Устойчивые, неустойчивые и условно-устойчивыеинтегральные многообразия сингулярно вoзмyщeнныхсистем и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОРДЕНА ЛЕНИН« ГОСЗДйРСТВЕНН'иЯ УНИВЕРСИТЕТ ' 1!УЕПП ПЕ-Н'ЛНСКОГ□ КОМСОМОЛА

Устойчивые, неустойчивее и усдовно-цстоЛчивкк интегральные многообразия сингулярно возмущении* систем и их приложения

•Специальность -01,01,02 '- дифференциальные уравнение

Автореферат-диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических над:

Не правах рукитмг.и

ГОРЕЛОВ. Георгий Николаевич

Воронеж - 1992

Работа выполнена в Самарском государствичнсс унгчг-ргитеи

Научный руководитель: доктор физико-математичес:,и:< наук.

доцент Соболев Б.П. •

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наш;, . ' . -профессор Наценки С.Й.

кандидат физики математических наук, доцент Черников К.И.

Ведущая организация: Институт математики АН Украшш

Запита диссертации состоится "___"__________1992г.в______час.

на заседании специализированного совета К БЗ.48.09 по присуждению учадой степени кандидата Физико-математических наук при Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу: 334693, Воронеж, Университетская пл.1, ВГУ, математический факультет. _ ,

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Воронежского университета.

Автореферат разослан "_ _1992г.

Учений секретарь специализированного совета

В.Г.Задорокшш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ PADOTH ■ Актуальность темы, Сингулярно еозмуцрннне дифференциала- ' ше уравнения выступают в качестве математических моделей »но-•их задач естествознания и техники, для которых характерной 1 ертоf! является разномаситабностъ скоростей изменения перемен-lux. D силу своей большой прикладной значимости такие урзвне-Mfliдавно стали объектом внимания математиков.

Основы теории 'сингулярно возмущенных уравнений были зали-ценн работами А.Н.Тихонова. В дальнейшем они били развиты в табитах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузовл, В.М.Волссова.Л.С.Полтря--ина, Е.Ф. Мищенкп.Н.X.Гозова. С.Г.Крейнэ .С.А, Ломова и др. Объ-вктом внимания в данных-и-многих других работах являются раз-дичине нетодн построения асимптотических разложений решений «чальннх и краевых задач. Однако,'во многих задачах требуется знать поведение не отдельннх траекторий, а проводить качественное исследование уравнений.

Удобным аппаратом качественного' исследования дифференциальных уравнений является метод интегральных многообразий. Теория данного метода была заложена работами Н.II.Боголюбова и И.А.Митропольского, Основные результаты по теории интегральных многообразий изломены в монографии Ю.А.Митропольского и 0.П.Лыковой. Исследования сингулярно позмуцешшх уравнений методом интегральных многообразий проводились К.В..Задиракпй, Я.С.Барисом, В.И.Фодчукон, А.Н.Самойлснкс, В.В.Стрыгинмм, : В.А.Соболевым, Дк.Хейлом, К.Н.Чернчшовым и др.

Особый интерес представляют интегральные многообразия, обладающие свойством устойчивости или неустойчивости. Такие многообразия играют большую роль в поведений разнообразных задач физики, механики, химии и биологии. Математические модели этих задач могут зависеть от дополнительного параметра. Естественным образом возникает задача исследования зависимости • характера устойчивости интегрального многообразия от данного параметра. Такие задачи изучались в работах П.С.Понтрмгина, Е.Ф.Нимпнко, П.Х.Розовл, А.И.Колесова, . А.И.Нейитадта. А.К.Звонкина, М.А.Чубина, Ф.Дьене,- М.Дьене, Л.Л.Калло, С,Соне, Э.Иенуа, А.Трем, З.Урлсше.и др.

Вместе с тем, в теории теплового взрыва возникают задачи, где непосредственное применение полученных результатов теории

интегральних многообразий оказывается иекочкитш.

Цель работ». Изучение вопросов спил.гвом.!:шт интегральних кногообразий,. состоящих из участков различного характера устойчивости в' окрестности течки самопере.ссчсния медленной кривой;' разработка и обоснование методов получения асимптотических разложений таких интегральних многообразий, применение . полученных результат«в'к исследовании критических явлений р задачах теории теплового взрыва.

Общие метод» исследования. Б работе используются методы теории интегральних многообразий, методы исследования реяакса-. ционннх лолебаниП, а такие различные сведения из теории.обыкновении* двдеренциальних уравнений, тштематичогкого ц Функционального анализа. • : . ...

Научная новизна. & райоте получены следующие основные результаты. ' '

1.Доказана теорема о существовании асимптотического приближения условно-устойчивого интегрального'многообразия.

2.Для сингулярно возИу'денного уравнения на плоскости до- . каза'кн теоремы о суцествозании нелокальных и локальных устойчиво-неустойчивых интегральных многообразий. • :

3.Предложен асимптотический • метод нахождения устойчиво-неустойчивых интегральных многообразий и соответствующего значения параметра. Разработан алгоритм и написана программа, реализующая этот метод на языке аналитических вычислений ШШСЕ. • . ...-•"'

4.Изучена уравнения, опненваюцио реакция.гор.ения п-го порядка. Получено асимптотическое .представление критического значения параметра начальных условий." • .

5.Исследованы дифференциальные урзвчэния случая автокэта-лнтичесной реакции горения. В качестве математического о(л,ек: .та, моделирующего критическую -траекторию," предложено использовать устпйчиво-нодстойчнвое интегральное многообразие. Получено ' асимптотическое представление критического значения пара-иетра и описаны переходные.режимы. . ' ' . - •• ■

Теоретическая и'практическая ценность. ■ Рассмотрение усгойчиво-неустойчнвых ннтегральунх многообразий Позволяет-проводить качественнее исследование траекторий, переходящих с устойчивого на неустойчивый участок медленной кривей. Получен-

ние результаты об устойчиво-неустойчивых интегральных многообразиях в окрестности точки самопересечения- медленной кривой могут служить основой для изучения более общих классов уравнений.

Полученные алгоритмы построения асимптотических представлений устойчиво-неустойчивых интегральных многообразий и их реализация в виде программы на языке аналитических вычислений ЕЕПиСЕ могут вить применены для исследования .различима прикладник задач.

Найденные критические значения параметра начальных- условий позволят управлять.динамикой реакции в химическом реакторе и проводить предварительный анализ границ предела самовоспламенения.

Апробация работы,- Основные результаты диссертации докладывались на XIII,XIV и Хи Всесоюзных школах по .теории операторов в функциональных пространствах ( Куйбышев,1933г..Новгород ,1989г,.Ульяновск,1990г., Нижний Новгород,.1991 г.),; Первой Всесоюзной школе-конференции "Математическое моделирование в машиностроении" ( Куйбыиев, 1990г.)., Всесоюзной конференции "Современные вопросы физики к ее приложения" ( Йосква, 1390г. ),-конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (.Москва, 1991г.), Республиканской конференции "Теория и численные методы реиения ■ краевых задач для дифференциальных уравнений" ( Юрмала.. 198.5г.), Республиканской конференции "Краевые задачи и их. спектральные .вопросы "для дифференциальных уравнении" I йлмз-Ата, 1031 г .), на семинаре кафедры математика физического факультета Московского государственного университета ( 19?1г., руководитель -сеттера -д.ф.-м.н, ,проф-. й,Б.Васильева >. ча семинаре в Воронежской лесотехническом институте (Воронеж, 1991г., руководитель семинара д.т.и., проф. С.Г.Ирейн).на семинаре "Проблемы теплового-взрыва" Научного совета ЙН СССР по■проблеме ".Теоретические основы процессов горения'Ч Ленинград,ГШ, 1991г;.). .

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах / 1 - 6 /.

Структура и обьём работы. Диссертация излияена на 102 страницах, состоит из введения,' трех глав, придояения и 1? рисунков. Список литературы содержит 75 наименований.

- о - .

СОДЕРШИЕ PtlEOTU ftp введет»! излагается'основное направление работы.и дается обзор литературы по вопроса!', приникающим к теме диссертации, Приводится также краткое содержание работы с указанием основных результатов.

Первая глава носит в основном обзорный характер и содер-нйт определения и теоремы об интегральных многообразиях мед-лейяых дяиае'ний, необходимые для дальнейшего изложения. Здесь se доказывается теорема об асимптотике.условно-устойчивых • интегральных многообразий.

В первом и втором параграфах рассматриваются системы ■обыкновенных дифференциальных уравнений вида

• . а: * Ht

'"• , в а = . . (П

г»"1 nlt

где art К , a* Н , Е - малый положительный параметр.

Гладкая поверхность £> называется интегральным многообразием сигтемы (1), если для любой точки ("te.^.y») € S траектория (i , ссCt,О, aCt,E)) , такая, что хал,г) = ж. . aCtB|E)=S» , целиком принадлежит $ для всех teR

• • Интегральные многообразия размерности'медленных переменных

a=k(t,x,E) , ( teR, хеГ, м t 0.-E.-J)

.будем называть интегральными многообразиям!; медленных движений. Предполагается, что еыгюлняится следугиие условия. Iе.Уравнение ас, а,о)=о имеет изолированное решение ¡f=h,(t,x) .т.е. при некотором о. в'области

• e=-{U,x,a.E) : ibR, xtR™,

кет других решений уравнения а,о) = о .

2.В области G функции f ■, ^ ■ и А. , а также их первые и вторые частике производные по i , х и ц равномерно непрерывны и ограничены.

3.Со-бствешше числа k^i*) (i - 1',. ••,.«■) матрицы

' при всех и удовлетворяют условии

{?« -< -2/3 -Г о .

Далее даются определения устойчивых и неустойчивых интегральных многообразий и приводятся известные теоремы о существовании, устойчивости, гладкости й асимптотике интегральных многообразий медленных двияений системы (1).

Во втором' параграфе рассматриваются условно-устойчивые интегральные многообразия.

Интегральное многобразие системы (1) называется условно-устойчивый, если в пространстве £ у И су^ествуят многообразия Бп, И 'соответственно измерений п< и «а (п^п^п ), такие," что траектории речишй системы (5), начинающиеся на многообразии , неограниченно приближаются к траекториям- на интегральном многообразии при ^ + ~> ,а траектории решений системы (1), начинающиеся на многообразии 9пг . стремятся к траекториям на интегральном "многообразии при'*1 <в.

Рассматривается условие ; ' .'

3*' Собственные числа М (<:,*) (¿- п ) матрицы

при всех и йбЯ удовлетворяют условиям

£е 4 -2у,.< О, С I - 1.....г), '

Не * > О , ¿¿а * + (,...,«).

Теорема о существовании цсловио-цстойч-лрогр интегрального многообразия системы (1) при ттолнепги уелмпий 1°, 2°, ^Оыло доказана Л.С.Еарисон и' В.И.Федчуксн. Однако, поскольку задача точного нахождения функции у-.правило. неразрешима, возникает вопрос о приближенном нахождении условно-устойчивого интегрального многообразия. Справедливо

Теорема 1.7. Пусть выполняются условия Iе, 2", 3®'и функции ^ , 3 и к6 имеют ограниченные частные производные до поряд-5э-(1с + 2) включительно. Тогда условно-устойчивое многообразие ^ = систрмы (1) представиио в виде '

е) = £ ъЧцИ,*)* (2)

£ = г

де - гладкая ограниченная по норм? Функция,-такая.

.что' для всех teR и ссег/?п.

Коэффициент!) пр*>дс'Г»плгипя (П) жомлятся из алгебраических уравнений.

Заметим, что при г=» многообразие |Е) будет устойчивым , а при ^с - неустойчивим, 15 случае регулярной зависимости правых частей системы (!) от дополнительного параметра соотвгтсгвуюшш образом будет зависеть от данного параметра и интегральное многообразие этой системы.

' В третьем параграфе первой главы рассматриваются сингулярно возмущенные системы на плоскости, дается геометрическая 'интерпретация^фазового портрета системы (1),

Вторая глава посвящена изучению устойчиво-неустойчивых интегральных многообразий не плоскости. .

■ В первом параграфе дается описание поведения решений системы вида

, х = а- у ,

. еу = х-а-(у), (ос,у,а <=*), (4)

когда полонение равновесия уравнения (4) переходит с устойчи-чивого участка медленной кривой на неустойчивый.

Траектория системы (3),(4) называется устойчиво-неустойчивой траекторией, если она- проходит непрерывным образом вдоль медленной кривой, вначале вдоль устойчивого участка, а затем вдоль неустойчивого участка, причем оба раза проходятся расстояния длины порядка единицы. Характерной особенностью устойчиво-неустойчивых траекторий является то, что они лекат в очень узком промежутке изменения параметра а длины порядка О^'^*), где к - некоторая положительная постоянная.Истойчиво-неустойчивые траектории изучались в- работах М.П.Шишкивой. С.Каримова, О.Пей'итадта, С.Н.Сакборского, (1.13.Колесова. Однако, в -этих работах из рассмотрения исключался случай, когда смена устойчивости траекторий происходит, в окрестности точки самопересечения медленной кривой системы (1).

Во втором параграфе рассматриваются уравнения вида

£ 4*= + ГСзс.^.й.Е), <Л,9,<16К) (5)

ах.

где функция Р(эс,у,а,£) пгсот вид

Предполагается вппоимение следующих условий.

¡.Функции $ ,2 и Ь- определен« и непрерывны з области

Л = {(зс.а.а.Е): у*Р! геСо.Е.!}.

II.Функции £, д и К. в области Л удовлетворяют неравенствам

1*1«,4)1 « С |ч1г , I ЗСэ=,ч,е>| « С/* ,

• I дСх,ч,£.)-зС«Л.Е>и Му-31.

где С и Д - положительные константы. - достаточно малая положительная величина.

Медленной кривой уравнения (3) является прямая у=о причем участок х<о будет устойчивым, а участок ж>о - неустойчивым, Интегральное многообразие у^<р(х,£) уравнения (5) будем называть устойчиво-неустойчивым интегральным многообразием, если при х<о оно будет устойчивым, л при х>а - неустойчивым.

Справедлива

Теорема 2.1 Пусть для уравнения Ш выполняются условия 1,11, Тигда существует £а , такое, что при вгех Ее (о,г.) при некотором значении параметра а существует устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие уравнения (5).

Цельи третьего параграфа второй главы является-доказательство того факта, что устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие уравнения (5) и отвечающее ему значение

параметра а можно найти в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра £ . Справедлива

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия теоремы 2 Л и функции £ , з и к имеят ограниченные частные производные по всем переменным до ( к+ I ) - го порядка включительно.

Тогда устойчиво-неустойчивое интегральное многообразие

уравнения (5) и отвечающее-ему значг'нт параметра а пред-ставимы в виде

Л I *

*(*,«) « 2. + f (ос, £))

к

а = Х £'аг +' а*Се),

¿г/

где и • 1 (с) удовлетворяют оценкам

|<р*(*,Ь)и '»

при всех Я , £ € (о,£,) и некоторых положительных константах %■ и .

Функции ¥¡1*) И0( С ьа 1,... ) находятся Из алгебраических уравнений. '. .

В, четвертой параграфе' этой глайы доказывание» теоремы о .существовании и асимптотике локальных уетойчиво-неустойчи-. вых интегральных многообразий уравнения

£ ^ = + Ияг.а.а.с), (0)

где С - положительная постоянная, .фднкция имеет

вид (б),

Предполагается выполнение следующих условий. ( П ).функция У-Ы) непрерывка в некоторой окрестности начала координат,' и при 1=1 «г выполняется неравенство

( В' ).Функции$, Ц и ^ определены и непрерывны в области ¿^.{(се.у.а.Е^: 1*1«-1., йбй, йе-К, Е * Ео,

и удовлетворяют в зтой области неравенствам (7).

Теорема 2.3. Пусть для уравнения (В) выполняются условия ( (М,С В ). Тогда существует £» , такое, что при всех £«(0,1,,) при некотором значении параметра а ■существует локальное устойчиво-неустойчивое интегральное пногообрагне у*уСэ^е} уравнения (8).

' В этом яе параграфе доказывается теорема об асинптс.ти- , ческом представлении локального устойчиво-неустойчивого интегрального многообразия уравнения (8) и соответствующего значе^ ния параметра .

В пятом параграфе второй главы на основании теоремы 2.3 доказано существование локальных устойчиво-неустойчивых интегральных многообразий уравнения Зан-дор-Поля.

Третья глава содержит приложение полученных результатов к исследованию критических явлений в задачах теории теплового взрыва.

В первом параграфе выводятся уравнения теплового взрыва при учете расхода реагирующего вещества. В традиционных безразмерных переменных математическая модель этой задачи имеет вид . -

аг 'НрО- '

V ^ = <р(*)е«рОц, (9>

где 0- .у иг - соответственно безразмерные температура, относительная концентрация реагирующего вещества и время, у и р> -малые положительные параметры, функция уС?) задает закон про-.текания реакции. Рассматриваются случаи

- реакция первого порядка, ■ , ^(Ч^1?™- реакция т-го порядка,

авюкаталцтическая реакция.

Во втором параграфе третьей главы рассматриванием критические режимы. Главная задача теории теплового взрыва - дать ответ на вопрос, какова будет динамика реакции при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизчческнх и кинетических характеристиках реагирующего вецества, коэффициенте теплоотдачи, Для системы ( 3 ) все эти характеристики отражает параметр начальных условий а .В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к ратухшшго реакции,- либо реакция переходит в режим самоускорения. что ведет к взрыву. Численные расчеты показывают, что переход от медленного к взрывному реяиму происходит в н-|—. ко тсром .чрезвычайно узком, промежутке изменения параметра начальны:' значений. Этот промежуток обычно называют пределом

сайовоспламенения. Однако, в силу непрерывней зависикост ггравой части систр.ми СЭ) от параметра а , 1 с &д у медленными рэривнмш режимами должна леаать переходная область, содержа переходные' ретш, При некотором значении параметр. й - это значение определяется как критическое - реакция будет идти макспнально долго, не срываясь в режим- взрыва и -ж переходяк медленному реккму. Задача определения' критической значения параметра нзчальных условий ц исследования перестройки 'решений в области предела самовоспламенения и является основной математической задачей теории теплового взрыва.

• а) -б) • в).

Рис.I,-Фазовый портрет системы (9) ( ч'- <-? ).

Медленная кривая нарисована пунктирной линией,

а). Случай, когда а>еЛ< - область медленнннх режимов.

б). Случай, когда а<< - область взрывных режимов,

в). Случай, когда <а'< а" < . Траектория ози^Р соо-тветствует значении а". , траектория 05Е,ЕгР - а', Си„ — оэи.

Исследование критических явлений теории теплового взт.нез проводилось - H.H. Семе нов ни, Я.Б.Зельдозччем, Д.А.в'радп-Кя-' ненецким, О.М.Тодесом, П.ГЛеряановим, Ф.И.ДуОовицкйм, Б.Греем и др. Однако, в данных -работах по прен-ш^естрэ ограничиваюсь исследованием нулевого приближения. Это не позволяло дать объяснение причины сильной параметрической ' чувствительности дайной задачи, а такие провести исследование перестройки репе- ■. нпй в области предела самовоспламенения.

Использование теории интегральных ккогообразий для изу--'чения критических явлений -было предложено в работах В.Й.Бабулка.В.М.Гольдштейна и "В.Й.Свболева, В этих работа:; для реакций первого порядка..били найдены асимптотические пред--ста'влення- критического значения параметра начальных условий и дано описание переходных режимов. . - ■

■"В третьем параграфе для реакций первого и го -го порчдкив асимптотическое представление критического значения найдено с . точностью 0(jv,)< что уточняет полученные ранее результаты,

' В четвертом параграфе третьей главы результаты . второй главы применяются к исследовании критических явлений в случае' .автокаталитической реакции. ' ■' ..

Медленная кривая системы (Э) в этом-случае имеет различный вид в зависимости от того,а.§% i Рис..1.а,б,в i , и пв.*еА .имеет точку самопересечения ( Рис.1,в ). В качестве математического объекта, моделирувзего критическую траекгорив, йредло*-ж г; но использовать устойчиво-неустойчивее интегральное многоо5г-разие системы ( .9' ). Определив значение параметра а при. котором неустойчивое 'интегральное многообразие( Рис.1,в ) будет прэдоляениен устойчивого интегрального многообразия Mf ; тем самйн определим критическое значение , парапетра натальиих условий я- . 'Именно в зтом случае траектория системы ( 9 i будет идти максимально долго, разделяя, вгрнвнне и медленные реиими.. '"■!.' .

С использованием результатов второй гчави* найден« ашш-тотическое представление критического значения' параметра \

: -Р.!7Г f *»") ^V • '

асимптотическое представление устойчиво-неустойчивого интегрального многоопразия и исследовали переходные, траеторпн области 1редеяа самовоспламенения. • ' .

В приложении приведены текст при! ранга на азкке КЕПИСЕ, предназначенной дчя построения асимптотических разделений устойчиво-неустойчивых интегральных многообразий и со-ответствукщих значений параметра.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1.Горелов Г.Н.Численно-аналитнчоског. исследование критических реиимов в задаче теплового взрыва // XIII Всес. гскола по теории операторов в функциональных пространствах: Тез.докл.- Куйбышев,10Е0.- с.55-56.

З.Горелов Г.Н.Математическое моделирование критически/, рекимов в теории горения // Первая Ссес. школа-конференция '"Математическое моделирование в машиностроении";

.Тез.докл.-Куйбышев, 1390 ,- с.13-14".

3.Горелов Г.11.Устойчиво-неустойчивые решения для краевой задачи системы реакция-диффузия // Краевые задачи и их спектральные -вопросы .для дифференциальных уравнений: Тез.докл.Республ.конф,- Алма-Ата,1931.- с.2-9.

4. Горелов Г,Н,Управление нелинейной системой с быстрыми и медленными переменными // Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации: Тез.двкл'.Всес.сотр.- М.,1991.- С.1В-17. ■ • • .

5.Горелов Г.11.Интегральные многообразия и. критические явления в теории горения / Куйбышев.ун-т.- Куйбышев, 1983.-15с,- Деп.в ВИНИТИ АН СССР. В, 12.49, Н 7302-БВ9.

6.Горелов Г.11.Устойчивые и. неустойчивые, интегральные многообразия в задачах химической кинетики / Самарский ун-т,- Самара, 1931.'- 72с,- Деп.в ВИНИТИ АН СССР. 23.07.91, Н 3129-В91.

Заказ 97 от 9.3.92г. тир. 100экз. Объём 1пл. Офсетная лаб. ВГУ.

формат 60x90 1/16