Интегральные многообразия и траектории-утки в задачах теории теплового взрыва тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЩЕПАКИНА ЕЛЕНА АНАТОЛЬЕВНА

Р Г 6 О Д На правах рукописи

- 5 ИЮН 1395

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТРАЕКТОРИИ-УТКИ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

САМАРА — 1995

Туре»е1 Ьу Лм&ТйХ

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.А.СОБОЛЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.А.КАЩЕНКО

кандидат физико-математических наук,

Г.Н.ГОРЕЛОВ

Ведущая организация:

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится " иН?КЛ. 1995,, в " час на засе_ дании диссертационного совета К 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Самарском государственной педагогическом университете по адресу: 443043 г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан "Л5"" МЛЪЯ- 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

В.АЛЮСОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы.

Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А.Н. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах Буту-зова В.Ф., Васильевой Л.Б. и их учеников. Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены также работы Вишика М.И., Ильина A.M., Кащенко O.A., Красовского H.H., Кэлли А., Ломова O.A., Люстер-ника Л.А., Маслова В.П., Мищенко Е.Ф., Моисеева H.H., Найфэ А.Х., О'Молли, Розова Н.Х., Чанга К., Хауэса Ф. и многих других авторов.

Основное предположение обычно состоит в том, что основной функциональный определи тель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако, во многих прикладных задачах, в частности в задачах химической кинетики, это условие нарушается, и возникают различные критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Кутузова В.Ф., Васильевой А.Б., Волосова В.М., Крейна С.Г., Кононенко Л.И., Нефедова H.H., О'Молли, Соболева В.А., Чернышова К.И.

Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток.

Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Первое упоминание об утках принадлежит, но видимому, Ж.-Л. Калло, М. Дьене, Ф. Дьене (1978). Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Бенуа Э., Горелова Г.Н., Дьене Ф., Дьене И., Звонкипа А.К., Калло Ж.-Л., Колесова А.Ю., Мищенко Е.Ф., Самборского С.Н., Соболева В.А., Треш А., Урлаше Э., Шубина М.А. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений тина уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.

Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова- Митропольского. Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах Бариса Я.С., Задираки К.В., Лыковой О.Б., Митропольского Ю.А., Самойлснко A.M., Соболева В.А., Стокса А., Стрыгина В.В., Фодчука В.И., ХеЙла Дж.

Данная работа посвящена исследованию класса систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и применению полученных результатов для анализа задач теории горения.

Для задач теории горения является характерной высокая скорость тепловыделения при сравнительно низкой скорости расходования горящего вещества. Это различие носит настолько резкий характер для газофазных систем, что явление самовоспламенения приобрело название "теплового взрыва".

Одной из главных задач теории горения является определение критических усло-

пий теплового взрыва. Критичность понимается в следующем смысле: критический режим разграничивает область взрывных и невзрывных режимов. При этом реакция горения будет протекать максимально долго, не срываясь ни в режим взрыва, ни переходя к медленному режиму. Следовательно, с технологической точки зрения, во многих случаях критический режим является наиболее эффективным. Исследованиям критических явлений посвящены работы Бабушка В.И., Гольдштейна В.М., Горелова Г.Н., Грея П., Дубовицкого Ф.И., Кэссой Д.Р., Ли-наиа А., Мержанова А.Г., Семенова Н.И., Соболева В.А., Тодеса О.М., Франк-Каменецкого Д. А.

Цель работы. Изучение вопросов существования траекторий-уток некоторых классов сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построение асимптотических разложений решений-уток с заданными начальными условиями; применение математических результатов к анализу критических условий теплового взрыва в задачах теории горения.

Методы исследования. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Выделены классы сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых получены достаточные условия существования решений-уток и построены асимптотические разложения. Получены асимптотические формулы для критических режимов и критических условий теплового взрыва газа, помещенного в инертную пористую или запыленную среду.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при качественном исследовании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные в диссертации алгоритмы построения асимптотических разложений решений-уток могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений в химической кинетике и теории горения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IV Международном Семинаре "Структура Пламени" (Новосибирск, 1992), иа конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики — Вторые Боголюбовские чтения" (Киев, 1993), на XI Российском Коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Самара, 1993), иа II Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994), на III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Самара, 1994), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж, 1995), на Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" ( Москва-Пущино, 1995), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1995, руководители семинара — проф. В.Ф.Бутузов и проф. А.Б.Васильева), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых

задач. — Понтрягинские чтения VI" и конференции "Современные методы нелинейною анализа" (Воронеж, 1995).

Личный вклад и публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Основные результаты получены автором. В диссертацию включены самостоятельно полученные Щепакиной Е.А. результаты из ее совместной с Соболевым В.А. статьи [1], который предложил постановки задач и методы их решения.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 128 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы. Библиография содержит 98 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит постановку задачи, обоснование ее актуальности. Здесь же приводится обзор литературы, посвященной теме исследования и кратко излагаются содержание и основные результаты работы.

Хорошо известно, что сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(1) ¿-ДЛГ.УДе),

(2) (Г = фГ,Г,(,0,

где X и У — векторные переменные, с — малый положительный параметр, используются для моделирования процессов различной природы. Переменную X обычно называют медленной, а переменную У — быстрой. Основное предположение обычно состоит в том, что

(3) М

где У = Ф(Х, г) — изолированное решение уравнения

С(Х",У,<,0) = 0.

Нарушение условия (3) может привести к возникновению траекторий-уток.

В данной работе однопараметричеекое семейство систем вида (1)-(2) изучается для случая когда ИтХ = 2, ИтУ = 1 методом интегральных многообразий.

В первой главе, состоящей из пяти параграфов, дается обзор результатов исследования интегральных многообразий медленных и быстрых движений, и доказываются теоремы о существовании и асимптотических разложениях решений-уток для специального класса сингулярно возмущенных систем.

Напомним, что под интегральным многообразием системы обычно понимается некоторое множество, состоящее из интегральных кривых этой системы. Интегральное многообразие называется устойчивым, если любая траектория системы, начинающаяся вблизи интегрального многообразия, при возрастании г неограниченно приближается к траектории на многообразии. Если же это имеет место при

ь

г -♦ -оо, то интегральное многообразие является неустойчивым. Интегральное многообразие

называется медленным интегральным многообразием, так как движение по нему осуществляется со скоростями порядка 0(1), в то время как быстрые движения имеют скорости порядка 0(<г').

В первом параграфе дается сводка основных определений и теорем о существовании, устойчивости и асимптотических разложениях функций, описывающих интегральные многообразия медленных движений.

Во втором параграфе вводится понятие траекторий-уток и приводятся основные результаты исследований траекторий-уток систем вида

(4) г = /(х, у, а.)

(5) СУ =5(*,У,<0,

где х, у — скалярные функции времени, с — малый положительный параметр, а - скалярный параметр, ] и ) — достаточно гладкие функции. Множество точек

Г = {(х,у):г(г,у,<1)=0}

фазовой плоскости является медленной кривой системы (4)-(5). Будем считать, что медленная кривая удовлетворяет следующим условиям:

1) Кривая Г состоит из обыкновенных точек, т.е. в каждой точке выполняется неравенство

2) Нерегулярные точки , т.е. точки в которых ^(х,у,а.) = 0, расположены на кривой Г изолированно.

3) Нерегулярные точки являются невырожденными, т.е. в каждой из них выполняется неравенство ф 0.

Определение. Нерегулярная точка 3 кривой Г называется точкой срыва, если в точке 5 имеет место следующее равенство

щ* №№$)№] = 1-

Определение. Участки кривой Г, состоящие только из регулярных точек, называются регулярными. Регулярный участок является устойчивым (неустойчивым), если для всех точек этого участка выполняется неравенство

д')(х,у<а)< 0 (у;(х,у,а)>0).

Устойчивые и неустойчивые участки медленной кривой являются нулевыми приближениями соответствующих устойчивых или неустойчивых интегральных многообразий.

Определение. Траектория системы (4) (5) называется траекторией-уткой, если она проходит непрерывным образом вдоль медленной кривой : вначале вдоль

в

устойчивого участка, а затем вдоль неустойчивого участка, причем оба раза проходятся расстояния длины порядка единицы.

В дальнейшем будем называть траекторией-уткой не всю фазовую траекторию, а лишь ту ее часть, которая лежит в с-окрестности медленной кривой. Траектории-утки могут носить как локальный, так и нелокальный характер. В работах Дьене М., Дьене Ф., Горелова Г.Н., Звонкина А.К., Соболева В.А., Шубина М.А. доказаны теоремы о существовании и асимптотических разложениях локальных и нелокальных траекторий-уток двухмерных систем.

Вопрос существования траектории-утки для трехмерной автономной системы вида (1)-(2) часто сводится к исследованию двухмерной неавтономной системы обычным приемом исключения переменной < и использования в качестве независимой переменной одной из фазовых координат. В связи с этим мы будем использовать термин "траектория" и для вспомогательных систем сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений вида

(6) / = У(г,у,г,а,е)

(7) = 2хг + 2{х, у, г, а, с),

где а — скалярный параметр.

Третий параграф посвящен доказательству теоремы о существовании траекторий-уток систем вида (6)-(7). Пусть функция 2(х,у,2,о,е) имеет вид

(8) г(х, у, г, а, с) = ^(г, у, г) + е(С 4- аС0) + е22(г, у, г, а, е).

Здесь С, С0 — некоторые константы, афункции У(х1у,г,а,с), ^(г.у,г) и £3(а:,у,2,а,е) определены, ограничены и непрерывны в области

П = {хек, у€К, |о + СС0-1|<1/, ее[0,£о]}

и удовлетворяют в этой области следующим условиям

(9)

|У(х, у, г, а, с) - У(г, у, г, а, с)| < М (|у - Я + \г - г|) + р\а - й\

(10)

^(аг.м)! < М\г\

|1

(И) {х,у, г) - 1)1 < М(|*| + \-z\f \у - у| + - (И + |г|) \х - г|

м

(12)

(¡3)

\г2(х, у, г, а, с) - £г(х, у, г, а, <т)| < М(|у - у| + - г|) + р\а - «|,

где М, 1/ — некоторые положительные константы, ¡1 — достаточно малая положительная константа. Медленная поверхность системы (6)-(8) в силу тождества

(2гг + /(г,у,г,а,0)}1=0=0.

описывается уравнением г = 0.

Как известно, в ?-окрестности устойчивого и неустойчивого листов медленной поверхности существуют устойчивое (г < 0) и неустойчивое (х > 0) медленные интегральные многообразия

г = I, у, а, с).

Наличие параметра а позволяет выбрать точку склейки этих медленных интегральных многообразий. Фиксируя точку склейки (0,у*), мы тем самым выделяем траекторию

у = ф(х,л) (#(0,а) = зГ)

на многообразии /1(г,у,а,е), которая, пройдя по устойчивой его части до точки склейки, продолжает движение по неустойчивой части ( зависимость функции ф от с здесь и далее опускается для сокращения записи ). Имеет место

Теорема 1.10 . Пусть выполняются условия (9)-( 13). Тогда существует такое и, что Оля всех £ е (0,ео) существуют а = а'(е) и траектория-утка, проходящая через точку (О, у*) и отвечающая данному значению а. Приведем еще одно утверждение о существовании траектории-утки. Следствие. Пусть функция г(х,у,г,а,<) в уравнении (7) имеет вид

(И) Цх, у, 2, о, е) = у, г) + е3(С + аСо) + у, г, а, ().

и выполните* у слоит (9)-(13). Тогда для системы (6), (7), (Ц) справедливо утверждение теорены 1.10. Обычно условия (9)-(13) выполняются лишь для

М < Г1. М < гз-

В этом случае траектории-утки являются локальными. Для доказательства существования траекторий-уток в этом случае правые части системы продолжаются на х е К, у 6 К с сохранением соответствующих свойств. В качестве примера рассматривается система

(15) ¿ = 1+сХ(1,у,г,£),

(16)

У = К(г, у, г, !!,£■),

(17) сг- 1хг + (х, у, г) + ({С + аС0) + с23(*, у, г, а, с),

з

где функция Х(х,у,г,е) — определена, непрерывна, ограничена в области П и удовлетворяет в этой области неравенству

(18) |у, 2, е) - Х(х, у, i, <)| < Mi (|у - ¡¡\ + \г - ¿|).

Справедливо утверждение

Теорема 1.11. Пусть для системы (15)-(17) выполняются условия (9)-(13), (18). Тогда существуют тате положительные числа £0 я ¡ч, что для всех ее (0,со) и |г| < ri существуют а = a'(t) и траектория-утка, проходящая через заданную точку (0, у*,г*) и отвечающая данному значению а. Напомним, что

у' = ф{О, а'), г* = h(0,y',a',t).

При исследовании конкретных задач центральным становится вопрос о вычислении функции z = h(x,y,a,e), описывающей траекторию-утку, и отвечающего этой траектории значения параметра а. В параграфе 1.4 доказана теорема об асимптотических разложениях решений-уток и значений параметра а по степеням малого параметра с и описан алгоритм нахождения коэффициентов разложений.

Пусть функции Y и X в (6)-(8) имеют достаточное, количество непрерывных ограниченных частных производных по всем переменным. Тогда значение параметра а' и отвечающее ему решение системы могут быть найдены в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра с:

о>о

(19) »=«*,«•) =

¡>о

« = Цх, а',£) = К х,£еЧ«>

\ «>° / '>°

При этом функции У, '¿^ и в силу своих свойств также могут быть представлены в виде рядов по степеням с. Таким образом, система (6)-(8) после подстановки в нее разложений (19) принимает вид

•>и |>1

+ «*У; - - •»1 > . - • • I ^>-1 > а0>.. ■, ),

£ f' = ^ + (*• M + T,f'

ix

■ >u oo

»¡г + Лг

ду дг

Z1(xJ0,i>a) +

¡>2 \ ¡>0 )

(21)

¡>1

7Р)

Положив в систему (20)-(21) е = 0, получим

(22)

(23)

Показано, что

(24)

Из (10), (11) и (24) следует

(25)

Из (22) находим

¿X

2хт/1а + г1(х)ф0,фо) = 0.

фо(х) = 0. (х, 0) = О,

8у

Фо = 1о),

при этом постоянная интегрирования определяется из начальных условий для системы (6)-(8).

Приравнивая коэффициенты при е в первой степени в (20), (21) с учетом (24), (25), получим

= ф1 (х, фо, о, во, 0) + фх — (к, фа, 0, Оо, 0) +

(25)

8у

+Д1— (г, ^0,0, Но, 0), аа

0 = 2хф! + С + а0С0 + г3 (х, фа, 0, а0,0). Из последнего выражения следует

(27)

Мг) = - [С + аоС0 + (х,фо,й,а0,0)]/2г.

Так как в точке склейки интегрального многообразия знаменатель правой части (27) равен нулю, для устранения разрыва функции ^(х) потребуем выполнения условия

(28)

Показано, что оператор К{а), определяемый правой частью (28), имеет единственную неподвижную точку. Подставляя полученные выражения для а0, фа в (27), найдем функцию

ф1 = М*)-

Далее, из (26) находим функцию

ф 1 =

Приравнивая коэффициенты при г2 в (20), (21) с учетом (24), (25), получим

фу

(29)

ЬУ?

(г, Фо, о, До, о) + Уз (г, Фо, Ф\10! . «о, Ш),

^ = 2хф2 + + (*. ¿о, 0, ао, 0)^

дЪ

\х, ф0,0, ао, 0)) + ф! — (х, ф0,0, а0,0) +

ду

822

^(х,^о,0,оо,0) + г® (х,ф0,фиО,Л). 01

Из последнего уравнения следует

Ых) =

- С0с1 - ф1 (®| Фа, 0, Ао, о) - Ф1 (х, Фо, 0. "и, 0) -

(30)

-а, (х, фо,0,ао,0)- ^ (х,ф0,фи 0,0,) ас.

/2х.

Для устранения разрыва функции ^ = ^(х) в точке г = 0 потребуем выполнения условия

¿6(0)

¿X

- <4 (с, + ^(0, ЦО),О,ао, 0)) - (°> ^о(О), о, Оо, 0) -

(31)

л у

-МО)-- (0, #о(0), 0, оо, 0) - г'1' (0, фо(0), ^(0), 0, ^(0)) = 0.

Из (31) однозначно определяется значение ах ( этот факт доказывается так же, как и для уравнения (28)). Далее, из (30) находим функцию ф2 = Мх)> а из (29) — функцию фз = и так далее.

На к-ом шаге получаем следующие уравнения

Мь 8У 9У

¿7 = ^ 4°''а°>+ ^ 87(*'°>а°>+

(32) +01—(с, фо, 0, ао, 0) + П (г, фц,..., фу-1,0.....в0,..., в4-0,

фк{х) -

- а*_1 (Со + — (г, о, ао, 0)1 ~фк-1 — (г, {»о, С,

а0,0)-

~Фк-1 ^ Мо А ад, 0) - ^ (г, ¿о, • • •. ¿1-1,0, • • • > ■-

(33)

(г> ¿0, • • •, 4к -з, о,..., ао, • • • ,111-2)

/2х,

<1фк-,(0) сЬ

■ <4-1 ^са + ^гсмос). о, во, 0)^ -

6г

(34) (О- М»).....¿1-1(0).• • •.*-1(0)) = о,

из которых определяются коэффициенты разложений (19). Имеет место

Теорема 1.12. Пусть выполняются условия теоремы 1.10, и, кроме того, функции У, и ¡2 имеют достаточное количество непрерывных ограниченных частных производных по всем переменным. Тогда решение-утка и отвечающее ей значение параметра а представпмы в виде (Щ.

к

а' = ^¿а; +с*<г1(£),

>=о

к

(35) у = ф(х, а*) = £ + ¿Л, (х,ак,е),

;=о

к

г = ф(х, а', с) = ^¿М^ + ^НЪ'ЧА 1=0

где <ц, Л, — ограниченные непрерывные функции (; = 1,2).

В конкретных задачах обычно задано начальное условие, причем начальная точка лежит в некоторой окрестности устойчивого интегральною многообразия. В параграфе 1.5 описан способ вычисления начального условия траектории-утки при помощи интегральных многообразий быстрых движений, и этот способ применен к системе (6)-(7).

Параграфы 1.1, 1.2 и 1.5 носят в основном реферативный характер.

Вторая глава содержит приложения полученных математических результатов к исследованию структуры предела самовоспламенения в задачах теории теплового взрыва.

При исследовании конкретных задач теории горения и теплового взрыва нередко возникают ситуации воспламенения реакционной среды, находящейся в инертной запыленной или пористой среде. В результате межфазного теплообмена инертная среда прогревается, что приводит к смещению предела самовоспламенения. В качестве примера можно привести ингибирование самовоспламенения порошкообразными составами. Действие ингибиторов заключается в химическом и физическом воздействии на процесс. Физическое действие обусловлено тем, что частицы пыли отбирают тепло из реакционной фазы и, тем самым, снижают скорость реакции.

В параграфе 2.1 описана модель горения газосмеси, помещенной в инертную запыленную или пористую среду. Модель строится при следующих предположениях.

1. Реакция не сопровождается фазовыми превращениями и является одностадийной и необратимой.

2. Физические свойства реагирующего вещества и инертной фазы считаются постоянными, геометрия реакционного сосуда и условия теплообмена на его границе остаются неизменными в ходе реакции.

3. Предполагается однородное распределение температуры и межфазного теплообмена, физически это можно осуществить интенсивным перемешиванием реагирующего вещества.

4. Границы сосуда непроницаемы для реагирующего вещества. Теплообмен осуществляется согласно закона Ньютона

где дс — плотность теплового потока из реагирующего вещества в среду с температурой Тс, х — коэффициент теплоотдачи.

5. В реакционном сосуде нет никаких источников тепла, кроме самой химической реакции.

При этих предположениях система уравнений, описывающая горение газосмеси в инертной пористой (запыленной) среде в безразмерных переменных имеет вид:

?е=*(Т-Те),

(36)

7© = Щехр(в/( 1 + УЗ©)) - о(в - 9С) - 50,

(37)

усвс =а(в-6с),

(38)

4 = *{т!)ех р(6/(1+/?©))

(39)

#) = '7л/(1 + 1?о), ©(0) = ©г(0) = 0.

Здесь Q, 6С - безразмерная температура газа и инертной среды соответственно; т? -глубина превращения; i/n- критерий автокаталитичности, р ну - малые параметры. Слагаемое -6Q характеризуют тенлоотвод во внешнюю среду. Параметр % отражает физические свойства инертной среды. Параметр а характеризует начальное состояние сис темы и полностью определяет динамику процесса.

Рассматриваются два случая:

( 1 - V, № - 0, - случай реакции первого порядка 'f(l) = <

I'i(I --îj), - случаи автокаталитическои реакции.

Одной из основных задач теории горения и теплового взрыва является опреде- . ление динамики реакции при заданных теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, режима теплообмена и коэффициента теплоотдачи. Почти все эти характеристики включают в себя для систем вида (36)-(39) параметр а. По своему физическому смыслу он характеризует отношение интенсивности тепловыделения химической реакции к интенсивности теплоотвода в окружающую среду. В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к затуханию реакции — в этом случае теплоотвод интенсивнее тепловыделения, либо, в случае когда интенсивность тепловыделения преобладает над теллоотводом, температура системы прогрессивно повышается, реакция переходит в режим самоускорения. Последнее явление получило название "тепловой взрыв". Однако, в силу непрерывной зависимости правых частей систем (3G)-(39) от параметра а, между медленными и взрывными режимами должна лежать переходная область, содержащая переходные режимы. При некотором значении параметра а, в дальнейшем называемым критическим, реакция будет протекать максимально долго, не срываясь ни в режим взрыва, ни переходя к медленному режиму, что часто и является целью технологического процесса. Действительно, критический режим, отвечающий критическому значению параметра а, не является медленным, так как разогрев в нем существенно больше единицы и не является взрывным, так как рост температуры сравнительно медленный ( по отношению к росту температуры при тех же значениях температуры для взрывных режимов).

В параграфах 2.2, 2.4 исследуются критические условия теплового взрыва газа, . помещенного в инертную пористую (запыленную) среду, в случае реакции первого порядка при о тсутствии теплоотвода и с учетом теплоотвода во внешнюю среду, соответственно. Показано, что критический режим, разграничивающий область режимов обычного теплового взрыва от области так называемых режимов теплового взрыва с запаздыванием, моделируется траекторией-уткой. Получены первые приближения асимптотических разложений функций, описывающих траекторию-утку, и отвечающею ей критического значения параметра а.

В параграфах 2.3, 2.5 аналогичные исследования проводятся для случая автокаталитической реакции. В этом случае траектории-утки моделируют критический режим, разграничивающий области взрывных и невзрывных режимов, а также переходные режимы.

На защиту выносятся следующие основные результаты автора:

]. Теорема о существовании траекторий-уток для одного класса систем дифференциальных уравнений.

2. 'Георема об асимптотических разложениях решений -уток.

3. Исследование критических режимов и определение условий тепловою взрыва разреженной газосмеси, пометенной в инертную пористую или запыленную среду в случае реакции первого порядка при отсутствии тенлоотвоца и с учетом тепло-отвода во внешнюю среду.

4. Исследование критических режимов и определение условий теплового взрыва разреженной газосмеси, помещенной в инертную пористую или запыленную среду в случае автокаталитической реакции при отсутствии теплоотвода и с учетом те-плоотвода во внешнюю среду.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Соболев В.А., Щепакина Е.А. Самовоспламенение запыленных сред // Физика горения и взрыва. 1993. №3. С. 133-136.

2. Щепакина Е.А. Критические условия теплового взрыва в запыленных средах в случае автокаталитической реакции / Самарский ун-т. — Самара, 1992. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН. 03.12.92. №3437 В92.

3. Щепакина Е.А. Критические условия в двухмерной модели теплового взрыва / Самарский ун-т. — Самара, 1994. - 17 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН. 25.10.94. №2423-В94.

4. Щепакина Е.А. Математическое моделирование в задаче о тепловом взрыве // Математическое моделирование и краевые задачи: Тез. докл. Межвуз. конф. - - Самара, 1994. С. 14.

5. Щепакина Е.А. Програмное управление процессом горения // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. III Международный семинар. — Москва, 1994. С. 41.

6. Щепакина Е.А. Траектории-утки в одной трехмерной задаче // Воронежская зимняя математическая школа — 1995. Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тез. докл. школы — Воронеж: ВГУ, 1995. С. 254.

7. Щепакина Е.А. Сингулярно возмущенная модель самовоспламенения //Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — VI" : Тез. докл. — Воронеж: ВГУ, 1995. С. 80.

8. Shchepakiua Е.А. Duck-trajectories and Modeling of Thermal Explosion Critical Conditions J J Inernational Conference "Mathematics. Computer. Education": Abstracts. — Moscow, 1995. P. 180.

9. Shchepakiua E.A. Duck-trajectories in Three-dimensional Space // Inernational Conference "Differential Equations and its Applications": Abstracts. — Saransk, 1994. P. 134.

10. Shchepakina E.A. Modeling of Critical Phenomena in the Problems of the Com-' bustion Theory // XI Russian Colloquium "Modem Group Analysis and Problems of Mathematical Modelling": Abstracts. — Samara, 1993. P. 147.

11. Shchepakina E.A. Modeling of Critical Phenomena in the Problems of Thermal Explosion for Porous Mediums // Inernational Scientific and Technological Conference "Current Problems of Fundamental Sciences": Reports. —Moscow, 1994. Vol. 1.1.P. 125-129.

12. Shchepakina E.A. Duck-trajectories in Three-dimensional Combustion Model //

Современные методы нелинейного анализа: Тез. докл. конференции — Воронеж: ВГУ, 1995. С. 98-99.

Подписано в печать 22.05.95. Формат 60x84 1/16.

Бумага писчая белая. Объем 1.0. Тирах 100 экз.

Издательство "Самарский университет" 443011, Самара, ул. Акад. Павлова, 1