Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ДОЛГАРЕВ Иван Артурович

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА ГАЛИЛЕЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003158ТТТ

ПЕНЗА 2007

003158777

Работа выполнена на кафедре математики и математического моделирования государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Смирнов Юрий Геннадьевич.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Самохин Александр Борисович;

кандидат физико-математических наук, доцент

Мокейчев Валерий Степанович.

Ведущая организация - Московский государственный областной университет

Защита диссертации состоится 31 октября 2007 г., в 15 часов, на заседании диссертационного совета К 212 081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММдуд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан ¿ем 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент У/ Липачев Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Диссертация посвящена формированию, исследованию и аналитическому решению систем дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными, составленными по коэффициентам квадратичных форм поверхности пространства-времени Галилея, для нахождения этой поверхности Задача отыскания поверхностей по коэффициентам ее квадратичных форм возникла в евклидовой геометрии и является классической в дифференциальной геометрии. Основоположниками теории поверхностей являются К Ф. Гаусс, Г Монж, Л. Эйлер, К. М Петерсон. Теорема о задании поверхности коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм впервые доказана К М Петерсоном в 1853 г., но не опубликована Первая публикация принадлежит О. Бонне (1867 г.). В математической литературе теорема носит название теоремы Бонне. Для поверхностей в других пространствах, в частности, в пространстве-времени Галилея аналогичная задача, видимо, подробно не изучалась. В диссертации рассматривается задача отыскания поверхности в геометрии 3-мерного пространства-времени Галилея. Эта геометрия построена на основе 3-мерной аффинной геометрии посредством введения галипеева скалярного произведения векторов Тем самым рассматривается галипеева метрика (точнее, квазиметрика, так как она не является метрикой в традиционном смысле) При этом линейное пространство аффинного пространства превращается в галилеево векторное пространство, а аффинное пространство становится пространством Галилея. В этом пространстве вектор имеет три координаты первая координата - время; остальные две являются пространственными

Систему дифференциальных уравнений с частными производными для отыскания поверхности в евклидовом пространстве по коэффициентам первой и второй квадратичных форм обычно получают по деривационным формулам Гаусса и Вейнгартена. Такие системы уравнений очень громоздки и плохо обозримы.

В диссертации среди рассматриваемых систем дифференциальных уравнений с частными производными содержатся дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производных старшего порядка; но это не всегда производные второго порядка по времени. Эти системы дифференциальных уравнений отличаются от сис-

тем уравнений, для которых доказана теорема С. В. Ковалевской о существовании и единственности их решения Рассматриваются и системы дифференциальных уравнений с частными производными, которые не могут быть разрешены относительно производных старшего порядка. Они также не удовлетворяют условиям указанной теоремы С В. Ковалевской. Составленные системы дифференциальных уравнений с частными производными решены аналитически в диссертации в общем случае и с конкретными коэффициентами.

Исследованиями по неевклидовой геометрии Галилея занимались в начале XX в. В. Бляшке, Л Зильберштейн, А П. Котельников, И М. Яглом, Б. А. Розенфельд, Н. М. Макарова. В И. Арнольд1 вводит определение галилеевой структуры на основе аффинного пространства. Тем самым В. И Арнольд, описывая механику Галилея-Ньютона, рассматривает 4-мерное пространство-время Галилея. Также В И. Арнольд в своей книге рассматривает задачу о движении материальной точки массы 1 по поверхности вращения в 3-мерном евклидовом пространстве. В диссертации рассматриваются поверхности в 3-мерном пространстве-времени Галилея и решается задача о нахождении траектории движения материальной точки массы 1 по поверхности, полученной по коэффициентам ее квадратичных форм.

Цели работы.

Основная цель работу состоит в формировании и исследовании систем дифференциальных уравнений с частными производными, решение которых определяет уравнение поверхности в 3-мерном пространстве-времени Галилея Рассматривались следующие задачи:

1 Сформировать системы дифференциальных уравнений с частными производными по коэффициентам квадратичных форм поверхности, инвариантно определяющие поверхность в пространстве-времени Галилея

2 Найти аналитическое решение составленных систем дифференциальных уравнений с частными производными и доказать его единственность.

3. Получить уравнения частных видов поверхностей как решений систем дифференциальных уравнений с частными производными.

1 Арнольд, В И. Математические методы классической механики / В И Арнольд - М Наука, 1989 - 479 с

4 Дать механическую интерпретацию полученных результатов для описания траектории движения материальной точки с двумя степенями свободы.

Методы исследования.

Системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка сводятся к последовательности дифференциальных уравнений первого порядка, в основном уравнений в полных дифференциалах Это доказывает существование решений.

Для доказательства единственности решения систем дифференциальных уравнений используется геометрический метод Начальные условия системы уравнений задаются точкой, через которую проходит поверхность, и векторами, определяющими касательную плоскость к поверхности.

Научная новизна работы.

Для рассматриваемых в диссертации систем дифференциальных уравнений с частными производными доказана теорема о существовании и единственности решения Уравнения, входящие в эти системы, отличаются от уравнений, рассматриваемых в теореме С В Ковалевской.

Составлены и аналитически решены системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, решения которых инвариантно определяют поверхность в 3-мерном пространстве-времени Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм Решенная задача является аналогом теоремы Бонне для поверхностей евклидова пространства.

Получены поверхности, определяемые их метрикой, а именно-поверхности пространства-времени Галилея, коэффициенты квадратичных форм которых постоянны или зависят только от временного параметра, или зависят только от пространственного параметра Кроме того, получены поверхности с заданными коэффициентами квадратичных форм, уравнений которых известны. Это прямой геликоид, параболоиды, волчок и др.

Результаты работы, выносимые на защиту.

1. Составлены системы дифференциальных уравнений с частными производными для инвариантного задания поверхности в 3-мерном пространстве - времени Галилея

2, Доказана теорема о существовании и единственности решений составленных систем дифференциальных уравнений с частными производными, т е. получено доказательство аналога теоремы Бонне для поверхностей в 3-мерном пространстве-времени Галилея.

3 В результате аналитического решения систем дифференциальных уравнений с частными производными получены уравнения поверхностей: параболоидов трех видов, геликоида, волчка и некото-

"У 7

рых поверхностей с метрическими функциями Е = Ш и Е-г + и

4. Дано локальное описание поверхности в 3-мерном пространстве-времени Галилея, позволившее получить описание траекторий движения материальной точки, если мировая линия движения точки лежит на поверхности в 3-мерном пространстве-времени Галилея.

Практическая значимость работы.

В диссертации аналитически решены системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, возникающие в геометрии Галилея. Практическая значимость работы состоит в том, что решения рассматриваемых систем применяются в геометрии при доказательстве основной теоремы теории поверхностей и в получении примеров поверхностей Они применяются также в описании механического движения материальной точки по поверхности.

В евклидовой геометрии в XIX в доказана теорема Бонне для поверхностей 3-мерного пространства. Это основная теорема теории поверхностей; 3-мерное пространство-время Галилея является вторым пространством, для поверхностей которого доказана аналогичная теорема Это доказательство получено в настоящей диссертации посредством составления и аналитического решения системы дифференциальных уравнений с частными производными

Получены поверхности, определяемые их метрикой, а именно-поверхности пространства-времени Галилея, коэффициенты квадратичных форм которых зависят только от временного параметра и в некоторых случаях только от пространственного параметра. Поверхности получены как решения систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Работа носит теоретический характер Практическая ценность работы состоит в том, что она содержит методы решений систем дифференциальных уравнений с частными производными, которые не решались ранее Имеется механическая интерпретация результатов.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах:

- Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н В. Ефимова, проводимой Московским государственным университетом им. М В. Ломоносова совместно с Ростовским государственным университетом и Ростовским математическим обществом (Ростов-на-Дону, 2006 г.);

- Научном семинаре кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета (2006 г.),

- Городском семинаре «Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики» Пензенской государственной технологической академии (2007 г.);

- Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина (2007 г)

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ. Одна работа из списка журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 72 наименования, и приложения. Работа изложена на 119 страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы

Настоящая работа посвящена формированию, исследованию и аналитическому решению систем дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, используемых для получения уравнений поверхностей в геометрии Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм.

Задача отыскания поверхности по коэффициентам ее квадратичных форм является классической в дифференциальной геометрии Теорема об описании поверхности коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм является основной теоремой теории поверхностей евклидова пространства Впервые основная теорема доказана К. М. Пе-терсоном в 1853 г в неопубликованной работе кандидатской диссертации. Первая публикация основной теоремы теории поверхностей принадлежит О. Бонне (1867г.). Работы К. Ф. Гаусса, К. М. Петерсона, О. Бонне, Г Майнарди, Д Кодацци привели к получению условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений в доказательстве основной теоремы, выражающихся формулами Гаусса-Петерсона-Кодацци Основная теорема носит название теоремы Бонне (в некоторых пособиях она называется теоремой Петерсона).

К. М. Петерсон доказал, что поверхность определяется заданием коэффициентов первой квадратичной формы, главными кривизнами поверхности и углом между одной из линий кривизны и координатной линией на поверхности. Последние три величины определяются коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Отсюда следует вывод об определяемости поверхности коэффициентами первой и второй квадратичных форм

Систему дифференциальных уравнений с частными производными для отыскания поверхности по коэффициентам первой и второй квадратичных форм обычно получают по деривационным формулам Гаусса и Вейнгартена. Такие системы уравнений очень громоздки и плохо обозримы Более компактны системы уравнений, записанных в тензорном виде

Теорема Бонне для поверхностей евклидова пространства доказана в XIX в Для поверхностей в других пространствах аналогичные утверждения, видимо, не рассматривались Аналог теоремы Бонне для поверхностей пространства-времени Галилея доказан в настоящей диссертации.

Геометрия пространства-времени Галилея изучена еще недостаточно глубоко. Видимо, это связано со своеобразием галшеевой метрики (точнее, квазиметрики), хотя имеется настоятельная потребность приложений геометрии Галилея в механике Галилея-Ньютона (см, например, книгу В И Арнольда). В указанной книге вводится понятие галшеевой структуры на основе аффинного пространства.

К первым публикациям по геометрии с квазиметриками относятся работы В Бляшке, Д. Соммервиля (1911 г). Пространство Галилея впервые рассматривалось Л. Зильберштейном в 1925 г и Александром Петровичем Котельниковым в 1927 г Изложения геометрии плоскости Галилея содержатся в работах И. М Яглома и Б. А. Розен-фельда Свойства плоскости Галилея исследованы Н М. Макаровой (1955-1961 гг ). В 1986 г. опубликованы работы А. И. Долгарева по одулярной галилеевой геометрии, где изучаются и некоммутативные геометрии. Одулярные галилеевы геометрии строятся в схеме Г. Вейля, на основе аффинного пространства или на 3-мерном действительном многообразии

Первая глава посвящена формулированию и решению системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, инвариантно описывающей регулярную поверхность 3-мерного пространства-времени Галилея

В разделе 11 приводятся необходимые сведения по геометрии 3-мерного пространства-времени Галилея, известные из литературы-галилеево скалярное произведение векторов, галилеева норма векторов (свойства которой отличны от свойств евклидовой нормы); выписаны регулярные поверхности в естественной параметризации с галилеевыми касательными плоскостями. Выделены временная и пространственная составляющие поверхности. Пространственная составляющая поверхности, которая является проекцией поверхности на область евклидовой плоскости, однозначно определяет поверхность пространства-времени Галилея Выписана первая квадратичная форма поверхности. Она определяет галилееву метрику на поверхности и метрическую функцию поверхности. Приведена вторая квадратичная форма поверхности. Она определяет кривизну поверхности Выписаны деривационные формулы поверхности и аналоги формул Гаусса-Петерсона-Кодацци

Раздел 12 посвящен постановке задачи по решению системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, не рассматриваемой ранее, с целью получения поверхностей пространства-времени Галилея по ее галилеевой метрике и полной кривизне Это задача об инвариантном задании поверхности, не зависящем от выбора системы координат.

По деривационным формулам поверхности составлена система дифференциальных уравнений с частными производными

х1 + У1=Е,

х -

т 2 Е "

л/Ё

Уи>

А

А

2 Е

В_

(О

Е, В

'л

Уи>

Уп =

ЛЁХи•

Заданы начальные условия, по которым решается задача Коши для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (1). Сформулирована теорема 1, согласно которой по заданным условиям определяется единственное решение системы уравнений (1) Приведен геометрический смысл теоремы 1

Теорема 1. Если на односвязной области В евклидовой плоскости заданы функции

Е = Е{%Г) > О, А = А(1Ц), В = В(и,(), С = С(м,Г)

о

класса С и для них выполнены условия

АЕ( - ВЕи = 2Е(А1 -Ви), ВЕ, + 2Е(В, -Си) = 0, К = АС -В2

?2 __ Е} - 2ЕиЕ 4 Е

то существует единственная на области й векторная функция г (и,г) = (х{и,1), у(и,0), удовлетворяющая соотношениям

е = х1 + У1> А = гшгг, В = гшп, С = гип,

где п -(~уи,хи). Компоненты х(и,1), у(и,/) указанной векторной функции являются решением системы дифференциальных уравнений (1) с частными производными.

Начальные условия

г(и0,10) = а = (а\а2),

ги(и0,^) = Ь=(Ь\Ь2), = Е0=(и0,Г0)-,

г1(и0^0) = с=(с\с2), (м0^0)еВ определяют единственное решение системы уравнений

В разделе 1 3 предлагается метод последовательного интегрирования системы дифференциальных уравнений с частными производными, сводящийся к решению цепочки дифференциальных уравнений с частными производными. Составлена схема аналитического решения системы (1) дифференциальных уравнений, составленной в разделе 1 2, что обеспечивает существование решения указанной системы уравнений.

В разделе 1.4 осуществлена схема аналитического решения системы (1) дифференциальных уравнений с частными производными. По виду метрической функции поверхности пространства Галилея введена вспомогательная функция м>(и^), по которой получена частная

производная ги(и^)= (л/Ёсоэмг(и,1),4Ё8Ш?)) по параметру и разыскиваемой векторной функции. Затем найдена частная производная г1 по параметру t векторной функции, и, наконец, найдена сама функция.

Схема решения системы дифференциальных уравнений (1) есть схема доказательства существования решения системы (1) Единственность решения системы уравнений обеспечивается начальными условиями.

В разделе 1 5, согласно геометрическому смыслу решаемой задачи, выписана функция, описывающая поверхность пространства-времени Галилея, полученная в результате решения системы (1) дифференциальных уравнений с частными производными, и установлено, что коэффициентами квадратичных форм этой поверхности являются заданные функции - коэффициенты решенной системы уравнений.

Раздел 1 6 посвящен исследованию независимости коэффициентов квадратичных форм поверхности. Оказалось, что коэффициент В может быть получен как решение системы дифференциальных уравнений с частными производными

" 2 Е 2 Е 4

т е коэффициент В является функцией коэффициентов Е,А,С

В разделе 1 7 составлена система дифференциальных уравнений с частными производными по формулам коэффициентов квадратичных форм поверхности

х2и+у2и=Е,

хиУш-УЛи-Л^, (2)

хиУш ~Уихм =

Установлено, что системы уравнений (1) и (2) с одними и теми же коэффициентами обладают одними и теми же решениями.

В разделе 1 8 рассмотрен случай, когда функция частной производной ги имеет только одну ненулевую компоненту, для опреде-

л

ленности х„ -Е. В этом случае только система (1) дифференциальных уравнений с частными производными имеет решение, а система уравнений (2) утрачивает смысл.

В разделе 1.9 проведен анализ составленных систем дифференциальных уравнений на независимость Из системы уравнений (1) выделены две подсистемы, решение каждой из них совпадает с решением (1)

' 2 Е

'4Ё

Уи>

в

2ЕХи 4ЁУи'

X** —'

4Ё

Уч1

х2и+у1=Е,

А

Уш~2ЕУи + _Е, В

Уш~2ЕХ"+7ЕУг"

у"=~7Ех"

Составлены системы дифференциальных уравнений с частными производными в векторной форме

ги =Е(и, О, гюя = А(и,*), гшп = В(и,0, гип = С{и,1)\

г1-

'и

■ЕМ,

2 Е Е

гп( =——г+Вп, " 2 Е

гп

Сп.

Решения этих систем совпадают с решением системы уравнений (1).

Во второй главе получено аналитическое решение систем (1) и (2) дифференциальных уравнений с частными производными в случае, если коэффициенты систем уравнений постоянны Система (1) принимает вид

х1+у1=Е, А

Хии ~

А

Уии ~ хи'

Уш

в

В

(3)

"'-ТЕ**'

В теории евклидовых поверхностей аналоги систем уравнений (1) и (2) с постоянными коэффициентами не рассматривались.

В разделе 2 1 указано, что формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци превращаются в тождества 0 = 0 и не могут быть использованы как условия интегрируемости систем уравнений Применяется общее ус-

ловие интегрируемости векторных функций: смешанные частные производные не зависят от порядка интегрирования.

В разделе 2 2 сформулирована теорема 2 о решении системы (3) дифференциальных уравнений с частными производными, коэффициенты которых постоянны Указан геометрический смысл этого решения по постоянным коэффициентам квадратичных форм поверхности получены поверхности пространства-времени Галилея.

Теорема 2. Решением системы дифференциальных уравнений (3), где коэффициенты Е >0,А,В, С постоянны на односвязной области В евклидовой плоскости при условии

АС> О,

являются компоненты х = х(и,(), у = у(и,() векторной функции г (и, Г) вида

где

Г Е . ¡СЁ Е [СЕ Л

—5т-и> + А-с^ + с3,--сое м> + А-сгг + с4

V А А V А

А АС

Л V Е при А — 0 определяется функция

7{и,1) = {4Ёсобс0м -1/2Сэтс0?2 +с11 + с3,4Ёэтс0и+1/2 собс0г2 +с2г + с4). ж

Здесь с0*±—п, пе N. Начальные условия

г(г/0,Г0) = а = (а1,«2), ги(и0,(0) = Ь=(Ь1,Ь2), ¡¿1 = ^>

П(и0,^) = с=(с\с2); определяют единственное решение системы

В разделе 2 3 система дифференциальных уравнений (3) решена аналитически по схеме, приведенной в разделе 1.3 Решена цепочка дифференциальных уравнений с частными производными В результате получена векторная функция, являющаяся пространственной составляющей искомой галилеевой поверхности

В разделе 2.4 установлено, что найденная поверхность имеет квадратичные формы, коэффициенты которых совпадают с заданными величинами - коэффициентами системы дифференциальных уравнений.

В разделе 2.5 рассмотрен случай х^-Е, где Е - постоянная величина.

В разделе 2 6 анализируются системы дифференциальных уравнений с частными производными и с постоянными коэффициентами. Из системы дифференциальных уравнений (3) выделены две системы с минимальным числом уравнений, каждая из которых имеет то же решение, что и система, содержащая все уравнения

В третьей главе приведены решения системы дифференциальных уравнений (2) для поверхностей с заданными коэффициентами квадратичных форм

В разделе 3 1 описаны галилеевы поверхности, пространственная составляющая которых имеет постоянный модуль

Функция r(u,t), имеющая постоянный модуль Q при заданной

функции гм2 = Е(и), определяется решением дифференциального уравнения с полным дифференциалом

—Л du + kdt = 0

Q

и имеет вид

г (и, t) = g(cos q(u, t),smq(u,t)), q{u,f)-kt + ^\ y]E(u) d и + c0

Тем самым найдена поверхность y(u,t) =te + r(u,t), пространственная составляющая r(u,t) которой имеет постоянный модуль Q.

В разделе 3 2 рассмотрен случай определяемое™ поверхности пространства-времени Галилея только метрической функцией Е = E(u,t). Если коэффициенты квадратичных форм поверхности зависят только от временного параметра t, то коэффициенты второй квадратичной формы поверхности являются функциями коэффициента E(t) первой квадратичной формы. Тогда поверхность опреде-

ляется только метрической функцией Е(1). Компоненты у(и^) пространственной составляющей поверхности

4Е . г а*

х =-этм' + С!^), у =-соэм' + сгСО, м = ри + ц\ —

Р Р Е

являются решением системы уравнений 'х1 + у1=ЕЦ), хиУии -Уихт

хиУи(~Уихи(=Я,

хиУи -Уихи =

Е?-2Е„Е + 4д2 АрЕ

Здесь — постоянные.

Если все коэффициенты квадратичных форм поверхности зависят только от пространственного параметра и, то выделен случай, когда коэффициенты второй квадратичной формы поверхности являются функциями коэффициента Е(и) Для установления вида зависимости от функции Е(и) решены некоторые системы дифференциальных уравнений с частными производными. В этом случае поверхность тоже определяется только метрической функцией. Если же коэффициенты второй квадратичной формы в рассматриваемом случае не являются функциями только коэффициента Е(и), то приведены примеры разных значений коэффициентов второй квадратичной формы.

В разделе 3.3 рассмотрены системы дифференциальных уравнений, решения которых определяют уравнения следующих поверхностей в пространстве-времени Галилея

Прямой геликоид у(и,0 = (t,uoost,usmt),

хи +Л2=1> хиУии ~Уихии ХиУш ~УиХШ хиУи~Уихи

1 2 2

Эллиптический параболоид у(u,t) = (t, и, ~(at +и )),

х1+У1 =1 + и2,

хиУии ~ Уихии =

-JA = 0>

хиУ«-Уиха^а-

1 О *у

Гиперболический параболоид у (u,t) = (t,u,—(t -и )),

2

хиУии ~Уихии

-Уихш =0, хиУи-Уихп=1 Волчок у(u,t) = (/,(a-í2)cosw, (a-í2) sin и),

хиУии ~Уихш ~(a~t2)2, ХиУш ~ УuXut = хиУа -Уихп =-2(a-t2).

Параболоид вращения y(u,t) = (t,-t cosu, tsinu),

xu +Уи -a-t, хиУш-Уихш=а~г, хиУш ~ Уuxut =

1

хиУи Уихи

4(a-0

Поверхность с метрической функцией E-ut у (и, t) = (t, 4t{u~ ^)sin(2Vw + с) + л/м cos(2 4й + с) + Cxt + С

V/ - и) cos(2 Vm + с)+ 4й sin(2 л/м + с) + C2í + С4 )

х1+у1=*и>

хиУии ~Уихии ' хиУш ~ Уихш = 0>

к

ад-ял* = 4—С»-^-

2 л

Поверхность с метрической функцией = и + t

хиУш~Уихи1=~и>

Эти системы дифференциальных уравнений получены при подстановке в систему дифференциальных уравнений с частными производными (2) определенных значений коэффициентов квадратичных форм

В приложении дана механическая интерпретация полученных результатов и указано использование результатов диссертации в механике.

В книге В И. Арнольда в разделе «Лагранжева механика» решена задача о движении материальной точки массы 1 по поверхности вращения в евклидовом пространстве. В диссертации рассматривается задача о движении материальной точки по поверхности в 3-мерном пространстве-времени Галилея. На этой поверхности лежат мировая линия движения и траектория движения. Траектория движения есть проекция мировой линии движения на евклидову плоскость. Уравнение движения, скорость и ускорение выражаются через коэффициенты квадратичных форм поверхности

Сначала рассмотрим цилиндрическую поверхность

определяемую постоянными коэффициентами квадратичных форм

у(н,0 = (У,—эти',—собнО, м> = ~7=и+ Г + с0, А А VЕ

Е

на ней лежит мировая линия движения - винтовая линия

, л , Е Е . ÍAC А У("о>0 - (?,—srn w, —-cosw), w = J—t + -f=u0+c0, А А V E y/E

траектория движения есть окружность

r(u0= (—sin w, -—cos w) A A

£

радиуса a = — Вектор скорости А

[ce

v = J—(cos w, sin w)

имеет постоянный модуль. Вектор ускорения

a = C(-smw, cos w) тоже имеет постоянный модуль. Все параметры траектории выражены через коэффициенты квадратичных форм поверхности

Всякая поверхность пространства Галилея может быть склеена из кусков цилиндрических поверхностей.

Пусть задана поверхность у(t,u), коэффициенты ее квадратичных форм есть функции

E = E(u,t), A — A(u,t), В - B(u,t), C = C(u,í).

Пусть далее H0(u0,íq) - точка на поверхности Значения коэффициентов квадратичных форм Е0, Aq, В0, С0 постоянны в окрестности точки Я0. Поверхность в окрестности точки #0 является куском цилиндрической поверхности. Если мировая линия движения лежит на поверхности y(t,u), то траектория движения в евклидовой плоскости состоит из дуг окружностей

Таким образом, если задана произвольная поверхность в пространстве Галилея, на которой лежит мировая линия движения материальной точки, то ей соответствует траектория движущейся точки, состоящая из дуг окружностей Уравнения, скорость и ускорение движения выражаются через коэффициенты квадратичных форм поверхности

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Долгарев, И. А. Поверхности одулярного галилеева пространства с диссоном / И А. Долгарев, А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений Поволжский регион - 2005. - № 6 (21) - С. 84-99. -(Естественные науки)

2. Долгарев, И. А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений Поволжский регион. - 2006 -№ 5 (26) -С. 51-60 -(Естественные науки).

3. Долгарев, И. А. Получение поверхностей 3-мерных галилее-вых пространств по заданным коэффициентам их квадратичных форм / И А Долгарев // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В Ефимова (Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростов гос ун-та «Лиманчик», 5—11 сентября 2006 г ) - Ростов н/Д • ООО «ЦВВР», 2006. - С 38-39.

4 Долгарев, И. А. Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И. А Долгарев // Известия высших учебных заведений Поволжский регион - 2007 - № 6. - С. 17-31 - (Естественные науки)

5. Долгарев, И. А. Качественные критерии для кривых и поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых пространств. 2. Критерии для поверхностей / И А Долгарев, А И. Долгарев // Известия высших учебных заведений Поволжский регион - 2007 - № 1 -С. 3-17. - (Физико-математические науки).

6. Долгарев, И. А. Движение материальной точки по поверхности пространства Галилея / И А, Долгарев, Ю Г Смирнов // Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики : межвуз сб науч работ -Пенза Изд-во ПГТА, 2007 -С. 3-6

7 Долгарев, И. А. Поверхности 3-мерного пространства-времени Галилея как решения систем дифференциальных уравнений с частными производными / И А Долгарев // Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики межвуз сб. науч работ. - Пенза : Изд-во ПГТА, 2007 - С 7-10.

Долгарев Иван Артурович

Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея

01 01 02-дифференциальные уравнения

Редактор Т Н Судовчихина Технический редактор Н А Въялкова

Корректор С Н Сухова Компьютерная верстка С П Черновой

ИД №06494 от 26 12 01

Сдано в производство 18 09 07 Формат 60x84^/16 Бумага писчая Печать офсетная Уел дач л 1,16 Заказ № 491 Тираж 100

Издательство Пензенского государственного университета 440026, Пенза, Красная, 40

Введение

1 Системы дифференциальных уравнений с частными производными, определяющие поверхность в геометрии Галилея по коэффициентам квадратичных форм

1.1 Элементы геометрии Галилея

1.2 Постановка задачи отыскания поверхности пространства - времени Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм.

1.3 Метод последовательного интегрирования.

1.4 Решение системы дифференциальных уравнений.

1.5 Поверхность пространства-времени Галилея с заданными квадратичными формами.

1.6 Условия для коэффициентов квадратичных форм поверхности

1.7 Использование второй системы дифференциальных уравнений с частными производными.

1.8 Решение системы дифференциальных уравнений в случае х£ = Е.

1.9 Свойства рассматриваемых систем уравнений с частными производными

2 Система дифференциальных уравнений с частными производными, имеющая постоянные коэффициенты

2.1 Задача получения поверхности по постоянным коэффициентам

2.2 Теорема для системы уравнений, имеющей постоянные коэффициенты

2.3 Решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

2.4 Поверхность пространства-времени Галилея Г3.

2.5 Решение системы дифференциальных уравнений при х2и — Е

2.6 Свойства решаемых систем дифференциальных уравнений

3 Частные виды систем дифференциальных уравнений

3.1 Дифференциальные уравнения, описывающие векторную функцию, которая имеет постоянный модуль.

3.2 Коэффициенты квадратичных форм поверхности являются функциями только одного параметра.

3.3 Системы дифференциальных уравнений для поверхностей с заданными коэффициентами квадратичных форм.

Настоящая работа посвящена получению уравнений поверхностей в геометрии Галилея по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм, при помощи формирования и аналитического решения систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Задача отыскания поверхности по коэффициентам ее квадратичных форм возникла в евклидовой геометрии. Основоположниками теории поверхностей являются К.Ф. Гаусс (1777- 1855), Г. Монж (1746 - 1818), в России -JI. Эйлер (1707 - 1783), К.М. Петерсон (1828 - 1880), создателем современной русской школы дифференциальной геометрии является С.П. Фиников (1883 - 1964), см. [26], [53], [54], [63], [64], [65], [66], [68], [69]. Теорема об описании поверхности коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм является основной теоремой теории поверхностей евклидова пространства. Впервые основная теорема доказана К.М. Петерсоном в 1853 году в неопубликованной работе - кандидатской диссертации [26], с. 300-302; [53], с. 44; имеется современная публикация работ К.М. Петерсона [39], [40], (о работах К.М. Петерсона см. [26], с. 591). Первая публикация основной теоремы теории поверхностей принадлежит О. Бонне, 1867, [60]. Работы К.Ф. Гаусса [53], [65], К.М. Петерсона [39], [40], О. Бонне [60], Г. Майнарди [67], Д. Кодацци [61], [62], привели к получению условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений в доказательстве основной теоремы [53], с. 58, выражающиеся формулами Гаусса - Петерсона - Кодацци. Об исследованиях в этом вопросе см. также [53], [72]. Основная теорема носит название теоремы Бонне (в некоторых пособиях она называется теоремой Петерсона, см. [36], с. 202 и др.)

К.М. Петерсон доказал, что поверхность определяется заданием коэффициентов Е,Е',Е" первой квадратичной формы, главными кривизнами р и р7 и углом и одной из линий кривизны и координатной линии на поверхности. Последние три величины определяются коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Отсюда следует вывод об определяемости поверхности коэффициентами первой и второй квадратичных форм, [26], с. 30; [39].

Систему дифференциальных уравнений с частными производными для отыскания поверхности r(u, v) по коэффициентам первой квадратичной формы Edu2+2Fdudv+Gdv2 и второй квадратичной формы Ldu2+2Mdudv+Ndv2 можно получить, см. [6], с. 448-449, 451, 456, по деривационным формулам Гаусса и Вейнгартена

Гии — IV» + rV„ + Lm, ruv = Г}2Г« + Г V + Mm, rvv = T\2ru + T222rv + Nm, mu = -GgnL + g12M)ru - (g12L + g22M)rv, k mv = —(gnM + g12N)ru - {g12M + g22N)rv.

Сюда нужно добавить выражения для символов Кристоффеля Г^- и символов gli через коэффициенты Е, F, G первой квадратичной формы поверхности и их производные. При этом система уравнений становится плохо обозримой. Далее в [6], с. 458, приводится схема доказательства теоремы Бонне.

Системы дифференциальных уравнений с частными производными с коэффициентами для получения функции r(u,v), описывающей поверхность, обычно приводятся частично в интересах обозримости системы в [44], с. 112; [43], с. 156, 157; [54], с. 288. В тензорном виде система дифференциальных уравнений с частными производными приводится в [36], с. 212:

Oif= п, ■ V/, = hijn, t diii = —h'-fk.

Каждая строка здесь есть некоторая система уравнений. Доказательства теоремы Бонне содержатся в [44], с. 112-117; [63], с. 286-288; [36], с. 212-214; [56], с. 133-135; [43], с. 156-159. Как правило, при доказательстве сначала находятся векторы подвижного репера поверхности (P,ru,rv,rh), где Р точка поверхности т = - единичный вектор нормали поверхности, а затем и функция r(u,v), описывающая поверхность. В [56] вводятся инварианты I\ — U поверхности и по ним отыскивается поверхность, в [36] используются тензорные методы.

Теорема Бонне доказана в позапрошлом веке для поверхностей евклидова пространства. Для поверхностей в других пространствах, в частности галиле-ева пространства, аналогичные утверждения, видимо, подробно не изучались.

Геометрия пространства Галилея изучена еще недостаточно глубоко. Видимо, трудности в ее изучении связаны со своеобразием галилеевой метрики (точнее, квазиметрики, т.к. она не является метрикой в традиционном смысле см. [28]), хотя имеется настоятельная потребность приложений геометрии Галилея в механике Галилея-Ньютона, см., например, книгу В.И. Арнольда [1]. В указанной книге автор вводит понятие галилеевой структуры, [1], с. 13. Га-лилеева пространственно - временная структура включает в себя следующие три элемента:

1) Мир - четырехмерное аффинное пространство А4. Точки А4 называются мировыми точками или событиями. Параллельные переносы мира А4 образуют линейное пространство R4.

2) Время - линейное отображение t : R4 —> R линейного пространства параллельных переносов мира на вещественную "ось времени". Промежутки времени от события а Е А4 до события be А4 называется число t(b-a). Если t(b — а) = 0, то события а и b называются одновременными.

Множество событий, одновременных друг с другом, образуют трехмерное аффинное подпространство в А4. Оно называется пространством одновременных событий А3.

Ядро отображения t составляют параллельные переносы А4, переводящие какое-нибудь (и тогда любое) событие в одновременное с ним. Это ядро является трехмерным линейным подпространством R3 линейного пространства R4.

Галилеева структура включает в себя еще один элемент.

3) Расстояние между одновременными событиями р(а,Ь) = ||а - Ь|| = \J(a-b,b- a),a,b е А3, заданное скалярным произведением в пространстве R3. Это расстояние превращает каждое пространство одновременных событий в трехмерное евклидово пространство Е3.

Пространство А4, снабженное галилеевой пространственно - временной структурой, называется галилеевым пространством.

Изложения геометрии плоскости Галилея содержатся в работах И.М. Яг-лома и Б.А. Розенфельда [58], [50]. По терминологии в [48], галилеева метрика относится к квазиметрикам и геометрия Галилея относится к квазиэллиптическим и квазигиперболическим пространствам, см. [49], с. 322 - 324. Первой работой по таким геометриям является статья В. Бляшке [59]. Д. Соммервиль в это время провел классификацию пространств с проективной метрикой, где выделены и пространства с квазиметриками, [71]. Важнейшим из 2- квазиэллиптических пространств является галилеево пространство. В 4-мерном пространстве этого типа реализуется геометрия пространства-времени классической механики Галилея - Ньютона, чем и объясняется название этого пространства. Галилеево пространство рассматривалось JI. Зильберштейном в 1925 году, [70], и Александром Петровичем Котельниковым в 1927 году, [29].

Свойства плоскости Галилея исследованы Н.М. Макаровой в [30], [31], [32], [33]. Имеется изложение этой планиметрии [58], изданное в 1969 году. В научной литературе рассматриваются и близкие к плоскости Галилея полуевклидова плоскость [7], [51], флаговая плоскость [48], [51]. Полученные до 1969 года результаты актуальны до сих пор, о чем говорит изданная недавно книга [58] на английском языке.

В 1986 году опубликованы работы А.И. Долгарева по одулярной галилее-вой геометрии [9], [11]. По 3-мерной геометрии Галилея опубликована работа [13], по одулярной галилеевой геометрии (в том числе и по коммутативной геометрии Галилея) имеется монография [10]. Одулярные галилеевы геометрии строятся в схеме Г. Вейля на основе аффинного пространства или на 3-мерном действительном многообразии R3. (Аксиоматику Г. Вейля см. в [4]). Современное состояние одулярной галилеевой геометрии охарактеризовано в докладах на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова в Абрау-Дюрсо, проведенной 5-11 сентября 2006, [12].

В работах А.И. Долгарева [10], [13], была построена геометрия 3-мерного пространства - времени Галилея. Эта геометрия построена на 3-мерном аффинном пространстве посредством введения галилеева скалярного произведения векторов. При этом линейное пространство аффинного пространства превращается в галилеево векторное пространство, а аффинное пространство становится пространством Галилея. Выделены временная и пространственная составляющая векторов. Пусть г = (t,x,y) произвольный вектор, тогда первая координата t есть время, координаты х, у являются пространственными. Если t Ф 0, то галилеев модуль \г\ вектора f равен \t[, если t = 0, то \г\ — \/х2 + у2. Это галилеева норма вектора г. Галилеева норма относится к квазинормам, ее свойства отличны от наиболее распространенной евклидовой нормы. Для двух векторов т\ = {t\,Xi,yi) и Г2 = ^2,^2^2) имеем вектор суммы г"1+7*2 = (ti+t2,X\+X2,yi+y2). Векторы неколлинеарны при f\ ф mf2, где m некоторое число. Если t\ > 0 и ^ > 0, то для временных составляющих векторов выполняется равенство \t\ + t2\ = \ti\ + \t2\, что означает для векторов |г1+г2| = \f[\ + \r2\. Следовательно, в галилеевом векторном пространстве существуют неколлинеарные векторы г[ и Г2 с указанным свойством. Таким образом, для векторов с галилеевой нормой не выполняется неравенство треугольника, согласно которому в евклидовом векторном пространстве для не-коллинеарных векторов имеется неравенство + гг| < |п| + |гг|. Пусть А = (а, а1, а2), В = (Ь, Ь1, Ь2) произвольные точки пространства - времени Галилея. Они определяют вектор АВ — (b — а, Ь1 — а1, Ъ2 — а2). Галилеевым расстоянием \АВ\ между точками А к В называется

АВ\ = |Ь — а\, если b ф а;

АВ\ = \J(bl - о1)2 + (Ь2 — а2)2, если b = а.

Задача, которая рассматривается в настоящей работе, эта задача получения и исследование уравнений поверхности в 3-х мерном пространстве-времени Галилея, по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм. Это инвариантное определение поверхности - независящее от выбора системы координат.

Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных. Составляется два вида систем дифференциальных уравнений:

• на основе деривационных формул поверхности;

• на основе определений коэффициентов первой и второй квадратичных форм поверхности.

При заданных начальных условиях указанные коэффициенты определяют единственную поверхность.

В настоящей работе решается задача, имеющая большое значение в геометрии Галилея. По деривационным формулам поверхности и по формулам коэффициентов квадратичных форм поверхности составлены системы дифференциальных уравнений с частными производными. В результате аналитического решения этих систем уравнений получены компоненты уравнений поверхности, то есть системы дифференциальных уравнений задают поверхность инвариантно. Такое задание поверхности в евклидовом пространстве получено в конце XIX века независимо К.М. Петерсоном и О. Бонне. В настоящей работе решена указанная задача для поверхности пространства -времени Галилея. В других пространствах задача видимо не рассматривалась. В диссертации рассмотрен случай, в котором коэффициенты квадратичных форм поверхности постоянны. При этом изменились условия интегрируемости систем дифференциальных уравнений.

Решаются аналитически следующие системы дифференциальных уравнений: х 1 + У1 = Е, хии

Шит -А-1/

2 ехи у/ёуи и система уравнении

Уии 2

Xut ~ 2ЕХи ~ ~ЗЕ)Уи1 Уut = 2ЕУп ~JeXuI Q

Xtt = Q

Уи = ~JEXu'I x2u + y2u = E, иУии Уи%ии ~ AVE,

ХиУы ~ yuxut = Ву/Ё, ХиУи - yuXtt = CVE.

1.25)

1.40)

Здесь E = E(u,t),A = A(u,t), В = B(u,t), С = C(u,t) коэффициенты квадратичных форм поверхности.

В качестве приложения метода решения составленных систем дифференциальных уравнений с частными производными приведены примеры решений систем уравнений, которые имеют заданные коэффициенты.

Содержание работы по главам

Работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Первая глава посвящена решению системы дифференциальных уравнений с частными производными в общем виде, инвариантно описывающая регулярную поверхность 3-мерного пространства - времени Галилея.

В разделе 1.1 приводятся необходимые сведения по геометрии 3-мерного пространства - времени Галилея, известные из литературы: галилеево скалярное произведение векторов, галилеева норма векторов (свойства которой отличны от свойств евклидовой нормы); выписаны регулярные поверхности в естественной параметризации с галилеевыми касательными плоскостями. Выделены временная и пространственная составляющие поверхности. Пространственная составляющая поверхности, которая является проекцией поверхности на область евклидовой плоскости, однозначно определяет поверхность пространства - времени Галилея. Выписана первая квадратичная форма поверхности. Она определяет галилееву метрику на поверхности и метрическую функцию поверхности. Приведена вторая квадратичная форма поверхности. Она определяет кривизну поверхности. Выписаны деривационные формулы поверхности и формулы Гаусса - Петерсона - Кодацци.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1989. - 472с.

2. Сборник задач по дифференциальной геометрии / И.В. Белько и др.]. -М.: Наука, 1979. 272с.

3. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию / В. Бляшке. М.: Гостехиздат, 1987. - 224с.

4. Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности / Г. Вейль. 2-е изд., - М.:Едиториал УРСС, 2004. -456 с.

5. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов / И.Н. Векуа. М.: Наука, 1978. - 296с.

6. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия / М.Я. Выгодский. М.-JL: Гостехиздат, 1949. - 512с.

7. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л.И. Головина. 4-е изд., - М.: Наука, 1985. - 392с.

8. Сборник задач по дифференциальной геометрии / А.А. Гусак и др.]. -Минск, 1963. 108с.

9. Долгарев А.И. ЕМ-пространство / А.И. Долгарев // Исследования по теории поверхностей в многообразиях знакопостоянной кривизны. Л.: ЛГПИ, 1987. - С. 17-27.

10. Долгарев А.И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований. / А.И. Долгарев. Саранск: Средневолжское математическое общество, 2003. Препринт 63. - 116с.

11. Долгарев И.А. Поверхности одулярного галилеева пространства с диссоном / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2005. - N6 (21). - С. 84-99. -(Естественные науки).

12. Долгарев И.А. Нахождение поверхности в 3-мерном пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных за-ведений. Поволжский регион. 2006. - N5 (26). - С. 51-60. -(Естественные науки),

13. Долгарев И.А. Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И.А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2007 -N6. - С. 17-31. - (Естественные науки).

14. Долгарев И.А. Движение материальной точки по поверхности пространства Галилея / И.А Долгарев, Ю. Г. Смирнов // Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики : межвузовский сборник научных работ Пенза : изд-во ПГТА, 2007. - С. 3-6.

15. Долгарев И.А. Основные уравнения поверхностей пространства с диссоном / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Дифференцируемые многообразия фигур. Межвуз.тематич. сб. научн. трудов. Вып. 38. -Калининград: КГУ, 2007. Принята к печати.

16. Долгарев И.А. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Известия высш. учебных завед. Поволжский регион. Сер. Естественные науки, 2007. принята кпечати

17. Долгарев И.А. Некоммутативное галилеево пространство с сибсоном и с 2-мерным временем / И.А. Долгарев, А.И. Долгарев // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. Принята к печати.

18. Дубровин Б.А. Современная геометрия / В.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. М.: Наука, 1979. - 760с.

19. История отечественной математики: в 4 т. Т.2. / под ред. E.JI. Орлик, Т.С. Мельник. Киев: Наукова думка, 1967. - 616с.

20. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. Т1 - 344с. Т2 - 416с.

21. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 544с.

22. Котельников А.П. Принцип относительности и геометрия Лобачевского. / А.П. Котельников. В кн.: In memoriam N. I. Lobatschevskii, Т. 2. Казань, 1927. - С. 37-66.

23. Макарова Н.М. Геометрия Галилея Ньютона: в 3 ч. / Н.М. Макарова // Ученые записки Орехово-Зуевского пединститута 1, вып. 1 (1955), С. 83-95; 7, вып. 2 (1957), С. 7-27; 29-59.

24. Макарова Н.М. Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов. Дис, . канд. физ.-мат. наук. / Н.М. Макарова // Л.: ЛГПИ, 1962 - 98с.

25. Макарова Н.М. К теории циклов параболической геометрии на плоскости / Н.М. Макарова // СМЖ 2, N 1, 1961. С. 68-81.

26. Макарова Н.М. Кривые второго порядка в плоской параболической геометрии / Н.М. Макарова // Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии (Ученые записки Моск. гос. пед. ин-та им. Ленина). М., 1963.- С. 222-251.

27. Задачи по геометрии / С.П. Новиков и др.]. М.: Изд-во МГУ, 1978. -164с.

28. Новиков С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии / С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. М.: Наука, 1987. - 432с.

29. Норден А.П. Теория поверхностей / А.П. Норден. М.: Гостехиздат, 1956.- 260с.

30. Павлов Д.Г. Хронометрия трехмерного времени / Д.Г. Павлов // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 2004. - N 1. - С. 20 -32.

31. Пелипенко М. Элементы геометрии Галилея / М. Пелипенко // Сб. трудов 48 научн. конф. ТГПИ. Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2005. С. 18 - 20.

32. Петерсон К.М. Об изгибании поверхностей. Рассуждение на соискание степени кандидата /К.М. Петерсон // Историко-математические исследования, вып. V, М.: Гостехиздат, 1952. С. 87-133.

33. Петерсон К.М. Об изгибании поверхности / К.М. Петерсон // Историко-математические исследования, вып. VI, М.: Гостехиздат, 1953.

34. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными // И.Г. Петровский. М - Л.: Гостехиздат, 1950 - 303с.

35. Погорелов А.В. Геометрия. / А.В. Погорелов. М.: Наука, 1983. - 288с.

36. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. М.: Наука, 1974. - 176с.

37. Позняк Э.Г. Дифференциальная геометрия / Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин.- М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

38. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии / П.К. Рашевский.- М.: Гостехиздат, 1956. 420с.

39. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. М.: Наука, 1967. - 664 с.

40. Розендорн Э.Р. Теория поверхностей / Э.Р. Розендорн. Изд. 2. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 304 с.

41. Розенфельд Б.А. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства / Б.А. Розенфельд, М.П. Замаховский. -М.: МЦНМО, 2003. - 560 с.

42. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии / Б.А. Розенфельд. -М.: Наука, 1976. 408с.

43. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд, И.М. Яглом // В кн. Энциклопедия элементарной математики. Книга V. Геометрия. С. 394 - 475.

44. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1969. - 548с.

45. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. -Изд. 8.-М.: Физматлит, 1959. 468с.

46. Стройк Д.Я. Очерк истории дифференциальной геометрии (до XX столетия) / Д.Я. Стройк. Изд. 2. - М.: КомКнига, 2006. - 80с.

47. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии // С.П. Фиников. -Изд. 2. М.: КомКнига, 2006. - 344с.

48. Хачатурян А.В. Геометрия Галилея / А.В. Хачатурян. М.: Изд. МЦНМО, 2005. - 36с.

49. Щербаков Р.Н. Краткий курс дифференциальной геометрии / Р.Н. Щербаков, А.А. Лучинин. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. - 250с.

50. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. / Л.Э. Эльсгольц. Изд. 2. - М.: Наука, 1969. - 424с.

51. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / И.М. Яглом. М. Наука, 1969. - 394с.

52. Blaschke W. Eukliddische Kinematik und nichteuklidische Geometrie. / W. Blaschke Math. Phys., 1911, 60, 61-91.

53. Bonnet O. Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface don-nee./O. Bonnet Journ. Ec. Polyt., 24 (cah.41,1865). - p. 209-230; 25(cah.42, 1867), p.l.

54. Codazzi D. Memorie relatif a l'application des surfaces les unes sur les autres. /D. Codazzi Mem. pres. par div. sav. 27(1882).

55. Codazzi D. Sulle coordinate curvilinee d'una superficie e dello spazio, I,II,III. /D. Codazzi// Annali di Matem. 1(1867-1868), p.310; 2(1868-1869), p. 101119, 269-287.

56. Euler L. De solidis quorum superficiem in planum explicare licet / L. Euler -Nova Comm. Petrop. 16, 1771. p. 3-34.

57. Gauss C.F. Neue algemeine Untersuchungen uber die krummen Flachen. /C.F. Gauss (1825), Gauss Werke, VIII, - S. 408.

58. Gauss C.F. Untersuchungen uber hohere Geodasie, I, II. / C.F. Gauss Gotin-gen, Abh. 2 (1844), 3 (1847); Gauss Werke, IV, - S. 259-300, 301-340.

59. Mainardi G. Su la teoria generale delle superficie. /G. Mainardi Giorn. Istit Lombardo, 9(1856). - p. 385-398.

60. Monge G. Memoire sur les developpees, les rayons de courbures et les dif-ferents genres d'inflexion des courbes a double courbure. /G. Monge Mem. div. sav. 1785, - p. 511-550.

61. Monge G. Sur lesproprietes de plusieurs genres de surfaces courbes, parti-culierement sur celles des surfaces developpbles, avec une application a la theorie des ombres et pemombres. /G. Monge Mem. div. sav. IX. 1780, -p.595-624.

62. Silberstein L. Projektive geometry of Galilean space-time. / L. Silberstein -Philos. Mag., 1925, 10. C. 681-696.

63. Sommerville D.M.Y. Classification of geometries with projective metrics. /D.M.Y. Sommerville Proc. Edinburg Math. Soc., 1911, 28, 25-41.

64. Stackel P. Bibl. mathematica (3)/ P. Stackel 2(1901).