Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 514.7+512.5

ТОЛСТИХИНА Галина Аркадьевна

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ ТРИ-ТКАНЕИ, ОБРАЗОВАННЫХ СЛОЕНИЯМИ РАЗНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Специальность- 01 01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□ОЗОТОЗТБ

Казань — 2007

003070376

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и геометрии математического факультета Тверского государственного университета

Официальные оппонепты

доктор физико-математических наук, профессор ОНИЩИК Аркадий Львович

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО Вадим Федорович

доктор физико-математических наук, профессор ШУРЫГИН Вадим Васильевич

Ведущая организация —

Московский государственный университет им М В Ломоносова

Защита состоится 31 мая 2007 г в 14 30 час на заседании диссертационного совета Д 212 081.10 при ГОУ ВПО "Казанский государственный университет им В И Ульянова-Ленина" по адресу 420008 Казань, ул Кремлевская, 18, конференц зал научной библиотеки

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им НИ Лобачевского Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина

Автореферат разослан "2.6 - апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Малахальцев М А

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Основы дифференциально-гео-метричоской теории три-ткапей были заложены участниками гамбургского геометрического семинара, руководимого Вильгельмом Бляшке (1926-1928 годы) Бляшке, его ученики и коллеги, среди которых наиболее известны имена Бола, Рейдемейстера и Томгена, определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и показали, что каждой конфигурации соответствует некоторое алгебраическое тождество Основные результаты этих исследований были опубликованы в монографии [11], в книге [10] а также в многочисленных обзорах, см , например, [9] и [5] Указанные геометрические и алгебраические конструкции были позже обобщены С Черном и М А Акивисом для многомерных три-тканей Ш(г,г,г), образованных тремя г-мерными слоениями на дифференцируемом многоообразии размерности 2г, см [25],

[2], [7]

Теория тканей имеет богатые приложения в разных разделах математики и в физике, см об этом в [10], [7] и в работе автора [6] Наиболее важные приложения связаны с тем обстоятельством, что три-ткань Иг(г, г, г) представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативной Это позволило применить методы и результаты теории тканей в тех разделах математики и физики, где активно используются неассоциатнвные структуры [1С], [18], [20], [21]

Приложения классической теории тканей ограничены тем, что в уравнении ткани г = /(х,у) переменные имеют одинаковую размерность Очевидно, что построение аналогичной теории для гладких функций с разной размерностью переменных значительно расширит область приложения результатов

Дифференциально-геометрическую теорию три-тканей IV(р, д, г), образованных тремя слоениями размерностей р, г/, г на многообразии размерности р +1 начали развивать М А Акивис и В В Гольдберг [6] Они нашли структурные уравнения ткани, определили тензоры кручения и кривизны, выяснили геометрический смысл обращения в нуль тензора кручения и некоторых его подтензоров В В Гольдберг в [13] исследовал некоторые специальные классы три-тканей №(р,д,г) и нашел соответствующие тензорные условия Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, оказалось невозможным непосредственно обобщить для т.ри-тканеи \¥(р,д,г) многие важные поня-

\

тия классической теории три-тканей IV (г, г, г) (координатная лупа, конфигурация, ассоциативность, коммутативность и т д ), благодаря которым она и получила столь широкие приложения

Таким образом, возникла проблема обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей, образованных слоениями разных размерностей

Цель работы. В настоящей работе рассматривается многомерная три-ткань W(p, q, г), определяемая уравнением

2 = f(x,y),

где / X х Y —» Z — гладкая функция, х е X С Л4, у £ Y С Rp, z 6 Z С Rp+q~r, p,q,r £ N, г < p + q, p < q < г, и в каждой точке области определения ранги матриц Якоби (df/dx) и (df/dy) максимальны Три-ткань W(p, q, г) образована на многообразии М = X х Y (размерности р -f- q) тремя слоениями общего положения

Aj х = const, Л2 у = const, A3 2 = /(ж, у) = consi

размерностей соответственно р, q и т Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойств три-тканей W(р, q, г)

Основные понятия классической теории три-тканей и задачи исследования. К классической теории тканей относят три-ткани W(r,r,r), образованные слоениями одинаковой размерности г на 2г-мерном многообразии Их начали изучать Г Бол [12] и С Черн [25] Последний дал инвариантное описание специальных классов тканей с помощью введенных им тензоров кручения и кривизны Дальнейшее развитие этой теории связано с выходом в свет в 1955 г книги В Бляшке [10] (русский перевод М А Акивиса, 1959 год) и работ М А Акивиса [1], [2] С этого периода центр исследования три-тканей переместился в Россию Изложение полученных результатов и библиографию см в обзорах [9], [5] и в монографии [7]

Приведем основные понятия и результаты классической теории, которые обобщаются в настоящей работе для три-тканей W(p, q, г)

Уравнение z = f(x, у) ткани W(r, г, г), где \df/dx\ ф 0 и \df/dy\ jt 0, с одной стороны, связывает параметры слоев, проходящих через одну точку области Л/* С X х Y, а с другой стороны, определяет трехбазис-иую бинарную операцию z = х у = f(x,y), () X х Y —» Z Условия

\д//дх\ /Ои \д//ду\ ф 0 означают, что уравнение г = х у локально однозначно разрешимо относительно каждого из своих аргументов а потому определяет в области N С X у У локальную дифференцируемую квазигруппу, называемую локальной координатной квазигруппой три-акани [2] В классической теории изучаются, в основном, локальные свойства трп-тканей инвариантные относительно локальных диффеоморфизмов

х -* а{х) = х, у -> Р(у) - у, г-* 7(2) = г

Тройка локальных биекций (а,Р, 7) называется изотопическим преобразованием и задаст отношение эквивалентности на множестве три-тканей При изотопических преобразованиях_ слои ткани ]¥(г,г,г) переходят в слои эквивалентов! ей ткани IV(г, г, г), а точки пересечения слоев ткани 1У (г,г,г) — в точки пересечения соответствующих слоев ткани IV(г, г, г) Поэтому изотопические преобразования сохраняют инцидентность точек и слоев гкани, следовательно, сохраняют свойство конфигураций, образованных слоями ткани и их точками пересечения, быть замкнутыми

Рис 3 Рпс 4

На рис 1-4 изображены основные типы конфигураций К — конфигурация Рейдемейстера, В1 — левая конфигурация Бола, Вг — правая

конфигурация Бола, Вт — средняя конфигурация Бола На этих и всех последующих рисунках слои первого, второго и третьего слоений ткани изображаются соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями Опишем построение конфигурации Рейдемейстера Я, которая нам понадобится в дальнейшем

В области Я многообразия М, несущего три-ткаиь \¥(г, г, г), зафиксируем два достаточно близких вертикальных слоя х%, Х2 и два также достаточно близких горизонтальных слоя т/1, у2, см рис 1 Здесь и далее мы обозначаем слои ткани и определяющие их параметры одними и теми же символами Через точку пересечения слоев х, и у: проходит единственный наклонный слой с параметром г1}, гг] = хг у3 = 1{.х1 ,у3), 1,3 = 1,2 Пусть XI - еще один произвольный вертикальный слой, достаточно близкий к слою х\ Через точку пересечения слоев 1х и ги проходит единственный горизонтальный слой у1 так что — У% Слой ух пересекает наклонный слой _г21 в некоторой точке, а через нее проходит единственный вертикальный слой Х2, при этом ¿21 = Х2 у 1 Далее, через точк> Х2 П у2 проходит наклонный слой ¿22 = Х2 У2 Последний, вообще говоря, не совпадает с построенным выше слоем г22, что отмечено на рис 1 пунктиром Таким образом, конфигурация Л построена Она образована произвольными достаточно близкими вертикальными слоями хг хг, горизонтальными слоями ^ и наклонными слоями = I, у}, г,.; = 1,2 и г2г = х2 у2 Если ¿22 = ¿22, то говорят, что конфигурация Рейдемейстера замыкается Три-ткань IV(г, г, г) называется тканыо Рейдемейстера, если на ней замыкаются все достаточно малые конфигурации Рейдемейстера [2] Согласно [8] условие замыкания конфигураций П можно записать в виде так называемого условного тождества

Аналогичным образом определяются и конфигурации Бола, см рис 2-4 Ткани, па которых указанные конфигурации являются замкнутыми, называются тканями Бола (левыми или (В/), правыми или (Вг) и средними или (Вгп)) Ткани, на которых замыкаются фигуры Бола всех трех типов, называются тканями Муфапг (М)

Условию замыкания конфигураций определенного вида натри-ткани соответствует некоторое тождество, выполняемое в так называемых координатных л>пах ткани Операция (о) в координатной лупе £(а,ь)(о),

где а и 6 — фиксированные слои, а £ Лг, Ь е Л2, определяется па третьем слоеиии Л3 ткани следующим образом (рис 5)

(о) Аз х А3 -» А3, иоу =-1 }{и,Ъ)

УГ

V-2-

2/1-Уг

N Ч N \

ч w

N

ч N Ч^

ч Чи

{Uov)°W

Рис 5

Рис 6

Здесь и и V — произвольные слои третьего слоения Аз, достаточно близкие к слою е = а 6, который, как нетрудно проверить по определению, является единичным элементом лупы (°)з то есть иое = и, еоу = V Соответствие между условиями замыкания конфигураций Рейде-мейстера и Бола и тождествами в их координатных лупах приведено в Таблице 1 Здесь через "\"и "/"обозначены, соответственно, левая и правая обратные операции для операции (о) Таблица 1

Ткань Тождество Тензорная характеристика

R (и о v) о w = и о (г; о tu) Ь\ы = 0

Bi (и о и) о v — и о (и о у)

Вг и о (и о v) = (и о v) О V

Вт и о (v \ и) — (u/v) о и Ь)Ш)= 0

IIa рис G проиллюстрировано доказательство для условия замыкания (R) Здесь и, v, w — произвольные слои из Аз, щ = и о v, v\ = v о w

Перечисленные выше понятия и результаты, возникшие первоначально в теории криволинейных три-тканей, были обобщены М А Аки-висом для многомерных три-тканей W(г, г, г) [2] Он же записал структурные уравнения ткани W(r, г, г) в терминах внешнего дифференциального исчисления [2]

dwx — и;3 Л + а1, и3 Л шк, du1 = ш3 Л wl 1 1 3 JLl 12 2 3

<Ц AwH Ь)ыик Ли1,

- а1 иШ3 Л шк,

]К2 2

г,3,к,1, = 1,г Здесь величины а1]к и являются тензорами и называются соответственно тензорами кручения и кривизны три-ткани Поля тензоров агк и Ьгзк1 определяют трн-ткань с точностью до эквивалентности [7] Слоения Ах, Л2 и А3 ткани IV(г,г, г) задаются соответственно уравнениями

Лг ы1 = 0, А2 и>г = О, Л3 шг+иг = О 1 ' 2 12

С помощью структурных уравнений ткани можно описывать ее дифференциально-геометрические свойства в терминах канонической аффинной связности, введенной Черном в [25], где он нашел также тензорные характеристики некоторых многомерных три-тканей (тензорные характеристики три-тканей Рейдемейстера и Бола приведены в Таблице 1) Перечисленные классы тканей описаны также в терминах касательной ИЛ-алгебры (алгебры Акивиса) [3], [24], обобщающей понятие алгебры Ли группы Ли По заданным И'-алгебрам путем интегрирования соответствующих структурных уравнений были найдены многочисленные примеры три-тканей различных классов М> фанг, Бола, шестиугольные и тд Этот метод впервые применен Акивисом в работе [4] для нахождения конечных уравнений ткани Муфанг минимальной размерности

С тканями Бола связано понятие сердцевины, введенное В Д Бе-лоусовым [8] В силу замыкания конфигурации Вгп (рис 4) положение слоя г22 не зависит от выбора вертикального слоя х\ и определяется только слоями 2ц и .гхг, то есть ¿22 = С(гц, г 12) При этом функция С определяется так. ¿22 = £12 ° (^и/г^) [8] Согласно [21], сердцевина С индуцирует на базе третьего слоения ткани Вт локально симметрическую структуру, определяемую локальными симметриями вгп 5г12(гц) = С(гц,г12) Свойства этой структуры исследовались в [23], см также [7]

Отдельные дифференциально-геометрические свойства многомерных (р,г)-тканей, образованных слоениями разных размерностей, изучались многими авторами, обзор результатов и библиографию см в [9] и в работе автора [6]. Однако в теории три-тканеи И-'"(р, (¡,г), как уже было сказано, оставался существенный пробел — отсутствие понятий, аналогичных понятиям координатной лупы, конфигурации, тождества и т д , не позволяло получить результаты, связывающие, как и в классическом случае, алгебраические и геометрические свойства (р,д,г)-тканей Отсюда вытекают основные задачи исследования

1 Обобщить для три-ткансй И''(р, д,г), образованных слоениями разных размерностей, основные понятия классической теории три-тканей, образованных слоениями одинаковой размерности (изотопия, координатная л>па, конфигурации Рейдемейстера и Бола, сердцевина и тд )

2 Найти алгебраические условия (тождества), эквивалентные замыканию на три-тканях ]¥(р,д,г) обобщенных конфигураций Рейдемейстера и Бола

3 Исследовать свойства обобщенных три-тканей Рейдемейстера и Бола

4 Исследовать геометрические и алгебраические объекты, связанные с три-тканыо \У(р, д, г)

5 Найти структурные уравнения и исследовать свойства три-тканей, порождаемых локальными гладкими группами Ли преобразований и гладкими квазигруппами Бола преобразований

Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми На защиту выносятся следующие результаты

1 Для тканей IV (р, д,р + д — \),р <д, определены понятия координатного моноида, обобщенной конфигурации Рейдемейстера и сердцевины Доказано, что координатный группоид ткани Иг(р, ц,р-(-<? —1), на которой замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера (ткани \У11{р, д)), вполне определяется ее сердцевиной (Теорема 2), а существование сердцевины является характеристическим свойством три-тканей IVЩр, д) (Теорема 3) Найдено тождество обобщенной ассоциативности, выполнение которого в каждом координатном моноиде три-ткани ^СР> ЯтР + Я — 1) эквивалентно замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 4)

2 Показано, что три-ткань {р,ц,р + д — \) индуцирует на своих вертикальных и горизонтальных слоях соответственно (р + 1)-ткани и (<? + 1)-ткапи, образованные слоениями одинаковой размерности Для каждой из этих тканей построено некоторое семейство отображений Доказано, что это семейство образует группу автоморфизмов соответствующей ткани в том и только том случае, если на ткани У/(р,д,р + 9—1) замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера (Теоремы 7 и 8) Доказано что (р + 1)-тканн и (<? + 1)-ткани, индуцируемые три-тканыо \У 11{р,у), параллелизуемы (Теоремы 9 и 10)

3 Найдены стр\ ктурные уравнения три-ткани IVП{р, д) (Теорема 14) Путем интегрирования последних найдены конечные уравнения тканей \¥Щр, д) (Таблица 2)

4 Для тканей IV (р, <?, г), р < д < г, определено понятие координатного моноида и доказано, что он существует только для тканей вида \У(Х1,Хтп,Х(1 + т- 1)) (Теорема 15) Для тканей \У(Х1,Хт,Х(1 + т-1)) определены понятия обобщенной конфигурации Рейдемейстера и сердцевины Найдено тождество обобщенной ассоциативности, выполнение которого в каждом координатном моноиде три-ткани IV(XI, Хт, Х(1 + т — 1)) эквивалентно замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 18)

5 Доказано, что ткань С1У (р, д, д), порождаемая действием локальной гладкой д-параметрической группы Ли С на гладком р-мерпом многообразии, характеризуется замыканием на ткани некоторых обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 21) Доказано, что сердцевина ткали С\У (р, д, д) может быть записана в виде равенства инвариантов группы преобразований (Теорема 22) Найдены структурные уравнения три-ткани С\¥(р, д, д) по уравнениям Маурера-Картана группы <3

С Для ткани \У(р,д,д) определено понятие обобщенной левой конфигурации Бола Доказано, что на три-ткани В^р, д,д), порождаемой локальной гладкой квазигруппой Бола преобразований (и только на такой ткани), замыкаются обобщенные левые конфигурации Бола (Теорема 28) В координатных моноидах три-ткапи Бола В1 (р, тр, тр) (для других размерностей моноид не существует) найдено тождество обобщенной альтернативности, соответствующее замыканию на этой ткани обобщенных левых конфигураций Бола (Теорема 29) Найдены структурные уравнения три-ткани Бола В;(р, д, д) (Теорема 32) Путем интегрирования соответствующих структурных уравнений найдены конечные уравнения некоторой ткани -5/(2,3,3), тензор кривизны которой имеет единственную ненулеву ю компоненту

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (внешним дифференциальным исчислением теорией связностей, теорией расслоенных пространств, классической и проективной геометрией, алгебраической теорией групп, теорией групп Ли итд), а потому в ней используются разнообразные методы, применяемые в этих областях Наиболее эффективно используется метод внешних форм и подвижного репера Картана, развитый в работах российских математиков С П Финикова Г Ф Лаптева, А М Васильева и с успехом примененный М А Акивисом в теории многомерных три-ткапеи Этот метод используется и в настоящей работе Все

рассмотрения имеют локальный характер

Теоретическое и прикладное значение Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер Они могут быть использованы специалистами-математиками и физиками в дальнейших исследованиях гладких группоидов общего вида г = /(ж, у) и определяемых ими алгебраических и геометрических структур, а также неассоциативных алгебр и их физических приложений Эти результаты позволяют по-новому оценить многие факты из классической теории тканей Они применяются при чтении спецкурсов в Тверском госуниверситете, Московском государственном педагогическом университете, Орском педагогическом институте и других

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях

— па международной сессии геометрического семинара МГУ и РАН им ГФ Лаптева (Лантевские чтения —2001, Москва, июнь 2001 I ),

— на 8-ой международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям в математическом институте Силезского университета (Опава, Чехия, август 2001 г),

— на семинаре по геометрии и анализу в Институте математики им С Л Соболева СО РАН (Новосибирск, декабрь 2001 г),

— на международном семинаре по геометрии и анализу памяти Н Ф Ефимова в Ростовском госуниверситсте (сентябрь 2002 г),

— на международном семинаре им Н И Лобачевского в Казанском госуниверсигете (ноябрь 2002 г),

— на международной конференции по геометрии "Ьоорь — 2003"(Прага, Чехия, август 2003 г),

— на семинаре по геометрии в Московском городском педагогическом университете (сентябрь 2004 г),

— на семинаре "Дифференциал!,пая геометрия и приложения"в МГУ им М В Ломоносова, рук А Т Фоменко (апрель, декабрь 2005 г),

— на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов"в МГУ им М.В Ломоносова, рук ЭБ Винберг, А Л Онищик (апрель 2005 г),

— па геометрическом семинаре в Московском педагогическом государственном университете, рук В Ф Кириченко (апрель 2005 г),

— на международной сессии геометрического семинара МГУ и РАН им Г Ф Лаптева (Лаптевские чтения —2006, Москва, июль 2006 г)

По теме диссертации автором опубликовано 14 работ

Структура диссертации. Диссертация изложена на 256 страницах, состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 109 наименований Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов — тремя Например, номером 3 2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 5 2 1 — первый пункт второго параграфа пятой главы Нумерация рисунков и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя

2 Обзор содержания диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются основные результаты, приводится краткий исторический обзор результатов классической теории три-тканей образованных слоениями одинаковой размерности, которые могут быть обобщены для три-тканей, образованных слоениями разной размерности.

В первой главе вводятся основные понятия для ткани №(р> <7>Р + Ч ~ 1)) образованной на многообразии М размерности р + д тремя слоениями размерностей р, д и р + д — 1

В п 1 1 приводится определение три-ткани \У(р, д, г) общего вида и детализируется понятие изотопии применительно к таким тканям

В п 1 2 вводится понятие координатного моноида Ц(а,ь) (°) три-ткани + д — 1), аналогичное понятию координатной лупы ¿(а,ь){°) ткани И7(г, г, г) Операция (о) в координатном моноиде определяется с помощью координатной решетки, которая образована в некоторой области N С М. фиксированным набором а = (о,), ,ар) из р достаточно близких вертикальных слоев первого слоения и фиксированным набором 6 = (Ьх, , Ьч) из ч также достаточно близких горизонтальных слоев второго слоения, см рис 7

Операция (о) определена (как и координатная лупа ¿(а,ь){°) ткани Иг(г, г, г)) на третьем слоении Аз ткани д,р + д — 1) равенством

г = иоу = Щ1(и)

и показана на рис 7 Здесь М — произвольная точка области N а х, у и г соответственно вертикальный, горизонтальный и наклонный слои, проходящие через эту точку так что г = х у Наклонный слой, проходящий через точку Вг — х П Ьг, обозначен и,, г = 1. д, наклонный слой, проходящий через точку Аа = у(1аа, обозначен «„, а = 1,р, и по

определению ткани \У(р,д,р + <7 — 1) имеем

и, - х Ь1} уа =аа у

Таким образом, в области N возникают два отображения (они обозначены соответственно Яь и Ьа)

Яь х -> (ггь ,ыд), Ьа у («1, ,ур)

Эти оюбражения записаны в виде

и = Яь(х), у-Ьа{у),

где обозначено и = (и 1, ,ид),у = (уь ,г'р) При условиях

отображения Яь и Ьа являются локально биективными и на третьем

Здесь х — вертикальный слой, трансверсальный подмногообразиям иг = иг Г) Ьг размерности д — 1, а у — горизонтальный слой, трансверсальный подмногообразиям Уа = уаПаа размерности р— 1, см рис

д/(х, Ьг)

дхз

Рис 7

Локальные бпекции Яь и с одной стороны, определяют замену параметров х = (ж1, ,хч) ^ (щ, ,ич) и у = (у1, ,ур) —> (г>ь ,ур) на базах X и У соответственно первого Ах и второго Х2 слоений три-ткани IV(р, д,р+д—1), а с другой, задают изотопическое преобразование (Ль, Ьа, г<£) координатного группоида г = х у ткани \¥(р,д,р + д — 1) в ее координатный моноид г = и о у, см Теорему 1

Единичным элементом е координатного моноида Ц(а,ь)(°) названа матрица е = (га1), Где %схг = аа Ьг Показано, что набор столбцов ё» = (га1, ,гач) матрицы е можно считать аналогом левой единицы, а набор ее строк ё, = (гь, ,гр1) — аналогом правой единицы, так как ёа о у = уа, и о ёг = иг В отличие от классического случая, "правая единица"и "левая единица"координатного моноида /¿(а,ь) (°), вообще говоря, не совпадают

В п 1 3 вводится понятие обобщенной конфигурации Рейдемейстера для три-ткани IV(р, д,р + <1 — 1) Приведем это определение

Рис 8

В области М многообразия Л4, несущею три-ткань \У(р, д,р + <? — 1), зафиксируем р + 1 достаточно близких вертикальных слоев х&,

п

а = 1,р+ 1, и 9+1 также достаточно близких горизонтальных слоев -¡/¡, г — 1,^ + 1, см рис 8 Через точку пересечения слоев ха и у-ироходит слой третьего слоения с параметром га-г, z&- = х„ у, Точку пересечения слоев rp+i и yq+i обозначим через Mp+iq+1 Построенная конфигурация изображена на рис 8 сплошными линиями

Рассмотрим еще р произвольных вертикальных слоев ха Эти слои, а также подмногообразия V0- = ха Г) zal обозначены на рис 8 пунктирными линиями Для каждого фиксированного г р подмногообразий VQ\ а = 1,р, допускают (локально1) единственный трансверсалыгый горизонтальный слой уг, так что zn- — ха yi Каждый из слоев у, пересекает наклонный слой с соответствующим номером zp+it по некоторому (q — 1)-мерному подмногообразию Up+u Эти подмногообразия допускают (локально') единственный трансверсальный вертикальный слой гр+1, который пересекается с построенным выше горизонтальным слоем yq.)-i в точке АГр+1<г+1 Эта точка, вообще говоря, не лежит на слое zp+ig+i, проходящем через точку Mp+iq+i

При р = q = 1 построегатя конфигурация совпадает с конфигурацией Рейдемейстера R для криволинейной три-ткани на плоскости (см рис 1) поэтому она названа обобщенной конфигурацией Рейдемейстера и обозначена R(p, q) Если точки Mp+iq+i и Mp+iq+\ лежат на одном наклонном слое zp+ i7+i, то будем говорить, что конфигурация •Я(Р> '¡) замыкается Ткань W(p. q,p + q — 1), на которой замыкаются все достаточно малые конфигурации R{p,q), названа обобщенной тканью Рейдемейстера и обозначена WR{p, q) По аналогии с классической теорией (см [8]) условие замыкания конфигураций Rip, q) можно записать в виде

С замыканием конфигураций R(p,q) связываются в дальнейшем различные свойства тканей W(p, q,p + q — 1)

В п 14 определено понятие сердцевины произвольной три-ткани Рейдемейстера R и ткани WR(p,q), обобщающее аналогичное понятие в теории тканей Бола [8] Сердцевина классической ткани R определена па третьем слоении ткани как тернарная операция zn = 2210 (211/212) где 2ц, 2i2, 221, 222 — параметры наклонных слоев, входящих в произвольную конфигурацию R (рис 1) Сердцевина ткани WR(p, q) представляет собой (pq + р + г/)-арную операцию па третьем

З-а У г — ^ос Уг j ха Vq+1 — ¿a Vq+Ъ ХР+1 У г = Хр+l Уг

слоении этой ткани и связывает параметры наклонных слоев, входящих в произвольную конфигурацию Д(р, д)

2р+1(7+1 = С(га1, Zaq+l, 2р+1г), а = 1 ,р, г = 1,5 Доказаны следующие теоремы

Теорема 2 Сердцевина С три-ткани ИгЯ{р, д) вполне определяет координатный группоид этой ткани

Теорема 3 Сердцевина ткани IV(р, д,р + д — 1) существует тогда и только тогда, когда эта ткань является тканью ]УИ(р, д)

В п 14 2 описана взаимосвязь введенных выше понятий и некоторых понятий теории физических структур Ю И Кулакова [17], [19] Показано, что координатный группоид ткани У/Т1(р,д) (и только такой ткани) определяет бинарную физическую структуру ранга (р+1, д +1), а понятие сердцевины ткани IVП.(р, д) аналог ично понятию феноменологически инвариантной формы физического закона (в теории физических структур)

Как уже было сказано, координатные лупы классической три-ткапи Рейдемейстера Я являются группами [2], то есть в них выполняется тождество ассоциативности (цо ») о ю = и о (» о ю) Вп 15 найдено тождество в координатных моноидах три-ткани XVЯ.(р,д), соответствующее замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера Я(р, д) Доказана

Теорема 4 Пусть и — (и\,и2, ,«,) и ю — (гс-х,го2, ,юР) — два произвольных набора наклонных слоев три-ткани \¥(р,д,р + д — 1) и иаг — еще один набор рд наклонных слоев, а — 1,р, г — \,д Обозначим строки и столбцы матрицы (г>„г) следующим образол1

= («ь, ,ирг), = ,уач) Три-ткань 1У(р,д,р + д - 1)

будет, тканью \¥Н.(р,д) тогда и только тогда, когда в каждом ее координатном моноиде /4(п,ь)(0) выполняется следующее тождество

и о (г)[?' о гу , ош) = (цо , и о о ш

При р = д = 1 это тождество обращается в обычное тождество ассоциативности, поэтому оно названо тождеством обобщенной ассоциативности Координатный моноид М(а,ь)(°) три-ткани \У{р, д,р + д — 1) в

котором выполняется тождество обобщенной ассоциативности, также назван ассоциативным

Во второй главе изучаются свойства некоторых новых тканей, индуцируемых тканью 1У(р,ч,р + д - 1), но образованных уже слоениями одинаковой размерности В п 2 11 показано, что при р > 1 и д > 1 на вертикальных и горизонтальных слоях ткани ]У(р, д,р + д — 1) возникают так называемые (р + 1)-ткани и (д + 1)-ткани (в смысле В В Гольдбсрга [14]), они обозначены \У(а,х) и VI?(Ь, у) Эти ткани получаются следующим образом Пусть а = (аа) и 6 = (6^ — некоторая координатная решетка ткани \У(р, д,р + д — 1), х и у — произвольные вертикальный и горизонтальный слои этой ткани Наклонные слои ткани \У(р,д,р + 5 — 1) высекают на горизонтальных слоях , Ьч и у семейства (д — 1)-мерных подмногообразий Проектируя последние вертикальными слоями на слой у, получаем на нем (д + 1)-ткань \¥(Ь,у), см рис 9

А{-г>)

Рис 9

Аналогично, набор (аа,х) порождает па слое х некоторую (р + 1)-ткань IV(а, х) Заметим, что в классической теории ткани Ц?(а,х) и IV(Ь, у) не возникают

В п 2 1 2 показано, что уравнения тканей IV(а, х) и \У(Ь, у) можно

записать соответственно в виде

\У{а,х) юр+х=х ь ,ьр),

ЩЬ,у) щ+1 = Я^1{и1, ,ия) у

Далее исследованы свойства тканей Иг{а,х) и ТУ(Ь,у), связанные с замыканием на ткани \У(р,д,р + д - 1) конфигураций Я(р,д) Для этого на слоях 1 = = несущих соответственно ткани И/(о,х)

и ^(6,7/), определены некоторые отображения

см п 22 1 Отображение <¡>2 показано на рис 10 Здесьа = (оь ,ар), 6 = (61, , Ьч) — координатная решетка, ар+1 — фиксированный вертикальный слой, отличный от слоев аа, га1 = ап Ьг, иг = ар+1 6,, А — произвольная точка на ^, х — проходящий через Л вертикальный слой, У]г = кПг1г — подмногообразия размерности р-1, у, — горизонтальный слой, трансверсальный подмногообразиям \\г1 У2г, , Ур1, II, — и, П уг — подмногообразия размерности — 1, х — вертикальный слой, трансверсальный подмногообразиям 0\, ,11 ч, точка А = 1 Л ссть образ точки А при отображении (¡>2, А = ф2{А)

Рис Ю

Отображение ф\ ^ —» ^ определяется аналогичным образом В п 2 2 2 доказана

Теорема 5 Каждое отображение <f>2 определенное на горизонтальном слое у ткани lV(p,q,p + q — 1), является автоморфизмом соответствующей ткани W(b, у), индуцированной на этом otee слое, тогда и только тогда„ когда ткань W(p,q,p + q — 1) является тканью WR(p,q)

Аналогичное утверждение верно и для отображений ф\ (Теорема 6) В п 2 3 2 доказана

Теорема 7 Автоморфизмы фъ ткани W(b,y), индуцируемой тканью WR(p, q) на ее произвольном горизонтальном слое у, образуют группу, транзитивно действующую на этом слое

Аналогичное утверждение справедливо для автоморфизмов <fii ткани \V(a,x) (Теорема 8)

С помощью автоморфизмов ф\ и 02 в п 2 3 1 определен локальный диффеоморфизм (ф1,ф2) многообразия М, несущего три-ткань WR{p, q), на себя

Среди (п + 1)-тканей наиболее простой класс образуют так называемые параллелизуемые ткани (п + 1)-ткань называется параллели-зуемой, если она эквивалентна ткани, образованной (п + 1) слоениями (п — 1)-мерных параллельных плоскостей [14] Согласно [14], паралле-лизуемая (п4- 1)-ткань характеризуется тем, что любая се три-подткань параллелизуема В п 2 4 доказана

Теорема 9 (q+l)-mKaub W(b,y), порождаемая три-ткапыо WR(p,q) на ее произвольном горизонтальном q-мерном слое у, параллелизуелга

Для тканей W{a,x) справедлива аналогичная Теорема 10

При р — 1, то есть на три-ткани W(l,q,q), ткани W(a,x) не существуют, поскольку вертикальные слои одномерные Поэтому случай р = 1 рассмотрен отдельно в п 2 5 Доказана

Теорема 11 Отображения ф\ на произвольном вертикальном слое ткани WR{1, q) (и только такой ткани) образуют q-параметрическую группу, транзитивно действующую па этом слое, и определяются координатным группоидом этой ткани

Этот факт позволяет найти все ткани WR(l,q), порождаемые действием группы Ли на одномерном слое Поскольку (см , например, [15])

существуют всего три одномерные группы Ли преобразований (однопа-раметрическая (параллельных переносов), двухпараметрическая (аффинная) и трехпараметрическая (проективная)), то, соответственно, и тканей IV 11(1, (¡) имеется только три типа

ИЛЙ(1,1) г = х+у, \У 11(1,2) г = х1у1+х2, \УН(1,3) г= ХУ + Х.

у + X

Физические структуры ранга (2,2), (2,3) и (2,4), соответствующие эти тканям, получены Г Г Михайличепко в [19]

В п 27 показано что в последнем случае соответствующая ткань \¥(Ь, у) есть одна из тканей, рассмотренных В Бляшке в [10]

+ «3^4) + /г2(«1Из + «4^2) + Ь3(щи4, + м2ы3) = О

(здесь Ч1,и2,и^,и4 — параметры слоев ткани, а /н,/12,/1з — постоянные величины, связанные соотношением /11 + /12 + /гз =0) Доказано, что эта 4-ткань порождается в трехмерном проективном пространстве Р3 четырьмя пучками плоскостей, оси которых попарно скрещиваются и принадлежат одной квадрике (Теорема 12)

В третьей главе найдены структурные уравнения три-ткани IV(р, д, р + д — 1) общего вида

<коа = иь Л и)% + и>р Л Шр,

<1шр — и>р А еЩ + А ши + А ©"+«, с1ши = А и» + шр+ч А

<кир+ч = шт+ч А ©^ + Аиаи>и Л + риши А вр+ч,

а, Ь, =1,р—1,и,у, — р + 1, р + 7 — 1, и их дифференциальные продолжения Формы

= Пр = Ыр л+ о^р л =

^ = - Л , = - л < + Л ©£*

называются формами кривизны три-ткани IV(р, <?, р-*-д — 1), а величины {А„,,,/./.„,/¿„} образуют ее тензор кручения [6] Слоения Л1, Аг и Аз этой ткани задаются соответственно уравнениями

Ах ши = 0, шр"> = 0, А2 = 0, шр = 0, А3 ©р+" = + и;р+<г = 0

Известно [2], что формы кривизны классической три-ткани Рейде-мейстера Я, образованной слоениями одинаковой размерности г, могут

быть одновременно приведены к нулю на всем многообразии М и обратно если формы кривизны некоторой три-ткани IV(г, г, г) приводятся к нулю, то такая ткань является тканыо Рейдемейстера Поскольку ткани WR(p, q) являются, в определенном смысле, обобщением тканей R, то, следуя классической теории, в п 3 3 1 мы рассматриваем три-ткань W(j>, q p+q—1), формы кривизны которой равны нулю Эта ткань обозначена W°(p, q,p + q — 1) Изучение тканей W°(p, q,p + q — 1) связывается со свойствами тензора кручения {Аиа, ра, Ри} и его подтензоров Путем интегрирования структурных уравнений тканей W°(p, q,p+q— 1) найдены конечные уравнения некоторых тканей (Теорема 13), в том числе, тканей типа WR(p,p) и WR(p,p + 1), см Таблицу 2 Таблица 2

Уравнение ткани WR(p,q) Тензорная характеристика

z = xLy1 + + хрур + xp+l Ри Ф 0, ра = 0

Z = Xх у1 + + хрур Ри = Ра Ф 0

z = x1y1+ + хр~1ур~1 + хр +yv Ри = Ра = 0

В п 3 4 структурные уравнения ткани W(p, q,p + q — 1) приведены к виду

¿в = в Л {со + УХ**?), = (w + Y]bla0),

i i —J a a oc —J l

а г

где г = l,q, a = l,p Из последних уравнений при 0 = 0 получаются

г

структурные уравнения (р+1)-ткани W(a, т) Ее слоения определяются уравнениями $ = 0 , $ = О, i9+ +& = 0 При $ = 0 получаем струк-

1 pip а

турные уравнения (д + 1)-ткани W(b,y), слоения которой определяются уравнениями 0 = 0 ,0 = 0, 0 + +0 = 0

1 q 1 q

В п 3 5 1 показано что дифференциальные продолжения структурных уравнений три-ткани WR(p, q) имеют вид

ски = 0, dbla =Ь,а(У~\а0 + У\/31?),

(Теорема 14) Путем интегрирования структурных уравнений три-ткани WR(p, q) в п 3 5 2 получены конечные уравнения всех тканей WR(p, q) и соответствующие условия на тензор кручения, см Таблицу 2.

Заметим, что эти уравнения совпадают с теми, которые получены путем интегрирования структурных уравнений ткани W°(p, q,p+q — 1),

см Теорему 13 В п 3 5 3 показано, что формы кривизны три-ткапи И/Я(р, д) равны нулю

С другой стороны, каждое из этих уравнений определяет соответствующую бинарную физическую структуру см [19] и [17]

В Главе 4 рассматривается произвольная три-ткань Иг(р, д, г) при р < д <г Вп 41 определена алгебраическая операция (о) (по аналогии с определением координатного моноида три-ткани \У(р,д,р + д — 1)), названная также координатным моноидом Доказана

Теорема 15 Координатный моноид р.(а,ь){°) три-ткани \У{р, д,г) существует только для тканей вида \У(Х1,Хт,Х(1 + т — 1)) Координатный моноид три-ткани Ш(Х1, Хгп Х(1 + т — 1)) главноизотопсн ее координатному группоиду

Для ткани Ш(Х1,Хт, Х(1 + т — 1)) обобщаются понятия конфигурации Рейдемейстера и ткани Рейдемейстера (они обозначены соответственно ЩХ1, Хт, Х(1 + т - 1)) и \УЯ(Х1, Хт, А (г + то - 1))), см п 4 2 Для ткани \УЯ(ХI, Хт, Х(1 + т — 1)) определена функция

■г;+1т+1 = г/+и)>

где = /(^6,У1) — параметры наклонных слоев, образующих конфигурацию Я{Х1,Хт,Х{1 + т — 1)), гц = (-г^), 5 = 1,1 + 1, I = 1,т + 1, £ = 1, А Функция С = (С') является обобщением понятия сердцевины три-ткани ¥^П{р,д) и названа также сердцевиной три-ткани \\ГИ(ХI, Хт, X(I + т — 1)) (п 4 3) Как и в случае ткани V/Л(р, д), сердцевина ткани ШЯ{Х1,Хт,Х{1 + т — 1)) вполне определяет координатный группоид этой ткани (Теорема 17), а существование сердцевины характериз}ет ткань IVЯ(Х1, Хт, Х(1 + т — 1)) (Теорема 16).

В п 4 4 доказано, что замыкание обобщенных конфигураций Рейдемейстера на ткани IVН(Х1, Хт, Х(1+т—1)) эквивалентно выполнению в каждом координатном моноиде этой ткани некоторого тождества, обобщающего тождество ассоциативности для координатного моноида три-ткани \УЯ(р,д) (Теорема 18)

В пятой главе изучаются три-ткани, порождаемые действием локальной гладкой д-параметрической группы Ли <3 на гладком р-мерном многообразии У, то есть ткани, определяемые гладкими функциями

/ СхГ^У, 2 = /(а,у)=а у, удовлетворяющими условиям

/(е,у) = у, /(а,/(6, г/)) = ¡(ф(а,Ъ),у),

гдр ф(а, b) — операция в параметрической группе G, а е — единица этой группы Такая ткань образована тремя слоениями

Ai а = const, А2 у = const, A3 z = f(a,y) = const

размерностей соответственно p, q и q на прямом произведении M. — G х Y и обозначена G\V(p,q, q), см п 5 14

В п 5 2 доказано, что ткани GW(p, q, q) характеризуются замыканием на них обобщенных конфигураций Рейдемейстера й1о(1,то), т ~ [ч/р1 (Теорема 21) Для ткани GW(p,q,q) обобщается понятие сердцевины, неявно задаваемой уравнениями

ФР(г11> г12> , zlm+l, Z21, Z22, ,z2m+l) = 0,

где 2ц, 2i2, 7 zim+i, Z21, 222, , Z2m+i — параметры наклонных слоев, входящих в конфигурацию Лх„(1,т), р — 1, (т + 1 )р — q, тп = [q/p] В п 5 3 доказана

Теорема 22 Сердцевина три-ткани GW(p,q,q), порождаемой группой Ли преобразований f G х Y —> Y, может быть записана в виде

^(zujzw, ,ZlTn,Zlm+l) = <PP(Z21,Z22, ,Z2m,Z2m+1),

где - инварианты группы преобразований, p = 1, (rn + l)p — q, m = [q/p]

Этот факт проиллюстрирован в п п 5 4 2 и 5 4 3 на различных примерах Так, сердцевина три-ткани 1УЛ(1,3), порождаемой действием проективной группы на прямой, приводится к виду

(211 ~ 212)(213 - Z14) _ (221 ~ Z22) (223 ~ 224) (2ц — 2i3)(212 — 214) (221 — 223)(222 ~ 224)

(Здесь инвариантом является, как известно, сложное отношение четырех точек)

В п 5 4 2 показано, что сердцевина ткани GW{p, тр, тр), допускающей координашьш моноид 2 = (щ,и2, ,ит) ov, может быть записана в виде р уравнений

(211,212, , Ziin)/Z\m+i — (221, 222, ,Z2m)/z2m+l,

где "/" — правая обратная операция для (о) В частности, при т = 1 получается классическая групповая три-ткань W(p,p,p), порождаемая

р-мерной группой б [1] Сердцевина такой ткани определяется также р уравнениями вида гц/г^ = ¿21/222

В п 5 5 описаны три-ткани, порождаемые аффинной и проективной группами на плоскости и в пространстве Для каждой из этих групп найдены многоточечные инварианты, а сердцевина соответствующей ткани записана в виде равенства инвариантов

В п 5 6 описано вложение ткани (^^(р, ?) в три-ткань 1^(9,9,9), порождаемую параметрической группой С? В п. 5 7 показано, как находить структурные уравнения ткани С\¥(р, 9, 9) в виде

с^« = <5" Л + Аш® — ^ОР А йЛ,

(1йи = й;" Л + ¿У3

а, ¡3, = 1,р, и, V, = р + 1,9, по уравнениям Маурера-Картана группы С?

<1иг — с)кш3 А шк,

= Ч Здесь и>1 -- инвариантные формы группы Ли б, сг}к — ее структурный тензор, удовлетворяющий тождеству Якоби Слоения ткани 0\¥{р, 9,9) определяются уравнениями

Ах йг = О, А2 Со" = 0, А3 иа = ша + ша = О

1 2 3 12

Этим методом найдены три-ткани/ определяемые аффинной и проективной группами на прямой, а также группой движений и унимодуляр-ной группой на плоскости

В шестой главе вводится понятие локальной гладкой левой квазигруппы Бола преобразований и изучается многомерная три-ткань, порожденная действием этой квазигруппы Квазигруппа преобразований определяется как действие локальной гладкой 9-мерной квазигруппы <3(*) на гладком /> мерном многообразии У (р < 9) и записывается в виде

/ С?х У-»У, г = /(а,у)

Функция f рассматривается с точностью до изотопических преобразований, причем в некоторых локальных координатах ранги матриц (д//да) и (<?//ду) предполагаются максимальными в каждой точке области определения Такой подход позволяет связать с квазигруппой

преобразований геометрический объект — некоторую три-ткань, образованную на прямом произведении М = Q х Y тремя слоениями

Ai а = const, А2 у = const, A3 z — f(a, у) = const

размерностей соответственно р, q и <7, см п С 1 1 Эта ткань обозначена QW(p, q,q), а функция / названа ее координатным группоидом

В п 6 1.2 рассматривается квазигруппа преобразований, удовлетворяющая тождеству

f(a,f-4b,f(a,y))) = f(a*b,y), a,beQ, ytY

Показано, что этому тождеству на ткани QW(p, q, q) соответствует конфигурация, аналогичная левой конфигурации Бола £?¡, см рис. 2 Поэтому группоид /, удовлетворяющий данному условию, назван квазигруппой Бола преобразований Квазигруппа Q(*) названа (по аналогии с теорией групп Ли преобразований) параметрической квазигруппой квазигруппы Бола преобразований В п 6 1 2 показано, что квазигруппа Q(*) изотопна левой лупе Бола

Три-ткань QW(p, q, q), порожденная квазигруппой Бола преобразований, названа левой тканью Бола и обозначена Bi(p, q,q) В п С.1 3 показано, что операция (*) индуцирует на многообразии ткани Bi(p,q,q) некоторый автоморфизм этой ткани, при котором вертикальные слои ткани переходят в вертикальные, а горизонтальные и наклонные слои ткани меняются местами

В п 6 2 вводится понятие обобщенной левой конфигурации Бола Bi{l,m) на три-ткани W(p,q,q) Доказано, что замыкание конфигураций Bi(l,m) характеризует три-ткань B¡{р, q, q) (Теорема 28) В координатном моноиде ткани B¡ (р, тр, тр) (при других размерностях моноид не существует, см Теорему 15) найдено тождество, соответствующее замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Бола .6/(1, га) В п 6 3 доказана

Теорема 29 Пусть ui,uo, ,um и v - произвольные наклонные слои три-ткани W(p,mp,mp) Ткань W(p,mp,mp) будет тканью Bi {р, тр, тр) тогда и только тогда, когда в каждом се координатном моноиде P(Qib)(°) выполняется следующее тождество

((lil, ,Um)oUl, , («1, ,Um) О Um) О V = (ui, ,Um)o((ui, ,Um)ov)

Это тождество названо тождеством обобщенной альтернативности, поскольку при 7тг = 1 оно обращается в обычное тождество левой альтернативности (и о и) а у = и о (и о у), которое выполняется в координатных лупах три-ткани Бола В/, образованной слоениями одинаковой размерности

В п С 4 2 доказано, что если ткани *\АГ(р,д, д) и IV(р д, д) эквивалентны, то в соответствующих реперах их тензоры кручения и кривизны совпадают (Теорема 30) Справедливо и обратное утверждение (Теорема 31), обобщающее аналогичный результат классической теории см [7]

В п С 5 найдены структурные уравнения три-ткаии В^р, д,д)

<киа = и? Л + Ва, 3 3 3

с1и>и =ы»Лы? + (ш0 - аУ3) Л цЛ, 1 1 " 2 ' <Ь)а = и*3 Л + 0", 2 2 Р 2

и их дифференциальные продолжения

= Ь^ Л + Ь^ш-г - шУ) Л ш», £/< - < Л Ш- = Ъ^Ы* Л + Ь^ш-г - иЛ) Л Ш»,

- Л - Л = ^ Лш^ («т - ыт) А о,» - ^ Л и«) Ли13 + ¿ва + в0 А = 0, (еЦ? - с^ Л Ц?) + ¿9« + А= 0,

где = °> = = (Теорема 32)

В п 6 6 найдены конечные уравнения некоторой ткани В; (2,3,3) путем интегрирования ее структурных уравнений с единственной отличной от нуля компонентой тензора кривизны 6223

21 = Т1 -+- у1 — Т3у2(X2 + у2),

22 =Х2 + У2

С другой стороны, последние уравнения определяют трехпараметриче-скую квазигруппу Бола преобразований на двумерном многообразии с параметрической квазигруппой

с1 = 2а1 - Ь1 - (а2 - 6а)(а2(а3 - Ь3) + а3(а2 - Ь2)), с2 = 2а2 - Ъ2, с3 = 2а3 - б3,

причем левая обратная квазигруппа последней изотопна средней лупе Бола Р'т, уравнения которой найдены из других соображений в [22]

Список литературы

Акивис МАО канонических разложениях уравнений локальной аналитической квазигр}ггпы// Докл АН СССР — 1969 — Т 188,— JV® 5 — С 967-970

Акивис МАО три-тканях многомерных поверхностей// Тр геом сем ВИНИТИ АН СССР - 1969 - Т 2 - С 7-31

Акивис МАО локальных алгебрах многомерных три-тканен// Сиб мат ж - 1976 - Т 17 - № 1 — С 5-11

Акивис M А Об интегрировании структурных уравнений три-ткани Муфанг минимальной размерности// Дифференциальная геометрия — Калинин — 1977 — С 3-9

Акивис M А Дифференциальная геометрия тканей// Итоги науки и lexii ВИНИТИ Пробл геом — 1983 — Т 15 — С 187-213

Акивис M А , Гольдберг ПВО многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Докл АН СССР— 1972 — Т 203 - № 2 — С 263-266

Akivis M А , Shelekhov A M Algebra and Geometry of Multidimensional Three-Webs// Klmver Academic Publishers — Dordrecht/ Boston/ London — 1992 — xvn+358 pp

Белоусов В Д Основы теории квазш pyrai и луп — M Наука — 1967 — 223 с

Белоусов В Д , Рыжков В В Геометрия тканей// Итоги науки ir техп ВИНИТИ Алгебра Топология Геометрия — 1972 - Т 10 —С 159-188

Бляшке В Введение в геометрию тканей — M ГИФМЛ — 1959 — 144 г

Blaschke W , Bol G Geometrie der Gewebe// Springer-Verlag — Berlin — 1938 — viii+339 pp

Bol G Uber 3-Gowebe m vierdimensionalen Raum // Math Ann — 1935 — p 431-463

Гольдберг В В Трансверсально-геодезические, шестиугольные и групповые три-гкани, образованные поверхностями разных размерностей// Сб статей по диффорен reo\t — Калинин — 1974 — С 52—64

Гольдберг В В О приводимых, групповых и (2п + 2)-эдричных (п + 1)-тканях многомерных поверхностей//Сиб мат ж-1976-Л5 1 —С 44-57

Горбацевич В В , Опищик А JI Группы Ли преобразований// Итоги науки и техн ВИНИТИ Современные проблемы математики Фундаментальные направления — 1988 — Т 20 — С 103-240 Кузьмин Е Н О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами Муфанг// Алгебра и логика — 1971 — Т 10 — № 1 — С 3-22

Кулаков Ю И , Владимиров Ю С , Карнаухов А В Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику// М Архимед — 1992 - 183 с

Мальцев А И Аналитические лупы// Мат сб — 1955 — Т 36 — X» 3 — С 569-575

Михайличепко Г Г Решение функциональных уравнений в теории физических структур// Докл АН СССР - 1972 - Т 206-.№5-С 10561058

Нестеров А И Квазигрупповые идеи в физике// В сб Квазигруппы и неассоциатгазные алгебры в физике Труды института физики — Тарту - 1990 - Т 66 - С 107-120

Сабшпш Л В Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной геометрии// Добавлегаге к книге Ш Кобаяси и К Номидзу "Основы дифференциальной 1еомегрии" — М Наука — 1981 — С 293-339

Федорова В И Шестимерные три-ткапи Боля с симметричным тензором а%1// Ткани и квазигруппы — Калинин — 1981 — С 110-123

Федорова В И Об условии, определяющем многомерные три-ткшш Боля// Сиб мат ж - 1987 - Т 19 - № 4 - С 922-926

Hofxnann К Н Strambach К The Akivis algebra of a homogeneous loop// Mathematika - 1986 — V 33 — JS® 1 - p 87-95

Chcrn S S Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r- dimensionalen Mannigfaltigkeiten га Лгг//Abb Math Sem Umv — Hamburg — 1936 — V 11 — № 1-2 —p 336-358

Публикации автора по теме диссертации

1 Толстихина Г А О сердцевине координатной квазигруппы некоторой шестимернои три-ткапи Боля// Ткани и квазигруппы— Калинин — 1990 — С 18-22 (0,4 п л )

2 Tolstikhma G А The locally Symmetrie s-strueture determmed bv a Bol web// Webs and Quasigroups — Tver — 1991 — p 147-155 (0,6 п л )

3 Толстихина Г А О локально плоской структуре связанной с тканью Боля// Алгебраические методы в геометртш — Москва РУДН — 1992 - С 56-61 (0,4 п л )

[16 [17

[18 [19

[20

[21

[22 [23 [24 [25

4 Толстихина Г А О сердцевине координатной квазигруппы три-ткани Воля/'/ Фундам пробл мат и мех Мат — Ч 1— МГУ — Москва — 1994 —С 63-64 (0,1 пл)

5 TolstikhinaG A On associative smooth monoids//Webs and Quasigroups— Tver - 2002 — p 53-59 (0,44 п л )

6 Толстияша Г А Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей// Итоги науки и техн ВИНИТИ Современная математика и ее приложения - Т 32(2005) - С 29-116 (5,4 п л )

7 Толстихина Г А , Шелехов А М О три-тканях W(p, q,p + q— 1), на которых замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера/ / Деп в ВИНИТИ 13 08 2001 JVU869-B2001 (2,9 п л )

8 Толстихина Г А , Шелехов А М Обобщешгая ассоциативность в гладких группоидах// Докл РАН - 2002 - Т 383 - Л"? 1 - С 32-33 (ОД п л )

9 Толстихина Г А , Шелехов А М Три-ткани, определяемые 1руппами преобразований// Докл РАН — 2002 — Т 385 — № 4 — С 1-3 (0,2 п л )

10 Tolstikhina G А , Shelckhov А М The three-web determined by affine transformation group// Webs and Quasigroups — Tver — 2002 — p 46-49 (0,25 и ч )

11 Толстихина Г A , Шелехов A M Вложеиие три-ткани, определяемой группой преобразований, в групповую три-ткань// Деп в ВИНИТИ 2003 Л"» 880 - В2003 (1,1 п л )

12 Толстихина Г А , Шелехов А М Многоточечные инварианты групп преобразований и определяемые ими три-ткани// Изв Вузов Мат — 2003 - № 11(498) - С 82-87 (0,4 п л )

13 Толстихина Г А , Шелехов AMO квазигруппах Бола преобразований// Докл РАН - 2005 - Т 401 - X« 2 — С 166-168 (0,2 и л )

14 Толстихина Г А , Шелехов AMO три-ткани Бота, образованной слоениями разных размерностей// Изв Вузов Мат — 2005 — Л* 5(516) — С 56-62 (0,6 п л )

В работах выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от 50% до 75%

Введение

0.1 Общая характеристика работы.

0.2 Обзор содержания диссертации.

1 Основные понятия теории три-тканей W(p,q,p -f q — 1)

1.1 Изотопия координатных группоидов три-ткани W(p,q, г)

1.2 Координатный моноид три-ткани W(p,q,p -f q — 1) • • • •

1.3 Обобщенные конфигурации Рейдемейстера на три-ткани W(p,q,p + q- 1).

1.4 Сердцевина три-ткани Рейдемейстера WR(p, q).

1.5 Тождество обобщенной ассоциативности.

2 Геометрические и алгебраические структуры, порождаемые три-тканью W(p, q,p + q — 1)

2.1 (р + 1)-ткани W(a,х) и (q + 1)-ткани W(b,у), индуцируемые три-тканью W(p, q,p + q — 1).

2.2 Отображения ф\ и fo.

2.3 Автоморфизмы три-ткани WR(p, <?)

2.4 Параллелизуемость тканей W(a,x) и W(b:у), индуцируемых три-тканью WR(p, q).

2.5 Три-ткани WR(l,q).

2.6 Три-ткань W(6,у), индуцированная три-тканью 2).

2.7 4-ткань W(b, у), индуцированная три-тканью WR(1,3)

3 Структурные уравнения три-ткани W(p, q,p + q - 1)

3.1 Структурные уравнения три-ткани W(p, q, г).

3.2 Структурные уравнения три-ткани

W(P,qlP + q- 1).

3.3 Три-ткани W(p,q,p + q—l) с нулевыми формами кривизны

3.4 Структурные уравнения тканей W(b, у) и W{a, ж)

3.5 Структурные уравнения три-ткани WR(p,q) и их интегрирование

4 Три-ткани Am, А(/ + m - 1))

4.1 Координатый моноид три-ткани W(Xl, Am, А(/ + m — 1))

4.2 Обобщенные конфигурации Рейдемейстера на три-ткани W(\l, Am, А(/ + m — 1)).

4.3 Сердцевина три-ткани WR(Xl, Am, А(/ + m — 1))

4.4 Обобщенная ассоциативность в координатных моноидах три-ткани WR(Xl, Am, X(l + m — l)).

5 Три-ткани GW(p,q,q), порождаемые группами Ли преобразований

5.1 Три-ткани, порождаемые группами Ли

5.2 Конфигурации Рейдемейстера на три-ткани GW(p, q, q)

5.3 Сердцевина три-ткани GW(p, q, q) и инварианты группы преобразований.

5.4 Координатный моноид три-ткани W(p, mp, rap).

5.5 Три-ткани, порождаемые аффинной и проективной группами

5.6 Вложение три-ткани GW(p, q, q) в групповую три-ткань

5.7 Структурные уравнения три-ткани GW(p,q,q).

6 Три-ткани Бола Bi(p,q,q)

6.1 Квазигруппы Бола преобразований и определяемые ими три-ткани

6.2 Обобщенные левые конфигурации Бола на три-ткани W(p,q,q).

6.3 Тождество обобщенной альтернативности.

6.4 Структурные уравнения три-ткани W(p, q,q).

6.5 Структурные уравнения три-ткани Бола Б/ (p,q,q)

6.6 Пример три-ткани Бола 5/(2,3,3).

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Основы дифференциально-геометрической теории три-тканей были заложены участниками гамбургского геометрического семинара, руководимого Вильгельмом Бляшке (1926-1928 годы). Бляшке, его ученики и коллеги, среди которых наиболее известны имена Бола, Рейдемейстера и Томсена, изучали, в основном, криволинейные три-ткани на плоскости, которые в некоторой области N С R2 могут быть заданы уравнениями х = const, у = const и линиями уровня гладкой функции f{x,y), z = f(x,y) = const. Они определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и выделили классы тканей, на которых замыкаются конфигурации того или иного типа. Оказалось, что каждый класс тканей характеризуется выполнением некоторого тождества в так называемых координатных лупах ткани. Основные результаты этих исследований были опубликованы в монографии [29], в книге [28], а также в многочисленных обзорах, см., например, [27] и [7]. Указанные геометрические и алгебраические конструкции были позже обобщены С. Черном и М.А. Акивисом для многомерных три-тканей W(r,r,r), образованных тремя r-мерными слоениями на дифференцируемом многоообразии размерности 2г [103], [4].

Дифференциально-геометрическую теорию тканей W(p,q,r), образованных слоениями разных размерностей, начали развивать М.А. Аки-вис и В.В. Гольдберг [10], [11]. Для каждого из трех возможных случаев {р < q < г, q < г < р, г < р < q) они нашли структурные уравнения ткани, определили тензоры кручения и кривизны, выяснили геометрический смысл обращения в нуль тензора кручения и некоторых его подтеизоров. В.В. Гольдберг в [37] определил некоторые специальные классы три-тканей W(p,q,r), названные им траисверсально-геодезическими, шестиугольными и групповыми, и нашел соответствующие тензорные характеристики для каждого из трех указанных выше соотношений между размерностями. В работах других авторов изучались некоторые дифференциально-геометрические свойства многомерных (р, q, г)-тканей, см. об этом в [27], [33] и [86]. Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, оказалось невозможным непосредственно обобщить для тканей W(p, q, г) основные понятия классической теории три-тканей (координатная лупа, конфигурация, ассоциативность и т.д.) и, следовательно, реализовать в полной мере идеи Бляшке и Бола о взаимосвязи алгебраических и геометрических свойств тканей. Таким образом, возникла проблема обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей, образованных слоениями разных размерностей.

Актуальность этой проблемы определяется не только внутренними потребностями теории тканей, стремлением к завершенности и полноте, но и многочисленными приложениями теории многомерных три-тканей в разных разделах математики и физики, см. об этом в [28], [16], [86]. Наиболее важные приложения связаны с тем обстоятельством, что три-ткань W(r, г, г) представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативной. Это позволило применить полученные методами теории тканей результаты в тех разделах математики и физики, где активно используются неассоциативные методы [46], [50], [51], [60]-[62], [96]-[98]. Заметим в связи с этим, что в работе [17] уравнения ткани W(r, г, г) общего вида были записаны в контравариантной форме, наиболее удобной для физических приложений.

Однако приложения классической теории тканей ограничены тем, что в уравнении ткани z = f{x,y) переменные имеют одинаковую размерность. Очевидно, что построение аналогичной теории для гладких функций с разной размерностью переменных значительно расширяет область приложения результатов.

Цель работы. В настоящей работе рассматриваются гладкие функции / : X х Y —> Z, где Х,У, Z — дифференцируемые многообразия, вообще говоря, разной размерности,

XcR\ YCRP, ZcRp+q~r, p,q,reN, r<p + q, p < q < такие, что в каждой точке области определения ранги матриц Якоби f ^ J~

-) и (—) максимальны. С уравнением z — f(x,y) связывается адек JU С/ U ватный геометрический объект — многомерная три-ткань W(p,q,r), образованная иа многообразии М = X х Y размерности р + q тремя слоениями Xw общего положения, w = 1,2,3, [10]. Здесь Ai — q-параметрическое слоение р-мерных подмногообразий х = const, Л2 — р-параметрическое слоение g-мерных подмногообразий у — const, A3 — (р + q — г)-параметрическое слоение r-мерных подмногообразий 2 = const. При этом через каждую точку А из М проходит один и только один слой каждого слоения; любые два слоя Т\ С Ai и Т2 С А2 имеют не более одной общей точки; слои С A3 и Т\ С Ai, имеющие общую точку, пересекаются по подмногообразию размерности г — q, а слои f3cA3Hf2C А2, имеющие общую точку, пересекаются по подмногообразию размерности г — р. Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойствтри-тканей PF(р, q, г).--------------------

Основные понятия классической теории три-тканей и задачи исследования.

В классической теории различают плоские три-ткани (р = q = г = 1) и многомерные три-ткани (р = q = г > 1). Изучение многомерных три-тканей W(r, г, г), образованных слоениями одинаковой размерности г на 2г-мерном многообразии, было начато Г. Болом [31] и С. Черном [103]. Дальнейшее развитие этой теории связано с выходом в свет в 1955 г. книги В. Бляшке [28] (русский перевод М.А. Акивиса, 1959 год) и работ М.А. Акивиса [3], [4]. С этого периода началось активное исследование три-тканей в России. Изложение полученных результатов и библиографию см. в обзорах [27], [7], [104], [105], [39], [12], [13] и в монографии [16]. Приведем основные понятия и результаты классической теории, которые обобщаются в настоящей работе для три-тканей W(p,q, г). df df

Уравнение ткани z = fix,у), где 1 — 1 ф 0 и 1 — 1 ф 0, с одной стороох оу ны, связывает параметры слоев, проходящих через одну точку области

N С X х Y: а с другой стороны, определяет трехбазисную бинарную

9/ операцию (•) : X х Y ->• Z, z = х • у = f(x,y). Условия | —| / 0 и

С/ Ju д*\-/п Ф (J означают, что уравнение z = х ■ у локально однозначно разрешу шимо относительно каждого из своих аргументов, а потому определяет в области JV С X х Y локальную дифференцируемую квазигруппу, называемую локальной координатной квазигруппой три-ткани [3]. Продолжая идеи Ф. Клейна, предложившего классифицировать геометрии по группам Ли [45], В. Бляшке и его сотрудники изучали дифферен-циалыю-геометрические (локальные!) свойства три-тканей, инвариантные относительно локальных диффеоморфизмов х ->• а(х) = х, у-* Р(у) = у, z 7 (z) = z.

Локальные биекции а, /3 и 7 определяют замену параметров на соответствующих базах X, У и Z слоений Ai, А2 и A3 ткани. При этом уравнение z = f(x,y) ткани преобразуется к виду

Тройка локальных биекций (а,/3,7) называется изотопическим преобразованием и задает изотопическое преобразование локальной координатной квазигруппы z — х-у ткани W(r,г,г) на локальную координатную квазигруппу z = х-у = f(x,y) ткани W(r,r,r). Ткани W(r,r:r) и Ж (г, г, г) называются эквивалентными.

Отношение эквивалентности три-тканей имеет следующий геометрический смысл: при изотопических преобразованиях слои ткани W(r,r,r) переходят в слои эквивалентой ей ткапи W(r,r,r), а точки пересечения слоев ткани W(r, г, г) — в точки пересечения соответствующих слоев ткани W(r,r,r). Поэтому изотопические преобразования сохраняют инцидентность точек и слоев ткани, следовательно, сохраняют свойство конфигураций, образованных слоями ткани и их точками пересечения, быть замкнутыми. На рис. 1-6 изображены основные типы конфигураций: Я — шестиугольная конфигурация, Т — конфигурация Томсена, R — конфигурации Рейдемейстера, Bi — левая конфигурация Бола, Вг — правая конфигурация Бола, Вт — средняя конфигурация Бола. На этих и всех последующих рисунках слои первого, второго и третьего слоений ткани изображаются соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями.

Рис. 5 Рис. 6

Опишем, например, построение конфигурации Рейдемейстера R (рис. 3), которая нам понадобится в дальнейшем. Пусть xi, Ж2 и у\, У2 — произвольные достаточно близкие слои первого и второго слоений соответственно, Mij — точка пересечения слоев Х{ и yj, i,j — 1,2, Zij — слой третьего слоения, проходящий через точку М^-, Zjj = • yj. Здесь и далее мы отождествляем слои ткани с параметрами, их определяющими. Пусть х\ еще один вертикальный слой, достаточно близкий к слою х\. Он пересекает слои 2ц и 212 соответственно в точках Мц и М\2, через каждую из которых проходит единственный горизонтальный слой, обозначим их у\ и г/2 соответственно. Слой у\ пересекает наклонный слой 221 в некоторой точке Мгъ через которую проходит единственный вертикальный слой Х2- Последний, в свою очередь, пересекает горизонтальный слой у2 в некоторой точке М22, а через нее проходит единственный наклонный слой ж 2 • у2- На произвольной три-ткани слои Х2 • У2 КХ2-У2, вообще говоря, не совпадают.

Построенная конфигурация называется конфигурацией Рейдемейстера. Если точки М22 и М-22 лежат на одном наклонном слое, то говорят, что конфигурация Рейдемейстера замыкается. Три-ткань W(r, г, г) называется тканью Рейдемейстера, если на ней замыкаются все достаточно малые конфигурации Рейдемейстера [28]. В этом случае говорят, что на ткани выполняется условие замыкания (Я), которое записывается в виде так называемого условного тождества [25]: х\ ■ у 1 = xi • у 1, Х\ • У2 = XI ■ У2, Х2 ■ У2 = Х2 • У2.

Х2 ■ У1 = Х2 • У1

Аналогичным образом определяются и другие конфигурации, изображенные на рис. 1-6. Ткани, на которых указанные конфигурации являются замкнутыми, называются, соответственно, шестиугольными тканями или тканями (Я), тканями Томсена или (Т), тканями Бола (левыми или (Bi), правыми или (Бг) и средними или (Вт)). Условия замыкания Bi, Вг и Вт не являются независимыми. В [26] доказано, что выполнение двух из этих условий влечет третье. Ткани, на которых замыкаются фигуры всех трех указанных типов, называются тканями Муфанг (М) [4].

Условию замыкания конфигураций определенного вида на три-ткани соответствует некоторое тождество, выполняемое в так называемых координатных лупах ткани. Операция (о) в координатной лупе £(a,b){°)i где а и Ъ — фиксированные слои, а 6 Ai, b G Л2, определяется на третьем слоении A3 ткани следующим образом [14]: о) : A3 х A3 —>• А3, uo^"1 f(u,b) ■ /1(а,г;), где и и v — произвольные слои третьего слоения A3, достаточно близкие к слою е = а • Ь, который, как нетрудно проверить по определению, является единичным элементом лупы (°)? т0 есть uoe — ui eov = v

Геометрический смысл операции (о) показан на рис. 7.

Рис. 7 Рис. 8

Соответствие между условиями замыкания и тождествами в координатных лупах приведено в Таблице 1. Здесь через "\"и "/"обозначены, соответственно, левая и правая обратные операции для операции (о). Таблица 1

Ткань Тождество Тензорная характеристика

T и о v = v о и а = 6 = 0

R (и о г*) о w = и о {у о w) 6 = 0

Bi (и о и) о v = и о (и о v) = 0

Br и о (v о v) = {и о v) о v *01ВД = 0

Bm и о (v \ и) = (u/v) о и <-;-<«> = о

H (и о и) о и — и о [и о и) ь1т =0

На рис. 8 проиллюстрировано доказательство для условия замыкания (R). Здесь и\ — иov,vi = vow, щ ow = (uov) ow, uov\ = uo(vow).

Перечисленные выше понятия и результаты, возникшие первоначально в теории криволинейных три-тканей, были обобщены М.А. Аки-висом для многомерных три-тканей W(r, г, г) [4]. Он же записал структурные уравнения ткани W(r, г, г) в терминах внешних форм и внешнего дифференциального исчисления [4]: dwl 1 и>3 Л и) + al-hu3 Л du){ = to3 Л 1 3 JK1 1 2 2 3 dujj = ujj A u)[ + Цк1шк A аУ i,j,k,l,. — 1,г. Здесь величины и bljkl являются тензорами и называются соответственно тензорами кручения и кривизны три-ткани. Поля тензоров аг-к и Ьг-к1 определяют три-ткань с точностью до эквивалентности [16]. Слоения Ai, Л2 и Аз ткани W(r,r,r) задаются соответственно уравнениями

Ai : = О, А2 : = О, А3 : и* + и* = 0. 1 2 12

С помощью структурных уравнений ткани можно описывать ее дифференциально-геометрические свойства в терминах канонической аффинной связности Г, определяемой на многообразии М. формами

L01 = (и>г,СОг) И V1 2

LVj =

Ш) 0 V

0 и)

I,J,K,L,. = 1,2г. Тензоры кручения RjK и кривизны Rjkl связности Г выражаются соответственно через тензоры aljk и Ьг-к1\ (

Rjk :

I V о о о \ 1 о о

О -ajfc , J

Я7 о

2 jkl

JKL <

V 2° jkl \

0 0 0 \ о 0 о 0 V о 0 0 -h1 2° jkl

2° jkl 0

Связность Г введена Черном в [103], где он нашел также тензорные характеристики многомерных три-тканей Г, R и Н. Эти результаты, а также тензорные характеристики других классов три-тканей приведены в Таблице 1. Перечисленные классы тканей описаны также в терминах касательной VF-алгебры (алгебры Акивиса) [5], обобщающей понятие алгебры Ли группы Ли. Свойства алгебры Акивиса изучались в работах [15], [32], [87], [102], [108], [109]. По заданным Ж-алгебрам путем интегрирования соответствующих структурных уравнений были найдены многочисленные примеры три-тканей различных классов: Му-фанг, Бола, шестиугольные и т.д. Этот метод впервые применен Аки-висом в работе [6] для нахождения конечных уравнений ткани Муфанг минимальной размерности.

С тканями Бола связано понятие сердцевины, введенное В.Д. Бе-лоусовым [24], [25]. В силу замыкания конфигурации Вт (см. рис. 6) положение слоя 222 не зависит от выбора вертикального слоя х\ и определяется только слоями 2ii и zi2, то есть 222 = ^(211,212). При этом функция С определяется так: 222 = 212 о (211/212) [25]. Согласно [61], сердцевина С индуцирует на базе третьего слоения ткани Вт локально симметрическую структуру, определяемую локальными симметриями sz±2- sZl2{z\i) = C{z\\,z\2). Свойства этой структуры исследовались в [100], [75], [78], см. также [9].

Различные дифференциально-геометрические свойства многомерных (р, q, г)-тканей изучались в работах [1], [2], [8], [18]-[21], [30], [41]-[43], [58], [59], обзор результатов и библиографию см. также в [27], [33] и [86]. Однако в теории три-тканей W(p,q,r) оставался существенный пробел — отсутствие понятий, аналогичных понятиям координатной лупы, конфигурации и т.д., не позволяло получить результаты, связывающие, как и в классическом случае, алгебраические и геометрические свойства (р, q, г)-тканей. Отсюда вытекают основные задачи исследования.

1. Обобщить для три-тканей W(p,q,r), образованных слоениями разных размерностей, основные понятия классической теории три-тканей, образованных слоениями одинаковой размерности (изотопия, координатная лупа, конфигурации Рейдемейстера и Бола, сердцевина и т.д.).

2. Найти алгебраические условия (тождества), эквивалентные замыканию на три-тканях W{p,q,r) обобщенных конфигураций Рейдемейстера и Бола.

3. Исследовать свойства обобщенных три-тканей Рейдемейстера и Бола.

4. Исследовать геометрические и алгебраические объекты, порождаемые три-тканью W(p,q,r).

5. Исследовать свойства три-тканей, порождаемых локальными гладкими группами Ли преобразований и гладкими квазигруппами Бола преобразований.

Научная новизна. В диссертации получены новые результаты, основными из которых являются следующие. (Здесь номер группы результатов соответствует номеру главы).

1. Для тканей W(p,q,p + q — 1), р < q, определены понятия координатного моноида, обобщенной конфигурации Рейдемейстера и сердцевины. Доказано, что координатный группоид ткани W(p,q,p -f q — 1), на которой замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера (ткани WR(p, q)), вполне определяется ее сердцевиной (Теорема 2), а существование сердцевины является характеристическим свойством три-тканей WR(p,q) (Теорема 3). Найдено тождество обобщенной ассоциативности, выполнение которого в каждом координатном моноиде три-ткани W{p,q,p + q — 1) эквивалентно замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 4).

2. Показано, что три-ткань W(p, q,p+q — 1) индуцирует на своих вертикальных и горизонтальных слоях соответственно (р + 1)-ткани и {q + l)~ ткани, образованные слоениями одинаковой размерности. Для каждой из этих тканей построено семейство отображений. Доказано, что это семейство образует группу автоморфизмов соответствующей ткани в том и только том случае, если на ткани W(p,q,p + q — 1) замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера (Теорема 7 и Теорема 8). Доказано, что (р + 1)-ткани и (q + 1)-ткани, индуцируемые три-тканью WR(p,q), параллелизуемы (Теорема 9 и Теорема 10).

3. Найдены структурные уравнения три-ткани WR(p,q) (Теорема 14). Путем интегрирования последних найдены конечные уравнения тканей WR(p,q) (Таблица 2).

4. Для тканей W(p, g,r), р < q < г определено понятие координатного моноида и доказано, что он существует только для тканей вида W(Xl, Am, Х(1 + т-1)) (Теорема 15). Для тканей W(Xl, Am, X(l-\-m-l)) определены понятия обобщенной конфигурации Рейдемейстера и сердцевины. Найдено тождество обобщенной ассоциативности, выполнение которого в каждом координатном моноиде три-ткани W(Xl, Am, X(l + m — 1)) эквивалентно замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 18).

5. Доказано, что ткань GW(p,q,q), порождаемая действием локальной гладкой ^-параметрической группы Ли G на гладком р-мерном многообразии, характеризуется замыканием на ткани некоторых обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 21). Доказано, что сердцевина ткани GW(p, q, q) может быть записана в виде равенства инвариантов группы преобразований (Теорема 22). Найдены структурные уравнения три-ткани GW(p,q,q) по уравнениям Маурера-Картана группы G.

6. Для ткани W(p, q, q) определено понятие обобщенной левой конфигурации Бола. Доказано, что на три-ткани Bi(p,q,q), порождаемой локальной гладкой квазигруппой Бола преобразований (и только на такой ткани), замыкаются обобщенные левые конфигурации Бола (Теорема 28). В координатных моноидах три-ткани Бола Bi(p, mp,тр) (для других размерностей моноид не существует) найдено тождество обобщенной альтернативности, соответствующее замыканию на этой ткани обобщенных левых конфигураций Бола (Теорема 29). Найдены структурные уравнения три-ткани Бола Bi(p, q, q) (Теорема 32). Путем интегрирования соответствующих структурных уравнений найдены конечные уравнения некоторой ткани В/(2,3,3), тензор кривизны которой имеет единственную ненулевую компоненту.

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (теорией функций, внешним дифференциальным исчислением, теорией связностей, теорией расслоенных пространств, классической и проективной геометрией, алгебраической теорией групп, теорией групп Ли и т.д.), а потому в ней используются разнообразные методы, применяемые в этих областях. Наиболее эффективно используется метод внешних форм и подвижного репера Картана, развитый в работах российских математиков С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, A.M. Васильева и с успехом примененный М.А. Акиви-сом в теории многомерных три-тканей. Этот метод используется и в настоящей работе. Все рассмотрения имеют локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы специалистами-математиками и физиками в дальнейших исследованиях гладких группоидов общего вида г = f(x,y) и определяемых ими алгебраических и геометрических структур, а также неассоциативных алгебр и их физических приложений. Эти результаты позволяют по-новому оценить многие факты из классической теории тканей. Они применяются при чтении спецкурсов в Тверском госуниверситете, Московском государственном педагогическом университете, Орском педагогическом институте и других.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях: на международной сессии геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Лаптева (Лаптевские чтения —2001, Москва, июнь 2001 г.); на 8-ой международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям в математическом институте Силезского университета (Опава, Чехия, август 2001 г.); на семинаре по геометрии и анализу в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, декабрь 2001 г.); на международном семинаре по геометрии и анализу памяти Н.Ф. Ефимова в Ростовском госуниверситете (сентябрь 2002 г.); на международном семинаре им. Н.И. Лобачевского в Казанском госуниверситете (ноябрь 2002 г.), на международной конференции по геометрии "Loops —2003"(Прага, Чехия, август 2003 г.); на семинаре по геометрии в Московском городском педагогическом университете (сентябрь 2004 г.); на семинаре "Дифференциальная геометрия и приложения "в МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. А.Т. Фоменко (апрель, декабрь 2005 г.); на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов"в МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик (апрель 2005 г.); на геометрическом семинаре в Московском педагогическом государственном университете, рук. В.Ф. Кириченко (апрель 2005 г.); на международной сессии геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Лаптева (Лаптевские чтения —2006, Москва, июль 2006 г.).

По теме диссертации автором опубликовано 14 работ. Кроме того, в работах [65]-[84] автором рассматривались различные классы многомерных три-тканей, образованных слоениями одинаковых размерностей (с симметричным тензором кривизны, групповые, Бола, грассма-низуемые и т. д.), и связанные с ними алгебраические и дифференциально-геометрические структуры (группы и алгебры Ли, идемпотентные квазигруппы, правильные s-структуры, локально симметрические пространства и др.).

Структура диссертации. Диссертация изложена на 256 страницах, состоит из Введения, шести глав и списка литературы, содержащего 109 наименований. Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов — тремя. Например, номером 3.2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 5.2.1 — первый пункт второго параграфа пятой главы. Нумерация рисунков и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя. Например, ссылка (2.6) указывает на формулу с этим номером во второй главе.

1. Азизова Н. X. О три-тканях кривых и поверхностей// Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В.И.Ленина.— 1970 — № 374.— С. 7-17.

2. Азизова Н. X. Интранзитивные семейства преобразований// Изв. Вузов. Мат.- 1984.- № 12 (28).- С. 69-71.

3. Акивис М. А. О канонических разложениях уравнений локальной аналитической квазигруппы// Докл. АН СССР.— 1969.— Т. 188,- № 5.- С. 967-970.

4. Акивис М. А. О три-тканях многомерных поверхностей// Тр.геом.сем. ВИНИТИ АН СССР.- 1969.- Т. 2,- С. 7-31.

5. Акивис М. А. О локальных алгебрах многомерных три-тканей// Сиб. мат. ж.- 1976.- Т. 17.- № 1.- С. 5-11.

6. Акивис М. А. Об интегрировании структурных уравнений три-ткани Муфанг минимальной размерности// Дифференциальная геометрия.— Калинин.— 1977.— С. 3-9.

7. Акивис М. А. Дифференциальная геометрия тканей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом 1983.- Т. 15.- С. 187-213.

8. Акивис М. А., Апресян Ю. А. О три-тканях W(n + l,n + 1,п) на многообразии размерности 2п + 1// Ткани и квазигруппы.— Калинин.- 1990.- С. 4-10.

9. Акивис М. А., Герасименко С. А. О некоторых фигурах замыкания на многообразиях с симметрией// Ткани и квазигруппы.— Калинин,- 1982,- С. 7-11.

10. Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Докл. АН СССР.- 1972.- Т. 203.- № 2.- С. 263-266.

11. Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Тр.геом.сем. ВИНИТИ.- 1973.- Т. 4.- С. 179-204.

12. Akivis M. A., Goldberg V. V. Differential geometry of webs, Chapter 1 in Handbook of Differential Geometry.— Elsevier Science B.V.— 2000.- p. 1-152.

13. Akivis M. A., Goldberg V. V. Algebraic aspects of web geometry// Comment. Math. Univ. Carolinae.- 41(2).- 2000.- p. 205-236.

14. Акивис M. А., Шелехов A. M. Основы теории тканей.— Калинин.- 1981.- 88 с.

15. Akivis М. A., Shelekhov А. М. On subwebs of 3-webs and subalgebras of local И^-algebras/ / Acta Math. Hungar- 52.- 1988.- № 3-4-p. 265-271.

16. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Algebra and Geometry of Multidimensional Three-Webs// Kluwer Academic Publishers.— Dordrecht/ Boston/ London.— 1992.— xvii+358 pp.

17. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Contravariant theory of multidimensional three-webs// Webs and Quasigroups.— Tver.— 1993.- p. 20-32.

18. Апресян Ю. А. Три-ткани кривых и гиперповерхностей и семейства диффеоморфизмов одномерных многообразий// Дифференциальная геометрия.— Калинин.— 1977.— С. 10-22.

19. Апресян Ю. А. О многомерных три-тканях, образованных двумя семействами гиперповерхностей и одним семейством кривых// Изв. Вузов. Мат.- 1977.- № 4 (179).- С. 132-135.

20. Апресян Ю. А. Трехпараметрические семействадиффеоморфиз-мов прямой на прямую, содержащие два линейных комплекса однопараметрических подсемейств специального типа// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1984.— С. 8-15.

21. Аракелян Г. С. Некоторые классы многомерных три-тканей, у которых поверхности одного из семейств принадлежат поверхностям другого семейства// Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ.- 1981.- № 2.- С. 3-7.

22. Barlotti A., Strambach К. The geometry of binary systems// Adv. Math.- 1983.- V. 49.- № 1.- p. 1-105.

23. Batalin I. A. Quasigroup construction and first class constraints// J. Math. Phys.- 22 (9).- Sept.- 1981.- p. 1837-1849.

24. Белоусов В. Д. Сердцевина лупы Бола// В сб. Исследования по общей алгебре.— Кишинев.— 1965.— С 53-65.

25. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп.— М.: Наука.— 1967.- 223 с.

26. Белоусов В. Д. Алгебраические сети и квазигруппы.— Кишинев.: Штиинца 1971.- 168 с.

27. Белоусов В. Д., Рыжков В. В. Геометрия тканей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия — 1972.— Т. 10.- С. 159-188.

28. Бляшке В. Введение в геометрию тканей.— М.: ГИФМЛ.— 1959 144 с.

29. Blaschke W., Bol G. Geometrie der Gewebe// Springer-Verlag.— Berlin.- 1938.- viii+339 pp.

30. Bol. G. Uber zwei Kurvenscharen and eine Flachenschar// Abh. Math. Sem. Univ.- Hamburg.- 1932.- p. 93-94.

31. Bol G. Uber 3-Gewebe in vierdimensionalen Raum.// Math. Ann.— 1935.- p. 431-463.

32. Burdujan I. On binary triple algebras// Analele stiintifice ale universitatii "AL.I.CUZA"IASI XXXIX.- 1993.- s.l.a. Mathematica- F.I.— p. 49-56.

33. Васильев A. M. Теория дифференциально-геометрических структур.- M.: Изд-во МГУ,- 1987.- 190 с.

34. Васильева М. В. Группы Ли преобразований.— Москва.— Моск. гос. пед. ин-т.— 1969.— 175 с.

35. Винберг Э. Б., Онищик A. JI. Основы теории групп Ли// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.— 1988.— Т. 20.— С. 5-101.

36. Гельмгольц Г. О фактах, лежащих в основании геометрии// Об основаниях геометрии.— Москва.— 1956.— С. 366-388.

37. Гольдберг В. В. Трансверсально-геодезические, шестиугольные и групповые три-ткани, образованные поверхностями разных размерностей// Сб. статей по дифферен. геом.— Калинин.—1974.- С. 52-64.

38. Гольдберг В. В. О приводимых, групповых и (2п + 2)-эдричных (п + 1)-тканях многомерных поверхностей// Сиб. мат. ж.— 1976.— № 1 С. 44-57.

39. Goldberg V. V. Local differentiable quasigroups and webs// Chapter X in the book Quasigroups and Loops: Theory and Applications.— Heldermann-Verlag.— Berlin.- 1990.- p. 263-311.

40. Горбацевич В. В., Онищик A. JI. Группы Ли преобразований// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.— 1988.— Т. 20.— С. 103-240.

41. Иванов В. Г. Пространства с обобщенным параллелизмом// Геометрия погруженных многообразий.— Сб. научных трудов.— Моск. гос.пед. ин-т им. В. И. Ленина.— Москва.— 1978.— С. 47-54.

42. Иванов В. Г. Линейный обобщенный параллелизм // Геометрия погруженных многообразий.— Сб. научных трудов.— Моск. гос. пед. ин-т им. В. И. Ленина.- М 1979.- С. 51-56.

43. Иванов В. Г. Обобщенный параллелизм в проективном пространстве// Изв. Вузов. Мат.- 1980.- № 8 (219).- С. 27-31.

44. Karanda Н. М. ф-cores of ф-Во\ loops// Far East J. Math. Sci.— 1998.- V. 6(2).- p. 229-240.

45. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований ("Эрлангенская программа")// Об основаниях геометрии.- М.: Наука.- 1956.- С. 402-434.

46. Кузьмин Е. Н. О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами Муфаиг// Алгебра и логика.— 1971.— Т. 10.— № 1,- С. 3-22.

47. Кулаков Ю. И. Элементы теории физических структур// С добавлением Г.Г.Михайличенко/ Новосибирск.— 1968.— 227 с.

48. Кулаков Ю. И., Владимиров Ю. С., Карнаухов А. В. Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику// М.: Архимед.- 1992.- 183 с.

49. JIooc О. Симметрические пространства// М.: Наука.— 1985.

50. Лыхмус Я., Паал Э., Соргсепп Л. Неассоциативность в математике и физике// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики.— Тарту.— 1990.— Т. 66.— С. 8-22.

51. Мальцев А. И. Аналитические лупы// Мат. сб.— 1955.— Т. 36.— № 3.- С. 569-575.

52. Михайличенко Г. Г. Решение функциональных уравнений в теории физических структур// Докл. АН СССР.— 1972.— Т. 206.- № 5.- С. 1056-1058.

53. Михайличенко Г. Г. Об одной задаче в теории физических структур// Сиб. мат. журн.- 1977,- Т. 18.- № 6.- С. 1342-1355.

54. Михайличенко Г. Г. Математический аппарат теории физических структур.— Горио-Алтайск: изд-во Горно-Алтайского ун-та.— 1997.- 144 с.

55. Михайличенко Г. Г. Групповая симметрия физических структур.— Барнаул.- Барн. гос. пед. ун-т.- 2003.- 204 с.

56. Михеев П. О. О лупах преобразований// Деп. в ВИНИТИ 1985. № 4531-85.

57. Miheev Р. О. Quasigroups of transformations// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики.- Тарту.- 1990.- Т. 66.- С. 54-66.

58. Нгуен Зоан Туан. О многомерных три-тканях типа W(p,p,q)// Геометрия погруженных многообразий.— Москва.— МГПИ.— 1986.- С. 101-112.

59. Нгуен Зоан Туан. Некоторые подклассы три-тканей типа W(p,p,q) с постоянными компонентами основного тензора// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1987.— С. 82-87.

60. Нестеров А. И. Квазигрупповые идеи в физике// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики.- Тарту.- 1990.- Т. 66.- С. 107-120.

61. Сабинин JL В. Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной геометрии// Добавление к книге Ш.Кобаяси и К.Номидзу "Основы дифференциальной геометрии".— М.: Наука.— 1981.— С. 293-339.

62. Sabinin L. V. Smooth Quasigroups and Loops Mathematics and Its Applications// Kluwer Academie Publishers.— Dordrecht/ Boston/ London.- 1999.- xvi+245.

63. Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола// Москва.— Ун-т дружбы народов.— 1985.— 80 с.

64. Sagle A. A. Mal'cev algebras// Trans. Amer. Math. Soc.- 1961-V. 101.- № 3.- p. 426-458.

65. Толстихина Г. А. О четырехмерных тканях с симметричным тензором кривизны// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1981.— С. 12-22.

66. Толстихина Г. А. Об инвариантных трансверсальных распределениях четырехмерных три-тканей Ws// Ткани и квазигруппы.— Калинин.- 1982.- С. 115-120.

67. Толстихина Г. А. Классификация четырехмерных три-тканей Wsf / Материалы 5 конф. мол. ученых Ун-та дружбы народов.— Москва Март 1982 г.- Ун-т дружбы народов.- М - 1982 - Ч. 1,- С. 43-46.- Деп. в ВИНИТИ 15.07.82.- № 3814-82 Деп.

68. Толстихина Г. А. Об одном свойстве 4-ткани, имеющей групповую три-подткань// Проблемы теории тканей и квазигрупп.— Калинин.- 1985.- С. 121-128.

69. Толстихина Г. А. О три-тканях Муфанг, присоединенных к групповой ткани// Материалы 8 конф. мол. ученых Ун-та дружбы народов.— Москва.— 19-23 февр. 1985 г.— Ун-т дружбы народов.- М 1985.- Ч. 2.- С. 199-202.- Деп. в ВИНИТИ 29.05.85.- № 3714-85 Деп.

70. Толстихина Г. А. О главных направлениях на r-мерной поверхности,, определяемых 2г-мерной три-тканью// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1987.— С. 99-107.

71. Толстихина Г. А. Об однопараметрических подквазигруппах идемпотентной квазигруппы, индуцируемой три-тканью на гладком подмногообразии// Деп.в ВИНИТИ 29.12.1987. №9153В-87.

72. Толстихина Г. А. О связности, индуцируемой идемпотентной квазигруппой на гладком подмногообразии многомерной три-ткани// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1988.— С. 16-23.

73. Толстихина Г. А. Геометрия r-мерных подмногообразий на 2г-мерной три-ткани// Материалы 9 Всесоюзной геом. конф.— Кишинев.— 20-22 сент. 1988 г.— Кишинев.— Штиинца.— 1988.— С. 314.

74. Толстихина Г. А. Три-ткани и локальные идемпотентные квазигруппы: Дисс. . канд. физ.-мат. наук.— Калинин.— 1988 г.

75. Толстихина Г. А. О сердцевине координатной квазигруппы некоторой шестимерной три-ткани Боля// Ткани и квазигруппы.— Калинин.- 1990.- С. 18-22.

76. Толстихина Г. А. Сеть линий, определяемая грассманизуемой три-тканыо на гладком подмногообразии// Изв. Вузов. Мат.— 1990.- № 7.- С. 83-87.

77. Tolstikhina G. A. The locally symmetric s-structure determined by a Bol web// Webs and Quasigroups.— Tver.— 1991 — p. 147-155.

78. Толстихина Г. А. О локально плоской структуре, связанной с тканью Боля// Алгебраические методы в геометрии.— Москва. РУДН.- 1992.- С. 56-61.

79. Tolstikhina G. A. On subquasigroups of an idempotent quasigroup defined bu a three-web// Webs and Quasigroups.— Tver.— 1993.— p. 51-55.

80. Tolstikhina G. A. On subquasigroups of an idempotent quasigroup defined bu a three-web, 2// Webs and Quasigroups — Tver.— 1994.— p. 57-59.

81. Толстихина Г. А. О сердцевине координатной квазигруппы три-ткани Боля// Фундам. пробл. мат. и мех.: Мат.— Ч. 1.— МГУ.- Москва.- 1994.- С. 63-64.

82. Tolstikhina G. A. On deformation of multidimensional 3-webs// Webs and Quasigroups.- Tver.- 1995 p. 127-134.

83. Толстихина Г. А. О деформации три-тканей с симметричным тензором кривизны// Материалы научн. конф., поев. 25-летию ТвГУ.— Ученые записки.— Т. 1: Матем., прикл. матем., физ., хим.- Тверь.- ТвГУ.- 1996.- С. 41.

84. Tolstikhina G. A. On associative smooth monoids// Webs and Quasigroups.- Tver.- 2002.- p. 53-59.

85. Толстихина Г. А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей// Современная математика и ее приложения.- Т. 32(2005).- С. 29-116.

86. Tolstikhina G. A., Shelekhov А. М. On normal subwebs of multidimensional three-web and ideals of its tangent W-algebra// Webs and Quasigroups/ Tver.- 1999.- p. 85-910.

87. Толстихина Г. А., Шелехов A. M. О три-тканях W(p,q,p + q — 1), на которых замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера// Деп. в ВИНИТИ 13.08.2001. М869-В2001.

88. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Обобщенная ассоциативность в гладких группоидах// Докл. РАН 2002 - Т. 383 - №1 - С. 32-33.

89. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Три -ткани, определяемые группами преобразований// Докл. РАН 2002 - Т. 385 - № 4 -С. 1-3.

90. Tolstikhina G. A., Shelekhov А. М. The three-web determined by affine transformation group// Webs and Quasigroups, Tver, 2002,p. 46-49.

91. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Вложение три-ткани, определяемой группой преобразований, в групповую три-ткань// Деп. в ВИНИТИ 2003. № 880-В2003.

92. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Многоточечные инварианты групп преобразований и определяемые ими три-ткани// Изв. Вузов. Мат.- 2003.- № 11(498).- С. 82-87.

93. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. О квазигруппах Бола преобразований// Докл. РАН,- 2005.- Т. 401.- № 2.- С. 166-168.

94. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. О три-ткани Бола, образованной слоениями разных размерностей// Изв. Вузов. Мат.— 2005.— № 5(516).- С. 56-62.

95. Ферапонтов Е. В. Системы трех дифференциальных уравнений гидродинамического типа с шестимерной три-тканью характеристик// Функционал. Анал. и приложения.— 1989.— Т. 23.— 2.- С. 79-80.

96. Ферапонтов Е. В. Интегрирование слабо нелинейной и по-лугамильтоновой системы гидродинамического типа методамигеометрии тканей// Мат. сб.- 1990 Т. 181- № 9.- С. 1220-1235.

97. Ферапонтов Е. В. Уравнения гидродинамического типа с точки зрения геометрии тканей// Мат. заметки, 1991, Т. 50.— № 5.— С. 97-108.

98. Федорова В. И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензором ощ// Ткани и квазигруппы, Калинин, 1981, С. 10-123.

99. Федорова В. И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля// Сиб. мат. ж 1987.- Т. 19.- № 4.- С. 922-926.

100. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций.— М.: изд-во техн.-теор. лит-ры.— 1956.— 443 с.

101. Hofmann К. Н., Strambach К. The Akivis algebra of a homogeneous loop// Mathematika.- 1986.- V. 33.- № 1 p. 87-95.

102. Chern S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimen-sionalen Mannigfaltigkeiten in RirU Abh. Math. Sem. Univ.— Hamburg.- 1936.- V. 11.- № 1-2.- p. 336-358.

103. Шелехов A. M. Дифференциально-геометрические объекты высших порядков многомерной три-ткани// Итоги науки и техн.ВИНИТИ. Пробл. геом.- 1987.- Т. 19,- С. 101-154.

104. Шелехов А. М. Классификация многомерных три-тканей по условиям замыкания// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом,- 1989.- Т. 21- С. 109-154.

105. Шелехов А. М. Об аналитических решениях функционального уравнения (ху)х = х(ух)// Мат. заметки.— 1991.— Т. 50.— № 4.— С. 132-140.

106. Шелехов А. М., Шестакова М. А. О тождествах в лупах со слабой ассоциативностью// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1985.- С. 115-121.

107. Шестаков И. П. Линейные представления алгебр Акивиса// Докл. РАН.- 1999.- Т. 368.- № 1.- С. 21-23.

108. Shestakov I. P. Every Akivis algebra is linear// Geom. Dedicata.— 1999.- V. 77.- p. 215-223.