Периодические траектории бильярдных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

'И -/

Кч, Ж /

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова

механико-математический факультет

Пушкарь Петр Евгеньевич

Периодические траектории бильярдных динамических систем

Специальность 01.01.02 -дифференциальные уравнения Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи УДК 517.938.5

Научный руководитель академик РАН В. И. Арнольд

Москва 1998

Введение.

Рассмотрим компактную гладкую строго выпуклую гиперповерхность (без края) в евклидовом пространстве. Рассмотрим лучи, движущиеся внутри поверхности по закону «угол падения равен углу отражения». Такой закон отражения определяет бильярдную динамическую систему, определенную на следэд^щм пространстве. Точ-кои пространства является пара, состоящая., .из точки гиперповерхности и не принадлежащего касательному пространству к гиперповерхности в этой точке направления. Динамическая система (отображение) определяв тся следующим образом: через точку проводим прямую вдоль направления, заданного в этой точке. Прямая пересечет нашу гиперповерхность еще в одной точке. Направление в полученной точке определяем как отраженное относительно касательного пространства (в полученной точке) к гиперповерхности направление прямой. Классический результат Люстерника и Шнирельмана утверждает, что у такой динамической системы, построенной по компактной гладкой выпуклой гиперповерхности в п-мерном евклидовом пространстве, не меньше п дважды периодических траекторий. Эта оценка точна и достигается на эллипсоиде с разными осями.

Рассмотрим многозначную бильярдную динамическую систему Б, определенную подобным образом для не обязательно выпуклой гладкой гиперповерхности. В работе исследуется вопрос о числе дважды периодических траекторий такой динамической системы. Каждой дважды периодической траектории ((х,а)(у,Ь))(В(х,а) = (у, 6), В(у, Ь) = (х,а)) (х,у - точки гиперповерхности, а, b - направления в этих точках) сопоставим отрезок [х,у] с концами на гиперповерхности. Условие дважды периодичности состоит в точности в том, что отрезок [х.у] перпендикулярен в концах к гиперповерхности. Пусть / — иммерсия многообразия Мп в Ип+к. Диаметром иммерсированного многообразия f(Mn) назовем отрезок, соединяющий две различные точки f(x) и f(y) иммерсии и перпендикулярный к касательным плоскостям f*(TxM) и /*(ТуМ) к иммерсированному многообразию в этих точках. Один из основных результатов работы состоит в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть Мп замкнутое многообразие размерности п и В = Z dim Н,(М, Z2). Тогда, для иммерсии общего положения многообразия М в евклидово пространство Rn+fc; число диаметров Мп в ~Rn+k не меньше \{В2 + (п - 1 )В).

Теорема 1 отвечает на вопрос о числе дважды периодических траекторий обобщенной бильярдной динамической системы для иммер-сированной в евклидово пространство гиперповерхности. В следующем утверждении обсуждается точность оценок теоремы 1.

Теорема 2. Для многообразий Sn (n-мерная сфера), Sn х Sk (про-

из ведение п и к-мерной сферы) и (двумерная сфера с д ручками) оценки Теоремы 1 точны и достигаются на вложениях в евклидово пространство 11п+1; и р^3 соответственно.

На рисунке 1 показан вложенный в трехмерное евклидово пространство тор на котором достигается оценка Теоремы 1.

Рис. 1. 10 диаметров тора: 2 вертикальных, остальные 8 в плоском сечении.

Задача о диаметрах (двойных нормалях) иммерсированного подмногообразия общего положения евклидова пространства рассматривалась Такенсом и Уайтом в [25]. В [25] доказано, что число диаметров вложенного в евклидово пространство замкнутого многообразия Мк размерности к не меньше, чем:

Т\¥(М\К) = 2

+

¿1 — (¿г

2

+

¿2 - +

+...

+

&-1к - в,-

2к—1

+ д*2к—2 — • • • + ¿0

к — ¿2к-\ + Л2к-2 ~ ■ ■ ■ + (1()

Здесь ¿1 = сИтН{(Мк х Мк,А;К), Д — диагональ в Мк х Мк, К — поле коэффициентов, [а] наименьшее целое не меньшее а. Оценка Такенса и Уайта удовлетворяет следующим неравенствам:

1- (В2К - Вк) +2к > Т\У(Мк, К) > 1- (В], - ВК) ,

где ВК — сумма чисел Бетти Мк с коэффициентами в поле К.

Сравним оценку Теоремы 1 с оценкой Такенса и Уайта. Для им-мерсированной ориентированной поверхности рода д мы оцениваем диаметры числом 2д2 + 5^ + 3, оценка Такенса и Уайта (для вложений) дает 2д2 + 3д + Ъ. Например, для иммерсии двумерного тора в евклидово пространство наша формула гарантирует по меньшей мере 10 диаметров с учетом кратностей, тогда как оценка Такенса и Уайта (для вложений) гарантирует всего 8. Наша оценка для двумерного тора точна и достигается в классе вложений тора в трехмерное пространство. Для М = х 5П мы гарантируем 2(п + к) + 6 диаметров и эта оценка точна. Например для Б' х 57 каша формула дает 34 диаметра, а оценка Такенса и Уайта 20.

Идея доказательства Теоремы 1 состоит в построении функции, критические точки которой соответствуют диаметрам иммерсиро-ванного многообразия и применения к этой функции теории Морса-Ботта [13, 18].

Следующая цель работы состоит в распространении оценок Теоремы 1 на более широкий класс гиперповерхностей. Для формулировки результатов напомним стандартные определения контактной геометрии [7, 9].

Пусть В — гладкое многообразие. (Коориентированным) контактным элементом на многообразии Б, приложенным в данной точке, называется (коориентированная) гиперплоскость в касательном пространстве в этой точке. Все (коориентированные) контактные элементы на В образуют пространство РТ* В (5Г*В) проективизо-ванного кокасательного расслоения (сферизованного кокасательного расслоения). Пространство РТ* В (5Т*В) несет канонически определенную контактную структуру [7, 9].

Иммерсированное подмногообразие X с трансверсальными самопересечениями в В определяет лежандрово подмногообразие Р(Х) С РТ*В (5(Х) С БТ*В) — множество всех (коориентированных) контактных элементов, касающихся А' (см. [9]).

(Коориентированный) волновой фронт в В — проекция лелсандрова подмногообразия РТ*В (5Т*Б) в В. Для лежандрова подмногообразия общего положения в РТ*В (5Т* В) ее (коориентированный) волновой фронт в Я — особая стратифицированная (коориентированная) гиперповерхность, у которой в каждой точке есть (коориентированная) касательная плоскость. Лежандрово подмногообразие общего положения в РТ*В (5Т*В) восстанавливается однозначно по своему волновому фронту в В.

Рассмотрим замкнутое подмногообразие Ь с трансверсальными самопересечениями в евклидовом пространстве Ип+1.

Определение : Назовем волновой фронт Е чекановским волновым фронтом типа Ь. если Е волновой фронт лежандрова подмногообразия изотопного Р(Ь) С РТ*Лп+1 в классе вложенных лежандровых

подмногообразий PT*Rn+1.

Назовем диаметром волнового фронта в евклидовом пространстве Rn+1 отрезок, соединяющий две различные точки волнового фронта, и перпендикулярный ему в концах.

Теорема 3. Число диаметров (с учетом кратностей) чеканов-ского волнового фронта типа Lk не меньше чем \(В2 — В) + Щ-.

Рассмотрим замкнутое подмногообразие L с трансверсальными самопересечениями в евклидовом пространстве Rn+1.

Определение : Назовем коориентированный волновой фронт Е чекановским волновым фронтом, типа L, если Е волновой фронт лежандрова подмногообразия изотопного S(L) С ST*Rn+1 в классе вложенных лежандровых подмногообразий РТ*Rn+1.

Коориентированные чекановские волновые фронты типа L —^ это коориентированные волновые фронты, полученные из эквидистанты L гомотопией в классе ¡«ориентированных волновых фронтов без опасных самокасаний.

Назовем попутным (противопутным) диаметром коориентиро-ванного волнового фронта такой диаметр этого волнового фронта, коориентации которого в концах сонаправлены (направлены в противоположную сторону).

Теорема 4. Число попутных (соответственно, противопутных) диаметров с учетом кратностей ко ориентир о ванного чекановского волнового фронта типа L не меньше чем В2 — В (соответственно, В2 + пВ).

В случае Ь точка, теорема 4 была доказана Ферраном [22], нашедшим другие обобщения теорем Чеканова, нежели представленные ниже. Основное техническое утверждение при доказательстве теорем 3 и 4 это обобщение теоремы Чеканова [19, 16, 17, 21, 26]. Теорема Чеканова в свою очередь обобщает классические теоремы Люстерника-Шнирельмана и Морса о числе критических точек гладкой функции на замкнутом многообразии и является контактной версией гипотезы Арнольда о лагранжевых самопересечениях [6, 8, 23, 24]. Лежан-дрово подмногообразие А пространства 1-струй функций на многообразии М определяет многозначную функцию, график которой — проекция А в /°М = М х II. Теорема Чеканова утверждает, что если А гомотопно 1-графику гладкой функции в классе вложенных лежан-дровых многообразий, то у графика многозначной функции должно быть много точек (их число определяется топологией М), в которых касательная плоскость к графику параллельна М х 0. Доказательство теоремы Чеканова состоит в том, что многообразие А задаемся производящим семейством специального вида (этот факт также часто называется теоремой Чеканова) и в последующем применении к производящему семейству теории Морса (Люстерника-Шнирельмана).

Формулировке теоремы предпошлем несколько определений.

Пусть р : Е —> М расслоение. Функция к (общего положения) на Е определяет лежандрово многообразие в пространстве -71 М 1-струй функций на М. Многообразие критических по слою точек естественным образом отображается в (критической точке сопоставляется дифференциал функции к «вдоль базы», который корректно опре-

делен в критической по слою точке, и значение функции /г). Полученные пары образуют лежандрово многообразие А в ]1М.

Определение. Назовем Е-квазифункцией лежандрово многообразие, гомотопное А в в классе лежандровых вложений.

Назовем функцию, определенную на пространстве векторного расслоения, квадратичной на бесконечности, если она есть сумма функции, являющейся послойно невырожденной квадратичной формой, и функции с компактным носителем.

Теорема 5. Пусть А — Е-квазифункция на замкнутом многообразии М, слой расслоения, Е —М компактен. Тогда многообразие А задается производящим семейством, определенным, на пространстве расслоения Ех ^ —> М, и квадратичным на бесконечности.

Определение : Критические точки лежандрова многообразия А в /]М — это такие точки А, образы которых при естественном отображении рм : М Т*М принадлежат нулевому сечению. Критические точки соответствуют точкам фронта — графи ;а Е-квазифункции, касательная плоскость в которых параллельна М х 0. Назовем критическую точку невырожденной, если рм(А) трансвер-сально нулевому сечению в образе критической точки.

Из теоремы 5 при помощи теории Морса (Люстерника-Шнирельмана) можно получить следствие, обобщающее теорему Че-канова.

Следствие. Пусть А — Е-квазифункция на замкнутом многообразии М, слой расслоения Е —> М компактен. Тогда число крити-

ческих точек Л не меньше, чем,

dim Е

а) Е (bi(E) + 2qi(E)), где Ьг(Е) = dim Щ(Е, R), q^M) — мини-¿=о

малъное число образующих группы Tors Hi(E,Z), если критические точки А невырождены.

б) dim Hi(E,K), К — поле, если критические точки А невырождены.

в) cl(Е,А) + 1. Здесь с1(£\ Д) когомологическая, длина многообразия Е с коэффициентами в произвольном, коммутативном, кольце А(см. [12]).

Теоремы 3 и 4 доказываются при помощи Теоремы 5 и явной конструкции, доставляющей доказательство следующего утверждения [5].

Предложение 6. Пространство ST*Rn+1 контактоморфно пространству .JlSn 1-струй функций на сфере Sn.

Воспользовавшись явной конструкцией контактоморфизма можно доказать, что диаметры соответствуют критическим точкам функции, построенной по производящему семейству.

Текст организован следующим образом. В Главе 1 доказана Теорема 1. В Главе 2 доказана Теорема 2. Глава 3 посвящена доказательству Теоремы 5 и некоторых дополнительных результатов о самопересечениях проекции квазифункции в кокасательное расслоение. В Главе 4 доказываются Теоремы 3 и 4.

Глава 1

Пусть / — иммерсия многообразия Мп в Мы построим функ-

цию, критические точки которой соответствуют диаметрам.

Рассмотрим функцию Р : Зп+к~1 х М х М -> И, ¿^(я,^, £2) = (^>/(^1) — /(<Ы)- Здесь 5гг+А;~1 — сфера радиуса 1 в Ип+к с центром в точке 0 , (.,.} — скалярное произведение в Ип~1~к.

Лемма 1.0.1. Пусть / иммерсия общего положения, (V,<^,£2) К'Ри' тическая точка функции И, причем ^ ф Тогда /(£[) ф /{£'2), отрезок [/(&),/'(£,)] — диам,етр и Р« £,) ф 0.

Замечание. Условие общности положения в теореме 1 и ниже означает, что все критические точки функций, которые мы считаем мор-совскими — морсовские, (само)пересечения трансверсальны. Можно показать, что это действительно условие общего положения (сродни [25]).

Доказательство леммы 1.0.1. Дифференцируя функцию Т по ^¿(г = 1,2) в точке (ж'^ьС-г) получаем: х' ± /ДТ^МП). Следовательно, /(£1) Ф /(^2)5 так как самопересечение трансверсально, С другой

стороны, дифференцируя по ж, получаем, что х' пропорционально /К!) - /(&)■ Следовательно, отрезок [/(£!),/(&)] — диаметр. Так как вектор х' пропорционален /(£[) — /(£2)5 то >£2) Ф О-

Таким образом построено отображение из множества критических точек функции ¥ в множество диаметров. Легко проверяется, что это отображение "на" и что каждый диаметр соответствует ровно 4 критическим точкам функции ¥ ( для иммерсии общего положения), а именно, верно утверждение:

Утверждение 1.0.2, Пусть [/(£[),/(£2)] — диаметр многообразия ЦМп), тогда

, £1, £2); (^^ус)!^'^'• ? £1) — критические точки функ-ции¥ = (хЛ£1)-/(&)).

Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся следующие утверждения:

Лемма 1.0.3. Пусть М — зам,кнутое многообразие, I — инволюция многообразия х М х М, 1(х,у.г) = (—ж, 2, у). Тогда сумм,а чисел Бетти фактора 5Д' х М х М по действию I равна В2 + АТВ.

Доказательство: Пусть (аг) — клеточное разбиение М. <т°, сг°, о-1, «г1, .. . , а'у, сгА' — стандартное клеточное разбиение инвариантное относительно антиподальной инволюции, а\аг — клетки размерности г. Тогда пространство 5Д хМх М разбивается на клетки о~к х аг х сг-7 и ак х аг х а?. Инволюция / переводит клетку ак х аг х а^ в клетку ак х а-7 х аг. Это клеточное разбиение х М х М индуцирует

клеточное разбиение в SN х М х Му/, т.к. оно инвариантно относительно инволюции I. Обозначим соответствующий комплекс клеточных цепей (с коэффициентами Z2) пространства SN х М х Му/ через C,{SN х М х мД

Пусть д — граничный оператор в С*(М), <9i — граничный оператор в С*(М х М), д2 — граничный оператор в C*(SN х М х м/). Отождествим (формально) клетки х М х Му/ с клетками ^ха'х Тогда д2(сгк х х aJ) = ^(¿^(а1 х a-7')) + о-*-1 (a* х aJ + х аг) (мы считаем, что о~~1 = 0).

Рассмотрим случай д = 0. В этом случае комплекс клеточных цепей C* (SN х М х Му/ . Z2) градуирован размерностью клетки в сфере т.к. из д = 0 следует с^ = 0. Обозначим гомологии относительно этой градуировки через Н^. Вычислим размерность Я&. В этой градуировке комплекс С*(SA х М х Му/) устроен следующим образом: при любом к. 0 < к < 7V, пространство Ck(SN х М х Му/ . Z2) изоморфно С, (М х М, Z2), а граничный оператор — отображение симметризации s, s(a2 (g) aJ) = аг Э а-7 + (g) аг. Имеем: dimkers = §(-В2 + -б), dimims = \(В2 — В). HN = ker s, следовательно, dim HN = \(B2 -\-B). Hk = kers/jms при 0 < к < N, следовательно, dim Hk — В, при 0 < к < УУ. Я0 = С*(М, Z2) (g) С*(М, Z)y(ms, следовательно, dii-пЯо = f(52 + Б). (Из (9 = 0 вытекает , что dimC*(M,Z2) <g) С*(М, Z2) ~

я,(м,г2)®я,(м,г2)).

Рассмотрим случай <9/0. Сведем его к случаю 9 = 0. По данному клеточному разбиению М построим клеточное пространство М' та-

кое, что комплексы C*{SN х М х м/ , Z2) и х М' х М'^, Z2)

изоморфны, a dim #,(£ЛГ х М' х М'/ , Z2) = B2 + NB. Из этого следует утверждение леммы в случае <9^0. Любой комплекс с коэффициентами в поле разлагается в сумму (тривиального) комплекса гомоло-гий и двучленных точных комплексов. Рассмотрим пространство М" — букет сфер, где число сфер размерности к равно dim Я*.(М, Z2). М' — букет М" и дисков, соответствующих коротким точным комплексам. Тогда пространства SN х М' х М'j и SN х М" х М"j го-мотопически эквивалентны, т.к. SN х М" х М"j — строгий деформационный ретракт, следовательно, их гомологии совпадают. Случай SN х М" х М"j разобран в случае 5 = 0.

Лемма 1.0.4. Пусть р : Е —» В — расслоение со слоем RРк (Sk). Тогда Zbi(E,Z2) < {к + 1) £ Z2) fc &,-(£, Z2) < 2£Ь,-(В: Z2)j.

Доказательство: Рассмотрим случай к > 0. В этом случае расслоение со слоем ИРк (Sk) Z2-гомологически просто (см. [14]), т.к. гомологии слоя в любой размерности не более чем одномерны. Следовательно, спектральная последовательность (с коэффициентами в Z2) вычисляет гомологии тотального пространства Е. Размерность члена Е2 этой спектральной последовательности равна (к -f 1) Е bi(B, (2 Е bi{B. Z2)). Размерность гомологий тотального пространства Е не превосходит размерности члена Е2 спектральной последовательности.

В случае к = 0, слой 5°, необходимую оценку доставляет теория Смита (см. [15]). Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 1. Функция инвариантна от-

носительно действия инволюции Бп+к~1 х Мп х Мп, (х, ^1,^2) —> (—х, Инволюция действует без неподвижных точек, следова-

тельно фактор по инволюции — гладкое многообразие (обозначим его £п+к~~1 х Мп х ). Функция Я определяет на факторе глад-

кую функцию Р.

Лемма 1.0.5. Для иммерсии общего положения критические точ�