Траектории-утки сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Па правах рукописп УДК 517.926

Бобкова Алевтина Сергеевна

ТРАЕКТОРИИ-УТКИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители — доктор физико-математических наук,

профессор А.Ю. Колесов, доктор физико-математических наук, профессор Н.Х. Розов.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А.Б. Васильева, кандидат физико-математических наук, доцент Е.А. Щепакина.

Ведущая организация — Институт космических исследований РАН.

Защита диссертации состоится "20" мая 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математп-ческий факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-матемагн-ческого факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "20" апреля 2005 г.

Ученый секретарь

дисертационного совета

Д.501.001.85 в МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор

fmr мызо

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Траектории-утки — это достаточно новая тема для исследования в математике. Впервые это явление обнаружили французские математики Франсин Диенер и Марк Диенер в 1978 году с помощью нестандартного анализа [I]1. Этим методом траектории-утки изучались и многими другими авторами. Однако, и традиционные математические инструменты оказались эффективными при изучении таких траекторий. Так, например, применяется метод раздутия [2]2 и техника классического асимптотического анализа [З]3.

Следует отметить, что изучением поведения решений сингулярно возмущенных систем занимались еще задолго до обнаружения такого явления как траектории-утки, которое возникает при наличии точек срыва на поверхности медленных движений. Описание поведения решений сингулярно возмущенных систем при отсутствии точек срыва на поверхности медленных движений довольно полно [4]4, тогда как в случае с наличием точек срыва еще много вопросов не изучено.

Кроме того, уже сейчас траекториям-уткам находится применение в прикладных задачах [5]5, [б]6, [7]7. Отметим, что, например, в теории горения траектории-утки описывают некоторый пограничный процесс, при котором происходит стабильное горение, не переходящее ни во взрыв, ни в затухание. Этот безопасный процесс можно контролировать, что является наиболее важным в прикладных задачах. "-*•"-«•

Диссертация посвящена изучению условий наличия траекторий-уток сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и описанию поведения в целом решений таких систем в окрестности точек срыва на поверхности медленных движений.

'[1] Callot J.L., Diener F., Diener M. Le problem de la "chasse au canard" // (French). C.R. Acad. Sei. Paris. 1978. Sér. A-B. 286. N 22. A1059-A1061.

'[2] M. Krupa, P. Szmolyan Relaxation oscillation and canard explosion // J of Differential Equations. 2001. 174. 312-368

'[3] Мишенко Е.Ф . Колесов Ю.С., Колесов А.Ю.. Розов Н.Х. Периодические движения а бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах М.: Фиэматлит. 1995.

'[4] Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973.

5[5] Горелов Г Н.. Соболев В.А.. Щепакина Е.А. Сингулярно возмущенные модели горения. Самара: СамВен, 1999.

"[6] Broils M., Bar-Eli К. Canard explosion and excitation in a model of the Belousov-Zhabotinskn reaction // J. Phis. Chem. 1991. 95. P. 8706-8713

r[7] Перетрухин А.Г. Циклы-утки математической модели динамики изменения плотности сибирского шелкопряда // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. N 2. С. 279-281

РСН.. . • : ilia's а л я

ьч " ' 0 ~i Е кл

е., CTCjißjpr

aeaÇP*

Цель работы. Найти необходимые и достаточные условия возникновения траекторий-уток многомерных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одной быстрой переменной в случае пересечения корней вырожденного уравнения и обобщить данные результаты на случай нескольких быстрых переменных.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Найдены необходимые и достаточные условия (за исключением вырожденного случая) существования (п—2)—параметрического семейства траекторий-уток системы • одной быстрой и п медленными переменными в случае пересечения корней вырожденного уравнения. 4

2. Описано поведение не являющихся утками траекторий системы с одной быстрой и п медленными переменными в случае пересечения корней вырожденного уравнения.

3. Для системы с одной быстрой и двумя медленными переменными в вырожденном случае доказано наличие двух траекторий-уток с одним нулевым приближением при е 0.

4. Достаточное условие < у шествования (п - 2)—параметрического семейства траекторий-уток обобщено на случай произвольного числа быстрых переменных.

Методы исследования. Доказательство полученных результатов основано на методах классического асимптотического анализа. В частности. при сведении задачи к локальной используется техника А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова, а в малой окрестности поверхности срыва применяется метод сжимающих отображений.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут представлять интерес как для специалистов в области сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для специалистов, занимающихся их приложениями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ (рук. проф. В.А. Кондратьев, проф. В.М. Миллионщиков, проф. Н.Х. Розов) в 2000 и 2002 годах, на конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" в Обнинске в 2002 и 2004 годах, на конференции "Тихоновские чтения" в МГУ в 2002, 2003 и 2004 годах, на конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103-летию со дня рожде-

ния И.Г. Петровского, в МГУ в 2004 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем работы — 81 страница.

Краткое содержание диссертации

Перед тем, как формулировать основные результаты диссертации, введем необходимые определения. f Рассмотрим сингулярно возмущенную систему обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений следующего вида:

i = /(-г- У), £У = 9{х, у), х е R", у € R, 0 < е «С 1.

Переменную х будем называть медленной переменной, а переменную у — быстрой. Система

i = f(x,у), д{х,у) = 0

называется вырожденной, а уравнение д(х, у) = 0 — вырожденным уравнением. Любое решение вырожденного уравнения называется поверхностью медленных движений; та ее часть, где д'у(х, у) < 0, д(х, у) = 0, называется устойчивой, а часть, где д'у{х,у) > 0, д(х,у) = 0, называется неустойчивой.

Определение. Траекторией-уткой сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений называется траектория, которая, попав в малую (порядка е) окрестность устойчивой части поверхности медленных движений, сначала продолжает движение вдоль нее, а затем переходит в малую окрестность неустойчивой части поверхности медленных движений и некоторое время находится в этой окрестности так, что и вдоль устойчивой части, и вдоль неустойчивой проходится расстояние порядка единицы.

В первой главе диссертации исследуется система с одной быстрой и произвольным числом медленных переменных и с бесконечно гладкой правой частью

x = f(x,y), ey = g(x,y), х € П* С R", у € fi„ С Я, 0 < £ « 1. (1)

Рассматривается случай пересечения корней вырожденного уравнения, а именно, предполагается, что выполнены следующие условия.

з

Условие1.1. Уравнение д(х, у) = 0 определяет ровно две поверхности Ti = {(х,у) : х £ÜX,у = <р[х)}, Г2 = {(х,у) : х е Üx,y = Цх)}, где ip,i[> £ Сх, пересекающиеся по гладкой (п - 1)-мерной поверхности I, причем в каждой точке I выполняется неравенство V<¿>(x) — V^(x) ф 0. Считаем еще, что д'уу ф 0 в точках I.

Пусть /о — проекция I на подпространство у = 0 — разбивает Пх на две подобласти й'х и Q", причем ¡р(х) < ф(х) при х 6 £1'х и <р(х) > -ф(х) при х 6 П". Обозначим T¡ = {(¡г, у) € Гх : д'у(х,у) < 0}, Г?" = {(х,у) € Г, : д'у(х,у) > 0} и Г2" = {(х,у) € Г2 : д'у(х,у) < 0}, Г2+ = {(х,у) € Г2 : 9у{х,у) > соответственно. Отметим, что Г^ и Г+ (Г2 и ^í) являются соответственно устойчивой и неустойчивой частями поверхности медленных движений Г^ (Гг).

Условие 1.2. При (х,у) € ГД/ выполняется неравенство д'у{х,у) ф 0 и непустым является каждое из множеств r¡" и Г*.

Обозначим через Гц и TJ проекции на подпространство у = 0 участков r¡" и Г* соответственно.

Условие 1.3. Каждая траектория системы

x = f(xM*)) (2)

пересекает поверхность lo общим образом в направлении из Гц в Гц.

Ставится вопрос: какие из траекторий вырожденной системы с концами на и Tj" могут являться нулевым приближением траекторий исходной системы, то есть могут порождать траекторию-утку исходной системы.

В первой главе доказываются достаточные условия наличия траектории-утки исходной системы с нулевым приближением - конкретной траекторией вырожденной системы и показывается, что они записываются в терминах некоторой функции, зависящей только от точки пересечения выбранной траектории вырожденной системы с поверхностью I.

Для строгой формулировки результата зафиксируем произвольную точку хо £ /о- Определим гладкую параметризацию Iq = {х = у(s),a, < Si < bu i — 1,..., n — 1} и введем функцию

$(s) = (VV(x),/(x,<p(x)))U=7(j).

Тогда существует So такое, что х0 = 7(so)-

Условие 1.4. <í>(s0) = 0, V$(s0) f 0.

Рассмотрим (п — 1)—мерные поверхности 1~ и 1+, проекции которых на подпространство у = 0 пересекают общим образом траекторию х = х()(()

системы (2), проходящую через точку хо- Обозначим эти точки пересечения соответственно через х~ и х+ и возьмем такие у~ и у+, что (х~,у~) £ 1~ и (х+,у+) 6 Предположим, что из точек (х~,у~) и (х+,у*) происходит нужное падение (при t —¥ со и i —оо соответственно) на поверхность Г[ (см. [4]).

Рассмотрим кривую L\, состоящую из отрезков, соединяющих точки (х~,у~) и (х~,<£>(х~)) и точки (х+, (¿>(i+)) и (х+,1/+), и лежащего на Г[ участка кривой (xo(i), <p(xo{t))) между точками (х~, <р(х~)) и (х+, у>(х+)).

Теорема 1.1. При выполнении условий 1.1 — 1.4 существует (п -2) —параметрическое семейство траекторий системы (1) такое, что для каждой траектории из этого семейства ее концы лежат на 1~ и 1+ соответственно, а ее нулевым приближением при е 0 является кривая L\.

Вторая глава посвящена изучению ситуации, когда основное условие теоремы 1.1 на точку пересечения траектории вырожденной системы с поверхностью I не выполнено, и исследуется поведение траекторий системы (1) в этом случае.

Рассмотрим кривую 1-2, состоящую из участка кривой L\, лежащего между точками (х~,у~) и (хо,уз(хо)), и лежащего на Г2 участка такой траектории системы

х = /{х,ф{х)), у = гр{х),

которая проходит через точку (хо, у(хо)).

Из результатов теорем 2.1 - 2.4 следует, что в случае выполнения условия Ф(в0) > 0 нулевым приближением при е -> 0 той траектории системы (1), которая проходит через точку (х~,у~), является кривая Lo-

Рассмотрим теперь кривую ¿3, состоящую из участка кривой L\, лежащего между точками (х~,у~) и (xo,v?(xo)), и луча, выходящего из точки (хо,<£>(хо)) и продолжающегося параллельно оси у в направлении увеличения у.

Суммарным результатом теорем 2.1, 2.2, 2.5, 2.6 является тот факт, что если Ф(в0) < 0, то нулевым приближением при е -> 0 той траектории системы (1), которая проходит через точку (х~, у~), является кривая L3.

Таким образом, главы I и II дают практически полное описание поведения траекторий системы (1) вблизи особенности (поверхности I) за исключением вырожденного случая $(so) = 0, УФ(во) = 0. Можно сказать, что траектории-утки являются своего рода сепаратрисами, разделяющими два массива траекторий системы (1) с качественно различным

поведением.

Основной проблемой при доказательстве теорем первых двух глав было исследование малой окрестности поверхности /, так как изучение поведения траекторий сингулярно возмущенных систем вдали от особенности было проведено и полностью описано в [4]. Там показано, что вне любой не зависящей от е окрестности особой поверхности можно найти решение задачи Коши с нулевым приближением - траекторией вырожденной системы, если начальное условие удовлетворяет определенным требованиям. Случай пересечения корней вырожденного уравнения тоже изучался, но в основном для ситуации так называемого нормального переключения (см. [3]), то есть перехода траектории из малой окрестности устойчивой части одной поверхности медленных движений в малую окрестность устойчивой части другой поверхности медленных движений. Так, например, в [8]8 исследовалась ситуация, аналогичная рассмотренной в главах I и II, но изучался только тот случай, когда нулевым приближением траектории является кривая L2-

Результаты первых двух глав являются обобщением на случай нескольких медленных переменных результатов из [9]9, где изучалось скалярное сингулярно возмущенное неавтономное дифференциальное уравнение, что равносильно рассмотрению автономной системы с одной быстрой и одной медленной переменной. Кроме того, для возникновения траектории-утки в такой ситуации необходимо, чтобы правая часть системы зависела от вспомогательного параметра. При изучении задачи, рассмотренной в первых двух главах диссертации, мы избавляемся от необходимости наличия вспомогательного параметра за счет увеличения количества медленных переменных, а в случае п > 2 добиваемся появления целого семейства траекторий-уток с одним нулевым приближением.

К решению подобных задач можно подойти и с другой стороны, то есть не выделять траектории вырожденной системы, способные породить траектории-утки, а, воспользовавшись вспомогательным параметром, пытаться построить утку с любым выбранным нами нулевым приближением. Такой подход представлен, например, в [5]. Кроме того, если считать вспомогательный параметр функцией медленной переменной, то можно построить целую поверхность, состоящую из траекторий-уток

'[8] Lebovitz N R.. Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous systems // Stud. Appl. Math. 1973. V.54. P.229-260.

''[9] Колесив А.Ю . Мищенко Е.Ф.. Розов H.X. Решение сингулярно возмущенных краевых задач методом "охоты на уток" // Тр МИАН. 1999. Т 224. С. 187 — 207

(см. [Ю]10).

Глава III диссертации посвящена изучению некоторых вырожденных случаев. Так, в первом параграфе рассматривается проблема возмущения правой части системы (1) на порядок е и показывается, что данное вмешательство "сдвигает" траекторию-утку вдоль поверхности I на расстояние порядка единицы. Иначе говоря, если какая-то траектория вырожденной системы удовлетворяла условиям главы I и порождала траекторию-утку системы (1), то для возмущенной системы утку будет порождать уже другая траектория вырожденной системы, находящаяся от прежней на расстоянии порядка единицы.

Во втором параграфе рассматривается система (1) в случае п = 2 и при условии Ф(яо) = 0, Ф'(йо) = 0, <£"(so) Ф 0 и показывается, что при определенных условиях одна траектория вырожденной системы может являться нулевым приближением сразу двух траекторий-уток исходной системы, тогда как в обычной невырожденной ситуации теорема 1.1 говорит о единственности траектории-утки (при тг = 2) с конкретным нулевым приближением.

В главе IV рассматривается система с несколькими быстрыми и несколькими медленными переменными и изучается тот же вопрос возникновения траекторий-уток, что и в главе I. Здесь доказывается существование (п — 2)—параметрического семейства траекторий-уток исходной системы с конкретным нулевым приближением. Для этого вводится специальная функция Ф(з), отражающая характер пересечения выбранной траектории вырожденной системы с поверхностью срыва I. И опять значение этой функции в вышеупомянутой точке пересечения играет определяющую роль в появлении траектории-утки. Однако построение аналогов поверхностей 1~ и 1+ (в данном случае это трубки W~{6~) и И/+(<5+)), на которых лежат концы траекторий указанного семейства, существенно сложнее.

Это связано с возникновением условной устойчивости поверхности медленных движений, то есть поверхность устойчива по нескольким быстрым переменным, а по остальным быстрым переменным она неустойчива. Строго это формулируется следующим образом. Введем в рассмотрение матрицу G{x) = dg(x,ip(x))/dy, где все обозначения те же, что в (1), но переменную у считаем векторной.

Опрделение. Поверхность у = <р{х) называется устойчивой, если

,0[1()| Соболев В.А.. Щспакина Е.А. Интегральные поверхности со сменой уппопчп-вости и траектории-утки // Иэв. РАЕН. Сгр МММИУ 1997 Т 1 N 3 С 131-173

все собственные значения матрицы G(x) имеют строго отрицательные действительные части (в той области, где рассматривается система), и неустойчивой, если все собственные значения матрицы G(x) имеют строго положительные действительные части. Если ЖС Hß" которые собственные значения имеют строго отрицательные действительные части, а остальные — строго положительные, то тогда поверхность медленных движений называется условно устойчивой.

В [4] показано, что в данном случае для нахождения решения системы с конкретным нулевым приближением при отсутствии точек срыва на поверхности медленных движений надо решать не начальную задачу, а краевую. Это означает, что нельзя построить решение с нулевым приближением - траекторией, лежащей на условно устойчивой поверхности медленных движений, - с заданным начальным условием. Таким образом. представленное в главе IV семейство траекторий-уток с концами на некоторых трубках И'"-(<5") и \V+(5+) является как обобщением на случай нескольких быстрых переменных результатов главы I, так и обобщением алгоритма построения решения краевой задачи, описанного в [4], на случай прохождения траектории вблизи точки срыва.

Здесь, как и для системы с одной быстрой переменной, возможно использование вспомогательного параметра (или вспомогательной функции) для нахождения траекторий-уток с заданным нулевым приближением (см. [И]11)-

Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям профессору А.Ю. Колесову и профессору Н.Х. Розову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Бобкова A.C., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Проблема "выживания уток" в трехмерных сингулярно возмущенных системах с двумя медленными переменными // Матем. заметки. 2002. Т. 71. Вып. 6. С. 818831. (соискателю принадлежит доказательство утверждений, а научным руководителям соискателя проф. Колесову А.Ю. и проф. Розову Н.Х. принадлежит идея доказательства)

2. Бобкова A.C. Траектории-утки в многомерных сингулярно возмущенных системах с одной быстрой переменной // Дифференц. уравне-

"[11] Щепакина Е А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости в случае векторной быстрой переменной // Дифференц. уравнения. 2002. т 38,

10. с. 1358-1364. «

S

ния. 2002. Т. 38. N 11. С. 1574-1575.

3. Бобкова A.C. Сингулярно возмущенные системы и траектории-утки // Сб.: Материалы конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектроники и приборостроения''. Москва. 7-10 сентября 2004 г. Ч. 2. С. 90-94.

4. Бобкова A.C. Траектории-утки в многомерных сингулярно возмущенных системах с одной быстрой неременной // Днфференц. уравнения. 2004. Т. 40. N 10. С. 1305-1313.

5. Бобкова A.C. Поведение решений многомерных сингулярно возмущенных систем с одной быстрой переменной // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. N 1. С. 23-32.

6. Бобкова A.C. Аналог траекторий-уток в случае условной устойчивости II Сб.: Тезисы конференции "Математические идеи П.Л. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 25-29 ноября 2004 г. С. 14-15.

о

РНБ Русский фонд

2005-4 41999

1 9 МДй 2005

Введение.

Глава I. Траектории-утки в многомерных сингулярно возмущенных системах с одной быстрой переменной

1. Постановка задачи.

2. Доказательство теоремы.■.

Глава II. Решения многомерных сингулярно возмущенных систем, не являющиеся утками

1. Вспомогательные утверждения.

2. Доказательство основных результатов.

Глава III. Некоторые случаи вырождения

1. Возмущение исходной системы.

2. Рождение двух траекторий-уток из одной.

Глава IV. Случай нескольких быстрых переменных

1. Постановка задачи.

2. Доказательство теоремы.

В данной работе исследуется поведение решений сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется сингулярно возмущенной, если ее можно представить в виде ex = f(x,y,t,£), х £ Rm, У = g[x,y,t,e), у е Rn, где 0 < е 1, fi(x,y,t, 0) = 0(1) при е 0, г = 1 а точка обозначает производную по времени t. Очевидно, что такие системы не удовлетворяют условиям теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра, а значит, их надо рассматривать отдельно. При изучении сингулярно возмущенных систем возникает множество интересных явлений. Их легко проиллюстрировать на примере уравнения Ван-дер-Поля, которое можно представить в следующем виде: х = у - /(х) = F{x, у), у = -{х + а) = G{x, у), х,у е R, (1) где точка обозначает производную по времени, е - малый параметр, а - числовой параметр. Считаем, что график функции f(x) имеет вид, сходный с кубической параболой и выполнены свойства /(0) = 0, f'(x) > О при х > 0 и х < -1, f'(x) < 0, при х € (-1,0), /"(-1) < 0, /"(0) > 0, что соответствует показанному на рис. 1.

Естественно называть переменную х быстрой переменной, а переменную у - медленной, так как в каждой точке (х*,у*) фазовой плоскости, в которой выполнено > q > 0, где q — некоторая константа, не зависящая от £, вектор фазовой скорости будет иметь вид (F(х*, у*)/£, G(x*, у*)). Таким образом, при малом значении е вектор фазовой скорости практически параллелен оси х, то есть происходит почти мгновенное перемещение вдоль нее.

Положим е = 0. Тогда система (1) превратится в вырожденную систему

F(x,y) = 0, y = G(x,y). (2)

Из первого уравнения системы (2) получим уравнение у = f(x), которое определяет так называемую кривую медленных движений, а именно кривую, в £—окрестности которой значение фазовой скорости каждой из переменных имеет порядок единицы. На рисунке 1 изображена кривая медленных движений и показано, как направлены векторы фазовой скорости системы в различных частях фазовой плоскости. Глядя на рисунок сразу становится понятно, почему участки = {{х,у) : Р(х,у) = О, (ж, у) < 0} и = {(ж, у) : Г(х, у) = 0, ^(ж, у) > 0} медленной кривой называются устойчивым и неустойчивым участками соответственно.

Итак, система (1) имеет единственное положение равновесия (—с*, /(—а)), которое, очевидно, асимптотически устойчиво при а < 0 и а > 1 и неустойчиво при а в (0,1) для любого фиксированного значения е > 0. Кроме того, известно, что данная система имеет устойчивый предельный цикл при а е [а, 1 — 6], где а, 6 > 0, а < 1 — 6. Возникает вопрос, каким образом из асимптотически устойчивого положения равновесия при а < 0 возникает при увеличении а предельный цикл.

В 1978 году этим вопросом занимались французские математики Фран-син Диенер и Марк Диенер. Они исследовали данную систему методами нестандартного анализа и обнаружили появление нового вида траекторий, которые они назвали траекториями-утками (см., например [1], [2]).

Итак, механизм возникновения предельного цикла из положения равновесия показан на рисунке 2: от а) до г). Интервал изменения параметра а, на протяжении которого происходит это "перерождение", очень мал а) б) в) г)

Рис. 2: Появление предельного цикла из положения равновесия: а) асимптотически устойчивое положение равновесия; б) утка без головы; в) утка с головой; г) предельный цикл. и составляет величину порядка е~к!е для некоторого к > О при е —> О (см., например [3], [4]). Промежуточные траектории (рис. 2 б)-в)) и есть траектории-утки.

Определение. Траекторией-уткой сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений называется траектория, которая, попав в малую (порядка е) окрестность устойчивой части кривой медленных движений, сначала продолжает движение вдоль нее, затем переходит в малую окрестность неустойчивой части кривой медленных движений и некоторое время находится в этой окрестности так, чтобы в обоих случаях проходилось расстояние порядка единицы.

Действительно, на рис. 2 б)-в) видно, что траектории проходят как вдоль устойчивого участка F~, так и вдоль неустойчивого участка F+. Само же название "траектория-утка" появилось благодаря внешнему виду цикла, изображенного на рис. 2 в). Подрисовав "глазик" и "лапки" мы получим нечто, похожее на летящую утку.

Но не стоит думать, что траектории-утки — это некоторое специфическое явление, для обнаружения которого требуются неимоверные усилия. Наличие таких траекторий можно заметить в самых простых системах.

Пример. Рассмотрим систему ех' = х2 + х,у в R, , . у' = а —х, а = const. ^ '

Здесь кривая медленных движений — обычная парабола у = —х2, одна часть которой (при х < 0) устойчива, а другая (при х > 0) - неустойчива. Направление векторов фазовой скорости на самой кривой медленных движений зависит от значения параметра а.

Рассмотрим траекторию (x(t),y(t)) системы (3), проходящую через точку (хо,г/о)> ^о < min(0, а), — Xq < у0 < 0. Исследуем поведение этой траектории. Очевидно, что сначала происходит быстрое падение на устойчивую часть кривой медленных движений (см.рис.3 а)-б)). Изучив направления векторов фазовой скорости вблизи кривой медленных движений, логично было бы предположить, что сначала траектория проходит некоторое расстояние порядка единицы вдоль устойчивого участка кривой медленных движений, а затем, при а > 0 происходит "срыв" с кривой медленных движений вблизи точки (0, 0) фазовой плоскости (см.рис. 3 а)), а при а < 0 траектория стремится к устойчивому положению равновесия (см.рис.3 б)).

Рассмотрим систему (3) при а = 0. В этом случае удается найти решение системы в явном виде. Итак, общее решение уравнения имеет вид х2 = Сехр(—2у/е) — у + s/2, х = у = 0, где С - произвольная постоянная. Полагая С = 0, получим траекторию-утку у = -х2 + е/ 2, движение по которой продолжается также и вдоль неустойчивой части I а) б)

•Рис. 3: а) а > 0: б) а < 0. к У

У ^ у=-х2+е/2 > ^— / X / / ч ' X \ \ \ \ \ \ --^

-► /Т/ / 4 / /

Рис. 4: Траектория-утка. кривой медленных движений, причем бесконечное время (см.рис.4).

Заметим, что из данного примера видно, что траектории-утки — это не всегда циклы, как это было в случае уравнения Ван-дер-Поля, и тем более они обычно не имеют форму "утки".

Итак, траектории-утки были найдены и продолжали изучаться с помощью нестандартного анализа ([5] — [7]). Но оказалось, что и другие методы применимы к этому явлению. Так, например, в работах [8] и [9] используется метод раздутия. Применение инструментов классического асимптотического анализа также дает хорошие результаты ([10] — [13]).

В данной работе изучение поведения траекторий сингулярно возмущенных систем опирается именно на методы классического асимптотического анализа. В первой главе исследуется система с одной быстрой и произвольным числом медленных переменных и с бесконечно гладкой правой частью я = /(х, у), еу = д(х, у), х е С К1, у 6 Пх С Я, 0 < е < 1. (4)

Рассматривается случай пересечения корней вырожденного уравнения: п—мерные поверхности Г1 = {(ж, у) : у = (р(х)} и Г2 = {(х, у): у = ф(х)} пересекаются по гладкой (п — 1)—мерной поверхности I (см. рис. 5). Считаем, что все траектории вырожденной системы, лежащие на Гх, пересекают I общим образом в направлении из устойчивой части поверхности медленных движений в неустойчивую. Ставится вопрос, какие из траекторий вырожденной системы могут являться нулевым приближением траекторий исходной системы, то есть могут порождать траекторию-утку исходной системы.

В первой главе выводятся достаточные условия появления траектории-утки исходной системы из конкретной траектории вырожденной системы (обозначим ее х = и показывается, что они зависят только от точки хо пересечения выбранной траектории вырожденной системы с поверхностью I. Для этого вводится некоторая функция Ф(я), где х — 7(5) - гладкая параметризация поверхности I.

Итак, рассмотрим (п—1)—мерные поверхности 1~ и проекции которых на поверхность 1\ пересекают общим образом траекторию х — хо(Ь) вырожденной системы, проходящую через точку хо. Обозначим эти точки пересечения соответственно через х~ и х+ и возьмем такие у~ и у+, что (х~,у~) € и (х+,у+) €Е 1+. Предположим, что из точек {х~,у~) и (х+, у+) происходит нужное падение (при £ —У оо и £ ——оо соответственно) на поверхность Гх (см. [14]).

Рассмотрим кривую Ь, состоящую из отрезков, соединяющих точки (х~,у~) и (х~, <р(х~)) и точки (ж+, </?(х+)) и (х+,у+), и лежащего на Гх участка кривой (яоМ> ^(^оМ)) между точками (х~, р(х~)) и (х+, (р(х+)) см. рис. 7).

Теорема 1.1 из первой главы говорит о том, что при Ф($о) — 05 УФ($о) Ф О, где 5о - значение параметра s, для которого xq — 7(^0), существует (п — 2)—параметрическое семейство траекторий системы (4) такое, что для каждой траектории из этого семейства ее концы лежат на и 1+ соответственно, а ее нулевым приближением при е —> 0 является кривая

L.

Вторая глава посвящена изучению ситуации, когда основное условие теоремы 1.1 на точку пересечения траектории вырожденной системы с поверхностью I не выполнено и исследуется поведение траекторий системы (4) в этом случае.

Рассмотрим кривую L2, состоящую из участка кривой X, лежащего между точками (х~, у~) и (хо, и лежащего на Г^ участка траектории системы х = /(х,ф(х)), у = ф(х), проходящей через точку (см- Рис. 9).

Из результатов теорем 2.1 - 2.4 следует, что в случае выполнения условия Ф(«о) > 0 нулевым приближением при е —> 0 траектории системы (4), проходящей через точку (х~,у~), является кривая L2.

Рассмотрим теперь кривую L3, состоящую из участка кривой L, лежащего между точками (х~,у~) и (zo, (р(хо)), и луча, выходящего из точки (хо, <р(яо)) и продолжающегося параллельно оси у в направлении увеличения у (см. рис. 10).

Суммарным результатом теорем 2.1, 2.2, 2.5, 2.6 является тот факт, что если Ф(5о) < 0, то нулевым приближением при е 0 траектории системы (4), проходящей через точку (х~,у~), является кривая L3.

Таким образом, главы I и II дают практически полное описание поведения траекторий системы (4) вблизи особенности (поверхности I) за исключением вырожденного случая Ф(яо) = 0> УФ($о) = 0, из которого следует, что траектории-утки являются своего рода сепаратрисами, разделяющими два массива траекторий системы (4) с качественно различным поведением.

Отметим, что задачи, поставленные в первых двух главах диссертации, можно аналогичным образом рассматривать и в случае зависимости правой части системы (4) от малого параметра е. Но это немного усложнит выкладки и не позволит представить условия существования и несуществования траекторий-уток в таком простом и красивом виде, как для случая независимости правой части системы от е. Случай зависимости правой части системы от е представлен в первом параграфе третьей главы.

Стоит подчеркнуть, что основной проблемой при доказательстве теорем первых двух глав было исследование малой окрестности поверхности I, так как изучение поведения траекторий сингулярно возмущенных систем вдали от особенности было проведено еще до обнаружения такого явления как траектории-утки и полностью описано в [14]. Там показано, что вне любой не зависящей от е окрестности особой поверхности можно найти решение задачи Коши с нулевым приближением - траекторией вырожденной системы, если начальное условие удовлетворяет определенным требованиям. Случай пересечения корней вырожденного уравнения тоже изучался, но в основном для ситуации так называемого нормального переключения (см. [11]), то есть перехода траектории из малой окрестности устойчивой части одной поверхности медленных движений в малую окрестность устойчивой части другой поверхности медленных движений. Так, например, в статье [15] исследовалась ситуация, аналогичная рассмотренной в главах I и II, но изучался только тот случай, когда нулевым приближением траектории является кривая 1/2.

Следует отметить, что результаты первых двух глав являются обобщением на случай нескольких медленных переменных работы [16], в которой изучалось скалярное сингулярно возмущенное неавтономное дифференциальное уравнение, что равносильно рассмотрению автономной системы с одной быстрой и одной медленной переменной. Кроме того, для возникновения траектории-утки в такой ситуации необходимо ввести зависимость правой части системы от вспомогательного параметра. Здесь же мы избавляемся от такой необходимости за счет увеличения количества медленных переменных, а в случае п > 2 добиваемся появления целого семейства траекторий-уток с одним нулевым приближением.

Заметим, что к решению подобных задач можно подойти и с другой стороны, то есть не выделять траектории вырожденной системы, способные породить траектории-утки, а, воспользовавшись вспомогательным параметром, пытаться построить утку с любым выбранным нами нулевым приближением. Такой подход представлен, например, в работах [17], [18]. Кроме того, если считать вспомогательный параметр функцией медленного переменного, то можно построить целую поверхность, состоящую из траекторий-уток (см. [19], [20]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Траектории-утки — это достаточно новая тема для исследования в математике. Следовательно, еще много вопросов не изучено, тогда как описание поведения решений сингулярно возмущенных систем при отсутствии особых точек на поверхности медленных движений довольно полно (см. [14]). Кроме того, уже сейчас траекториям-уткам находится применение в прикладных задачах (см. [26] — [30]). Отметим, что например в теории горения траектории-утки описывают некоторый пограничный процесс, при котором происходит медленное горение, не переходящее ни во взрыв, ни в затухание. Следовательно, это безопасный процесс, который можно контролировать, что является наиболее важным в прикладных задачах.

Итак, в настоящее время изучение траекторий-уток ведется сразу с двух сторон: как при исследовании математических моделей конкретных реальных процессов, так и чисто с теоретической точки зрения. Сами теоретические исследования проводятся также с помощью различных математических инструментов (нестандартный анализ, метод раздутия, асимптотические методы). Результаты данной работы носят теоретический характер и основаны на применении методов классического асимптотического анализа. В главах I и II была рассмотрена система достаточно общего вида с одной быстрой и произвольным числом медленных переменных и представлено необходимое и достаточное условие (за исключением вырожденного случая) рождения траектории-утки из заданной траектории вырожденной системы. Затем, для системы с двумя медленными переменными исследовался случай вырождения, который не рассматривался в первых двух главах, и изучалось влияние возмущения правой части системы на эффект возникновения траектории-утки. В четвертой главе проведено обобщение результатов первой главы (достаточное условие возникновения траектории-утки) на случай нескольких быстрых переменных.

1. Callot J.L., Diener F., Diener M. Le problem de la "chasse au canard" 11 (French). C.R. Acad. Sci. Paris. 1978. Ser. A-B. 286. N 22. A1059-A1061.

2. Benoit E.,Callot J.L., Diener F., Diener M. Chasse au canard// Collect. Math. 1981. 31-32 (1-3). 37-119.

3. Eckhaus W. Relaxation oscillation including a standard chase on Frach ducks // Lect. Notes in Math. 1983. V. 925. P. 449-494.

4. E. Benoit, A.El Hamidi and A. Fruchard. On combined asymptotic expansion in singular perturbations // Electron. J. Differential Equations. 2002. N 51.

5. Звонкин А.К., Шубин M.A. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1984. март-апрель. Т. 39. Вып. 2 (236). С. 77-127.

6. П. Картье Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений и нестандартный анализ // Успехи мат. наук. 1984. март-апрель. Т. 39. Вып. 2 (236). С. 57-76.

7. С.Н. Самборский Предельные траектории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ-мат. и техн. науки. 1985. N 9. 22-25.

8. Peter Szmolyan, Martin Wechselberger. Canards in R? // Journal of Differential Equations 2001. 177. 419-453.

9. M. Krupa, P. Szmolyan Relaxation oscillation and canard explosion // J. of Differential Equations 2001. 174. 312-368.

10. Мищенко Е.Ф., Розов H.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

11. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

12. А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. Бифуркация рождения цикла-утки в релаксационных системах // Доклад в Болгарской академии наук. Т. 47. N 12. 1994. С. 21-23.

13. А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. "Охота на уток" при исследовании сингулярно возмущенных краевых задач // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. N 10. С. 1356-1365.

14. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

15. Lebovitz N.R., Schaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous systems // Stud. Appl. Math. 1975. V.54. P.229-260.

16. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Решение сингулярно возмущенных краевых задач методом "охоты на уток" / / Тр. МИ АН. 1999. Т.224. С. 187 — 207.

17. Соболев В.А., Щепакина Е.А. Траектории-утки в одной задаче теории горения // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. N 9. С. 11751184.

18. Горелов Г.Н., Соболев В.А., Щепакина Е.А. Сингулярно возмущенные модели горения. Самара: СамВен, 1999.

19. Соболев В.А., Щепакина Е.А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости и траектории-утки // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 1997. Т.1. N 3. С.151-175.

20. Shepakina Е.А., Sobolev V.A. Standart chase on black swans and canards // WIAS. Berlin. 1998. Preprint N 426.

21. B.A. Есипова. Асимптотика решения общей краевой задачи для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения, ноябрь 1975. T. XI. N 11. С. 1956-1965.

22. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике М.: Наука, 1975.

23. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations //J. Differential Equations. 1979. V. 31. N 1. P. 53-98.

24. Щепакина Е.А. Два вида смены устойчивости интегральных многообразий // Дифференц. уравнения (краткие сообщения). 2004. Т.40. N 5. С. 1-4.

25. Щепакина Е.А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости в случае векторной быстрой переменной // Дифферент уравнения. 2002. Т. 38. 10. С. 1358-1364.

26. Е. Shchepakina. Black swans and canards in self-ignition problem // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2003. V. 4. P. 45-50.

27. Е.А. Щепакина. Сингулярно возмущенные модели горения в многофазных средах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6. N 4 (16). С. 142-157.

28. Br0ns M., Bar-Eli К. Asymptotic analysis of canards in the EOE équations and the rôle of the inflection line J/ Proc. of London R. Soc. A. 1994. V. 445. P. 305-322

29. Br0ns M., Bar-Eli K. Canard explosion and excitation in a model of the Belousov-Zhabotinskii reaction // J. Phis. Chem. 1991. 95. P. 8706-8713.

30. Перетрухин A.Г. Циклы-утки математической модели динамики изменения плотности сибирского щелкопряда // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. N 2. С. 279-281.

31. Бобкова А.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Проблема "выживания уток" в трехмерных сингулярно возмущенных системах с двумя медленными переменными // Матем. заметки. 2002. Т. 71. Вып. 6. С. 818-831.

32. Бобкова А.С. Траектории-утки в многомерных сингулярно возмущенных системах с одной быстрой переменной // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. N 11. С. 1574-1575.

33. Бобкова А.С. Сингулярно возмущенные системы и траектории-утки // Сб.: Материалы конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектроники и приборостроения". Москва, 7-10 сентября 2004 г. Ч. 2. С. 90-94.

34. Бобкова А.С. Траектории-утки в многомерных сингулярно возмущенных системах с одной быстрой переменной // Дифференц. уравнения. 2004 г. Т. 40. N 10. С. 1305-1313.

35. Бобкова А.С. Поведение решений многомерных сингулярно возмущенных систем с одной быстрой переменной // Дифференц. уравнения. 2005 г. Т. 41. N 1. С. 23-32.

36. Бобкова A.C. Аналог траекторий-уток в случае условной устойчивости // Сб.: Тезисы конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск. 2004 г. С. 14-15.