Геометрия гладких функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СЕТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ V БЕЗ КРУЧЕНИЯ И РШАНОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ. ^

§ I. Гиперраспределение А ♦ определяемое гладкой функцией в пространстве аффинной связности V без кручения

§ 2. Отыскание векторного поля У с условием: вдоль интегральных кривых I-распределения А (У) площадки ^^СрО е Ауы переносятся параллельно

§ 3. Сеть

§ 4. Частично V - сопряженные сети •••••••••••••

§ 5. Параллельный перенос площадок AС-х) в римановоы пространстве •••••••••••••••••••••••••••••

§ 6. Некоторые свойства I-распределения

АМ=А(ХД)

ГЛАВА 2. СЕТИ В ЕВКЩОВОМ П. -ПРОСТРАНСТВЕ И СЕТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ У^ , ОПРЕдаШЕШЕ ЗАДАННОЙ ГЛАДКОЙ ФУНКЦИЕЙ.

§ I. Предварительные сведения. Дифференциальные уравнения и объекты, связанные с распределением. Si

§ 2. Параллельное перенесение площадок А^Сэс) вдоль интегральных кривых I-распределения А (5) в пространстве Ец

§ 3. О линиях 1фивиэны гиперповерхности

§

§ 4. Голономность сети S^C^) на гиперповерхности Vft-i и голономность сети в евклидовом пространстве Еи

§ 5. Линии кривизны относительно I-распределения М"У) , вдоль интегральных кривых которого площадки АП1 С^) переносятся параллельно

§ б, (ft-я.) - распределения А^-а » определяемые средней кривизной К и скалярной кривизной И гиперповерхности "V^

Теория многомерных сетей возникла давно. Тензорное изложение этой теории начато Я. С.Дубновым и было продолжено многими учеными - А.Е.Либером и Н.В.Ефимовым, А.П.Норденом, В.И.Шули-ковским, В.Т.Базылевым и др. Почти каждый специальный класс поверхностей несет некоторую специальную сеть.

В последние годы появились многочисленные обзоры и статьи, посвященные вопросам геометрии многомерных сетей* Эта теория нашла применение в работах В.Т.Базылева и развивалась его учениками - А.В.Абрамовым, М.К.Кузьминым, В.А.Тихоновым, Е.К.Сель-дюковым, А.В.Столяровым, Л.П.Гудзь и др.

Одним из направлений, в котором происходит развитие теории многомерных сетей в настоящее время, является отыскание конструктивных способов определения сетей на гладком многообразии.

Основной задачей предлагаемой диссертации является изучение Л. -мерных сетей в пространствах ^п. аффинной связности V без кручения, римановом, евклидовом, определенных с помощью абсолютного инварианта. Для гиперповерхности V3 в евклидовом пространстве Ец , такую задачу рассматривала Гудзь Л. П. / 12 /, / 13 /. Ею рассмотрены некоторые свойства двумерных поверхностей уровня абсолютного инварианта 4 > особенности строения сетей на этих поверхностях уровня, а также изучено взаимное расположение полученной сети и сети линий кривизны гиперповерхности V5 .

Переходим к обзору содержания работы по главам и по параграфам.

- 5

Диссертация состоит из двух глав.

Пусть SC^ - дифференцируемое многообразие класса G с к 7, Z) .Мы будем рассматривать только такую область g- многообразия Х^ , на которой можно задать и семейств <s-L (где i принимает значения от 1 до in ) линий класса Gк , так, что через каждую точку области G- проходит только одна линия каждого из семейств б"1 и л I-направлений, касательные в точке х к этим линиям, порождают касательное пространство к многообразию Ха в точке ос .

Система l^1,6"2, —, fr"-} таких семейств линий называется сетью на дифференцируемом многообразии, точнее сетью в области G- многообразия ЗСП [ 87.

Если многообразие Х^ п -плоскость, то сеть называется плоской.

Исследования в диссертации проводятся методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Картана /"23 У, с привлечением теоретико-группового метода, разработанного Г.Ф.Лаптевым [11].

Цусть в области G- пространства ^J} аффинной связности V без кручения задана гладкая вещественнозначная функция точки 4 CxS ос2, , отличная от постоянной.

Отметим, что, если не оговорено противное, гладкость функции | (осЛ, х2, . j в этой работе понимается в смысле существования производных любого порядка. Как известно, ко вектор d-f-определяет в пространстве гиперраспределение A .

В первом параграфе показано, что гиперраспределение Д^ порождается векторными полями Я ^, которые выражаются соответственно в реперах естественном { j и произвольном i к 1/х' Ф°РмУлами:

ZQ«* к 1 а 1 CL ц 9 to где введено обозначение:

2 =¥*х я. JH к i 1 К к i I) CL К U a СП 7= * J a п. К f • - пфаффовы производные от -f- по, со " , линей

К К \ ные формы ю определяются из условия

UT оцределяются из условия ur(x-L)= где -символ Кронекера. Далее показано, что гиперраспределение Ап.-1 натянуто на первые П.-1 линейно независимые векторные поля когда а репера Г тогда и только тогда, f =о г;а.

1 -JL^

Во втором параграфе найдено векторное поле IT с условием, что вдоль интегральных кривых I-распределения д (у") площадки Д^Сэс) е Д^ переносятся параллельно. Аналогичная задача в аффинном , п. -пространстве была рассмотрена в работе Алшибая Э.Д. £1 7. Пусть F— г]* е . Координаты должны удовлетворять уравнениям: к гл К

Г" 14 Р JN где величины т- , aj>n. выражаются формулами: к ftia

Чи к г rin. -V к* h 5К h гпач к к 4- гВч К а&п

В дальнейшем, мы рассматриваем случай, когда векторное поле Я

L2 не принадлежит гиперраопределению А^

Доказано: чтобы существовало векторное поле У такое, что площадки Afi-ifr^Ari-i параллельно переносятся вдоль интегральных кривых I-распределения Д(у) , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Отдельно рассмотрен случай, когда гиперраспределение А

П-1 натянуто на векторные поля Xd, .^х^ и вдоль интегральных кривых I-распределения площадки

Аи1 Сх) переносятся параллельно. Это будет тогда и тольо ко тогда, когда 0oLri- « и-*, , <,Lj коэффициенты связности V в репере , •

В третьем параграфе изучается сеть S^iV) , образованная линиями кривизны поля IT на интегральных гиперповерхностях Уп-l гиперраспределения Д^ и интегральными кривыми поля У .

Векторные поля и v -сопряжены тогда и только тогда, когда 0 U*a,ri) 6].

Сеть, образованную интегральными кривыми I-распределений Д(Ха) и АСхп.) > назовем частично V^ - соцряженной относительно I-распределения А(ХЛ), если V - сопряжены I-распределения А(ха) и А(ха) для любого п-1 • Верна теорема:

Первые (. и-1) - семейств линий частично V - сопряженной сети относительно одномерного распределения Д(хл) являются семействами линий кривизны относительно I-распределения

Найдены некоторые аналитические условия (требования на функцию ^(х4-, ас2, ., oJ1) ) , которым удовлетворяет функция | , когда интегральные кривые одномерного распределения A(za) определяют линии кривизны относительно одномерного распределения А( У) •

6 пятом параграфе рассматривается собственно риманово пространство V^ , с метрическим тензором д.- . Площадки Ayi-iW гиперраспределения A(xiixz, переносятся параллельно вдоль интегральных кривых I-распределения А ("У) тогда и только тогда, когда координаты \f векторного поля Р" удовлетворяют системе уравнений: f ^ = 0 • Эта система имеет нетривиальные решения при условии lUaiHW-i

В римановом пространстве V^ существует ортогональное направление X гиперраспределения А ( , zz 5. f z nL), но-торое находится из системы уравнений cjy ^ = О , в которых положено gtJ = , ^ > .

В пространстве Y^ выделилось двумерное распределение Д ( х, н) , где X - ортогональное направление к гиперраспределению Д (Х1? . з ХП1] , а вдоль интегральных кривых I-распределения д(д) имеем параллельный перенос площадок А^ • Эти распределения пересекаются по одномерному распределению:

А (и) = А (Х,"У) П А (Х1?ХЯ, ХПА).

Векторные поля X и "У коллинеарны тогда и только тогда, когда rL=-tG-L, где PL - C-i)L~l || ,

L = i.-i)l~L ol-e-t I С)а- || , CUi)

Рассмотрены некоторые частные случаи, когда одно из векторных полей X или У совпадает с векторным полем .

Параграф шестой посвящен изучению некоторых свойств интегральных кривых I-распределения A(U) .

Если интегральные кривые I-расцределения А(и) определяют линии кривизны относительно распределения А С X) , то д( u) /х ~ общая образующая коцусов: ы a и Ь И где положено

6 е ^tia ^ROL a О,

U - 11 Хсх. .

Показано, что интегральные кривые I-распределений А(ха) являются линиями кривизны относительно I-распределения А (х) тогда и только тогда, когда D » 0 .

Рассмотрены случаи: а) I-распределения А(Ха)и А(х) v -сопряжены; б) V -сопряжены I-распределения и А (и) При этом получены соответственно такие аналитические условия: а. u

IL V а* с. а и с, а и. С и г* ha с ^еа + И t Ка « с. 0 в которых векторное поле У принято в качестве поля ,

Если интегральные кривые I-распределения А (и) геодезические, то направление А Iй-} лежит на конусе 11 =

Условие mnc)II 1К 1= mf!3 Иv> *Чг + H'l I является необходимым и достаточным условием того, чтобы двумерное распределение А(Х, У) было вполне интегрируемым, где Су коэффициенты скобки Ли: [ X^Xj] = Х^ [9] .

Во второй главе изучаются сети в евклидовом п. -пространстве и сети на гиперповерхности ^n-i * определяемые заданной гладкой функцией.

В этой главе индексы пробегают следующие значения:

Э, = i,j,K=l,2,.,in-i> а,&,С= 1,2,YI-2.

В первом параграфе изложены в терминах подвижного репера некоторые предварительные сведения из геометрии невырожденного гиперраспределения Д^ы в области евклидова пространства Е tl . Оно определено системой дифференциальных уравнений: А^ из (при условии, что векторы е ) . Условие -f= сопз"Ь расслаивает область

G- на однопараметрическое семейство гиперповерхностей \-± (поверхностей уровня): & = оо1 vri1 а Дифференциальное уравнение гиперповерхности • = 0 • Величину = К ^ Л у называют средней кривизной гиперповерхности УПА в точке хе У^ [ 25

Условие параллельного переноса вектора Н вдоль интегральных кривых I-распределения д (ч) имеет вид:

L —Ъ А Г Л 11" в котором положено И = п. , у = Ч

Дается геометрическая интерпретация ковектора • Обращение в нуль ковектора Л^ является необходимым и достаточным условием ортогональности векторного поля "У ишпер-распределения A .

Если площадки ^ n-i гиперраспределения

Д(е^е^,.,переносятся параллельно вдоль интегральных кривых I-распределения А (и) , У/х ^ А^Сх) , и de-L [ Д || -ф. О , то координаты векторного поля "У" удовлетворяют соотношению вида: C-i^oLe-tll Ц Сж^ж) .

L «К.

По аналогии со случаем риманова пространства У^ в евклидовом пространстве Е^ выделяется двумерное распределение

Л (Xj Н) , где X - ортогональное поле к гиперраспределению А * а вД°ль интегральных кривых I-распределения h [У) площадки д^ переносятся параллельно.

Если векторное поле , порождающее I-распределение

- 12

A[U)= п Лvы » коллинеарно векторному полю , то выполняются равенства:

А* II = «И At\I- - - <Wl A^J- 0 Сэ1а=^ а).

В третьем параграфе рассмотрены линии кривизны гиперповерхности, Когда точка эс. смещается вдоль интегральной кривой I-распределения А(и) (на гиперповерхности), то система интегральных кривых 1-распределения А (.и) на гиперповерхности определяется уравнениями:

1 а 1 a п оо — в u ^ из = 0 ? где 0 некоторая I-форма и й9=£лЬ1в Для того, чтобы интегральные кривые I-распределения /Siu) =. а с-е^, П & были линиями кривизны относительно ортогонального направления д(х) гиперраспределения а , необходимо и достаточно, чтобы

2 c-i)"1 К; = п. ), где - простой корень уравнения de-t || A - j> ^ Ц = 0 .

В четвертом параграфе изучается голономность сети Се^) - сети линий кривизны относительно нормального I-распределения АС-е^) на гиперповерхности V, а также голономность полученной сети в евклидовом пространстве •

Пространство отнесено к ортонормированному реперу = { } , построенному на касательных к линиям сети = { 2Н, в точке ^ , где - семейство интегральных кривых поля ортогонального направления х гиперраспределения А ^ . Необходимым и достаточным условием сопряженности направлений Щ и е>. на гиперповерхноп ^ сти Vft-i является равенство: Л у = 0 U^j) •

Чтобы ортогональная сеть была голономной в пространстве Е ^ , необходимо и достаточно, чтобы сети

Ох) -линий кривизны были голономны на гиперповерхностях ex) , осе д О) •

Невырожденность гиперраспределения A rii геометрически означает, что ни одно из направлений кривизны относительно & (х) не может быть асимптотическим.

Исследуя голономность сети (Jf^) на гиперповерхности , получены уравнения

Ав-ла.)и!.« л" , (л"-л;)аUA* jj U 1 JJ i-JJ ; V JJ IL / JL LjL Лл.-Лл.) CL = A«fc (Nj^^i)

4 Jj u ' J К A где симметричны по всем нижним индексам и найдены при внешнем дифференцировании уравнения lo^A^w^ с примененная леммы Картана. Могут представиться следующие различные случаи: а) Если A^f лЦ и сеть 2 п± С-е^) - линий кривизны голо-номна, то 0 ( -различны), б) Гиперповерхность

V d-L является гиперсферой тогда и только тогда, когда для сети ^лп-L ^п) - линий кривизны относительно 1-распределения выполняется условие: Л^ =Л<?'. (Lj

JJ

Условие: является необходимым и достаточным условием того, чтобы интегральные кривые I-распределения Д (И) , ( i -фиксировано) были линиями кривизны относительно I-распределения ДСх) Далее рассмотрен случай, когда интегральные кривые 1-рас-пределения A(U) , где ^e^(U), являются геодезическими. Это будет при условии, когда

U,K= irL)~X ск"Ы А* 1 = 0 О* K^d.) ltk и компоненты тензора 1фнвизны iil^^ гиперповерхности обращаются в нуль, если хотя бы один из иццексов равен единице. Геодезические линии I-распределения М^О будут плоскими тогда и только тогда, когда

В пятом параграфе изучены линии кривизны относительно I-распределения Д(У) , где вдоль интегральных кривых распределения /А[У) площадки Ду^Са.) переносятся параллельно.

Цусть в пространстве It ^ задана частично голономная сеть '21 ^ и векторы ^ репера R.X взяты на касательных к линиям сети Тогда отыскание линий кривизны относительно 1-рас пределения сводится к рассмотрению уравнения: oUti Aj + 1= О,

3 Э А ; n LP . П L/nK.U а£ R L К L \ где = а^оз , Aj= U Лр.+ Ч 1 AJK+ ч ^-(уч %),

ТК

И, наконец, последний шестой параграф посвящен (переопределениям, определяемым средней кривизной М и скалярной кривизной Я гиперповерхности V^ • Одна функция ^ , отличная от постоянной, на гиперповерхности задает семейство подмногообразий f = const . Получены дифференциальные уравнения (д-х) -мерных поверхностей уровня Vnx(M) и соответственно в вде:

Ц .П К »l ij?ll к , и

W ю = о J rR. где введено обозначение: л-л) -распределение Лпг С м) Л (^ , , . э r*i пх) и определяемое уравнениями оо — D, 0 и (.Уьг) -распределение ^ —^ ^

АС-^, 3 ^ ., ^п-з^) определяемое системой Пфаффа и) =• О (о/ — й-1., п.) совпадают тогда и только тогда, когда vi-г) -распределения (14) и Ay^Cft) в общем случае пересекаются по lin-2>) -распределению А^ (Л* 5) и оно вполне

-16 интегрируемо, как пересечение интегрируемых распределений.

Если все поверхности минимальные, то интегральные кривые векторных полей ^ С n-i) не могут быть асимптотическими. и апхсй.) совпадают тогда и толь

Распределения ко тогда, когда х у i л

АЧ

Л Л п. п trncL Л А п. рс^а-1 R irVlVl-1 Л а lm а а А а

Г1-1

П it jtn к к 1 А а р«уа Лп a Л а а пjraa-i с В этой слуше, Следовательно^поверкности

V. не определяются как пересечение Vn.jM) и Vn (ft) • В частности, это будет тогда, когда гиперповерхность удовлетворяет условию к = СМ) , где ^ - гладкая функция (обобщение поверхности Вейнгартена

Vs. в пространстве Е3 ).

Нумерация формул, теорем внутри одной главы производится по следующему принцицу: первая цифра обозначает номер главы, а вторая цифра - номер формулы или теоремы.

Основные результаты диссертации систематически докладывались на научном семинаре по дифференциальной геометрии в Московском государственном педагогическом институте имени В.И.Ленина и на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Казахского педагогического института имени Абая.

Результаты предлагаемой работы оцубликованы в статьях / 28 /, /29 /, /30 /, / 31 /.

1. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., - М., 1974, № 5, с.169-- 193.

2. Базылев В.Т. Об одном классе многомерных поверхностей. Изв. высш. учебн. заведений. Математика. М., 1961, I, с. 27-35.

3. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве, ^ie-fc. matero.- TiriUrujS . Лит. мат. сб., 1966, 6, № 4,с. 475-491.

4. Базылев В.Т. О многомерных сетях и их преобразованиях. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ.,- М., 1965, № 3, с. 138-164.

5. Базылев В.Т. Сети на многообразиях. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., М., 1974, № 6,с. 189-205.

6. Базылев В.Т. О V -сопряженных сетях в пространстве аффинной связности. Изв. высш. учебн. заведений. Математика, -М., 1974, № 5, с. 25-30.

7. Базылев В.Т. Об одном замечательном классе сетей. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., М., 1975, № 7, с.105-116.

8. Базылев В.Т. К геометрии плоских многомерных сетей. Уч. зап. МГПИ им.В.И.Ленина. Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии. М., 1965, с. 69-95.

9. Базылев В.Т. Материалы по геометрии. I, П. М., Изд-во МГПИ им.В.И.Ленина. 1978, 102 с.

10. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., Мир, 1967, 336 с.

11. Громол Д., Клингенберг В., Мейер Р. Риманова геометрия в целом. М., Мир, 1971, 346 с.

12. Гудзь Л.П. Об одном классе ортогональных сетей на гиперповерхности четырехмерного евклидова прострннства. Геометрия погружен, многообразий. М., 1972, с. 39-45.

13. Гудзь Л.П. О некоторых свойствах трижды-сопряженных систем в четырехмерном евклидовом пространстве. Межвузовский (республиканский) тематический науч. сб. ЛГПИ им.А.И.Герцена, Л., 1975, № 4, с. 26-35.

14. Дубнов Я.С., Фукс С.А. О пространственных аналогах чебы-шевской сети. ДАН СССР, 1940, 28, № 2, с. 102-104.

15. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрическое приложение. Изд-во МГУ. М., 1962, 306 с.

16. Кузьмин М.К. Сети, определяемые распределениями в евклидовом пространстве Е ^ и их обобщения. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ. М., 1971,3, с. 29-48.

17. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Тр. Моск. мат. об-ва, М., 1953, № 2, с.275-382.

18. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голона-мии. Изд-во иностр. лит. М., I960, 216 с.

19. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., - Наука, 1976, 432 с.

20. Схоутен И.А., Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. П. М., Изд-во иностр. лит., 1948,348 с.

21. Тихонов В.А. Ступенчато-чебышевские сети на многомерных- 128 поверхностях аффинного пространства. Дифференц. геометрия многообразий фигур, вып. 7, Калининград, 1976, с. I19-129.

22. Тихонов В.А. Сети, определяемые гиперраспределениями в аффинном пространстве и их обобщения. Тр. Геометр, семинара. Всес. ин-т науч. и техн. информ., М., 1977, № 8, с.197-223.

23. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М., Гостехиздат, 1948, 482с.

24. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. Изд-во иностр. лит. М., I960, 560 с.

25. Щршковский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. -М., Физматгиз, 1963, 540 с.

26. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. Изд-во иностр. лит., -М., 1948, 316 с.

27. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., Мир, 1964, 534 с.

28. Нурпейсов Ж. Геометрия гладких функций. В кн.: Алгебра и теория чисел. Алма-Ата, 1978, с. 51-57.

29. Нурпейсов Ж. К геометрии интегрируемых распределений. В кн^.: Актуальные проблемы преемственности в обучении математике. Алма-Ата, 1980, с. 76-80.

30. Нурпейсов Ж. К геометрии распределений на римановом многообразии. Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1981, вып.12, с. 56-60.

31. Нурпейсов Ж. К геометрии интегрируемых распределений в евклидовом пространстве Е ^ . Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982, вып. 13, с. 71-76.

32. Teodoi^scu У. IV. ? U^escu. G-k. №. £х-ЦгЫечеа unn -teoieme .din. teoiloi supiafetetoi. „Stuolu. сечсе-taii mdt. Acad Rsr", 1966, 18, №1, c. 157-160.