Интегральные многообразия и затягивание потери устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Щетинина, Екатерина Владимировна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Щетинина Екатерина Владимировна
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ЗАТЯГИВАНИЕ ПОТЕРИ
УСТОЙЧИВОСТИ
01 01 02 — дифференциальные уравнения
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж — 2005
Работа выполнена в Самарском государственном университете
Научный руководитель' доктор физико-математических наук,
профессор Соболев Владимир Андреевич
Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,
Ведущая организация - Институт проблем передачи информации РАН
Защита состоится 24 мая 2005 года в 15 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете, 394693 Воронеж, Университетская пл , 1
С диссеогацией можно ознакомимся в научной библигнек'- Воронеж' государственно! о университета
Автореферат разослан " " апреля 2005 года
Ученый секретарь
профессор Перов Анатолий Иванович
доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Покровский Андрей Николаевич
диссертационного совета
Гликлих Ю Е
г.ооь-ч 6S58
^vfJSf
ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Работа посвящена развитию геометрической теории многотемповых систем и применению полученных результатов к исследованию динамических моделей с быстрыми и медленными переменными
Быстро-медленные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. В общем случае автономную разнотемповую систему можно записать как в быстро-медленном виде
— = ^=д(х,у,е), (1)
так, с помощью замены переменных t — т/е, ив сингулярно возмущенном виде
^ =/(ж.у.е), = д(х.у,е). (2)
Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А. Н Наиболее широкое распространение получи- меюд пограничных функций Васильевой Тихонова Да илтейще^ развитие теория полечила в работах Андронова А А , Аносова Д В , Ьсютюбова Н Н Бутузоза В. Ф , Васильевой А Б Виткка М И , Кури» ¡1', Г А , Kpeiii'd. С Г, Крылова Ii М , Ломова С А , Л'оотерника Л А Мартьшенко Ю Г Маслова В П Митрогюльскою Ю А , Мищенко Е Ф Моисеева Н Н Найф^ А X , Новожилова И В.. Понтрягииа Л С , Розова Н X Черныjjobh К И , Chang Н С ОЛе J , Howes F A Kelley А . Miller J O'Malley R E , Schneid« К R , Smith D R , Van Dyke M и многих других авторов.
Для неавтономных систем быстро-медленная форма
dx ay
— = £f(t,x,y.£), — = g(t,x,y,e), (3) и сингулярно возмущенная
dx , . dy , . , .
— = f(T,x,y,e), £— = д(т,х,у,£) (4)
не эквивалентны из-за присутствия времени в правой части системы Поэтому, помимо методов теории сингулярных возмущений, для исследования неавтономных быстро-медленных систем были разработаны собственные методы Большое распространение получили асимптотические
НАЦИОНАЛЬНАЯ [ БИБЛИОТЕКА j
I
и итерационные методы Например, метод замены переменных и методы усреднения, целью которых является построение упрощенной модели с помощью специально подобранной замены переменных.
Поток публикаций, посвященный теории и приложениям разнотемповых систем, непрерывно растет Однако, абсолютное большинство работ по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий решать задачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрическая теория разно) емповых систем находит свои истоки в работах Пуанкаре и Ляпунова. Она занимается вопросами существования и исследования свойств как отдельных решений, обладающих специальными качествами, так и целых классов решений (интегральных многообразий) Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах Боголюбова Н Н. и Мкгропольского Ю. А Под интегральным многообразием здесь понимается гладкая инвариантная поверхноси, дифференциальной системы Большой интерес представляют интегральные многообразия меньшей размерности Использование интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемь-х моделей и избавляйся от вычислительной жесткости По сути дела производится построение упрощенных моделей изучаемых объектов но при vtom более простые модели с высокой степенью точности отражают поведение исходных моделей Теория интегральных многообразий приме шласъ для исследования разнотемповых систем в работах Бариса Я С Задираки К В , Лыковой О Б , Митропольского Ю А., Самойленко А М., Соболева В А., Стрыгина В В , Фодчука В. И , Fenichel N.. Hale J , Henry D , Knobloch H., Kokotovic Р. V , Schneider K. R и др
Обычное предположение теории разнотемповых систем состоит в том, что линейная часть быстрой подсистемы удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии Однако, во многих прикладных задачах это условие нарушается, и возникают критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Кутузова В. Ф, Васильевой А Б , Волосова В М., Кононенко Л И , Нефедова Н Н , Рачинского Д И., Соболева В. А , Щепакиной Е А , Gu Z , O'Malley R Е Schneider К. R., Szmolyan Р, Weckesser W
• í ч.т iat ,
¿к 'Нг*'- ' >
-* i» ¡s-.4» ,
•
Нарушение этого условия может привести к возникновению эффекта затягивания потери устойчивости Впервые этот эффект был описан в работе Шишковой М А. В дальнейшем, исследование природы этого эффекта проводилось в работах многих авторов Следует отметить работы Нейштадта А И., в которых достаточно подробно описан эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем Также в сингулярно возмущенных системах нарушение основного предположения может привести к появлению траекторий-угок Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Вак-дер Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.
Исследованию условий существования затягивания потери устойчивости и траекторий-уток посвящены работы многих авторов В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению гтлекюрий У1ОК и эффскта втягивания потери \сойчи-юс < л в различных задача*. биологии механики хкмил. гномики и -^ркгроники Не претендуя на полнот/, среди лих можно выделиль работы Горелов? Г Н ЧМнтяд'м Л И Покровского ^ Н Сидооочкс В В Соболева В А Щепакиной К А , Ваег Ь М М , I) пглгпег Г , Егпеих 'р Сисксп
ьенпег Л . НоЙтап К , Кгира М , МхЬк ^ МоеЬ.кь Л , Ноиь^апе Г? БсКпе^ег К Я . 82шо1уаи Р , Weckesser \М
Данная работа посвящена исследованию интегральных многообразий со сменой устойчивости для быстро-медленных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений
Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов.
Методика исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории интегральных многообразий.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. Найдены условия существования и единственности ограниченного на всей оси решения для некоторого класса нелинейных систем без дихотомии
2. Доказана теорема о существовании и единственности медленного интегрального многообразия быстро-медленных систем в случае, когда соответствующая быстрая подсистема не удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии.
3 Получены асимптотические разложения медленного интегрального многообразия и склеивающей функции Доказана теорема об опенке погрешностей асимптотических приближений
4 Доказаны теоремы о дифференцируемое™ медленного интегрального многообразия и склеивающей функции
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при изучении широкого класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные в диссертации методы приближенного построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции international Conference on Differential Equatioria 'Equadiff 2003"''ХлССсльт, Бельгия 2003). на Международных семинарах "Нелинейное моделирование и управление"("Самара 2Г/'0 2004 и), на Международном семинаре "International Woikbhop on Relaxation Oscülations and Hybteresib"fKopK, Ирлан,гия, 2002) на Международном семинаре "Mtüti-Scaled Systems and Hysteresis" (Корк Ирландия, 2003), на Международном семинаре "Multiscale Systems and Applications"(Берлин, Германия 2003), на Воронежской зимней мятрматичес кой школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы "(Воронеж, 200-5) Результаты обсуждались на научных семинарах Университета Гумбольдта, Свободного Университета Берлина и Института Вейерштрасса прикладного анализа и стохастики (г Берлин Германия. 2001, 2002, 2003, 2004, руководители семинаров — prof В. Niethammer, prof J Naumann, prof В Fiedler, prof К R Schneider)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-|13] Из совместных работ [4]-[6], |11] в диссертацию вошли только принадлежащие Щетининой Е В. результаты
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
пяти глав, содержащих 9 параграфов и 5 рисунков и списка литературы, включающего 105 наименований. Общий объем диссертации — 133 страницы
Краткое содержание работы
Во Введении обосновывается актуальность избранной темы, излагаются цели и задачи исследования, дается общая характеристика работы и краткий обзор литературы, связанной с тематикой диссертации. Бо iee детальный обзор результатов по теме работы и смежным с ней вопросам, а также соответствуюаще библиографические ссылки даются непосредственно в тексте глав Кроме того, во Введении показана новизна , полученных в работе результатов.
Хорошо известно, что быстро-медленные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования г процессов различной природы В работе рассматриваются системы
вида
у = eY(t,y.z,e), i = B(t)z + Z(t,y,z,e) + a, (5)
где е — малый положительный параметр, у и г - векторные переменные размерности п и 2, соответственно, о - в^ктоо гпра\ге°-ров Y Z — достаточно гладкие функции
Определение 1 Поверхность л'£ £ У х К" х R- пшиватт я ин'паролъныл' >льо?ообразием системы {'>} f XV любое peuewae
(i,y(t,г yQ zb¡. z(t,e,yD,zojj с начальными условиями (í0, zo) £ St лежит на Se для всех t 6 й
Среди интегральных многообразий системы (5) особый интерес пррлставляют многообразия размерности медленной переменной, которые описываются уравнением
г = h(t,y,e).
' Предполагается, что функция h(t,y,e) достаточно гладко зависит от
е Такие многообразия называются интегральными многообразиями медленных движений
i
Движение по медленному интегральному многообразию осуществляется в соответствии с уравнением
V=eY(t,y,h(t,y,E),e). (6)
Если y{t,t) — решение этого уравнения, то napa
(y(t,e),z(t,e)).
где z(t,f) = h(t,y{t,c).c), является решением исходной системы (5), так как эла. пара задает траекторию на интегральном многообразии
Задача о существовании медленного интегрального многообразия в случае когда линейная система
удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии, рассматривалась в работах Лыковой О В, Митропольского Ю А , Самойленко А М . Соболева В А , Стрыгина В В , Фодчука В И , Fenichel N , Hale J , Henry D , Knobloch H , Kokotovic P V идр В работе предполагается, что матрица B(t) имеет вид
Таким образом, условие экспоненциальной дихотомии нарушается Цель данной работы — определить условия, при которых система ^5) имеет моленное интегральное многообр&зге
Первая пава посвящена развитию теории ограниченных на всей оси р"Шени*1
Р&ссма^риваржя Vравнения ьвда
где г е — {г <? К2 < Д},Д > 0, а долп-пнттелонь'й
параметр Относительно функции 2(1, г) мы предположим
(А); 2(1, у) - непрерывная функция на К х Г2г, и на этом множестве удовлетворяет условиям
Задача о существовании ограниченных на всей оси решений для уравнения (8) рассматривалась многими авторами (см например, работы Бариса Я С , Демидовича Б Г1 , Перова А И , Самойленко А М ) В случае, когда однородное уравнение
г = B{t)z
(7)
г - B(t)z + ZJt, z> — а,
\\Z(t,z)\\ < М, \\Z{t,z) - Z(t,z)\\ < Milz~z\\.
О)
удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии, существование ограниченных на всей оси решений было доказано Барисом Я С . Лыковой О Б , Самойленко А М , Соболевым В А
В работе предполагается, что матрица B(t) имеет вид (7) Рассматриваемая задача имеет важную особенность по сравнению со случаем, когда для соответствующей линейной системы выполняется условие экспоненциальной дихотомии В системе присутствует дополнит ельный параметр а.
В первом параграфе получено необходимое условие существования ограниченного на всей оси решения Основываясь на этом условии, объясняется метод склеивания решений, ограниченных при t —> -ос и t —> +00, и объяснясхся роль параметра а Исходя из геометрических соображений, будем называть этот параметр склеивающим параметром
Во втором параграфе формулируется основной результат Первой главы Имеет .место
Теорема 1.3. Пусть функция Z{t,z) в правой части 18} удовлетворяет условию (А\) Предположим, что
(И)
у/а
Тогда существует единственное зиачрчир вектора а при котором "ipabHfbut (8) имеет единственное '>>ромь,чп<чос па r-ссй оса решеиш
TpCii'ti парэ;раф посрящег доказательств1/ теоремы i i Обо.на-тм черj 3 Н полное ме грическое прос i раиство ф\ нкций /it ^<л>г)ь.в'чь'х для t С К и а,лорлегворяюши> условию
1,Л(*),| < Лг, (12)
где N < Д, с метрикой
pih ьу = «чп11лт-him
г \ ч V --г 114/ ' у и
<еи
На пространстве Н определим оператор Т следующим образом Th{t) =
- J°esS^shW(t - s) [Z (s, h(s)) + a) ds, t > 0. t
f LW(t - s) [Z (s, ft(s)) + a] ds, t < 0. -00
(13)
В верхней строке здесь записан оператор, используемый для доказательства существования ограниченного решения при I —> +ос,
в нижней строке — оператор, используемый для доказательстве существования ограниченного решения при t —> —00 Вектор а используется для склеивания решений, ограниченных на каждой из полуосей
Докажем, что оператор Т переводит пространство Я в себя и является сжимающим. Доказательство состоит из нескольких этапов Сначала мы покажем, что можно выбрать вектор а таким образом, что функция Th является непрерывной, затем найдем условия, гарантирующие, что оператор Т переводит Я в себя и является сжимающим в Я. Следовательно, в пространстве Я существует единственная неподвижная точка Эта неподвижная точка является ограниченным на всей оси решением уравнения (8).
Получившееся решение является притягивающим при t < 0 и "
отталкивающим при t > 0. Остальные решения системы, начинающиеся при t — to < 0 в любой начальной точке zc через некоторое время попадают в малую окрестность ограниченного на всей оси решения и остаются в ней "
до момента t = t* > 0 При t > | i0| решения быстро покидают малую окрестность ограниченного на всей оси решения Величина £* зависит I i0|-чем больше | "-ем больше времени произвольное решение проведет в окрестности отталкивающею участка ограниченного на всей оси решения Такое юведечи° решений похоже на эффект затягивания потери остойчивости для сингутярно возмущенных систем
Втсрая глава посвящрна исследованию вопросов существования / единственности медлейнслэ интегрального чгшгиобразил ^ la -
медленных систем вида
^=eY(t,y,z,a). | = B(t)z + Z(t.y, z,e), (14,
где !/€Г,геЙ2,в6 Па, Па := {а 6 I2 : Ца|| < 6}, е е 40,1еа = {е 6 К : OSeSiEo'Cl}, B(t) — матрица, определенная в ('().
Относительно функций Y, Z мы предположим
(Hi) Функция Y непрерывна на R у К71 xf2zx/£o и удовлетворяет следующим <
неравенствам для всех t € R., у, у е Rn, z, z е Г2г, е € /ео
\\Y{t,y,z,e)\\<K, (15)
||y(t, у, z, е) - У (г, у, г, е)\\ < ц (||у - j?|| + \\z - г ||). (16)
(Н2) Функция Z непрерывна ва 1 х 1" х iîz х iïa х Jf0. и удовлетворяет следующим неравенствам для всех 4 € R, у,у € К", г, г £ Йг s,â е
Пп,£ € /£о
¡|Z(t,î/,z,a,e)|| < M(e + £|[z|| + ||г||2), (Y!)
\lZ(t,y,z,a,e)-Z(t,y,z,â.£)ï\ < D ((£ + е||г|| + \\z\\2)\\y - y';| + (e + ||5||)||s - г|| + ф - â||) , (18) где p|| .= max{|(z!|, ||z||}
При z — 0 система (14) сводится к системе (8) Из результатов Первой главы следует, что если мы введем в систему дополнительный параметр, то получившаяся система будет иметь ограниченное на всей оси решение. Для того чтобы получить поверхность, состоящую из ограниченных решений, мы должны склеивать решения для всех возможных значений функции у — y(t,e) Следовательно, для лого чтобы система (14) имела медленное интегральное многообразие мы должны рассматривать склеивающий параметр а как функцию переменных у е о = а(у е) Таким образом, рассматриваются системы вида
§ - eY{t,y,z,e),
dz (¥J>
~ - B(t)z 4 Zit y,z a(y,s).£) - o(y.F) di
Pdcсvîoxpfi4j потное метрическое пространство F непрерывных фуьчциР j действующих из V' у Lr —> П„ и удовлетворяющих неравенствам
\\а(у,е)\\ < eL, Уа{у,е) - a(y,e)f < где eL < ô, с метрикой
р{а.а)= sup ||а(у,е) - a(i/,£)|;
!/6K" cé/.0
и полное метрическое пространство H непрерывных функций h{t у.е), действующих из R х R" в Пг, удовлетворяющих неравенствам
||fc(i,»,e)||<eJV, (21)
||A(i,»,e) - h(t,y,e)|| < eÇl|у - у\\, (22)
с метрикой
р(КН)= вир ЩЬ,у,е)-к{г,у,е)\\.
(£.Е,1,£1Е'1,ГСГ,0
Имеет место
Теорема 2.1. Пусть функции У, 2 в правой части (19) удовлетворяют условиям (Н\), (Н%). Тогда существует значение е* 6 7£о такое что для всех с, 0 < е < £*, существуют функция а € Р и соответствующее ей медленное интегральное многообразие г = Н,(1,,у,е), Ь, 6 Я
Для доказательства теоремы на элементах пространства Н зададим оператор Т формулой
(ТЛ)(4,1ле) =
It* *>
_ j eaS-^W{t ~ s)[Z (■) + a{^ift{y,h,£),e)} ds, t > 0. i
/ e^ IV(i - а) [2Г (■) + а й, г), г)] ds, t < 0,
где
Z(-) = Z (s, Фг < (y, h. г), his, Ф, f (¡/, h, e),e), а(Ф^(у. h, s),e), e),
а функиия Ф Sti{y.h,e) определяется следующим образом Для произвольного этеуонта h 6 И рассматривается начальная задача
d(b
— - rY(b.<[>,h<s.o.£).e), ф(х) -- у. (261
as
полученная ш первогу ураьньнкл (I9j подстановкой f f'w* г с переобозначением у на л и £ на s Решение этой задачи обозначается через
Следует отметить, что при определении оператора Т в верхней строке записан оператор, используемый для доказательства существования интегральных поверхностей, ограниченных при t —> +оо, а в нижней строке — оператор, используемый при доказательстве существования интегральных поверхностей, ограниченных при t —> —эо Функция а(у,е) служит для склеивания интегральных поверхностей, ограниченных на каждой из полуосей. Если оператор Т имеет в Н неподвижную точку h(t,y,£), то поверхность г = h(t,y,e) является медленным интегральным многообразием системы (19) Доказательство этого факта сводится к проверке выполнения условий принципа сжатых отображений.
Медленное интегральное многообразие системы (19) является притягивающим при t < 0 и отталкивающим при t > 0 Для остальных
решений наблюдается эффект, близкий к эффекту затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущённых систем. Решения системы (19), начинающиеся при t — to < 0 в любой начальной точке zb через некоторое время попадают в малую окрестность медленного интегрального многообразия z = h(t,y,e) и остаются в ней до момента t — t" > 0 При t > | tol решения быстро покидают малую окрестность медленного интегрального многообразия
Третья глава посвящена асимптотическим разложениям медленного интегрального многообразия и склеивающей функции Имеет место
Теорема 3.1, Пусть справедливы условия Теоремы 1.3 и пусть функции Y, Z б правой части системы (19) имеют непрерывные и ограниченные частные производные по переменным у, г, а, с до порядка k + 1 включительно. Тогда медленное интегральное многообразие z — h(t,y.e) системы (19) и склеивающая функция а(у.е) могут быть найдены в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра
к к z(t,y,e) = JV/^ii.y) + 0{еш). o(y,s) -
1-0 1=и
dde функции h, и аг лретич-ны и уО'ы^твсряу■'ч условию Липшица по nrjie.MPHHoa у
К&лффициенгы hjt у) в >том р^зложегши определяют'я обычный j6d^om. d коэффициенты о,\у) на каждое шаге опр' jc ¡яются из иювкя н-'Прерь.вносги <Ьуялд/и h.!t у) при t -- 0 Л ля обоснования аелмгиогичегкою характера оазпг л^ния 'истеМо приводится в окрестности /с-го приближения медленного интегрального многообразия к виду (19), где функция Z удовлетворяет неравенству
\\Z(t, у, и. v, <г)|| < Di (£||u|| + ф|| + Ы12 ч- е1"1) .
В этом случае при определении пространств F и Н вместо (20), (21) следует использовать неравенства
Иг/,£)|| ¡\h(t,y,e)l\<sk+lq
Четвертая глава посвящена исследованию дифференциальных свойств медленного интегрального многообразия и склеивающей функции
В первом параграфе доказывается существование частной производной первого порядка по переменной у Предположим, что функции Y, Z и
П
правой части системы (19) удовлетворяют условиям (Hi), (Н2) и имеют частные протродные нерпою порядка по переменным у. 2, a, непрерывные на 8 х К" х П2 х J£í, i х I" х П2 х Па х /£о и удовлетворяющие для всех t £ у у е R", 2. г € 02, a, a <Е tla,£ € I€Q неравенствам
|¡n(t.y,a,e)|| < M, (2A]
\\Yx(t,y,z,e)-Yx(t,y,z,£)\\ < мг(\\У ~ v\\ + ~ ¡\\) ■
\\Zy(ty,z,a,£)\\ < £>(е + ф|| + !М|2)
\\Zz{t,y,z,a,e)\\ < D(e+\\z\\), (25)
\\Za{t.y.z,a,e)\\ < eD
¡|Zx{t,y,z,a,£) - Zx(t,y,z,a,e)\\ < Dx (\\y-y\\ + \\z - 2"| + |la- S||)(26)
где pli := тах{1|г||, ||¿||}, и /х = §£, х = у, z, a . Справедливо следующее утверждение
Теорема 4.5. Предположим, что выполняются условия Теоремы 1 3 и функции Y, Z имеют частные производные по переменным у, z, а, непрерывные на RхК" xílzxICg «IxM"xОг xí1„x Jen, соответственно ■которые удовлетворяют условиям /24)-(26) Тогда для достаточно чалых е скчеивающая функция а(у,е) v медленное ингпеграаьное многообразие г — h(t,y,') системы (19) имеют непрерывные и ограниченные частные производные по переменной у
Лтя доказательства теоремы рассматривается подпространство Fil> ç F состоящее из функций а(у. е) имеющих непрерывные частные производные по у, удовлетворяющие неравенствам
Н(У,£) | < ег/, \\dy(y.£) - оу{у,£)\\ < ui\\y - у¡I. (27)
В пространстве Fвведем обобщенную метрику
d(a, а) — col (р(а, а),р{оу, râ.J).
где p(a,j,ây) определена следующим образом
р(ау,йу) = max sup \\ау,{у,е) - 5в,(г/.е)||-1<г<п ¡,eK",fS/IO
Пространство F") является полным метрическим пространством
Пусть Я'1' — подпространство в Я, состоящее из функций hit., у, е), имеющих непрерывные частные производные по у, удовлетворяющие следующим неравенствам при t е Ш-,у, у £ К71,^ € 40
\\hv(t,y,E)-hy(t,y,e)\\ (28)
В пространстве Я(1) введем обобшенную метрику
d(h, h) — col (p(h,h),p{hy,hy)) где p{hv, hy) определено следующим образом
p{hy,hy) = max sup \\hy,(t,y,e) -- hyi(t,y,£)\). l<i<nteR,ysR",ee/t0
Пространство H^ является полным метрическим пространством
Доказывается, что для достаточно малых с существует функция а(у,е) € такая, что оператор Т переводит пространство Я(1) в себя и является в нем сжимающим Доказательство этого факта основывается на обобщенном принципе сжатия А И Перова.
Во втором параграфе показывается, что если функции Y. Z из правой части системы (19) имеют непрерывные и ограниченные частные производные по переменным y,z,a до порядка к включительно, а к-тые производные удовлетворяют условию Липшица по переменной у. то медленное интегральное многообразие и склеиваюыаи функция имеют непрерывные и ограниченные частные производные по переменной у до порядка к Доказательство о« н^вывае^'я га методе мате*1ати-£естсо? индукции б&*а для которой установлена и первом параграфе Четвертой главы, и пб( бщечном принципе сжатия
В Пятой длав"3 рассматривается система Цшлеоа опжывяюц( я хот^бания двухзвенного маягьика под рездействием внешней си ты Исследуется у- тойчивогть положения равновесия, и определяются \<\ловия при которых в этой модели г>шествуют тр&ек"чрин i затягиванием потери устойчивости Определяется тра«ктория с наибо (ьшим временем затягивания потери устойчиьости
Публикации автора по теме диссертации
1 Щетинина Е В Одна задача о смене устойчивости / ЕВ. Щетинина /7 Известия РАЕН МММИУ - 1999. - ТЗ. №3. ~ С. 129-134.
2 Щетинина Е В Интегральные многообразия и смена устойчивости / Е. В Щетинина // VII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. — Дубна, 2000 — С 371.
3. Щетинина Е В Смена устойчивости интегральных поверхностей / Е. В. Щетинина // Материалы Международного семинара "Нелинейное моделирование и управление", Самара, 2000 — С. 143-144
2006-4 „ „
««- 79 0 5
4. Shchetinma E. V. One-parametric families of canard cycles- two explicitly solvable examples / К R. Schneider, E V. Shchetinma // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. — 2003 — Vol 2. Issue 1 — P 74-75.
5 Shchetmina E V Scenario of Loss of Stability in the Ziegler System / E. A. Shchepakma, E. V. Shchetinma, V. A. Sobolev // Proc of the V Intern. Congress on Math. Mod. - Dubna, 2002. - P. 34.
6. Shchetinma E V. Loss of Stability Scenario m the Ziegler System / E A. Shchepakma, E V. Shchetinma, V A. Sobolev // Preprint 07/2003 March
2003 — Cork- University College Cork - National University of Ireland Boole Centre for Research in Informatics, 2003 — 21 p
7. Shchetmina E. Loss of stability scenario in the Ziegler system / E Shchetinma // Proc. of Equadiff Confei., Hasselt, Belgium, July 22-26, 2003 - Singapore: World Scientific Press, 2005. - P 922-925.
8. Shchetinma E V. On one problem of delayed loss of stability / E V Shchetmina // XI Международная конференция "Математика Компьютер Образование" Тезисы докладов — Дубна, 2004. — С 182.
9. Щетинина Е В Об управлении в задачах с затягиванием потери устойчивости /ЕВ Щетинина // Материалы Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара
2004 - С 274-275
10 Shrhenrima Е On existence of a bounded solution m a problem with a control perimeter / E Shchetmina // Preprint No 918 — Berlin Weierstrafi-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik, 2004 - 10 p
11. Shchetinma E intégrai manifolds foi slovv fd&i nouautonc; .yif '•уя^гт; without dichotomy / K. Schneider, E Shchetmina. V Soboiev // Preprint No 948 — Berlin Weierstrafi-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik, 2004 - 22 p
12 Щетинина E В Интегральные многообразия и затягивание потери устойчивости / Е. В. Щетинина // Воронежская зимняя математическая школа-2005. Тезисы докладов. — Воронеж: ВГУ, 2005. — С 254-255
13 Щетинина Е. В Управление механической системой маятникового типа / Е. В Щетинина // Вестник СамГТУ. Сер Технические науки — 2005. - № 33. - С. 85-88
Заказ №493 от 2005г Тиражэкз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ
Введение
1 Ограниченные решения нелинейных систем
1.1 Постановка задачи.
1.2 Существование ограниченного на всей оси решения
1.3 Доказательство теоремы 1.3.
1.3.1 Непрерывность функции ТК.
1.3.2 Существование ограниченного решения
2 Интегральные многообразия быстро-медленных систем
2.1 Постановка задачи.
2.2 Предположения. Обозначения.
2.3 Доказательство Теоремы 2.
2.3.1 Вспомогательные неравенства.
2.3.2 Непрерывность ТН при £ = О.
2.3.3 Существование медленного интегрального многообразия
2.3.4 Примеры
3 Асимптотические разложения
3.1 Доказательство Теоремы 3.
3.1.1 Непрерывность Тд в £ = 0.
3.1.2 Оценка погрешности.
4 Гладкость интегрального многообразия
4.1 Существование производных первого порядка
4.1.1 Предположения.
4.1.2 Вспомогательные неравенства.
4.1.3 Непрерывность функции -щ-ТК при 2 = 0.
4.1.4 Существование первой производной медленного интегрального многообразия
4.2 Существование старших производных.
4.2.1 Предположения.
4.2.2 Вспомогательные неравенства.
4.2.3 Гладкость функции а(у, е).
4.2.4 Гладкость интегрального многообразия.
5 Маятник Циглера
Актуальность работы.
Быстро-медленные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. В общем случае автономную разнотемповую систему можно записать как в быстро-медленном виде dx = £f{x,y,£), dy , , (0-1) так, с помощью замены переменных t = т/е, и в сингулярно возмущенном виде dx
Тт = f{X^ , ч dy , . (0-2)
Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А. Н. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах Андронова А. А., Аносова Д. В., Боголюбова Н. Н., Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вишика. М. И., Крейна С. Г., Крылова Н. М., Куриной Г. А., Ломова С. А., Люстерника Л. А., Мартыненко Ю. Г., Маслова В. П., Митропольского Ю. А., Мищенко
Е. Ф-, Моисеева Н. Н., Найфэ А. X., Новожилова И. В., Понтрягина Л. С., Розова Н. X., Чернышова К. И., Chang Н. С., Cole J., Howes F. A., Kelley A., Miller J., O'Malley R. E., Schneider K. R., Smith D. R., Van Dyke M. и многих других авторов (см. [1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 38, 46, 75, 82, 83, 84, 88]).
Для неавтономных систем быстро-медленная форма - £f(t,x,y,e), dy , ч (0-3) = g{t,x,y,£), и сингулярно возмущенная dx - f[T,x,y,e), ат dy , . (0-4) не эквивалентны из-за присутствия времени в правой части системы. Поэтому, помимо методов теории сингулярных возмущений, для исследования неавтономных быстро-медленных систем были разработаны собственные методы. Большое распространение получили асимптотические и итерационные методы. Например, метод замены переменных и методы усреднения, целью которых является построение упрощенной модели с помощью специально подобранной замены переменных [9, 17, 31, 34].
Поток публикаций, посвященный теории и приложениям разнотем-повых систем, непрерывно растет. Однако, абсолютное большинство работ по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрическая теория разнотемповых систем находит свои истоки в работах Пуанкаре и Ляпунова. Она занимается вопросами существования и исследования свойств как отдельных решений, обладающих специальными качествами, так и целых классов решений (интегральных многообразий). Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах Боголюбова Н. Н. и Митропольского Ю. А. [8, 9]. Под интегральным многообразием здесь понимается гладкая инвариантная поверхность дифференциальной системы. Большой интерес представляют интегральные многообразия меньшей размерности. Использование интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемых моделей и избавляться от вычислительной жесткости. По сути дела производится построение упрощенных моделей изучаемых объектов, но при этом более простые модели с высокой степенью точности отражают поведение исходных моделей. Теория интегральных многообразий применялась для исследования разнотемповых систем в работах Бариса Я. С., Задираки К. В., Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Соболева В. А., Стрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovic Р. V., Schneider K. R. и др. [6, 21, 27, 30, 43, 48, 58, 59, 75, 80, 83, 84, 90, 91, 92, 93].
Обычное предположение теории разнотемповых систем состоит в том, что линейная часть быстрой подсистемы удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии. Однако, во многих прикладных задачах это условие нарушается, и возникают критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Бутузова В. Ф.,
Васильевой А. В., Волосова В. М., Кононенко Л. И., Нефедова Н. Н., Рачинского Д.И., Соболева В. А., Щепакиной Е. А., Gu Z., O'Malley R. Е., Schneider К. R. [10, 11, 12, 24, 62, 63, 71, 77, 85, 87, 89, 94].
Нарушение этого условия может привести к возникновению эффекта затягивания потери устойчивости. Впервые этот эффект был описан в работе Шишковой М. А. [60]. В дальнейшем, исследование природы этого эффекта проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Нейштадта А. И. [36], в которых достаточно подробно описан эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем. Также в сингулярно возмущенных системах нарушение основного предположения может привести к появлению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов [16, 32, 33, 45, 52, 53, 85, 87]. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях [53, 61, 97].
Исследованию условий существования затягивания потери устойчивости и траекторий-уток посвящены работы многих авторов [3, 16, 32, 33, 45, 51, 53, 71, 85, 87, 89]. В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению траекторий-уток и эффекта затягивания потери устойчивости в различных задачах биологии, механики, химии, экономики и электроники. Не претендуя на полноту, среди них можно выделить работы Горелова Г. Н., Нейштадта А. И., Покровского А. Н., Сидоренко В. В., Соболева В. А., Щепакиной Е .А., Dumortier F., Erneux Т., Guckenheimer J., Hoffman К., Krupa M., Milik A., Moehlis J., Roussarie R., Schneider K., Szmolyan P., Weekesser W. [16, 37, 45, 52, 61, 72, 73, 74, 85, 76, 78, 87].
Данная работа посвящена исследованию интегральных многообразий со сменой устойчивости для быстро-медленных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. В работе рассматриваются системы вида у = sY(t, y,z,e), z = B(t)z + Z(t, у, z, e) + a, (0.5) где s — малый положительный параметр, а — вектор параметров, у и 2 — векторные переменные размерности п и 2, соответственно, У, Z — достаточно гладкие функции.
Определение 0.1 Поверхность G I х I71 х I2 называется интегральным многообразием системы (0.5), если любое решение t, ¡/(t, е\Уо, zo),z(t, е\ у0, zq)) с начальными условиями (to, 2/о, ^о) € S£ лежит на S£ для всех £ € Е.
Среди интегральных многообразий системы (0.5) особый интерес представляют многообразия размерности медленной переменной, которые описываются уравнением г = h(t, у, е).
Предполагается, что функция h(t,y,e) достаточно гладко зависит от е. Движение по интегральному многообразию осуществляется со скоростями порядка е (в полной системе есть движения со скоростями порядка единицы). Такие многообразия называются интегральными многообразиями медленных движений.
Движение по медленному интегральному многообразию осуществляется в соответствии с уравнением где = /г(£, е), е), является решением исходной системы (0.5), так как эта пара задает траекторию на интегральном многообразии.
Задача о существовании медленного интегрального многообразия в случае, когда линейная система удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии, рассматривалась в работах Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Соболева В. А., Стрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovic Р. V. и др. [6, 21, 27, 30, 54, 58, 59, 75, 83, 84]. В работе предполагается, что матрица B{t) имеет вид
Таким образом, условие экспоненциальной дихотомии нарушается. Цель данной работы — определить условия, при которых система (0.5) имеет медленное интегральное многообразие.
Первая глава посвящена развитию теории ограниченных на всей оси решений для уравнений, у которых соответствующая линейная система не удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии. В первом у = £Y(t,y,h(t,y,£),e). Если y(t, е) — решение этого уравнения, то пара y(t,£),z(t,s)),
0.6) i = B{t)z
0.7)
параграфе получено необходимое условие существование ограниченного на всей оси решения. Основываясь на этом условии, объясняется метод склеивания решений, ограниченных на каждой из полуосей и объясняется роль параметра а. Исходя из геометрических соображений, будем называть этот параметр склеивающим параметром. Во втором и третьем параграфах формулируется и доказывается теорема о существовании ограниченных на всей оси решений.
Получившееся решение является притягивающим при Ь < 0 и отталкивающим при £ > 0. Остальные решения системы, начинающиеся при ^ = ¿о < 0 в любой начальной точке го через некоторое время попадают в малую окрестность ограниченного на всей оси решения и остаются в ней до момента £ = £* > 0. При Ь > | £0| решения быстро покидают малую окрестность ограниченного на всей оси решения. Такое поведение решений похоже на эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем [36, 60].
Вторая глава посвящена исследованию вопросов существования и единственности медленного интегрального многообразия для быстро-медленных систем. Показано, что задача о существовании интегральных многообразий может рассматриваться как обобщение задачи о склеивании решений, ограниченных на каждой из полуосей. Во втором параграфе формулируются основные предположения. В третьем параграфе доказывается теорема о существовании и единственности медленного интегрального многообразия. Полученное многообразие является притягивающим при 4 < 0 и отталкивающим при £ > 0.
В третьей главе рассматриваются вопросы асимптотического приближения медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. Получены рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов разложения и доказана теорема об оценках погрешностей этих разложений.
Четвертая глава посвящена исследованию дифференциальных свойств медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. В первом параграфе доказана теорема о существовании частной производной первого порядка по пространственным переменным.
Во втором параграфе показана связь между дифференцируемостью правой части системы и существованием производных высших порядков для склеивающей функции и функции, описывающей медленное интегральное многообразие. Доказательство основывается на методе математической индукции, база для которой установлена в первом параграфе четвертой главы, и обобщенном принципе сжатия А. И. Перова [42, 55].
В пятой главе рассматривается система Циглера, описывающая колебания двухзвенного маятника под воздействием внешней силы. Исследуется устойчивость положения равновесия и определяются условия, при которых в этой модели существуют траектории с затягиванием потери устойчивости. Определяется траектория с наибольшим временем затягивания потери устойчивости.
Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории интегральных многообразий.
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при изучении широкого класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные в диссертации методы приближенного построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции International Conference on Differential Equations "Equadiff 2003" (Хассельт, Бельгия, 2003), на Международных семинарах "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 2000, 2004 гг.), на Международном семинаре "International Workshop on Relaxation Oscillations and Hysteresis" (Корк, Ирландия, 2002), на Международном семинаре "Multi-Scaled Systems and Hysteresis" (Корк, Ирландия, 2003), на Международном семинаре "Multiscale Systems and Applications" (Берлин, Германия, 2003), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005). Результаты обсуждались на научных семинарах Университета Гумбольдта, Свободного Университета Берлина и Института Вейерштрасса прикладного анализа и стохастики (г. Берлин, Германия, 2001, 2002, 2003, 2004, руководители семинаров — prof. В. Niethammer, prof. J. Naumann, prof. В. Fiedler, prof. К. R. Schneider),
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64]-[69], [95], [96], [98]-[102]. Из совместных работ [95], [96], [98], [99] в диссертацию вошли только принадлежащие Щетининой Е. В. результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, содержащих 9 параграфов и 5 рисунков, и списка литературы, включающего 105 наименования. Общий объем диссертации 133 страницы.
1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: Наука, 1981. — 568 с.
2. Аносов Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных / Д. В. Аносов // Матем. сборник. 1960. Т. 50, № 3. С. 299-334.
3. Арнольд В. И. Теория бифуркаций В кн.: Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. — М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-218.
4. Баничук Н. В. Об эффектах стабилизации и дестабилизации в неконсервативных системах / Н. В. Баничук, А. С. Братусь, А. Д. Мышкис // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53, № 2. С. 206-214.
5. Барбашин Е. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством /Е. А. Барбашин, В. А. Табуева. — М.: Наука, 1969. 300 с.
6. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий / Я. С. Барис, В. И. Фодчук // Укр. мат. журн. — 1970.- Т. 22, № 1. С. 3-11.
7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. — М.: ИЛ, 1954. — 216 с.
8. Боголюбов Н. Н. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский // Тр. Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. — Киев, 1963. — Т. 1. — С. 93-154.
9. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М.: Наука, 1974. 504 с.
10. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов.- М.: Наука, 1973. 272 с.
11. Васильева А. Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Изд-во МГУ, 1978. 106 с.
12. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Высш. шк., 1990. 208 с.
13. Вишик М. И. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 121, № 5. - С. 778-781.
14. Воропаева Н. В. Декомпозиция многотемповых систем / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев. — Самара: СамВен, 2000. — 292 с.
15. Гольдштейн В. М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем / В. М. Гольдштейн, В. А. Соболев. — Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отделение, 1988. — 154 с.
16. Горелов Г. Н. Сингулярно возмущенные модели горения / Г. Н. Горелов, В. А. Соболев, Е. А. Щепакина. Самара: СамВен, 1999. 198 с.
17. Гребеников Е. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем / Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов // М.: Наука, 1979. — 432 с.
18. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1970. 536 с.
19. Демидович Б. П. Об ограниченных решениях некоторой нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. П. Демидович // Мат. сборник 1956. - Т. 40, № 1(82). - С. 73-94.
20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. — М.: Издательство МГУ, 1998. — 480 с.
21. Задирака К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной дифференциальной системы / К. В. Задирака // Укр. мат. журн. 1965. - Т. 17, № 1. - С. 47-63.
22. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. — М.: Наука, 1975. — 512 с.
23. Крейн С. Г. Поведение решений общих линейных систем, меро-морфно зависящих от малого параметра / С. Г. Крейн, К. И. Чернышов // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 260, № 3. — С. 530535.
24. Кононенко Л. И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий / Л. И. Кононенко, В. А. Соболев // Сиб. мат. журн. 1994. - Т. 35, № 6. - С. 1264-1278.
25. Курина Г.А. Об одной вырожденной задаче оптимального управления и сингулярных возмущениях. / Г. А. Курина // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 237, N 3. - С. 517-520.
26. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. М.: Наука, 1981. - 400 с.
27. Лыкова О. Б. Приближенные интегральные многообразия / О. Б. Лыкова, Я. С. Барис. — Киев: Наукова Думка, 1993. — 314 с.
28. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
29. Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. — М.: Мир, 1980. — 368 с.
30. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова. — М.: Наука, 1973. 512 с.
31. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский. — Киев: Наукова Думка, 1971. — 440 с.
32. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов. М.: Наука, 1975. - 247 с.
33. Мищенко Е. Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Колесов, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов. — М: Физматлит, 1995. 312 с.
34. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. — М.: Наука, 1969. — 380 с.
35. Найфе А. X. Методы возмущений / А. X. Найфе. — М.: Мир, 1976. 455 с.
36. Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях / А. И. Нейштадт // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23, № 12. - С. 2060-2067; 1988. - Т. 24, № 2. - С. 226-233.
37. Нейштадт А. И. Затягивание потери устойчивости в системе Циг-лера / А. И. Нейштадт, В. В. Сидоренко // Журнал прикл. мат. мех. 1997. - Т. 61, № 1. - С. 18-29.
38. Новожилов И. В. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при производных для исследования гироскопических систем / И. В. Новожилов // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. - № 4. - С. 50-51.
39. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г. Пановко, И. И. Губанова. — М.: Наука, 1979. — 384 с.
40. Перов А. И. Периодические, почти периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения dx/dt = f(t, х) / А. И. Перов // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 132, № 6. - С. 531-534.
41. Перов А. И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. / А. И. Перов. — Киев: Наукова думка, 1964. Вып. 2. - С. 115-134.
42. Перов А. И. Об одном общем методе исследования краевых задач / А. И. Перов, А. В. Кибенко // Изв. АН СССР, сер. математика.1966. Т. 30, № 2. С. 249-264.
43. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений / В. А. Плисс. — М.: Наука, 1977. 304 с.
44. Приближенные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, М. Я. Стеценко. — М.: Наука, 1969. — 456 с.
45. Покровский А. Н. "Стая" решений-"уток" сингулярно возмущенной системы 2-го порядка / А. Н. Покровский // Математическая физика: Межвуз. сб. /Под ред. Н.М. Матвеева. — Ленинград. 1987. - С. 77-81.
46. Понтрягин Л. С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений с малым параметром / Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко // Труды МИАН СССР. 1985. - Т. 169. - С. 99-118.
47. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.М. Рыжик, И.С. Градштейн. — М.: Физматгиз, 1965. — 1100 с.
48. Самойленко А. М. О расщеплении системы дифференциальных уравнений с медленно меняющейся фазой в окрестности асимптотически устойчивого инвариантного тора / А. М. Самойленко, М. Я. Свищук // Укр. матем. журн. — 1985. — Т. 37, № 6. — С. 751-756.
49. Самойленко А. М. Об экспоненциальной дихотомии на К линейных дифференциальных уравнений в 1п / А. М. Самойленко // Укр. матем. журн. 2001. - Т. 53, № 3. — С. 356-371.
50. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных / А. М. Самойленко // — Укр. матем. журн. 2002. - Т. 54, № И. - С. 1505-1516.
51. Соболев В. А. Геометрия сингулярных возмущений в вырожденных случаях / В. А. Соболев // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 12. - С. 75-94.
52. Соболев В. А. Траектории утки в одной задаче теории горения / В. А. Соболев, Е. А. Щепакина // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 9. - С. 1175-1184.
53. Соболев В. А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости и траектории-утки / В. А. Соболев, Е. А. Щепакина // Известия РАЕН, сер. МММИУ. 1997. - Т. 1, № 3. - С. 151-175.
54. Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий / В. В. Стрыгин, В. А. Соболев. — М.: Наука, 1988. — 256 с.
55. Трубников Ю. В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. — Минск: Наука и техника, 1986. — 200 с.
56. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М. В. Федорюк. — М.: Наука, 1983. 352 с.
57. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. — М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. Т. 2. - 860 с.
58. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1966. 229 с.
59. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985. — 376 с.
60. Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных / М. А. Шишкова // Докл. АН СССР. 1973. - Т. 209, № 3. -С. 576-579.
61. Щепакина Е. А. Интегральные многообразия, траектории-утки и тепловой взрыв / Е. А. Щепакина // Вестник Самарского гос. университета. — 1995. — Спец. выпуск. — С. 49-58.
62. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости в случае векторной быстрой переменной / Е.А. Щепакина // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, № 10. С. 1358-1364.
63. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости / Е. А. Щепакина // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38, № 11. - С. 1574.
64. Щетинина Е. В. Одна задача о смене устойчивости интегральных многообразий / Е. В. Щетинина // Известия РАЕН, сер. МММИУ. 1999. - Т. 3, № 3. - С. 129-134.
65. Щетинина Е. В. Интегральные многообразия и смена устойчиво-чти / Е. В. Щетинина // VII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. — Дубна, 2000. С.371.
66. Щетинина Е. В. Смена устойчивости интегральных поверхностей / Е. В. Щетинина // Материалы Международного семинара "Нелинейное моделирование и управление". — Самара, 2000. — С. 143-144.
67. Щетинина Е. В. Об управлении в задачах с затягиванием потери устойчивости / Е. В. Щетинина // Материалы Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СамГТУ, 2004. С. 274-275.
68. Щетинина Е. В. Интегральные многообразия и затягивание потери устойчивости / Е. В. Щетинина// Воронежская зимняя математическая школа-2005. Тезисы докладов. — Воронеж: ВГУ, 2005. С. 254-255.
69. Щетинина Е.В. Управление механической системой маятникового типа / Е. В. Щетинина // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки. — 2005. № 33. - С. 85-88.
70. Anderson G. L. Stabilization of Ziegler's pendulum by means of the method of vibrational control / G. L. Anderson, I. G. Tanjbakhsh // J. Math. Anal. Appl. 1989. - Vol. 143, No. 1. - P. 198-223.
71. Butuzov V. F. Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities / V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, K. R. Schneider // J. Math. Sci. 2004. - Vol. 21. - P. 1973-2079.
72. Dumortier F. Canard cycles and center manifolds / F. Dumortier, R. Roussarie // Mem. Am. Math. Soc. — 1996. Vol. 577. — 100 p.
73. Eckhaus W. Relaxation oscillations including a standart chase on French ducks / W. Eckhaus // Lect. Notes in Math. — 1983. — Vol. 985. P. 449-494.
74. Erneux T. Imperfect bifurcation with a slowly-varying control parameter / T. Erneux, P. Mandel // SIAM J. Appl. Math. 1986. - Vol. 46, No. 1. - P. 1-15.
75. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations / N. Fenichel //J. Diff. Equat. — 1979. — Vol. 31. P. 53-98.
76. Gorelov G. N. Mathematical modeling of critical phenomena in thermal explosion theory / G. N. Gorelov, V. A. Sobolev // Combust. Flame. 1991. - Vol. 87. - P. 203-210.
77. Gu Z.-M. On singular singularly perturbed initial value problems / Z.-M. Gu, N. N. Nefedov, R. E. O'Malley, Jr. // SIAM J. Appl. Math. 1989. - Vol. 49, No. 1. - P. 1-25.
78. Guckenheimer J. Numerical computation of canards / J. Gucken-heimer , K. Hoffman, W. Weckesser // Int. J. Bif. Chaos. 2000. -Vol. 10. - P. 2669-2687.
79. Guran A. Stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness / A. Guran, R. H. Plaut // Arch. Appl. Mech. 1993. - Vol. 63, No. 3. - P. 170-175.
80. Handrock-Meyer S. A method to determine the dimension of longtime dynamics in multi-scale systems / S. Handrock-Meyer, L. V. Kalachev, K. R. Schneider // J. Math. Chern. 2001. Vol. 30, No. 2. - P. 133-160.
81. Hale J. Behavior of solutions near integral manifolds / J. Hale, A. Stokes // Arch, ration, mech. and anal. — 1960. — Vol. 6, No. 2. — P. 133 170.
82. Kelley A. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat. 1967. - Vol. 4. - P. 546570.
83. Knobloch H.-W. Singular perturbations and integral manifolds / H.W. Knobloch, B. Aulbach // J. Math. Sci. 1984. - Vol. 18, No. 5. - P. 415-424.
84. Kokotovic P. V. Singular perturbations methods in control / P. V. Kokotovic, H. K. Khalil, J. O'Reily. —• Analysis and design. — New York: Academic Press. — 1986. — 326 p.
85. Krupa M. Relaxation oscillation and canard solution / M. Krupa, P. Szmolyan // J. Diff. Equat. 2001. - Vol. 174. - P. 312-368.
86. Murdock J. A. Perturbations. Theory and Methods / J. A. Murdock.Philadelphia: SIAM, Classics in Applied Mathematics, 27, 1999.- 510 p.
87. Nefedov N. N. On immediate-delayed exchange of stabilities and periodic forced canards / N. N. Nefedov, K. R. Schneider. Preprint No. 872. — Berlin: Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik, 2004. — 17 p.
88. O'Malley R. E., Jr. Introduction to singular perturbations / R. E. O'Malley, Jr. — New York: Academic Press, 1974. — 206 p.
89. Rachinskii D. I. Delayed loss of stability in systems with degenerate linear parts / D. I. Rachinskii, K. R. Schneider // Z. Ana.1. Anwendungen. 2003. — Vol. 22. P. 433 453.
90. Schneider K. R. Hopf bifurcation and center manifolds / K. R. Schneider // Colloquia. Mathematica Soc. Jänos Bolyai. — 1979. — Vol. 30, Qualit. Theory of Diff. Equations, Hungary, 1979. P. 953970.
91. Schneider K. R. On the application of the integral manifolds to Hopf bifurcation / K. R. Schneider // Math. Nachr. 1980. - Vol. 97. -P. 313-323.
92. Schneider K. R. On the existence of perturbed center submanifolds of a class of autonomous differential systems / K. R. Schneider. — Preprint P-Math-26/80 des KWI der AdW, 1980. — 17 p.
93. Schneider K. R. Model reduction by extended quasi-steady-state approximation / K. R. Schneider, Th. Wilhelm //J. Math. Biol.- 2000. — Vol. 408. P. 443-450.
94. Schneider K. R. New type of travelling wave solutions / K. R. Schneider, E. A. Shchepakina, V. A. Sobolev // Math. Methods Appl. Sci. 2003. - Vol. 26. - P. 1349-1361.
95. Schneider K. R. One-parametric families of canard cycles: two explicitly solvable examples / K. R. Schneider, E. V. Shchetinina // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. — 2003. — Vol. 2, Issue 1. P.74-75.
96. Schneider K. Integral manifolds for slow-fast nonautonomous systems without dichotomy / K. Schneider, E. Shchetinina, V. Sobolev. — Preprint No. 948. — Berlin: Weierstrafi-Institut fiir Angewandte Analysis und Stochastik, 2004. — 22 p.
97. Shchepakina E. Integral manifolds, canards and black swans / E. Shchepakina, V. Sobolev // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl.- 2001. Vol. 44A, No.7. - P. 897-908.
98. Shchepakina E. A. Scenario of Loss of Stability in the Ziegler System / E. A. Shchepakina, E. V. Shchetinina, V. A. Sobolev // Proc. of the V Intern. Congress on Math. Mod. — Dubna, 2002. P. 34.
99. Shchetinina E. Loss of stability scenario in the Ziegler system / E. Shchetinina // Proc. of Equadiff Conference, Hasselt, Belgium, July 22-26, 2003. Singapore: World Scientific Press, 2005. - P. 922-925.
100. Shchetinina E. V. On one problem of delayed loss of stability / E. V. Shchetinina //XI Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. — Дубна, 2004. — С. 182.
101. Shchetinina Е. V. On existence of a bounded solution in a problem with a control parameter / E. V. Shchetinina. — Preprint No. 918. — Berlin: Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik, 2004. 10 p.
102. Sobolev V. A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed systems / V. A. Sobolev // System and Control Lett. — 1984. No. 5. - P. 169-179.
103. Ziegler H. Die Stabilitätskriterien der Elastomechanik / H. Ziegler // Ingenieur-Archiv, 1952. — Band XX. — S. 49-56.
104. Young Т. H. Post-flutter analysis of beams subjected to subtangential forces / Т. H. Young, F. Y. Chen // Intern. J. Non-Linear Mechanics. 1993. - V. 28, No. 1. - P. 29-41.
