Конструкции дискретных многозначных групп и их приложения к теории симметрических графов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

I. Предварительные сведения.

§ 1. Основные определения теории многозначных, групп.

1.1. Многозначные группы и связанные с ними алгебры.

1.2. Гомоморфизмы многозначных групп. Косетные группы и их свойства.

1.3. Бикосетные С-алгебры.

1.4. Однопорождённые многозначные группы.

§ 2. Необходимые определения из теории графов.

2.1. Графы и псевдографы.

2.2. Симметрические графы. Универсальные симметрические графы.

2.3. Примеры симметрических графов.

§ 3. Многообразия алгебр .,.:.

3.1. Многообразия структур ассоциативных алгебр.

3.2. Примеры многообразий структур ассоциативных алгебр.

II. Линейная деформация дискретных групп.

§4. Конструкция линейной деформации групп. Однородные деформации

§ 5. Линейные деформации групп Z3, Z4 и Z2 0Z2.

§ 6. Классификация однородных деформаций циклических групп.

§ 7. Классификация однородных деформаций конечных абелевых групп

§ 8. Конструкции многозначных групп, основанные на линейной деформации.

III. а-Расширения однопорождённых многозначных групп.

§ 9. Симметрические графы и G-расширения бикосетных групп.

9.1. Симметрический граф бикосетной группы.

9.2. Первая бикосетная алгебра симметрического графа.

9.3. Вторая и третья бикосетные алгебры симметрического графа.

§ 10. Диаграммы.

10.1. Диаграммы симметрического графа.

10.2. Диаграммы и бикосетные алгебры.

10.3. Альтернативное определение диаграммы Дг(Г, G).

10.4. Д-Последовательности.

§11. Диаграммный анализ.

Содержание

11.1. Обоснование метода диаграммного анализа.

11.2. Граф С7.

11.3. Слабая задача диаграммного анализа для графа ^(Кз^) и его полной группы автоморфизмов.

11.4. Полная задача диаграммного анализа для графа ^(Кз^) и его полной группы автоморфизмов.

11.5. Восстановление представлений алгебры Лз

11.6. Восстановление алгебры Я\.

11.7. Восстановление алгебры Я-i.

§ 12. Универсальные объекты категорий однопорождённых бикосетных групп с эрмитовыми образующими.

12.1. Конструкция универсальных, объектов.

12.2. Примеры универсальных объектов.

§ 13. Комбинаторная деформация многозначных групп.

13.1. Комбинаторная деформация. Общие замечания.

13.2. Конструкция комбинаторной деформации.

13.3. Примеры.

IV. Конструкции многозначных групп.

§ 14. Обзор конструкций многозначных групп.

§ 15. Некоммутативные многозначные группы.

Предметный указатель.

О теме работы

Теория многозначных трупп впервые возникла в работах В. М.Бухштабера (см. [5, 7, 9, 10]) и сразу получила ряд важнейших приложений, в частности, в теории многозначных динамических систем с дискретным временем ([8]) и алгебраической комбинаторике ([6]).

Обобщения понятия группы с многозначным умножением возникали под разными названиями и ранее. Таковыми, в частности, являются (обобщенные и обычные) гипергруппы ([20, 24]), табличные алгебры ([2]). Отличие многозначных групп от остальных обобщений состоит в том, что результат произведения двух элементов группы есть не просто мультимножество элементов группы, а мультимножество фиксированной мощности, постоянной для всех пар элементов группы (подробности см. в разделе 1.1). Это условие позволяет получить содержательную теорию.

В теории многозначных групп одной из основных является задача характеризации тех многозначных групп, которые допускают косет- или бикосет- структуры, т.е. допускают описание в виде факторпространств обычных групп (см. подробные определения в разделе 1.2).

Эта задача связана с важной проблемой алгебраической комбинаторики, заключающейся в распознавании С-алгебр, возникающих из схем отношений ([14]). В работе [6] показано, что категория конечных инволютивных многозначных групп и категория комбинаторных алгебр эквивалентны. (Комбинаторные алгебры представляют собой С-алгебры специального вида.) При этой эквивалентности каждой бикосет-группе отвечает С-алгебра, соответствующая некоторой схеме отношений.

Отметим, что принципиальным отличием многозначных групп от обычных является нетривиальность теории многозначных групп с одним образующим — однопорождённых групп. Такие группы играют важную роль в теории многозначных динамических систем с дискретным временем ([8, 11, 12]). Однопорождённые бикосетные группы с эрмитовыми образующими специального вида при эквивалентности из работы [6] отвечают Р-полино-миальным схемам отношений, задаваемым дистанционно-транзитивными графами (см. [4]). Возникающее при этом соответствие дистанционно-транзитивный граф —> однопорождённая бикосетная группа с эрмитовым образующим специального вида допускает естественное продолжение на симметрические графы, которым отвечают однопорождённые бикосетные группы с образующими произвольного вида. Таким образом, задача характеризации косетных и бикосетных групп оказывается связанной с проблемой классификации симметрических и дистанционно-транзитивных графов, а также близких к последним дистанционно-регулярных и строго-регулярных графов (см. [3, 13]). В приложениях многозначных групп в теории многозначных динамических систем с дискретным временем симметрические графы естественно возникают как орбиты точек: результаты, связывающие многозначные группы и графы, позволяют оценивать мощность орбиты точки через данное число итераций системы ([8]).

Краткий перечень результатов

Основными результатами настоящей работы в области теории многозначных групп являются следующие.

1. Разработана конструкция линейной деформации, позволяющая построить значительный класс многозначных групп, не допускающих бикосет-структуру. В основе конструкции лежит рассмотрение групповой алгебры n-группы на множестве из т элементов как точек многообразия всех ассоциативных алгебр с т образующими, используя каноническое вложение этого многообразия в пространство структурных констант. Групповая алгебра группы деформируется вдоль прямых, лежащих в этом многообразии. Деформация структуры обычных групп уже в случае небольшого порядка приводят к нетривиальным примерам многозначных групп. Для групп Z3, х Ъг и Z4 описаны все их линейные деформации. Для абелевых групп подробно рассмотрена конструкция однородной деформации — специального частного случая линейной деформации, — для которой получен ряд классификационных результатов.

2. Изучена структура множества однопорождённых инволютивных бикосетных групп с эрмитовыми образующими и показано, что оно естественным образом представимо в виде объединения некоторого множества категорий (параметризуемых парами (r,G), где Г — универсальный симметрический граф, a G — его группа автоморфизмов), каждая из которых обладает универсальным отталкивающим объектом. Разработан подход к задаче вычисления этих универсальных объектов. Используя этот подход, найдены универсальные объекты категорий, отвечающих графам небольшой валентности.

3. Введён класс многозначных групп с с-расширениями, включающий в себя класс бикосетных групп. (Подход здесь заключается в рассмотрении многозначных групп как объектов с особенностями по отношению к обычным группам. С этой точки зрения бико-сетные группы являются объектами, допускающими полное разрешение, а а-расширения групп, у которых они имеются, — частичными разрешениями особенностей.) Предложен метод, позволяющий находить о-расширения универсальных объектов категорий однопорождённых бикосетных групп с эрмитовыми образующими (см. пункт 2). С помощью этого метода вычислены а-расширения нескольких однопорождённых групп.

4. Построена конструкция комбинаторной деформации, позволяющей по исходной од-нопорождённой бикосетной группе с эрмитовым образующим получать многозначные од-нопорождённые группы с эрмитовым образующими, обладающие а-расширениями. Принципиальное отличие этой конструкции от конструкции линейной деформации заключается в том, что если линейная деформация даёт многозначные группы общего положения, то комбинаторная деформация — только бикосетные группы и группы к ним близкие.

Пункты 2-4 этой программы основаны на указанной выше связи между симметрическими графами и многозначными однопорождёнными бикосетными группами с эрмитовыми образующими. При их выполнении были получены следующие результаты в теории симметрических графов.

1. Разработана конструкция универсального симметрического графа как наибольшего, в правильном смысле, графа с данным графом единичных сфер.

2. Введено понятие А-последовательности симметрического графа — специальной характеристики комбинаторики этого графа, а также его свойств как пространства с действием дискретной группы. Разработан метод, позволяющий восстанавливать А-последовательности универсальных симметрических графов, с данным графом единичных сфер, и, таким образом, описывать множества симметрических графов с данным локальным устройством.

Содержание работы Глава I. Предварительные сведения

Эта глава содержит базовые определения и конструкции, используемые в основном тексте диссертации. Среди них есть как извертные, так оригинальные, разработанные в рамках настоящей работы.

1. М.Ашхбахер. Конечные простые группы и их классификация. УМН, 36 (1981) №2, р. 141-172.

2. Z. Arad, Н. Blau. On table algebras and aplications to finite group theory. J. of algebra, 138 (1991), p. 137-185.

3. A. E. Brouwer at al. Distance-regular graphs. Berlin ets. Springer-Verlag, 1989.

4. B.M. Бухштабер. Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы. УМН, 45 (1990) №3, с 185-186.

5. В.М.Бухштабер, A.M.Вершик, С.А.Евдокимов, И.Н.Пономаренко. Комбинаторные алгебры и многозначные группы. Функц. ан. и его прил. 30 (1996) №3, с. 12-18;

6. В. М. Бухштабер, Е. Г. Рисс. Многозначные группы и гс-алтебры Хопфа. УМН 51 (1996) №4, с. 149-150.

7. V. М. Buchstaber, А. P. Veselov. Integrable correspondes and algebraic representations of multivalued groups. Int. Math. Res. Not., 8 (1996) p. 381-400;

8. V.MBuchstaber, E.G.Rees. Multivalued groups, their representations and Hopf algebras. Transformation Groups, 2 (1997) №4, p. 325-349.

9. V.MBuchstaber, E.G.Rees. Multivalued groups, n-Hopf algebras and n-ring homomorphisms. In book: Lie groups and Lie Algebras. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1998, p. 85-107.

10. А. П.Веселов. Интегрируемые отображения. УМН, 46 (1991) №5, p. 3-45.

11. А.П.Веселов. О росте числа образов точки при итерациях многозначного отображения. Мат. заметки, 49 (1991) №2, р. 3-45.

12. R. М. Damerell. Distance-transitive and distance-regular dighaphs. J. of combinatorial theory, ser. B, 31 (1981), p. 46-53.

13. С.А.Евдокимов, И. Н.Пономаренко, А. М.Вершик. Алгебры в планширелевой двойственности и С-алгебры. Функц. и его прилож. XXXI (1997) №4.

14. В.А.Евстигнеев, В.Н.Касьянов. Толковый словарь по теории графов. Новосибирск, «Наука», 1999, 291 с.

15. X. L. Hubaut. Strongly regular ghaphs. Discrete Mathematics, 13 (1975), p. 357-381.

16. Kenneth A. Ross, Darning Xu. Hypergroup deformation and Markov chains. J. of theoretical probability, 7 (1994) №4, p. 813-830.

17. А. Ю. Лазарев, M. В. Мовшев. Деформации алгебр Хопфа. УМН, 46 (1991) №1, с. 211— 212.

18. С. W. Н. Lam. Distance transitive dighaphs. Discrete Mathematics, 29 (1980), p. 265-274.

19. G. L. Litvinov. Hypergroups and hypergroup algebras. J. Soviet math., 38 (1987), p. 1734— 1761.

20. G. Mazzola, The algebraic and geometric classification of associative algebras of dimension live. Manuscripta math., 27 (1979) p. 81-101.

21. J. Stillwell. The story of the 120-cell. Notes of the AMS, 48 (2001) №1, p. 17-24.

22. В.И.Трофимов. Графы с полиномиальным ростом. Мат. сборник, 123 (1984) №3, р. 407-419.

23. N. J. Wildberger. Lagrange's theorem and integrality for finite commutative hypergroups with applications to strongly regular graphs. J. of algebra, 182 (1996), p. 1-37.

24. Ф.Харари. Теория графов. M.: «Мир», 1973, 300 с.

25. П. В. Ягодовский. Деформация многозначных групп. УМН 52 (1997) №3, с. 179-180.

26. П. В. Ягодовский. Линейная деформация дискретных групп и конструкции многозначных групп. Известия РАН, сер. мат., 64 (2000) №5, с. 197-224.

27. П. В. Ягодовский. Однородные деформации дискретных групп. Записки научных семинаров ПОМИ, 266 (2000), с. 330-335.

28. П. В. Ягодовский. Представления многозначных групп на графах. Успехи мат. наук, 57 (2002) №1, с. 181-182.