Геометрия чистого аффинорного подрасслоения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

УДК 514. 763. 36

ГЕОМЕТРИЯ ЧИСТОГО ЛФФИНОРНОГО ПОДРАССЛОЕНИЯ

01. 01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

К А 3 А Н Ь -

130 1

Работа выполнена на кафедре геометрии Бакинского государственного университета им. М. Э. Расулзаде

Научные руководители:

— доктор физико-математических наук, профессор

Вишневский В. В.

— кандидат физико-математических наук, доцент Салимов А. А.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор

Шапуков Б. Н.,

— кандидат физико-математических паук, допент Сосев С. Н.

Ведущая организация: Университет Дружбы Народов

имени П. Лумумба

Защита диссертации состоится 1994 года

в часов на заседании спеинализнрсгеанного Совета

№ К 053. 29. 05 по присуждению ученых степеней по математик в Казанском ордена Ленина и ордена Трудовою Красного Знамени государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Ленина, 18, корпус 2, а уд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18).

Автореферат разослан « ^ » 1994 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

В. В. ШУРЫГИН

ОБЩАЯ ХАРАКШШИКА РАБОТУ

Актуальность теми. Теория расслоенных пространств влязтся одашм пз рьзвлвагацпхся областей современной диф-¡еренциальной reo:.',атрии. В последние годы миопии гаомот -адя внесзнц ощутимый вклад в эту теории ( см.калр. [i], {¿\ , .31, М, [5J г [о] ). К э?0!"г классу принадлежать касатолъ-оо раселоопио, кокасатзльноо расслоение, расслоение лпней-ых реперов, расслоение тензоров произвольного ii:n?, я др. CTocinocj-oi паркг.'и среди перечисленных расслоенных гостгат'стп ::сслсдованы касательные расслоения. Е -"ботах 2] ¡ [з] са.тя рзшовч различные вопроси, ■ каспгсатс - гзомот-

líccnsanbvorü расслоения, б ясм чнслз roricoo о лг(уах a;i30p¡i:!x ко.той и аффйккнх свяспосгзй п касательное РАССЛОИЛО.

ОбоЗиокием касательного и когдсагольиого расслооклЗ вляется рас?лос!шо тензоров произг )лы-;ого т.ша. Различало-опросы гоомзтрпз тонзорлых расслоош:;! ро.' оны Б«Н*£тухо -та (см.напр. С"])- Ваупойпи!: кчасс гопзсршх раослэоздН, им'.чпю гай-пггшйсмыо частно толоарнко нодрассло5Ш1Я от-

почта структура т.^у.'Ж)

,Сато з pacora fe]. 7длг-::з!:йс-в .тзсгг.-с ti:;-

opii'JX подр^сл^-нЛ относительно произвол:-:io;¡ тон., •; ¡o:, ггуктугя спшата^й Л,Л.С:>л:г::о;у (с:.<.нз:>р. [С;,

нп^зт-ос::!':' cpú'.r;; тсгсор.ччч ^-х-.'лэол:: .. ■ :- т:-'1ссл'-/;>;г!0 го;-: с: ел (i,О , т 'о-: г -

ггк-у"': "то со::::":1-".':■■/ --

тельного расслоения. Несмотря на то, что некоторые вопроси связанные с структурой аффинорного расслоения уке решены (сг.:. [и] ), однако целый ряд актуальных вопросов геометри аффинорного расслоония все еще не исследованы (в сравнении с хасатзлышм и кокасателызш -.расслоениями)» Применение ф -операторов (см. [ю]) способствовало бы репеншэ этих вопросов. Именно по этой необходимости возникла тематика настоящей диссертации.

Целью работы является определение полного и горизонтального лифтов тензорных:' полай и аффинных связностей в аффинорнов расслоение вдоль шетого.аффинорного подрассло-ения, изучокиз соотношений меяду ниш, а также решение различиях вопросов, сеяз&шнх с структурой чистого аффинор ноге подрассло'ения. •

Котод; исследования; Используются Метода тензорного аппарата' на дифференцируемых многообразиях и теории Я?. -операторов. Исследования носят в основном локальный харак тар и ведутся в клаоса достаточно гладких функций.

Научная новизна? и основные задачи, решенные в диссер тацшт и вносимые на защиту: : , —

1, Впервые отгрзделено чистое аффипорноо полрасолоснио относительно тензорюй структуры пройзвольного вина, тта^ этого подрасслоания найдены тензорные поля, теово,связанны! с ого структурой. ' . -

2. Для фиксированного тензорного поля типа р?с> еесдош аналоги ф -сепараторов, применяемых чистим аффинорам, изу*0кы,ссп0в5шс свойства отггх одораторов.

3. При ломот введенных операторов на а$с|пяоряои рас-лоошы вдоль чистого а-Мшорпс-го подрасслоени построены 'олшй п горцзопталышй лифты тензорных полей, исслодовшщ сновпио свойства эти ллг.тов и соотношение мег^У шс.щ, зучены даТ^ооморфизш а-Тхолнорного расслоония в расслоеняя озариантнпх тонзоров типа (0,3) ,

4. Построены горизонтальный (в случае, когда связноста эз кручения, такяе полный) лифт аффпннои связгостп в янорноа расслоэгшв вдоль чистого асйинорного подрасслоо-ия, определены свойства тензоров кривизны и кручения остроошюй связности.. _

Тпооат1Гчсское значаща. Диссертационная ра-Зога лосят еоретическпй характер, ов результаты и иетоды мох;.-г- быть . :спользоЕаны при изучшши геометрии тензорных раослэзинлх ространсхв'даФФершщируомых многообразий.

Апробация ряботч. Основные результаты диссертации докалывались и обсуждались на следунцкх конференциях я санк-¡арах:

1. На сошшаре ка^одры геометрии Казанского государ-¡твонного университета (рук.проф.Широков А.а. - декабрь !991, февраль 1992, ишь 1993 ).

2. На семинара клфодрн гоомотрш: Бакинского гссудар-¡твокного университета :и.М.Э.Расулззде (рук.вроМ^-¡ов Н.Т. - гшроль 1993 ).

3. На итоговой научно Г: кон^орошигл Казанского гоеу -■ арстг.енг.ого унта'зрсг.тста(яг1Барь 1-22,) ,

4. Ка глаздшародной научнс-тохшгаескэл конференции "Лктуалыше проблемы фундаментальных наук" (Москва, ноябрь 1991 ).

5. Ка XIV Республиканской конференции молодых спзциаластов ( £аку, декабрь 1991 )»

6. На международной парной конференции "Лобачзаский и современная гзомзтркя" ( Казань, август 1992 ).

Ех&ЗШШШ' Диссертационная работа является саыосгся-телкчку. исследованном автора. Яо томо диссертации опубликованы 8 работ. Из работ",• выполненных совместно с А„А.Сал1 мовкм в диссертацию включены только те результаты, ко-лорив принадлежать автору,

Объем щботн. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и изложена на- 108 страницах машинописного текста. Список литзратуры включает 73 ьелгшно-ваала. ' "

КРАТКОЕ С0Д2РШИЕ ßlCCIfflAIMI

Бо явадвизл обоснована актуальность томи, приведена, цш работн 2 асорстичвекоо виачошге получшшкх рвяулми-"св, дли краткий обзор литоратура по теме работу, идгояони оечовяио результаты диссертация.

Пор--у»л т-гаяп ( §§ X,2;J,-l ) пооЕяцастея спредокшжг »с.ч*го:«> {^лкогпего лоараседо »taut к содор-дть '/д™»!« carsuv

зфа. Б первом параграфе указаны необходимо сведения из зорхш расслоенных пространств( которые в дальиоЕпеи будут зпользованн. Призодшш примеры векторных расслоенных ространств-

В §2 рассматривается дифференцируемое многообразие Ма с тензорной структурой 5 тала (1,р) • Приводятся екоторш примеры тензорных структур. Определяется класс истых относительно .-структуры аффиноров па, многообра-пи Ма , изучаются основные свойства чистых аффиноров.

§ 3 начинается с рассмотрением аффинорного раселооник д^ференгщруемого многообразия . Далее из этого глс-

(лэзшш 2ыд«лн'лся чистое относительно о -структуры а'>-яшорноо подрэеслоенив. На тотальном пространство гф'спюр-юго расслоения вдоль чистого аФшоряаго подрасслссопределяются тензорные поля, тесно связаншо о тзноор'^ми голями, заданных на базе расслоения.

В § 4 на мнояеетве чистых относительно -структур'! аффиноров, задшшых на многообразии К1Г , олредоляотся збобпеншй оператор Яно-Ако - , где t -чистый б/Т>-

фннор, устанавливается связь мег>ду зтзал оператором и оператором Татибаны (си. [з], [ю] ). Доказывается тоорсиа, шяс-няпцая основное свойство обобщенного оператора Яно-Ако.

Во второй глчпп ( 5,6,7,0,9,10,11 ) разахается тесгля лифтов тензорных поле Л'в аф^корноо расслоение вдо."ь ЧИСТОГО аффЛНОрНОГО ЛОДраССЛЭОННД.

В § 5 приводятся необходимые сводапия из тсэрт: .^то.--тоизораых полой п рассл>вюшо пространств дг'К-сронтарг'сг^х

многообразий.

В §6 рассматривается вопрос о полном лифте векторного поля з афглшорпое расслоение вдоль чпстсго яфТяшорпого подрасслсония и устанавливается инвариантность полного лис та. Для заданных векторных полей строится полный лифт скос из Ли этих полз" в афТмнорное расслоению 'вдоль чистого аффинерного подрасслоения и выясняется, что ои обладает оно; ctlim, аналогичного" к касательному расслоению.

В § 7 строится горизонтальный лифт векторного поля з аИ'Шюрное расслоение вдоль чистого аффшорного подрассло-оидя и устсшавдоваогсяс связь поеду йодным и горизоатакышм .шфтами векторных'поло1-1. Определяется-горизонтальный лифт скоби: Ли векторных полз!1: в аЭДанорпоо расслоошю вдоль чистого аф&шорного подрасслоения.

3 § В при homo^ui Обойденного опоратора Яно-Ако определяется полный лк<1>г тензорного ноля типа в афТлкорчоз расслоение вдоль чистого а-^пнораого подрассло-а.чпя. Ус Х'пвлкгазте;; вдзарпшшюсть полного липта. Опро- -

тя.>»?ся ооновние свойства полного лифта тензорные полой в г.'1)'1пэр;юо р?.сслоеш1?. идоль чистого »Тфгиорнох'о подрчс-слоиния. Строятся полные лкфти некоторых а-Ыккодешх структур, в ТОМ ЧИСЛО ПОП':! комплексной СТРУКТУРЫ , стг:у7стуры ПОЧТИ 'гроИСССД'-ШПЯ, ПОЧТИ 'JUT^Í&'lTOflUIO'.UlOli CTpyiCTj'pii,

' •"'."opa H.ii'.oiixo'-ca аМ::;оров в афгинорпоо раасюопво

ЧГ.СГОГС Г./'ГЧОР'.ОГО ТК'ДГаССЛО'Л'ГЛ. BlHl/HUiOCCÍÍ v.onpon о су-

'г/сгро'-.рлиа; г. ••„•«цпоП стушостя, СoxirjjíVjíuJ1.'ПОЧТИ структура, очредолчагд}.'; ;:-;ог-::ог.'

Р.НИИ. * .

В § 9 определяется горизонтальный лифт тензорных полой в афушюркое расслоение вдоль чистого аффннорного под-расслоендя , устанавливается инвариантность горизонтального лифта, а такке связь ыеяду полным и горизонтальным лиф-таш тензорных полой в аффинорное расслоение вдоль чистого адаош-юркого подрэелловпия.' Изучаются основннз свойства горизонтального лифта тензорных полей.

В § 10 строится полдни л::;!/: "-.со'.-.-х относительно 5 -структуры тонзоров в аофинорное расслоение вдоль чистого аЛТяшорного подрасслоення. Определяется класс Я? -аффиноров, заданных на многообразии М^ , которые характеризуется соо'гнопсш'.ш.'. Яг^Ш-О , где -обобщен-ныл опора т-ор Якс-Ако, применяемый "чистому аффинору. Строится полный лифт Ф -аффиноров в аффинорноа расслоение пдоль чистого аКтаюрного иодрасслоения. Определяются пел-пин п г-опизепташшй лпфтк производной Ли аффкнорного поля вдоль некоторого в.экторного поля в аффинорноа расслоение вдоль чистого аффпкорксго лодрасслоения. Строится горизонтальный ,'а1.'>т тензора Лойенхойса аффиноров в аффинорноа рг-сслошшо вдоль чистого аффинорного подрасслоения.

2 '} II рассматривается чпетоа афЗ&пнорное подрасслое-нло пего многообразия . В предположении, что ри-

капов нстркчьенвЛ тонгор шет относительно Э -структура, гвдашюй ча многообразен М^ , определяется отображение гл^;и"()иаого русодоеття. в расслоение, коварлантннх тоизороз тина (о.з) • которое сшдавается дййфоог;ор-7лсиом. Йаход-условия, при которых полипе лзфты танзогшх полей з

рассматривавшие расслоения вдоль ех~ чистых подрасслоений переходить друг к дру!у.

Третья глава ( §§ 12, 13, 14 ),посвящена построению полного и горизонтального лифта аффинной связности в аффинерное расслоение вдоль чистого аффинорного подрасслоения,

В § 12 приводятся' основные факты из теории лифтов аффинных связностей в касательное и юкасатвльнов расслоения, расслоение линейных реперов дифференцируемых многообразий. Определяется горизонтальный лифт аффинной связности в' аффинерное расслоение вдоль чистого аффинорного подрасслоения:, находятся коэффициенты этой связности.

В § 13 при помощи горизонтального лифта определяется полный лифт аффинной связности в аффинорное расслоение' вдоль чистого аффинорного подрасслоения, находятся коэффи- -циентн этой связности. Доказывается теорема, устанавливающая основное свойство полного лифта аффинной связности е аффинорное расслоение вдоль.чистого аффинерного лсдрасслоо-

1ШЯ.

В § 14 строятся полный к горизонтальный лифты тензоров кручения и кривизны аффинной связности в аффинорное расслоение вдоль чистого аффинорного подрасслоения, находятся геодезические линии полного лифта аффинной связности.

Автор выражает глубоки благодарность своим наугте.г. руководителям проф.В.В.Вишевсколу и доц.Д.А.Салкмову па постоянную помощь и внимание при выполнении настоящей работы.

Л и т е и а тур а

1. Вишневский В,В. Многообразия над плюральными числами// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ВИНИЩ АН СССР.-IS88.-Т.&0.-С.35-74.

2. ~Iim\o К., Кэ"пауагД1 S. Prolongations of tenser fields connections to tangent bundles, 1. General theory// J. loath. 3ec. Japan.- 1966.-v. 18.-II 2,- p. 194-210. -

3. Звтушик Л.S., Думисте Ю.Г., Осауячу Н,М., Широков А.Ц. ЙЕТйерзнциально-гзометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. ЕЖШ АН CCCP.-I979.-Т.9.-247 С. .

4. Yano К., Patterson ii.tJ. Vertical and complete lifts from a manifold te its cotangent bundle // J.ikth.Soc. Japan,-1967.- V . 19.- p. 91-113.

5. Koa Ping Kok. Complete lifta of tenser fields and con-rcctiona ta the irar.e bundle // Proo. London Math. See. - 1979.- v. 30.- N 3.- p. 72-33.

6. Oisraaro J.eon M* Lifta of tensor fields to the i.rane bundle // Rend, oJ.ro,, mat./ Palormo.- 1933.- v.32,

- I! 2.- p, 235-271.

V. Шзлуков Б.Н. Связности на ди^еронцируемых расслоениях /7 lifora и техшшт. Проблемы геометрии. КИШИ АН СССР.- Ii'65.-T.IR.-0.6I-33.

О. I. Al..:oet analytic tensor fields in almost conplej:

-;anl i'ulOa// .-..<\оа-л I.:c-.ih.J.- 1966.- v. 17.- К 2,-p. 105- • 119.

9. Салимов A.A. Квазиголоморфное отображение и тензорное расслоение // Иыв.вузов.Матвматика.-1989.~гё I2.-C.73-75.

10.CamiOB A.A. Новый катод в теории лифтов тензорных полей // Тезисы докл.ыезд.нйучн.крнф."Лобачевский и современная геометрия". I часть.- Казань. 1992.- С.69.

11. Сгиоеали V. Le fibre ¿es tenseurs de type (l,l) sur иле variété differentiable // An. Sti. Univ. Iaai.~

.1982,- Sec. 1a.- v. 2 8.- H 1,- p. 45 - 54.

1 ' •

Дублик^тши автора по теме татсоертадш

I. Салимов A.A., Фаттаев Г.Д. Пол1Шй ле^я1 векторного поля s чистое тензорное подрасслоение.-Б.,1990.- 18 с.-Деп. в Аз НИШИИ 07.05.90. Я 1489 - А3.90. ' 2. Салшов A.A., Фаттаев Г.Д. Обобщенный оператор Яно-Ак'о и новый метод о лифтах тензорных лолей // Сб.докл.молд. научн.-техн.конф. "Актуальные проблемы фунд. наук". Т.2-Мооква. 1991,- С.63-65. .

3. Саляыов A.A., Фаттаев Г.Д. Полный лифт тензорных полей

в подрасслоение ковариантных тензоров // Докл. АН Азерб. реснубл. (принять на печать).

4. Фаттаев Г.Д. Ползши лифт почти аитщсватернионной структуры в чистое тензорное подрасслоешге.- M.- I9S2.-Ï5 с,' Деп. в ШШЯИ 23.03.92. В 89- В 92.

5. Фаттаев Г.Д. Некоторые почти голоморфные тенэоршз деля в многообразии и его чистом а£<[зшорном подрасслоотзь-

И.- 1992.- £7 е.- Дзн. а ШШПИ 25.09.92, Ш 2851 - В 92.

6. Заттаов Г.Д. Горизонталъглй лифа? тензорных полей в чистое аф|инорнов лодрасслозииа,- М.- 1992,- 19 е.- Деп. в ШШПИ 25.09.92. Л 2852 - В 92.

7. Фаттаев Г.Д. Полный лифт аффинной связности в чистое аф-шинорное подрасслознлоБ.- 1992,- 13 е.- Дел. в Аз. • НИЖИ II.II.S2. & IS04 - Аз 92.

8. Jattayev G.D. On наше almas fr helamerphle tenser fields

en manifold and its pure affiner aubtundle // Тезисн докл.медд.паучн.конф. "ЛобачогзтшЗ и современная геометрия". I часть.- Казань. 1992»-= еДЗЗ - 123.