Аффинорные расслоения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

БЕЛЯЕВ Павел Леонидович

АФФИНЭРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ

01.01. 04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 514.76

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии казанского государственного университета имени в.И.Ульянова-Ленина

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор Б.Н.Шапуков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор в.Р.Кайгородов кандидат физико-математических наук, доцент л.Я.Султанов

Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М.В.'Ломоносова

I ОО

Защита состоится " 2У " ЯНВАРЯ 1994 г. в 1Н часов на заседании специализированного Совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина по адресу: 420008. г.Казань,ул.Ленина, 18, корп.2, ауд.217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г.казань, ул.Ленина, 18/

Автореферат разослан "_"__ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета ху

профессор Б.Н.Шапуков

Общая характеристика работы Актуальность темы.Понятие расслоения, возникшее в 30-х годах, оказалось чрезвычайно плодотворным и является одной из активно развивающихся областей современной математики в связи с ее многочисленными приложениями в математике, механике, теоретической физике. В частности, с развитием теории расслоенных пространств связана коренная перестройка всей структуры диадеренциально-гео-метрических понятий, новое понимание классических результатов, значительное расширение области исследования.

Линейная внешняя связность на расслоенном пространстве впервые была построена для касательных расслоений , £ 2] • В этих работах для заданной связности на многообразии М- построены ее полный и горизонтальный лифты в . Получены формулы для тен-

зоров кривизны и кручения, найдены геодезические линии построенных связностей.

Полный лифт тензорных полей и связностей в касательное расслоение был определен и найден Яно и кобаяши[_21 . Позднее более общий подход рассматривался Ф.И.Каганом ^з! , С4 А • Конструкция полного лифта ^ыла обобщена Моримото на касательные расслоения высшего порядка ' 53 , [.б! .

В дальнейшем аналогичные исследования были проведены в работах [7! , [в) , для кокасателъных расслоенийТ"ТА. . Б этом случае удало.сь построить лифты лишь для базисной связности, не имеющей кручения. При этом использована специфическая структура кока-сательного расслоения.

В последние годы в работах [э^ , [¿о} удалось развить теорию

лифтов связностей в расслоение линейных реперов и полукасательные расслоения, в расслоение линейных реперов полный лифт тензорных полей валентности ( I , с^ ) и связности построил Мок ^icQ . Для тензорных шлей валентности ( 0 »это сделано в .

Аффинорные расслоения представляют интерес как пример тензорных расслоений, которые обладают рядом примечательных структур, определяемых полной матричной алгеброй » , .

Изучением аффинорного расслоения занимался Кручану в работах Llöl , • В них рассмотрены полный и горизонтальный лифты

векторных шлей в аффинорное расслоение и изучены их свойства, а также векторные поля инвариантные при правых и левых сдвигах, эти исследования выполнены в духе работ яно и Идихара [l7j. Позднее аналогичные исследования проводились в . В этой работе рассмотрены также структуры почти произведения и почти комплексная., изучены их свойства. Таков краткий обзор исследований по этому вопросу.

Как уже отмечалось, аффинорные расслоения как пример тензорных расслоений типа ( I . I ) обладают рядом примечательных структур, определяемых полной матричной алгеброй,и в какой-то степени наследуют свойства как касательного, так и кокасательного расслоений. Как и для последних, возможно рассмотрение различных векторных полей, внутренней инфинитезимальной связности и т.д. с друюи стороны,есть и существенные отличия. Присоединенное действие группы GL^m4) на типовом слое аффинорного расслоения не является эффективным и транзитивным. Поэтому возникает необходимость рассмотрения

подрасслоений орбит в аффинорном расслоении, на которых действие группы транзитивно.

Наряду с изучением внутренней геометрии возникает необходимость изучения таких понятий внешней геометрии,как горизонтального и полного лифтов связностей, а также метрик в данном расслоении. Исходя из вышеизложенного, исследование аффинорного расслоения является актуальной задачей.

Иель работы, основной замысел всей работы состоит в систематическом и подробном изучении аффинорных расслоений. Мы ставим перед собой следующие задачи:

1. Исследование аффинорного расслоения как присоединенного расслоения, к расслоению линейных реперов.

2. Изучение подрасслоений орбит аффинорного расслоения..

3. Построение некоторых классов внешних метрик и связностей на тотальном пространстве аффинорного расслоения.

'Уетоды исследования, в работе используется классический аппарат тензорного анализа. Счет ведется в основном локально, ь неюлоном-нсм поле реперов.

Теоретическое и практическое значение.Результаты работы носят теоретический характер . Они могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории расслоенных пространств, а такие в научных исследованиях геометров г.Казани, Москвы, Саратова, нижнего Новгорода. Апробация работы, основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры геометрии казанского университета / руководи--тель проф. А.П. Широков/ в 1991- 1993 годах; на итоговых конференциях КГ'У ; на №вдународной научной конференции " Лобачевский и

современная.геометрия " / г.Казань 1992 г./.

Публикации. Содержание диссертации отражено в работах .

Структура и объем диссертации, диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, разбитых на ¿з параграфов, списка литературы из 47 наименований. Общий объем работы - 99 страниц машинописного текста.

Краткое содержание диссертации

В § I дается определение аффинерного расслоения. Пусть /А гладкое многообразие класса размерности т его касательное и кокасательное расслоения над базой /А . тогда аффинорным расслоением над

называется расслоение Это частный случай тензорного расслоения Т^ при^> = 1 , А. Оно является векторным расслоением ранга,\\л .

Всякая локальная система координат (IX. , уЛ ) в окрестности точки У в М- индуцирует натуральныи репер в Т^/А и сопряженный ему корепер , связанный между собой соотношением с(х4 Тогда'Ъ^П^® с[ образует натуральный базис в слое любой аффинор ^ может быть представлен в координатной форме

где У=^)с{Ао%хУ

далее даются определения векторных шлеи ( вертикальных , проектируемых ) , а также 1-форм. Приводятся законы их преобразования. Даются определения вертикального лисрта функции и аффинора.

В § 2 афринорное расслоение рассмотрено пак присоединенное расслоение к расслоению линейных реперов LIA. . Пусть

; —отображение факторизации. С помощью его диф-

фетенциала

•т ^ ^ leiA),

найдены ai - векторные поля в слое и полный лифт векторного

поля в расслоение £ .

В § 3 исследована инфинитез¡шальная внутренняя связность в аффинорном расслоении. G помощью отображениянайден горизонтальный лишт натурального репера. Выделен класс OjA - гнзари-антных инфинитезимальных связностей в

. доказано, что линейная связность в аффинорном расслоении является оЛ - инвариантной тогда и только тогда, когда ее локальная матричная форма имеет вид , где vO - i-форма некоторой линейной

связности в расслоении линейных реперов. Исследован характер соответствия * Q . доказано, что матричные формы связности с2>д

LIA

порождают одну и ту же форму связности в тогда и только тогда, когда , т.е. они лежат в одном

смежном классе по идеалу скалярных матриц.

В § 4 изучается структура типового слоя аффинорного расслоения относительно присоединенною действия группы: V-AVA"1 , где Д <£. Аффинорное расслоение распадается в прямую сумму

подрасслоений аффиноров с нулевым следом и скалярных аффиноров.

о ^

Построен специально адаптированный репер-(Е^. Е -tv! и найдены

р

структурные уравнения этого репера.

Вторая глава посвящена изучению подрасслоений орбит в а^хйи-норном расслоении, фиксация аффинора в типовом слое V* nopo.s-

дает морфизм : LÍA-—" \LfA, который является расслоением орбит типа ^ . ирбита является типовым слоем этою рас-

слоения и исследуется как однородное пространство группы

3 § 5 изложена общая теория открытых подрасслоений орбит в Е fA. . Указана методика нахождения параметрических уравнений орбит и описания их геометрического строения.

В § 6 произведена классификация орбит над двумерной базой/А . Найдены параметрические уравнения орбит в выбранной параметризации и дано их геометрическое описание.

§ 7 посвящен наховдению O-d - векторных полей , определенных в § 2 . в орбитальных координатах .

В § 8 найдены полные лифты векторных полей в орбитальных координатах .

В § 9 получены ограничения на орбитах горизонтального лифта векторного поля в аффинорное расслоение . Сформулированы

два вывода: с

а/ в подрасслоении орбит

ад двумерной базой IA

связность нелинейна, б/ Параллельное перенесение вдоль кривой в подрасслоении

над двумерной базой не зависит от типа аффинора.

Третья глава посвящена изучению внешней геометрии аффинорного расслоения.

В § 10 дается определение внешней связности на авдинорном расслоении в смысле Б.Н.Шапукова. Приводятся определения приводимых, вполне приводимых и проектируемых связностей.

В § II изучается горизонтальный лифт связности \у в аодринор-ном расслоении и доказана следующая теорема. Теорема 3. II. I. Связность V на аффинорном расслоении

А

является горизонтальным лифтом связности на базе ¿Л. тогда и только тогда, когда

- является вполне приводимои. 2- проектируема. 3. чЛ^оЛъЭ! , А

где гОд - 1нрорма связности

V базы К . с

В § 12 исследуется проблема полного лифта связности V ,

определенного условием

Дан отрицательный ответ на существование таких связностей.

В § 13 построены некоторые типы метрик и внешних связностей на Е1А. • Найдены компоненты метрики полного лифта и коэффициенты соответствующей римановой связности.

Научная новизна и основные результаты диссертации,выносимые на защиту.

1. Исследовано аффинорное расслоение как присоединенное расслоение

к расслоению линейных реперов, найдена внутренняя инфиндтезималь-ная связность, инвариантная относительно присоединенного действия структурной группы.

2. Получены структурные уравнения связности в специально адаптированном репере.

3. Произведена классификация орбит над двумерным многообразием,

найдены их параметрические уравнения и дано их хеометрическое описание.

4. Дана полная геометрическая характеристика горизонтального лиср-та связности в аффинорное расслоение.

5. Построены некоторые типы метрик и внешних связностей на щцж-норном расслоении и изучены их свойства.

Работа выполнялась в рамках открытой научно-исследовательской теш кафедры геометрии казанского госуниверситета " изучение обобщенных пространств и пространств со структурами , определяемыми алгебрами " , номер государственной регистрации 0186. 0123456.

Приношу свою глубокую благодарность научному руководителю д.ф.м.н., профессору Б.Н.Шапукову за постоянное внимание и помощь при выполнении настоящей работы.

- 11 -ЛИТЕРАТУРА

1. Yano К., Ishihara Sh. Horisontal lifts of tensor fields connections to tangent bundles. // J.Math., and Meeh.-1966. -216. N 9. -P.1015-1029.

2. Yano K., Kobayshi Sh. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. I.General theory.

// J. Math. Soc. Japan -1966. N 18. N 2. -P.194-210. 3- Каган Ф.И. Аффинные связности на касательном расслоении. // Изв. вузов. Мат. -1975. -N 2. -С.31-42.

4. Каган Ф.И. Римановы метрики в касательном расслоении над ркмансвш многообразием. // Изв. вузов. Мат. -1973. -N б-. -С.42-51-

5. Morimoto A. Lifting of some types of tensor fields and connections to tangent bundles of pr - veoooities.

// NogoyaMath. J. -1970. N 40. -P.13-31.

6. Morimoto A. Lifting of of tensor fields and connections to tangent bundles of higher order.//Nogoya Math. J. -1970. -N 40. -P.99-120.

7. Sato K. Complete lifts from on manifold to its Cotangent Bundle.// Kodai Math. Sem. Rep. -1968. -7.20. -P.458-468.

8. Yano K., Patterson E.M. Horisontal lift from a manifold to its cotangent bundle. // Jour. Math. Soc. Japan -1967. -7.19. -P.91-113.

9. Mok Kam Ping. Lifts of vector fields to tensor bundles. // Geomet. dedic. -1979. -8, N 1. -P.61-67.

10.Mok Kam Ping. Complete Hits of tensor fields and connections to the frame bundle. // Proc. London Math. Soc. -1979. -38, N 1. -P. 72-88.

11. Sasaki Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds. // Tohuku Math. J. -1958. -10, N 3. -P.338-354.

12. Лаптев Б.Л. Аффинная связность в пространстве опорных элементов. // Учен. зап. Казан, у-та. -Казань, -1949. -Т.109- -Кн.4. С.187-216. -

13. Лаптев Б.Л. Ковариантный дифференциал и теория дифференциальных инвариантов в пространстве тензорных опорных элементов. // Уч. зап. Казанск. ун-та. - Казань, 1958. -Т. 118. -Кн.4- -С. 75-147.

14. Шапуков Б.Н. Тензорные расслоения..// Памяти Лобачевского посвящается. Мзд-во Казанск. ун-та. -вып.1. -1992. -С.104-125.

15. Cruoeanu V. Le fibre des tenseurs de type (1.1) sur une variété differentiable. // An. sti. Univ. Iasi. -1982. -sec.1a., 28, N 1. -P.45-54.

16. Cruoeanu V. Objects geometriques invariants sur le fibre des tenseurs de type (1.1).//An. sti. Univ. Iasi. -1982.

17- Yano K., Ishihara Sh. Tangent and cotangent bundles. // Differential geometry. New York. -1973. -434 pp.

18. Cancarzevicz J. et Noureddine Rahmany. Relevements horizontaux des tenseurs de type (1.1) oh fibre E=T Й о TM // M. Math. -1986. -N 1. -P.53-77.

Публикации автора по теме диссертации

1. Беляев П.Л. Аффинорные расслоения. Казан, ун-т. - Казань: 1992. - 22 с. - Деп. з ВИНИТИ. 03.06.92. к 1831-В92.

2. Беляев П.Л. Структуры на аффинорных расслоениях // тезисы докладов меед. конф. " Лобачевский и современная геометрия " -Казань., £992 - Ч. Г. - С. 11-12.

3. Беляев П.Л. Подрасслоения орбит в аффинорном расслоении. Казан, ун-т. - Казань: 1993 - 12 с. - деп. в ВИНИТИ i0.u3.93. * Ь66--В93.