Почти ∆-расслоения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Рыжкова Алла Владимировна

ПОЧТИ А-РАССЛОЕИИЯ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшей алгебры механико-математического факультета Нижегородского государственного университета имени Н.И.Лобачевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Яковлев Евгений Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Степанов Сергей Евгеньевич,

доктор физико-математических наук, профессор Шурыгин Вадим Васильевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М.В.Ломоносова

Защита состоится 1 декабря 2004 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ им. Н.Г.Чеботарева, ауд. 324. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета. Автореферат разослан ¿0) ОкЛЛф^ 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ. - мат. наук, доцент

М.А.Малахальцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть В - гладкое многообразие, д - рима-нова или псевдориманова метрика, Г - замкнутая 2-форма на В и и : В —» К - гладкая функция. Тогда четверку Г = (В,д,Р,и) называют гироскопической системой. Как показано СП. Новиковым1, анализ ряда задач математической физики приводит к рассмотрению гироскопических систем с многозначным функционалом действия. Если индекс иррациональности формы гироскопических сил Г такой системы конечен, то преодолеть некоторые из возникающих трудностей удается с помощью главного расслоения для которого базой является конфигурационное многообразие В, а структурной группой - тор Тк. Тесная связь таких главных расслоений и гироскопических систем описана в работах М.П. Харламова2, Я.Л. Шапиро, В.А. Иго-шина, Е.И. Яковлева 3456, СВ. Болотина7. Подобные конструкции исследовались Б.Н. Шапуковым 8.

Предположим, что интересующая нас гироскопическая система обладает конечной группой симметрии Д, то есть инвариантна относительно некоторого действия К: В X А В. Настоящая работа посвящена построению и исследованию категории расслоений, ассоциированных с такими системами. Мы называем такие расслоения почти Д-расслоениями. Показано, что в этом случае группа Д оказывается группой многозначных автоморфизмов для расслоения, т.е. действие Я поднимается на тотальное пространство многозначным образом.

Новиков СП. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН 1982. Т. 37, вып. 5. С. 3-49

Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: ЛГУ. 1988.

Игошин ВА., Шапиро Я.Л., Яковлев Е.И. Об одном приложении геодезического моделирования дифференциальных уравнений 2-го порядка. // Математические заметки. 1985. Т.38, Вып. 3. С.429-439.

Яковлев Е.И. Двухконцевая задача для некоторого класса многозначных функционалов. // Функциональный анализ и его приложения. 1990. Т.24, вып.4. С.63-73.

Яковлев Е.И. Геодезическое моделирование и условия разрешимости двухконцевой задачи для многозначных функционалов // Функциональный анализ и его приложения. 1996. Т. 30, вып. 1. С. 89-92

Яковлев Е.И. О существовании решений двухточечных краевых задач для гироскопических систем релятивистского типа // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, вып. 2. С. 256-271

Болотин СВ. Замечание о методе Рауса и гипотезе Герца // Вест МГУ, сер. матем.-мех. 1986. Вып. 5. С. 51-53

Шапуков Б.Н. Редукция гамильтоновых систем с циклическими координатами и прозкти-руемость в расслоениях. // Тр. геом. семин.

юсшм—

-гг^гг

Таким образом, рассматриваемая задача связана с вопросом о поднятии действия группы с базы расслоения на его пространство, - см., например, работу Т.Е. Stewart 9.

Характеристическим свойством расслоений с многозначными автоморфизмами является то, что они обладают инвариантными связ-ностями. Исследованием инвариантных связностей относительно однозначных автоморфизмов занимались, например, Н.С. Wang 10, К. Nomizu

В диссертации почти Д-расслоения исследованы вплоть до классификации. В связи с этим отметим, что классификация главных расслоений со структурной группой Т была получена Sh. Kobayashi 12 Ассоциированные с ними комплексные векторные расслоения исследовались в работе К. Kodaira, D.S. Spenser 13(см. также 14).

Е.И. Яковлевым15 с несколько иной точки зрения рассматривались почти А-расслоения, для которых действие группы Д на базе В свободно. В этой ситуации пространство орбит В/А является гладким многообразием, а фактор-отображение v : В —» В/А - регулярным накрытием. Если р : Е —> В - проекция расслоения то - проекция локально-тривиального расслоения со стандартным слоем и многозначными функциями перехода

со значениями в той же группе Д X Тк. Такие расслоения названы в указанной выше работе почти главными.

В данной работе действие группы Д на В предполагается произвольным, что существенно расширяет множество объектов изучаемой категории. Кроме того, инварианты почти Д-расслоений здесь строятся в терминах гомологии базы В, а не пространства орбит

Целью работы является решение следующих задач:

Stewart Т.Е. Lifting group actions in fibre bundles // The Annals of Mathematics. 1961. V.74.P.192-198.

Wang H.C. On invariant connections over a principal fibre bundles // Nagoya Math. J. 1958. V.13. pp.1-19.

Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1,2. М.: Наука. 1981.

Kobayashi S. Principal fibre bundles with the 1-dimensional toroidal group// T6hoky Math. J. 1956. V. 8. P. 29-45.

14

Kodaira K., Spenser D.S. Groups of complex line bundles over compact Kahler manifolds // Proc. Nat. Acad. Aci. USA. 1953. V.39. P.868-872.

14 Чжонь Шен-Шень. Комплексные многообразия. М.: ИЛ.1961.

15Яковлев Е. И. Почти хлавные расслоения // Матем. сборник. 1999. Т. 190, Вып. 9. С. 151-176

1) построение категории К.(В,Тк,А,В) главных расслоений с базой В, абелевой структурной группой Тк, ассоциированных с гироскопическими системами, обладающими конечной группой преобразований (Д, Я), а также содержательных примеров таких расслоений;

2) нахождение инвариантов объектов категории К,(В, Тк, Д, Я);

3) классификация почти Д-расслоений с заданными базой В структурной группой Тк и действием Я конечной группы Д на В

4) поиск условий, при выполнении которых класс эквивалентности почти -расслоений содержит обычное -расслоение.

Методы исследования. Использованы методы дифференциальной геометрии, топологии многообразий, алгебраической топологии и теории компактных групп преобразований.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Построена категория почти Д-расслоений, т.е. главных расслоений со структурной группой Тк, обладающих конечной группой Д многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы относительно конечной группы преобразований равносильна существованию почти -структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве Е относительно многозначного действия группы Д. Построены содержательные примеры почти -расслоений.

2. Получена классификация почти Д-расслоений с фиксированной базой В, структурной группой Тк и заданным действием Я группы Д на В, т.е. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологий и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа

классов эквивалентности.

3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти Д-расслоение эквивалентно в данной категории обычному Д-расслоению. В результате найдена подгруппа ЗВ(В,Тк,А,Я) группы каждый элемент .которой содержит расслоение. На конкретных примерах показано, что в общей ситуации - собственная подгруппа группы

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях расслоений, для изучения систем с гироскопическими силами, а также в учебном процессе.

Научная новизна. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми.

Апробация. Описанные результаты были обнародованы на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003г.), на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(2002г., 2003г.), на научном семинаре кафедры теории относительности и гравитации КГУ (рук. А.В.Аминова), на международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга"(2001г., 2002г.), на семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. Н.И.Жукова и Е.И.Яковлев), на семинаре кафедры геометрии КГУ (рук. Б.Н.Шапуков), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ (рук. А.Т.Фоменко).

Публикации и вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в работах . В совместных статьях научному руководителю Е.И.Яковлеву принадлежит постановка задачи, идеи некоторых конструкций и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Структура работы. Работа изложена на 100 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 49 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе определяются почти Д-расслоения и их морфиз-мы, строятся многозначные автоморфизмы, исследуются инвариантные связности. В частности, доказывается, что существование инвариантных связностей является их характеристическим свойством.

Пусть £ - гладкое главное расслоение с проекцией р : Е —> В и структурной группой Рассмотрим конечную группу

и правое действие Я : В х Д —► В.

Определение 1. Допустим, что открытое покрытие Ы обладает свойствами:

(1) существует ассоциированный с атлас расслоения

(2) Я6{и) = и для всех V € Ы и 6 € Д.

Тогда и мы будем называть (£, Д) -покрытием.

Выберем карты € Л{Ы), для которых VC\U ф 0 и функцию

перехода : V Г) U —» Тк от & к Определим отображение tYu : U C\V Тк формулой

Определение 2. Пусть ¿тУи = 0 для всех U,V eU п S S А. Тогда А{Ы) будет называться почти А-атласом. Два таких атласа эквивалентны, если их объединение тоже является почти Д-атласом. Если А - класс эквивалентности почти Д-атласа A{U), то пару р — (£, А) назовем почти А-расслоением.

Рассмотрим главные расслоения £ и с проекциями р : Е —> В и р': Е' —у В и структурной группой Тк, а также гладкое отображение / : Е —» Е' со свойствами: р — р' о / и /(v • i) = /(и) • t для всех ü € Е и t £ Тк. Тогда морфизм над 5. Допустим, что

расслоения £ и обладают почти^структурами А и А'. Выберем атласы A{U) € А, Ä{U) € А' и множества U,V € U, V Г) U Ф Имеется функция перехода Cvu '■ VDU —* Ть от карты к карте при морфизме /. Определим гладкое отображение crj''7 : VdU Тк, полагая

Определение 3. Если do/17 = 0 для всех G A(U), € A'{U) и 6 € Д, то / назовем морфизмом почти А-расслоений р — (£, А) и

Далее мы будем считать фиксированными многообразие В, груп-пыТк, А и д е йЯс В х^ ^ В, а также полагать 0 = Дх Т*. Совокупность почти Д-расслоений над 5 со структурной группой Тк и их морфизмов образует категорию K{B,Tk,A,R). Множество В(В, Тк, Д, R) классов эквивалентности объектов построенной категории является группой относительно операции, индуцированной сложением функций перехода. Ее нейтральный элемент - класс эквивалентности пары ро = (£о>«4о), где £о - расслоение-произведение В на Тк, а Ао содержит атлас {idBxTk}.

Элементы (£, Д)-покрытия U и их пересечения не обязаны быть связными. Поэтому тождества равносиль-

ны тому, что отображения только локально постоянны.

Добавим, что расслоение-произведение может обладать почти структурой, отличной от

Пусть £ - главное расслоение с проекцией р : Е —* В и структурной группой Тк. Каждая его карта : V х Тк —* Еи позволяет определить действие Ни : Еи х Д —» Ец группы Д на подмногообразии Ец — 4~1{и) С Е с помощью формулы

= (3)

При этом для каждого 6 € Д

роЯ? = В,&ор. (4)

Если & : V х Тк —> Еу - другая карта расслоения £ и V П и ф 0, то действия ВР и Ну связаны на Еупи равенством

= (5)

где отображение : V П V —> Тк определено формулой (2).

Определение 4. Пусть Л{1А) - атлас главного расслоения а отображения ВУ : Ей хД-» Еи заданы с помощью карт (и € Л{Ы) и формулы (5). Набор 72. = {ВУ\и € 1А} мы будем называть псевдодействием группы Д на пространстве расслоения ассоциированным с Л{Ы). Если (1тХи = 0 для всех и, V € Ы и 5 6 Д (то есть Л{Ы) -почти Д-атлас), то ТЬ назовем многозначным действием.

Из равенств (4) и (5) следует, что Щ : Еи —► Ец - автоморфизм сужения над [/ расслоения Поэтому для многозначного действия 72 набор € К} естественно назвать многозначным автомор-

физмом расслоения При этом Д становится группой многозначных автоморфизмов.

Рассмотрим главное расслоение с проекцией р' : Е' В и структурной группой Тк, морфизм /:£—>£' и 71''-связности Н на В и Я' на £", удовлетворяющие равенству Щ^) — с1/(Н„) при всех и € Е. Выберем карты и (у расслоений £ и и элемент 8 € Д. Предположим, что V П I/ ^ 0.

Предложение 1. Если связность Н инвариантна относительно преобразования В,^ : Ец —► Ец, то Н' инвариантна на Е'Упи относительно Я'1 : Е'у —» Е'у тогда и только тогда, когда определенное формулой (2) отображение а%и : V С\11 —» Тк локально постоянно.

Из предложения 1 вытекает ряд важных следствий. Для их компактной формулировки нам потребуются также новые определения.

Следствие 1. Рассмотрим главное расслоение £ с проекцией р : Е В и структурной группой Тк и псевдодействие группы Д на Е, ассоциированное с атласом А(Ы). На пространстве расслоения £ существует Т^-связность Я, инвариантная относительно всех Яи € И, тогда и только тогда, когда Л(И) - почти Д-атлас, а 71 -многозначное действие группы Д.

Определение 5. Если в обозначениях следствия 1 связность Я инвариантна относительно всех ВУ (Е 11, то мы будем говорить, что она инвариантна относительно многозначного действия 71 группы Д на Е.

Следствие 2. Предположим, что р — (£, Л) - почти Д-расслоение и Т^-связность Н на пространстве Е главного расслоения £ инвариантна относительно многозначного действия группы Д, ассоциированного с атласом Л(Ы) € А. Если А!(¿А') - другой атлас главного расслоения то связность Я инвариантна относительно ассоциированного с ним псевдодействия группы Д на Е тогда и только тогда, когда А'(Ы') - почти Д-атлас и А!{Ы') е А.

Определение 6. Пусть (? = Д х Тк, р = - почти Д-

расслоение и Т*-связность Я на его пространстве Е инвариантна относительно многозначных действий группы Д, ассоциированных с атласами А(Ы) € А. Тогда Я будет называться С-связностъю.

Следствие 3. Допустим, что р — (£, А) и р' = (£', А!) - почти Д-расслоения, ыиш'- формы Т^-связности Я и (7-связности Я' на пространствах Ей Е' расслоений р и р', / : £ —► - морфизм главных Т*-расслоений иш = /*и/. Тогда Я - С-связность на Е в том и только в том случае, если / : р —► р' - морфизм почти Д-расслоений.

Предложение 2. Пусть П — ¿и - форма кривизны Тк~ связности Я на пространстве Е главного расслоения ^ - замкнутая 2-форма на базе В со значениями в К*1, удовлетворяющая равенству £2 = р*Г. Форма Р инвариантна относительно действия группы А на В в том и только в том случае, если £ обладает почти А-структурой, относительно которой Я является й-связностью.

Рассмотрим почти Д-расслоения р — (£, А) и р' = (£', А!) с проекциями р : Е —» В и р': Е' —» В, а также формы шиш' С?-связностей Я на Е и Я' на Е'. Предположим, что существует морфизм глав-

иых расслоений Тогда на базе В найдется 1-форма О,

удовлетворяющая равенству /*а/ — и = р* Б.

Предложение 3. Отображение / является морфизмом почти А -расслоений р и р' в том и только том случае, если форма О инвариантна относительно действия Я группы Д.

Предложение 4. Пусть р — (£, Л) - почти Д-расслоение с проекцией р : Е —► В. Тогда [р] = 0 в В(В,Тк,А,К) в том и только в том случае, если на Е существует С-связностъ с тривиальной группой голономии.

Во второй главе находятся инварианты почти Д-расслоений и вычисляется группа их классов эквивалентности.

Если Ф - замкнутая п-форма на многообразии В со значениями в К*, а [Ф] - ее когомологический класс, то формула /¡ф]([с]) = / Ф определяет гомоморфизм /¡ф]: Нп(В) —>

Обозначим символом Ад(В,Ш.к) группу инвариантных относительно действия группы Д внешних п-форм на В со значениями в К*, а символом Нд{В,Ш.к) - группу гомологий коцепного комплекса

----► Ад-1 (В,®*) Д АЦВ,Жк) Д Л£+1(В,И*) -»....

Положим

НЦВ,Жк\Ък) == {[Ф]д € Н1{ВЛк)\'1ш1щ С Ък}.

Пусть р = (£, Л) - почти Д-расслоение с проекцией р : Е В и ш - форма С-связности Н на Е. Тогда существует замкнутая 2-форма Р на В, удовлетворяющая равенству йи> = р*Р. Согласно предложению 2 Р £ Лд(В,Кк). Так как £ - главное расслоение со структурной группой Тк, а Я - Т*-связность, то ип1[р] С Zfc.

Когомологический класс 'является инвариантом расслоения р в категории К{В,Тк,А,В). Он будет называться характеристическим классом почти Д-расслоения р = (£, Л). При этом формула 7/([р]) = [Лд определяет гомоморфизм т] : В (В, Тк, Д, Щ —> НЦВ,Жк\Ък).

Предложение 5. Для гомоморфизма т/ существует правый обратный гомоморфизм 77 : Н\{В,Жк\Ек) -» В(В,Тк, Д, В).

Пусть р = (£, Л) - почти Д-расслоение с характеристическим классом = 0. Это эквивалентно существованию на его пространстве плоской (^-связности Н.

Предположим, что х : I —> В - кусочно-гладкая петля, а х : I —► Е ее горизонтальный лифт относительно плоской G-связности Я. Тогда найдется элемент тн(х) £ Тк, удовлетворяющий равенству х(1) = х(0)-гя(х). Элемент тц{х) зависит только от гомологического класса цикла х 6 2i(B). При этом формула Ttf([x]) = тц(х) корректно определяет гомоморфизм тя : НХ(В) —» Тк, который мы называем гомоморфизмом голономии связности Я.

Предложение 6. Пусть р — (£, Л) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —> В, Я и Н* - плоские G-связности на Е, и и и* - их формы связности. Тогда и* = и + р*А, где A G 2д(В,Шк), и Тн • = ТН - Ехр О 1щ.

Пусть для произвольного п G N

Нотл(Нп(В),Ш.к) = {h е Hom{Hn{B),Rk)\h([x ■ 5]) = ВД) Vi € Д}.

Для почти Д-расслоения р с нулевым характеристическим классом и плоской (7-связности Я на его пространстве рассмотрим гомоморфизм голономии Тн G Hom(Hi(B),Tk) и гомоморфизм Expf : HomA(Hi(B),Rk) -» Hom(Hi(B),Tk), определенный формулой Exp^(h) = Expo h. Положим

Vo([p\) = Тн + imExpf. (6)

Предложение 7. Формула (6) корректно определяет отображение т]0 : keir) —> Hom(Hi(B),Tk)/imExpf.

Таким образом, смежный класс гя + im Expf гомоморфизма голономии тя является инвариантом расслоения р.

Предложение 8. Отображение щ является изоморфизмом.

Пусть г) : B(B,Tk,A,R) Н%(В,Rk\Zk) - гомоморфизм, построенный перед предложением 5, imExpf - образ естественного гомоморфизма Exp* : HomA(H1(B),Rk) Hom{Hx{B),Tk), а щ : kerr? —► Hom(Hi(B),Tk)/imExpA - изоморфизм, определенный формулой (6). Рассмотрим включение г : кегт/ —> t3(B,Tk,A,R) и положим £ = г о щ1. Тогда из предложения 5 следует, что имеет место следующий основной результат работы:

Теорема 1. Последовательность групп и гомоморфизмов

О Hom(H1{B),Tk)/imExpA Л В(В, Тк, Д, R) А '

Л Н1{В,Жк\%к) о

точна и расщепляется. Поэтому

В(В, Т\ Д, Я) ^ НЦВ, Жк\Ък) © Нош^В), Тк)/1тЕхр*.

В третьей главе мы исследуем вопрос о том, какое место в категории почти Д-расслоений занимают расслоения, для которых автоморфизмы из Д однозначны.

Пусть р = (£, Л) - почти Д-расслоение и Л(Ы) € А. Если определенное формулой (1) отображение удовлетворяет условию т/и = О, то р- Д-расслоение в обычном смысле, а А(К) - Д-атлас.

При этом для действия Яи : Ец х Д —► Ец группы Д на подмногообразии Ец = Я-1{и) С Е верно равенство Я$ (у) = Я%(у) на любом непустом пересечении Еи П Еу; II, V 6 Ы. Положим Я%{у) — Щ[у) для всех V 6 Еи и 17 € Ы. Этим корректно определены отображения Rf : Е Е и ЯЕ : Е х А Е, ЯЕ(ь, 5) = Rf(v). Ясно, что Яв -однозначное действие группы Д на Е, а ЯЕ : Е Е - однозначно определенный автоморфизм.

Для поиска инвариантов Д-расслоений нам понадобятся следующие новые конструкции. Символом БВ(В,Тк, Д, Я) обозначим подгруппу группы В(В,Тк, А, Я), образованную классами эквивалентности Д-расслоений в категории 1С(В,Тк,А,Я).

Пусть Сп(В), 2п(В) и Вп{В) - группы кусочно гладких п-мерных сингулярных цепей, циклов и границ многообразия В с целыми коэффициентами. Введем обозначения:

Сп{В, Д|2) = {с е Сп(В)| с • Д е 2п(В)}.

Предложение 9. Пусть р = - А-расслоение, Н - О-

связность на его пространстве Е, и - форма связности Незамкнутая 2-форма на базе В и ёш = р*Р, гдер : Е —* В - проекция расслоения. Тогда для произвольной цепи с е Сг(В, А\2) справедливо включение

Предложение 10. Если .Р - замкнутая и инвариантная относительно действия группы А 2-форма на В и € Ък для всех с £ Сг(В, А\2), то существует А-расслоение р с характеристическим классом

Таким образом, когомологический класс формы, обладающей свойствами, описанными в предыдущем предложении, является инвариантом Д-расслоений. Совокупность таких когомологических классов представляет собой подгруппу Н\(В, №к,СА\Ък) группы В предложениях 11 и 12 указан второй инвариант этих расслоений, что позволяет вычислить группу 8В{В, Тк, Д, И).

Предложение 11. Если р - А-расслоение с нулевым характеристическим классом = 0, то Тн Е Нотл(В1(В),Тк).

Предложение 12. Если т 6 НотА(Я1(Б),ТА:), то существует А-расслоение р, для которого щ([/?]) = т + Ш1 Ехр^ .

Полагая ^([р]) = ту([р]) для [р\ е 5В(В,Тк, Д, Я), мы определим гомоморфизм

I/: 8В{В,Тк, Д, Д) -» Н1{ВЛк,СА\%к).

Определена, точна и расщепляется последовательность

О кег и Д Тк, Д, Д) Л НЦВ, К*, СА\Ък) О,

где г3 - включение. Положив ^о(И) = для всех [р] € кег г/, мы

получим изоморфизм

щ : кег и —> Нотд(Я1(В),Г*)/ипЕхр* .

Положим р. = Тогда из сказанного выше вытекает следующая

важная

Теорема 2. Определена короткая точная последовательность О -» НотЛ(Я1(Я),Т':)/тЕхр^ А вВ(В,Тк, А, Д) А

Она расщепляется и поэтому

БВ{В, Т\ Д, Д) е Н1{В,К*, Сд|2к) е Ношд(Нг{В),Тк)/ Ехрд .

В четвертой главе рассмотрена связь почти Д-расслоений с гироскопическими системами, некоторые свойства таких расслоений с двумерными базами, примеры трехмерных почти Д-расслоений.

Почти Д-расслоения естественным образом возникают при исследовании динамики натуральных механических систем с гироскопическими силами. Пусть В - конфигурационное многообразие такой системы Г. Ее функционал действия в общей ситуации многозначен. Для преодоления связанных с этим трудностей может быть использовано поднятие рассматриваемой задачи на пространство некоторого главного расслоения £ над В со структурной группой Тк. При этом число и характеристический класс расслоения определяются формой гироскопических сил. В указанной конструкции также используется некоторая риманова метрика на тотальном пространстве этого расслоения. Нами доказана

Теорема 3. Система Г инвариантна относительно действия Я группы Д в том и только в том случае, если расслоение £ обладает почти А-структурой Л и метрику можно выбрать инвариантной относительно многозначного действия группы А на Е, ассоциированного с любым атласом из Л.

Пусть В - двумерное гладкое многообразие.

Предложение 13. Пусть В замкнуто, ориентируемо, и группа А действует на нем сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами. Тогда каждое главное расслоение над В со структурной группой Тк обладает структурой почти А-расслоения.

Предложение 14. Если двумерное многообразие В и группа А не обладают хотя бы одним свойством из предложения 13, то на пространстве любого почти А-расслоения над В существует плоская С- связност ь.

Построены и изучены примеры почти -расслоений над сферой, тором и проективной плоскостью.

В заключении приводятся основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Е. И. Яковлеву за внимательное отношение к работе, полезные обсуждения и доброжелательность.

Результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора:

1. Казанцева(Рыжкова) А.В., Яковлев Е.И. Локально инвариантные расслоения// Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000. Казань: Изд-во КГУ. 2000. С. 436-437.

2. Рыжкова А.В. Локально инвариантные расслоения с плоскими связностями // Новейшие проблемы теории поля. 2001-2002. Казань: Изд-во Регентъ. С.409-416.

3. Рыжкова А.В., Яковлев Е.И. Расслоения с конечными группами многозначных автоморфизмов и инвариантные связности // Вестник ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. 2002. Вып. 1(25). С. 49-56.

4. Рыжкова А.В. Расслоения с многозначными автоморфизмами // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2002. Т. 18. С. 76-77.

5. Рыжкова А.В. Почти Д—расслоения над двумерными многообразиями // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(1). 2003. С. 61-69.

6. Яковлев Е.И., Рыжкова А.В. Почти Д—расслоения. // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. 2003. С.866-867.

7. Рыжкова А.В. Подгруппа Д-расслоений группы почти Д-расслоений // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2003. Т.21. С. 194-195.

8. Рыжкова А.В. Яковлев Е.И. Инвариантные расслоения в категории почти -расслоений // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2). 2004. С. 148-158.

Р21 3 0 4

РНБ Русский фонд

2005-4 22422

Подписано в печать 28.10.04. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 670.

Нижегородский государственный технический университет. Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

Введение

1 Расслоения с многозначными автоморфизмами и инвариантные связности

§ 1. Почти Д—структуры на главных расслоениях.

1.1. Инвариантные покрытия.

1.2. Определение почти Д-структур в терминах функций перехода.

1.3. Морфизмы.

1.4. Категория почти Д-расслоений.

§ 2. Многозначные действия группы Д на пространстве главного расслоения.

2.1. Псевдодействие группы Д

2.2. Многозначные автоморфизмы.

2.3. Псевдодействия и морфизмы.

§ 3. ^-связности.

2 Построение инвариантов и классификация почти Д-расслоений

§ 1. Характеристические классы.

§ 2. Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы голономии.

§ 3. Инварианты почти А-расслоений с плоскими связностями.

§ 4. Классы эквивалентности почти А-расслоений с плоскими связностями.

§ 5. Классификация почти А-расслоений.

3 Инвариантные расслоения в категории почти Д-расслоений

§ 1. А-расслоения.

§ 2. Характеристические классы А-расслоений в категории К,(В, Tk, A, R).

§ 3. Инварианты А-расслоений с плоскими связностями

§ 4. Классы эквивалентности А-расслоений в категории

JC(B,Tk,A,R)

4 Расслоения с группой многозначных автоморфизмов и гироскопические системы с симметриями. Примеры.

§ 1. Связь почти А-расслоений с гироскопическими системами

§ 2. Почти А-расслоения над двумерными базами.

§ 3. Трехмерные почти А-расслоения

Пусть В - гладкое многообразие, д - риманова или псевдоримано-ва метрика, F - замкнутая 2-форма наБии:Б-уМ - гладкая функция. Тогда четверку Г = (В, д1 F, и) называют гироскопической системой. Как показано С.П. Новиковым [13], анализ ряда задач математической физики приводит к рассмотрению гироскопических систем с многозначным функционалом действия. Если индекс иррациональности формы гироскопических сил F такой системы конечен, то преодолеть некоторые из возникающих трудностей удается с помощью главного расслоения для которого базой является конфигурационное многообразие В, а структурной группой - тор Тк. Тесная связь таких главных расслоений и гироскопических систем описана в работах М.П. Харламова [23], Я.Л. Шапиро, В.А. Иго-шина, Е.И. Яковлева [10], [30] - [34], С.В. Болотина [4], подобные конструкции рассматривались Б.Н. Шапуковым[29].

Предположим, что интересующая нас гироскопическая система обладает конечной группой симметрий А, то есть инвариантна относительно некоторого действия R : В х А —В. Настоящая работа посвящена построению и исследованию категории расслоений, ассоциированных с такими системами. Мы называем такие расслоения почти А-расслоениями. Показано, что в этом случае группа А оказывается группой многозначных автоморфизмов для расслоения, т.е. действие R поднимается на тотальное пространство многозначным образом. Таким образом, рассматриваемая задача связана с вопросом о поднятии действия группы с базы расслоения на его пространство, - см., например, работу Т.Е. Stewart [39].

Характеристическим свойством расслоений с многозначными автоморфизмами является то, что они обладают инвариантными связ-ностями. Исследованием инвариантных связностей относительно однозначных автоморфизмов занимались, например, Н.С. Wang [40], К. Nomizu [11].

В диссертации почти Д-расслоения исследованы вплоть до классификации. В связи с этим отметим, что классификация главных расслоений со структурной группой Т1 была получена Sh. Kobayashi [35]. Ассоциированные с ними комплексные векторные расслоения исследовались в работе К. Kodaira, D.S. Spenser [36](см. также [25]).

В [34] Е.И. Яковлевым с несколько иной точки зрения рассматривались почти Д-расслоения, для которых действие группы Д на базе В свободно. В этой ситуации пространство орбит В/А является гладким многообразием, а фактор-отображение v : В —> В/А - регулярным накрытием. Если р : Е —> В - проекция расслоения то v о р : Е В/А - проекция локально-тривиального расслоения со стандартным слоем Д х Тк и многозначными функциями перехода со значениями в той же группе Д х Тк. Такие расслоения названы в [34] почти главными.

В данной работе действие группы Д на В предполагается произвольным, что существенно расширяет множество объектов изучаемой категории. Кроме того, инварианты почти Д-расслоений здесь строятся в терминах гомологий базы В, а не пространства орбит В/А как в [34].

Целью работы является решение следующих задач:

1) построение категории /С (В, Тк, Д, R) главных расслоений с базой В, абелевой структурной группой Тк, ассоциированных с гироскопическими системами, обладающими конечной группой преобразований (Д,Д), а также содержательных примеров таких расслоений;

2) нахождение инвариантов объектов категории 1С(В} Тк, Д, R);

3) классификация почти Д-расслоепий с заданнымр! базой структурной группой Тк и действием R конечной группы Д на Б;

4) поиск условий, при выполнении которых класс эквивалентности почти Д-расслоений содержит обычное А-расслоение.

Методы исследования. Использованы методы дифференциальной геометрии, топологии многообразий, алгебраической топологии и теории компактных групп преобразований.

Научная новизна.

1. Построена категория почти Д-расслоений, т.е. главных расслоений со структурной группой Тк, обладающих конечной группой Д многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы Г = (В, g,F, и) относительно конечной группы преобразований Д равносильна существованию почти Д-структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве Е относительно многозначного действия группы Д. Построены содержательные примеры почти Д-расслоений.

2. Получена классификация почти Д-расслоений с фиксированной базой В, структурной группой Тк и заданным действием R группы Д на В, т.е. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологий и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа В(В,Тк, Д, R) классов эквивалентности.

3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти Д-расслоение эквивалентно в данной категории обычному Д-расслоению. В результате найдена подгруппа SB (В, Тк, Д, R) группы В (В, Тк, Д, Д), каждый элемент которой содержит Д-расслоение. На конкретных примерах показано, что в общей ситуации SB{B) Тк, Д, R) - собственная подгруппа группы В(В,Тк, Д, R).

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях расслоений, для изучения систем с гироскопическими силами, а также в учебном процессе.

Апробация. Описанные результаты были обнародованы на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003г.), на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (2002г., 2003г.), на научном семинаре кафедры теории относительности и гравитации КГУ (рук. А.В.Аминова), на международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга"(2001г., 2002г.), на семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. Н.И.Жукова и Е.И.Яковлев), на семинаре кафедры геометрии КГУ (рук. Б.Н.Шапуков), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ (рук. А.Т.Фоменко).

Публикации и вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[49]. В совместных статьях [42],[44],[47], [49] научному руководителю Е.И.Яковлеву принадлежит постановка задачи, идеи некоторых конструкций и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе определяются почти Д-расслоения и их мор-физмы, строятся многозначные автоморфизмы, исследуются инвариантные связности. В частности, доказывается, что существование инвариантных связностей является их характеристическим свойством.

Пусть £ - гладкое главное расслоение с проекцией р : Е —> В и структурной группой Тк = (Ж/Ъ)к. Рассмотрим конечную группу Д и правое действие R : В х Д —> В.

Определение 1. Допустим, что открытое покрытие U обладает свойствами:

1) существует ассоциированный с И атлас А(Ы) расслоения

2) Rs(U) = U для всех U еЫ и S € Д.

Тогда U мы будем называть (£, А)-покрытием.

Выберем карты G A(U), Для которых VПС/ ф 0 и функцию перехода : V DU Тк от Си к Определим отображение tJu : U П У Tfc формулой

T¥U=ZVU°R5-ZVU- (1)

Определение 2. Пусть dj/*7 = 0 для всех [/, У £ W и <5 G А. Тогда Л(Ы) будет называться почти А-атласом. Два таких атласа эквивалентны, если их объединение тоже является почти Д-атласом. Если А - класс эквивалентности почти Д-атласа А(Ы), то пару Р — (£> Л) назовем почти А-расслоением.

Рассмотрим главные расслоения £ и с проекциями р : Е В и р' : Е' —> В и структурной группой а также гладкое отображение f : Е Е' со свойствами: р = р' о f и /(г> • £) = /(г;) • £ для всех v Е Е л t £ Тк. Тогда / : £ —> морфизм над Л. Допустим, что расслоения £ и обладают почти Д-структурами Л и Л7. Выберем атласы A(U) G Л, .A'(W) G А и множества U, У G Zi, У П U ф 0. Имеется функция перехода С,уц \VP\U —> Тк от карты к карте при морфизме /. Определим гладкое отображение сг^*7 : VnU —> Tfc, полагая crlu = Cvu о R5 - Cvu, (2)

Определение 3. Если dcrju ~ 0 для всех £[/ 6= Л(^), G Л'(^) и £ £ Д, то / назовем морфизмом почти А-расслоений р = (£, Л) и

Далее мы будем считать фиксированными многообразие В, группы Д и действие R : В X А В, а также полагать G = А хТк. Совокупность почти Д-расслоений над Л со структурной группой и их морфизмов образует категорию JC(B, Тк, Д, i?). Множество

В(В,Тк, Д, R) классов эквивалентности объектов построенной категории является группой относительно операции, индуцированной сложением функций перехода. Ее нейтральный элемент - класс эквивалентности пары ро = (£(ь гДе £о ~ расслоение-произведение В па, Тк, а, Ао содержит атлас {idBxTky.

Элементы (£, Д)-покрытия Ы и их пересечения не обязаны быть связными. Поэтому тождества dr= 0 и daju = 0 равносильны тому, что отображения tJu и aju только локально постоянны. Добавим, что расслоение-произведение £0 может обладать почти Д-структурой, отличной от Aq.

Пусть £ - главное расслоение с проекцией р : Е В и структурной группой Тк. Каждая его карта '■ U х Тк —> Ец позволяет определить действие Ru : Ец х А 4 Ец группы Д на подмногообразии Ev = q~1(U) с Е с помощью формулы

Ru(tuM,8) = Zu(a-8,t). (3)

При этом для каждого 5 £ Д poRus=R6op. (4)

Если У х Тк —У Еу - другая карта расслоения £ и V П U то действия Ru и Rv связаны на Еупи равенством л?н = Щ(у) ■ т™Ш), (5) где отображение tJu : V Г) U Тк определено формулой (2).

Определение 4. Пусть A(U) - атлас главного расслоения а отображения Ru : Ец хА Ец заданы с помощью карт £ A(U) и формулы (5). Набор 7Z = {Д^]^/ £ мы будем называть псевдодействием группы Д на пространстве расслоения ассоциированным с А(К). Если drju = 0 для всех U, V £ U и S £ Д (то есть Л(^) -почти Д-атлас), то 7Z назовем многозначным действием.

Из равенств (4) и (5) следует, что Щ : Еи —Ец - автоморфизм сужения над U расслоения Поэтому для многозначного действия набор {7lJ$\U G естественно назвать многозначным автоморфизмом расслоения При этом А становится группой многозначных автоморфизмов.

Рассмотрим главное расслоение с проекцией р' : Е' В и структурной группой морфизм / : £ —> и Т^-связности Я на £ и Я' на Е', удовлетворяющие равенству = df(Hv) при всех v £ Е. Выберем карты и расслоений £ и и элемент <5 е Д. Предположим, что V C\U / 0.

Предложение 1. Если связность Н инвариантна относительно преобразования Rf : Ец —> Еи, то Н' инвариантна на E'vnu относительно R'J : E'v —> E'v тогда и только тогда, когда определенное формулой (4) отображение aju : V П U —У Тк локально постоянно.

Из предложения 1 вытекает ряд важных следствий. Для их компактной формулировки нам потребуются также новые определения.

Следствие 1. Рассмотрим главное расслоение £ с проекцией р : Е В и структурной группой Тк и псевдодействие TZ группы Д на Е, ассоциированное с атласом Л(Ы). На пространстве расслоения £ существует Г^-связность Н, инвариантная относительно всех Ru Е тогда и только тогда, когда Л(Ы) - почти Д-атлас, а И -многозначное действие группы Д.

Определение 5. Если в обозначениях следствия 1 связность Н инвариантна относительно всех Ru Е TZ, то мы будем говорить, что она инвариантна относительно многозначного действия 1Z группы Д на Е.

Следствие 2. Предположим, что р = (£, Л) - почти Д-расслоение и Т^-связность Н на пространстве Е главного расслоения £ инвариантна относительно многозначного действия группы

Д, ассоциированного с атласом Л{Ы) £ А. Если А'(Ы') - другой атлас главного расслоения то связность Н инвариантна относительно ассоциированного с ним псевдодействия группы Д на Е тогда и только тогда, когда А(Ы') - почти Д-атлас и A(U') € А.

Определение 6. Пусть G = Д х Тк, р = (£, А) - почти Д-расслоение и Тк-связность Н на его пространстве Е инвариантна относительно многозначных действий группы Д, ассоциированных с атласами А(Ы) £ А. Тогда Н будет называться G-связностью.

Следствие 3. Допустим, что р = (£, А) и р' — (£', А) - почти Д-расслоения, шиш'- формы Т^-связности Н и G-связности Н' на пространствах Е и Е' расслоений р и р', / : £ —> - морфизм главных Т^-расслоений и ш = f*u>'. Тогда Н - G-связность на Е в том и только в том случае, если / : р —> р' - морфизм почти Д-расслоений.

Предложение 2. Пусть Q = du - форма кривизны Тк-связности Н на пространстве Е главного расслоения F - замкнутая 2-форма на базе В со значениями в Жк, удовлетворяющая равенству Q = p*F. Форма F инвариантна относительно действия группы А на В в том и только в том случае, если £ обладает почти А-структурой, относительно которой Н является G-связностью.

Рассмотрим почти Д-расслоения р = (£, А) и р' = (£', А) с проекциями р : Е —> В я р' : Е' —> В, а, также формы шиш' С-связностей Н на Е и Н' на Е'. Предположим, что существует морфизм главных расслоений / : £ —> Тогда на базе В найдется 1-форма D, удовлетворяющая равенству f*u>' — ш = p*D.

Предложение 3. Отображение f является морфизмом почти А-расслоений р и р' в том и только том случае, если форма D инвариантна относительно действия R группы А.

Предложение 4. Пусть р = (£, А) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —В. Тогда [р] = 0 в В(В, Tfc, A, R) в том и только в том случае, если на Е существует G-связность с тривиальной группой голономии.

Во второй главе находятся инварианты почти А-расслоений и вычисляется группа их классов эквивалентности.

Если Ф - замкнутая го-форма на многообразии В со значениями в Шк, а [Ф] - ее когомологический класс, то формула /[ф]([с]) = f Ф определяет гомоморфизм : Нп(В) —> Жк.

Обозначим символом AA(B,M.k) группу инвариантных относительно действия группы А внешних го-форм на В со значениями в а символом НА(В, IRfc) - группу гомологий коцепного комплекса

----^ A^fB,!^ 4 АпА{В,Жк) 4 А£+1(Б,К*) ->.

Положим

Hl(B,Rk\Zk) = {[ф]д е НЦВЛк)\1ш1[ф] с ък}.

Пусть р = (£, И.) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —> В иш - форма G-связности Н на Е. Тогда существует замкнутая 2-форма F на В, удовлетворяющая равенству du = p*F. Согласно предложению 2 F 6 А^В,!^). Так как £ - главное расслоение со структурной группой Тк, а Н - Т^-связность, то imI[F] С Ък.

Когомологический класс [F]a является инвариантом расслоения р в категории /С(-В, Tfc, A, R). Он будет называться характеристическим классом почти А-расслоения р = (£, А). При этом формула т]([р]) = определяет гомоморфизм г) : В(В,Тк, A, R) —> Hl(B,Rk\Ък).

Предложение 5. Для гомоморфизма г) существует правый обратный гомоморфизм fj : Rfc|Zfc) -> В(В, Тк, A, R).

Пусть р = (£, А) - почти А-расслоение с характеристическим классом [F]a = 0. Это эквивалентно существованию на его пространстве плоской G-связности Н.

Предположим, что х : I —у В - кусочно-гладкая петля, а х : I —у Е ее горизонтальный лифт относительно плоской G-связности Н. Тогда найдется элемент т#(ж) G удовлетворяющий равенству х(1) = ж(0) • тн{х). Элемент тн{х) зависит только от гомологического класса цикла х G Zi(B). При этом формула тн([х]) = тн{х) корректно определяет гомоморфизм тн : Hi(B) —у Тк: который мы называем гомоморфизмом голономии связности Н.

Предложение 6. Пусть р = (£, Л) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —у В, Н и Н* - плоские G-связности на Е, из и со* - их формы связности. Тогда из* = из + р*А, где А G и

Тн* = ТН - Ехро1[А].

Пусть для произвольного п G N

HomA{Hn{B),Rk) = {he Hom(Hn(B),Rk)\h([x • 6]) = h([x]) \/6 G A}. Для [F]a G tf£(£,Rfc), [jP] G Hn{B,Rk) и [с] G Hn(B) положим

Ia([FU) = I[F]- (6)

Лемма. Отображение /д : Н%{В,Шк) HomA{Hn(B),Rk), определенное формулой (6), является изоморфизмом.

Для почти Д-расслоения р с нулевым характеристическим классом и плоской G-связности Н на его пространстве рассмотрим гомоморфизм голономии тн £ Hom(Hi(B),Tk) и гомоморфизм Ехр? : HomA(#i(£),Efc) Нот^Н^В), Тк), определенный формулой Exp^(h) = Exp о h. Положим

7to(\p]) = TH + imExp?. (7)

Предложение 7. Формула (7) корректно определяет отображение г)о : ker?7 —> Hom(Hi(B),Tk)/imExpf.

Таким образом, смежный класс тн + im ЕхрА гомоморфизма голономии тн является инвариантом расслоения р. В предложениях

8-11 показано, что этот характеристический класс позволяет полностью классифицировать группу классов эквивалентности почти Д-расслоений.

Предложение 8. Рассмотрим почти Д-расслоение р = (£, А) с проекцией р : Е —> В, плоскую G-связность Я на его пространстве Е и гомоморфизм голономии Тн : Н\(В) —> Тк. Тогда существует почти А-атлас A(U) € А, обладающий свойствами:

1) локальные формы и>и связности Я тоэюдественно равны нулю для всех U 6 U;

2) функции перехода £vu локально постоянны для любых U:V (EU,

V nU ф 0.

При этом если х : I —» В - петля, 0 = sq < Sx < • • • < si = 1 - разбиение отрезка I = [0,1], KUi,., KUi - компоненты связности элементов покрытия U, удовлетворяющие условиям a;([sji, s^]) с KU{, и a,i = x(si), то тя(И) = ZuiuM + biUt-Aal-1) +----Ь ^C/xOl). (8)

Предложение 9. Отображение щ является гомоморфизмом групп.

Предложение 10. Гомоморфизм щ сюръективен. Предложение 11. Ядро кегт/0 состоит только из нейтрального элемента группы В(В, Тк, Д, R).

Пусть г] : В(В,Тк, Д, R) H2A(B,Rk\Zk) - гомоморфизм, построенный перед предложением 5, imExpf - образ естественного гомоморфизма Expf : Яошл(Я1(Б),ЕА:) Яот(Ях(Я),Тк), а щ : кегт? —У Hom(Hi(B),Tk)/imExpf - гомоморфизм, определенный формулой (7). Согласно предложениям 9, 10 и 11 rjo - изоморфизм. Рассмотрим включение г : кегт/ —у В(В,Тк, Д, R) и положим £ = г о щ1. Тогда из предложения 5 следует, что имеет место следующий основной результат работы:

Теорема 1. Последовательность групп и гомоморфизмов

О Hom(Hi(B)i Tk)/imExpf 4 В(В, Тк, A, R) А

A H2A(B,Rk\Zk) О точна и расщепляется. Поэтому

В(В, Тк, A, R) Hl(Bimk\%k)®Hom(H1(B),Tk)/imExpf.

В третьей главе мы исследуем вопрос о том, какое место в категории почти А-расслоений занимают расслоения, для которых автоморфизмы из А однозначны.

Пусть р = (£, Л) - почти А-расслоение и Л(Ы) £ Л. Если определенное формулой (1) отображение удовлетворяет условию rju = О, то р - А-расслоение в обычном смысле, а Л(Ы) - А-атлас.

При этом для действия Ru : Еи х А —> Ец группы А па подмногообразии Ejj = q~l(U) С Е верно равенство R^(v) — Rj(v) па любом непустом пересечении Ец П Еу; U,V £ U. Положим Rf(v) = R^{v) для всех v £ Ejj и U Е. U. Этим корректно определены отображения Rf : Е Е и RE : Е х А Е, RE{v, S) = Rf(v). Ясно, что RE -однозначное действие группы А на Е: a Rf : Е —> Е - однозначно определенный автоморфизм.

Для поиска инвариантов А-расслоений нам понадобятся следующие новые конструкции. Символом SB(B, Tfc, A, R) обозначим подгруппу группы В(В, Тк, A, R), образованную классами эквивалентности А-расслоений в категории )C(B,Tk,A,R).

Пусть Сп(В), Zn(B) и Вп(В) - группы кусочно гладких п-мерных сингулярных цепей, циклов и границ многообразия В с целыми коэффициентами. Введем обозначения:

Сп(В, Д|Z) = {се С„(В)\ с ■ А £ Zn(B)}.

Предложение 12. Пусть р = (£, Л) - А-расслоение, Н - G-связность на его пространстве Е, ш - форма связности Н, F -замкнутая 2-форма па базе В и dw = p*F, где р : Е —» В - проекция расслоения. Тогда для произвольной цепи с £ А\Я) справедливо включение J F £ Ък.

Предложение 13. Если F - замкнутая и инвариантная относительно действия группы А 2-форма на В и J F £ Ък для всех с £ С2(В,А\Я), то существует А-расслоение р с характеристическим классом [-Р]д.

Таким образом, когомологический класс формы, обладающей свойствами, описанными в предыдущем предложении, является инвариантом А-расслоений. В предложениях 14 и 15 указан второй инвариант этих расслоений, что позволяет вычислить группу SB(B,Tk,A,R).

Предложение 14. Если р - А-расслоение с пулевым характеристическим классом [-Р]д = 0, то тд £ HomA(.#i(.B), Tk).

Предложение 15. Если т £ HomA(.#i(B), Tfc), mo существует А-расслоение р, для которого щ([р]) = т + imExpf .

Полагая v(\p\) = г]([р]) для [р] £ SB(B, Tk, A, R), мы определим гомоморфизм v : SB(B,Tk, A, R) -> H2A(B,Rk,CA\Zk).

Определена, точна и расщепляется последовательность

О -> keri/ 4 SB(B,Tk,A,R) А НЦВ, CA\Zk) О, где is - включение. Положив = Vo{[p]) Для всех [р] £ kerz/, мы получим изоморфизм

1/0 : ker v —> Ношл(#i(£) ,Tk)/ imExpf .

Положим ц = is о Vq1 . Тогда из сказанного выше вытекает следующая важная

Теорема 2. Определена короткая точная последовательность О Ношл(Hi(B),Tk)/ imExpf A SB(B, Tk, A, R) A

A H2A(B,Rk,CA\Zk) 0.

Она расщепляется и поэтому

SB(B, Tk, A, R) S* #i(£,R^A|Z*)©HomA(#i(£),Tft)/imExp*.

В четвертой главе рассмотрена связь почти А-расслоений с гироскопическими системами, некоторые свойства таких расслоений с двумерными базами, примеры трехмерных почти А-расслоений.

Почти А-расслоения естественным образом возникают при исследовании динамики натуральных механических систем с гироскопическими силами. Пусть В - конфигурационное многообразие такой системы Г. Ее функционал действия в общей ситуации многозначен. Для преодоления связанных с этим трудностей может быть использовано поднятие рассматриваемой задачи на пространство некоторого главного расслоения £ над В со структурной группой Тк. При этом число к и характеристический класс расслоения определяются формой гироскопических сил. В указанной конструкции также используется некоторая риманова метрика на тотальном пространстве этого расслоения [30]-[33]. Нами доказана

Теорема 3. Система Г инвариантна относительно действия R группы А в том и только в том случае, если расслоение £ обладает почти А-структурой Л и метрику моснсно выбрать инвариантной относительно многозначного действия группы А на Е, ассоциированного с любым атласом из Л.

Пусть В - двумерное гладкое многообразие.

Предложение 16. Если В замкнуто, ориентируемо и для всех 5 £ А диффеоморфизмы Rs : В —> В сохраняют ориентацию, то

H\(B№k\Zk) = Bom(H2(B),Zk) ^ Ък. Во всех остальных случаях Hl(B,Rk\Zk) = 0.

Предложение 17. Пусть В замкнуто, ориентируемо, и группа А действует на нем сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами. Тогда каснсдое главное расслоение над В со структурной группой Тк обладает структурой почти А-расслоения.

Предложение 18. Если двумерное многообразие В и группа Д не обладают хотя бы одним свойством из предложения 17, то на пространстве любого почти А-расслоения над В существует плоская G-связностъ.

Пример 1. Рассмотрим сферу В = S2 = {r(u,v) = (cosit cos-u, cosiisin-u, sin it) | и G [—7г/2, тг/2], v E [0,27г]} и группы T1 А — Ъп. Определим действие R : В х Д —>■ В, полагая

27Г7

Rb](r(u, v))=r(u,v + —), [j] = j + Z, j = 0,1,., n - 1. (9)

Геометрически R[j] есть поворот сферы на угол 2ттj/n вокруг прямой (0,0) х R.

Согласно теореме 1,

В(В, Т1, Д, R) ^£ = £(£,7^), где В(В,Т1) - группа классов эквивалентности главных расслоений с базой В и структурной группой Т1. Как известно, произвольное такое расслоение имеет вид £ = , где m Е Z, а х ~ расслоение Хопфа.

Таким образом, для действия (9) главное расслоение £ = допускает (причем единственную) структуру почти Д-расслоения при любом m £ Z; с помощью теоремы 2 доказывается, что структурой, инвариантной относительно Д, оно обладает тогда и только тогда, когда характеристическое число m нацело делится на порядок п группы Д.

Пример 2.

Пусть теперь В = Т2 = (R/Z)2 и Д = Z2. Действие Я:ВхД-> В определим формулой z, у + z) = ((-l)'® + Z, (-l)'y + Z). (10)

Вычисляя группы, указанные в теореме 1, получаем, что

В(В, Т1, Д, Д) = Z © Т2 = В(В, Т1) ф Т2.

Таким образом, для действия (10) каждое главное расслоение с базой В = Т2 и структурной группой Т1 обладает бесконечным набором попарно не изоморфных почти Д-структур. По теореме 2 получаем, что SB{B,T\ Д, R) = 2Z($) Ъ\.

Пример 3. Рассмотрим, наконец, проективную плоскость В = ШР2 и зададим действие той же группы Д = Z2 на В: полагая

Rb<](x:y/.z) = ((-iyx:(-iyy:z). (11)

По теореме 1 о классификации получаем В(В, Т1, Д, R) = Z2 = В(В,Т1). Это значит, что каждое из двух (не изоморфных) главных расслоений с базой В = ШР2 и структурной группой Т1 допускает (при действии (11)) почти Д-структуру, но только одну. А по теореме 2 получаем, что все они являются Д—расслоениями.

Выводы: Для действия (4.3)

• главное расслоение £ = тх допускает (причем единственную) структуру почти А-расслоения при любом m £ Z;

• структурой, инвариантной относительно Д, оно обладает тогда и только тогда, когда характеристическое число m нацело делится на порядок п группы А.

Пример 2. Пусть теперь В = Т2 = (M./Z)2 и Д = Z2. Действие Я : В х Д —> В определим формулой

Яф 4- Z, у + Z) = {{-l)jx + Z, (-l)'y + Z). (4.4)

При этом имеются четыре неподвижные точки (s/2 + Z, t/2 -f Z), 6 {0,1}. Поэтому В/A - орбиобразие. Оно также гомеоморфно сфере S2.

Так как йод : В —у В сохраняет ориентацию тора и #г(В) — ^ то

НЦВ, R|Z) - Нотл(Я2(Я), Z) = Hom(tf2(B),Z) ^ Z.

Вместе с тем Дт меняет ориентации одномерных симплексов, и Я!(В) ^ Z2. Поэтому

ПотА(Н1(В)Л) = 0 и Hom(Ki(B),T1)/imExpf = Т2.

По теореме 2.1 отсюда следует, что

В(В, Т\ Д, Д) = Z ф Т2 = В{В, т1) е т2.

Таким образом, для действия (4.4) каждое главное расслоение с базой В = Т2 и структурной группой Т1 обладает бесконечным набором попарно не изоморфных почти Д-структур.

Приведем примеры неизоморфных почти Д-структур на главном Т1 -расслоении над Т2. Рассмотрим сначала расслоение-произведение = (TV, 7* 7*), где Тк = для А: = 1,2,3 и р : Т3 = Т2 х Т1 —> Т2 - естественная проекция. Действие элемента 6 = 1 +Z € Z2 на Т2 определено формулой R$(u-\-W?) = (—Z2). Положим = 1,1 = 1,2}, 84

У = {г; € К2|И < ~,i = 1,2} и

W = {ш G Ш2\ - wl < w2 < 1 - ги1, w1 - 1 < w2 < wl + 1, w2 ф w1} i .д

2 - V.1

2 г „.Г 1

• f — ' w

Тогда множества U = {u + Z2\u 6 U}, V = {v + l?\v G V) и W = {v + Z2\v G W} образуют открытое покрытие Ы = {£/, V} W} тора T2 = R2/Z2. Отметим, что R6(U) = U, R6(V) = V и = W.

Выберем некоторые числа Si G Й, г = 1, 2, и определим отображения фц : и х Т1 ^ Еи = p~x(U% -фу : V х Т1 Еу к ф^ : W х Т1 s = (siis2)) полагая:

4- Z2, £ + Щ = (и1, и2, s^1 + 52u2 + t) + Z3 для u = (t*1,и2) £ U Ht el,

Ф3у(у + Z2, i + Z) = (v\ u2, SiV1 + s2v2 +1) + Z3 для v G V и t G R, Z2, t + Z) = (w\ w2,51Ш1 + W + i) + Z3 для № G Ж и i € К. Этим определены карты фцтфу, фцг расслоения £о- Пересечение U П Vr состоит из четырех компонент связности

D10 = {и + Z2|^ < и1 < 1, 0 < и2 < i}, An = {и + Z2|0 < и1 < i i < u2 < 1}, £>n = {w + z2|- < u{ < 1,2 = 1,2}.

Очевидно, на .D0o карты т/^ и фу совпадают. Если точки w + Z2, w £

U, и и + Z2, v Е V принадлежат компоненте то они равны тогда и только тогда, когда и1 — v1 + 1 и и2 = v2. Поэтому система условий и + Ъ2 = v + Z2 Е £>ю и ф^и + Ъ2+ = ф3у{у + Z2,U +Щ эквивалентна системе / и1 = -у1 + 1, U2 = V2, si(V + 1) + s2v2 +1 + Z = 51V1 + s2v2 + и + Z. Последнее равенство верно в том и только том случае, если — t + Z = Si + Z. Таким образом, функция перехода фуи : V П U —У Т1 на .Dio имеет вид фуц = Si + Z.

Аналогично проверяется, что на D01 она имеет вид фуц = 52 + Z, а на £>п - вид = + s2 + Z.

Пусть 5=1 + ZeZ2 = Ah Туи = фуц о R5 — фУи. Ясно, что RS{D00) = Du, RS(D10) = Dou RS(D01) = Dw и Rs(Du) = A*. Поэтому

TyV = Si + s2 + z на Ao, TyV = s2 - Si + Z на £>10, TyV = si - s2 + Z на D01, TyV = —si - s2 + Zна £>ц. Это значит, что отображение Туу :

V DU Т локально постоянно. Точно также проверяется, что аналогичным свойством обладают и отображения : W П V -У Т1 и rfjW : U f)W ->• Т1.

Поэтому AS(U) = {фу, фу, фу/} ~ почти Д-атлас, а его класс эквивалентности As представляет собой почти Д-структуру на расслоении

Форма uis — —Sidu1 — s2du2 + du3 является формой некоторой плоской Т1-связности на Т3. Поскольку

RU5 ° и2) + Z2, w3 + Z) = Фи((-и\ -и2) + Z2, и3 + Z), то Jff((u1,u2,s1u1 + s2u2+u3)+Z3) = (-it1, -и2, -SyU1 -S2u+Uz)+Z3. Отсюда следует, что матрица Якоби для

Ru имеет вид

J = -1 0 -2si \ О -1 —2S2

V о о 1 у

Поэтому (R^)*uj = со. Аналогично проверяется, что (RJ)*uj = ш и (i?D+u; = из.

Итак, ша - форма G-связности На, где G = Д х Т1. Рассмотрим пути хг : I Т2, Xl(t) = (t, 0) + Z2 и z2 : I -)• Т2, x2(t) = (0,t) + Z2. Их горизонтальные лифты относительно Н3 имеют вид = (t, 0, s^) + Z3 и x\{t) - (0, t, s2t) + Z3. Поэтому th'{xi) = si + Z, ths(x2) = s2 + Z. (4.5)

Так как HomA(#i(T2), К.) = 0, то гомоморфизм голономии тНа : Н\(Т2) —>• Т1 является инвариантом почти Д-расслоения = (£o,As). Согласно (4.5), rHS = thsi s' — s = (s'x — si, s2 - s2) G Z2.

А поэтому для £o имеется M.2/Z2 = T2 неизоморфных почти Д-структур.

Если теперь £ = (Е,р, Т2, Т1) - произвольное главное расслоение над Т2 со структурной группой Т1, A(U) - некоторый его почти Д-атлас, {фуи* 4>wv, rfuw} ~ соответствующие функции перехода, то набор s = 0ьз2) ^ R2 определяет новый почти Д-атлас AS(U) расслоения Таким образом, можно получить различные почти Д-структуры Л3 для Согласно полученному выше

Н\{В, K|Z) = Н2{В,Ж\Щ = Z.

Образующим элементом этой группы является класс формы F — F'/S, где F' - форма площади на торе, a S - площадь. В качестве образующих группы Д|2) можно, рассматривать такие цепи на торе, которые переводятся преобразованием Яэд в их дополнение.

Ясно, что интегралы от формы п ■ F, п G Z, по указанным образующим будут целыми числами тогда и только тогда, когда п -четное. Поэтому Н\(В,%С*\Ъ) вложена в Я2(В,МЩ как 2Z в Ъ. Кроме того,

Нот(Я1(В),Г1) = Hom(Z2, Т1) = Т2.

Пусть ft 6 Нош(Я1(Я),Т1) и h([x]) = а + Z, ft ([у]) = /3 + Z, где И, [у] € Я:(Г2), € [0,1). При этом ft(%(W)) - М"М) =

1 - а -f Z и А(Д[1]([у])) - М~И) = 1-^ + 2. Ясно, что а -I- Z = 1 — а + Z тогда и только тогда, когда а — 0 или а = 1/2. Аналогично, /? + Z = 1 — /3 + Z тогда и только тогда, когда /3 = 0 или (3 = 1/2. Таким образом, инвариантным гомоморфизм h является только в тех случаях, если а, /? 6 {0,1/2}. Следовательно,

НошЛ(Я1(В),Г1) ^Zl

И, по теореме 3.1, SB(T2, Т\ Д, Д) S 2Z ф Ъ\.

Пример 3. Рассмотрим, наконец, проективную плоскость В = ШР2 и зададим действие той же группы Д = Z2 на В, полагая

Дш(х р : z) = ((-l)Jx : (-1 )jy : z). (4.6)

Неподвижными являются точки (0 : 0 : 1) и (ж : у : 0) при всех щу G R, В/Д » £>2.

По предложению 4.1, #^(B,R]Z) = 0. Поскольку Дод переводит образующий элемент группы Н\(В) в себя, то

Но шЛ(Я1(Я),М) = Horn

Следовательно,

Нош(Я1(В),Т1)/imExpf = Ext(#i(5), Z) ^ Z2.

В результате: Б(Д, Г1, Д, Д) ^ Z2 Si Т1). Это значит, что каждое из двух (не изоморфных) главных расслоений с базой В = ШР2 и структурной группой Т1 допускает (при действии (4.6)) почти Д-структуру, но только одну. Так как

1(£,R,Ca|Z) С Я|(Я,ЕЩ = О, а группа Д действует на Н\(В) тривиальным образом, то НотЛ(Я1(Б),Т1) = Нот(Я1(Б),Т1), и, по теореме 3.1,

SB(RP2, Т1, Д, R) = B(RP2, Т1, Д, R), т.е. каждое главное расслоение с базой ШР2 и структурной группой Т1 является Д—расслоением.

Пример 4• Пусть В- замкнутая ориентированная гладкая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве Е3 и а0 € Е3. Она является краем некоторого компактного трехмерного многообразия Р С Е3. Предположим, что в точках щ G Р\В расположены неподвижные магнитные заряды д^ г — 1,. ,п. Заряд qt создает магнитное поле, напряженность которого в точке а е E3\{ai,., ап} равна

7],[4]. Допустим также, что в Е3 задано постоянное магнитное поле без монополей Яо> и положим п i=о

Рассмотрим заряженную пробную частицу х> которая может двигаться только по поверхности В. Выберем систему единиц измерения, в которой скорость света в вакууме с = 1. Предположим, что в этой системе единиц отношение электрического заряда частицы х к ее массе также равно единице, а магнитного заряда у % нет. Тогда если х : [0,5] —» В - движение частицы % и x(t) = aox(t), то в момент времени t на х действует сила где Я1 (#(£)) - ортогональная к В составляющая вектора #(&(£)), а квадратные скобки обозначают векторное умножение.

Буквой h обозначим риманову метрику на В, индуцированную евклидовой метрикой пространства Е3. Для индекса % £ {0,1,., п}, точки a 6 В и касательных векторов X, Y £ ТаВ положим п f(X, у) = h([X, Ht(a)}, Y) и / = U i=о

Этим определены замкнутые 2-формы /о, /1,., fn и / на В. Положив и = 1/2 и Г — (Я,/г, /, и), закончим построение гироскопической системы Г, описывающей динамику частицы % на поверхности В под действием магнитного поля Н.

Рассмотрим теперь частный случай, когда В - трехосный эллипсоид, который в декартовой системе координат (0, и1, и2, и3) задается уравнением

С»1)2 , W2 , W2 .

4 + 9 + 16 ' п = 2, заряды gi и #2 равны по величине, т.е. qi = q2 = q, точки ai и a2 имеют координаты (1,1,1) и (—1, —1,1) соответственно, а Н0 = ё3 = {О, О, Л} - однородное магнитное поле, направленное вдоль оси ои3.

Трехосный эллипсоид В допускает группу преобразований, порожденную поворотами на угол 7Г вокруг осей координат и отражениями относительно координатных плоскостей. При этом магнитное поле Н сохраняется только при повороте на угол 7г вокруг оси ои3. Таким образом, система Г имеет группу симметрий А = {<5[о],<%]} = где 5[0] = id, а tf[i](u\ и2, и3) = (-и1,-и2, и3).

Поскольку Н2(В) = Z и fB f = 4-7r(gi + q2) = Sttq, то можно положить в = Snq и F = f /в. Тогда fc F G Z для всех [с] G H2(B). Таким образом, представление f = 9 о F, где 9 G Hom(Rfc,R) и [F] G Я2(В, R*|Zfc), и > О в данном случае имеет вид / = 6 • F, а к = 1. Если £ = (Е,р, В,Тг) - главное расслоение с характеристическим классом [F] G Н2(В,Ш|Z), то оно изоморфно расслоению Хопфа.

Согласно результатам, полученным в примере 1 (почти Д-расслоения над S2), £ обладает единственной почти Д-структурой Л. Но так как его характеристическое число 1 — fB F на порядок группы Д = Ъ2 не делится, то структурой обычного Д-расслоения Л быть не может.

Заключение

Основными результатами диссертации, выносящимися на защиту являются следующие:

1. Построена категория почти Д-расслоений, т.е. главных расслоений со структурной группой Тк, обладающих конечной группой Д многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы Г = (В, д, F,u) относительно конечной группы преобразований Д равносильна существованию почти Д-структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве Е относительно многозначного действия группы Д. Построены содержательные примеры почти Д-расслоений.

2. Получена классификация почти Д-расслоений с фиксированной базой В, структурной группой Тк и заданным действием R группы Д на В, т.е. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологий и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа В(В, Тк, Д, R) классов эквивалентности.

3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти Д-расслоение эквивалентно в данной категории обычному Д-расслоению. В результате найдена подгруппа SB(B, Д, R) группы B(B,Tk,A,R), каждый элемент которой содержит Д-расслоение. На конкретных примерах показано, что в общей ситуации SB {В, Tfc, Д, R) - собственная подгруппа группы В(В,Тк, Д, R).

Результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора:

1. Казапцева(Рыжкова) А.В., Яковлев Е.И. Локально инвариантные расслоения// Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000. Казань: Изд-во КГУ. 2000. С. 436-437.

2. Рыжкова А.В. Локально инвариантные расслоения с плоскими связностями // Новейшие проблемы теории поля. 2001-2002. Казань: Изд-во Регентъ. С.409-416.

3. Рыжкова А.В., Яковлев Е.И. Расслоения с конечными группами многозначных автоморфизмов и инвариантные связности // Вестник ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление.

2002. Вып. 1(25). С. 49-56.

4. Рыжкова А.В. Расслоения с многозначными автоморфизмами // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2002. Т. 18. С. 76-77.

5. Рыжкова А.В. Почти А—расслоения над двумерными многообразиями // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2).

2003. С. 61-69.

6. Яковлев Е.И., Рыжкова А.В. Почти А—расслоения. // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. 2003. С.866-867.

7. Рыжкова А.В. Подгруппа А-расслоений группы почти Д-расслоений // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2003. Т.21. С. 194-195.

8. Рыжкова А.В. Яковлев Е.И. Инвариантные расслоения в категории почти А-расслоений // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2). 2004. С.148-158.

1. Аминова А.В. Поверхность вращения как динамическая модель лагранжевой системы с одной степенью свободы. // Гравитация и теории относительности. Казань: Изд-во КГУ. Вып. 22. 1985. 12-30.

2. Аминова А.В. Группы преобразований римановых многообразий. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.:ВИНИТИ. Т.22. 1990. 97-165.

3. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир. 1967.

4. Болотин С В . Замечание о методе Рауса и гипотезе Герца // Вест МГУ, сер. матем.-мех. 1986. Вып. 5. 51-53

5. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука. 1980.

6. Вишневский В.В., Шапуков Б.Н., Широков А.П., Шурыгин В.В. Структуры на гладких расслоениях. // Фундам. проблемы мат. и мех.: Математика ч.1. М.:МГУ. 1994. 168-169.

7. Dirac Р.А.М., Proc.Roy.Soc.Lond. 133 А (1931) Р.61-71.

8. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир. 1976.

9. Дубровин Б.А., Новиков С П . , Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука. 1979.

10. Игошин В.А., Шапиро Я.Л., Яковлев Е.И. Об одном приложении геодезического моделирования дифференциальных уравнений 2-го порядка. // Математические заметки. 1985. Т.38, Вып.

11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1,2. М.: Наука. 1981.

12. Мищенко А.С. Векторные расслоения и их приложения. М.: Наука. 1984.

13. Новиков С П . Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. Т. 37, вып. 5. С 3-49

14. Петров А.З. Моделирование физических полей. // Гравитация и теория относительности. Казань: Изд-во КГУ. Вып. 4-5. 1968. • 7-21.

15. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука. 1977.

16. Свитцер Роберт М. Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии. М.: Наука. 1985.

17. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях. М.: Мир. 1986.

18. Стинрод Н. Топология косых произведений. М.: ИЛ. 1953.

19. Тайманов И.А. Замкнутые экстремали на двумерных многообразиях. // УМН 47. Вып. 2. 1992. 143-185.

20. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука. 1989.

21. Харламов М.П. Понижение порядка в механических системах с симметрией. // Механика твердого тела 8. Киев. 1976. 4-18.

22. Харламов М.П. Характеристический класс расслоения и существование глобальной функции Рауса. // Функ. анализ и его приложения 11. Вып. 1. 1977.

23. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: ЛГУ. 1988.

24. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир. 1970.

25. Чжень Шен-Шень. Комплексные многообразия. М.: ИЛ.1961.

26. Шапиро Я.Л. Геодезические поля направлений и проективные системы путей. // Матем. сборник 36. Вып. 1. 1955. 125-148.

27. Шапиро Я.Л. Геодезическое поле направлений в целом. // Изв. вузов. Математика. Вып. 4. 1970. 103-111.

28. Шапуков Б.Н. Проективные расслоения и проективные связности. // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1995. 83-90.

29. Шапуков Б.Н. Редукция гамильтоновых систем с циклическими координатами и проектируемость в расслоениях. // Тр. геом. семин. Вып. 23. 1997. 165-174.

30. Яковлев Е.И. Двухконцевая задача для некоторого класса многозначных функционалов. // Функциональный анализ и его приложения. 1990. Т.24, вып.4. 63-73.

31. Яковлев Е.И. Геодезическое моделирование и условия разрешимости двухконцевой задачи для многозначных функционалов // Функциональный анализ и его приложения. 1996. Т. 30, вып. 1. 89-92

32. Яковлев Е.И. Двухточечные краевые задачи в релятивистской динамике // Математические заметки. 1996. Т.59, вып.З. 437-449.

33. Яковлев Е.И. О существовании решений двухточечных краевых задач для гироскопических систем релятивистского типа // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, вып. 2. 256-271

34. Яковлев Е. И. Почти главные расслоения // Матем. сборник. 1999. Т. 190, Вып. 9. 151-176

35. Kobayashi S. Principal fibre bundles with the 1-dimensional toroidal group// Tohoky Math. J. 1956. V. 8. P. 29-45.

36. Kodaira K., Spenser D.S. Groups of complex line bundles over compact Kahler manifolds // Proc. Nat. Acad. Aci. USA. 1953. V.39. P.868-872.

37. Phodes F. On lifting transformation groups // Proceedings Amer. Math. Soc. 1968. V.19. P.905-908.

38. Satake I. On a generalization of the notion of manifold // Proceedings of the Nat. Ac. of Sciences. 1956. V.42. N.6. P.359-363.

39. Stewart Т.Е. Lifting group actions in fibre bundles // The Annals of Mathematics. 1961. V.74.P.192-198.

40. Wang H.C. On invariant connections over a principal fibre bundles // Nagoya Math. J. 1958. V.13. pp.1-19.

41. Yang C.T. The triangulability of the orbit space of difFerentiable transformation group // Bulletin of the Amer. Math. Soc. 1963. V.69. P.405-408.

42. Казанцева(Рыжкова) А.В., Яковлев Е.И. Локально инвариантные расслоения// Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000. Казань: Изд-во КГУ. 2000. 436-437.

43. Рыжкова А.В. Локально инвариантные расслоения с плоскими связностями // Новейшие проблемы теории поля. 2001-2002. Казань: Изд-во Регентъ. 409-416.

44. Рыжкова А.В., Яковлев Е.И. Расслоения с конечными группами многозначных автоморфизмов и инвариантные связности // Вестник ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. 2002. Вып. 1(25). 49-56.

45. Рыжкова А.В. Расслоения с многозначными автоморфизмами // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2002. Т. 18. 76-77.

46. Рыжкова А.В. Почти Л—расслоения над двумерными многообразиями // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2). 2003. 61-69.

47. Яковлев Е.И., Рыжкова А.В. Почти Д—расслоения. // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. 2003. 866-867.

48. Рыжкова А.В. Подгруппа Д-расслоений группы почти Д- расслоений // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского матем. общества. 2003. Т.21. 194-195.

49. Рыжкова А.В. Яковлев Е.И. Инвариантные расслоения в категории почти Д-расслоений // Вестник ННГУ. Серия МАТЕМАТИКА. Вып. 1(2). 2004. 148-158. d