Структуры на кокасательных расслоениях и их автоморфизмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

р •

' V "КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи УДК 514.76

ХОДЖИЕВ Маъруф Бобомуродович

СТРУКТУРЫ НА КОКАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государствен ного университета имени В.И.Ульянова-Ленина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Б.Н.Шапуков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

• Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М.В.Ломоносова

на заседании специализированного Совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань,ул.Ленина,

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г.Казань, ул.Ленина, 18/.

профессор В.В.Вишневский кандидат физико-математических наук, доцент Е.Н.Сосов

^Защита с.остоится "2.5 "ноября 1993г. в часов

корп.2, ауд.217.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного Со ~ профессор

Б.Н.Шапуков

1. Обтяя характеристика работы

и

стуальность теин. Касательные расслоения дифференцируемых югообразий являются гладкими расслоениями, теория которых ;следоьана в настоящее время, по-видимому, наиболее» детально, га впервые стали изучаться японскими математиками /Сасаки,Яно, жара, Кобаяси, Морюлото и др./, Появление работы Сасакя (1] )дожило начало изучению дифференциальной гзометрии касательно расслоения риманОЕЫх пространств. Он В5ел в касательном изолоеяш риманового многообразия риманову метрику, нолучив-/зэ в дальнейшем его имя, рассмотрел ряд вопросов, связанных, группой изометрий ь касательном расслоении, ввел понятия зртикального и полного лифта векторных полей с базы в кас'а-зльное расслоение.

Наряду с касательными расслоениями с конца 60-х годов ачалоеь изучение двойственных им кокасательных расслоений, числу первых работ можно отнести работа £2^, , ' [ 5 в которых авторы рассматривали теорию продолжения тен-эрных полей и аффинных связностей в кокасательное расслоение, ледует отметить, что на кокасатольном расслоении при построе-;:и лифтов тензорных полей существенно использовалась симплек-кческая структура £ 2 ] , которая естественным образом бозяи-ает на кокасательном расслоении. В отличие от касательного асслоения, авторам не удалось построить лифты тензорных полей роизвольной валентности. Построен вертикальный лифт тензорных олей типа ( 1. Б') , в частности, полный лифт тензорных полей ипа (1.0) (1.1") и С1.2) , а также горизонтальные ифты тензорных полей типа ^ 1.0 } и С 1.1 ) [2 ] , ^з} .

В известной монографии Яно и Исатара ] подведены итоги

развития геометрии касательных и кокасательннх расслоений до 1973 года. Обзор дальнейших исследований можно найти в работе А.П.Широкова (.7 ^ ив монографий Леон М., Родригос П.Р. [8} Что касается теории связкостей на кокасательных расслоениях,тс в этом направлении отметим работы и .

Вопрос об инфинитезимальных преобразованиях расслоений над: дифференцируемым многообразием с заданной связностью занимает большое место. Но отметим, что в отличке от касательных расслоений для кокасательных расслоений в этом направлении еще довольно мало сделано. Отметим только работу [ 10 ) , в которс автор изукает инфинитезимальные аффинные и изометрические преобразования на кокасательном-расслоении с метрикой и связностью полного лифта.

В настоящее время дифференциальная геометрия активно занимается изучением дифференцируемых многообразий, снабжении: различными & - структурами. К структурам такого типа относятся, в частности, касательная структура, структура почт! произведения, почти комплексная структура и др. Такие структуры естественным образом появляются на кокасательных расслоена Кокасательное расслоение является также прекрасным примером симплзктических многообразий.

Важную роль играют вопросы приложения геометрии кокасател! ного расслоения к некоторым вопросам физики, механики, теории относительности. Здесь следует отметить работы [.9"\ , ,

работы румынских геометров, появившиеся в этом направлении

£10} , ^ 12 ) и др., где кокасательное расслоение расемот рано с точки зрения гамильтоновой-механики.

При рассмотрении вопросов, связанных с автоморфизмами

' - 5 -

зличных пространств, эффективно используется аппарат дифферен-ювания Ли, конструкция которого для произвольного дифферен-ш,но-геом&трического объекта /д.г.о./ дана Вагнером [_13} . )бщение понятия производной! Ли для пространств опорных зментов было выполнено Б. Л Лаптевым ^ 3,4 ^ . Дальнейшие зледования в.этом направлении проводили В.И.Близникас ^16^ , З.Евтушик [17"] и др.

За последние десятилетия операция дифференцирования Ли пла многочисленные применения в дифференциальной геометрии зслоенных пространств. Б.Н.Шалуков £ 15 показал,'как исходя понятия производной Ли на дифференцируемом многообразии, кно построить' производную Ли в расслоенных пространствах злкчного типа, специализируя классическую формулу производной от д.г.о. к структуре соответствующего расслоения.

Из сказанного выше следует, что исследование дифференциаль-й геометрии и автоморфизмов расслоенных многообразий с задании на них структурами является актуальной задачей, представ-ющей научный интерес.

лью настоящей работа является, во-первых, изучение дифферен-альной геометрии кокасательного расслоения в тесной связи с сслоенияш реперов, кореперов и касательного расслоения, -вторых, проводится исследование автоморфизмов,сохраняющих сслоение, метрику и различные дополнительные структуры, тественным образом возникающие на кокасательных расслоениях. тоды исследования.' В целом в работе используется классический парат тензорного анализа. Исследования носят локальный харак-р. Как правило, используется неголономное поле реперов„ оретическое и практическое значение работа. Работа имеет

теоретический характер. Ее результаты могут быть использован! при дальнейшем изучении кокаеательных и присоединенных к ник расслоений, а танке в. теоретической механике. Атгообапия работы. Основные результаты диссертации докладывал! на семинаре кафедры геометрии Казанского университета /руковс дитель проф.А.П.Широков/ в 1991-1933 годах; на итоговых науч! конференциях КГУ, ДГПУ /г.Душанбе/; на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" /г.Казань 1992 г./.

Публикации. Содержание диссертации отражено в работах ^ -1 Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введен! трех глав основного текста, разбитых на 19 параграфов, 'пискг литературы из 85 наименований. Общий объем работы - 134'стрг машинописного текста.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность, новизна, даэтся краткий обзор исследований по дифференциальной геометрии кокаеательных расслоений, автоморфизмам обобщенных пространств, дифференцированию Ли.

В первой главе рассматриваются вопросы дифференциальной геометрии расслоения кореперов К*И и устанавливается связь между расслоениями реперов и кореперов.

В §1 дается понятие расслоения кореперов К М, определен проектируемые векторные поля на , горизонтальные лифи

1- форм и канонические /или базисные/ 1-формы СО1, на К*^

В §2 найден полный лифт векторного поля на К* И и из ны его свойства.

В §3 доказано, что всякое ОV -инвариантное векторное по-на имеет вид:

17= -V

>но проектируемо. В частности, б и -инвариантным является шый лифт векторного поля в й*^ .

В §4 найдейа инфинитезямальная связность расслоения коресе-1 в виде

В §5 дается определение горизонтального лифта векторных пой в . Построено поле адаптированных реперов на и осмотрены структурные уравнения связности. Получены отличные нуля объекты неголономности. Далее на И найдены" неголоном-е поле реперов } и дуальное к ним неголономное ле кореперов ь ? ¿Ь ^ . Структурные уравнения этих полей ределяют на тензоры кривизны и кручения.

В §6 исследована связь между расслоениями реперов и корепе-в. Построен изоморфизм ф КМ —который всякому перу ставит в соответствие сопряженный ему корепер, замыкаго-:й коммутативную диаграмму

жазано, что г инвариантные векторные поля, базисные

¡кторные поля, канонические 1-формы на R 1Л , Я5 - связаны соответствующими полями на КМ

Вторая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии зкасательного расслоения. Она носит частично реферативный

характер. Далее специализируются результаты Б.Н.ГОапукова для случая кокасательного расслоения с учетом рассматриваемых структур. Построен метрический изоморфизм Т1Л —* Т^ГЛ

В §7 изучаются симплектическая структура £ на кокасатед ном расслоении Т*М , вертикальные вектовные поля и горизонтальные 1- формы, инфинитезимальная связность и структура поч! произведения V . С помощью аффинора — Е^) дается

определение адаптированного базиса.

В §8 кокасательное расслоение рассматривается как присоеди ненное к расслоению кореперов. Используя коммутативную диаграм му

R* -fli^j*^ t

на T^Ki ' найдены векторные поля, - связанные с век-

торными полями на

§§ 9,10 посвящены изучению внешних связностей и метрик на

тм.

Рассмотрены различные типы метрик /метрика полного лифта, метрика Сасаки/ и связностей £ приводимые и вполне приводимые ). Найдены формулы для вычисления тензоров кривизны и кручения в адаптированном репере.

В §11 изучаются римановы связности на , приведены

примеры римановых -связностей.

В §12 определен класс симплектических связностей на'Т*^ выделены некоторые специальные типы симплектических связностей; симплектически приводимые и симплектически вполне приводимые.

§13 посвящен изучению метрического изоморфизма ^:Т М —»T* медду касательным и кокасателъным расслоениями с помощью заданного метрического тензора а на базе И . С его .

помощью построено поле реперов на Т*\Л . § -связанное

с полем адаптированных реперов на ТМ . Найдены их структурные уравнения. Приведены примеры тензорных полей на Т*М , ~ связанных с тензорными полями на ТГЛ •

В §14 с помощью метрического изоморфизма определены -лифты тензорных полей в кокасательное расслоение. Построены вертикальные, полные и горизонтальные д -лифты тензорных полей в Т*И и найдены условия, при которых ^ -лифты совпадают с лифтами тензорных полей в Т*1Л . Определены понятия! полных лифтов функции и 1-формы на • •

В §15 определены изоморфизмы метрик и связностей из касательного в кокасательное расслоение. Найдены условия, при которых метрики полного лифта и Сасаки из ТМ отображаются в метрики полного лифта Сасаки в •■ Далее определены внеш-

ние ^ -связности на . Доказано, что при изоморфизме

% *,ТМ —>Т*М образ римановой связности метрики Сасаки на Т ^ совпадает с римановой связностью Сасаки на Т^М

Л

тогда и только тогда, когда — О

Глава Ш посвящена изучению некоторых типов автоморфизмов на кокасательных расслоениях. Как правило, мы рассматриваем автоморфизмы, сохраняющие расслоение.

§16 состоит из двух пунктов: в первом вводится операция . дифйерэнцирования Ли с классической точки зрения. Записаны формулы для вычисления производной Ли для различных д.г.о. в адаптированном поле реперов. Найдена производная Ли от аффинора Р структуры почти произведения и от симплектической структуры £ . Во втором пункте с помощью изоморфизма ; Т14! — операция дифференцирования Ли из ТМ отображается в Т*^ . Осуществляя переход от поля адаптированных -реперов к

- 10 -

полю адаптированных реперов на Т * 1Л , ш находим связь ( между указанными производными Ли.

В §17 изучаются инфините зимальные аффинные преобразования на Т*1Л • Используя изоморфизм —> ш нахо-

дим векторные поля, порождающие инфинитезималыше аффинные преобразования на кокасательном расслоении с метрикой полного лифта и метрикой Сасаки (.Т*^ ^• Определены

проектируемые аффинные преобразования на и '

В §18 найдены инфинитезимальные аффинные преобразования на

и (Т*^,^) » сохраняющие внутреннюю связность. В §19 рассматриваются симплектические преобразования /локально гамилътоновые векторные поля/. Определены проектируемые симплектические преобразования, а также симплектические преобразования, сохраняющие внутреннюю связность. Научная новизна и основные результата диссептапии. выносимые на защиту.

1. Дано симплектическое исследование расслоения кореперов. Введены и изучены различные типы векторных полей,инфинитези-мальная связность, структурные уравнения этого расслоения. Установлена связь между расслоениями реперов и кореперов. ,2. Получены новые результаты по дифференциальной геометрии кокасательных расслоений. Дана их конструкция как расслоений, присоединенных к расслоению кореперов. Рассмотрены и изучены векторные поля, метриюГи связности тотального пространства и их специальные классы.-

3. Введен и исследован метрический изоморфизм мезду касательным и кокасательным расслоениями, построена теория ф -лифтов.

4. Построен аппарат дифференцирования, Ли на кокасательных расслоениях и с его помощью исследованы! автоморфизмы некоторых

- 11 -

структур на этом расслоении. В частности,, получены новые результаты по теории локально гамильтоновых симплектических преобразований.

Работа выполнялась в рамках открытой научно-исследовательской темы кафедры геометрии Казанского госуниверситета "Изучение обобщенных пространств и пространств со структурами, определяемыми алгебрами", номер государственной регистрации 0186.0123456.

Приношу свою глубокую благодарность научному руководители д.ф.м.н.»профессору Б.Н.Шапукову за постоянное внимание и псмощь при выполнении настоящей работы.

• - 12 -Литер а т ура

1. Sasaki Sh. On the differential geometry of Tangent Bundles of Riemanian manifolds // Tohoki Hath. J.- 1958.-10,1©.-P. 238-354.

2. Yano K. , Patterson E. M. Vertical and Complete Lifts from a Manifold to its Cotangent Bundle // Jour. Math. Soc.Japan,-1967, v.19. -P.185-198.

3. Yano K. , Patterson E. M. Horisontal Lift from a Manifold to its Cotangent Bundle // Jour. Math. Soc. Japan,-1967, v. 19.-P.91-113

4. Sato K., Complete Lifts from a Manifold to its Cotangent Bundle ■ // Kodai Math. Sem. Rep. -1968,-v. 20. -P.458-468.

5. Мок" Kam-Ping. Metrics and connektions on the Cotangent Bundle // Kodai Math. Sem. Rep. -1977,-v. 28. -P. 226-238.

6. Yano K., Ishihara Sh. Tangent and Cotangent Bundles. Differential geometry. - New York, 1973. -434 pp.

7. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами Проблемы геометрии. Итоги науки и техн. - М., ВИНИТИ АН СССР, 1981. -Т.12. -С.61-95.

8. Leon М., Rodrigues P.R. Methods of differential geometry in analytical mechanics. -Nort-Hoiland-Amsterdam. New York.Oxford. Tokuo. -1989.-483 p.

9. Mirón R. Hamilton geometry // An. st. Univ. "Al. I. Cuza" Iasi, Mathematika. -1989, -v.35. -P.33-67.

10. Mok Kam-Ping. Infinitesimal automorfisms on the Cotangent Bundle // Kodai Math. J. -1978. -v.l. -P.411-420.

11. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1989. -472 с.

. Atanasiu Gh. The invariant expression of Hamilton Gconstry ✓✓ Tensor. -1988, v. 47. It 3. -P. 225-234,

;. Вагнер В.В. Теория геоыэтрических объектов и теория конечных и бесконачных групп преобразований /у ДАН СССР. -1945.-Т.46, № 9. -С.383-386.

L Лаптев 5. Л. Производная Лк для объектов, являющихся функциями точки и направления // Изв. КФМО. -1938. -Т.10. -С. 3-38.

5. Шалунов Б. К. Производная Ли в векторных и тензорных расслоениях. // Тр. геометр, семинара. -Казанск. ун-т, 1983.- Вып.15. -С. 84.-93.

3. Евтушик Л.Е. Производная Ли и дифференциальные уравнения поля геометрического объекта, у/ ДАН СССР. -I960. -Т. 132, № 5. -С.998-1001.

7. Близникас В.И. Неголоноиное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов. // Лит. ыат. сб. -1966. -Т.б, № 2. -С141-208.

Публикации автора по теме диссертации

. Ходгиев М. Б. Расслоение кореперов и кокасательное расслоение. ✓/ Казанск. ун-т.-Казань, 1992. -33 с.-Деп.в ВИНИТИ, 28.04.92 г. № 1422 -В 92.

!. Ходжиев M.S. Симплектические связности на кока.сательном расслоении // Казанск. ун-т. -Казань. 1992. -15 с. -Деп. в ВИНИТИ, 02.12.92 г. № 3425 - В 92.

3. Ходднев Г,'.Б. Расслоение кореперов и кокасательное расслоен! // Международная научная конференция "Лобачевсшй и соврем« нал геометрия". Тезисы докладов.- Казань 1992,- С. 106-107.

4. Ходяиев М.Б. Метрические лифты тензорных полей на кoкacaтeJ ком расслоении // Казанск. ун-т.- Казань,1992.- 19 е.- Деп. в ВИНИТИ, 03.02.93 г. № 268 - В 93.