Хиггсовская модель классического гравитационного поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РГ6 ОД

О 9 ФЕВ 1998 Яй^Тдк53И0Л2

САРДАНАШВИЛИ Геннадий Александрович

ХИГГСОВСКАЯ МОДЕЛЬ КЛАССИЧЕСКОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Официальные оппонеиты:

доктор физико-математических наук,

профессор М. А. Мествиришвили

доктор физико-математических наук,

профессор Б. М. Барбашов

доктор физико-математических наук А. В. Разумов

Ведущая организация — Институт ядерных исследований РАН

Защита состоится '4,9 " 1998 г. ъ!'? час, на

заседании диссертационного Сонета Д 053.05.41 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "/6 " _ 1998г.

Ученый секретарь диссертационного Совета.

доцент I И. А. Квасников

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время общепризнано, что теория калибровочных полей представляет собой универсальный метод описания взаимодействий с группами симметрий посредством соответствующих калибровочных потенциалов, представляемых в геометрической формулировке калибровочной теории связностями на главных расслоениях. Однако не все полевые модели сводятся к стандартной янг-миллсовской калибровочной схеме. Это относится и к гравитации, где группа общих ковариантных преобразований не является локализацией какой-либо группы Ли. Поэтому в диссертации развивается общая геометрическая формулировка классической теории поля. Ключевым является то, что

т-,-,7т.Ктл гт гт гт г ; ,-'1-—,т* —-т.-^т'т тэ ири .-»тг?гмп*-г ттг*

бесконечномерное функциональное пространство, а конечномерное дифференцируемое многообразие струй.

Из фундаментальных взаимодействий только гравитационное поле долгое время не удавалось удовлетворительным образом описать в рамках калибровочное теории. Главная трудность состояла в том, что с математической точки зрения калибровочные поля это связности на расслоениях, тогда как гравитация это метрическое (тетрадное) поле, геометрическое или эффективное. Многочисленные попытки представить тетрадное гравитационное поле как калибровочные потенциалы группы трансляций не имели успеха. При этом упускалось из виду, что в калибровочных моделях со спонтанным нарушением симметрий, помимо калибровочных потенциалов, присутствует еще хиггсовские поля. Именно таковым и представляется гравитационное поле в развиваемой в диссертации калибровочной модели гравитации.

Хиггсовский механизм нарушения симметрий является в настоящее время одним из главных элементов объединенных моделей. Обнаружение хиггсовских бозонов стоит сейчас в ря-

ду первоочередных экспериментальных задач. В то же время, физическая природа хштсовского поля остается невыясненной. Нет пока и математически строгой квантовой модели хштсовского вакуума. Поэтому исследование гравитации как хштсовского поля представляется весьма актуальным, хотя в силу специфики пространственно-временных симметрий гравитационное поле существенно отличается от хиггсов-ских полей, нарушающих внутренние симметрии. Гравитация это единственное известное макроскопическое динамическое хиггсовское поле, допускающее содержательную классическую модель. Ее пример подтверждает справедливость описания классических хиггсовских полей в терминах редуцированных структур на расслоениях (геометрия Клейна—Чженя).

Хиггсовская модель гравитационного поля затрагивает концептуальную основу теории гравитации. Именно принцип эквивалентности, требующий в своей геометрической формулировке, адаптированной к калибровочной теории, существование редуцированной лоренцевской структуры, обуславливает ситуацию спонтанного нарушения пространственно-временных симметрий, где хиггсовскнм полем является геометрическое гравитационное поле. Принцип относительности как условие инвариантности лагранжианов относительно (активных) общих ковариантных преобразований ведет к законам сохранения энергии-импульса в гравитационных моделях.

Физической первопричиной нарушения пространственно-временных симметрий и возникновения геометрического гравитационного поля является факт существования ди-раковских фермионных полей, допускающих только группу Лоренца точных симметрий. Хиггсовский характер гравитации обусловлен тем, что спиновые структуры, ассоциированные с разными тетрадными полями, неэквивалентны. Таким образом, мы приходим к давно известной проблеме описания фермионных полей в присутствии разных гравитационных полей, общей (нелоренцевской) связности и под действием общих ковариантных преобразований. Хиггсовская модель гравитации указывает ее два возможных решения.

Первое состоит в построении универсальной спиновой структуры (композиционного спинорного расслоения),

допускающей общие ковариантные преобразования и описывающей полную систему фермионных и гравитационных полей. Эта модель — аффинно-метрическое обобщение ОТО при наличии фермионных полей. Гравитационные поля в ней ассоциируются с разными тетрадными полями.

Второе решение фиксирует фоновое тетрадное поле и соответствующую фоновую спиновую структуру, а гравитационные поля связываются с его голдстоновскими девиациями, которые описываются сечениями группового расслоения. Такие девиации не являются новым тетрадным полем и сохраняют спиновую структуру, хотя могут трактоваться как эффективное тетрадное поле. Рассматриваются калибровочные преобразования, которые сохраняют фоновые структуры, а на эффективные поля действуют как общие ковариантные преобразования. Получаемая модель представляет собой аффинно-метрическое обобщение РТГ А. А. Логунова при наличии фермионных полей.

Проблема энергии-импульса в теории поля и, в частности, и теории 1равигации широко изассчна; канонический тензор энергии-импульса не является тензором, а метрический имеет смысл только в моделях с фоновой метрикой. Поэтому существуют весьма различные подходы к построению законов сохранения энергии-импульса. В диссертации разработана общая процедура построения дифференциальных законов сохранения в теории поля, исходя из первой вариационной формулы. Эта формула каноническим образом выделяет в производной Ли лагранжиана вдоль векторного поля дивергентный член. Если это векторное поле является генератором калибровочных преобразований, оставляющих лагранжиан инвариантным, мы получаем слабый закон сохранения, в частности, энергии-импульса, когда векторное поле имеет пространственно-временные компоненты. Указанная процедура применяется к теории гравитации, где калибровочными преобразованиями являются общие ковариантные преобразования. Установлено, что сохраняющийся поток энергии-импульса сводится к суперпотенциалу, и для основных гравитационных моделей — это обобщенный суперпотенциал Комара.

Когда было показано, что калибровочные потенциалы группы трансляций не описывают гравитационное поле, встал вопрос об их физической интерпретации. Оказалось, что в калибровочной теории деформаций упругой среды калибровочный потенциалы пространственных трансляций успешно моделируют дислокации. Перенесение этой конструкции на пространственно-временное многообразие позволяет, как показано в диссертации, описывать девиации хиггсовских гравитационных полей. Дело в том, что девиации хиггсовских полей, характеризующих в алгебраической квантовой теории неэквивалентные состояния алгебр квантовых полей, не являются хиггсовскими полями. Это ключевая проблема, например, для квантования хиггсовских полей, в том числе гравитационного поля. Указанные девиации, в отличие от эффективного поля РТГ, описываются негравитационными лагранжианами и приводят к калибровочной модели гипотетической пятой силы. Хотя в ходе самых активных поисков эффекты пятой силы на лабораторных расстояниях так и не оылк оонаружены, ее существование на других масиггаоах продолжает обсуждаться.

Одним из вариантов объединения фундаментальных взаимодействий является супергравитация. Однако в большинстве моделей она описывается алгебраически как составная часть некоторого супермультиплета. В диссертации эта проблема решается по аналогии с гравитацией. Супергравитация вводится геометрически как суперметрика из условия существования редуцированной структуры на суперрасслоении.

Критерий и описание гравитационных сингулярностей остается одной из трудностей современной теории гравитации. Проблема состоит в том, чтобы найти геометрическую структуру, которую можно было бы интерпретировать как сингулярное гравитационное поле. Такая структура, сингулярное слоение, существует, если описывать гравитационные сингулярности как особенности пространственно-временных слоений. В хиггсовской модели гравитации это описание следует из того факта, что всякая редуцированная лорен-цевская структура сужается до группы пространственных вращений, где хиггсовским полем является распределение

3-мерных пространственноподобных касательных подпространств к мировому многообразию, наделяемое, тем самым, пространственно-временной структурой. В диссертации дается классификация особенностей пространственно-временных слоений. В отличие от других известных критериев гравитационных сингулярностей (по скалярам кривизны, Ь-неполноте), только фиксирующих сингулярности, поведение слоения при подходе к особым точкам позволяет представить себе топологию пространства-времени вблизи гравитационной сингулярности.

Целью диссертации является построение калибровочной теории гравитации, где гравитация характеризуется как хигг-совское поле, включая описание полной системы фермион-ных и гравитационных полей и получение законов сохранения энергии-импульса.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации разработана полная геометрическая формулировка классиче-

ством полей — сечений расслоения У —► X — является конечномерное многообразие струй ^У этого расслоения.

Впервые описана геометрия композиционных расслоений У —> £ —»• X, построены композиционные связности и вертикальный ковариантный дифференциал. Дана общая схема описания полевых систем со спонтанным нарушением симметрий в терминах композиционных расслоений У —> Е X, где Е —► X — расслоение хиггсовских полей и 11У — конфигурационное пространство системы. Эта схема апробирована на примере гравитационного поля.

В диссертации впервые дана геометрическая (адаптированная к теории поля) формулировка принципа эквивалентности в терминах редуцированной лоренцевской структуры на расслоении ЬХ —> X касательных реперов к мировому многообразию X. Исходя из этого принципа эквивалентности, впервые построена самосогласованная калибровочная модель гравитации со спонтанным нарушением пространственно-временных симметрий, включающая в себя метрическое (тетрадное) гравитационное поле как сечение расслоения

хиггсовских полей £Х/Ь -* X, где Ь — связная группа Лоренца. Таким образом, в диссертации реализована идея, высказывавшаяся также рядом авторитетных авторов, что гравитационное поле имеет хиггсовскую природу.

В диссертации принцип эквивалентности и наличие тетрадного гравитационного поля впервые связаны как необходимое условие с самим фактом существования дираковских фермионных полей, описываемых в терминах расслоений на алгебры Клиффорда. При этом хиггсовская природа гравитационного поля проявляется в том, что разным тетрадным полям /г отвечают неэквивалентные спиновые структуры на X. Впервые дано описание полной системы фермионных и гравитационных полей. Для этого построена универсальная спиновая структур — композиционное расслоение 5 -* ЬХ(Ъ —> X, такое что ограничение £ на 1г(Х) С IX/Ь воспроизводит спиновую структуру, ассоциированную с произвольным тетрадным полем 1г. Конфигурационным пространством системы является многообразие струй «7*5 композиционного расслоения Б, на котором определены полный оператор Дирака и полный лагранжиан системы (формулы (3.55) и (3.57) диссертации).

В терминах универсальной спиновой структуры, решена проблема общих ковариантных преобразований спинорных полей. В явном виде построен генератор этих преобразований — канонический лифт на 5 векторных полей на X (формула (3.59) диссертации), что является ключевым для вывода закона сохранения сохранения энергии-импульса в калибровочной теории гравитации.

Как один та вариантов калибровочной теории гравитации получено аффинно-метрическое обобщение РТГ при наличии фермионных полей, где динамическими переменными являются тензорные гравитационные поля А. А. Логунова (сечения ассоциированного с 1*Х группового расслоения), общие линейные связности на X и спинорные поля в присутствии фоновой геометрии.

Исходя из первой вариационной формулы лагранже-ва формализма на конфигурационном пространстве «71У,

впервые разработана стандартная процедура получения дифференциальных законов сохранения в лагранжевой теории поля (формулы (2.20), (2.22), (2.27) диссертации). При этом показано, что всякий такой закон сохранения является суперпозицией нетеровского закона сохранения и закона сохранения потока энергии-импульса и, обратно, два разных потока энергии-импульса отличаются друг от друга нетеров-ским током.

Впервые получены законы сохранения энергии-импульса в аффинно-метрической и калибровочной теориях гравитации. Показано, что поток энергии-импульса в этих теориях сводится к обобщенному суперпотенциалу Комара, впервые введенному в диссертации (формула (2.100) диссертации). Таким образом, установлено, что обобщенный суперпотенциал Комара являются общим выражением для суперпотенциала энергии-импульса во всех основных моделях теории гравитации: ОТО, формализме Палатини, аффинно-метрической теории гравитации, калибровочной теории гравитации и РТГ.

Б рамках калмброничной теории 1рунны трансляций дано описание нового типа флуктуаций гравитационного поля. Проведен расчет вклада этих флуктуаций в ньютоновский потенциал. Он имеет вид экспоненциальной добавки и показывает, что предложенная конструкция может служить калибровочной моделью гипотетической пятой силы.

По аналогии с гравитацией впервые дано геометрическое описание супергравитации как суперметрики. Показано, что теоремы редукции переносятся на суперрасслоения, и суперметрика определяется как хиггсовское поле из условия редукции структурной супергруппы касательного суперрасслоения.

В диссертации разработан новый критерий гравитационных сингулярностей как особенностей пространственно-временных слоений, что позволяет характеризовать топологию пространства-времени вблизи таких сингулярностей. Они представляют собой топологические переходы и каустики слоений. Впервые дано описание каустик плоений как особенностей лагранжевых отображений, а также произведена их классификация.

Проведенные в диссертации исследования существенно расширяют круг решенных вопросов, связанных с включением гравитации в объединенную калибровочную картину фундаментальных взаимодействий и с такими фундаментальными проблемами классической теории гравитации, как проблема энергии гравитационного поля, гравитационных сингулярно-стей, совместного описания фермионных и гравитационных полей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (Иена, Германия — 1980); на Всесоюзных конференциях «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации» (Москва — 1981, Москва — 1984, Цахнадзор — 1988); на Международных конференциях по дифференциально-геометрическим методам в теоретической

Д.Т...Т.™ / р...I — - 7— _ 1 qqa т [-i';-;- - - f^TTT А _ ' О" С: !-

на Советско-французском геометрическом симпозиуме (Марсель, Франция — 1992); на Международном симпозиуме "New Frontiers in Gravitation" (Монтеродуни, Италия — 1995); на семинаре «Гравитационная энергия и гравитационные волны» в ЛТФ ОИЯИ (Дубна — 1995), на XV школе по геометрическим методам в физике (Беловежье, Польша — 1996), на ХЕХ Международном семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино — 1996); в лекциях в университете Софии (Болгария — 1981), в Эйнштейновской лаборатории теоретической физики (Потсдам, Германия — 1988), в университете Камерино (Италия — 1989—1997), в университете Генуи (Италия — 1989), в Международном центре теоретической физики (Триест, Италия — 1990, 1992), в университете Феррары (Италия — 1991), в Варшавском университете (Варшава, Польша — 1995), в Силезском университете (Опава, Чехия — 1995, 1996), в университете Бергамо (Италия — 1996); на научных семинарах кафедры теоретической физики физического факультета МГУ.

Публикации. Диссертация написана на основании 50 работ автора, включая 7 монографий, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 175 наименований. Объем диссертации составляет 182 страницы текста, набранного в издательской системе ЬаТеХ.

Содержание диссертации

Во Введении содержится обоснование выбора темы исследований и ее актуальности, формулируется цель работы и определяется круг рассматриваемых вопросов. В частности, обсуждаются некоторые концептуальные основы теории гравитации и калибровочной теории. Дана геометрическая формулировка принципа эквивалентности.

В первой главе дано краткое изложение математического аппарата расслоений и многообразий струй, используемого в дальнейшем. Это необходимо, поскольку применяемая в диссертации математика не ограничивается известными рамками главных расслоений. Основными объектами являются расслоения У —у X, параметризуемые послойными координатами

/...А „,«\ _„„ _..............„...с__„ V __ . ..__тг_

з Ь / > V— / : : г:; иоог:. л , п I'.: г:V.-: л :~ : 10 *;

J1У этих расслоений с координатами (жЛ,у*,уд). Элементами «7*У служат классы эквивалентности сечений 5 расслоения У —»• X, отождествляемых по своим значениям и значениям своих первых производных в точках х £ X:

уг08 = з'(х), у\ оз = 0А5'(ж).

Связность на расслоении У —► X определяется как сечение расслоения струй 3ХУ —» У и задается тангенциально-значной формой

Г = ¿х* <8> (9Д + Гд0,).

Определен функтор струйного продолжения «71, которым морфизмы, сечения и векторные поля на расслоении У продолжаются на многообразие струй ^У.

Вторая глава посвящена геометрической формулировке классической теории поля и лагранжевым законам сохранения. Классические поля в такой формулировке представляются сечениями некоторого расслоения У —* X, а их конфигурационным пространством в лагранжевом формализме первого

порядка служит многообразие струй . Лагранжиан на Л1У определяется как горизонтальная плотность

I = С (хх,у',у'\) ш = с1х1---с1хп, « = <НтХ.

Используем обозначения я-* = дхС, = д\\и.

В первом параграфе вводятся основные элементы ла-гранжева формализма: первая вариационная формула, форма Пуанкаре—Картана Н^, оператор Эйлера—Лагранжа £ъ и др. Первая вариационная формула дает каноническое разложение

= щ\£ь + ¿я^о («]#!,)

производной Ли лагранжиана Ь на 11У вдоль проектируемого векторного поля и на расслоении У. Критические сечения з для вариационной задачи удовлетворяют уравнениям Эйлера—Лагранжа и их струйные продолжения принимают значения на динамической поверхности

<5;£ = (д{ - <1хд?) С = О

в 11У — ядре оператора Эйлера—Лагранжа.

Во втором параграфе изложена общая процедура построения законов сохранения в лагранжевой теории поля. На динамической поверхности первая вариационная формула превращается в слабое тождество

дхих£ + [и%+и%+(с1хи{-у^и^д^С*

где Тх = 7г,а (и''у1 — и') - ихС — ток симметрий вдоль векторного поля и. Если производная Ли иЬ обращается в нуль, мы получаем слабый закон сохранения

о («у,-«')-»*£]

тока симметрий Т. Последнее имеет место, если лагранжиан Ь инвариантен относительно 1-параметрической группу автоморфизмов (калибровочных преобразований) расслоения У, генератором которой является векторное поле и.

ч

Выделен случай, когда ток симметрий Т принимает вид

где компонента ТУ выражается через вариационные производные 6¡С, т.е. ТУ « 0, а 17мЛ - —17х* — суперпотенциал.

Фоновые поля являются причиной нарушения законов сохранения, хотя полный лагранжиан динамических и фоновых полей обычно выбирается инвариантным относительно калибровочных преобразований. В этом случае первая вариационная формула приводит к закону сохранения

(V - Уу) дАс+тгХ (V - Уу) «

и <1Х [тг,А (и% - и') -

в присутствии фоновых ул, не лежащих на динамической поверхности.

Третий параграф посвящен законам сохранения энергии-импульса. Всякое векторное поле и = ихдх + игд,: на У, проектируемое на векторное поле т = и'дх на X, может быть представлено как сумма и = т +1? некоторого горизонтального лифта г на Г векторного поля т на X и вертикального векторного поля $ на У. Поскольку первая вариационна формула линейна по векторному полю и, всякий вытекающий из нее закон сохранения можно представить как суперпозицию нетеровского закона сохранения

О г» -д.хТх = (1Х (тт(Л1?1)

вдоль вертикального векторного поля 1? и закона сохранения энергии-импульса вдоль лифта т. Остановимся на последнем.

В общем случае векторное поле т на X может быть поднято на У посредством некоторой связности Г на У —> X. Им является горизонтальный лифт тг = тх (дх + Г$Д). В этом случае следующее из первой вариационной формулы слабое тождество принимает вид

д^с + [тЧ++ (ёх - у;дхт") дх] с «

где соответствующим током вдоль тг является поток энергии-импульса

относительно связности Г.

Чтобы получить закон сохранения энергии-импульса, можно выбрать разные связности на расслоении У -> I (например, разные связности для разных векторных полей г на X или для разных решений уравнений Эйлера— Лагранжа). Важно отметить, что потоки энергии-импульса относительно разных связностей Г и Г' отличаются друг от друга нетеровским током вдоль вертикального векторного поля

В четвертом параграфе рассмотрены законы сохранения в калибровочной теории на главном расслоении Р —► X со структурной группой б. Будучи эквивариантными относительно канонического действия (? на Р, связности А на главном расслоении Р (калибровочные потенциалы) предста-вимы сечениями расслоения С = Л1Р/С —► X с координатами (жл,Ол). Материальные поля в такой калибровочной модели представляются сечениями ассоциированного с Р расслоения У —► X, типичный слой которого реализует представление группы С? с генераторами 1т. Таким образом, конфигурационным пространством калибровочной теории в случае ненарушенных симметрий является многообразие струй произведения СхУ. Генератором калибровочных преобразований этого произведения являются векторное поле

компоненты которого £т играют роль калибровочных параметров.

В случае калибровочно инвариантного лагранжиана мы приходим к известному закону сохранения нетеровского тока. Существенно то, что он сводится к суперпотенциалу и^ = и зависит от калибровочных параметров. Первое является следствием зависимости генераторов калибровочных

\

преобразований £ от производных калибровочных параметров. Второе обеспечивает ковариантность (форм-инвариантность) закона сохранения при калибровочных преобразованиях. Аналогичные свойства имеет закон сохранения энергии-импульса в теории гравитации.

Закон сохранения энергии-импульса в калибровочной теории рассмотрен в присутствии фоновой метрики. Для его построения выбран канонический лифт

тв = т% + [тЛ {дИВгх + - - Вгр)] д?

на расслоении С векторного поля г на X посредством сечения В расслоения С. Более того, всякому решению А(х) уравнений Янга—Миллса, положив В — А, можно сопоставить свой поток энергии-импульса вдоль векторного поля тА. В этом случае закон сохранения энергии-импульса воспроизводит известный ковариантный закон сохранения метрического тензора энергии-импульса к 0, где V — ковариантная производная относительно связности Леви—

энергии-импульса получается суперпозицией данного с нете-ровским законом сохранения.

В пятом параграфе общая процедура построения законов сохранения применена в полевых моделях на геометрических расслоениях. Геометрические расслоения (к ним относятся расслоение IX касательных реперов к X, тензорные расслоения и др.) допускают канонический лифт векторных полей г на X, который является генератором общих ковариантных преобразований этих расслоений. Например для тензорного

расслоения ® такой канонический лифт

имеет вид

Г — Г11 Я -4- Г/» т"1 т"а2~ат 4- -я„т1/'гаI'"0"1 _ 1 ^

ахР\~Рк

Он зависит от производных компонент векторного поля т. Поэтому, как показывают примеры законов сохранения энергии-импульса для тензорных полей и поля Прока, сохраняющийся поток энергии-импульса вдоль такого векторного поля сводится к суперпотенциалу.

Главным результатом этого параграфа является закон сохранения энергии-импульса в аффинно-метрической модели гравитации, где динамическими переменными служат псевдориманова метрика д и общая линейная связность К на мировом многообразии X. Конфигурационным пространством этой модели является многообразие струй произведения Еря х Ск расслоения псевдоримановых метрик

ЕРК С УТХ с послойными координатами (хА, а1"') и расслоения связностей общих линейных связностей Ск = ^ЬХ/СЬ4, 0,4 — ОЦ4,11), с координатами (жА,&Лв„). Канонический лифт векторных полей г на это произведение имеет вид

г = т"^ + [&итпк;р - дрт'к;» - д,тик% + д1фта} +

ОКр р

В случае произвольного лагранжиана аффинно-метрической

ГраьйТаЩШ, ВЫраЖасмОГО ЧсрсЗ ТсНЗОр КрйВйЗНЫ СВЯЗНОСТИ Л

и инвариантного относительно общих ковариантных преобразований, получен закон сохранения потока энергии-импульса вдоль поля г:

+ (К\б"а4 - к/а6\хС - К%6\1£) та +

+ д\»£д,та - + (тг"А/ {д„та - ка\та))],

где 6С — вариационные производные, а сохраняющийся поток энергии-импульса сводится к обобщенному суперпотенциалу Комара

иш»Х = тг"Л/ (дита - КаУ ).

Хотя в качестве материального источника аффинно-метрической гравитации рассматриваются поля Прока, однако установлено, что, поскольку их лагранжиан зависит от тензора кручения связности К, они не дают вклада в выражение для энергии-импульса модели.

Третья глава посвящена построению калибровочной теории гравитации и описанию полной системы фермионных и гравитационных полей.

В первом параграфе дано описание спинорных полей на мировом многообразии в терминах расслоений на алгебры Клиффорда. Показано, что необходимым условием их существования является наличие лоренцевского подрасслоения ЬьХ реперного расслоения ЬХ редуцированной лоренцев-ской структуры). Чтобы это имело место многообразии X предполагается некомпактным и параллелизуемым.

Во втором параграфе развита дифференциальная геометрия композиционных расслоений У-»2->1с координатами (хх,гр,у%), где (о;А, гр) — координаты расслоения % —» X. Установлен ряд свойств этих расслоений, которые обуславливают их применение в полевых моделях. В частности, если и — сечение расслоения Z X, то ограничение расслоения У —> на к(Х) С % является подрасслоением Ул расслоения У —» X. Всякая связность

А — йхк ® (¿>л + А\д-) + йгу ® (др + 4^-)

на расслоении У —» 2 задает разбиение вертикального касательного расслоения

уу = (1)

и определяет дифференциальный оператор первого порядка (вертикальный ковариантный дифференциал)

на расслоении У X. При этом сужение ВЛ на ИХ) совпадает с ковариантным дифференциалом относительно связности, индуцированной на УЛ связностью А.

В третьем параграфе представлена общая схема описания спонтанного нарушения симметрии в калибровочных моделях в случае, когда материальные поля допускают только подгруппу точных симметрии II группы симметрий С. Такие поля

описываются расслоением УЛ, ассоциированным с некоторым редуцированным подрасслоением Рн главного расслоения Р со структурной группой С. В силу известной теоремы имеет место взаимно однозначное соответствие между такими редуцированными подрасслоениями и глобальными сечениями К фактор-расслоения Р/Я —► X. В физической интерпретации сечения И описывают хиггсовские поля. Показано, что для разных Ъ, расслоения Ул, вообще говоря, не изоморфны и во всяком случае не канонически изоморфны. Поэтому материальные поля с группой точных симметрий могут рассматриваться только в паре с определенным хиггсовским полем Ъ.

Примером являются спинорные поля на мировом многообразии. Имеет место уже упоминавшееся соответствие между лоренцевскими подрасслоениями ЬпХ реперного расслоения ЬХ и сечениями И фактор-расслоения £т = ЬХ/Ъ —► X, отождествляемыми с тетрадными полями. Показано, что всякое

Т?ТТ«Я ТТТТГ5£^ ттптге Ъ. Р5ППЙГТЙТГ$ГЙТ ллдггптяр.ггеттие

Ъ ■ <1хх ~ /1Л3

касательных ковекгоров к X матрицами Дирака на элементах спинорного расслоения 6'л —> X, ассоциированного с двулистным накрытием Рн лоренцевского расслоения ЬьХ. Сечения этого спинорного расслоения описывают дираковские фер-мионные поля в присутствии тетрадного гравитационного поля Ь,. На конфигурационном пространстве ^Б1* этих полей построен оператор Дирака V/, и дираковский лагранжиан

Установлено однако, что для разных тетрадных полей Н представления 7Л неэквивалентны, и всякое дираковское фермионное поле может рассматриваться только в паре с определенным тетрадным полем Н. Встает задача описать всю совокупность таких фермион-гравитационных пар.

Необходимым шагом к ее выполнению является построение ковариантного дифференциала спинорных полей относительно произвольной (не только лоренцевской) связности на X. Это сделано в четвертом параграфе. Показано, что

всякая такая связность К определяет спинорную связность

К, = ёхх^[дх + 1- (г)кХ - Т}кх) (дхК - ЩКХ\) 1аЬАвувдА]

на расслоении 5Л. Построен также канонический лифт

г = т\ + -4 (г?% - г?%) (тхдхК - Кд„т») 1аЬЛвувдА

на £п векторных полей т на X. Он однако не является генератором общих ковариантных преобразований, поскольку не действует на тетрадные поля Л.

В пятом параграфе дано описание полной системы фермионных и гравитационных полей. Для дутого рассмотрено универсальное двулистное накрытие ЬХ реперного расслоения ЬХ и построено композиционное расслоение Б —► X, где Б —> £т — спинорное расслоение с координатами (жА, (Га, уА), ассоциированное с главным расслоение ЬХ —> £т. Доказано, что для всякого тетрадного поля Н огра-

г* П Т / ТГ\ 1 __ ..

НКЧСИИ^ риССЛС)ёш1л О ' 2лНа ) ¿иОМУрфиО СИШ]ирииМу

расслоению 5Л, которое тем самым является подрасслоением композиционного расслоения Б —► X.

На элементах расслоения Б задано представление

кокасательных векторов к X матрицами Дирака. При ограничении на Ъ,{Х) представление сводится к представлению % на 5*.

Для всякой общей линейной связности К на X на расслоении Б —► Бт определяется связность такая что соответствующий вертикальный ковариантный дифференциал

3 = ёхх® [/х - \ (лхаЬ + Ак;ьа1к) ЪаЬАвув] дА =

= йхх ® [уАх - ± (УЧв - 4*4) « - <г1Кх\) 1аЬ\ув]дА

при сужении на С /'Я сводится к ковариантному дифференциалу на спинорном расслоении Бн —» X, отвечающему спинорной связности Кп.

Полным конфигурационным пространством модели является многообразие струй произведения расслоений У —

= Ск х Б. На этом конфигурационном пространстве задается £Т

полный оператор Дирака

В А аВ Г А

У о2>г = (7а7 А\ух-

1 / кЬ а ка Ь\ / и и, а \ Т А В1

~ 4 У1 <Т>1~Г1 ~ 1<*> вУ ]

и полный лагранжиан фермион-гравитационных пар.

Шестой параграф посвящен закону сохранения энергии-импульса^ описанной выше модели. Показано, что расслоение ЬХ и вслед за ним композиционное расслоение 5 наследуют общие ковариантные преобразования реперного расслоения ЬХ. Соответственно существует канонический лифт т3 на 5 всякого векторного поля т на X. Проблема состоит в том, что тетрадные координаты <т£ расслоения Ет зависят от выбора атласа расслоения ЬХ -> Ет. Поэтому неканонические вертикальные компоненты появляются в координатном выражении для г. Такое выражение найдено:

Т5 = + + - X

X 7 + КьХвуВдА + Ь+аЪлву+Адв],

где компоненты удовлетворяют условию (Qo^ь + <3а^ь)х хт]пЬ = 0 и составляют вышеупомянутую неканоническую часть лифта.

Следуя общей процедуре, получен закон сохранения энергии-импульса фермион-гравитационной системы вдоль поля т3. При этом установлено, что фермионные поля, как и поля Прока, не дают вклад в поток энергии-импульса, который тем самым сводится к обобщенному суперпотенциалу Комара.

В седьмом параграфе показано, что всякое общее ко-вариантное преобразование / реперного расслоения ЬХ над диффеоморфизмом / мирового многообразия X можно

представить как суперпозицию его автоморфизма Д над сохраняющего данное лоренцевское подрасслоение £ЙХ и некоторого вертикального автоморфизма Ф. Автоморфизм /л продолжается до соответствующих автоморфизмов главного расслоения Рн и спинорного расслоения 5й. Он сохраняет тетрадное поле Л и представление 7&. Пусть — ассоциированное с ЬХ групповое расслоение с координатами (жА, типичным слоем которого является структурная группа <ЗЬ4, действующая на себя по присоединенному представлению. Как известно, существует каноническое отображение

р : 0, х Ет £х, х

Показано, что для любого вертикального автоморфизма Ф : а а ^ расслоения Ег существует такое отображение

Ф н Зх„д"11 группового расслоения на себя, что

- . , л. /*. Л \ \ ,/П ..

р л — /ДЧ; А " 1 /■

В результате может быть определено представление : <2жЛ q\hl¿7°

касательных ковекторов к X матрицами Дирака на элементах спинорного расслоения Пусть д0 — каноническое глобальное сечение расслоения ф —► X, принимающее значения в единичных элементах слоев расслоения (¡>. При ограничении на д0 представление 7^ сводится к представлению 7Л. Это позволяет построить модель гравитации с фоновым тетрадным полем Л и фоновой спиновой структурой 5Л, сохраняющихся под действием общих ковариантных преобразований. Поле q играет в ней роль тензорного гравитационного поля, а На = /э(жЛ,4А/иЮ = - эффективного тетрадного поля. Таким образом мы приходим к аффинно-метрическому расширению РТГ в присутствии фермионных полей. Его конфигурационным пространством является многообразие

струй расслоения У — О х Ск х 5й, параметризуемого

х х

координатами (х11 к^,, ,уЛ).

Полный лагранжиан аффинно-метрической РТГ представляет собой сумму

Ь = + Х-п +9)

лагранжиана Ьш + Ь0 афинно-метрической гравитации фер-мионных полей, в котором тетрадные и метрические поля заменены на эффективные поля /I и д, и лагранжиана тензорного гравитационного поля д, в котором свертка осуществляется посредством фоновой метрики д. Поэтому Ьч не инвариантен относительно общих ковариантных преобразований. В случае

¿ам = (-Льй + Л2) Съ =0, £, = А3 д^"

где Я = д11"№цаг, — скаляр кривизны мировой связности К, воспроизводится обычный лагранжиан РТГ.

Генератором общих ковариантных преобразований расслоения У является векторное поле

л

Т = Т% + {д„так/р - д^к^ - дрт'К'р + 0,фта) -— +

дк*р

+ - Л") [ь^вГдл+^пГлО0] ,

которое на эффективных полях принимает стандартный вид генератора общих ковариантных преобразований

Получен закон сохранения энергии-импульса вдоль такого векторного поля, который имеет вид

дЛт%) + (дат»Г + дУГ) К

где U — обобщенный суперпотенциал Комара. Видно, что при наличии хиггсовского лагранжиана Lq поток энергии-импульса не сводится к суперпотенциалу, а имеет место обычный ковариантный закон сохранения

где Va — ковариантные производные относительно связности Леви-Чивита эффективной метрики д. В случае стандартного лагранжиана РТГ он принимает вид известного условия

V« (r'VI 9 l) ~ 0, где Vtt — ковариантные производные относительно связности Леви-Чивита фоновой метрики д.

Четвертая глава посвящена калибровочной модели группы трансляций, которая призвана описывать девиации хиггсовского гравитационного поля. В первом параграфе дано краткое изложение калибровочной теории группы трансляций на аффинном касательном расслоении и обсуждается

¿ip'v'wJl^ÁVlfl li-'í!«"i'lwwfwVti yin¿I¿Vi y'lil Cw i\íL'itiOpUuiiv"

тенциалов <ra

Во втором параграфе, описывается конструкция деформированного многообразия, задаваемая вертикальным мор-физмом его касательного расслоения

где К и о — линейная и аффинная компоненты аффиной связности на X, а Л может рассматриваться как эффективное тетрадное поле. Вводятся модифицированные лагранжианы полей, задаваемых на деформированном многообразии.

В третьем параграфе получен общий вид лагранжиана поля деформаций <т:

С(а) = ^[аЛ/Г + ^Г-^')-- fia11, <т\ + A «ryj

а4 = 0, ах > 0, а2 > О, а3 + 2а2 = О, /г > О, А <

где Та„р — 0„(тац - -Е>р£га„ — кручение связности К относительно припаивающей формы а.

Найдены решения, описывающие свободное поля деформаций. Рассмотрена совместная системы слабого поля деформаций и слабого гравитационного поля, когда материальным источником является точечная масса М. Решением системы является модифицированный ньютоновский потенциал

~ . КМ (\ „-тЛ 2 /*(/* - 4А>

б = б + еоо = ~-— 1 - г—-—е , тп = -—--—,

8яг \ За^/х - А) ) ЗаД/х - А)

который обычно связывают с эффектом гипотетической пятой силы.

В пятой главе описание гравитации как хиггсовского поля распространяется на супергравитацшо. В первом параграфе излагается конструкции суперпространства, супермногообразия и суперрасслоения. Показано, что суперрасслоения со структурной супергруппой имеют структуру вещественного расслоения со структурной группой. Это позволяет перенести на них теоремы о редукции структурных групп расслоений.

Во втором параграфе супергравитация определяется как суперметрика на супермногообразии Ж4'4 из условия редукции структурной супергруппы £(4,4) касательного суперрасслоения над этим супермногообразием к подгруппе ОБр(4,2; 1). Выбор этой супергруппы определяется тем, что четной частью супералгебры озр(4,2; 1) является алгебра Ли 5о(3,1)ф5р(4), а нечетная часть состоит из 16 генераторов (ц — 0,1,2,3; А — 1,...,4). Генераторы (¿^ по индексам ц реализуют векторное представление алгебры Лоренца зо(3,1), а по индексам А — фундаментальное представление алгебры Ли 5^(4).

Шестая глава посвящена описанию гравитационных син-гулярностей как особенностей пространственно-временных слоений. В первом параграфе пространственно-временные

распределения вводятся подобно хиггсовскому полю из условия редукции структурной группы лоренцевского подрасслое-ния ЬьХ С IX к группе 80(3). Это приводит к теореме, связывающей псевдориманову метрику д, риманову метрику дк и пространственно-временное распределение, производящей 1-формой которого является тетрадная форма /¿° = Кйхйхх. Имеет место известное соотношение

дк = 2к° — д.

Во втором параграфе предложен новый критерий гравитационных сингулярНостей, описываемых как особенности пространственно-временных слоений. Исходя из этого критерия, можно выделить следующие типы гравитационных сингулярностей: нарушения причинности, описываемые в терминах слоений; неполнота римановой метрики, которая, как можно показать, приводит к конформным сингуляр-ностям; особенности пространственно-временных слоений. Последние могут быть представлены локально (в терминах ростков) как особенности причинного слоения поверхностей уровня производящей функции /. Имеется два типа таких сингулярностей. (1) Однозначная производящая функция / имеет критические точки = 0; слои такого слоения меняют свою топологию при прохождении через критические точки и эти топологические переходы могут быть классифицированы, (ц) Производящая функция / является многозначной на X. Слои определяемого ею слоения в области, где / однозначна, начинают пересекать друг друга в точках ветвления этой функции и образуют каустики.

В третьем параграфе дано определение каустик пространственно-временных слоений. Показано, что всякое регулярное слоение поверхностей уровня функции / на X может быть поднято до слоения на лагранжевом подмногообразии кокасательного расслоения Т*Х, образуемого точками

(х1*, = г). Это слоение может быть продолжено над точками ветвления функции /, и затем его продолжение проектируется на X. Особенности этой проекции и образуют каустики. Дана классификация А2,А3,А4,В4,А5,В5 устойчивых каустик на 4-мерном многообразии и построен явный вид

каустик А2 и А3. Отмечено, что гравитационные сингулярности типа каустик, в частности, могут описывать столкновения гравитационных волн.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:

1. Разработан геометрический аппарат классической теории поля в формализме расслоений, когда классические поля представляются сечениями расслоений, а их динамика формулируется на многообразиях струй этих расслоений. Это является обобщением известной геометрической формулировки калибровочной теории на главных расслоениях. В терминах редуцированных структур на расслоениях дано описание полевых моделей со спонтанно нарушенными симметриями.

2. Развита дифференциальная геометрия композиционных расслоешш. В терминах композиционных расслоений дано описание теории поля с нарушеннными симме-

ТПТ,ТЯ>.Я,Т ТЗ ЛТПГи^Й т^ЛГ ГТ цгп^^угп тт^'цт.та ТТГМТСГ ТТ О ТТЛ ТС V П ТЛТ

только подгруппу точных симметрии. Построены их конфигурационное пространство и модифицированный оператор ковариантного дифференцирования.

3. Основываясь на первой вариационной формуле, разработана общая процедура построения дифференциальных законов сохранения в классической лагранжевой теории поля. Показано, что всякий закон сохранения является суперпозицией нетеровского закона сохранения и закона сохранения энергии-импульса, где разные потоки энсргии-импульса отвечают разным горизонтальным поднятиям векторных полей на мировом многообразии. Получено выражение для законов сохранения в присутствии фонового поля. Исследован случай, когда сохраняющийся ток сводится к суперпотенциалу. Показано, что нетеровский ток в калибровочной теории внутренних симметрий сводится к суперпотенциалу.

4. Установлены законы сохранения энергии-импульса в теории поля на геометрических расслоениях, исходя из канонического горизонтального поднятия векторных полей

на мировом многообразии и инвариантности лагранжианов относительно общих ковариантных преобразований, генераторами которых эти горизонтальные поднятия являются. Показано, что поток энергии-импульса в такой теории сводится к суперпотенциалу. Получен закон сохранения энергии-импульса в аффинно-метрической модели гравитации с произвольным лагранжианом. Показано, что поток энергии-импульса в этой модели сводится к суперпотенциалу, обобщающему суперпотенциал Комара в ОТО.

5. В рамках геометрической формулировки классической теории поля развита калибровочная модель классической гравитации, в которой гравитационное поле описывается как хиггсовское поле, отвечающее спонтанному нарушению пространственно-временных симметрий. В терминах редуцированных структур на расслоениях дана геометрическая формулировка принципа эквивалентности. Г[т:яяяно, что нарушение симметрии в теории гравитации следует из геометрического принципа эквивалентности и, с физической точки зрения, обусловлено существованием дираковских фермионных полей с группой Лоренца точных симметрий. Хиггсовский характер гравитационного поля устанавливается тем фактом, что разные гравитационные поля определяют неэквивалентные спиновые структуры, в частности, неэквивалентные представления кокасательных векторов к мировому многообразию матрицами Дирака.

6. Построено композиционное спинорное расслоение (универсальная спиновая структура), такое что для всякого гравитационного поля ассоциированная с ним спиновая структура является его подрасслоением. Многообразие струй композиционного спинорного расслоения представляет собой конфигурационное пространство полной системы фермионных и гравитационных полей. Построены обобщенный оператор Дирака и полный лагранжиан этой системы. Последний сводится к лагранжиану аффлнно-метрической гравитации и спинорных полей в

у

геометрии с общей линейной связностью.

7. Построен канонический лифт на вышеупомянутое композиционное спинорное расслоение векторных полей на мировом многообразии, который является генератором общих ковариантных преобразований полной системы фермионных и гравитационных полей. Исходя из этого, установлен закон сохранения энергии-импульса в калибровочной теории гравитации, где поток энергии-импульса сводится к обобщенному суперпотенциалу Комара аффинно-метрической гравитации.

8. Как один из вариантов калибровочной теории гравитации, получено аффинно-метрическое расширение релятивистской теории гравитации А. А. Логунова в присутствии спинорных полей. Построены калибровочные преобразования этой модели, которые сохраняют фоновую геометрию и являются общими ковариантными преобразованиями эффективной метрики. Исходя из эшго, ностриен оакин сохранения; энёрШй-импульса В релятивистской теории гравитации и в ее аффинно-метрическом обобщении.

9. Поскольку в силу хиггсовского характера гравитационного поля его обычные флуктуации не удовлетворяют принципу суперпозиции, найден новый тип негравитационных флуктуаций гравитационного поля. Они описываются в рамках калибровочной теории группы трансляций и, с геометрической точки зрения, представляют собой деформации мирового многообразия. Построен их лагранжиан, который отличен от гравитационных лагранжианов и допускает массовый член. Показано, что вклад таких флуктуаций приводит к эффектам типа пятой силы.

10. По аналогии с хиггсовской моделью гравитации, дано геометрическое описание супергравитации как суперметрики, определяемой из условия редукции структурной супергруппы касательного суперрасслоения над супермногообразием.

11. Показано, что редуцированная лоренцевская структура, обуславливающая спонтанное нарушение симметрий в теории гравитации, сужается до группы пространственных вращений, что определяет пространственно-временное разбиение. Исходя из этого, предложен критерий гравитационных сингулярностей как особенностей пространственно-временных слоений. Дана их классификация как топологических переходов и каустик слоений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сарданашвили Г. А. К проблеме гравитационного вакуума // Известия вузов СССР, Физика. 1978, №7. С. 137-139.

2. Sardanashvily G. Gravity as a Goldstone field in the Lorentz gauge theory // Physics Letters. 1980, V.A75. P. 257-258.

» _______rv Г*____7_____¿1.. ...i .i'-.'i,. .. . i j___*.v

■J f i "u'iviiiVv SJ.) Lsilf Liii'iliijtt Viiy vii liiC ivluuVii^ U11U vv|UIYu"

lence principles in the gauge theory of gravitation // Lettere al Nuovo Cimento. 1981. V. 30. P. 220-223.

4. Ivanettko D., Sardanashvily G. Relativity principle and equivalence principle in the gauge gravitational theory // Comptes Rendus de 1'Academic Bulgare des Sciences. 1981. V. 34. P. 1237-1239.

5. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Принципы относительности и эквивалентности в калибровочной теории гравитации// Известия вузов СССР, Физика. 1981, №6. С. 79-82.

6. Ivanenko В., Sardanashvily G. Foliation analysis of gravitational singularities // Physics Letters. 1982. V.A91. P. 341344.

7. Сарданашвили Г. А., Янчевский В. П. Пространственно-временные слоения в теории гравитации // Известия вузов СССР, Физика. 1982, №9. С. 20-23.

8. Ivanenko D., Sardanashvily G. The gauge treatment of gravity // Physics Reports. 1983. V.94. P. 1-45.

9. Sardanashvily G. What are the Poincare gauge fields? // Czechoslovac Journal of Physics. 1983. V.B33. P. 610-615.

10. Sardanashvily G. On the definition of gauge transformation group in gauge theory // Annalen der Physik. 1984. Y.41. P. 23-28.

11. Sardanashvily G. Space-time foliations I I Acta Physica Hungarica. 1985. V. 57. P. 31-40.

12. Иваненко Д. Д., Сарданашвши Г. А. «Гравитация». Киев: Наукова думка. 1985. С. 198.

13. Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвши Г. А. «Калибровочная теория гравитации». М.: изд. МГУ, 1985. С. 142.

14. Ivanenko В., Sardanashvily G. Goldstone type supergravity // Progress of Theoretical Physics. 1986. V.75. P. 969-976.

15. Sardanashvily G., Zakharov O. Fiber bundle formalism for supergravity // Pramana-Journal of Physics. 1986. V. 26, P. L295—L299.

16. Sardanashvily G., Yanchevsky V. Caustics of space-time foliations in General Relativity // Acta Physica Polonica. 1986. V.B17. P. 1017-1028.

17. Сарданашвили Г. А., Ихлов Б. Л. Хиггсовский вакуум в теории гравитации // Вестник Московского ун-та, Физика, Астрономия. 1986, №2. С. 17-19.

18. Джунушалиев В. Д., Сарданашвили Г. А. Суперпространство Уилера-ДеВитта и топологические переходы в теории гравитации // Известия вузов СССР, Физика. 1986, №12. С. 73-75.

19. Ivanenko D., Sardanashvily G. On the Goldstone gravitation theory I I Pramana-Journal of Physics. 1987. V. 29. P. 21-37.

20. Sardanashvily G., Gogberashvily M. The dislocation treatment of gauge fields of space-time translations I I Modern Physics Letters A. 1987. V.2. P. 609-616.

21. Sardanashvily G., Gogberashvily M. Translation gauge fields and space-time dislocations // Annalen der Physik. 1988. V. 45, P. 297-302.

22. Сарданашвили Т. А., Тогберашвили М.Я. Гравитация и калибровочная теория дислокаций // Известия вузов СССР, Физика. 1988, №3. С. 71-74.

23. Сарданашвили Г. А. Каустики пространственно-временных слоений // Известия вузов СССР, Физика. 1988, №9. С.32-37.

24. Sardanashvily G., Ikhlov В. Higgs gravitation vacuum in the gauge gravitation theory // Acta Physica Hungarica. 1989. V. 65. P. 79-84.

25. Sardanashvily G., Zakharov 0. Gauge transformations in gravitation theory // Acta Physica Polonica. 1989. V.B20, P. 651-658.

26. Sardanashvily G., Zakharov 0. On the Higgs feature of gravity // Pramana-Journal of Physics. 1989. V. 33. P. 547— 554.

27. Сардапашвши Г.А.. Тимошенко Э.Т. Гравитационные сингулярности типа каустик // Вестник Московского ун-та, Физика, Астрономия. 1989, № 1. С. 75—77.

28. Сарданашвили Т.А., Гогберашвили М.Я. Калибровочная теория трансляций и поправки к ньютоновскому потенциалу // В сб.: «Экспериментальные тесты теории гравитации». М.: изд. МГУ, 1989. С. 51—55.

29. Mangiarotîi L., Marathi К., Sardanashvily G. Equivalence principle, Lorentz structures and theories of gravitation 11 И Nuovo Cimento. 1990. V. 105B. P. 757-770.

30. Sardanashvily G. The gauge theory of the fifth force // Acta Physica Polonica. 1990. V.B21. P. 583-587.

31. Sardanashvily G. Spontaneous symmetry breaking in the gauge gravitation theory // Preprint IC/90/73 ICTP, Triest, 1990. P. 1-22.

32. Сарданашвили Г.А., Тимошенко Э.Т. Калибровочная модель пятой силы // Вестник Московского ун-та, Физика, Астрономия. 1990, №4. С. 70-72.

33. Sardanashvily G., Zakharov 0. On functional integrals in quantum field theory // Reports on Mathematical Physics. 1991. V. 29. P. 101-108.

34. Sardanashvily G. Gauge gravitation theoiy // International Journal of Theoretical Physics. 1991. V. 30. P. 721-735.

35. Sardanashvily G. Gauge theory of gravity // In vol.: "Problems of Modern Physics". Singapore: World Scientific, 1991. P. 75-99.

36. Sardanashvily G. Higgs vacuum from the axiomatic viewpoint // II Nuovo Cimento. 1991. V. 104A. P. 105-111.

37. Sardanashvily G. Spontaneous symmetry breaking and multidimensional coordinate space // II Nuovo Cimento. 1991. V. 106B. P. 575-578.

38. Sardanashvily G. On the geometry of spontaneous symmetry breaking // Journal of Mathematical Physics. 1992. Y. 33. P. 1546-1549.

39. Sardanashvilv G. Zakharov 0. "Gauge Gravitation Theory". Singapore: World Scientific, 1992. P. 122.

40. Sardanashvily G. "Gauge Theory in Jet Manifolds". Palm Harbor: Hadronic Press Inc., 1993. P. 159.

41. Sardanashvily G. Constraint field systems in multimomentum canonical variables // Journal of Mathematical Physics. 1994. V. 35. P. 6584-6603.

42. Sardanashvily G. "Generalized Hamiltonian Formalism for Field Theory. Constraint Systems". Singapore: World Scientific, 1995. P. 155.

43. Giachetta G., Sardanashvily G. Energy-momentum superpotentials in gravitation theory // In vol.: "Gravity, Particles and Space-Time". Singapore: World Scientific, 1996. P. 471-506.

44. Sardanashvily G. Gravity as a Higgs field // In vol.: "New Frontiers in Gravitation". Palm Harbor: Hadronic Press, 1996. P. 299-336.

45. Giachetta G., Sardanashvily G. Stress-energy-momentum of affine-metric gravity. Generalized Komar superpotential // Classical and Quantum Gravity. 1996. Y. 13. P. L67-L71.

46. Сарданашвили Г. А. «Математические методы теории поля. Геометрия и классические поля». М.: изд. УРСС,

1996. С. 224.

47. Sardanashvily G. Relativistic theory of gravity: Gauge approach // In vol.: Proceedings of the XIX Workshop on High Energy Physics and Field Theory, Protvino, 1996. Protvino: Institute for High Energy Physics, 1997. P. 184-196.

48. Sardanashvily G. Stress-energy-momentum conservation law in gauge gravitation theory// Classical and Quantum Gravity.

1997. V. 14. P. 1357-1380.

49. Sardanashvily G. Stress-energy-momentum, tensors in constraint field theories // Journal of Mathematical Physics, 1997. V. 38. P. 847-866.

50. Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. "New Lagran-gian and Hamiltonian Methods in Field Theory". Singapore: World Scientific, 1997. P. 456.