Распространение нестационарных волн в нелинейном вязкоупругом пространстве со сферической полостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

^ИН]£§£еРСТ1Ю образования азербайджанской республики

азербайджанская государственная нефтяная академия

На правах рукописи \ УДК 539.374

АЛИЕВА АЗАДА ДЖАМШИД КЫЗЫ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМ ВЯЗКОШРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ СО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ

(01.02.04-механика деформируемого твердого тела)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ - 1998

Работа выполнена в Институте Математики и Механики Академии Наук Азербайджанской Республики.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

М.Х.ИЛБЯСОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

кандидат технических наук, доцент

В.Д.ГАДЖИЕВ М.А.ГАДЖИЕВ

Ведущая организация: Азербайджанский Технический

Университет

Защита диссертации состоится МХ1лХ- 1998 г. в "_" час в ауд."_" на заседании Специализированного совета Н 054.02.03 по присуждению ученых степеней кандидата физико-математических и технических наук, в Азербайджанской Государственной Нефтяной Академии по адресу: 370010, Баку, проспект Азадлыг-20.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке АГНА: пр. Азадлыг-20.

Автореферат разослан С^^лЫсЯ^}ддя г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат технических наук, доцент

Ш.МЕХТИЕВ

общая характеристика работы

Акхуапьнасть_райоты. Развитие различных областей техники и создание новых конструкций, работающих при динамических воздействиях, применение взрывных и ударных нагрузок при добыче полезных ископаемых и в таких технологических процессах, как обработка металлов давлением, транспортировка нефтегазопродуктов, формировка листов, сварка, упрочнение, резание металлических заготовок и т.д., современные проблемы геофизики, сейсмологии и космонавтики, а также ряд других тенденций научно-технического характера способствовали повышению актуальности проблем динамики деформируемого твердого тела.

Широкое применение элементов конструкций из полимерных, композитных и других реологических материалов, а также металлов при повышенных температурах делает актуальными исследования нестационарных динамических процессов в вязкоупругих материалах. При этом основную роль играет более точное описание физико-механических свойств реальных материалов, в том числе, реологическая и физическая нелинейность, а также универсальные эффективные методы решения конкретных задач. Интерес к нестационарной динамике вязкоупругих материалов обусловлен не только запросами техники, но и теоретической точкой зрения. Математическая постановка задач о распространении нестационарных волн в вязкоупругих материалах приводит к сложным начальным и краевым задачам для систем линейных или нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического или пссвдопараболического типов.

Анализ имеющихся публикаций позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, теория распространения нестационарных волн в нелинейных вязкоупругих материалах является актуальной областью механики деформируемых твердых тел, имеет широкие области приложения и далека еще от своего завершения. Поэтому представляется актуальным изучение теоретически и практически важных задач в этой области и, во-вторых отсутствует единый метод решения таких задач, следовательно, всякое исследование в этом направлении заслуживает особого внимания.

Цель_райоты. Целью данной работы является аналитическое решение задачи о распространении нестационарных волн

в нелинейном вязкоупругом пространстве со сферической полостью согласно главной квазилинейной теории вязкоупругости Ильюшина-Огибалова с любыми непропорциональными разностными функциями линейной и нелинейной релаксации; исследование влияния вида наследственных функций, их непропорциональности и физической нелинейности среды на волновое поле.

Научная новизна. Впервые построено аналитическое решение динамической задачи о распространении нестационарных волн' в вязкоупругом пространстве со сферической полостью. Уравнение состояния материала пространства описывается главной квазилинейной теорией вязкоупругости Ильюшина-Огибалова с довольно общими функциями нелинейности, охватывающими все частные теории (главная квадратичная, главная кубичная).

Задача исследована методами малого параметра и интегрального преобразования Лапласа. Найдено точное аналитическое решение соответствующей линейной задачи - при пропорциональных функциях объемной и сдвиговой релаксации. Проведено исследование полученного решения для регулярного и слабосингулярного ядер. Построено приближенное аналитическое решение этой задачи с учетом непропорциональности функции объемной и сдвиговой релаксации. Проведен подробный анализ влияния этого фактора на волновое поле, сделаны соответствующие выводы. При пропорциональных функциях линейной релаксации построены точные аналитические выражения второго, третьего и четвертого приближений и указаны пути построения любого последующего приближения решения нелинейной задачи.Обсуждены вопросы влияния непропорциональности функций линейной релаксации на эти приближения. Подробно исследовано решение второго приближения и ее влияния на волновое поле для регулярных и слабосингулярных ядер линейной ползучести.

Достоверность основных научных положений и выводов подтверждается:

- коррекностью постановок задачи и аналитическими решениями, полученными строгими математическими методами;

- совпадением полученных результатов в частных случаях с результатами других авторов, полученных иными методами;

- согласованностью полученных численных результатов и

графиков с физическо-механическими положениями исследуемых вопросов.

широким кругом практических приложений рассматриваемых задач. Результаты исследований, проведенных в диссертации, могут быть использованы при расчетах на динамическую прочность элементов конструкций из полимерных, композитных и других реологических материалов и металлов при повышенных температурах, а также при сейсмостойкости сооружений, сейсморазведке, акустодиагностике, геофизике, в строительстве подземных и подводных сооружений, коммуникации и др.

Апробания работы. Результаты диссертационной работы регулярно докладывались и обсуждались на научных семинарах отдела "Прикладные проблемы математики и механики", отде-ла'Теории ползучести", на общеинститутских семинарах Института Математики и Механики Академии Наук Азербайджана.

Диссертация п целом доложена и обсуждена на семинаре отдела "Теории ползучести" и па общеинститутском семинаре ИММ АН Азербайджана.

Публикация. Основные результаты диссертации отражены в четырех опубликованных статьях.

ния, двух глав, заключения и списка литературы. Она содержит 146 страниц машинописного текста, включающих 17 рисунков, библиографию из 87 наименований.

В введении определены цель и актуальность рассматриваемой проблемы, дан обзор литературы, посвященной вопросам распространения нестационарных волн в деформируемых твердых телах, указан круг обсуждаемых вопросов, и в краткой форме изложены основные результаты работы.

В первом параграфе первой главы дается постановка задачи. Рассматривается бесконечное однородное изотропное вяз-коупругое пространство со сферической полостью радиуса го , к которой приложено давление Р(1), переменное во времени и равномерно распределенное по поверхности полости. При этом все параметры, определяющие состояния исследуемой среды,

определяется достаточно

;. Диссертация состоит из введе-

содержание работы

являются функциями только одной пространственной переменной (радиуса г) и времени г. В сферической системе координат (г,<р,6), начало которой совпадает с началом полости, поле перемещения определяется функциями

иг=и(Г,1), ир=ид=0 (1)

где иг, ыр, и0 - сферические составляющие вектора перемещения.

Отличными от нуля будут составляющие тензора деформации (рассматривается малая деформация)

_ди _ и

~т~ >' £<р<р— Евв— ~ (2)

ог Г

и составляющие тензора напряжений

о>г=о>/л сгрр=сгр/г, I), ов(>=<Уо((г, г) (3)

Уравнение движения при отсутствии массовых сил будет

^ + Л

дг г н д12

где р - плотность материала среды. Начальные условия нулевые

ди

и(г, 0)=0; — =0, (5)

дг г=0

а граничное условие и условие ограниченности следующие

стгг(го,0=-Р(г) (6)

при г~> со (7)

Уравнения состояния принимаются в соответствии с главной квазилинейной теорией вязкоупругости Ильюшина- Огиба-лова

; I

*0 = И' - М^ - ¡Г, (' - т)(р{е, 9)еу (т)с1т (8)

о о

I I

а у = |Г, (/ - т)9 (т )с!т - ¡Гг (г - тЩе, в)6 (г)с1т (9) о о

Здесь ¿у и вц - девиаторы тензоров напряжений и деформаций

5У~ °\г

(Ю)

в = ец8ц

(П)

ст и 6 - шаровой тензор и объемная деформация

I 3

е=ву( т)ву( т), Г(0 и Г;(0- линейные, а и Г^г)- нелинейные ядра сдвиговой и объемной релаксации соответственно (1,]'=г, <р, 0), по повторяющимся индексам производится суммирование, (р (е,в) и цг (е,в)- заданные функции, определяющие физическую нелинейность среды, 8ц -символ Кронекера.

Ядра релаксации разбиваются на сингулярную и регулярную составляющие

Щ=2С8(1)-Г(0, Г1(1)=К5(1)-ГМ

(12)

где в - модуль сдвига, К - модуль объемного сжатия, 8 (г) -дельта-функция Дирака, ГТг), Г ¡(г), Г^г), Г^) - регулярные функции, Г? и Г у, - постоянные.

Задача (1)-(12) является замкнутой задачей для определения перемещения , а затем деформаций и напряжений. Эта задача сведена к решению одного интегро -дифференциального уравнения для функции и(г, I)

1

д и 2 д и г2 тдт

2и

М-*)

дг \дг г) '

(13)

оу{е,в)( ди | 2и д г \д г г )

+

{ д 2 и 2 д и

2и

с1т = р

д 2У

С учетом начальных условий (5) и граничных условий (6), (7). Здесь ЪХ^-ГМ; ЛГ/)=-Г М; 0)=К; Щ0)=2С.

Задача (13), (5) - (7) решается методами последовательных приближений и малого параметра в сочетании с интегральным преобразованием Лапласа по времени.

Во втором параграфе первой главы построено решение для первого приближения поставленной задачи, которая представляет собой соответствующую задачу для линейного вязкоупру-гого пространства со сферической полостью. Решение построено использованием интегрального преобразования Лапласа. Обратное преобразование построено с помощью обобщенной теоремы умножения Эфроса и специальных функций построенных М.Х. Ильясовым для произвольных разностных ядер линейной ползучести. Проведено исследование полученных формул при больших и малых значениях времени. Построены графики зависимостей напряжений от разности 1-(г-г0)/с, разных значениях координаты г для упругого пространства, а затем для вязкоупрутого пространства при постоянном коэффициенте Пуассона для регулярных ядер и слабосингулярных ядер Абеля и Ржаницына. Сделаны соответствующие выводы.

Третий параграф первой главы посвящен учету непропорциональности линейных функций объемной и сдвиговой релаксации на решение поставленной задачи для линейного вязкоупрутого пространства. В преобразованиях Лапласа решение задачи разлагается в ряд по степеням величины:

Здесь Я и К) изображения по Лапласу функций сдвиговой и объемной релаксации Щг) и И](1), и к0=ЩО), К10=Я](О). Величина Х(р) по модулю меньше единицы для всех значений р, а при р -> оо она обращается в нуль. Кроме того, она рационально зависит от изображения функций релаксации и поэтому восстановление ее оригинала не представляет принципиальной трудности. Если Щ1)-Я0ехр(-аг)г Я 1(1)=Я10ехр(-/? г), то

Х(1) = ^

(/? -а)

ехр

о

Я(/)

Если объем деформируется упруго, то вводя функцию Ильюшина Щ1)=ЗК(о(г), имеем

х(р)=ЗК * 1

20 1 +2а 1 + 215

Отсюда

ЗК

20 „

где 0 функция связной ползучести Ильюшина.

Найдены оригиналы первых трех приближений решения. Проведен анализ полученных решений. Показано, что у фронта волны непропорциональность наследственных функций существенно влияет на волновое поле посредством коэффициента затухания

2

которое заметно отличается от этого для пропорциональных ядер. Рассмотрены примеры, когда функции релаксации описываются с экспоненциальными функциями с разными показателями, объем деформируется упруго, а сдвиговые свойства описываются либо регулярной, либо слабосингулярной ядрами ползучести. Построены соответствующие графики.

Вторая глава диссертации посвящена построению второго, третьего и четвертого приближений поставленной нелинейной задачи. Предполагается, что функции <р(е,0) и ц/(е, в) предста-вимы в виде

2 3 2 2

(р(е,в)=а}в+а2е+а3в +а4ве+а59 +(¡¿6 е+а7е; у(е,е)=Ь1е+Ь2е+Ь392+Ь46е+Ь593+Ь6в2е+Ь7е2;

где коэффициенты а; и Ь, | / = 1,7) постоянны, а граничные

условия имеют вид: агг(г0,0=-А.Р(1); ->и(г,1)-»0 при г-» да. Как и в первой главе сначало выведено нелинейное интегро-дифференцйальное уравнение движения для перемещения и (г, 1), а затем, разыскивая перемещение в виде

и(гл)= ¿Л '' и^гл);

1=1

где и ¿(г, г) искомые неизвестные функции, а к -некоторый параметр, получены замкнутые задачи для определения функций и2(Ш), и3(щ), и и4(г,1). Построены точные аналитические выражения этих функций, при пропорциональных функциях линейной релаксации. Проведен подробный анализ второго приближения в случае, когда возмущение задается в виде единичной функции Хевисайда. Показано, что сразу после приложения нагрузки к полости по пространству распространяются центрированные волны Римана, подобно тому, как это происходит в нелинейно-упругом стержне. Однако, здесь волновая картина получается довольно сложной из-за сферической расходимости и затухания решения за счет вязкости. Для скорости вогдаы получены вьфажения:

V Р Яг

2 = --

А + 2/л

где к и - коэффициенты Ляме. Проведено исследование полученных формул для регулярных ядер и слабосингулярного ядра Абеля. Построены графики зависимости напряжений от времени при различных значениях координаты г0. Исследовано влияние непропорциональности функций линейной релаксации на второе приближение нелинейной задачи.

Указаны пути построения последующих приближений.

дующем;

1. Методами малого параметра и интегрального преобразования Лапласа по времени построено аналитическое решение задачи о распространении нестационарных волн в нели-

нейном вязкоупругом пространстве со сферической полостью. Уравнения состояния материала пространства описываются главной квазилинейной теорией взякоупругости Ильюшина-Огибалова с довольно общими функциями нелинейности, охватывающими все частные теории (главная квадратичная, главная кубичная). Фигурирующие здесь две линейные и две нелинейные наследственные фукции являются независимыми друг от друга любыми разностными функциями времени. Построены первые четыре приближения решения, представленного в виде ряда по степеням малого параметра, характеризующего граничное условие и указаны пути построения последующих приближений. Первое приближение является решением соответствующей задачи для линейного вязкоупругого пространства, а задача определения последующих приближений состоит из решения неоднородного уравнения движения, левые части которого совпадают с уравнением линейной задачи, а правые части зависят от решения всех предыдущих приближений. Начальные и граничные условия всех приближений, начиная со второго, нулевые.

2. Построено точное аналитическое решение линейной задачи о распространении нестационарных волн в вязкоупругом пространстве со сферической полостью при пропорциональных функциях объемной и сдвиговой релаксации для любого разностного ядра ползучести. Проведен анализ решения для упругого материала, когда свойство материала описывается регулярными и слабосингулярными (Абель, Ржаницын) ядрами. В случае внезапно включенной, постоянно действующей нагрузки, напряжения приведены к виду произведения двух функций, первые из которых являются решениями упругой задачи, взятыми с некоторым запазданием по времени, а вторые - решением вспомогательной задачи для любого ядра, охватывающим все реологические свойства материала.

Для регулярного наследственного ядра качественная картина волнового поля совпадает с упругим, а количественное отличие состоит в затухании вязкоупругого решения со временем.

Для слабосингулярного ядра ползучести Абеля решения качественно и количественно отличаются от упругого. Происходит размытие волнового фронта, связанное с бесконечным ростом функции диссипации у фронта волны, и образуется квазифронт. Напряжение во время движения остается меньшей

упругого. Качественная картина волнового поля в случае слабосингулярных ядер Абеля и Ржаницына совпадает, а их количественное отличие у фронта волны незначительно.

3. Построено приближенное аналитическое решение линейной задачи о распространении нестационарных волн в вяз-коупругом пространстве со сферической полостью при непропорциональных функциях объемной и сдвиговой релаксации. Изображение решения в преобразованиях Лапласа разложено в ряд по некоторой малой величине, зависящей от параметра преобразования Лапласа и найдены оригиналы первых трех членов ряда. Проведен анализ этих функций и оценено их влияние на волновое поле у фронта волны. Показано, что у фронта волны непропорциональность наследственных функций существенно влияет на волновое поле посредством коэффициента затухания, которое заметно отличается от этого для пропорциональных ядер. Влияния второго и последующих членов ряда на первый член у фронта волны незначительны. Сделан вывод о том, что во избежание громоздких вычислений при пропорциональных функциях учтены замены лишь коэффициентов затухания. Рассмотрены примеры, когда функции релаксации описываются экспоненциальными функциями с разными показателями, объем деформируется упруго, а сдвиговые свойства описываются либо регулярной, либо слабосингулярной ядрами ползучести.

4. Построены точные аналитические выражения решений второго, третьего и четвертого приближений решений нелинейной задачи при пропорциональных функциях линейной релаксации. Проведен подробный анализ решения второго приближения у фронта волны в случае, когда возмущение задается в виде единичной функции Хевисайда по времени.

Показано, что сразу после приложения нагрузки к полости по пространству распространяются центрированные волны Ри-мана, подобно тому, как это происходит в нелинейно-упругом стержне. Однако здесь волновая картина довольно сложная из-за сферической расходимости и затухания решения за счет вязкости. Наибольшее значение радиального напряжения получается на границе полости, с удалением от которого происходит его монотонное уменьшение. За фронтом волны в любом сечении для регулярных наследственных ядер напряжение уменьшается по экспоненциальному закону со временем. В

случае непропорциональных линейных наследственных функций, коэффициент затухания может сильно отличаться от пропорциональных функций. В случае, когда линейное деформирование объема происходит по упругому закону, затухание решения у фронта волны происходит намного медленнее по сравнению с пропорциональными функциями линейной объемной и сдвиговой релаксации с теми же значениями параметров. В случае, когда наследственные свойства материала описываются слабосингулярными ядрами, решение качественно и количественно отличается от упругого и вязкоупругого с регулярными наследственными ядрами. За счет бесконечного роста функции диссипации у фронта волны (установленное в литературе при решении подобной задачи для тонкого прямолинейного стержня) происходит размывание фронта волны и заметное напряжение распространяется с меньшей скоростью (образуется квазифронт). С удалением от границы полости длина участка за фронтом волны, где напряжение незаметно из-за указанного эффекта, растет. Напряжение во всех сферических сечениях и за все время движения остается меньшим по модулю от решения упругой задачи и от вязкоупругой задачи с регулярными наследственными ядрами. Колебательный характер решения за фронтом волны не происходит, хотя из структуры решения это не видно.

Решения четвертого приближения представлены в виде пригодного для любого последующего приближения с заменой лишь двух функций, одна из которых равна правой части уравнения движения рассматриваемого приближения, а вторая - той части радиального напряжения, которая зависит от предыдущих приближений.

основное содержание диссертации опубликовано в следующих статьях:

1. Алиева А.Д. Нестационарные сферические волны в вяз-коупругом пространстве с непропорциональными функциями релаксации. Деп. в ВИНИТИ, № 1728-В 92, 1992, 38 с.

2. Ильясов М.Х., Алиева А.Д. Распространение нестационарных сферических волн в линейном вязкоупругом пространстве. Деп. в ВИНИТИ, №974-В 92, 1992, 28 с.

3. Алиева А.Д. Нестационарные сферические волны в не-

линейной вязкоупругой среде. Азербайджанский Инженерно-Строительный Университет // Ученые записки № 1, Баку 1997, с.108-114.

4. Алиева А. Д. Учет влияния нелинейной вязкоупругости в распространение нестационарных сферических волн в пространстве. Азербайджанский Инженерно-Строительный Университет //Ученые записки № 1, Баку 1997, с. 114-120.

3LÍYEVA AZAD9 C9M$ÍD QIZI

SFERÍK BOÇLUQLU QEYRÍ-X9TTÍ ÖZLÜELASTIK F8ZADA Q3RARLAÇMAYAN DALÖALARIN YAYILMASI

XÜLAS Э

Dissertasiyada sferik boçluqlu qeyri-xotti özliielastik fazada qa-rarlaçmayan dalgalarm yayilmasi mosalasi tsdqiq edilir. tlyuçin-Oqibalovun kvazixatti özlüelastikiyyat nszsriyyasindan istifada edilmakla masóla bir xiisusi töramali qeyri-xatti inteqro-diferensial tanlik ûçiin baçlangic-sarhod masalosino gotirilir. Kiçik parametr va Laplas inteqral çevirmasi metodlanndan istifada edilmakla bu masalanin taqribi analitik halli tapilmiçdir. Xstti va qeyri-xatti relak-sasiya funksiyalarimn ifadalari üzarina heç bir alava mahdudiyyat qoyulmadan hallin ilk dörd yaxinlaçmasinin daqiq analitik ifadalari qurulmuç, sonraki har hansi bir yaxinlaçmanin yazilmasi yollan gôstarilmiçdir. Xstti relaksasiya funksiyalarimn bir-birina nisbatinin sabit va zamanin funksiyasi olmasi hallan ayri-ayriliqda analitik va adadi iisullarla öyranilmi§, müvafíq mexaniki effektlar açkar edil-miçdir.

ALIYEVA AZADA JAMSIIID K1ZI

SPREADING OF NON-STATIONARY WAVES IN NONLINEAR VISCOUS-ELASTIC WITH A SPHERICAL LAP-ROBE

SUMMARY

The problem about spreading of nonstationary spherical waves in nonlinear viscous-elastic space with a spherical lap-robe is investigated.

The problem is reducted to the problem of non-linear integraldifferential equation with one private derivative taking into account of the initial and boundary conditions by using of main quasi-linear Ilyushin-Ogibalov theory of viscous-elasticity. The approximate analytical solution of this problem had been found by using of methods of consecutive approximations and small parameter in combination with Laplas integral transformation. Exact analytical first, second, third and fourth approximations had been constructed on proportional functions of linear relacsation and ways of construction of any consequent approximate of solution of nonlinear problem have been pointed.

Separately the case of proportional and nonproportional linear relacsations with analytical and numerical methods. Separately had been studied and proper mechanical effections had been found out.