Новые классы задач интегральной геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/

/ ^ б<1

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

И (. \\ 'и

" у || На правах рукописи

0е/ ^

" ■ -

Бегматов Акрам Хасанович

^. уи ^г- ...........б.;:-;; " "

НОВЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: академик РАН, д.ф.-м.н., профессор М.М. Лаврентьев

Новосибирск - 1998

Содержание

Введение 5

Глава 1. Задачи интегральной геометрии по семействам

парабол 23

§ 1.1. Задача в полуплоскости с весовой функцией

специального вида............................................25

§ 1.2. Оценка одной гармонической меры........................38

§ 1.3. Единственность решения задачи в полосе.

Вспомогательные утверждения............................42

§ 1.4. Устойчивость решения задачи 1.3..........................50

Глава 2. Восстановление функции в полосе через

интегралы по кривым с особенностью в вершине 57

§2.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения . . 59

§2.2. Оценки интеграла ....................................67

§ 2.3. Единственность, устойчивость и формула

обращения....................................................85

§ 2.4. Теорема существования решения..........................96

§ 2.5. Единственность и устойчивость решения задачи

с возмущением........................101

Глава 3. Задачи интегральной геометрии по семейству

конических поверхностей 105 §3.1. Постановка задачи и исследование в пространствах

четной размерности.....................106

§3.2. Нечетномерный случай.................. . 116

§ 3.3. Единственность и устойчивость задачи

с возмущением........................125

Глава 4. Задача обращения лучевого преобразования

с неполными данными 129

§4.1. Постановка задачи. Теорема единственности......130

§ 4.2. Оценка устойчивости.........................135

Литература 143

ВВЕДЕНИЕ

Приведем определение задачи интегральной геометрии [41]. Пусть и(х) — достаточно гладкая функция вй"и {Б (у)} — семейство кусочно-гладких многообразий в этом пространстве, зависящих от параметра у = (уъ .., ук).

Пусть, далее, от функции и(х) известны интегралы

где д(х, у) - заданная весовая функция, - элемент меры на Б [у) . Задача интегральной геометрии есть задача восстановления функции и(х) по известным интегралам от нее, т.е. по функции ${у).

Задачами интегральной геометрии волътерровского типа называются задачи, которые могут быть сведены к исследованию операторных уравнений Вольтерра в смысле определения, данного М.М.Лаврентьевым [65]. Приведем также определения слабой и сильной некорректности задачи интегральной геометрии. Задача реше-

(1)

ния уравнения (1) называется слабо некорректной, если для данных задачи и ее решения можно подобрать такую пару функциональных пространств, в определении нормы которых участвует конечное число производных, что оператор обращения для этой пары пространств непрерывен. Если такой пары пространств не существует, то задача является сильно некорректной. Разумеется, эта классификация М. М. Лаврентьева [67] имеет место не только для задач интегральной геометрии, но и в общей теории некорректных задач. В диссертации рассматривается обобщение понятия слабой некорректности. Слабо некорректными называются также задачи, для которых могут быть получены оценки условной устойчивости степенного типа [26].

Следуя [77], перечислим наиболее важные моменты исследования задачи интегральной геометрии (1).

Это, во-первых, вопрос о единственности решения уравнения (1) в некотором классе функций. Во-вторых, получение оценок устойчивости решения задачи. Учитывая, что широкие классы задач интегральной геометрии являются сильно некорректными, большое значение имеют оценки условной устойчивости. Далее, разработка процедуры восстановления искомой функции, что в общем случае требует создания эффективных вычислительных алгоритмов, в частности, построения регуляризаторов. Особый интерес, разумееется, представляет получение явных формул обращения, т.е. аналитических выражений, представляющих и{х) через /(у). К сожалению, это возможно только в специальных случаях, как правило, при этом многообразия и весовые функции предполагаются инвариантными относительно отображений пространства на себя с достаточно богатой группой автоморфизмов. И наконец, проблема разрешимости, т.е. нахождение не-

обходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция /(?/) , представимая в виде (1).

Интегральная геометрия представляет собой один из важнейших разделов теории некорректных задач математической физики и анализа. Как видно из постановки, задача интегральной геометрии есть задача решения специального интегрального или операторного уравнения 1-го рода. Наиболее полно развитие теории некорректных задач и операторных уравнений и ее многочисленные приложения описаны в монографиях и статьях А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, В. Я. Арсенина, Ю. Е. Аниконова, А. Л. Бухгейма, В. В. Васина, И. В. Мельниковой, В. А. Морозова, В. Г. Романова, В. П. Тананы и др. [6, 8, 31, 35, 37, 48, 49, 65, 70, 77, 78, 100, 101, 108-112].

Задачи интегральной геометрии естественным образом возникают при исследовании многих математических моделей в таких имеющих обширные применения областях, как сейсморазведка, интерпретация данных геофизических, гидроакустических и аэрокосмических наблюдений (см. например, [1, 8, 27, 29, 75, 77,103,104]). Так, например, первые существенные результаты для неодномерной обратной кинематической задачи сейсмики были получены М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [75] при помощи сведения к задаче отыскания функции через ее средние значения по всевозможным окружностям с центром на фиксированной прямой. В дальнейшем существенное продвижение теория многомерных обратных задач получила в работах Ю. Е. Аниконова, А. Л. Бухгейма, А. М. Денисова, С. И. Кабанихина, М. М. Лаврентьева, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. Н. Страхова, В. Г. Чередниченко, В. Г. Яхно и др. [8, 35, 44, 77, 91-93, 107, 103, 104, 124, 129].

При исследовании процессов, описываемых кинетическими уравнениями, большое значение имеет связь обратных задач для таких уравнений с задачами интегральной геометрии. Многие задачи интегральной геометрии эквивалентны соответствующим обратным задачам для кинетических уравнений и наоборот. Отметим работы Ю. Е. Аниконова, Д. С. Аниконова, А. Амирова и др. [2, 4, 8-10].

Задачи восстановления функции по известным интегралам от нее имеют тесные связи с рядом обратных задач фотометрии, т.е. определения некоторых характеристик источника по результатам оптических измерений. Многие обратные задачи такого рода могут быть сведены к изучению соответствующих задач интегральной геометрии. Математическим аспектом обратных задач фотометрии и их связи с задачами интегральной геометрии посвящены работы М. М. Лаврентьева, В. Р. Кирейтова, В. А. Шарафутдинова и др. [52, 71, 72, 76, 122].

Задача интегральной геометрии на линейных многообразиях оказалась тесно связанной с теорией представлений групп Ли, что в значительной степени объясняло интерес к этой задаче. Среди других задач интегральной геометрии наибольшую известность получили задачи на поверхностях второго порядка. Здесь необходимо отметить известные результаты Ф. Йона, Р. Куранта, а также циклы работ И. М. Гельфанда (с соавторами), М. М. Лаврентьева и М. В. Клиба-нова, Г. И. Плаксина, В. Г. Романова, В. И. Семянистого, С. В. Успенского (с соавторами) [39, 41, 42, 47, 54-57, 73, 74, 89, 90, 94, 105, 106, 114-118].

Разработанный в теории задач интегральной геометрии аппарат является математической базой компьютерной томографии — актуального и интенсивно развивающегося направления современной на-

уки. Широко известным примером является задача обращения преобразования Радона [137]. Различные аспекты этой проблемы рассматривались также А. А. Хачатуровым [120], П. О. Костелянцем и Ю. Г. Решетняком [59]. В связи с задачами компьютерной томографии особый интерес вызывает сейчас создание эффективных вычислительных алгоритмов обращения. Изучены различные постановки задач интегральной геометрии по семействам лучей, прямых и к-мерных плоскостей в п-мерном пространстве и соответствующих задач томографии. Получены формулы обращения для преобразования Радона с полными данными, веерного и лучевого преобразований. Здесь следует отметить работы московских математиков (главным образом И. М. Гельфанда и его школы), а также ученых США и европейских стран [30, 39,40, 53, 87, 113, 121, 130, 131, 136]. Аналогичные постановки задач на кривых и поверхностях специального вида менее изучены и представляют особый интерес, т.к. они имеют непосредственные приложения к проблемам медицинской и промышленной томографии.

Внимание к случаям, когда интегрирование ведется по многообразиям более сложной геометрической структуры, было привлечено благодаря уже отмеченной работе М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова [75]. А именно, в этой работе была впервые обнаружена связь между многомерными обратными задачами для дифференциальных уравнений с частными производными и задачами интегральной геометрии. Многообразия, которые возникают при сведении обратных задач к задачам интегральной геометрии, естественным образом связаны с исходным дифференциальным уравнением. Для уравнения с переменными коэффициентами это могут быть достаточно сложные геометрические объекты [95, 97, 103]. В.Г.Романов исследовал вопросы един-

ственности и устойчивости задач интегральной геометрии в случае, когда многообразия имеют вид параболоидов и инвариантны относительно группы всех движений, параллельных (го — 1)- мерной гиперплоскости. Все весовые функции также предполагались инвари-

«_» ТЧ «-»

антными относительно данной группы. В дальнейшем теория задач интегральной геометрии получила существенное развитие в работах Ю. Е. Аниконова, А. Амирова, А. Л. Бухгейма, В. Р. Кирейтова, М. М. Лаврентьева, Р. Г. Мухометова, В. Г. Романова, В. А. Шара-футдинова и др. авторов [3, 6-8, 11, 31-36, 52, 68, 77, 79-86, 94-102, 122]. Отметим также интересные работы Д. С. Аниконова, А. Аса-нова, Акб. X. Бегматова, А. С. Благовещенского [5, 12, 13, 14, 29, 30].

Важные результаты по единственности и устойчивости решения получены для следующих классов задач интегральной геометрии: решение ищется в классах аналитических по части переменных функций; многообразия, по которым ведется интегрирование, аналитическим образом зависят от части переменных (параметров), а также для некоторых постановок задачи Радона с неполными данными. Достаточно общие результаты по единственности и устойчивости "в малом" слабо некорректных задач интегральной геометрии не вольтер-ровского типа в ограниченной области в п-мерном пространстве были получены в работах М. М. Лаврентьева и А. Л. Бухгейма [69, 70]. Аналогичные результаты по единственности и устойчивости задач не вольтерровского типа получены для задачи интегральной геометрии на плоских кривых в ограниченной области, а также на геодезических римановой метрики в п-мерном пространстве (А. Амиров, Ю. Е. Аниконов, Р. Г. Мухометов, В. Г. Романов [3, 8, И, 79-86, 102]).

Более подробно постановки задач интегральной геометрии в ра-

ботах различных авторов будут обсуждаться во вводных частях к каждой главе. Подчеркнем, что приведенный обзор и список литературы ни в коей мере не претендуют на полноту.

Актуальность рассматриваемых в диссертации проблем обусловлена развитием томографических методов, предъявляющих повышенные требования к глубине применяемых математических результатов, тем обстоятельством, что к решению задач интегральной геометрии сводится ряд многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также внутренними потребностями развития теории некорректных задач математической физики и анализа. В работе исследуются вопросы существования и t единственности решения, получения оценок устойчивости и аналитических формул обращения для новых широких классов задач интегральной геометрии и задачи обращения лучевого преобразования с неполными данными. Отметим, что задачи интегральной геометрии по кривым и поверхностям с особенностями в вершине практически не изучены и представляют, на наш взгляд, немалый теоретический интерес.

Перейдем к краткому обзору основных результатов диссертации.

В первой главе рассматриваются задачи интегральной геометрии по семействам парабол. В начале главы предварительно построен пример слабо некорректной задачи на параболах в верхней полуплоскости R/j_ с весовой функцией специального вида, имеющей разрыв. Приведены теорема единственности и оценки устойчивости в пространствах Соболева, а также построено достаточно простое представление решения. Теорема единственности " в малом" и аналогичная оценка устойчивости получена для задачи с возмущением достаточно общего вида. Так, в отличие от известных pall

бот В.Г.Романова не предполагается инвариантности весовой функции возмущения относительно группы параллельных переносов вдоль фиксированной прямой.

Рассмотрим основную постановку 1 главы — задачу интегральной геометрии по семейству парабол в полосе.

В полосе

П = {(х, у) : х £ В,1, у € (0, /), / < оо}; рассмотрим семейство парабол {Р(х, у)} с вершинами в точках (х,у):

Р(х,у) = {(^т]): у-г)=(х-£)\ 0 < г] < у, у < I, I < оо}

Задача 1.3. Найти функцию двух переменных и(-), если для всех (х,у) из О известны интегралы от нее с весовой функцией д(х — 0 = здп(х — £) по параболам /Р(х, у):

I здп(х - У ~(х~ О2)« = /(*, У)- (2)

Т{х,у)

В параграфе 1.3 доказана теорема единственности решения задачи 1.3 в классе непрерывных финитных функций с носителем в О. В указанных работах В.Г.Романова рассматривался существенно более широкий класс задач интегральной геометрии в полосе. Единственность их решения доказывалась путем сведения к системе скалярных интегральных уравнений Вольтерра 1-го, а затем и 2-го рода. Однако этот метод не позволяет выделить классы слабо некорректных

задач, а также получить оценки их устойчивости степенного типа или в пространствах конечной гладкости.

В первой главе разработан новый метод получения оценок условной устойчивости задач интегральной геометрии в полосе путем исследования вспомогательной функции, зависящей от дополнительного параметра ¿(£6 [0,1]). Основной момент заключается в рассмотрении неоднородной задачи Коши

А.

¿у

Ф(у) = Щу) + Фо(у),

ф{ о) = о,

в гильбертовом пространстве функций переменной £ € [0,1], где Ф(у) — элемент этого пространства, зависящий от параметра у, А — интегральный оператор специального вида. Отметим, что А

— несамосопряженный оператор, более того, он даже не является нормальным.

В параграфах 1.2 и 1.3 приводятся также вспомогательные леммы, которые играют существенную роль при доказательстве теоремы 1.7. * В параграфе 1.4 доказывается основной результат первой главы

— оценка условной устойчивости решения задачи интегральной геометрии на параболах в полосе. Оценка устойчивости в теореме имеет степенной вид. Поэтому рассматриваемую задачу можно отнести к слабо некорректным задачам интегральной геометрии.

В определении задачи интегральной геометрии (1) многообразия, по которым ведется интегрирование, обычно предполагаются гладкими. Во второй главе рассматривается задача восстановления функ-

ции в полосе через интегралы по кривым с особенностью в вершине. Единственность ее решения также может быть получена применением преобразования Фурье по первой переменной и сведением к интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода. Как отмечено выше, этот метод не позволяет получить оценки устойчивости решения задачи в пространствах конечной гладкости. Кроме того, не удается доказать и единственность (не говоря уже об устойчивости) задачи интегральной геометрии с возмущениями, неинвариантными относительно группы параллельных переносов.

Введем обозначения:

(х,у) еК2+ = {{х,у) ек2 : у >0};

\eR\p£C(p = pl + ip2);

Q = {(х,у) : х 6 R1, у 6 (0,/),/ < оо};

В полосе О рассмотрим семейство кусочно-гладких кривых {Т(х,у)} с особенностью в вершине (х,у)

Т{х1У) = {{^т}) : (у - rj)2 ^ \х - 0<т?<2/, / < оо}.

Через V(x,y) обозначим часть R+, ограниченную кривой Т(х, у) и осью у — 0.

Задача II.1. Найти функцию двух переменных м(-), если для всех

(х, у) Е О известны интегралы от нее по кривым Т(х,у) :

у

I [гг(х + /г, 7/) -Ь и(х - /г, г])Щ = /0(аг, г/),

о

где Н = (у- г])2.

Задача И.2. Определить функцию гг(-), если для всех (х,у) € П известны интегралы от нее по кривым Т(х, у) и площадям Т>(х,у) с весовой функцией К(-):

где Ь = (у — т/)2, (ж, у) € Я

Функции /о(-) и /(•) предполагаются известными в полосе П. Левая часть уравнения (3) представляет собой совокупность интегралов от искомой функции по кривым семейства {Т(х,у)} с вершинами в точках (ж, у). Уравнение (4) соответствует задаче интегральной геометриии с возмущением.

При исследовании задачи 11.1 существенную роль играет изучение поведения интеграла

у

о

+ // К{х,у,£,71)и{£,г1Щ<1г1 = /(ж, у) 1->[х,у)

(4)

оо

л(р) = /е~ртсов(т2)с/г, ре С (р = х + iу).

о

В параграфах 2.1 и 2.2 получены представления и оценки (как снизу, так и сверху) модуля �