библиографию в них). Из нее следует, что указанные уравнения точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в очень редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо уметь вычислять различные регулярные, сингулярные и слабосингулярные интегралы со сложными плотностями. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений первостепенное значение приобретает проблема разработки приближенных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

В последние 20 - 25 лет в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов; достаточно полную информацию о достигнутых в этой области результатах можно найти, например, в монографиях [7, 10, 21, 22, 28, 35, 40, 47, 61, 65, 68, 70, 97], работах обзорного характера [17, 23-25, 27, 30, 84-86, 90, 93, 96], а также в диссертациях [1, 3, 6, 31, 32, 36, 37, 64, 76, 83].

Следует отметить также, что систематическому целенаправленному исследованию приближенных методов решения различных класов слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов посвящено большое число результатов группы казанских математиков под руководством Б.Г.Габдулхаева (см., напр., работы, в том числе диссертации, [1, 2, 3, 6, 15, 17-27, 31, 36, 37, 64, 76] и библиографию в них). Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остает-

ся много нерешенных задач. Данная диссертационная работа призвана в некоторой степени восполнить этот пробел.

Работа посвящена прямым и проекционным методам решения слабосингулярных интегральных уравнений видов

/ ч л У In \т — t\х(т) dr "V hit, т)х(т) dr Кх = x(t) + Л / -г-!—■ ; . д + ¡1 / 1 =

¿1 (1 - т)а(1 + ТУ _1 (! - + TY

= y(t), -l<i<l, -1< а, /?<1; (0.1)

1 +1 1 +1 Кх = — J^ р(т) In |r — -t\x(r) dr H— J p(r)h(t, т)х(т) dr = y(t),

—1 < i < 1, (0.2)

1 _ T

p(r)

\

или р(т)

1 + T (0.2')

1 — т

1 + т

здесь Ли// — произвольные параметры, такие что Л2 + ц2 ф 0, х{€) — искомая функция, у{Ь) и /г(£, г) — данные функции, причем слабосингулярные интегралы в (0.1) и (0.2) понимаются как несобственные как в пространстве непрерывных функций, так и в весовом пространстве квадратично суммируемых по Лебегу функций. При этом основное внимание уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов, под которым, следуя Л.В.Канторовичу [44], гл.14, понимается следующий круг вопросов:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных уравнений; при этом мы полностью следуем методике исследований аппроксимативных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов, специально разработанной в монографиях [20 - 22] и в работах [11 - 18] Б.Г.Габдулхаева.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач физики, химии, механики и математической физики, сводящихся к указанным уравнениям.

Диссертация состоит из трех глав и списка цитированной литературы, насчитывающего 104 наименования.

Первая глава (§§1-7) диссертации носит в основном вспомогательный характер. В параграфах 1-4 приведены некоторые необходимые для дальнейшего изложения результаты из теории функций и приближений. В § 5 строится интерполяционная квадратурная формула для т.н. логарифмического интеграла

+1

Щ = / р(т) 1п \т - г\х(т) <*т, р(т) = (1 - т)а(1 + т)*, -1

-1<*<1, —1 < ск,/3, (0.3)

здесь в основном изложены с некоторыми видоизменениями и дополнениями принадлежащие З.Т.Назарчуку [61, 62] результаты по квадратурной формуле

п

(0.4)

к=1

где = (к = 1, п) — корни полинома Якоби степени п 6 N для весовой функции р(т) = (1 — т)а( 1 + т)^, —1 < а,/? < 1, а

+1 / ч

ак® = а*,„(*) = / р(т)1к(т) с*т, 1к(т) = 7 (0.5)

где шп{Ь) = (£ — tl){t — £2) • • • (^ — В частности, значительное внимание уделено конструктивным методам вычисления коэффициентов (0.5) квадратурной формулы (0.4) с помощью теории ортогональных многочленов Якоби [63, 73, 75].

Следует отметить, что первые результаты по исследованию квадратурной формулы (0.3) — (0.5) принадлежат также З.Т.Назарчуку [61,

62]; он доказал ее сходимость и установил скорость сходимости для достаточно гладких плотностей. В связи с этим §§ 6 и 7 диссертации, написанные автором самостоятельно, посвящены обоснованию квадратурной формулы (0.3) — (0.5) в классе непрерывных функций. Таким способом нам удалось получить достаточно общий результат, из которого и теории приближения функций следуют также указанные выше результаты З.Т.Назарчука [61, 62]. В частности, в § 6 доказана следующая

Теорема 6.1. Квадратурная формула (0.3) — (0.5) сходится равномерно для любой непрерывной функции х(Ь) Е С[—1,1]. При этом для остаточного члена Лп(ж;£) квадратурной формулы (0.3) — (0.5) справедлива оценка

||Д„(а;;*)|| < 2Ау/В(1 + а,1 + Р)Еп.1(х)с, п Е N. (0.6)

где постоянная А определяется из неравенства

'+1

шах 11 р(т) 1п2 |г - Ц Лт 1-1

< А < оо.

(0.7)

Здесь и далее В (у, есть бета-функция Эйлера, Ет(х)с — наилучшее равномерное приближение функции х(Ь) € С[—1,1] алгебраическими многочленами степени не выше ш(ш + 1бК).

Кроме того, через С = С[—1,1] и = Ь2,р[—1,1] будем обозначать пространства соответственно непрерывных и квадратично суммируемых по Лебегу с весом р = р{£) функций на сегменте [—1,1] и с обычными нормами:

Г+1

х

I Р(Фт2 л -1

1/2

х е ь

2 р-

В частных случаях результаты §§ 5, 6 конкретизируются и несколько усиливаются. В связи с этим в § 7 рассматриваются соответствующие результаты для наиболее часто встречаемых на практике весовых

функций:

т.е. при а = (3 = л/1 — ¿2, т.е. при а = (3 = т.е. при а = —¡3 =

— т.е. при а = —¡3 - —I

(0.8)

1—" г ~ 2'

Следует также отметить, что результаты по различным приближенным методам вычисления интегралов вида (0.3), основанные как на полиномиальной, так и на сплайновой аппроксимации плотности х(г), имеются также в цитированных ниже работах Б.Г.Габдулхаева и в работе В.Н.Шепеленко [88], посвященных данному циклу исследований.

Вторая глава (§§ 1-9) диссертации посвящена прямым и проекционным методам решения слабосингулярного интегрального уравнения (0.1). Следует отметить, что к уравнению вида (0.1) и ему аналогичным приводят многочисленные теоретические и прикладные задачи. В частности, такие уравнения возникают в задачах математической физики, теплопроводности, электрохимии и химии полимеров, выращивания кристалов, в теории линейной вязкоупругости, при исследовании спектра тормозного излучения горячей плазмы, при моделировании процесса распространения эпидемий, в задачах тепло- и массопереноса и агротехнике (см., напр., работы [1-3, 7, 9, 17, 19, 23-25, 27, 29, 31, 36, 37, 45, 54-56, 58-61, 69, 79, 87, 89, 90, 92, 93, 95-99]).

Приближенным методам их решения посвящено большое число исследований, в частности, работы [1-3, 17, 23-25, 27, 30-32, 36, 37, 45, 58, 61, 76, 89, 93, 96] (см. также библиографию в них). Здесь более подробно остановимся лишь на работе [17] ввиду того, что в ней получены, на наш взгляд, наиболее общие и в то же время наиболее характерные для этой области результаты.

Рассматривается линейное интегральное уравнение вида

Кх ЕЕ Хх(г) + I к 1 т)х(т) йт = у(¿), о < * < 1, (0.9)

о

где А — произвольный числовой параметр, функция а(Ь) принимает два значения: 1 (случай уравнения Фредгольма) и Ь (случай уравнения Вольтерра); /¿(¿, т) и у{€) — известные непрерывные функции в областях 0<£<1,0<г<сг(£)и0<£<1 соответственно, а параметры

а ж т удовлетворяют условиям 0 < а < 1; т + 1 € N. В работе [17] для уравнения (0.9) и для его нелинейного аналога предложены общие прямые и проекционные методы, основанные как на полиномиальной. так и на сплайновой аппроксимации функций. Такой подход позволил получить в [17] ряд весьма общих результатов, из которых, в частности, следуют как простые следствия многие из известных к тому времени результатов (см., напр., библиографию из [17]), предложеных ранее для частных случаев уравнения (0.9) исходя из различных соображений частного характера.

Далее весьма интересные результаты для уравнений вида (0.9) получены также П.Н.Душковым [36], С.М.Ахметовым [3], В.Е.Горловым [31], Ю.Р.Агачевым [1], Л.А.Апайчевой [2] (полиномиальные и сплай-новые методы и их оптимизация) и Г.М.Вайникко, А.Педасом, П.Убой [7] (сплайновые методы), а также другими авторами.

Результаты главы II следует рассматривать как продолжение и дальнейшее развитие указанных выше результатов Б.Г.Габдулхаева. Остановимся на их краткой характеристике.

В § 2 приводятся три вычислительные схемы метода механических квадратур для уравнения (0.1), одна из которых ранее была предложена (без теоретического обоснования) З.Т.Назарчуком [61].

Здесь приведем лишь одну из таких схем. Приближенное решение уравнения (0.1) ищется в виде многочлена

П QJ (f)

xn(t) = £ /Щ*), т = Ди;,, v (0.10)

fc=i \t - ч)и'п{гк)

а неизвестные коэффициенты /?1,/?25 • • • определяются из СЛАУ

п п _

ft' + AE ак(Ъ)рк + \1 £ Akh(thth)pk = y{tj), j = 1 ,n, (0.11)

А=1 к=1

где Ак и tk — коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса для весовой функции Якоби р = p(t) = (1 — ¿)~а(1 + а функции ak(t) определены в (0.5) (способам их вычисления, как уже заметили выше, посвящена значительная часть § 5).

С целью теоретического обоснования этой и других схем прямых и проекционных методов в § 3 исследованы структурные свойства опера-

тора Н : 1;2Р —> 1<2р и оператора Н : С —>• С, где

+1

Я (г; *) = / р(т) 1п |т - ¿| х(т) ¿т, р(т) = (1 - г)_а(1 + г)^,

-1

а также аппроксимативные свойства оператора Лагранжа Сп по узлам ¿1, ¿2> • ■ • 5 ¿п? являющимся корнями полинома Якоби степени п Е N с весом /?(т).

Параграфы 4-7 этой главы посвящены теоретическому обоснованию метода квадратур в универсальных терминах теории приближения функций. При этом в основу исследований нами положена предложенная Б.Г.Габдулхаевым (см., напр., [13-15]) схема исследования этого метода, основанная на его сходимости и оценке погрешности в среднем и в узлах. Так, в § 4 докзана сходимость метода механических квадратур в пространстве Ь2Р для непрерывных функций у(£) и т), а также установлена скорость сходимости метода в зависимости от структурных свойств исходных данных.

В § 5 доказана сходимость метода квадратур (0.1), (0.10), (0.11) в узлах квадратурной формулы Гаусса и установлены оценки погрешности метода для непрерывных функций /г(£, т) и у(£), а также установлена скорость сходимости метода.

Параграф 6 посвящен равномерной сходимости метода квадратур (0.1), (0.10), (0.11), а также в том случае, когда приближенное решение определяется по формуле

п п

М*) = !/(*) - А Е 0>к(Ш % тк)(Зк, (0.12) к=1 к=1

где --чРп — решение СЛАУ (0.11).

В § 7 рассмотрены конкретизации результатов по методу квадратур для наиболее часто встречающихся на практике весовых функций р(т), определенных в (0.8).

В параграфе 8, следуя Б.Г.Габдулхаеву (см., напр., [17, 18, 20]), предложены схемы двух общих полиномиальных проекционных методов решения уравнения (0.1). Первая из схем порождается полиномиальными операторами, ограниченными по норме в совокупности в пространстве Ь2Р[—1,1]. Вторая схема порождена полиномиальными операторами, неограниченными в пространстве 1/2Р, но ограниченными как операторы

из пространства С[—1,1] в пространство Ь2Р. Дано теоретическое обоснование обеих схем на основе общей теории приближенных методов анализа и теории приближения функций.

Параграф 9 посвящен сплайновым проекционным методам решения уравнения (0.1). Предложены вычислительные схемы метода сплайн-коллокаций нулевого порядка, а на его основе метода Боголюбова-Крылова (см., напр., в [45]) и дано их теоретическое обоснование в пространстве ограниченных функций.

Третья глава (§§ 1-8) посвящена исследованию прямых и проекционных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений (0.2) с указанными в (0.2') весовыми функциями. Уравнения такого вида встречаются в задачах теории дифракции и акустики, электродинамике и электротехнике, теории упругости и аэрогидромеханике, теории конформных отображений и в ряде других разделов физики, механики и математической физики (см., напр., работы [8, 10, 21, 22, 28, 29, 35, 40, 47, 61, 65-70] и библиографию в них). Особенности решения таких уравнений и итоги достигнутых в этой области результатов подробно изложены, например, в монографиях и работах обзорного характера [10, 21, 22, 28, 29, 35, 40, 46, 47, 60, 61, 65, 68-72, 87, 91-94, 97] и в диссертациях [6, 37, 58, 64, 67, 76, 82, 83] (см. также библиографию в них). Однако анализ полученных результатов показывает, что приближенные методы решения уравнения (0.2) рассмотрены в основном для весовой функции = (1 — ¿2)-1/2 и лишь частично для веса р(£) = (1 — ¿2)1//2. В то же время для практического применения представляет также интерес (см., напр., [61, 62]) уравнение (0.2) с весовыми функциями (0.2'). Глава III диссертации посвящена решению этой задачи.

Основная трудность решения уравнений (0.2), (0.2') связана в первую очередь с их некорректностью [43, 51, 57, 80]. Однако, следуя специально разработаной в монографиях [21, 22] методике исследований, эту трудность нам удалось преодолеть благодаря подходящему выбору пространства искомых элементов X = {х} в зависимости от пространства правых частей У = {?/}. В данном случае, выбирая X = Ь2Р[— 1,1] = Ь2Р и У = Ил219[—1